专题04 二元一次方程组（5大考点经典基础练+优选提升练）（福建专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编

专题04 二元一次方程组 题型概览 题型01根据二元一次方程组的定义求解 题型02参数问题 题型03解二元一次方程组 题型04根据实际问题列二元一次方程组 题型05二元一次方程组的应用 ( 题型01 ) 根据二元一次方程组的定义求解 1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知方程，下列变形正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·福建漳州·期末）下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·福建福州·期末）将二元一次方程写成用含x的式子表示y的形式，则 ． 4．（23-24七年级下·福建·期末）墨迹覆盖了二元一次方程“”的一部分，则覆盖的可能是（　　） A．3 B． C． D． 5．（23-24七年级下·福建福州·期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 ． 6．（23-24七年级下·福建泉州·期末）若是关于的二元一次方程，则（　　） A．1 B． C．2 D． ( 题型02 ) 参数问题 7．（23-24七年级下·福建厦门·期末）若是二元一次方程的解，则a的值为（    ） A．1 B． C．9 D． 8．（22-23七年级下·福建厦门·期末）已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值为（    ） A．−2 B．2 C．−1 D．1 9．（23-24七年级下·福建福州·期末）关于，的二元一次方程中的解满足，若，则的最大值为 ． 10．（23-24七年级下·福建厦门·期末）关于的方程组 (1)当时，求的值； (2)若方程组的解与满足条件，求的值． 11．（23-24七年级下·福建泉州·期末）关于，的方程组，其中常数． (1)直接写出的值（结果用含的代数式表示）； (2)无论取何值，试说明的值总是不变的． ( 题型03 ) 解二元一次方程组 12．（23-24七年级下·福建泉州·期末）用代入消元法解方程组，将①代入②可得（   ） A． B． C． D． 13．（23-24七年级下·福建泉州·期末）解方程组： 14．（23-24七年级下·福建·期末）解下列二元一次方程组： (1) (2) 15．（23-24七年级下·福建泉州·期末）解下列方程（组）： (1)； (2) 16．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知，则 ． 17．（23-24七年级下·福建泉州·期末）关于、的方程组，则的值等于（  ） A． B． C． D． 18．（23-24七年级下·福建福州·期末）解方程组： (1) (2) 19．（23-24七年级下·福建福州·期末）已知a，b满足方程组 则的值为 20．（23-24七年级下·福建福州·期末）已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为 ． ( 题型0 4 )根据实际问题列二元一次方程组 21．（23-24七年级下·福建泉州·期末）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛、问大、小器各容几何？”译文：今有大容器个，小容器个，总容量为斛（斛是古代容量单位）；大容器个，小容器个，总容量为斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24七年级下·福建福州·期末）将一个长方形的长减少，宽增加，就变成一个正方形．已知这两个图形的面积相等，求长方形的长和宽分别是多少，设原长方形的长为，宽为，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24七年级下·福建福州·期末）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，根据题意列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24七年级下·福建福州·期末）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，甲和乙的杯子中均装有一定量的水，以下是他们的对话： 甲说：“如果把你杯子中的水的一半倒入我的杯中，我的杯子就装满了．” 乙说：“如果把你杯子中水的倒入我的杯中我的杯子也装满了．” 问：甲和乙的杯子中各装有多少水？ 设甲和乙的杯子中分别装水，，可列方程组为（    ）    A． B． C． D． ( 题型0 5 )二元一次方程组的应用 26．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，可列出不同的方程组为 ． 27．（23-24七年级下·福建泉州·期末）根据以下素材，尝试解决问题： 购买洗手液 素材一 某卫生院实践“改善就医环境，提高服务质量”，在公共场所配置洗手液；计划第一批花5000元，用于采购规格分别为和的甲、乙两种洗手液． 素材二 购买甲、乙两种洗手液的情况：购买2瓶甲和1瓶乙洗手液需要55元，购买3瓶甲和4瓶乙洗手液需要145元． 素材三 该卫生院第二批计划采购时，想采用购买大瓶洗手液进行分装．已知购买9.6L的大瓶装洗手液，每瓶350元，免费赠送规格为、的空瓶，但赠送的空瓶总容积不超过． 解决问题 任务一 计算单价 甲、乙两种规格洗手液的单价各为多少元？ 任务二 确定使用天数 若该卫生院的公共场所平均每天约有1000人使用洗手液，每人每天使用洗手液的量为；试求出该院第一批采购的洗手液使用的天数； 任务三 选择采购方案 已知分装洗手液时，每装小瓶平均需损耗；在分装时每瓶均装满、总损耗最小的情况下，选择购买的大瓶装洗手液进行分装是否省钱？若能省钱，试求出它与直接购买甲、乙两种洗手液的差额；若不能省钱，请说明理由． 28．（23-24七年级下·福建厦门·期末）某快递公司为了提高工作效率，计划购买，两种型号的机器人来搬运货物．已知台型机器人和台型机器人每小时共搬运货物千克，台型机器人和台型机器人每小时共搬运货物千克．求每台型机器人和每台型机器人每小时分别搬运货物多少千克？ 29．（23-24七年级下·福建福州·期末）一种饮料有两种包装，5大盒、3小盒共装150瓶，2大盒、6小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 30．（23-24七年级下·福建厦门·期末）当季是西瓜成熟的季节，西瓜也具有解暑的作用，市场上西瓜的销量也与日俱增，某西瓜种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的西瓜，对总计1000斤的麒麟瓜、黑美人西瓜这两个品种的西瓜进行打包优惠出售，打包方式及售价如下：麒麟瓜每筐8斤，售价200元；黑美人西瓜每筐18斤，售价360元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤西瓜（筐数为整数且两种西瓜至少各有一筐）． (1)若这批西瓜全部售完，共收入21400元，请问麒麟瓜共包装了多少筐，黑美人西瓜共包装了多少筐； (2)当销售总收入为22840元时，若西瓜种植大户留下y（）筐麒麟瓜送人，其余的西瓜全部售出，求y的值． 