清单05 立体几何初步（考点清单，知识导图+16个考点清单+题型解读）（期末复习知识清单）高一数学下学期湘教版

清单05 立体几何初步 （16个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】棱柱的结构特征 1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面． 2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 3、棱柱的表示方法： ①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、； ②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等． 4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行． 【清单02】棱锥的结构特征 1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； 2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……；S S D D C C B B A A E C B A S 3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥． 【清单03】圆柱的结构特征 1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线． 2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱 【清单04】圆锥的结构特征 1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴． 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线． 2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥． 【清单05】棱台和圆台的结构特征 １、定义：用一个平行于棱锥（圆锥）底面的平面去截棱锥（圆锥），底面和截面之间的部分叫做棱台（圆台）；原棱锥（圆锥）的底面和截面分别叫做棱台（圆台）的下底面和上底面；原棱锥（圆锥）的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台（圆台）的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴． 2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台； 3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台； 【清单06】球的结构特征 1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．半圆的半径叫做球的半径．半圆的圆心叫做球心．半圆的直径叫做球的直径． 2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O． （1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径． （2）若半径为的球的一个截面圆半径为，球心与截面圆的圆心的距离为，则有． 【清单07】特殊的棱柱、棱锥、棱台 特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体； 特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体； 特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台； 【清单08】简单组合体的结构特征 1、组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体； 2、常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合． ①多面体与多面体的组合体 由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体． ②多面体与旋转体的组合体 由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的． ③旋转体与旋转体的组合体 由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的． 【清单09】几何体中的计算问题 几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧： （1）在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关． （2）正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中．另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来． （3）研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系． （4）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一． （5）圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决． （6）关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面． 【清单10】斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 【清单11】圆台的表面积 （1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为S圆台侧=． （2）圆台的表面积：． 【清单12】柱体、锥体、台体的体积 1、柱体的体积公式 棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh． 圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h．综上，柱体的体积公式为V=Sh． 2、锥体的体积公式 棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则． 综上，锥体的体积公式为． 3、台体的体积公式 棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是． 圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是 ． 综上，台体的体积公式为． 【清单13】球的表面积和体积 1、球的表面积 （1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积公式S球=4πR2．即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2、球的体积 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．