专题05 不等式与不等式组 （8大考点经典基础练+优选提升练）（福建专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编

专题05 不等式与不等式组 题型概览 题型01利用不等式的性质解题 题型02求一元一次不等式的解集 题型03求一元一次不等式的整数解 题型04一元一次不等式的实际应用 题型05求不等式组的解集 题型06求一元一次不等式组的整数解 题型07一元一次不等式组的含参数问题 题型08一元一次不等式组的应用 ( 题型01 ) 利用不等式的性质解题 1．（23-24七年级下·福建厦门·期末）若，则下列各式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·福建福州·期末）若，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知，．若，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知实数，满足，当取最大值时，则的值是 ． 5．（23-24七年级下·福建厦门·期末）若成立，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·福建福州·期末）若，则下列不等式变形错误的是（   ） A． B． C． D． ( 题型02 ) 求一元一次不等式的解集 7．（23-24七年级下·福建泉州·期末）规定一种运算：，其中，为常数，若，则不等式的解集为 ． 8．（23-24七年级下·福建泉州·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·福建泉州·期末）解不等式 ，去分母正确的变形是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·福建福州·期末）已知不是关于x的不等式的解，则a的取值范围 ． 11．（23-24七年级下·福建厦门·期末）已知关于，的方程组 (1)当时，求的值； (2)若，求的取值范围． 12．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知关于的二元一次方程组 (1)若该方程组的解满足，试求的取值范围； (2)若代数式的值与的取值无关，求的值． ( 题型03 ) 求一元一次不等式的整数解 13．（23-24七年级下·福建泉州·期末）使不等式成立的a值中，最大的整数是（   ） A． B． C． D． 14．（23-24七年级下·福建·期末）不等式 的最大整数解是 ． 15．（23-24七年级下·福建·期末）不等式的最小整数解是 ． 16．（23-24七年级下·福建泉州·期末）阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． ( 题型0 4 )一元一次不等式的实际应用 17．（23-24七年级下·福建福州·期末）小王大学毕业后自主创业，用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元，其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元． (1)小王购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)小王第二次以原进价购进甲、乙两种商品．购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8400元，乙种商品最低售价为每件多少元？ 18．（23-24七年级下·福建福州·期末）某商场在世博会上购置，两种玩具，其中2个玩具与3个玩具的价格相同，且购置3个玩具与2个玩具共花费325元． (1)求，玩具的单价； (2)若该商场要求购置玩具的数量是玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个玩具？ 19．（23-24七年级下·福建厦门·期末）无人机广泛应用于多种领域，不仅在军事领域发挥了重要作用，而且在民用领域也展现出强大的实力．在农业方面，植保无人机可以帮助进行精准施肥和喷洒农药，提高农业生产效率．某生态农业公司共有4架A型植保无人机和8架B型植保无人机，这两种型号的植保无人机在满电状态下可持续作业15分钟．1架A型植保无人机和2架B型植保无人机15分钟可完成70亩地的农药喷洒作业；3架A型植保无人机和1架B型植保无人机15分钟可完成85亩地的农药喷洒作业． (1)1架A型和1架B型植保无人机工作15分钟分别可完成多少亩地的农药喷洒作业？ (2)为抢抓晴好天气开展小麦病虫害防治作业，该农业公司打算再购进这两种型号的植保无人机共6架，且每种无人机至少购买1架．若要用1小时45分钟完成1660亩地的农药喷洒作业（无人机在第一轮作业前处于满电状态，每轮作业结束后将无人机收回至无人机充满电需15分钟，充电与作业不能同时进行），有哪几种购买方案？ 20．（23-24七年级下·福建·期末）为直观感受厦门的美，许多游客都会购买“厦门海上游”船票．船票分为成人票和儿童票两种，一张船票外加30元还能获得一件纪念T恤．若只买船票，2个大人3个孩子需360元，4个大人5个孩子需660元． (1)求成人票和儿童票的票价； (2)现有10个大人5个孩子参加“厦门海上游”，有一部分人购买了纪念T恤．若总费用不超过1600元，则最多有多少人购买了纪念T恤？ (3)为了丰富孩子的暑期生活，家长们自发组织了一次“厦门海上游”．其中没购买纪念T恤的孩子的数量占总人数的一半．所有船票连同购买纪念T恤的费用共计2010元，求有多少个大人购买纪念T恤． 21．（23-24七年级下·福建厦门·期末）某家具厂接到一笔2160套组合餐桌订单，一套该款组合餐桌有1张餐桌和6把餐椅，需要在15天内完成该笔订单的生产．目前，该家具厂的组合餐桌生产车间有100名工人，每个工人每天能制作6张餐桌或9把餐椅，该家具厂计划让一部分工人专门制作餐桌，剩下的工人专门制作餐椅． (1)若每天有20名工人制作餐桌，则每天生产餐桌和餐椅的数量能否恰好配套？请说明理由； (2)若使用（1）中的方案安排工人制作餐桌和餐椅，能否如期完成该笔订单？若能请说明理由．若不能，家具厂还可从其他车间调用工人参与该款组合餐桌的生产，新调入的工人由于操作不熟练，只会制作餐椅，并且每人每天只能制作6把，则至少需要调用多少人？ ( 题型0 5 )求不等式组的解集 22．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知关于x、y的方程组（为常数）： (1)求这个方程组的解； (2)如果原方程组的解x和y都大于0，试求n取值范围． 23．（23-24七年级下·福建厦门·期末）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 24．（23-24七年级下·福建泉州·期末）解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． 25．（23-24七年级下·福建泉州·期末）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． ( 题型0 6 )求一元一次不等式组的整数解 26．（23-24七年级下·福建龙岩·期末）解不等式组，并写出它的正整数解． 27．（23-24七年级下·福建厦门·期末）解不等式组，并写出该不等式组的最大整数解． 28．（23-24七年级下·福建福州·期末）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出所有的负整数解． 29．（23-24七年级下·福建·期末）（1）解方程组：． （2）解不等式组：，并整理出它的负整数解． ( 题型0 7 )一元一次不等式组的含参数问题 30．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是 ． 31．（23-24七年级下·福建泉州·期末）关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 32．（23-24七年级下·福建福州·期末）若关于的不等式组的解集是，则的值为 ． 33．（23-24七年级下·福建福州·期末）对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a，b均不为零），已知，若关于m的不等式组恰好有3个整数解，则n的取值范围 ． 34．