31．（23-24七年级下·福建龙岩·期末）古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，某中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆，下面是许老师和小龙、小咏同学有关租车问题的对话：许老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．” 小龙：“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”． 小咏：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)参加此次活动的七年级师生共有__________人； (2)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (3)若同时租用两种或一种客车，要使七年级每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有几种租车方案？ 32．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，某工厂与A､B两地有公路､铁路相连，这家工厂从A地购买一批原料运回工厂，制成新产品再运到B地，公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路运价为1元/（吨·千米）． （1）若这两次运输共支出公路运费13200元，铁路运费49200元，问从A地购买多少吨原料，用购买的这些原料能制成多少吨新产品? （2）在（1）的条件下，原料费为每吨1000元，新产品售价每吨2000元，则该工厂这批产品全部售出后获得利润多少元?（利润一销售额-原料费-运输费） 33．（23-24七年级下·福建福州·期末）随着“618购物节”的到来，某工作室决定通过网络购物平台购进甲、乙两种商品奖励员工．经调查发现，购进5件甲种商品，4件乙种商品，需要1000元：购进2件甲种商品，1件乙种商品，需要310元． (1)求购进甲、乙两种商品每件各多少元？ (2)该工作室决定拿出3000元用来购买这两种商品，若两种商品都必须购买，问有几种购买方案？写出具体的购买方案． 一、单选题 1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知是二元一次方程的一个解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D．4 2．（23-24七年级下·福建·期末）对于方程组下列变形中错误的是（　　） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 3．（23-24七年级下·福建福州·期末）我国古典数学文献《增删算法统宗正六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙说得甲九只，两家之数相当．二人闲坐恼心肠，画地算了半晌．”，其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·福建厦门·期末）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若客人为人，银子为两，可列方程组（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·福建福州·期末）在解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（   ） A． B．由①变形得③，将③代入② C． D．由②变形得③，将③代入① 二、填空题 6．（23-24七年级下·福建福州·期末）将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为，则 ． 7．（23-24七年级下·福建泉州·期末）关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 8．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值是 ． 三、解答题 9．（23-24七年级下·福建厦门·期末）平面直角坐标系中，若点的坐标满足，则称点是原点的阶外围点． (1)已知点，是否存在，使得是原点的3阶外围点； (2)点在第二象限，且是原点的3阶外围点，将向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到点，若点也是原点的3阶外围点，求的坐标； (3)平面直角坐标系中，平移后得到，点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为．若的横坐标为，在轴上，，的面积为4．是否存在，使得点，均是原点的阶外围点．若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 10．（22-23七年级下·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中，点均在轴上，点在第一象限，直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解，直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解．    (1)求点的坐标时，小明是这样想的：先设点坐标为，因为B点在直线上，所以是方程的解；又因为点在直线上，所以也是方程的解，从而满足．据此可求出点坐标为________，再求出点坐标为________，点坐标为________（均直接写出结果）． (2)点在线段上，使，求点坐标； (3)点是坐标平面内的动点，若满足，求的取值范围． 11．（23-24七年级下·福建福州·期末）对a，b定义一种新运算T，规定：T（a，b）＝（a+2b）（ax+by）（其中x，y均为非零实数）．例如：T（1，1）＝3x+3y． （1）已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8，求x，y的值； （2）已知关于x，y的方程组，若a≥﹣2，求x+y的取值范围； （3）在（2）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A（x，y）落在坐标轴上，将线段OA沿x轴向右平移2个单位，得线段O′A′，坐标轴上有一点B满足三角形BOA′的面积为9，请直接写出点B的坐标． 12．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图（1），在中，，，分别是，，的对边，点从点出发，沿折线以每秒3个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．设点的运动时间为秒． (1)若，． ①求，的长； ②当时，若，求的值； (2)如图（2），当点运动到上，与交于点，若，，，求四边形的面积． 13．