清单06 概率（考点清单，知识导图+14个考点清单+题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（湘教版2019必修第二册）

清单06 概率 （14个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验（randomexperiment），简称试验，常用字母E表示． 【清单02】随机试验的特点 （1）试验可以在相同条件下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 【清单03】样本空间 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间（samplespace）．一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．在本书中，我们只讨论为有限集的情况．如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间． 【清单04】随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件（randomevent），简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementaryevent）．随机事件一般用大写字母A，B，C，表示．在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生． 【清单05】必然事件，不可能事件 在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．而空集抔包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称不可能事件． 【清单06】事件的关系与运算 定义 表示法 图示 事件的运算 包含关系 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B） （或） 并事件 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件） （或） 交事件 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件） （或） 互斥关系 若为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 若，则A与B互斥 对立关系 若为不可能事件，为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，可记为或 若，，则A与B对立 探究1（1）并事件、交事件和集合的并集、交集意义一样吗？ （2）互斥事件和对立事件的关系是怎样的？ 答案（1）并事件、交事件和集合的并集、交集的意义一样． （2）互斥事件包括对立事件，即对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件． 探究2从运算的含义总结事件的关系或运算？ 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 并事件（和事件） A与B至少一个发生 或 交事件（积事件） A与B同时发生 或 互斥（互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， 【清单07】概率 对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率（probability），事件A的概率用P（A）表示． 【清单08】古典概型 （1）古典概型 考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型（classicalmodelsofprobability），简称古典概型． （2）概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 【清单09】概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1：对任意的事件，都有． 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 性质3：如果事件与事件互斥，那么 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么 ， 性质5：如果，那么． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 【清单10】频率的稳定性 一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率估计概率． 【清单11】概率与频率的区别与联系 频率 概率 区别 频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的 概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小 联系 频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率 【清单12】随机模拟 我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数．实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟实验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，这么随机模拟方式叫做随机模拟． 我们称利用随机模拟解决问题地方法为蒙特卡洛方法． 【清单13】相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立． 【清单14】相互独立事件的性质 （1）事件与是相互独立的，那么与，与，与也是否相互独立． （2）相互独立事件同时发生的概率：． 【考点题型一】必然事件、不可能事件与随机事件的判断 技巧：（判断事件类型的步骤） 要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件． 【例1】下列各项中，属于随机事件的是（   ） A．若正方形边长为，则正方形的面积为 B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存 C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾 D．抛掷一枚硬币，反面向上 【变式1-1】事件 （1）随机事件：如果随机试验的样本空间为，则随机事件A是的一个 . （2）必然事件：每次试验中一定发生，从而称为 ． （3）不可能事件：空集不包含任何样本点，所以每次试验中一定不发生，从而称为 ． 【变式1-2】王老师从甲、乙、丙三位同学中随机抽选两位同学进行家访．事件表示“抽中甲、乙两位同学”，事件表示“抽中甲、丙两位同学”，则（    ） A．是必然事件 B．