（22-23七年级下·福建厦门·期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“容纳”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．例如：不等式被不等式“容纳”； (1)下列不等式（组）中，能被不等式“容纳”的是（    ） A．　B．　C．　D． (2)若关于的不等式被“容纳”，求的取值范围． (3)若能被关于的不等式“容纳”，直接写出一个符合条件的无理数． 35．（22-23七年级下·福建福州·期末）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“有缘方程”，如：方程就是不等式组的“有缘方程”． (1)方程①，②是不等式组的有缘方程的是__________（填序号①，②） (2)若关于x方程（k为整数）是不等式组的一个有缘方程，求整数k的值； (3)若方程，都是关于x的不等式组的有缘方程且不等式组的整数解有3个，求m的取值范围． ( 题型0 8 )一元一次不等式组的应用 36．（23-24七年级下·福建泉州·期末）“今生簪花，来世漂亮”，福建省泉州市蟳埔村簪花园今年“火出圈”．小强在五一节期间，随爸爸妈妈一起前往蟳埔村，簪花、观景、休闲、品美食，体验蟑埔文化．在游玩间隙，热爱数学的小强发现许多有趣的数学问题，让我们与小强一起探究如下的数学问题． 小强陪妈妈去簪花店去簪花，簪花店老板林阿姨介绍说，簪花分为簪生花和簪熟花两种类型．妈妈想体验簪生花，挑选了颜色鲜艳的朵玫瑰花和朵石榴花，林阿姨只收取妈妈元，林阿姨又告诉小强每朵石榴花的价格比每朵玫瑰花的价格少元． (1)求石榴花与玫瑰花单价分别是多少元？ (2)小强爸爸发现簪花时如果玫瑰花多一些，整个头型更好看些，建议妈妈下次来簪花时，玫瑰花的数量比石榴花要多朵，但是两种花的数量不少于朵，小强爸爸告诉林阿姨总费用不得高于元．请你与小强一道帮帮林阿姨设计一下簪花方案． 37．（23-24七年级下·福建泉州·期末）某纪念品商店售卖奥运会吉祥物“弗里吉”，当天提供120个很快就被抢购一空，该店决定让未购买到的顾客通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m个（m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第x天（，且x为正整数）供应量与需求量的关系如下表，其中供应量满足：（单位：个）．需求量满足：（单位：个）．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天需求量不包括前一天的预约数） 第x天 1 2 … 6 … 11 … 15 供应量（个） 120 … … … 需求量（个） 220 229 … 245 … 220 … 164 (1)求前3天的总供应量（用含m的式子表示） (2)若第9天有需求的顾客需要预约才能全部购买．但从第10天开始，不需预约就能全部购买 ①求m的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136个） ②当m取最小值时，若每个“弗里吉”售价为50元，求第5天与第12天的销售额． 38．（23-24七年级下·福建泉州·期末）为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲，乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需4.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需5万元． (1)求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少钱？ (2)若该粮食生产基地计划购进甲，乙两农机具共20件．且投入资金不少于22.8万元又不超过25万元，设购进甲种农机具m件，求该基地投入总资金的最小值． 39．（23-24七年级下·福建泉州·期末）后垵柿果和龙涓大饼是安溪著名的传统土特产，深受广大消费者喜爱．已知2箱柿果和3箱大饼进货价310元，3箱柿果和4箱大饼进货价为440元． (1)求每箱柿果、大饼的进价各多少元？ (2)某特产店计划用不超过6860元购进柿果、大饼共100箱，且柿果的数量不低于大饼数量的，该特产店有哪几种进货方案？ 40．（23-24七年级下·福建·期末）为改善农村生活卫生条件，紧密结合爱国卫生“7个专项行动”．某村委会积极推进“厕所革命”，计划为625户居民修建甲、乙两种型号的三级污水处理厕所共30个，三级污水处理厕所的型号、修建费用、可供使用的户数如下表： 三级污水处理厕所 修建费用（万元/个） 可供使用户数（户/个） 甲型 3 25 乙型 2 20 设修建甲种型号的三级污水处理厕所x个，根据要求解答下列问题： (1)用含x的式子填写下表： 三级污水处理厕所 修建数（个） 修建费用（万元） 可供使用户数（户） 甲型 x 3x 25x 乙型 30﹣x 　   　 　   　 (2)如果政府批给该村委会修建甲型三级污水处理厕所不超过7个，求出满足要求的所有修建方案． (3)在（2）的所有方案中，哪种方案最省钱？如果政府出资修建费52.5万元，剩余部分由各户筹集，每户居民平均应筹集多少钱？ 一、填空题 1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）数轴上，点分别表示数，，且点在点的左侧．则的取值范围为 ． 2．（23-24七年级下·福建·期末）已知关于的方程组满足，若，则的取值范围是 ． 3．（23-24七年级下·福建龙岩·期末）在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过的最大整数．如，，，则下列结论： （1）；（2）若，则的取值范围是； （3）当时，的值为1或2； （4）若规定：（为正整数）．例．则，其中正确的结论有 （填写序号）． 4．（23-24七年级下·福建福州·期末）已知关于、的方程组，其中，有下列说法：①当时；②是原方程组的解；③无论为何值时，；④若设，则；以上说法正确的是 ． 5．（23-24七年级下·福建厦门·期末）已知实数，，，满足，若关于的不等式的解集为，则关于关于的不等式的解集是 ． 二、解答题 6．（23-24七年级下·福建泉州·期末）我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则为． 例如：． (1)填空：若，则__________； (2)若，是否存在一组和的值与的取值无关？若存在，求这组与的值；若不存在，请说明理由． (3)已知满足，的最小整数值为3，求的取值范围，并写出整数的所有可能值． 7．（23-24七年级下·福建泉州·期末）受核污水排放带来的负面影响．小聪决定购置80只相同规格的网箱，从海水养殖转移到水库淡水养殖，养殖不能在同一网箱混养的A、B两种淡水鱼．他在水面租赁、购置网箱等基础建设方面投入12000元，并准备了不超过72000元，但不少于70000元的总投资资金用于该项目．据了解每只网箱养殖A、B两种淡水鱼所需投入及产出情况如表： 鱼苗投资（元） 饲料支出（元） 收获成品鱼（千克） 成品鱼售价（元/千克） A种鱼 200 300 100 10 B种鱼 400 500 55 40 (1)设小聪用x只网箱养殖A种淡水鱼，请求出x的取值范围； (2)养殖鱼销售时，小聪发现成品鱼价格发生变动，A种鱼的售价上涨，B种鱼的售价下降，实际获得的利润是56800元，试求a的值．（注：利润收入支出，其中收入指成品鱼收益，支出指基础建设投入、鱼苗投资及饲料支出） 8．（23-24七年级下·福建·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足． (1)求k的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请写出符合条件的k的整数值． 9．（24-25七年级上·福建厦门·期末）综合与实践 问题情景：周末小王和数学兴趣小组的同学利用周末到某纸箱厂乡加社会实践，该厂的厂长让他们用200张白板纸（如图1）制作某种型号的长方体纸箱． 制作方式：在参观的时候他们发现有以下3种剪裁方法都可以制作纸箱． 第①种裁法：裁成2个侧面与4个底面； 第②种裁法：裁成4个侧面； 第③种裁法：裁成3个侧面与2个底面． 动手操作：小王和数学兴趣小组的同学分成3个小组用三种不同的剪裁方法剪裁白板纸．已知四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱． 