（24-25七年级上·福建三明·期末）【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和2个10克的砝码，如何称出乒乓球和纸杯的单个质量？ 【操作探究】下面是“实践小组”的探究过程： 准备物品：①15个大小相同的乒乓球（质量相同）②15个大小相同的纸杯（质量相同）． （1）探究过程： 天平左边 天平右边 天平状态 记录Ⅰ 8个乒乓球和1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡 记录Ⅱ 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 【解决问题】 通过上述两次探究过程，求乒乓球和纸杯的单个质量． 【拓展设计】 （2）“实践小组”继续探究，得到下表： 天平左边 天平右边 天平状态 记录Ⅲ 乒乓球个和一次性纸杯2个 一次性纸杯个和2个10克砝码 平衡 请你探究，的值． 14．（23-24七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，将关于x，y的二元一次方程组的解，所构成的坐标记为A点，将记为B点，与原点O构成． (1)，求三角形的面积的值； (2)将记为C点． ①当时，若，求k的值； ②当时，如果有成立，求k的值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二元一次方程组 题型概览 题型01根据二元一次方程组的定义求解 题型02参数问题 题型03解二元一次方程组 题型04根据实际问题列二元一次方程组 题型05二元一次方程组的应用 ( 题型01 ) 根据二元一次方程组的定义求解 1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知方程，下列变形正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了解二元一次方程，熟练掌握解二元一次方程组时，用一个未知数的代数式表示另一个未知数是解决问题的关键． 对于方程，用含的代数式表示，得，由此可对选项A，B进行判断；用含的代数式表示，得，由此可对选项C、D进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：对于方程，用含的代数式表示，得， 故选项A，B不正确，不符合题意； 对于方程，用含的代数式表示，得， 故选项C不正确，不符合题意；选项D正确，符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·福建漳州·期末）下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程．熟练掌握二元一次方程的定义是解决问题的关键．二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程． 根据二元一次方程的定义逐一判断，即得． 【详解】A．．是二元一次方程； B．．不是等式，不是二元一次方程； C．．只含一个未知数，不是二元一次方程； D．．项的次数是2次，不是1次，不是二元一次方程． 故选：A． 3．（23-24七年级下·福建福州·期末）将二元一次方程写成用含x的式子表示y的形式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程，利用等式的性质对方程进行变形，熟练掌握等式的性质是解答本题的关键． 将含有x的项移到等号右边即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·福建·期末）墨迹覆盖了二元一次方程“”的一部分，则覆盖的可能是（　　） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义进行求解即可：只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都为1的整式方程叫做二元一次方程． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴四个选项中，覆盖的可能是， 故选B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟知二元一次方程的定义是解题的关键． 5．（23-24七年级下·福建福州·期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】根据二元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟知含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数都是1的整式方程叫做二元一次方程是解题的关键． 6．（23-24七年级下·福建泉州·期末）若是关于的二元一次方程，则（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程，根据二元一次方程的定义，得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得． 故选C． ( 题型02 ) 参数问题 7．（23-24七年级下·福建厦门·期末）若是二元一次方程的解，则a的值为（    ） A．1 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把与的值代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 得， 解得： 故选：B． 8．（22-23七年级下·福建厦门·期末）已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值为（    ） A．−2 B．2 C．−1 D．1 【答案】D 【分析】将代入该二元一次方程组，解出m和n的值，再代入中求值即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程组的解， ∴，解得：， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解的定义，代数式求值．掌握二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解是解题关键． 9．（23-24七年级下·福建福州·期末）关于，的二元一次方程中的解满足，若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据得出，代入，得出，根据，则当，时，取得最大值，求值即可，得出代入是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当，时，取得最大值， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·福建厦门·期末）关于的方程组 (1)当时，求的值； (2)若方程组的解与满足条件，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组： （1）将代入原方程组，得到关于x和m的二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可； （2）两个方程相加可得，再将代入，即可求解． 