球的体积公式为． 【清单14】异面直线 1、定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 2、画法： 3、两异面直线所成角的常用方法 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 【清单15】空间平行关系的注意事项 直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体转化过程如图所示． 【清单16】有关垂直（1）判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视． （2）要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要． 相关的重要结论 ①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条． ②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直． ③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直． 【考点题型一】简单几何体的组合体 技巧：解决简单几何体的判定问题，需要对简单几何体的有关结构特征熟练掌握， 如侧棱与底面的关系，底面、侧面的形状、截面形状等， 同时还要会计算棱柱、棱锥、棱台的顶点数、棱数及面数． 【例1】如图，过圆锥的轴的截面是边长为4的正三角形，过的中点作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题意求出圆锥母线长、底面圆半径和高以及圆柱的高和圆柱底面的半径，再根据剩余几何体的表面组成结合圆锥、圆柱侧面积公式即可计算求解. 【详解】由题可得圆锥母线长为，底面圆半径，高， 所以圆柱的高，圆柱底面的半径为， 由题意余下几何体的表面等价于由圆锥侧面和底面以及圆柱侧面三部分组成， 所以余下几何体的表面积为. 故选：C 【变式1-1】如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则能够完成任务的模块组合有（    ） A．①②⑤ B．①④⑤ C．②③④ D．①②③ 【答案】ABC 【分析】根据选项逐一放入判断可得结果. 【详解】将模块①和②组合成一层，则差角上一小块，将模块⑤平放于模块⑥中，这样正好满足条件，故A正确； 将模块①和④组合成一层，则差角上一小块，将模块⑤平放于模块⑥中，这样正好满足条件，故B正确； 将模块②放在模块⑥上的四个小方块上，模块③的中间凸出的一小块倒放入模块⑥最右侧，然后再将模块④竖放入模块⑥最前侧即可，故C正确； 无论如何放入模块①②③都无法满足要求，故D不正确． 故选：ABC． 【变式1-2】如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是 .（填序号）       【答案】①④ 【分析】 应用空间想象，讨论截面与轴截面的位置关系判断截面图形的形状即可. 【详解】当截面如下图为轴截面时，截面图形如①所示；    当截面如下图不为轴截面时，截面图形如④所示，下侧为抛物线的形状.    故答案为:①④. 【变式1-3】红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为，球冠的高为，则球冠的面积.如图1，已知该灯笼的高为58cm，圆柱的高为5cm，圆柱的底面圆直径为14cm，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题利用勾股定理求出半径，再求出高度，分别求出两个球冠的面积，用球体的表面积减去两个球冠的面积即可解决问题. 【详解】由题意得：， 所以cm， 所以cm， 所以两个球冠的面积为cm2， 则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为： cm2， 故选：C. 【考点题型二】简单几何体的表面展开与折叠问题 技巧：（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量； （2）立体几何中距离的最值一般处理方式： ①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值； ②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值． 【例2】已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据题意，由圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长列出方程，即可求解. 【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则， 解得， 故选：D. 【变式2-1】已知圆锥的底面半径为8，母线长为10，则下列说法正确的是（    ） A．其侧面展开图为一扇形，且圆心角为 B．该圆锥表面积为 C．该圆锥的体积为 D．过该圆锥顶点的截面面积的最大值为50 【答案】ACD 【分析】利用弧长公式、圆锥的表面积公式体积公式计算后可判断ABC的正误，利用余弦定理判断轴截面的顶角为钝角后可求过顶点截面的面积最大值后可判断D的正误. 【详解】对于A，扇形的圆心角的弧度数为，故A正确； 对于B，圆锥表面积为，故B错误； 对于C，圆锥的体积为，故C正确； 对于D，设圆锥轴截面的顶角为，则， 而为三角形内角，故为钝角， 而过该圆锥顶点的截面面积为， 截面等腰三角形的顶角，而， 故面积的最大值为，当且仅当时等号成立，故D正确； 故选：ACD. 【变式2-2】圆柱有一个内接长方体，长方体体对角线长是，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是，求圆柱的体积． 【答案】 【分析】设圆柱底面半径为，高为，根据题设建立方程组，求解出，再利用柱体的体积公式，即可求解. 【详解】设圆柱底面半径为，高为，如图所示， 因为圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，且圆柱侧面展开图的面积为， 则，解得， 所以，故圆柱的体积为． 【变式2-3】如图，侧面展开图为扇形的圆锥和侧面展开图为扇环的圆台的体积相等，且，则（    ） A．8 B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】利用圆锥的体积公式计算即可. 【详解】设侧面展开图为扇形的圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的体积． 侧面展开图为扇形的圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的体积． 由题可知，从而． 故选：D. 【考点题型三】与直观图还原有关的计算问题 技巧：由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点． （1）直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的sin45°＝倍． （2）S直观图＝S原图． 由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换． 