问题解决：设按第①种方法剪裁的白板纸有a张，按第②种方法剪裁的白板纸有b张． (1)按第③种方法剪裁的白板纸有 张．（用含a，b的式子表示） (2)将200张白板纸剪裁完后，一共可以裁出多少个侧面与多少个底面？（用含a，b的式子表示，结果要化简） (3)当，时，将200张白板纸剪裁完后，最多制作多少个纸箱？ (4)当a，b满足什么样的条件时，这200张白板纸剪裁完后，能够制作的纸箱数量最多？最多能制造多少个纸箱？ 10．（22-23七年级下·福建厦门·期末）已知在方程组中，、均为正数． (1)求出、的值（用含代数式表示）； (2)求出的取值范围； (3)当为何正整数时，求：的最大值？ 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 不等式与不等式组 题型概览 题型01利用不等式的性质解题 题型02求一元一次不等式的解集 题型03求一元一次不等式的整数解 题型04一元一次不等式的实际应用 题型05求不等式组的解集 题型06求一元一次不等式组的整数解 题型07一元一次不等式组的含参数问题 题型08一元一次不等式组的应用 ( 题型01 ) 利用不等式的性质解题 1．（23-24七年级下·福建厦门·期末）若，则下列各式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质“①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”进行判断即可． 本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A. ∵，而， ，故A选项错误； B. ， ，故B选项正确； C. ，， ，故C选项错误； D. ， ，故D选项错误． 故选：B． 2．（23-24七年级下·福建福州·期末）若，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式性质是解题的关键． 直接利用不等式的性质逐项判定即可． 【详解】解：A、∵，∴，∴，故此选项不符合题意； B、∵，∴，∴，故此选项不符合题意； C、∵，∴，∴，故此选项符合题意； D、∵，∴，∴，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知，．若，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，由，可推出，，即可得到答案． 【详解】解： ， ， 故选：B． 4．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知实数，满足，当取最大值时，则的值是 ． 【答案】7 【分析】此题主要考查不等式组的应用与求解，解二元一次方程组，设，解二元一次方程组可求出m，n，故可求出有最大值时，a，b的值，代入故可求解． 【详解】解：设 则，解得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的最大值为1， 此时，解得： ∴ 故答案为：7． 5．（23-24七年级下·福建厦门·期末）若成立，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴A、B、C错误，故不符合要求；D正确，故符合要求； 故选：D． 6．（23-24七年级下·福建福州·期末）若，则下列不等式变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，根据“不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，逐项判断即可，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、不等式左右同加上，正确，不符合题意； B、不等式左右同除以，正确，不符合题意； C、不等式左右同减去，正确，不符合题意； D、不等式左右同乘以负数，不等号要改变方向，故错误，符合题意； 故选：D． ( 题型02 ) 求一元一次不等式的解集 7．（23-24七年级下·福建泉州·期末）规定一种运算：，其中，为常数，若，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式，一元一次方程，先根据新定义列出关于的方程，解之求出的值，据此可得出不等式，求解即可．解题的关键是掌握解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， ， ， ， ∴． 故答案为：． 8．（23-24七年级下·福建泉州·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质、解一元一次不等式，由不等式的性质得出，从而得出关于的不等式变为，解不等式即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于的不等式的解集为， ∴， ∴关于的不等式变为， 解得：， 故选：D． 9．（23-24七年级下·福建泉州·期末）解不等式 ，去分母正确的变形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．不等式得两边同时乘以6，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：． 故选：D 10．（23-24七年级下·福建福州·期末）已知不是关于x的不等式的解，则a的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，先解出不等式的解集，然后根据不是关于x的不等式的解即可得出结果． 【详解】解：由式，得： 不是关于x的不等式的解， ， 故答案为：． 11．（23-24七年级下·福建厦门·期末）已知关于，的方程组 (1)当时，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了由二元一次方程组的解满足某个条件求参数，也涉及到解一元一次不等式，解题的关键是求出二元一次方程组的解． （1）利用加减消元法得出方程组的解为：，再将代入即可求解； （2）根据（1）中结果代入，求解不等式即可． 【详解】（1）解：解方程组 得：，解得：， 代入②得：， ∴方程组的解为：， ∵， ∴， ∴； （2）由（1）得方程组的解为：，， ∴， 解得：， 的取值范围为． 12．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知关于的二元一次方程组 (1)若该方程组的解满足，试求的取值范围； (2)若代数式的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握二元一次方程组的解法是解此题的关键． （1）由得出，从而得出，结合题意得出关于的不等式，解不等式即可得出答案； （2）由，得，，得，从而求出，结合题意即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，得， ∴， ∴， ∴； （2）解：，得， ，得， ，得，即， ∵的值与的取值无关， ∴． ( 题型03 ) 求一元一次不等式的整数解 13．（23-24七年级下·福建泉州·期末）使不等式成立的a值中，最大的整数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，正确解不等式是解题关键．先解不等式，再取最大整数即可． 【详解】解：由，解得：， 则最大的整数是， 故选：C． 14．（23-24七年级下·福建·期末）不等式 的最大整数解是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了解不等式，先移项合并同类项，得出，结合“最大整数解”这个条件，即可作答． 【详解】解：∵ 移项，得： 合并同类项，得：， 则不等式的最大整数解为4； 故答案为：4． 15．（23-24七年级下·福建·期末）不等式的最小整数解是 ． 【答案】0 【分析】根据一元一次不等式的性质计算，得到x的取值范围；再根据整数的性质分析，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小整数解是：0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了一元一次不等式和整数的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的性质，从而完成求解． 