【详解】（1）解：当时，由原方程组得， 变形得， 得：， 解得； （2）解： 得：， 将代入，得：， 解得． 11．（23-24七年级下·福建泉州·期末）关于，的方程组，其中常数． (1)直接写出的值（结果用含的代数式表示）； (2)无论取何值，试说明的值总是不变的． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查解二元一次方程组及二元一次方程组的解，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）将两个方程相加并整理即可； （2）结合（1）中所求解得，，然后相加计算即可． 【详解】（1）解：①②得：， 两边同除以3得：； （2）解：由（1）知③， ①③得：， 则， 把代入③得：， ， 即无论取何值，的值总是不变． ( 题型03 ) 解二元一次方程组 12．（23-24七年级下·福建泉州·期末）用代入消元法解方程组，将①代入②可得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，将①代入②中整理，即可得出答案． 【详解】解：将①代入②可得：， 整理得：， 故选：B． 13．（23-24七年级下·福建泉州·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解题关键．利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解： 把①代入②得，， 解得， 把代入①得，， ∴原方程组的解是． 14．（23-24七年级下·福建·期末）解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法． （1）根据二元一次方程组的代入法消元法即可求出答案； （2）根据二元一次方程组的加减消元法即可求出答案． 【详解】（1）解： 将①代入②得 解得： 把代入①得 ∴方程组的解为； （2）解： ①得③ ②③得 把代入①得 ∴方程组的解为． 15．（23-24七年级下·福建泉州·期末）解下列方程（组）： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组及一元一次方程． （1）利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：原方程去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：原方程组整理得， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为． 16．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，非负数的性质，根据非负数的性质得到方程组，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 17．（23-24七年级下·福建泉州·期末）关于、的方程组，则的值等于（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，观察方程组中未知数系数的特点是解题的关键． 即可得出的值． 【详解】解：， ，得， 故选：C． 18．（23-24七年级下·福建福州·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： ②①得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为； （2）整理得 ②①得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为； 19．（23-24七年级下·福建福州·期末）已知a，b满足方程组 则的值为 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求两个未知数的和或差时，有时可把两个方程直接相加或相减，而不必求出两个未知数的特殊值．观察方程组可得，只要把两个方程相加即可得到的值． 【详解】解： 得：，即， 故答案为：3． 20．（23-24七年级下·福建福州·期末）已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】首先把关于，的方程组整理为，再根据关于，的二元一次方程组解为，得出，解出即可． 【详解】解：方程组整理为， 关于，的二元一次方程组解为， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法，其中方程的转化是解题关键． ( 题型0 4 )根据实际问题列二元一次方程组 21．（23-24七年级下·福建泉州·期末）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛、问大、小器各容几何？”译文：今有大容器个，小容器个，总容量为斛（斛是古代容量单位）；大容器个，小容器个，总容量为斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出二元一次方程组是解题的关键．设大容器的容积为斛，小容器的容积为斛，根据“大容器个，小容器个，总容量为斛；大容器个，小容器个，总容量为斛”，即可得出关于、的二元一次方程组． 【详解】解：设大容器的容积为斛，小容器的容积为斛， 根据题意得：． 故选：A． 22．（23-24七年级下·福建福州·期末）将一个长方形的长减少，宽增加，就变成一个正方形．已知这两个图形的面积相等，求长方形的长和宽分别是多少，设原长方形的长为，宽为，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 设原长方形的长为，宽为，根据长方形的长减少，宽增加，就变成一个正方形，且这两个图形的面积相等，即可列方程组． 【详解】解：原长方形的长为，宽为， 则可列方程组为， 故选：A． 23．（23-24七年级下·福建福州·期末）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，根据题意列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺可知：绳子比木条长4.5尺得：；绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知：绳子对折后比木条短1尺得：；组成方程组即可．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，列方程组时要抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系；因为此类题要列二元一次方程组，因此要注意两句话；同时本题要注意绳子对折，即取绳子的二分之一． 【详解】解：∵用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺可知：绳子比木条长4.5尺 ∴； ∵绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知：绳子对折后比木条短1尺， ∴ 即． 故选：C． 24．