清单02 三角恒等变换（考点清单，知识导图+10个考点清单+题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（湘教版2019必修第二册）

清单02 三角恒等变换 （10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】两角和与差的正弦函数 两角和正弦函数 在公式中用代替，就得到： 两角差的正弦函数 【清单02】两角和的余弦函数 两角和的余弦公式： （1）公式中的都是任意角； （2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即； （3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题． （4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反． 【清单03】两角和与差的正切函数 （1）公式成立的条件是：，或，其中； （2）公式的变形： （3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了． （4）公式对分配律不成立，即． 【清单04】理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系 （1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键． （2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况．，中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开． 2、重视角的变换 三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有： ；；；等，常见的三角变换有：切化弦、等． 【清单05】升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 【清单06】二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、二倍角的正弦、余弦、正切公式 2、和角公式、倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式，，中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下： 【清单07】二倍角公式的逆用及变形 1、公式的逆用 ；． ． ． 2、公式的变形 ；降幂公式： 升幂公式： 【清单08】两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型 求值题、化简题、证明题 1、对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等； 2、掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如 等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律（如互余、互补、和倍关系等等）； 3、将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接． 【清单09】辅助角公式 1、形如的三角函数式的变形： 令，，则 （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） 2、辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等． 【清单10】半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆） ， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 【考点题型一】两角和与差的正（余）弦公式 技巧：已知，的某种三角函数值，求的正弦，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值． 【例1】若 【变式1-1】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】在中，，，所对的边分别为，，，的面积为，且，，，则 ． 【变式1-4】在中，角的对边分别是，且． (1)求角的大小； (2)若，D为AC边上的一点，，且BD是的平分线，求的面积． 【考点题型二】两角和与差的正切公式 技巧：公式的变形应予以灵活运用． 【例2】已知中，，，，点M在边CB上，N在边CA上，且，AM与BN交于点P，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】若，且为第三象限角，则（   ） A．7 B． C． D． 【变式2-2】已知角满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知为内一点，成等差数列． (1)若，求周长的最大值； (2)若，求． 【变式2-4】如图示，矩形中，点，分别是边，上的两点，，． (1)设，，，求的范围； (2)若，求的最小值； (3)若，连接交的延长线于点，为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大．若存在，求的长；若不存在，说明理由． 【考点题型三】二倍角公式的简单应用 技巧：应用二倍角公式化简（求值）的策略：化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． 【例3】在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，则 . 【变式3-3】（1）化简：； （2） 已知，求的值． 【变式3-4】已知向量，，其中，函数，且． (1)求函数的解析式； (2)若对，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【考点题型四】给角求值、给值求值、给值求角 技巧：在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（或同一个非特殊角与特殊角的差），利用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值． 给值求值的解题策略 （1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角． （2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： ①；②；③；④． 