16．（23-24七年级下·福建泉州·期末）阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 【答案】(1)不是 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出的范围，进而求出的最小整数值即可． 【详解】（1）解：解，得：， 解，得：， ∴方程的解不是不等式的解， ∴不是； （2）， ，得：， ∵， ∴， 即：， ∴； （3）由，得 ， ∵， ∴， ∴，即， 由，得 ． ∵方程的解是不等式的“友好解”． ∴， 解得 ， ∴的最小整数值为：． ( 题型0 4 )一元一次不等式的实际应用 17．（23-24七年级下·福建福州·期末）小王大学毕业后自主创业，用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元，其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元． (1)小王购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)小王第二次以原进价购进甲、乙两种商品．购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8400元，乙种商品最低售价为每件多少元？ 【答案】(1)小王购进甲种商品200件、乙种商品120件 (2)110元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键． （1）设小王购进甲种商品件、乙种商品件，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设乙种商品的售价为每件元，根据题意建立不等式，解不等式可得的最小值，由此即可得． 【详解】（1）解：设小王购进甲种商品件、乙种商品件， 由题意得：， 解得， 答：小王购进甲种商品200件、乙种商品120件． （2）解：由题意得：小王第二次购进甲种商品的件数是（件），乙种商品的件数是120件， 设乙种商品的售价为每件元， 则， 解得， 答：乙种商品最低售价为每件110元． 18．（23-24七年级下·福建福州·期末）某商场在世博会上购置，两种玩具，其中2个玩具与3个玩具的价格相同，且购置3个玩具与2个玩具共花费325元． (1)求，玩具的单价； (2)若该商场要求购置玩具的数量是玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个玩具？ 【答案】(1)每件玩具的单价为50元，每件玩具的单价为75元 (2)最多可以购置玩具100个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设每件玩具的单价为元，每件玩具的单价为元，根据2个玩具与3个玩具的价格相同，且购置3个玩具与2个玩具共花费325元列出方程组求解即可； （2）设商场可以购置玩具个，则购置玩具个，根据购置玩具的总额不高于20000元，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每件玩具的单价为元，每件玩具的单价为元， 根据题意，得， 解得 答：每件玩具的单价为50元，每件玩具的单价为75元； （2）解：设商场可以购置玩具个，则购置玩具个， 根据题意，得， 解得， 答：最多可以购置玩具100个． 19．（23-24七年级下·福建厦门·期末）无人机广泛应用于多种领域，不仅在军事领域发挥了重要作用，而且在民用领域也展现出强大的实力．在农业方面，植保无人机可以帮助进行精准施肥和喷洒农药，提高农业生产效率．某生态农业公司共有4架A型植保无人机和8架B型植保无人机，这两种型号的植保无人机在满电状态下可持续作业15分钟．1架A型植保无人机和2架B型植保无人机15分钟可完成70亩地的农药喷洒作业；3架A型植保无人机和1架B型植保无人机15分钟可完成85亩地的农药喷洒作业． (1)1架A型和1架B型植保无人机工作15分钟分别可完成多少亩地的农药喷洒作业？ (2)为抢抓晴好天气开展小麦病虫害防治作业，该农业公司打算再购进这两种型号的植保无人机共6架，且每种无人机至少购买1架．若要用1小时45分钟完成1660亩地的农药喷洒作业（无人机在第一轮作业前处于满电状态，每轮作业结束后将无人机收回至无人机充满电需15分钟，充电与作业不能同时进行），有哪几种购买方案？ 【答案】(1)1架A型和1架B型植保无人机工作15分钟分别可完成20亩地、25亩地的农药喷洒作业； (2)共有3种方案，分别为：购买1架A型植保无人机，则购买5架B型植保无人机；购买2架A型植保无人机，则购买4架B型植保无人机；购买3架A型植保无人机，则购买3架B型植保无人机 【分析】本题考查二元次方程组的应用和一元一次不等式的应用． （1）设1架A型和1架B型植保无人机工作15分钟分别可完成x亩地、y亩地的农药喷洒作业，根据题中等量关系列方程组求解即可； （2）设购买a架A型植保无人机，则购买架B型植保无人机，分析可得一共可以进行4轮作业，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设1架A型和1架B型植保无人机工作15分钟分别可完成x亩地、y亩地的农药喷洒作业， 根据题意可得，， 解得， 答：设1架A型和1架B型植保无人机工作15分钟分别可完成20亩地、25亩地的农药喷洒作业； （2）解：设购买a架A型植保无人机，则购买架B型植保无人机， ∵无人机在第一轮作业前处于满电状态，无人机在满电状态下可持续作业15分钟，每轮作业结束后将无人机收回至无人机充满电需15分钟， ∴1小时45分钟可以进行4轮作业， 根据题意可得，， 解得：， ∴，2，3，共有3种方案，分别为：购买1架A型植保无人机，则购买5架B型植保无人机；购买2架A型植保无人机，则购买4架B型植保无人机；购买3架A型植保无人机，则购买3架B型植保无人机． 20．（23-24七年级下·福建·期末）为直观感受厦门的美，许多游客都会购买“厦门海上游”船票．船票分为成人票和儿童票两种，一张船票外加30元还能获得一件纪念T恤．若只买船票，2个大人3个孩子需360元，4个大人5个孩子需660元． (1)求成人票和儿童票的票价； (2)现有10个大人5个孩子参加“厦门海上游”，有一部分人购买了纪念T恤．若总费用不超过1600元，则最多有多少人购买了纪念T恤？ (3)为了丰富孩子的暑期生活，家长们自发组织了一次“厦门海上游”．其中没购买纪念T恤的孩子的数量占总人数的一半．所有船票连同购买纪念T恤的费用共计2010元，求有多少个大人购买纪念T恤． 【答案】(1)儿童票价为每张60元，成人票价为每张90元 (2)最多有13人购买纪念T恤 (3)购买T恤的大人有2人或7人 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用、一元一次不等式的应用，正确理解题意，找到数量关系并列出方程或不等式是关键． （1）设儿童票价每张元，成人票价每张元，根据2个大人3个孩子需360元，4个大人5个孩子需660元，建立方程组求解即可； （2）设有人购买纪念T恤，根据总费用不超过1600元建立不等式求解即可； （3）设没买纪念T恤的孩子有人，买纪念T恤的孩子和没买纪念T恤的大人共人，则总人数有人．根据所有船票连同购买纪念T恤的费用共计2010元建立二元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设儿童票价每张元，成人票价每张元 解得 答：儿童票价为每张60元，成人票价为每张90元； （2）解：设有人购买纪念T恤， ， ∵为整数， ∴最大为13 答：最多有13人购买纪念T恤； （3）解：设没买纪念T恤的孩子有人，买纪念T恤的孩子和没买纪念T恤的大人共人，则总人数有人． ∵有买纪念T恤的大人有人， ∴且，都为整数， ∴或 答：①当，则购买T恤的大人有7人；②当，则购买T恤的大人有2人． 21．（23-24七年级下·福建厦门·期末）某家具厂接到一笔2160套组合餐桌订单，一套该款组合餐桌有1张餐桌和6把餐椅，需要在15天内完成该笔订单的生产．目前，该家具厂的组合餐桌生产车间有100名工人，每个工人每天能制作6张餐桌或9把餐椅，该家具厂计划让一部分工人专门制作餐桌，剩下的工人专门制作餐椅． (1)若每天有20名工人制作餐桌，则每天生产餐桌和餐椅的数量能否恰好配套？请说明理由； (2)若使用（1）中的方案安排工人制作餐桌和餐椅，能否如期完成该笔订单？若能请说明理由．