（23-24七年级下·福建福州·期末）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，根据题意列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，根据题意得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意，列出二元一次方程组是解题的关键． 25．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，甲和乙的杯子中均装有一定量的水，以下是他们的对话： 甲说：“如果把你杯子中的水的一半倒入我的杯中，我的杯子就装满了．” 乙说：“如果把你杯子中水的倒入我的杯中我的杯子也装满了．” 问：甲和乙的杯子中各装有多少水？ 设甲和乙的杯子中分别装水，，可列方程组为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设甲和乙的杯子中分别装水，，根据甲杯子中水加乙杯子中水的一半等于，乙杯子中的水加甲杯子中水的等于列出方程组即可． 【详解】解：设甲和乙的杯子中分别装水，，根据题意得： ，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组，解题的关键是根据两个杯子的对话找出题目中的等量关系式． ( 题型0 5 )二元一次方程组的应用 26．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，可列出不同的方程组为 ． 【答案】，， 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据图形找到等量关系.分三种情况找到等量关系，再列出二元一次方程组即可. 【详解】解：设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，就从右边长方形的宽60入手，找到相对应的两个等量关系：4×小长方形的宽＝60；一个小长方形的长＋一个小长方形的宽＝60.可得方程组； 设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，找到相对应的两个等量关系：根据2个小长方形的长等于1个小长方形的长加上3个小长方形的宽，一个小长方形的长＋一个小长方形的宽，可得方程组； 设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，找到相对应的两个等量关系：根据1个小长方形的长等于3个小长方形的宽，4个小长方形的宽，可得方程组； 故答案为：，， 27．（23-24七年级下·福建泉州·期末）根据以下素材，尝试解决问题： 购买洗手液 素材一 某卫生院实践“改善就医环境，提高服务质量”，在公共场所配置洗手液；计划第一批花5000元，用于采购规格分别为和的甲、乙两种洗手液． 素材二 购买甲、乙两种洗手液的情况：购买2瓶甲和1瓶乙洗手液需要55元，购买3瓶甲和4瓶乙洗手液需要145元． 素材三 该卫生院第二批计划采购时，想采用购买大瓶洗手液进行分装．已知购买9.6L的大瓶装洗手液，每瓶350元，免费赠送规格为、的空瓶，但赠送的空瓶总容积不超过． 解决问题 任务一 计算单价 甲、乙两种规格洗手液的单价各为多少元？ 任务二 确定使用天数 若该卫生院的公共场所平均每天约有1000人使用洗手液，每人每天使用洗手液的量为；试求出该院第一批采购的洗手液使用的天数； 任务三 选择采购方案 已知分装洗手液时，每装小瓶平均需损耗；在分装时每瓶均装满、总损耗最小的情况下，选择购买的大瓶装洗手液进行分装是否省钱？若能省钱，试求出它与直接购买甲、乙两种洗手液的差额；若不能省钱，请说明理由． 【答案】任务一：甲种洗手液的单价为15元，乙种洗手液的单价为25元；任务二：这批洗手液可使用20天；任务三：选择购买的大瓶装洗手液能省钱，能省钱110元 【分析】本题考查二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，任务一：设甲种洗手液的单价为x元，乙种洗手液的单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； 任务二：设购进甲种洗手液a瓶，乙种洗手液b瓶，列二元一次方程，再整体代入求解即可； 任务三：设分装洗手液m瓶，洗手液n瓶，根据题意列二元一次方程，由m，n均为正整数，确定方程的解，进而求解即可． 【详解】解：任务一：设甲种洗手液的单价为x元，乙种洗手液的单价为y元， 依题意，得： 解得，， 答：甲种洗手液的单价为15元，乙种洗手液的单价为25元． 任务二：设购进甲种洗手液a瓶，乙种洗手液b瓶， 依题意，得：， ∴， 答：这批洗手液可使用20天． 任务三：设分装洗手液m瓶，洗手液n瓶， 依题意，得：， ∴． ∵m，n均为正整数， ∴或， ∵， ∴当时，每瓶均装满、总损耗最小， 购买4瓶甲和16瓶乙洗手液：， ∴， 答：选择购买的大瓶装洗手液能省钱，能省钱110元． 28．（23-24七年级下·福建厦门·期末）某快递公司为了提高工作效率，计划购买，两种型号的机器人来搬运货物．已知台型机器人和台型机器人每小时共搬运货物千克，台型机器人和台型机器人每小时共搬运货物千克．求每台型机器人和每台型机器人每小时分别搬运货物多少千克？ 【答案】型机器人每小时搬运千克，型机器人每小时搬运千克． 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据题意列出二元一次方程组并求解． 设每台型机器人每小时搬运千克，每台型机器人每小时搬运千克，根据题意列出二元一次方程组后求解即可． 【详解】解：设每台型机器人每小时搬运千克，每台型机器人每小时搬运千克． 依题得， 解得． 答：型机器人每小时搬运千克，型机器人每小时搬运千克． 29．（23-24七年级下·福建福州·期末）一种饮料有两种包装，5大盒、3小盒共装150瓶，2大盒、6小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“5大盒、3小盒共装150瓶，2大盒、6小盒共装100瓶”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 30．（23-24七年级下·福建厦门·期末）当季是西瓜成熟的季节，西瓜也具有解暑的作用，市场上西瓜的销量也与日俱增，某西瓜种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的西瓜，对总计1000斤的麒麟瓜、黑美人西瓜这两个品种的西瓜进行打包优惠出售，打包方式及售价如下：麒麟瓜每筐8斤，售价200元；黑美人西瓜每筐18斤，售价360元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤西瓜（筐数为整数且两种西瓜至少各有一筐）． (1)若这批西瓜全部售完，共收入21400元，请问麒麟瓜共包装了多少筐，黑美人西瓜共包装了多少筐； (2)当销售总收入为22840元时，若西瓜种植大户留下y（）筐麒麟瓜送人，其余的西瓜全部售出，求y的值． 