是不可能事件 C．与是互斥事件 D．与是对立事件 【变式1-3】从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（    ） A．3个都是篮球 B．至少有1个是排球 C．3个都是排球 D．至少有1个是篮球 【考点题型二】事件关系的判断 技巧：（事件关系的判断方法） （1） 两个事件是互斥事件还是对立事件，要根据互斥事件与对立事件的定义来判断，互斥事件是在任何一次试验中不能同时发生的两个事件，对立事件除要求两个事件互斥外，还要求在一次试验中必有一个事件发生． （2）对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件． 【例2】已知事件、发生的概率分别为，，则（ ） A．若，则事件与相互独立 B．若与相互独立，则 C．若与互斥，则 D．若发生时一定发生，则 【变式2-1】一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回的依次随机摸出2个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到红球”，“两个球颜色相同”，“两个球颜色不同”，则下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件C与事件D对立 C．事件A与事件C相互独立 D．事件B与事件D相互独立 【变式2-2】已知随机事件，满足，则下面说法正确的是（    ） A．若事件与互斥，则 B．若，则事件与可能互斥 C．若事件与相互独立，则 D．若，则事件与互斥 【变式2-3】已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 【考点题型三】古典概型的计算 技巧：1、（求古典概型的一般步骤） （1）明确实验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母/数字/数组等）表示实验的可能结果（可借助图表）； （2）根据实际问题情景判断样本点的等可能性； （3）计算样本点总个数及事件包含的样本点个数，求出事件A的概率． 2、（“有放回”与“无放回”的区别） “有放回”是指抽取物体时，每一次抽取之后，都将被抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样的． “无放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，被抽取的物体放到一边，并不放回到原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体的总数较前一次被抽取的物体总数少；这两种情况下基本事件总数是不同的． 【例3】一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件“两次向上的数字都为3”，“两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是（   ） A．该试验的样本空间共有36个样本点 B．事件A与事件B互斥 C． D． 【变式3-1】定义：若一个两位数的十位数字和个位数字分别为a，b，且满足，，指a，b中较小的一个，则称这个两位数为“倍差数”．若从所有的两位数中随机取一个数，则其是“倍差数”的概率为 ． 【变式3-2】某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过的部分按照平价收费，超过的部分按照议价收费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量（单位：吨），按照分组，，…，制作了频率分布直方图，下列说法正确的有（   ） A．第一组的频率为0.1 B．该市居民月均用水量的众数的估计值为2.25 C．如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量（吨）的最低标准的估计值为2.7 D．在该样本中月均用水量少于1吨的6个居民中用随机抽样的方法抽取2人，则抽到的2人月均用水量都不低于0.5吨的概率为0.4 【变式3-3】甲、乙、丙三人进行篮球传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第4次传球传给乙的概率为 ． 【变式3-4】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】频率与概率 技巧：1、（1）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． （2）频率本身是随机的，在试验前不能确定． （3）概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关． 2、在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大． 3、用随机数模拟法求事件概率的方法 在使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果． （1）试验的基本结果是等可能时，基本事件的总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件． （2）研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数 4、(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值． (2)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件． 【例4】某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）. (1)求选取的市民年龄在内的人数； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 【变式4-1】2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象．为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试．根据测试成绩，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示． (1)求该样本的第75百分位数； (2)试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)； (3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在各一人的概率． 【变式4-2】下列说法中，正确的是（    ） A．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖 B．做7次拋硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 C．