解决三角函数给值求角问题的方法步骤 （1）给值求角问题的步骤． ①求所求角的某个三角函数值． ②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角． （2）选取函数的原则（2）选取函数的原则． ． ①已知正切函数值，选正切函数． ②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 【例4】已知是函数的一个零点. (1)求实数的值； (2)求单调递减区间. (3)若，求函数的值域. 【变式4-1】如图，在中，，为边上的三等分点，，． (1)若，求的面积； (2)求长的最大值； (3)若，求的值． 【变式4-2】已知函数，在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【考点题型五】辅助角公式的应用 技巧:三角恒等式证明的常用方法 （1）执因索果法：证明的形式一般化繁为简； （2）左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子； （3）拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同； （4）比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； （5）分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 【例5】已知函数，则图象的对称轴方程为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-1】在平面直角坐标系中，，若点是线段上的动点，设，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知关于的方程在有两个不等的实根，则的取值范围为 ． 【变式5-3】已知的内角的对边分别为，． (1)求； (2)若点在边上，且，证明：； (3)若为锐角三角形，且面积为，求的取值范围． 【变式5-4】已知函数． (1)当时，函数的图象关于直线对称，求在上的单调递增区间； (2)若的图象向右平移个单位得到的函数的图象，函数在上仅有一个零点，求的取值范围． 【考点题型六】三角恒等变换在实际问题中的应用 技巧：解决这类问题的关键是巧妙设元，使其他各有关的量均能用表示，建立关于的函数，再运用倍角公式、和角公式．构成函数，然后进行三角变换求解是解决此类问题的常用方法．注意数形结合思想在解决题中的应用． 【例6】为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花．已知扇形的半径为米，圆心角为，点在扇形的弧上，点在上，且． (1)当米时，求的长； (2)综合考虑到成本与美观原因，要使郁金香种植区的面积尽可能的大，设，求面积的最大值与面积最大值时的角． 【变式6-1】如图，在扇形OPQ中，半径、圆心角，且，（），C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记，当矩形ABCD的面积S取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】利用半角公式化简求值问题 技巧：1、化简问题中的“三变” （1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． （2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． （3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等． 2、利用半角公式求值的思路 （1）看角：看已知角与待求角的2倍关系． （2）明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备． （3）选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常利用计算． 提醒：已知的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号． 【例7】若，且，则 . 【变式7-1】在扇形中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若.为的中点.则 . 【变式7-2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A= ． 【变式7-3】已知，，求、、的值. 【变式7-4】（1）计算： （2）若、都是实数，且，求的值. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 三角恒等变换 （10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】两角和与差的正弦函数 两角和正弦函数 在公式中用代替，就得到： 两角差的正弦函数 【清单02】两角和的余弦函数 两角和的余弦公式： （1）公式中的都是任意角； （2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即； （3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题． （4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反． 【清单03】两角和与差的正切函数 （1）公式成立的条件是：，或，其中； （2）公式的变形： （3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了． （4）公式对分配律不成立，即． 【清单04】理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系 （1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键． （2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况．，中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开． 2、重视角的变换 三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有： ；；；等，常见的三角变换有：切化弦、等． 【清单05】升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 【清单06】二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、二倍角的正弦、余弦、正切公式 2、和角公式、倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式，，中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下： 【清单07】二倍角公式的逆用及变形 1、公式的逆用 ；． ． ． 