【答案】(1)麒麟瓜共包装了35筐，黑美人西瓜共包装了40筐 (2)9 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用： （1）设麒麟瓜共包装了m筐，黑美人西瓜共包装了n筐，根据“用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤西瓜，且全部售出后共收入21400元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设麒麟瓜共包装了x筐，则黑美人西瓜共包装了筐，利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y，均为正整数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设麒麟瓜共包装了m筐，黑美人西瓜共包装了n筐， 根据题意得：， 解得：． 答：麒麟瓜共包装了35筐，黑美人西瓜共包装了40筐； （2）设麒麟瓜共包装了x筐，则黑美人西瓜共包装了筐， 根据题意得：， ∴． 又∵x，y，均为正整数， ∴． 答：y的值为9． 31．（23-24七年级下·福建龙岩·期末）古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，某中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆，下面是许老师和小龙、小咏同学有关租车问题的对话：许老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．” 小龙：“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”． 小咏：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)参加此次活动的七年级师生共有__________人； (2)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (3)若同时租用两种或一种客车，要使七年级每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有几种租车方案？ 【答案】(1)420 (2)客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元 (3)共有3种租车方案 【分析】本题主要考查了列一元一次方程、二元一次方程或方程组解决实际问题，以及最优方案的问题，找到等量关系式正确列方程是解题的关键． （1）根据“如果我们七年级租正确用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值，再将其代入中，即可求出结论； （2）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，根据“60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元，租用4辆60座和2辆45座的客车，一天的租金共计5100元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设租用60座客车m辆，45座客车n辆，根据“租用的客车要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满”，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为自然数，可得出各租车方案，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴， ∴参加此次活动的七年级师生共有人； （2）解：设客运公司座客车每辆每天的租金是元，座客车每辆每天的租金是元， 根据题意得：， 解得：， 答：客运公司座客车每辆每天的租金是元，座客车每辆每天的租金是元； （3）解：设租用座客车辆，座客车辆， 根据题意得：， ∴． 又∵，均为自然数， ∴或或， ∴共有种租车方案． 32．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，某工厂与A､B两地有公路､铁路相连，这家工厂从A地购买一批原料运回工厂，制成新产品再运到B地，公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路运价为1元/（吨·千米）． （1）若这两次运输共支出公路运费13200元，铁路运费49200元，问从A地购买多少吨原料，用购买的这些原料能制成多少吨新产品? （2）在（1）的条件下，原料费为每吨1000元，新产品售价每吨2000元，则该工厂这批产品全部售出后获得利润多少元?（利润一销售额-原料费-运输费） 【答案】（1）购买的原料重量为200吨，制成的产品重量为160吨；（2）57600元 【分析】（1）设该工厂从A地购买了x吨原料，运往B地的产品为y吨，根据等量关系：①两次运输共支出公路运费13200元；②铁路运输49200元列方程组求解即可； （2）利用利润=销售额-原料费-运输费即可求解． 【详解】解：（1）设该工厂从A地购买了x吨原料，运往B地的产品为y吨． 根据题意，得 由题意得，， 解得：． 答：该工厂购买的原料重量为200吨，制成的产品重量为160吨； （2）利润=2000×160-1000×200-13200-49200=57600（元）． 答：该工厂此次经营的利润为57600元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．题中的数量关系比较复杂，借助图形把各个数量之间的关系弄清是解题的关键． 33．（23-24七年级下·福建福州·期末）随着“618购物节”的到来，某工作室决定通过网络购物平台购进甲、乙两种商品奖励员工．经调查发现，购进5件甲种商品，4件乙种商品，需要1000元：购进2件甲种商品，1件乙种商品，需要310元． (1)求购进甲、乙两种商品每件各多少元？ (2)该工作室决定拿出3000元用来购买这两种商品，若两种商品都必须购买，问有几种购买方案？写出具体的购买方案． 【答案】(1)每件甲种商品80元，每件乙种商品150元 (2)有两种够买方案：方案一：够买甲种商品15件，乙种商品12件；方案二：够买甲种商品30件，乙种商品4件 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程组解答． （1）设每件甲种商品x元，每件乙种商品y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）够买甲种商品a件，乙种商品b件，根据题意推出，根据a为正整数，求出符合条件的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每件甲种商品x元，每件乙种商品y元， ， 解得：， 答：每件甲种商品80元，每件乙种商品150元． （2）解：设够买甲种商品a件，乙种商品b件， ， 整理得：， ∵a为正整数， ∴或， ∴有两种够买方案：方案一：够买甲种商品15件，乙种商品12件；方案二：够买甲种商品30件，乙种商品4件． 一、单选题 1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知是二元一次方程的一个解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解是解题的关键． 根据方程的解的定义把代入二元一次方程中，再解关于a的方程，即可求出a的值． 【详解】解：代入二元一次方程，得 ， 解得：， 故选：C． 2．