若事件两两互斥，则 D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3的倍数的概率是 【变式4-3】某市有名初中生参加数学竞赛预赛，随机调阅了名学生的答卷，成绩如下表： 成绩 1分 2分 3分 4分 5分 6分 7分 8分 9分 10分 人数 0 0 1 5 10 18 11 3 2 0 (1)求样本的平均成绩和方差； (2)若规定预赛成绩在7分或7分以上的学生参加复赛，试估计有多少名学生可以进入复赛？ 【考点题型五】事件独立性的判断 技巧：两个事件是否相互独立的判断 （1）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （2）公式法：若，则事件A，B为相互独立事件． 【例5】在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则（    ） A． B．事件与事件相互独立 C． D．事件与事件为互斥事件 【变式5-1】口袋中装有编号为①，②，③的3个红球和编号为①，②，③，④，⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同．现从中取出1个小球，记事件A为“取出的小球的编号为③”，事件B为“取出的小球是黑球”，则（   ） A．A与B互斥 B． C．A与B独立 D． 【变式5-2】已知事件满足，则下列说法正确的有（    ） A．若事件独立，则事件独立 B．若事件独立，则事件独立 C．若事件独立，则事件独立 D．若事件独立，则事件独立 【变式5-3】下列命题正确的是（   ） A．若三个事件、、两两相互独立，则 B．设、是两个随机事件，且，，若，则、是相互独立事件 C．若，，则事件、相互独立与、互斥有可能同时成立 D．若事件、相互独立，，，则 【变式5-4】掷一枚质地均匀的骰子两次，甲表示事件“第一次出现的点数是奇数点”，乙表示事件“两次骰子的点数之和是7”，则甲与乙的关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．既不互斥也不独立 【考点题型六】相互独立事件概率 技巧：1、（1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②求出每个事件的概率，再求积． （2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的． 2、求较复杂事件的概率的一般步骤如下 （1）列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示． （2）理清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的），列出关系式． （3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算． （4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 【例6】甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． (1)求再赛2局结束这次比赛的概率； (2)求甲获得这次比赛胜利的概率． 【变式6-1】三人合作玩某游戏，用火箭筒射击一低空飞行的直升机，甲瞄准驾驶员、乙瞄准油箱、丙瞄准发动机主要部件，命中率分别为、、，个人的射击是相互独立的，任一人射中，直升机即被击落．求击落直升机的概率． 【变式6-2】一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 【变式6-3】甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为，每人闯关成功记分，三人得分之和记为小组团体总分. (1)求乙、丙各自闯关成功的概率； (2)求在第一轮比赛中团体总分为分的概率； (3)若团体总分不小于分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概率. 【考点题型七】方程思想在相互独立事件概率中的应用 技巧：对于相互独立事件中的概率问题，可先从问题的数量关系入手，根据概率的定义、公式等构造方程（组），通过解方程（组）解决问题，提升数学抽象素养． 【例7】设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】设两个独立事件A和B同时不发生的概率是p,A发生B不发生与A不发生B发生的概率相同,则事件A发生的概率为（ ） A． B． C． D． 【考点题型八】概率的基本性质 技巧：（概率性质公式） （1）运用概率加法公式解题的步骤 ①确定诸事件彼此互斥； ②先求诸事件分别发生的概率，再求其和． （2）求复杂事件的概率通常有两种方法 一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的并； 二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率． 【例8】掷一枚骰子，下列事件：A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3倍数”.求： (1)A∩B，BC及相应的概率 (2)A∪B，B+C及相应的概率； (3)记为事件H的对立事件，求及相应的概率. 【变式8-1】有3个两两互斥的事件A，B，C，已知事件是必然事件，事件A发生的概率是事件B发生的概率的2倍，事件C发生的概率比事件B发生的概率大0.2.分别求事件A，B，C发生的概率. 【变式8-2】给出下列事件：①明天进行的某场足球比赛的比分是；②同时掷两颗骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；③下周一某地的最高气温与最低气温相差10℃；④射击一次，命中靶心；⑤当为实数时，． 其中，必然事件有______，不可能事件有______． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06 概率 （14个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验（randomexperiment），简称试验，常用字母E表示． 【清单02】随机试验的特点 （1）试验可以在相同条件下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 【清单03】样本空间 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间（samplespace）．一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．在本书中，我们只讨论为有限集的情况．如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间． 【清单04】随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件（randomevent），简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementaryevent）．