若不能，家具厂还可从其他车间调用工人参与该款组合餐桌的生产，新调入的工人由于操作不熟练，只会制作餐椅，并且每人每天只能制作6把，则至少需要调用多少人？ 【答案】(1)每天生产餐桌和餐椅的数量能恰好配套，理由见解析 (2)不能如期完成该笔订单，至少需要调用30人 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，找出数量关系是解题关键． （1）由题意可知，每天制作餐桌和餐椅的工人数量，进而求出每天生产餐桌和餐椅的数量，即可得出答案； （2）根据一天能够生产的数量乘以天数，可判断不能如期完成该笔订单，分别设出制作餐桌、制作餐椅以及调入制作餐椅的人数，利用一元一次方程和一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：每天生产餐桌和餐椅的数量能恰好配套，理由如下： 生产车间有100名工人，有20名工人制作餐桌， 有80名工人制作餐椅， 每个工人每天能制作6张餐桌或9把餐椅， 每天生产餐桌的数量为，餐椅的数量为， 组合餐桌有1张餐桌和6把餐椅，且， 每天生产餐桌和餐椅的数量能恰好配套 （2）解：由（1）知，一天能够生产120套组合餐桌， ， 不能如期完成该笔订单． 解法一： 设安排人制作餐桌，人制作餐椅，调入a个工人制作餐椅， 则每天生产餐桌的数量为，餐椅的数量为 生产的餐桌和餐椅需要配套， ， 化简得：． 若要在15天内完成该笔订单，则， 解得：， k是正整数， 要使得调入的人最少，取． ，即至少需要调用30人； 解法二： 设：x人制作餐桌，人制作餐椅，调入a个工人制作餐椅． 若要在15天内完成该笔订单，则餐桌的生产量满足， 解得：， 要使得调入的人最少，取． 则餐椅的生产量满足 解得：．即至少需要调用30人； ( 题型0 5 )求不等式组的解集 22．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知关于x、y的方程组（为常数）： (1)求这个方程组的解； (2)如果原方程组的解x和y都大于0，试求n取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，求不等式组的解集： （1）加减消元法解方程组即可； （2）根据方程组的解的情况，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：， ，得：，解得：， 把代入，得：，解得：， ∴方程组的解为：； （2）解：由题意，得：， 解得：． 23．（23-24七年级下·福建厦门·期末）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示出解集，先按照解一元一次不等式的一般步骤，求出各个不等式的解集，并把各个不等式的解集在数轴上表示出来，从而得到不等式组的解集． 【详解】解： 由①得：， 解得：， 由②得：， ， ， ， 各个不等式解集在数轴上表示出来为： ∴不等式组的解集为：， 24．（23-24七年级下·福建泉州·期末）解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】此题考查了求不等式组的解集，求出每个不等式的解集，把解集表示在数轴上，取公共部分即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 把解集表示在数轴上： ∴不等式组的解集为 25．（23-24七年级下·福建泉州·期末）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，以及把不等式组的解集在数轴上表示出来，分别求出每一个不等式的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解：由①得 由②得，即 ∴在数轴上表示为： ∴原不等式组的解集为： ( 题型0 6 )求一元一次不等式组的整数解 26．（23-24七年级下·福建龙岩·期末）解不等式组，并写出它的正整数解． 【答案】，正整数解为1，2，3． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集，再确定不等式的正整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴不等式组的解集为． ∴不等式组的正整数解为1，2，3． 27．（23-24七年级下·福建厦门·期末）解不等式组，并写出该不等式组的最大整数解． 【答案】不等式组的解集为：；最大整数解为：． 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再根据解集即可找到最大整数解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：； 不等式组的最大整数解为：． 28．（23-24七年级下·福建福州·期末）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出所有的负整数解． 【答案】，数轴表示见解析，负整数解为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，运用数轴表示不等式组的解集，先解出不等式组的解集，再在数轴上表示出来，即可得出负整数解，进行作答． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， ∴原不等式组的解集为：． 数轴表示如下    ∴x的所有负整数解为 29．（23-24七年级下·福建·期末）（1）解方程组：． （2）解不等式组：，并整理出它的负整数解． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式组，熟练掌握解法是解答吧本题的关键． （1）用加减消元法求解即可； （2）先求出不等式组的解集，再找出其中的负整数即可． 【详解】解：（1）， 得③， 得， 解得， 把代入①得， 解得， ∴方程组的解为； （2）， 解①得， 解②得， 则解不等式组的解集为， ∴它的负整数解为． ( 题型0 7 )一元一次不等式组的含参数问题 30．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据不等式的基本性质，由不等式的解集为，可得：，据此求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为， ， 故答案为： 31．（23-24七年级下·福建泉州·期末）关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式组解集的定义进行解答即可． 本题考查不等式的解集，理解不等式组解集的定义是正确解答的关键． 【详解】解：∵关于x的不等式组的解集是， ∴． 故选：A． 32．（23-24七年级下·福建福州·期末）若关于的不等式组的解集是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、一元一次方程组，先求出不等式组中两个不等式的解，再根据不等式组的解集可得一个关于a的一元一次方程组，解方程组可得a的值即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵解集是， ∴， 解得：， 故答案为：． 33．（23-24七年级下·福建福州·期末）对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a，b均不为零），已知，若关于m的不等式组恰好有3个整数解，则n的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，有理数的混合运算，解二元一次方程组，已知两对值代入T中计算求出a与b的值，然后根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出p的范围即可，能求出a、b的值是解此题的关键． 【详解】解：， ， 解得：， ∵， ∴， 解得， ∵有3个整数解， ， 解得， 故答案为：． 34．（22-23七年级下·福建厦门·期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“容纳”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．例如：不等式被不等式“容纳”； (1)下列不等式（组）中，能被不等式“容纳”的是（    ） A．　B．　C．　