（23-24七年级下·福建·期末）对于方程组下列变形中错误的是（　　） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组步骤，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．将两个方程变形后进行判断即可． 【详解】解：由①得：或， 则A，B均不符合题意； 由②得：或， 则C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级下·福建福州·期末）我国古典数学文献《增删算法统宗正六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙说得甲九只，两家之数相当．二人闲坐恼心肠，画地算了半晌．”，其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意正确的列方程组是解题的关键．由乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍，可得；由如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，可得，进而可列方程组． 【详解】解：∵如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍， ∴； ∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同， ∴． ∴根据题意可列方程组． 故选：D． 4．（23-24七年级下·福建厦门·期末）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若客人为人，银子为两，可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列二元一次方程组，设客人为x人，银子为y两，根据每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：设客人为x人，银子为y两， 根据题意得， 故选：A． 5．（23-24七年级下·福建福州·期末）在解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（   ） A． B．由①变形得③，将③代入② C． D．由②变形得③，将③代入① 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键．利用加减消元法和代入消元法，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：．，可以消去，故不符合题意； ．由①变形得③，将③代入②，可以消去，故不符合题意； ．，无法消元，故符合题意； ．由②变形得③，将③代入①，可以消去，故不符合题意； 故选：． 二、填空题 6．（23-24七年级下·福建福州·期末）将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，首先设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为，然后根据图1、2列出关于a、b的方程组即可求解． 【详解】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为， 根据图1得：， 根据图2得：， 联立解得， ∴， 则． 故答案为：12． 7．（23-24七年级下·福建泉州·期末）关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解、解二元一次方程，观察两个方程组的结构特征得出，从而求出方程组的解． 【详解】解：根据题意得， 解得， 即方程组的解为， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】将代入二元一次方程得，然后将分解因式，利用整体代入法即可求解． 本题考查了二元一次方程的解，以及用整体代入法求代数式的值．熟练掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】∵是二元一次方程的一个解， ∴， ∴． 故答案为： 三、解答题 9．（23-24七年级下·福建厦门·期末）平面直角坐标系中，若点的坐标满足，则称点是原点的阶外围点． (1)已知点，是否存在，使得是原点的3阶外围点； (2)点在第二象限，且是原点的3阶外围点，将向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到点，若点也是原点的3阶外围点，求的坐标； (3)平面直角坐标系中，平移后得到，点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为．若的横坐标为，在轴上，，的面积为4．是否存在，使得点，均是原点的阶外围点．若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，使得是原点的3阶外围点； (2) (3)存在， 【分析】（1）根据题意结合点是原点的3阶外围点，建立绝对值方程求解验证即可； （2）根据题意，得到，结合点是原点的3阶外围点，得到，由平移法则得到，结合点也是原点的3阶外围点，得到，求解即可； （3）根据点的对应点为，点的横坐标为，点的对应点为．在轴上，得到平移到的平移方式，推出点，点的横坐标相等，结合，即可得到， ，根据的面积为4，求出m的值，再根据得点，均是原点的阶外围点即可解得． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， ， 等式不成立， ， 不存在，使得是原点的3阶外围点； （2）解：点在第二象限， ， 点是原点的3阶外围点， ， 将向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到点， 则， 点也是原点的3阶外围点， ， 当时，则，即， ； 解得：（舍去，不符合题意）； 当时，则，即， 与相矛盾，不符合题意； 当时，则，即， 与相矛盾，不符合题意； 当时，则，即， ； 解得：； ； （3）解：点的对应点为，点的横坐标为，点的对应点为，点在轴上， ， ， ， 点，点的横坐标相等， ， ，， ， ， 的面积为4，且点B点F都在x轴上， ， 即， 或（舍去）， ，， 点，均是原点的阶外围点， ，即， 存在，使得点，均是原点的阶外围点． 【点睛】本题考查了坐标与图形，绝对值方程，平移法则，二元一次方程组的应用，熟练运用分类讨论的思想及平移法则是解题的关键． 10．（22-23七年级下·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中，点均在轴上，点在第一象限，直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解，直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解．    (1)求点的坐标时，小明是这样想的：先设点坐标为，因为B点在直线上，所以是方程的解；又因为点在直线上，所以也是方程的解，从而满足．