随机事件一般用大写字母A，B，C，表示．在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生． 【清单05】必然事件，不可能事件 在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．而空集抔包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称不可能事件． 【清单06】事件的关系与运算 定义 表示法 图示 事件的运算 包含关系 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B） （或） 并事件 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件） （或） 交事件 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件） （或） 互斥关系 若为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 若，则A与B互斥 对立关系 若为不可能事件，为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，可记为或 若，，则A与B对立 探究1（1）并事件、交事件和集合的并集、交集意义一样吗？ （2）互斥事件和对立事件的关系是怎样的？ 答案（1）并事件、交事件和集合的并集、交集的意义一样． （2）互斥事件包括对立事件，即对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件． 探究2从运算的含义总结事件的关系或运算？ 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 并事件（和事件） A与B至少一个发生 或 交事件（积事件） A与B同时发生 或 互斥（互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， 【清单07】概率 对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率（probability），事件A的概率用P（A）表示． 【清单08】古典概型 （1）古典概型 考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型（classicalmodelsofprobability），简称古典概型． （2）概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 【清单09】概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1：对任意的事件，都有． 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 性质3：如果事件与事件互斥，那么 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么 ， 性质5：如果，那么． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 【清单10】频率的稳定性 一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率估计概率． 【清单11】概率与频率的区别与联系 频率 概率 区别 频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的 概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小 联系 频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率 【清单12】随机模拟 我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数．实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟实验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，这么随机模拟方式叫做随机模拟． 我们称利用随机模拟解决问题地方法为蒙特卡洛方法． 【清单13】相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立． 【清单14】相互独立事件的性质 （1）事件与是相互独立的，那么与，与，与也是否相互独立． （2）相互独立事件同时发生的概率：． 【考点题型一】必然事件、不可能事件与随机事件的判断 技巧：（判断事件类型的步骤） 要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件． 【例1】下列各项中，属于随机事件的是（   ） A．若正方形边长为，则正方形的面积为 B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存 C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾 D．抛掷一枚硬币，反面向上 【答案】D 【分析】根据必然事件、随机事件和不可能事件的定义即可一一判断. 【详解】对于A，若正方形边长为，由面积公式可知其面积为，这是必然事件，故A不合题意； 对于B，真空中没有空气，在没有任何辅助情况下，人不能在真空中生存，这是不可能事件，故B不合题意； 对于C，在一个标准大气压下，只有温度达到，水才会沸腾，当温度是时，水不会沸腾，这是不可能事件，故C不合题意； 对于D，扡掷一枚硬币时，结果可能是正面向上，也可能反面向上，这是随机事件,故D符合题意. 故选：D. 【变式1-1】事件 （1）随机事件：如果随机试验的样本空间为，则随机事件A是的一个 . （2）必然事件：每次试验中一定发生，从而称为 ． （3）不可能事件：空集不包含任何样本点，所以每次试验中一定不发生，从而称为 ． 【答案】 非空真子集 必然事件 不可能事件 【分析】根据事件的概念填空即可. 【详解】事件 （1）随机事件：如果随机试验的样本空间为，则随机事件A是的一个_非空真子集__. （2）必然事件：每次试验中一定发生，从而称为_必然事__． （3）不可能事件：空集不包含任何样本点，所以每次试验中一定不发生，从而称为_不可能事件_． 【变式1-2】王老师从甲、乙、丙三位同学中随机抽选两位同学进行家访．事件表示“抽中甲、乙两位同学”，事件表示“抽中甲、丙两位同学”，则（    ） A．是必然事件 B．是不可能事件 C．与是互斥事件 D．与是对立事件 【答案】C 【分析】根据事件的定义，以及对立和互斥的定义即可根据选项逐一求解. 【详解】从甲、乙、丙三位同学中随机抽选两位同学进行家访,所有的基本事件有{（甲乙），（甲丙），（乙丙）}， 对于A，是不一定发生，故不是必然事件， 对于B，是可能发生，所以不是不可能事件， 对于C，与不能同时发生，故与是互斥事件， 对于D, 与不能同时发生，但不是全部事件，所以不是对立事件， 故选：C 【变式1-3】从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（    ） A．