2、公式的变形 ；降幂公式： 升幂公式： 【清单08】两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型 求值题、化简题、证明题 1、对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等； 2、掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如 等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律（如互余、互补、和倍关系等等）； 3、将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接． 【清单09】辅助角公式 1、形如的三角函数式的变形： 令，，则 （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） 2、辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等． 【清单10】半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆） ， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 【考点题型一】两角和与差的正（余）弦公式 技巧：已知，的某种三角函数值，求的正弦，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值． 【例1】若 【答案】 【分析】先根据已知条件确定的范围，进而求出的值，再将变形为，最后利用两角差的余弦公式求出的值． 【详解】已知，则，即． 因为，所以． 根据三角函数平方关系，可得： 因为，根据两角差的余弦公式可得： 将，，代入上式可得： 故答案为：． 【变式1-1】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和与差的余弦公式展开，化简得到与的关系，再根据正切函数定义求出的值，从而确定答案. 【详解】由，可得 ， 则，则， 故选：C． 【变式1-2】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两角差正弦公式及切化弦得到、，再由两角和的正弦公式可得答案. 【详解】∵，∴， ∵，∴， ，， ， 故选：D． 【变式1-3】在中，，，所对的边分别为，，，的面积为，且，，，则 ． 【答案】 【分析】根据面积公式结合已知可得出，由正弦定理边化角可推得.结合角的范围得出，根据余弦定理结合已知得出，代入面积公式即可得出答案. 【详解】由已知可得， 则由可得， ， 整理可得，. 由正弦定理边化角可得，， 即. 又，所以有. 又，所以. 由余弦定理可得， ， 所以有，解得. 所以，. 故答案为：. 【变式1-4】在中，角的对边分别是，且． (1)求角的大小； (2)若，D为AC边上的一点，，且BD是的平分线，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式即可求解； （2）由于，利用面积公式可得，再利用余弦定理可得，可求面积. 【详解】（1）， 由正弦定理，可得， ∴． ∵，∴，∴， 又，∴． （2）由（1）可知， 而，由BD平分得：， ∴，即． 在中，，由余弦定理得， 则， 联立，得，解得， ∴. 【考点题型二】两角和与差的正切公式 技巧：公式的变形应予以灵活运用． 【例2】已知中，，，，点M在边CB上，N在边CA上，且，AM与BN交于点P，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，借助三角形外角定理和四边形内角和定理，用表示，再利用两角和的正切公式求即可. 【详解】如图： 设，，则，同理：. 根据四边形的内角和为，所以， 所以 所以. 又为锐角，所以，且，. 所以，所以. 所以. 故选：B 【变式2-1】若，且为第三象限角，则（   ） A．7 B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用和角余弦公式可得，结合已知得，再由和角正切公式求. 【详解】由， 所以，又为第三象限角，所以，故， 所以. 故选：A 【变式2-2】已知角满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】其一，采用两角和的余弦公式对等式右边化简，再结合齐次化思想即可；其二，利用两角和的正弦公式将等式左侧式子进行展开化简即可；其三，采用特殊值检验排除. 【详解】法一：由，根据两角和的余弦公式可得， ， 则， 将代入并整理，得，解得； 法二：因为， 又， 所以， 即，则． 又因为，所以， 则； 法三：（特殊值排除法）因为题目中对取值无特殊规定，所以，故可取特殊值排除，当时，C，D选项无意义，故排除C和D选项；当时，，即，所以，即（，整理可得，解得，所以排除A选项． 故选：B． 【变式2-3】已知为内一点，成等差数列． (1)若，求周长的最大值； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差中项可得，设，进而根据外接圆的性质、三角恒等变换公式可得周长，即可利用余弦函数的性质求解， （2）设，根据正弦定理及题设可得，，即可由正切的和差角公式求解. 【详解】（1）由题意可知：， 结合成等差数列，可得， 所以， 不妨设最小，且， 由于，故为的外接圆圆心， 则， 故的周长 ， 故当时，此时周长最大，且最大值为， （2）设，由，， 则，， 在直角三角形中，， 在中，由正弦定理可得， 则，整理得， 所以， 解得，所以. 【变式2-4】如图示，矩形中，点，分别是边，上的两点，，． (1)设，，，求的范围； (2)若，求的最小值； (3)若，连接交的延长线于点，为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大．若存在，求的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）由向量的数量积的定义求解即可； （2）建立平面直角坐标系，设，则，，由数量积的坐标表示求解得到关于的函数结合基本不等式求解最值即可； （3）建立直角坐标系，由题意可得，，，即，假设存在点，使得最大，由，即有最大，设，当时，角度为0，此时不可能最大，故，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由，，且，， 故，， 所以 由，故 （2）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系， 设，，则， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为. （3）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系， 由题意可得，，，即 假设存在点，使得最大，由，即有最大， 设，当时，角度为0，此时不可能最大，故 则 当且仅当，即时，等号成立， 即存在一点，使得最大，且此时. 