D． (2)若关于的不等式被“容纳”，求的取值范围． (3)若能被关于的不等式“容纳”，直接写出一个符合条件的无理数． 【答案】(1)C (2) (3)（只要是小于3的无理数数就行）； 【分析】（1）分别解出不等式比较即可得到答案； （2）解出不等式列不等式即可得到答案； （3）解出不等式根据能被关于的不等式“容纳”列式即可得到答案； 【详解】（1）解：分别解不等式得， 选项A：；选项B：；选项C：；选项D：无解． 故选：C； （2）解：解不等式得， ， ∵关于的不等式被“容纳”， ∴， 解得：； （3）解：解不等式得， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， ∵能被关于的不等式“容纳”， ∴， 故答案为：（只要是小于3的无理数数就行）； 【点睛】本题考查不等式参数解问题及解不等式，解题的关键是注意参数不等式的分类讨论． 35．（22-23七年级下·福建福州·期末）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“有缘方程”，如：方程就是不等式组的“有缘方程”． (1)方程①，②是不等式组的有缘方程的是__________（填序号①，②） (2)若关于x方程（k为整数）是不等式组的一个有缘方程，求整数k的值； (3)若方程，都是关于x的不等式组的有缘方程且不等式组的整数解有3个，求m的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，求不等式组的解集，掌握“有缘方程”的定义，是解题的关键． （1）分别求出方程的解和不等式组的解集，再根据“有缘方程”的定义进行判断即可； （2）先求出方程的解和不等式组的解集，利用有缘方程的定义，得到的不等式组，求出整数解即可； （3）分别求出方程的解和不等式组的解集，再根据“有缘方程”的定义，分整数解为0，1，2或1，2，3两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：②理由如下： 解方程，得：； 解方程，得：； 解不等式组，得：， ∴①不是不等式组的“有缘方程”，②是不等式组的“有缘方程”． （2）解方程，得：； 解不等式组，得：， ∵方程是不等式组的“有缘方程”， ∴， ∴， ∵k为整数， ∴； （3）解方程，得：； 解方程，得：； 解不等式组，得：， ∵方程，都是关于x的不等式组的有缘方程且不等式组的整数解有3个， ∴， 当整数解为时：，解得：； 当整数解为时：，此不等式组无解； ∴． ( 题型0 8 )一元一次不等式组的应用 36．（23-24七年级下·福建泉州·期末）“今生簪花，来世漂亮”，福建省泉州市蟳埔村簪花园今年“火出圈”．小强在五一节期间，随爸爸妈妈一起前往蟳埔村，簪花、观景、休闲、品美食，体验蟑埔文化．在游玩间隙，热爱数学的小强发现许多有趣的数学问题，让我们与小强一起探究如下的数学问题． 小强陪妈妈去簪花店去簪花，簪花店老板林阿姨介绍说，簪花分为簪生花和簪熟花两种类型．妈妈想体验簪生花，挑选了颜色鲜艳的朵玫瑰花和朵石榴花，林阿姨只收取妈妈元，林阿姨又告诉小强每朵石榴花的价格比每朵玫瑰花的价格少元． (1)求石榴花与玫瑰花单价分别是多少元？ (2)小强爸爸发现簪花时如果玫瑰花多一些，整个头型更好看些，建议妈妈下次来簪花时，玫瑰花的数量比石榴花要多朵，但是两种花的数量不少于朵，小强爸爸告诉林阿姨总费用不得高于元．请你与小强一道帮帮林阿姨设计一下簪花方案． 【答案】(1)石榴花每朵元，玫瑰花每朵元 (2)共有两种方案：石榴花朵，玫瑰花朵或石榴花朵，玫瑰花朵 【分析】本题考查一元一次方程，一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式组． （1）设石榴花每朵元，玫瑰花每朵元，可得：，即可解得答案； （2）设石榴花朵，玫瑰花朵，根据两种花的数量不少于朵，小强爸爸告诉林阿姨总费用不得高于元得：，解得范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设石榴花每朵元，玫瑰花每朵元， 根据题意得：， 解得：， ， 答：石榴花每朵元，玫瑰花每朵元； （2）解：设石榴花朵，玫瑰花朵， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 或， 答：共有两种方案：石榴花朵，玫瑰花朵或石榴花朵，玫瑰花朵． 37．（23-24七年级下·福建泉州·期末）某纪念品商店售卖奥运会吉祥物“弗里吉”，当天提供120个很快就被抢购一空，该店决定让未购买到的顾客通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m个（m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第x天（，且x为正整数）供应量与需求量的关系如下表，其中供应量满足：（单位：个）．需求量满足：（单位：个）．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天需求量不包括前一天的预约数） 第x天 1 2 … 6 … 11 … 15 供应量（个） 120 … … … 需求量（个） 220 229 … 245 … 220 … 164 (1)求前3天的总供应量（用含m的式子表示） (2)若第9天有需求的顾客需要预约才能全部购买．但从第10天开始，不需预约就能全部购买 ①求m的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136个） ②当m取最小值时，若每个“弗里吉”售价为50元，求第5天与第12天的销售额． 【答案】(1) (2)①26，27，28，29 ②第5天的销售额为11200元，第12天的销售额为10450元 【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式组的应用、求代数式的值、有理数的混合运算的应用，准确进行计算是解此题的关键． （1）根据表格中供应量的特征表示出第三天的供应量，进而表示出前天的总供应量即可； （2）①根据题意分别表示出前天和前天的总供应量，对于需求量，令，求出第10天的需求量，从而得出前10天的总需求量，再根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可得解；②由①知，最小值为26，再分别求出第5天与第12天的销售额即可． 【详解】（1）解：依题意得：第3天的供应量为 ∴前3天的总供应量为： （2）解：①前9天的总供应量为个， 前10天的总供应量为个； 令，则， ∵前9天的总需求量为2136个， ∴前10天的总需求量为个， ∵前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量， ∴， 解得， ∵为正整数， ∴的值为26，27，28，29； ②由①知，最小值为26， ∴第5天的销售量即供应量为， ∴第5天的销售额为（元）， 而第12天的销售量即需求量为， ∴第12天的销售额为（元）， 答：第5天的销售额为11200元，第12天的销售额为10450元． 38．（23-24七年级下·福建泉州·期末）为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲，乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需4.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需5万元． (1)求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少钱？ (2)若该粮食生产基地计划购进甲，乙两农机具共20件．且投入资金不少于22.8万元又不超过25万元，设购进甲种农机具m件，求该基地投入总资金的最小值． 【答案】(1)购进1件甲种农机具1.7万元，1件乙种农机具1.1万元 (2)23.2万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解此题的关键． （1）设购进1件甲种农机具万元和1件乙种农机具万元，根据“购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需4.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需5万元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设购进甲种农机具为件，则购进乙种农机具为件，根据“投入资金不少于22.8万元又不超过25万元”列出一元一次不等式组，解不等式组即可得出答案． 