【例3】如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，根据可求出的值，作出的图形，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】设，过点作轴，垂足为点，设，如下图所示： 则，故，可得， 还原原的图形如下图所示，则，， 故. 故选：A. 【变式3-1】如图所示，一个平面图形在斜二测画法下的直观图为直角梯形（上底为2，下底为4，高为2），则原平面图形的面积为 ． 【答案】 【分析】求出直观图面积，根据原图形面积与直观图面积关系求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 【变式3-2】如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（   ） A．2 B．4 C．6 D． 【答案】C 【分析】利用斜二测画法可还原到原直角坐标系中，再计算边长即可 【详解】由题意可得还原后如下： ，，，则 故选：C. 【变式3-3】如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据已知条件求出直角梯形的面积，然后根据原平面图形的面积与直观图的面积之间的关系求出结果. 【详解】根据题意，该图形的直观图是直角梯形， 则其面积， 那么该平面图形的面积为. 故选：D. 【考点题型四】棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 技巧：1、多面体的表面积转化为各面面积之和． 2、解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路： 一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决． 3、常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面， 只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 4、求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、 轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算． 【例4】某家庭为了外出露营，特意网购了一个帐篷．如图所示，该帐篷的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，已知，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正六边形的边长，六棱锥的侧棱，由，得出棱长关系，分别求出正六棱锥与正六棱柱的侧面积，即可求出正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比. 【详解】如图，设正六棱柱底面边长为，侧棱长为，由题意可知，， 则可知正六棱柱的侧面积为． 设正六棱锥侧棱长为，则． 又，所以，解得， 所以正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为. 故选：B． 【变式4-1】如图，是正四棱锥，是正方体，其中，，则该几何体的表面积 ； 【答案】/ 【分析】先计算正四棱锥的斜高，即可求得几何体的表面积. 【详解】题意得正四棱锥的斜高， 故几何体表面积为. 故答案为：. 【变式4-2】如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ） A．640元 B．512元 C．390元 D．347.5元 【答案】B 【分析】首先根据已知条件求出侧面的高，然后求出侧面的面积，然后求出该四棱台的总的表面积，进而可求出该零部件的防腐处理费用. 【详解】因为正四棱台中，，高为8cm， 则侧面的斜高为. 所以. 所以该四棱台的表面积为， 又每平方厘米的防腐处理费用为0.5元， 所以该部件的防腐处理费用是元. 故选：B. 【变式4-3】清乾隆云龙纹双螭龙耳方形炉摆件，是乾隆时期玉雕工艺的杰出代表．它玉质细腻，古韵十足，线条流畅，造型规整，雕刻着精美的云龙纹与螭龙耳，底部落“乾隆年制”款，尽显皇家气派．这件方形炉摆件可近似看作台体，高约，上底面与下底面为相似长方形，上底面的长约，宽约，若下底面的长和宽均为上底面长和宽的0.8倍，则该方形炉摆件主体体积约为（   ） （参考数据：，结果保留一位小数） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算出台体上、下底面的面积，再根据台体体积计算即可. 【详解】由题意可知，上底面面积， 下底面的长为，宽为， 下底面面积，高． 所以由台体的体积公式， 可得 ， 故选：A． 【考点题型五】圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积 技巧：（求旋转体表面积注意事项） 旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥． （求几何体积的常用方法） （1）公式法：直接代入公式求解． （2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可． （3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等． （4）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 【例5】已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出底面半径，由题意可得高，即可计算圆柱的侧面积和圆锥的侧面积，求解即可. 【详解】设这个圆柱和圆锥的底面半径为， 由圆柱的轴截面是一个正方形，故其高， 则圆柱的侧面积， 圆锥的侧面积， 则，故B正确. 故选：B. 【变式5-1】已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆柱和圆锥的侧面积公式可求得，再利用圆锥的体积公式即可求解. 【详解】设圆柱和圆锥的底面半径为，高， 因为圆柱和圆锥的侧面积相等，所以， 即，故， 所以圆锥的体积为. 故选：B. 【变式5-2】如图，圆锥的高，侧面积，，是底面圆上的两个动点，则面积的最大值为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】设圆锥母线长为l，底面圆O半径为,由侧面展开图面积，再作出圆锥的轴截面，由时，面积最大求解. 【详解】设圆锥母线长为l，底面圆O半径为， 所以，解得， 作出圆锥的轴截面，如图所示： 则 ， 因为底面圆周上有两动点，，当时，则面积的最大， 最大值为. 故选：B. 【变式5-3】亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，利用圆台侧面积公式进行求解. 【详解】圆台的上底圆直径为3，上底圆直径为4.6，高为0.6， 过点作，垂足分别为， 故，故， 故该圆台部分的侧面积为. 故选：B 【考点题型六】球的表面积与体积 技巧：1、正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面 2、球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝， 3、长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝， 4、正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a． 