3个都是篮球 B．至少有1个是排球 C．3个都是排球 D．至少有1个是篮球 【答案】D 【分析】根据题意，由随机事件的定义分析选项，综合即可得答案． 【详解】根据题意，从6个篮球、2个排球中任选3个球， 3个都是篮球，至少有1个是排球是随机事件， 3个都是排球是不可能事件，至少有1个是篮球是必然事件； 故选：D． 【考点题型二】事件关系的判断 技巧：（事件关系的判断方法） （1） 两个事件是互斥事件还是对立事件，要根据互斥事件与对立事件的定义来判断，互斥事件是在任何一次试验中不能同时发生的两个事件，对立事件除要求两个事件互斥外，还要求在一次试验中必有一个事件发生． （2）对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件． 【例2】已知事件、发生的概率分别为，，则（ ） A．若，则事件与相互独立 B．若与相互独立，则 C．若与互斥，则 D．若发生时一定发生，则 【答案】AB 【分析】利用独立事件的定义判断A；利用并事件的概率公式判断B；利用互斥事件的概率公式判断C；分析可知判断出D. 【详解】对于A，由，，得， 显然，因此事件与相互独立，故A正确； 对于B，若与相互独立，则， 因此，故B正确； 对于C，若与互斥，则，故C错误； 对于D，若发生时一定发生，则，，故D错误． 故选：AB 【变式2-1】一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回的依次随机摸出2个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到红球”，“两个球颜色相同”，“两个球颜色不同”，则下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件C与事件D对立 C．事件A与事件C相互独立 D．事件B与事件D相互独立 【答案】BCD 【分析】列出从袋中不放回地依次随机摸出2个球的所有可能情况，利用古典概型求出相应的概率，结合相互独立事件的判定方法和对立事件的概念，即可求出结果. 【详解】从袋中不放回地依次随机摸出2个球的所有可能情况为： ， ，共有12种， 事件A，B可以同时发生，故事件A与事件B不互斥，故选项A错误； 根据对立事件的概念知，C与D互为对立，故选项B正确； 则， 因为， 且，所以A与C相互独立，故选项C正确； 因为； 且，所以B与D相互独立，故D正确. 故选：. 【变式2-2】已知随机事件，满足，则下面说法正确的是（    ） A．若事件与互斥，则 B．若，则事件与可能互斥 C．若事件与相互独立，则 D．若，则事件与互斥 【答案】C 【分析】由相互独立事件、互斥事件的关系进行验证各选项. 【详解】对于A，因为与互斥，所以，故A错误； 对于B，若，则， 解得，所以事件与不可能互斥，故B错误； 对于C，若事件与相互独立，则事件与也相互独立， 则，故C正确； 对于D，若，又， 所以，所以事件与相互独立，则事件与也相互独立， 事件与可能同时发生，所以事件与不互斥，故D错误. 故选：C. 【变式2-3】已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 【答案】D 【分析】列举出样本空间、事件和事件，即可判断A；对于BD：根据互斥事件、对立事件的概念分析判断；对于C：根据事件概率乘法公式分析判断. 【详解】用每次取球的结果，分别表示甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球的标号， 由题意可知：样本空间； 事件；事件，； 对于选项A：因为，所以事件A和不相等，故A错误； 对于选项BD：因为事件， 所以事件A和互斥，事件A和不互相对立，故B错误，D正确； 对于选项C：因为， 则， 显然，所以事件A和不相互独立，故C错误； 故选：D. 【考点题型三】古典概型的计算 技巧：1、（求古典概型的一般步骤） （1）明确实验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母/数字/数组等）表示实验的可能结果（可借助图表）； （2）根据实际问题情景判断样本点的等可能性； （3）计算样本点总个数及事件包含的样本点个数，求出事件A的概率． 2、（“有放回”与“无放回”的区别） “有放回”是指抽取物体时，每一次抽取之后，都将被抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样的． “无放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，被抽取的物体放到一边，并不放回到原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体的总数较前一次被抽取的物体总数少；这两种情况下基本事件总数是不同的． 【例3】一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件“两次向上的数字都为3”，“两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是（   ） A．该试验的样本空间共有36个样本点 B．事件A与事件B互斥 C． D． 【答案】A 【分析】对于A：根据题意直接判断即可；对于B：根据互斥事件的定义分析判断；对于CD：根据题意结合古典概型运算求解即可. 【详解】对于选项A：设样本空间为，则， 即该试验的样本空间共有36个样本点，故A正确； 对于选项B：事件“两次向上的数字都为3” ， 事件“两次向上的数字之和是6” ， 显然事件B包含事件A，所以事件A与事件B不互斥，故B错误； 对于选项C：因为，所以，故C错误； 对于选项D：因为，所以，故D错误； 故选：A. 【变式3-1】定义：若一个两位数的十位数字和个位数字分别为a，b，且满足，，指a，b中较小的一个，则称这个两位数为“倍差数”．若从所有的两位数中随机取一个数，则其是“倍差数”的概率为 ． 【答案】 【分析】根据题意分和两种情况，分别分析的变形，结合，确定的可能取值，从而可枚举出所有符合条件的两位，进而可求出概率. 【详解】（1）当时，由，得， 即，需满足（）， 所以， 当时，，不符合题意； 当时，，则取1到8的正整数，所以取2到9的正整数， 所以满足的数有21，31，41，51，61，71，81，91，共8个， 当时，，则取1到3的正整数，所以取4，6，8，所以满足条件的数有42，62，82，共3个， 当时，，则只能取1，2，所以取6，9，所以满足条件的数有63，93，共2个， 当时，，则只能取1，所以取8，所以满足条件的数为84，只有1个， 当时，无解， 所以共有个数， （2）当时，由，得， 即，需满足（）， 所以， 当时，，则取1到8的正整数，所以取2到9的正整数， 所以满足条件的数有12，13，14，15，16，17，18，19，共8个数， 当时，，则取1，2，3，所以取4，6，8，所以满足条件的数有24，26，28，共3个， 当时，，则取1，2，所以取6，9，所以满足条件的数有36，39，共2个， 当时，，则只能取1，所以取8，所以满足条件的数为48，只有1个， 当时，，不符合题意， 所以共有个数， 综上符合条件的数共有个， 因为所有的两位数有90个， 所以所求概率为. 