【详解】（1）解：设购进1件甲种农机具万元和1件乙种农机具万元， 则， 解得， 经检验符合题意 答：购进1件甲种农机具1.7万元和1件乙种农机具1.1万元． （2）解：设购进甲种农机具为件，则购进乙种农机具为件， ∵， ∴， ∴ ∴取整数，即时， 最少资金为（万元）． 39．（23-24七年级下·福建泉州·期末）后垵柿果和龙涓大饼是安溪著名的传统土特产，深受广大消费者喜爱．已知2箱柿果和3箱大饼进货价310元，3箱柿果和4箱大饼进货价为440元． (1)求每箱柿果、大饼的进价各多少元？ (2)某特产店计划用不超过6860元购进柿果、大饼共100箱，且柿果的数量不低于大饼数量的，该特产店有哪几种进货方案？ 【答案】(1)每箱柿果的进价为80元，每箱大饼的进价为50元 (2)特产店有三种进货方案：方案一：柿果60箱，大饼40箱；方案二：柿果61箱，大饼39箱；方案三：柿果62箱，大饼38箱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每箱柿果的进价是x元，每箱大饼的进价是y元，根据“2箱柿果和3箱大饼进货价310元，3箱柿果和4箱大饼进货价为440元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m箱柿果，则购进箱大饼，根据“该特产店计划用不超过6860元购进柿果、大饼共100箱，且柿果的数量不低于大饼数量的”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各进货方案． 【详解】（1）解：设每箱柿果的进价为x元，每箱大饼的进价为y元，由题意，得     解得：     答：每箱柿果的进价为80元，每箱大饼的进价为50元． （2）解：设购进柿果m箱，则购进大饼箱，依题意得：      解得：   ∵m为正整数， ∴整数，61，62，   ∴该特产店有三种进货方案： 方案一：柿果60箱，大饼40箱； 方案二：柿果61箱，大饼39箱； 方案三：柿果62箱，大饼38箱． 40．（23-24七年级下·福建·期末）为改善农村生活卫生条件，紧密结合爱国卫生“7个专项行动”．某村委会积极推进“厕所革命”，计划为625户居民修建甲、乙两种型号的三级污水处理厕所共30个，三级污水处理厕所的型号、修建费用、可供使用的户数如下表： 三级污水处理厕所 修建费用（万元/个） 可供使用户数（户/个） 甲型 3 25 乙型 2 20 设修建甲种型号的三级污水处理厕所x个，根据要求解答下列问题： (1)用含x的式子填写下表： 三级污水处理厕所 修建数（个） 修建费用（万元） 可供使用户数（户） 甲型 x 3x 25x 乙型 30﹣x 　   　 　   　 (2)如果政府批给该村委会修建甲型三级污水处理厕所不超过7个，求出满足要求的所有修建方案． (3)在（2）的所有方案中，哪种方案最省钱？如果政府出资修建费52.5万元，剩余部分由各户筹集，每户居民平均应筹集多少钱？ 【答案】(1)60﹣2x，600﹣20x (2)共有三种修建方案．方案一：修建甲型厕所5个，则可修建乙型厕所25个；方案二：修建甲型厕所6个，则可修建乙型厕所24个；方案三：修建甲型厕所7个，则可修建乙型厕所23个； (3)每户居民平均至少应筹集200元 【分析】（1）由题意列出代数式即可求解； （2）设可修建甲型厕所a个，则可修建乙型厕所（30-a）个，根据“修建甲型三级污水处理厕所不超过7个”、“计划为625户居民修建甲、乙两种型号的三级污水处理厕所”列出不等式组，求解即可； （3）结合（2）中的数据计算即可． 【详解】（1）乙种型号的三级污水处理厕所的修建费用为：2（30﹣x）万元， 即（60﹣2x）万元， 可供使用户数为：20（30﹣x）户， 即（600﹣20x）户， 故答案为：60﹣2x，600﹣20x； （2）设可修建甲型厕所a个，则可修建乙型厕所（30﹣a）个， 依题意得：， 解得：5≤a≤7， ∵a是自然数， ∴a＝5，6，7， 则30﹣a＝25，24，23． 共有三种修建方案． 方案一：修建甲型厕所5个，则可修建乙型厕所25个； 方案二：修建甲型厕所6个，则可修建乙型厕所24个； 方案三：修建甲型厕所7个，则可修建乙型厕所23个； （3）在（2）的三种方案中，方案一最省钱． （3×5+2×25﹣52.5）÷625＝0.02（万元）＝200（元） 答：每户居民平均至少应筹集200元． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组 一、填空题 1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）数轴上，点分别表示数，，且点在点的左侧．则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了利用数轴比较数的大小，解一元一次不等式，由题意得出，再解一元一次不等式即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·福建·期末）已知关于的方程组满足，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先把z看作常数，解x和y的方程组，再根据x和y的取值范围得出z的取值范围，然后用z表示S，根据z的取值范围可得S的取值范围． 【详解】解：， ①×2+②得，即， 将代入①可得，可得， ∴， 又∵， ∴，解得， ∴，． 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式．本题中以z建立方程组和不等式的联系，在解方程组时可用含z的代数式表示x和y，利用z表示S，求出z的取值范围即可得出S的取值范围．熟记并理解不等式的性质是解决此题的关键． 3．（23-24七年级下·福建龙岩·期末）在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过的最大整数．如，，，则下列结论： （1）；（2）若，则的取值范围是； （3）当时，的值为1或2； （4）若规定：（为正整数）．例．则，其中正确的结论有 （填写序号）． 【答案】（2）（3）（4） 【分析】本题主要考查新定义，根据取整数的定义及公式即可作出判断，关键是要正确理解取整的定义，以及式子的应用，这个式子在新定义中经常用到． 【详解】解：取，则，， ， （1）错误； 由式子可得当时， 有， 解得， （2）正确； 由可得， 若，则，， 有， 若，则，， 有， 若，则， 有， （3）正确； 根据题意可得， ， （4）正确； 故答案为：（2）（3）（4）． 4．（23-24七年级下·福建福州·期末）已知关于、的方程组，其中，有下列说法：①当时；②是原方程组的解；③无论为何值时，；④若设，则；以上说法正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了含有参数的二元一次方程组，一元一次不等式的性质，掌握解方程组的方法及不等式的性质是解题的关键．①解出方程组的解为，将代入即可判定；②代入方程组，得到关于的一元一次方程组，消去即可判定；③将方程组①②，即可判定；④将方程组的解代入，可得，结合即可判定． 【详解】 ，得，那么 ，得，那么 方程组的解为： 当时，代入， 解得，故①正确； 将代入方程组，得到 ③④，得，矛盾，故②错误； ①②，得，整理得，故③正确； ，故④正确． 故答案为：①③④ 5．（23-24七年级下·福建厦门·期末）已知实数，，，满足，若关于的不等式的解集为，则关于关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质，不等式的解集，解不等式，掌握绝对值与算术平方根的非负性，求出，且是解题的关键． 先根据非负数的性质，得出，，解得：，，再根据不等式的解集为，得到，，把，代入，得，然后由，则，解得，所以，最后解不等式，即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵关于的不等式的解集为， ∴，， ∴， 把，代入，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 即不等式的解集是． 故答案为：． 二、解答题 6．（23-24七年级下·福建泉州·期末）我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则为． 