5、正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝a． 6、有关球的截面问题常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决． 【例6】将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到翻折后四面体ABCD是2个直角三角形构成的，所以外接球球心在斜边的中点处，可得到半径进而求得体积，由翻折特性可知平面AOC，又可求体积. 【详解】翻折后所得图形如下图所示，易知BD的中点O为球心， 故该四面体的外接球体积， 又，平面AOC，， 所以平面AOC， 二面角的大小为，， , 故所求体积之比为， 故选：D． 【变式6-1】在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将该三棱锥放入正方体中，借助正方体的外接球求解，即可根据体积公式计算. 【详解】由于两两垂直,将该三棱锥放入正方体中，如图： 故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同， 故该三棱锥外接球的半径. 所以外接球的体积. 故选：B 【变式6-2】在矩形中，，，以对角线为折痕将进行翻折，折后为，连接得到三棱锥，在翻折过程中，三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】结合图形特点，取中点，分析推得点为三棱锥外接球的球心，利用公式计算即得. 【详解】 如图，在矩形中，，，则， 取中点，连接，则， 故点为三棱锥外接球的球心，外接球的半径为1， 故外接球的表面积为. 故答案为：. 【变式6-3】如图是一个直径为12cm的球形容器和一个底面直径为6cm、深8cm的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（    ） A．3杯 B．4杯 C．5杯 D．6杯 【答案】B 【分析】应用球的体积公式及圆柱的体积公式计算求解即可. 【详解】球的体积， 圆柱的体积， 所以，则球形容器装满时，约可以倒满水杯4杯. 故选：B 【考点题型七】几何体的直观图画法 技巧：（画空间几何体的直观图的注意事项） （1）首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直． （2）作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变． （3）平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半． （4）平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变． 【例7】在中，A为直角，，，若用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在原图形中，由勾股定理求出，根据斜二测画法得到，，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】根据题意，中，，，， 由勾股定理得， 在直观图中， ，， 故的面积. 故选：B 【变式7-1】已知直三棱柱，的底面是等腰直角三角形，且，侧棱．在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图．（不要求写出画法，但要标上字母，并保留作图痕迹）    【答案】作图见解析 【分析】根据斜二测画法的原则，可画出直观图. 【详解】如图所示．    【变式7-2】已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，且侧棱． (1)在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图； (2)求该三棱柱的外接球的表面积． 【答案】(1)见解析； (2)68π 【分析】（1）根据斜二测画法的原则，直接画出直观图即可； （2）确定球心的位置，再根据勾股定理求得半径，即可得到答案. 【详解】（1）如图所示： （2） 取直三棱柱上下底面的外心分别为，分别为的中点，则的中点为外接球的球心，， 则外接球半径，故表面积. 【变式7-3】如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器． （1）请在答卷指定位置的空间直角坐标系中按比例画出该正四棱锥的直观图； （不需要写步骤及作图过程） （2）求该正四棱锥形容器的体积． 【答案】（1）作图见解析；（2）． 【分析】（1）利用斜二测画法画出四棱锥的直观图即可． （2）根据图中数据计算正四棱锥形容器的体积即可． 【详解】（1）根据题意画出该四棱锥的直观图，如下： （2）设加工后的正四棱锥为，易得地面是边长为的正方形，斜高为50，所以棱锥高 正四棱锥形容器的体积为． 故所求正四棱锥形容器的体积为． 【考点题型八】简单几何体的结构特征 技巧：有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱． 如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱． 判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行， 其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个 相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱． 圆锥：（1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面． （2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线． （3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线． 【例8】如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器以BC所在直线为轴顺时针旋转，则（   ） A．有水的部分始终是棱柱 B．四边形EFGH为矩形且面积不变 C．棱始终与水面平行 D．当点H在棱CD上且点G在棱上（均不含端点）时，是定值 【答案】ACD 【分析】利用棱柱的几何特征判断A；根据水面矩形变化情况判断B；利用线面平行的判定判断C；利用盛水的体积判断D作答. 【详解】对于A，有水部分的几何体，有两个面都垂直于BC，这两个面始终平行，而， 并且BC始终与水面平行，即有，若点H在棱上，由面面平行的性质知， ，若点H在棱CD上，，因此该几何体有两个面互相平行，其余各 面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，即该几何体是棱柱，A正确； 对于B，因为水面为矩形，边的长不变，随旋转角的变化而变化，矩形的面积不是定值，B错误； 对于C，因为始终与平行，而始终与水面平行，并且不在水面所在平面内，即棱始终与水面平行，C正确； 对于D，当点在棱上且点在棱上（均不含端点）时，有水部分的棱柱的底面为三角形， 而水的体积不变，高不变，则底面面积不变，即为定值，D正确. 