故答案为： 【变式3-2】某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过的部分按照平价收费，超过的部分按照议价收费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量（单位：吨），按照分组，，…，制作了频率分布直方图，下列说法正确的有（   ） A．第一组的频率为0.1 B．该市居民月均用水量的众数的估计值为2.25 C．如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量（吨）的最低标准的估计值为2.7 D．在该样本中月均用水量少于1吨的6个居民中用随机抽样的方法抽取2人，则抽到的2人月均用水量都不低于0.5吨的概率为0.4 【答案】BCD 【分析】根据给定的频率分布直方图，结合众数、百分位数判断ABC；求出概率判断D. 【详解】对于A，第一组的频率为，A错误； 对于B，样本数据在区间的频率最大，该市居民月均用水量的众数的估计值为2.25，B正确； 对于C，样本数据小于2.5的频率， 样本数据小于3的频率， ，由，解得吨， 因此月均用水量的标准定为吨，C正确； 对于D，月均用水量在的人数为：人，记为，， 月均用水量在的人数为：人，记为，，，， 从此人中随机抽取两人所有可能的情况有：,,,,,,,,,,,,,,，共种， 其中月均用水量都在的情况有：,,,,,，共种， 因此两人月均用水量都不低于吨的概率：，D正确. 故选：BCD 【变式3-3】甲、乙、丙三人进行篮球传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第4次传球传给乙的概率为 ． 【答案】/ 【分析】列举所有情况，利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】前4次传球接球的情况有：乙甲乙甲、乙甲乙丙、乙甲丙甲、乙甲丙乙、乙丙甲乙、乙丙甲丙、 乙丙乙甲、乙丙乙丙、丙甲乙甲、丙甲乙丙、丙甲丙甲、丙甲丙乙、丙乙甲乙、丙乙甲丙、丙乙丙甲、丙乙丙乙，共16种， 第4次传球传给乙的情况有：乙甲丙乙、乙丙甲乙、丙甲丙乙、丙乙甲乙、丙乙丙乙，共5种， 设第4次传球传给乙的事件为，则 故答案为： 【变式3-4】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人， 记事件 “抽到的两人是一男生一女生”， 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共12个样本点， 其中有8个样本点，所以. 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共16个样本点， 其中有8个样本点，所以. 故选：A. 【考点题型四】频率与概率 技巧：1、（1）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． （2）频率本身是随机的，在试验前不能确定． （3）概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关． 2、在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大． 3、用随机数模拟法求事件概率的方法 在使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果． （1）试验的基本结果是等可能时，基本事件的总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件． （2）研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数 4、(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值． (2)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件． 【例4】某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）. (1)求选取的市民年龄在内的人数； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 【答案】(1)20 (2)平均数32.25; 第80百分位数37.5 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图，先求出年龄在内的频率，再求出频数； （2）根据频率分布直方图，求出组中值，利用组中值求平均数即可，第80百分位数即为左侧面积为0.8的线所对应的值； （3）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可. 【详解】（1）（1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. （2）(2) 平均数为 32.25; 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. （3）（3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，，，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 【变式4-1】2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象．为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试．根据测试成绩，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示． (1)求该样本的第75百分位数； (2)试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)； (3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在各一人的概率． 【答案】(1)分； (2)分； (3). 【分析】（1）根据频率和为1求得，再由百分位数的定义求第75百分位数； （2）由频率直方图的平均数求法求平均分； （3）根据分层抽样确定5人中的人数分布，再应用列举法求古典概型的概率. 【详解】（1）由题设，可得， 由，， 所以样本的第75百分位数位于区间，设为，则， 所以分. 则其第75百分位数为分. （2）由题设分； 则平均分为分. （3）由题设，的频率比为， 故抽取的5人中有2人为、有3人为， 任抽2人有，共10种情况， 其中分数在各一人有，共6种情况， 所以这2名同学分数在各一人的概率. 【变式4-2】下列说法中，正确的是（    ） A．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖 B．