【考点题型三】二倍角公式的简单应用 技巧：应用二倍角公式化简（求值）的策略：化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． 【例3】在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：由题意，，由诱导公式和二倍角的余弦公式代入化简得出答案；解法二：由两角差的正弦公式可得，对其两边平方可求出，再结合，即可得出答案. 【详解】解法一：由题意可得：，，从而 ； 解法二：由得，平方可得， 所以，又，， 从而. 故选：D. 【变式3-1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用两角差的正弦公式可求得的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】由可得，即， 由题意可得，解得， 所以. 因此. 故选：D. 【变式3-2】已知，则 . 【答案】 【分析】运用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以 所以 所以， 故答案为： 【变式3-3】（1）化简：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）先将正切化为正弦与余弦的形式，再利用三角函数公式进行化简； （2）根据三角函数的二倍角公式将式子化简，然后将正切值代入求解. 【详解】（1）化简 （2）已知，根据三角函数二倍角公式，对原式进行化简： 【变式3-4】已知向量，，其中，函数，且． (1)求函数的解析式； (2)若对，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）整理函数的解析式可得，由，可得，即可得函数解析式. （2）将所给不等式等价转化，将其化成在恒成立问题，通过设元，，将函数化成，，判断其单调性即得，从而求得参数范围. 【详解】（1）依题意， ． 由得， 即． 又，所以． 所以 （2）因在恒成立， 则， 而 ， 所以， 即在恒成立， 记， ， 又； 设，则在上单调递增， ， ，即． 故的取值范围为 【考点题型四】给角求值、给值求值、给值求角 技巧：在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（或同一个非特殊角与特殊角的差），利用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值． 给值求值的解题策略 （1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角． （2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： ①；②；③；④． 解决三角函数给值求角问题的方法步骤 （1）给值求角问题的步骤． ①求所求角的某个三角函数值． ②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角． （2）选取函数的原则（2）选取函数的原则． ． ①已知正切函数值，选正切函数． ②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 【例4】已知是函数的一个零点. (1)求实数的值； (2)求单调递减区间. (3)若，求函数的值域. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用函数的零点的定义，求得实数的值； （2）利用三角恒等变换化简函数解析式，再利用余弦函数的单调性求得的单调递减区间； （3）根据（2）问的化简得到，由，得到的范围，结合余弦函数的图象分析即可求得值域. 【详解】（1）因为 又,解得. （2）由（1）可得, 令得，所以的单调递减区间为，. （3），， ，即 故时，函数的值域为. 【变式4-1】如图，在中，，为边上的三等分点，，． (1)若，求的面积； (2)求长的最大值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意判断为正三角形，根据三角形的面积公式计算即可求解； （2）根据正弦定理可得，根据余弦定理可得（其中），结合三角函数的有界性即可求解； （3）设，则，根据正弦定理可得、，进而，结合给值求值型问题计算即可求解. 【详解】（1）在中，由且，得为正三角形， 所以. （2）在中，由正弦定理得， 即，所以， 在中，由余弦定理得 （其中） 因为，所以， 又因为，所以可取到最小值． 所以，即最大值为. （3）设，由对称性知，， 则，， 所以， 在中，即，所以； 在中，，即，所以， 所以，化简得， 因为，所以，所以， 所以，即． 【变式4-2】已知函数，在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式可得，即可根据三角函数的性质求解， （2）根据余弦定理可得，，即可代入得，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由可得， 由得，故或， 解得或，， 结合为锐角，故 （2）， 由于为锐角三角形，由余弦定理可得，即， 故， 令，则对称轴为， 故当时，取最小值，， 故 【考点题型五】辅助角公式的应用 技巧:三角恒等式证明的常用方法 （1）执因索果法：证明的形式一般化繁为简； （2）左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子； （3）拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同； （4）比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； （5）分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 【例5】已知函数，则图象的对称轴方程为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】找到函数的周期，利用函数的周期绘出图象，即可求解. 【详解】因为， ， 所以为函数的一个周期， 当时，， 此时，作出函数的图象如图，    由图象可得，函数图象的对称轴方程为，. 故选：C. 【变式5-1】在平面直角坐标系中，，若点是线段上的动点，设，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的数量积运算求得，由数量积坐标表示得出，然后利用两角和的正弦公式及正弦函数的性质得最大值． 【详解】由已知， ∵，且，∴， ∵为线段AB上的动点，则，， ∵，， 则． 所以，其中，且为锐角，则， 所以时，的最大值为， 故选：B． 