清单05 立体几何初步（考点清单，知识导图+16个考点清单+题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（湘教版2019必修第二册）

清单05 立体几何初步 （16个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】棱柱的结构特征 1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面． 2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 3、棱柱的表示方法： ①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、； ②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等． 4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行． 【清单02】棱锥的结构特征 1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； 2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……；S S D D C C B B A A E C B A S 3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥． 【清单03】圆柱的结构特征 1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线． 2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱 【清单04】圆锥的结构特征 1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴． 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线． 2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥． 【清单05】棱台和圆台的结构特征 １、定义：用一个平行于棱锥（圆锥）底面的平面去截棱锥（圆锥），底面和截面之间的部分叫做棱台（圆台）；原棱锥（圆锥）的底面和截面分别叫做棱台（圆台）的下底面和上底面；原棱锥（圆锥）的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台（圆台）的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴． 2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台； 3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台； 【清单06】球的结构特征 1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．半圆的半径叫做球的半径．半圆的圆心叫做球心．半圆的直径叫做球的直径． 2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O． （1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径． （2）若半径为的球的一个截面圆半径为，球心与截面圆的圆心的距离为，则有． 【清单07】特殊的棱柱、棱锥、棱台 特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体； 特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体； 特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台； 【清单08】简单组合体的结构特征 1、组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体； 2、常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合． ①多面体与多面体的组合体 由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体． ②多面体与旋转体的组合体 由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的． ③旋转体与旋转体的组合体 由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的． 【清单09】几何体中的计算问题 几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧： （1）在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关． （2）正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中．另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来． （3）研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系． （4）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一． （5）圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决． （6）关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面． 【清单10】斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 【清单11】圆台的表面积 （1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为S圆台侧=． （2）圆台的表面积：． 【清单12】柱体、锥体、台体的体积 1、柱体的体积公式 棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh． 圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h．综上，柱体的体积公式为V=Sh． 2、锥体的体积公式 棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则． 综上，锥体的体积公式为． 3、台体的体积公式 棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是． 圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是 ． 综上，台体的体积公式为． 【清单13】球的表面积和体积 1、球的表面积 （1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积公式S球=4πR2．即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2、球的体积 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．球的体积公式为． 【清单14】异面直线 1、定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 2、画法： 3、两异面直线所成角的常用方法 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 【清单15】空间平行关系的注意事项 直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体转化过程如图所示． 【清单16】有关垂直（1）判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视． （2）要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要． 相关的重要结论 ①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条． ②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直． ③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直． 【考点题型一】简单几何体的组合体 技巧：解决简单几何体的判定问题，需要对简单几何体的有关结构特征熟练掌握， 如侧棱与底面的关系，底面、侧面的形状、截面形状等， 同时还要会计算棱柱、棱锥、棱台的顶点数、棱数及面数． 【例1】如图，过圆锥的轴的截面是边长为4的正三角形，过的中点作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则能够完成任务的模块组合有（    ） A．①②⑤ B．①④⑤ C．②③④ D．①②③ 【变式1-2】如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是 .（填序号）       应用空间想象，讨论截面与轴截面的位置关系判断截面图形的形状即可.      【变式1-3】红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为，球冠的高为，则球冠的面积.如图1，已知该灯笼的高为58cm，圆柱的高为5cm，圆柱的底面圆直径为14cm，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】简单几何体的表面展开与折叠问题 技巧：（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量； （2）立体几何中距离的最值一般处理方式： ①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值； ②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值． 【例2】已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式2-1】已知圆锥的底面半径为8，母线长为10，则下列说法正确的是（    ） A．其侧面展开图为一扇形，且圆心角为 B．该圆锥表面积为 C．该圆锥的体积为 D．过该圆锥顶点的截面面积的最大值为50 【变式2-2】圆柱有一个内接长方体，长方体体对角线长是，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是，求圆柱的体积． 