做7次拋硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 C．若事件两两互斥，则 D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3的倍数的概率是 【答案】D 【分析】根据随机事件的概念即可说明A、B；举例即可说明C项；列举出事件包含的样本点的个数，根据古典概型的概率公式，计算即可得出D项. 【详解】对于A项，由于事件结果的随机性，购买100张彩票不一定会中奖，故A错误； 对于B项，做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，故B错误； 对于C项，事件两两互斥，比如投掷质地均匀的骰子试验中，三个事件：投掷出1点，2点，3点，这三个事件两两互斥，但这三个事件的和事件发生的概率为，故C错误； 对于D项，任意投掷两枚质地均匀的骰子共包含36个等可能的样本点， 其中点数和是3的倍数的情况有，共12个样本点， 根据古典概型的概率公式，可得概率是，故D正确. 故选：D. 【变式4-3】某市有名初中生参加数学竞赛预赛，随机调阅了名学生的答卷，成绩如下表： 成绩 1分 2分 3分 4分 5分 6分 7分 8分 9分 10分 人数 0 0 1 5 10 18 11 3 2 0 (1)求样本的平均成绩和方差； (2)若规定预赛成绩在7分或7分以上的学生参加复赛，试估计有多少名学生可以进入复赛？ 【答案】(1)平均成绩为6分，方差为1.6； (2)96名 【分析】（1）根据条件，利用平均数与方差的计算公式，即可求出结果； （2）先计算出50名选手中，7分或7分以上的学生的频率，即可求出结果. 【详解】（1）平均成绩为：， 方差， 故样本的平均成绩为6分，方差为1.6. （2）在50名选手中，有（名）学生预赛成绩在7分或7分以上， 所以估计300人中有（名）学生的预赛成绩在7分或7分以上， 故大约有96名学生可以进入复赛． 【考点题型五】事件独立性的判断 技巧：两个事件是否相互独立的判断 （1）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （2）公式法：若，则事件A，B为相互独立事件． 【例5】在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则（    ） A． B．事件与事件相互独立 C． D．事件与事件为互斥事件 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合相互独立事件、互斥事件及概率的基本性质逐项求解判断. 【详解】对于A，由古典概率得，A错误； 对于B，，，，则， 即事件与事件相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，当摸出的两张卡牌编号为2，3时，事件与事件同时发生，D错误． 故选：BC 【变式5-1】口袋中装有编号为①，②，③的3个红球和编号为①，②，③，④，⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同．现从中取出1个小球，记事件A为“取出的小球的编号为③”，事件B为“取出的小球是黑球”，则（   ） A．A与B互斥 B． C．A与B独立 D． 【答案】BD 【分析】根据互斥事件、独立事件的概念判断A、C，根据和事件、交事件的定义及古典概型的概率公式计算即可判断B、D； 【详解】对于A，当取到的小球为黑球，且编号为③，事件和事件同时发生，所以， 故与不互斥，故A错误； 对于B，表示、同时发生的概率，即取到的小球为黑球且编号为③，所以，故B正确； 对于C，表示取出的小球的编号为③的概率，则， 表示取出的小球是黑球的概率，则， 因为，所以事件A与B不独立，故C错误； 对于D，表示取到的小球标号为③或黑球，所以，故D正确. 故选：BD． 【变式5-2】已知事件满足，则下列说法正确的有（    ） A．若事件独立，则事件独立 B．若事件独立，则事件独立 C．若事件独立，则事件独立 D．若事件独立，则事件独立 【答案】AC 【分析】根据事件相互独立的概念逐项判断可得正确答案. 【详解】A.由事件独立得， ∴，故事件独立，A正确； B.要使事件独立，则需事件两两独立，且满足， 条件中只给出事件独立，没有说明事件和事件独立，B错误； C.∵事件独立，∴，又， 因，故，即事件独立，故C正确； D.由选项C可知根据事件独立可得事件独立，结合选项B可得选项D错误. 故选：AC. 【变式5-3】下列命题正确的是（   ） A．若三个事件、、两两相互独立，则 B．设、是两个随机事件，且，，若，则、是相互独立事件 C．若，，则事件、相互独立与、互斥有可能同时成立 D．若事件、相互独立，，，则 【答案】BD 【分析】利用特例法可判断A选项；利用独立事件的定义可判断B选项；利用互斥事件和独立事件的定义可判断C选项；利用并事件的概率公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，设样本空间，每个样本点的概率为． 定义，；，；，． ，．，． ，，所以、、两两相互独立． 而，，， 此时．A选项错误； 对于B选项，已知，，，即， 所以、是相互独立事件，B选项正确； 对于C选项，若、互斥，则，． 若、相互独立，则（因为，）． 所以事件、相互独立与、互斥不可能同时成立，C选项错误； 对于D选项，因为、相互独立， 则， 所以，D选项正确． 故选：BD. 【变式5-4】掷一枚质地均匀的骰子两次，甲表示事件“第一次出现的点数是奇数点”，乙表示事件“两次骰子的点数之和是7”，则甲与乙的关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．既不互斥也不独立 【答案】C 【分析】列举出样本空间及甲乙对应事件并确定概率，结合互斥、对立事件的定义及独立事件的判定判断各项正误. 【详解】由题设，样本空间为，，， ，，，共有36种， 甲有，，共有18种，则概率为， 乙有共有6种，则概率为， 显然同时满足甲乙有且概率为，则， 所以甲乙不互斥也不对立，但相互独立，A、B、D错，C对. 故选：C 【考点题型六】相互独立事件概率 技巧：1、（1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②求出每个事件的概率，再求积． （2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的． 2、求较复杂事件的概率的一般步骤如下 （1）列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示． （2）理清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的），列出关系式． （3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算． （4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 【例6】甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． (1)求再赛2局结束这次比赛的概率； (2)求甲获得这次比赛胜利的概率． 