故选：ACD 【变式8-1】下列命题是真命题的是（   ） A．棱台的侧面一定是梯形 B．直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D．过空间内不同的三点有且仅有一个平面 【答案】ABC 【分析】根据棱台的基本概念，棱台的侧面一定是梯形，且侧棱延长交于一点判断AC正确，利用圆锥形成的概念可确定C选项，选项D当三点共线时，有无数个平面. 【详解】由棱台的定义可知棱台的侧面一定是梯形，则A正确； 绕直角三角形的一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，则B正确； 因为棱台是由棱锥截成的，所以棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点，则C正确； 当三点共线时，有无数个平面，则D错误． 故选：ABC. 【变式8-2】已知正四面体的棱长为2，过点的截面将正四面体分成体积相等的两部分，则下列说法正确的是（    ） A．截面为等腰三角形的个数是6 B．截面一定是锐角三角形 C．截面可以是等边三角形 D．过棱的中点作正四面体外接球的截面，截面圆的面积的最小值是 【答案】ABD 【分析】利用空间图形的位置关系作出符合条件的截面三角形判断A，利用余弦定理计算判断的形状判断B，假设是等边三角形，据此计算可得出矛盾判断C；求得截面面积的最小值判断D. 【详解】如图一：在的边上分别取点，使得， 且，此类等腰三角形有3个， 如图二：取的中点为，当点与点重合，此类等腰三角形有3个， 无其它类型的等腰三角形，故A正确； 如图三，设过点的截面交底面于点，且， 因过点的平面将正四面体的体积平分，即平分的面积， 由正四面体的棱长为2，可得， 解得，且， 在中，可得， 在中，可得， 在中，可得， 因为，即， 又，即， 同理可得， 即在中，任意的两边的平方和大于第三边的平方，所以为锐角三角形，故B正确； 若为等边三角形，则是满足，由， 则，即，可得， 此时，，可得，矛盾， 所以截面不是等边三角形，并且另一类等腰三角形显然不可能是等边三角形，故C错误； 将正四体放置于如图四所示的正方体中，可得该正方体的外接球就是正四面体的的外接球， 设该外接球的球心为，半径为， 因为正四体的棱长为2，且正四体的棱长是正方体的面对角线， 所以正方体的棱长为， 所以正方体外接球的半径，，解得， 又因为，解得， 又因为为棱的中点，过点作其外接球的截面， 当截面到外接球的球心的距离最大，即垂直截面时，截面面积最小， 此时为截面圆心，球心到截面的距离， 截面圆的半径为，故截面面积的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 【变式8-3】下列命题中正确的是（   ） A．底面是正多边形的棱柱叫做正棱柱 B．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 C．沿直角三角形的一边旋转一周即可得到圆锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【答案】D 【分析】利用棱柱、棱锥、圆锥的结构特征逐项判断即可. 【详解】对于A，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，A错误； 对于B，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体叫做棱柱，B错误； 对于C，沿直角三角形的斜边所在直线旋转一周，得到是共底面的两个圆锥组成的组合体，C错误； 对于D，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，D正确. 故选：D 【考点题型九】基本图形位置关系 技巧：1、判定两直线异面的常用方法 （1）定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内； （2）排除法（反证法）：排除两直线共面（平行或相交）的情况 2、直线与平面位置关系的解题思路 解决此类问题首先要搞清楚直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助空间想象能力进行细致的分析． 3、平面与平面位置关系的解题思路 判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断．常借助长方体模型进行判断． 【例9】如图，在四棱锥中，平面 ， 分别为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，再根据中位线的性质，结合线面平行的判断定理，即可证明； （2）根据线面垂直的判断定理，转化为证明线线垂直，即可证明，，即可证明线面垂直； （3）利用等体积，求点到平面的距离. 【详解】（1） 如图，连接，设，连接， 因，，可得是平行四边形，则， 又，则得， 因平面，平面，故平面. （2）由（1）已得，因，故四边形为菱形，则， 因平面 平面则， 又平面，故平面. （3）在中，， 因平面 平面则 在中，，同理，，， 故满足勾股定理，则， 故 而 ，设点D到平面的距离为d， 由等体积法得 ， 得 = 故点D到平面的距离为 【变式9-1】如图所示，AB为圆锥PO底面的直径，为圆上异于A、B的一点，、分别为AC、PA的中点，连接DO并延长交圆于点． (1)证明：平面PDE； (2)证明：平面PBC. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由圆的性质以及中位线定理，可得线线垂直，根据线面垂直的性质以及判定，可得答案； （2）根据中位线定理可得线线平行，由线面平行与面面平行的判定，结合面面平行的性质，可得答案. 【详解】（1）由题意，平面，平面，所以， 由为圆锥底面的直径，C为圆O上异于A、B的一点，可知， 因为分别为的中点，所以，则， 又因为平面，，所以平面； （2）连接，因为D、F分别为、的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 同理可得平面，而平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面. 【变式9-2】如图，正方体中，分别是的中点． (1)求证：四点共面； (2)设平面与平面交于直线，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到，再证明出四边形为平行四边形，得到，从而得到线线平行，得到结论； （2）由面面平行得到线线平行； 【详解】（1）连接， 因为E，F分别是的中点， 所以， 因为，且， 所以四边形为平行四边形，故， 所以， 故四点共面； （2）因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以； 【变式9-3】如图，在三棱锥中，，，，点E为的中点. (1)求证：； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）取中点，由题意可证，，进而可证平面，再由线面垂直的性质定理可证； （2）建立空间直角坐标系，分别求出直线AC的方向向量与平面BCE的法向量，利用空间向量求线面角即可. 【详解】（1）取中点，连接，则， 因为，所以， 因为为中点，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以． （2）因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 又平面，所以， 由（1）知，所以两两垂直． 