【变式2-3】如图，侧面展开图为扇形的圆锥和侧面展开图为扇环的圆台的体积相等，且，则（    ） A．8 B．4 C． D．2 【考点题型三】与直观图还原有关的计算问题 技巧：由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点． （1）直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的sin45°＝倍． （2）S直观图＝S原图． 由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换． 【例3】如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图所示，一个平面图形在斜二测画法下的直观图为直角梯形（上底为2，下底为4，高为2），则原平面图形的面积为 ． 【变式3-2】如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（   ） A．2 B．4 C．6 D． 【变式3-3】如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 技巧：1、多面体的表面积转化为各面面积之和． 2、解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路： 一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决． 3、常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面， 只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 4、求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、 轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算． 【例4】某家庭为了外出露营，特意网购了一个帐篷．如图所示，该帐篷的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，已知，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，是正四棱锥，是正方体，其中，，则该几何体的表面积 ； 【变式4-2】如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ） A．640元 B．512元 C．390元 D．347.5元 【变式4-3】清乾隆云龙纹双螭龙耳方形炉摆件，是乾隆时期玉雕工艺的杰出代表．它玉质细腻，古韵十足，线条流畅，造型规整，雕刻着精美的云龙纹与螭龙耳，底部落“乾隆年制”款，尽显皇家气派．这件方形炉摆件可近似看作台体，高约，上底面与下底面为相似长方形，上底面的长约，宽约，若下底面的长和宽均为上底面长和宽的0.8倍，则该方形炉摆件主体体积约为（   ） （参考数据：，结果保留一位小数） A． B． C． D． 【考点题型五】圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积 技巧：（求旋转体表面积注意事项） 旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥． （求几何体积的常用方法） （1）公式法：直接代入公式求解． （2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可． （3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等． （4）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 【例5】已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，圆锥的高，侧面积，，是底面圆上的两个动点，则面积的最大值为（    ） A． B．2 C．1 D． 【变式5-3】亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【考点题型六】球的表面积与体积 技巧：1、正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面 2、球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝， 3、长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝， 4、正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a． 5、正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝a． 6、有关球的截面问题常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决． 【例6】将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】在矩形中，，，以对角线为折痕将进行翻折，折后为，连接得到三棱锥，在翻折过程中，三棱锥外接球的表面积为 ． 【变式6-3】如图是一个直径为12cm的球形容器和一个底面直径为6cm、深8cm的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（    ） A．3杯 B．4杯 C．5杯 D．6杯 【考点题型七】几何体的直观图画法 技巧：（画空间几何体的直观图的注意事项） （1）首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直． （2）作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变． （3）平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半． （4）平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变． 【例7】在中，A为直角，，，若用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知直三棱柱，的底面是等腰直角三角形，且，侧棱．在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图．（不要求写出画法，但要标上字母，并保留作图痕迹）    【变式7-2】已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，且侧棱． (1)在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图； (2)求该三棱柱的外接球的表面积． 【变式7-3】如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器． （1）请在答卷指定位置的空间直角坐标系中按比例画出该正四棱锥的直观图； （不需要写步骤及作图过程） （2）求该正四棱锥形容器的体积． 【考点题型八】简单几何体的结构特征 技巧：有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱． 如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱． 判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行， 其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个 相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱． 圆锥：（1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面． （2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线． （3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线． 【例8】如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器以BC所在直线为轴顺时针旋转，则（   ） A．有水的部分始终是棱柱 B．四边形EFGH为矩形且面积不变 C．棱始终与水面平行 D．当点H在棱CD上且点G在棱上（均不含端点）时，是定值 【变式8-1】下列命题是真命题的是（   ） A．棱台的侧面一定是梯形 B．直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D．过空间内不同的三点有且仅有一个平面 【变式8-2】已知正四面体的棱长为2，过点的截面将正四面体分成体积相等的两部分，则下列说法正确的是（    ） A．截面为等腰三角形的个数是6 B．截面一定是锐角三角形 C．截面可以是等边三角形 D．过棱的中点作正四面体外接球的截面，截面圆的面积的最小值是 【变式8-3】下列命题中正确的是（   ） A．底面是正多边形的棱柱叫做正棱柱 B．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 C．沿直角三角形的一边旋转一周即可得到圆锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【考点题型九】基本图形位置关系 技巧：1、判定两直线异面的常用方法 （1）定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内； （2）排除法（反证法）：排除两直线共面（平行或相交）的情况 2、直线与平面位置关系的解题思路 解决此类问题首先要搞清楚直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助空间想象能力进行细致的分析． 3、平面与平面位置关系的解题思路 判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断．常借助长方体模型进行判断． 【例9】如图，在四棱锥中，平面 ， 分别为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. 【变式9-1】如图所示，AB为圆锥PO底面的直径，为圆上异于A、B的一点，、分别为AC、PA的中点，连接DO并延长交圆于点． (1)证明：平面PDE； (2)证明：平面PBC. 【变式9-2】如图，正方体中，分别是的中点． (1)求证：四点共面； (2)设平面与平面交于直线，求证：． 【变式9-3】如图，在三棱锥中，，，，点E为的中点. (1)求证：； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$