据此可求出点坐标为________，再求出点坐标为________，点坐标为________（均直接写出结果）． (2)点在线段上，使，求点坐标； (3)点是坐标平面内的动点，若满足，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3)，且 【分析】（1）解方程组可以求出点的坐标，再令，解方程即可求出的坐标； （2）先求出，再由可得，由可得，代入，进行求解即可； （3）设直线与直线交于点，过点作于点，交直线于点，由可得，得出，令，得出，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：满足， 解得：， ， 点在轴上，又在直线上， 令时，， ， ， 同理，令， ， ， 故答案为：，，； （2）解：∵，，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入得， ， ∴， ∴； （3）解：设直线与直线交于点，过点作于点，交直线于点，   ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 令， ∵，，， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∵， ∴，且． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了二元一次方程组的解法，坐标与图形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键． 11．（23-24七年级下·福建福州·期末）对a，b定义一种新运算T，规定：T（a，b）＝（a+2b）（ax+by）（其中x，y均为非零实数）．例如：T（1，1）＝3x+3y． （1）已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8，求x，y的值； （2）已知关于x，y的方程组，若a≥﹣2，求x+y的取值范围； （3）在（2）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A（x，y）落在坐标轴上，将线段OA沿x轴向右平移2个单位，得线段O′A′，坐标轴上有一点B满足三角形BOA′的面积为9，请直接写出点B的坐标． 【答案】（1）x=1，y=1；（2）；（3）或或或或或 【分析】（1）根据新运算定义建立方程组，解方程组即可得出答案； （2）应用新运算定义建立方程组，解关于、的方程组可得，进而得出，再运用不等式性质即可得出答案； （3）根据题意得，由平移可得，根据点落在坐标轴上，且，分类讨论即可． 【详解】解：（1）根据新运算的定义可得： ， 解得：； （2）由题意得：， 解得：， ， ， ， ， ； （3）由（2）知，， ， 将线段沿轴向右平移2个单位，得线段， ， 点落在坐标轴上，且， 或， 或； ①当时，， 若点在轴上，， ， 或； 若点在轴上，， ， 或； ②当时，； 点只能在轴上，， ， 或； 综上所述，点的坐标为或或或或或． 【点睛】本题考查了新运算定义，解二元一次方程组，不等式性质，平移变换的性质，理解并应用新运算定义是解题关键． 12．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图（1），在中，，，分别是，，的对边，点从点出发，沿折线以每秒3个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．设点的运动时间为秒． (1)若，． ①求，的长； ②当时，若，求的值； (2)如图（2），当点运动到上，与交于点，若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)①，；②或或 (2) 【分析】（1）①根据绝对值和平方的非负性可得，由此可得，的值； ②由①可知，，根据题意分两种情况讨论如下：（ⅰ）点在上运动时，即时，点在上运动，则，，由，进而可得的值；（ⅱ）当点在上运动时，即 时，在上运动，则，，进而得，由，进而可得的值；综上所述即可得出答案； （2）连结，根据，得，，，，设，，，，则，，，，再根据得， ，据此得，由此解出，的值即可得出四边形的面积． 【详解】（1）解：① 又， 解得： ，； ②由（1）可知， ，点从点出发，沿折线以每秒3个单位的速度向终点运动， 有以下两种情况： （ⅰ）点在上运动时，即时，点在上运动，如图（1）①所示： 依题意得：，， ，故不合题意，舍去， ． （ⅱ）当点在上运动时，即 时，点在上运动，如图（1）②所示： 依题意得：，， 或 综上所述：当或或时，； （2）解：连结，如图（2）所示： ， ，，， ， 设，，， ， ， ， ， 解得： 故四边形的面积为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，绝对值的非负性，绝对值方程，三角形等高面积比等于底之比，根据题意表示出三角形的底和高，利用三角形面积公式列出方程是解题的关键． 13．（24-25七年级上·福建三明·期末）【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和2个10克的砝码，如何称出乒乓球和纸杯的单个质量？ 【操作探究】下面是“实践小组”的探究过程： 准备物品：①15个大小相同的乒乓球（质量相同）②15个大小相同的纸杯（质量相同）． （1）探究过程： 天平左边 天平右边 天平状态 记录Ⅰ 8个乒乓球和1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡 记录Ⅱ 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 【解决问题】 通过上述两次探究过程，求乒乓球和纸杯的单个质量． 【拓展设计】 （2）“实践小组”继续探究，得到下表： 天平左边 天平右边 天平状态 记录Ⅲ 乒乓球个和一次性纸杯2个 一次性纸杯个和2个10克砝码 平衡 请你探究，的值． 【答案】[解决问题]：乒乓球和纸杯的单个质量分别为4克和3克；[拓展设计]：①当时，；②当时，；③当时，． 【分析】本题主要考查一元一次方程和二元一次方程的整数解， [解决问题]设每个乒乓球的质量是克，根据题意列出方程求解即可； [拓展设计]根据题意可知，化简得，找到满足条件得解即可． 【详解】解：[解决问题]： 设每个乒乓球的质量是克，则 依题意得：，解得：， 或 答：乒乓球和纸杯的单个质量分别为4克和3克． [拓展设计] ①当时， ②当时， ③当时，． 14．（23-24七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，将关于x，y的二元一次方程组的解，所构成的坐标记为A点，将记为B点，与原点O构成． (1)，求三角形的面积的值； (2)将记为C点． ①当时，若，求k的值； ②当时，如果有成立，求k的值． 【答案】(1)3 (2)①；② 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征，三角形的面积等，掌握三角形面积的求解是解题的关键． （1）当时，，得出，，从而得出； （2）①，，得出，求出； ②由于，，求出． 【详解】（1）（1）当时，， ， ， ； （2）解：∵， ， ，， ①， ， ， ， ， ， ②， ， ， ， 或（舍）． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$