以点为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的一个法向量，则有，即， 令，则，，所以． 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 立体几何初步 （16个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】棱柱的结构特征 1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面． 2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 3、棱柱的表示方法： ①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、； ②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等． 4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行． 【清单02】棱锥的结构特征 1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； 2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……；S S D D C C B B A A E C B A S 3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥． 【清单03】圆柱的结构特征 1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线． 2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱 【清单04】圆锥的结构特征 1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴． 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线． 2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥． 【清单05】棱台和圆台的结构特征 １、定义：用一个平行于棱锥（圆锥）底面的平面去截棱锥（圆锥），底面和截面之间的部分叫做棱台（圆台）；原棱锥（圆锥）的底面和截面分别叫做棱台（圆台）的下底面和上底面；原棱锥（圆锥）的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台（圆台）的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴． 2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台； 3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台； 【清单06】球的结构特征 1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．半圆的半径叫做球的半径．半圆的圆心叫做球心．半圆的直径叫做球的直径． 2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O． （1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径． （2）若半径为的球的一个截面圆半径为，球心与截面圆的圆心的距离为，则有． 【清单07】特殊的棱柱、棱锥、棱台 特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体； 特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体； 特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台； 【清单08】简单组合体的结构特征 1、组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体； 2、常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合． ①多面体与多面体的组合体 由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体． ②多面体与旋转体的组合体 由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的． ③旋转体与旋转体的组合体 由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的． 【清单09】几何体中的计算问题 几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧： （1）在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关． （2）正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中．另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来． （3）研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系． （4）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一． （5）圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决． （6）关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面． 【清单10】斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 【清单11】圆台的表面积 （1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为S圆台侧=． （2）圆台的表面积：． 【清单12】柱体、锥体、台体的体积 1、柱体的体积公式 棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh． 圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h．综上，柱体的体积公式为V=Sh． 2、锥体的体积公式 棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则． 综上，锥体的体积公式为． 3、台体的体积公式 棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是． 圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是 ． 综上，台体的体积公式为． 【清单13】球的表面积和体积 1、球的表面积 （1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积公式S球=4πR2．