例如：． (1)填空：若，则__________； (2)若，是否存在一组和的值与的取值无关？若存在，求这组与的值；若不存在，请说明理由． (3)已知满足，的最小整数值为3，求的取值范围，并写出整数的所有可能值． 【答案】(1)2 (2)存在，； (3)，整数的所有可能值是3，4，5，6，7， 【分析】本题考查解二元一次方程组，一元一次不等式组的解集以及解一元一次方程，理解二阶行列式的运算法则，掌握解二元一次方程组，解一元一次不等式组以及解一元一次方程的方法是正确解答的关键． （1）根据二阶行列式的运算法则得到，解这个方程即可； （2）根据二阶行列式的运算法则得到，即，令的系数为0即可； （3）根据二阶行列式的运算法则以及，得到，再由满足条件的的最小整数值为3，即可确定的取值范围，高级的取值范围确定的值即可． 【详解】（1）解：由二阶行列式的运算法则可得， ， 解得， 故答案为：2； （2）解：存在，理由： 由二阶行列式的运算法则得， ， 即， 所以 且 时，与的取值无关， 解得：， 故存在一组和的值与的取值无关，； （3）解：由二阶行列式的运算法则得， ， 即 因为满足上式的的最小整数值为3， 故 解得， 所以整数的所有可能值是3，4，5，6，7． 7．（23-24七年级下·福建泉州·期末）受核污水排放带来的负面影响．小聪决定购置80只相同规格的网箱，从海水养殖转移到水库淡水养殖，养殖不能在同一网箱混养的A、B两种淡水鱼．他在水面租赁、购置网箱等基础建设方面投入12000元，并准备了不超过72000元，但不少于70000元的总投资资金用于该项目．据了解每只网箱养殖A、B两种淡水鱼所需投入及产出情况如表： 鱼苗投资（元） 饲料支出（元） 收获成品鱼（千克） 成品鱼售价（元/千克） A种鱼 200 300 100 10 B种鱼 400 500 55 40 (1)设小聪用x只网箱养殖A种淡水鱼，请求出x的取值范围； (2)养殖鱼销售时，小聪发现成品鱼价格发生变动，A种鱼的售价上涨，B种鱼的售价下降，实际获得的利润是56800元，试求a的值．（注：利润收入支出，其中收入指成品鱼收益，支出指基础建设投入、鱼苗投资及饲料支出） 【答案】(1) (2)a的值是 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，代数式表示，一元一次方程的应用，读懂题目信息，仔细观察表格数据准确确定出支出和收入的数据是解题的关键． （1）根据总投资等于A、B两种鱼的投资之和再加上基础建设投资列出不等式组求解，即可求出x的取值范围； （2）先分别表示出价格变动后的A、B种鱼的利润，然后表示出两种鱼上市所获利润的表达式，再根据利润为56800元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：养殖A种鱼x只网箱，     养殖B种鱼的网箱为只， 依题意，得：， 解得：； （2）解：每箱A种鱼的销售利润：（元）， 每箱B种鱼的利润：（元）， 总获利润：（元）， ， 即， ∵，即， ∴， 解得：， 答：a的值是． 8．（23-24七年级下·福建·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足． (1)求k的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请写出符合条件的k的整数值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解及解一元一次不等式组，根据数量关系列出一元一次不等式组是解决本题的关键． （1）根据题目中方程组的特点，将两个方程作差，即可用含k的代数式表示出，再根据，即可求得k的取值范围，本题得以解决． （2）不等式的解集为，根据不等式得性质得到，得到k的取值范围，再根据（1）中k的范围，求得k最终的取值范围，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，得， ∵， ∴， 解得，； （2）解：不等式移项得：， ∵不等式的解集为， ∴， 解得：， 又∵， ∴k的取值范围为， ∴整数k的值为． 9．（24-25七年级上·福建厦门·期末）综合与实践 问题情景：周末小王和数学兴趣小组的同学利用周末到某纸箱厂乡加社会实践，该厂的厂长让他们用200张白板纸（如图1）制作某种型号的长方体纸箱． 制作方式：在参观的时候他们发现有以下3种剪裁方法都可以制作纸箱． 第①种裁法：裁成2个侧面与4个底面； 第②种裁法：裁成4个侧面； 第③种裁法：裁成3个侧面与2个底面． 动手操作：小王和数学兴趣小组的同学分成3个小组用三种不同的剪裁方法剪裁白板纸．已知四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱． 问题解决：设按第①种方法剪裁的白板纸有a张，按第②种方法剪裁的白板纸有b张． (1)按第③种方法剪裁的白板纸有 张．（用含a，b的式子表示） (2)将200张白板纸剪裁完后，一共可以裁出多少个侧面与多少个底面？（用含a，b的式子表示，结果要化简） (3)当，时，将200张白板纸剪裁完后，最多制作多少个纸箱？ (4)当a，b满足什么样的条件时，这200张白板纸剪裁完后，能够制作的纸箱数量最多？最多能制造多少个纸箱？ 【答案】(1) (2)一共可以裁出个侧面，个底面 (3)最多能制作150个长方体纸箱 (4)当时，最多可以制作该种型号的长方体纸箱160个 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，整式加减的应用，有理数除法的应用等知识点，理解题中的数量关系，熟练掌握用代数式表示数或数量关系的方法是解题的关键． （1）根据数量关系，共有200张白板纸，按第①种方法剪裁的白板纸有a张，按第②种方法剪裁的白板纸有b张，由此列式即可； （2）根据题意，按第①种方法剪裁的侧面数为：个，底面数为：个，按第②种方法剪裁的侧面数为：个，按第③种方法剪裁的侧面数为：个，底面数为：个，由此列式即可； （3）把，代入（2）中的式子，分别算出侧面数与底面数，再根据四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱进行计算即可； （4）根据底面和侧面的数量关系求解即可． 【详解】（1）解：按第①种方法剪裁的白板纸有a张，按第②种方法剪裁的白板纸有b张， ∴按第③种方法剪裁的白板纸有张， 故答案为：； （2）解：由条件可知：按第①种方法剪裁的侧面数为：个，底面数为：个， 按第②种方法剪裁的白板纸有b张，每张有4个侧面， ∴按第②种方法剪裁的侧面数为：个， 按第③种方法剪裁的白板纸有张，每张有3个侧面与2个底面， ∴按第③种方法剪裁的侧面数为：个，底面数为：个， ∴侧面数共有：个， 底面数共有：个， 答：一共可以裁出个侧面，个底面； （3）解：由（2）可知，一共可以裁出个侧面，个底面， ∴当，时， 侧面数为：（个）， 底面数为：（个）， 且，， ∴不配套，最多能制作150个长方体纸箱， 答：200张白板纸剪裁完后，最多可以制作150个长方体纸箱． （4）解：由（2）可知，一共可以裁出个侧面，个底面，． ∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱， ∴， ∴， ∴当时， ∴可以裁出的侧面有（个）， 可以裁出的底面有（个）， ∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱， ∴最多可以制作该种型号的长方体纸箱160个． 10．（22-23七年级下·福建厦门·期末）已知在方程组中，、均为正数． (1)求出、的值（用含代数式表示）； (2)求出的取值范围； (3)当为何正整数时，求：的最大值？ 【答案】(1) (2) (3)当时，的最大值为 【分析】利用加减消元法进行计算，即可解答； 根据已知可得，，从而可得，然后进行计算即可解答； 把，代入中进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， 得：， 得：， 把代入得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解：、均为正数． ，， ， 解得：， 的取值范围为：； （3）解：，， ， ，为正整数， 当时，有最大值，且， 当时，的最大值为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，二元一次方程组的解，列代数式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$