【答案】(1)0.52 (2)0.648 【分析】（1）再赛2局结束这次比赛分“第三、四局甲胜”与“第三、四局乙胜”两类情况，根据根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解可得； （2）由题意，甲获得这次比赛胜利只需后续比赛中甲先胜两局即可，根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解即可. 【详解】（1）用表示事件“第局甲胜”，表示事件“第局乙胜”（）， 设“再赛2局结束这次比赛”为事件，则， 由于各局比赛结果相互独立，且事件与事件互斥. 所以 ． 故再赛2局结束这次比赛的概率为. （2）记“甲获得这次比赛胜利”为事件， 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局， 从而， 由于各局比赛结果相互独立，且事件，，两两互斥， 所以. 故甲获得这次比赛胜利的概率为. 【变式6-1】三人合作玩某游戏，用火箭筒射击一低空飞行的直升机，甲瞄准驾驶员、乙瞄准油箱、丙瞄准发动机主要部件，命中率分别为、、，个人的射击是相互独立的，任一人射中，直升机即被击落．求击落直升机的概率． 【答案】 【分析】设事件A：甲命中驾驶员，事件B：乙命中油箱，事件C：丙命中发动机， 由，代入计算可得. 【详解】设事件A：甲命中驾驶员，事件B：乙命中油箱，事件C：丙命中发动机， 则, 所以 . 即击落直升机的概率为． 【变式6-2】一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件A为“甲机床需要维护”，事件B为“乙机床需要维护”， 一小时内没有一台机床需要维护，即，计算即可； （2）一小时内至少有一台机床不需要维护，即，计算可得. 【详解】（1）设事件A为“甲机床需要维护”，事件B为“乙机床需要维护”， 则， 则一小时内没有一台机床需要维护， 即. （2）一小时内至少有一台机床不需要维护， 即. 【变式6-3】甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为，每人闯关成功记分，三人得分之和记为小组团体总分. (1)求乙、丙各自闯关成功的概率； (2)求在第一轮比赛中团体总分为分的概率； (3)若团体总分不小于分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为，其中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为，根据独立事件同时发时的概率公式列出方程组即可． （2）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关，根据独立事件发时的概率公式写出概率，把所有的概率值相加即可； （3）团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分，由（2）可知总分是4分的概率，只要再求出总分是6分的概率即可，团体总分为6分，即3人都闯关成功，列式即可． 【详解】（1）三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为， 甲、乙都闯关成功的概率为， 甲、丙都闯关成功的概率为， 设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为， 根据独立事件同时发时的概率公式得， 解得，， 即乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为. （2）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关， 设“团体总分为4分”为事件， 则， 即团体总分为4分的概率是； （3）团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分， 设“团体总分不小于4分”为事件， 由（2）可知团体总分为4分的概率， 团体总分为6分，即3人闯关都成功的概率为， 所以参加下一轮比赛的概率为， 即该小组参加下一轮比赛的概率为. 【考点题型七】方程思想在相互独立事件概率中的应用 技巧：对于相互独立事件中的概率问题，可先从问题的数量关系入手，根据概率的定义、公式等构造方程（组），通过解方程（组）解决问题，提升数学抽象素养． 【例7】设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设条件可得, , 又 , 解得. 所以 . 故选：A. 【变式7-1】设两个独立事件A和B同时不发生的概率是p,A发生B不发生与A不发生B发生的概率相同,则事件A发生的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意设事件A发生的概率为a，事件B发生的概率为b， 则有 由②知，代入①得. 故选：C. 【考点题型八】概率的基本性质 技巧：（概率性质公式） （1）运用概率加法公式解题的步骤 ①确定诸事件彼此互斥； ②先求诸事件分别发生的概率，再求其和． （2）求复杂事件的概率通常有两种方法 一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的并； 二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率． 【例8】掷一枚骰子，下列事件：A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3倍数”.求： (1)A∩B，BC及相应的概率 (2)A∪B，B+C及相应的概率； (3)记为事件H的对立事件，求及相应的概率. 【解析】（1）由题可知，，，， ∴，，，， ∴A∩B=，BC={2}， 所求概率为， . （2）A∪B={1，2，3，4，5，6}，B+C={1，2，4，6}， 所求概率为， . （3）={1，2}；=BC={2}；=A∪C={1，2，3，5}；={1，2，4，5}. 所求概率为；；；. 【变式8-1】有3个两两互斥的事件A，B，C，已知事件是必然事件，事件A发生的概率是事件B发生的概率的2倍，事件C发生的概率比事件B发生的概率大0.2.分别求事件A，B，C发生的概率. 【解析】设，则，. 由题意知，解得. 所以，，. 【变式8-2】给出下列事件：①明天进行的某场足球比赛的比分是；②同时掷两颗骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；③下周一某地的最高气温与最低气温相差10℃；④射击一次，命中靶心；⑤当为实数时，． 其中，必然事件有______，不可能事件有______． 【答案】 ② ⑤ 【解析】①为随机事件； ②同时掷两颗骰子，向上一面的两个点数最小均为1，此时和为2，其他情况均大于2，所以向上一面的两个点数之和不小于2，为必然事件； ③下周一某地的最高气温与最低气温相差10℃，为随机事件； ④射击一次，命中靶心，为随机事件； ⑤当为实数时，，所以⑤为不可能事件. 故答案为：②，⑤ 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$