即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2、球的体积 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．球的体积公式为． 【清单14】异面直线 1、定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 2、画法： 3、两异面直线所成角的常用方法 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 【清单15】空间平行关系的注意事项 直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体转化过程如图所示． 【清单16】有关垂直（1）判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视． （2）要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要． 相关的重要结论 ①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条． ②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直． ③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直． 【考点题型一】简单几何体的组合体 技巧：解决简单几何体的判定问题，需要对简单几何体的有关结构特征熟练掌握， 如侧棱与底面的关系，底面、侧面的形状、截面形状等， 同时还要会计算棱柱、棱锥、棱台的顶点数、棱数及面数． 【例1】如图，过圆锥的轴的截面是边长为4的正三角形，过的中点作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则能够完成任务的模块组合有（    ） A．①②⑤ B．①④⑤ C．②③④ D．①②③ 【变式1-2】如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是 .（填序号）       应用空间想象，讨论截面与轴截面的位置关系判断截面图形的形状即可.      【变式1-3】红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为，球冠的高为，则球冠的面积.如图1，已知该灯笼的高为58cm，圆柱的高为5cm，圆柱的底面圆直径为14cm，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】简单几何体的表面展开与折叠问题 技巧：（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量； （2）立体几何中距离的最值一般处理方式： ①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值； ②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值． 【例2】已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式2-1】已知圆锥的底面半径为8，母线长为10，则下列说法正确的是（    ） A．其侧面展开图为一扇形，且圆心角为 B．该圆锥表面积为 C．该圆锥的体积为 D．过该圆锥顶点的截面面积的最大值为50 【变式2-2】圆柱有一个内接长方体，长方体体对角线长是，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是，求圆柱的体积． 【变式2-3】如图，侧面展开图为扇形的圆锥和侧面展开图为扇环的圆台的体积相等，且，则（    ） A．8 B．4 C． D．2 【考点题型三】与直观图还原有关的计算问题 技巧：由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点． （1）直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的sin45°＝倍． （2）S直观图＝S原图． 由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换． 【例3】如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图所示，一个平面图形在斜二测画法下的直观图为直角梯形（上底为2，下底为4，高为2），则原平面图形的面积为 ． 【变式3-2】如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（   ） A．2 B．4 C．6 D． 【变式3-3】如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 技巧：1、多面体的表面积转化为各面面积之和． 2、解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路： 一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决． 3、常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面， 只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 4、求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、 轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算． 【例4】某家庭为了外出露营，特意网购了一个帐篷．如图所示，该帐篷的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，已知，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，是正四棱锥，是正方体，其中，，则该几何体的表面积 ； 【变式4-2】如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ） A．640元 B．512元 C．390元 D．347.5元 【变式4-3】清乾隆云龙纹双螭龙耳方形炉摆件，是乾隆时期玉雕工艺的杰出代表．它玉质细腻，古韵十足，线条流畅，造型规整，雕刻着精美的云龙纹与螭龙耳，底部落“乾隆年制”款，尽显皇家气派．这件方形炉摆件可近似看作台体，高约，上底面与下底面为相似长方形，上底面的长约，宽约，若下底面的长和宽均为上底面长和宽的0.8倍，则该方形炉摆件主体体积约为（   ） （参考数据：，结果保留一位小数） A． B． C． D． 【考点题型五】圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积 技巧：（求旋转体表面积注意事项） 旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥． （求几何体积的常用方法） （1）公式法：直接代入公式求解． （2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可． （3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等． （4）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 【例5】已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，圆锥的高，侧面积，，是底面圆上的两个动点，则面积的最大值为（    ） A． B．