【变式5-2】已知关于的方程在有两个不等的实根，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简函数，分析该函数在上的性质即可. 【详解】函数，当时，， 当时，函数单调递增，函数值从1增大到， 当时，函数单调递减，函数值从减小到， 当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 即关于的方程在有两个不等的实根， 所以的取值范围为. 故答案为： 【变式5-3】已知的内角的对边分别为，． (1)求； (2)若点在边上，且，证明：； (3)若为锐角三角形，且面积为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据正弦定理边化角以及两角和的正弦公式可化简题给条件，再根据两角的差的正弦可得角. （2）在不同三角形中根据正弦定理列等式，得到的值，再应用正弦定理即可证明结论. （3）由三角形的面积公式及余弦定理可化简所求式，再根据锐角三角形的角的范围，可得角的范围， 带入所求式即可求代数式的范围. 【详解】（1）因为，所以， 再根据正弦定理得，， 化简得， 又因为， 所以 得 因为，所以，则. 则，且，所以. （2） 根据题意，设，则. 为等腰三角形，所以，， 由（1）知，. 由正弦定理， 在中，，则 在中，，即， 化简整理得，即. 因为，所以，则，为直角三角形. 由，则，得，得证. （3）因为，所以，则. 又， 则 . 又因为为锐角三角形，则，则 即，即， 即， 即. 【变式5-4】已知函数． (1)当时，函数的图象关于直线对称，求在上的单调递增区间； (2)若的图象向右平移个单位得到的函数的图象，函数在上仅有一个零点，求的取值范围． 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）根据条件，求得，利用的性质，结合题设条件，即可求解； （2）根据条件，直接求出的零点，结合题设条件，建立不等关系，即可求解. 【详解】（1）因为，所以 ， 由的图象关于直线对称， 所以，整理得到， 又因为，所以当时，，所以， 令，解得， 又，令，得到，令，得到， 所以在上的单调递增区间为和． （2）由已知得，令，得， 所以，因为在上仅有一个零点，， 所以， 整理得到，，所以，， 解得，因为，所以，则． 【考点题型六】三角恒等变换在实际问题中的应用 技巧：解决这类问题的关键是巧妙设元，使其他各有关的量均能用表示，建立关于的函数，再运用倍角公式、和角公式．构成函数，然后进行三角变换求解是解决此类问题的常用方法．注意数形结合思想在解决题中的应用． 【例6】为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花．已知扇形的半径为米，圆心角为，点在扇形的弧上，点在上，且． (1)当米时，求的长； (2)综合考虑到成本与美观原因，要使郁金香种植区的面积尽可能的大，设，求面积的最大值与面积最大值时的角． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）在中，先利用平行关系求出，利用余弦定理即可求出的长； （2）在中，先利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式，利用三角恒等变换化简结合三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）由，得， 在中，，， 由余弦定理得， 即，而，解得. （2）由，得，，， 在中，由正弦定理得，则， 因此 ， 因为，所以， 所以当，即时，， 的面积取得最大值， 所以面积的最大值为平方米，此时. 【变式6-1】如图，在扇形OPQ中，半径、圆心角，且，（），C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记，当矩形ABCD的面积S取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数先表示出，再利用二倍角公式及辅助角公式进行化简求最值，由取最值时的条件，结合和差公式求出，然后由二倍角公式和平方关系可得. 【详解】由题意，因为半径为1，所以，， 因为，，所以， 所以，所以， 所以， ，其中， 当时，取最大值，则， 所以， 所以，解得，， 因为，所以，满足题意， 所以当矩形的面积最大时，. 故选：A. 【考点题型七】利用半角公式化简求值问题 技巧：1、化简问题中的“三变” （1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． （2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． （3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等． 2、利用半角公式求值的思路 （1）看角：看已知角与待求角的2倍关系． （2）明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备． （3）选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常利用计算． 提醒：已知的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号． 【例7】若，且，则 . 【答案】 【分析】由，结合余弦二倍角公式求得，再结合半角公式即可求解. 【详解】由，得，解得或， 又，所以， 所以， 所以， 故答案为： 【变式7-1】在扇形中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若.为的中点.则 . 【答案】 【分析】利用夹角公式先计算，由半角公式求，设，利用即可求解. 【详解】已知，则； ，则 所以. 则， 则. 由， 得； . 因为.设. ； ， 所以. 故答案为： 【变式7-2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A= ． 【答案】// 【分析】首先利用半角公式将原式化为关于的等式，再和余弦定理比对，得到等量关系解出角. 【详解】对于等式左边，；对于等式右边，由于， 代入等式整理得，由余弦定理可得， 故，因为，所以，因为，所以． 【变式7-3】已知，，求、、的值. 【答案】，，. 【分析】由的范围可得，进而利用半角公式即可求解. 【详解】∵，， ∴，， ∴， ， . 【变式7-4】（1）计算： （2）若、都是实数，且，求的值. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）由指数运算、半角公式、特殊角的三角函数值等化简计算即可； （2）由，可得，设,则， ，解得，，则，解得或，分别代入计算即可. 【详解】（1） . （2）因为，所以， 则， 设, 则，，， 将代入，得， 整理得，所以，代入得， 则，解得或， 当时， ， 当时， . 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$