2 C．1 D． 【变式5-3】亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【考点题型六】球的表面积与体积 技巧：1、正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面 2、球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝， 3、长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝， 4、正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a． 5、正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝a． 6、有关球的截面问题常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决． 【例6】将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】在矩形中，，，以对角线为折痕将进行翻折，折后为，连接得到三棱锥，在翻折过程中，三棱锥外接球的表面积为 ． 【变式6-3】如图是一个直径为12cm的球形容器和一个底面直径为6cm、深8cm的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（    ） A．3杯 B．4杯 C．5杯 D．6杯 【考点题型七】几何体的直观图画法 技巧：（画空间几何体的直观图的注意事项） （1）首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直． （2）作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变． （3）平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半． （4）平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变． 【例7】在中，A为直角，，，若用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知直三棱柱，的底面是等腰直角三角形，且，侧棱．在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图．（不要求写出画法，但要标上字母，并保留作图痕迹）    【变式7-2】已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，且侧棱． (1)在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图； (2)求该三棱柱的外接球的表面积． 【变式7-3】如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器． （1）请在答卷指定位置的空间直角坐标系中按比例画出该正四棱锥的直观图； （不需要写步骤及作图过程） （2）求该正四棱锥形容器的体积． 【考点题型八】简单几何体的结构特征 技巧：有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱． 如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱． 判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行， 其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个 相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱． 圆锥：（1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面． （2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线． （3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线． 【例8】如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器以BC所在直线为轴顺时针旋转，则（   ） A．有水的部分始终是棱柱 B．四边形EFGH为矩形且面积不变 C．棱始终与水面平行 D．当点H在棱CD上且点G在棱上（均不含端点）时，是定值 【变式8-1】下列命题是真命题的是（   ） A．棱台的侧面一定是梯形 B．直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D．过空间内不同的三点有且仅有一个平面 【变式8-2】已知正四面体的棱长为2，过点的截面将正四面体分成体积相等的两部分，则下列说法正确的是（    ） A．截面为等腰三角形的个数是6 B．截面一定是锐角三角形 C．截面可以是等边三角形 D．过棱的中点作正四面体外接球的截面，截面圆的面积的最小值是 【变式8-3】下列命题中正确的是（   ） A．底面是正多边形的棱柱叫做正棱柱 B．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 C．沿直角三角形的一边旋转一周即可得到圆锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【考点题型九】基本图形位置关系 技巧：1、判定两直线异面的常用方法 （1）定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内； （2）排除法（反证法）：排除两直线共面（平行或相交）的情况 2、直线与平面位置关系的解题思路 解决此类问题首先要搞清楚直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助空间想象能力进行细致的分析． 3、平面与平面位置关系的解题思路 判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断．常借助长方体模型进行判断． 【例9】如图，在四棱锥中，平面 ， 分别为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. 【变式9-1】如图所示，AB为圆锥PO底面的直径，为圆上异于A、B的一点，、分别为AC、PA的中点，连接DO并延长交圆于点． (1)证明：平面PDE； (2)证明：平面PBC. 【变式9-2】如图，正方体中，分别是的中点． (1)求证：四点共面； (2)设平面与平面交于直线，求证：． 【变式9-3】如图，在三棱锥中，，，，点E为的中点. (1)求证：； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$