清单03 解三角形（考点清单，知识导图+8个考点清单+题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（湘教版2019必修第二册）

清单03 解三角形 （8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即： 余弦定理的变形公式： 【清单02】利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角． 在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一． 【清单03】正弦定理 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一． （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边． 【清单04】解三角形的概念 一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素．任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角． 在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形． 有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角． 【清单05】正弦定理在解三角形中的应用 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 【清单06】利用正、余弦定理解三角形 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解一解 两解无解 ②若A为直角或钝角时： 【清单07】三角形的形状的判定 特殊三角形的判定： （1）直角三角形 勾股定理：， 互余关系：，，； （2）等腰三角形 ，； 用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号） （1）在中，； （2）在中，； （3）在中，； 【清单08】解三角形应用题的步骤 解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是： （1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题． 【考点题型一】解三角形 技巧：已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． 已知三角形的三边解三角形的方法 利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角． （1）正弦定理实际上是三个等式：，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． （2）因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角． 这一类型题目的解题步骤为 ①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；②用三角形内角和定理求出第三个角； ③根据正弦定理求出第三条边．其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值． 【例1】在中，，则B=（   ） A．60° B．120° C．60° 或120° D．以上都不对 【变式1-1】三角形 中，则B=（   ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【变式1-2】如图，为了测量某楼的高度，测量人员选取了与该楼AB在同一铅垂面内的楼CD，B，C在同一水平直线上，现测得，在楼底B点处测得楼CD的顶点D的仰角为，在点D处测得楼AB的顶点A的仰角为，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】在中，角所对的边分别为，若，为边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】在中，三个角所对的边分别为，若，则边的大小为（    ） A．2 B． C．3 D． 【考点题型二】三角形形状的判断 技巧：（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线 ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系． ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系． （2）判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①为直角三角形或或． ②为锐角三角形，且，且． ③为钝角三角形或或． ④若，则或． 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： （1）化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： ①（为外接圆的半径）； ②； （2）化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①（为外接圆的半径）； ②． 【例2】在中，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式2-1】在中，若，则的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【变式2-2】在中，角的对边分别是，且，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定的 【考点题型三】三角形多解问题 技巧：已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解一解 两解无解 ②若A为直角或钝角时： 【例3】在中，已知，，，则满足条件的三角形个数为（    ） A．2个 B．1个 C．0个 D．无法确定 【变式3-1】已知分别为三个内角的对边，若，则满足此条件的三角形个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【变式3-2】满足条件的的个数为（    ） A．一个 B．两个 C．不存在 D．无法判断 【考点题型四】三角形边长、面积、周长最值与范围问题 技巧：① ② ③ 在中，已知, 其中 分别是的系数，其中 周长往往求 则 其中 【例4】某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，其中B是AC的中点.如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为米，则该建筑的高度（    ） A．米 B．10米 C．米 D．米 【变式4-1】东莞市金鳌洲塔是广东省文物保护单位，塔处江心陆洲，三面环水．东莞实验中学某数学兴趣小组准备测量塔的高度．如图选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，小组同学测得，，米，在点A处测得塔顶C的仰角为，则塔高CD为 米．（结果保留2位小数，参考数据：，）      【变式4-2】一艘轮船按照北偏东方向，以18海里/小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东方向上，经过10分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为 海里. 【变式4-3】一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【考点题型五】面积与周长求值问题 技巧：①② 其中分别为内切圆半径及的周长 ③（为外接圆的半径） ④ ⑤海伦公式（其中） 类型一：已知一角与两边乘积模型第一步：求两边乘积第二步：利用余弦定理求出两边之和 类型二：已知一角与三角等量模型第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三边的长度 【例5】在中，角、、的对边分别为、、，已知，，. (1)求角的大小； (2)求的值； (3)求的面积. 【变式5-1】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若外接圆的半径为1，求面积的最大值． 【变式5-2】已知中，内角的对边分别为，若向量，且向量. (1)求角的值； (2)若，求的周长. 【变式5-3】已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，角的平分线交于点，的周长为15，求的长． 【考点题型六】三角形中距离、高度、角度问题 技巧：求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形． 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题． 【例6】已知分别为锐角三个内角的对边，且. (1)求； (2)若； （i）求周长的取值范围. （ii）当周长最大时，设点为边的中点，点在边上（包括端点），求的最小值. 【变式6-1】如图所示，四边形地块是东湖畔拟建造的一个露营基地．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边，，，修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，． (1)如果烧烤区是一个占地面积为平方米的三角形，那么最长需要修建多长的隔离防护栏？ (2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的周长尽可能大，则应如何设计观赏步道和？ 【变式6-2】在中，、、分别为内角、、的对边，且． (1)求； (2)若，，求面积的最大值． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 解三角形 （8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即： 余弦定理的变形公式： 【清单02】利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角． 在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一． 【清单03】正弦定理 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一． （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边． 【清单04】解三角形的概念 一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素．任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角． 在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形． 有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角． 【清单05】正弦定理在解三角形中的应用 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 【清单06】利用正、余弦定理解三角形 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解一解 两解无解 ②若A为直角或钝角时： 【清单07】三角形的形状的判定 特殊三角形的判定： （1）直角三角形 勾股定理：， 互余关系：，，； （2）等腰三角形 ，； 用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号） （1）在中，； （2）在中，； （3）在中，； 【清单08】解三角形应用题的步骤 解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是： （1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题． 【考点题型一】解三角形 技巧：已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． 已知三角形的三边解三角形的方法 利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角． （1）正弦定理实际上是三个等式：，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． （2）因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角． 这一类型题目的解题步骤为 ①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；②用三角形内角和定理求出第三个角； ③根据正弦定理求出第三条边．其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值． 【例1】在中，，则B=（   ） A．60° B．120° C．60° 或120° D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，即可求得的值，得到答案. 【详解】在中，因为， 由正弦定理，可得，可得， 又因为，可得，所以或. 故选：C. 【变式1-1】三角形 中，则B=（   ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【答案】D 【分析】根据题意，利用余弦定理，求得，即可求解. 【详解】在中，， 由余弦定理可得， 因为，所以. 故选：D. 【变式1-2】如图，为了测量某楼的高度，测量人员选取了与该楼AB在同一铅垂面内的楼CD，B，C在同一水平直线上，现测得，在楼底B点处测得楼CD的顶点D的仰角为，在点D处测得楼AB的顶点A的仰角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，，利用正弦定理可得结果. 【详解】在中，则，即． 在中，则，， 由正弦定理得，，所以． 故选：D． 【变式1-3】在中，角所对的边分别为，若，为边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，，由正弦定理得到，再由余弦定理，求得，求得，取的中点，连接，得到，设的外接圆的半径为，求得，设，得到，化简得到，结合，利用三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 整理得到，即， 由于余弦定理，得， 又因为，可得， 如图所示，取的中点，连接，可得，所以， 设的外接圆的半径为，可得， 由正弦定理可得， 所以且， 设，则 则 ， 因为，可得，所以， 可得，所以， 所以的取值范围是. 故选：C. 【变式1-4】在中，三个角所对的边分别为，若，则边的大小为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】在△ABC中，已知角B的余弦值为边，边，要求边的大小. 首先，使用余弦定理： 代入已知数据： 得到两个解： 或（舍） 故选：C. 【考点题型二】三角形形状的判断 技巧：（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线 ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系． ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系． （2）判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①为直角三角形或或． ②为锐角三角形，且，且． ③为钝角三角形或或． ④若，则或． 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： （1）化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： ①（为外接圆的半径）； ②； （2）化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①（为外接圆的半径）； ②． 【例2】在中，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【分析】由余弦定理整理化简等式，可得答案. 【详解】由余弦定理可得，则. 故选：A. 【变式2-1】在中，若，则的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】用正、余弦定理进行边角互化解题即可. 【详解】解：，可得， 由余弦定理可得，整理可得：，即， 所以或，即或 ∴的形状是等腰或直角三角形. 故选：C 【变式2-2】在中，角的对边分别是，且，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定的 【答案】A 【分析】根据题意，利用余弦定理，得到，再由，代入整理得，进而得到，即可得到答案. 【详解】在中，由余弦定理得， 因为，可得， 代入上式，整理得，即，所以， 所以，所以为等腰三角形. 故选：A. 【考点题型三】三角形多解问题 技巧：已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解一解 两解无解 ②若A为直角或钝角时： 【例3】在中，已知，，，则满足条件的三角形个数为（    ） A．2个 B．1个 C．0个 D．无法确定 【答案】A 【分析】由正弦定理求出的值，验证大边对大角原理即可. 【详解】由正弦定理可得， 所以或， 又，所以，符合大边对大角原理， 所以满足条件的三角形个数为2个. 故选：A. 【变式3-1】已知分别为三个内角的对边，若，则满足此条件的三角形个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】B 【分析】根据条件，利用正弦定理求出，，从而得出结果. 【详解】因为，由正弦定理，得到，所以， 又因为，故，. 故选：B. 【变式3-2】满足条件的的个数为（    ） A．一个 B．两个 C．不存在 D．无法判断 【答案】B 【分析】利用余弦定理运算求解即可判断. 【详解】因为，即，解得或， 所以满足条件的有两个． 故选：B． 【考点题型四】三角形边长、面积、周长最值与范围问题 技巧：① ② ③ 在中，已知, 其中 分别是的系数，其中 周长往往求 则 其中 【例4】某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，其中B是AC的中点.如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为米，则该建筑的高度（    ） A．米 B．10米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据三角形余弦定理求解即可． 【详解】设米，在中， 已知所以在 中 已知所以在 中 已知所以因为B是的中点，且米， 所以米．又因为所以 在中，由余弦定理可得： 解得所以米． 故选： 【变式4-1】东莞市金鳌洲塔是广东省文物保护单位，塔处江心陆洲，三面环水．东莞实验中学某数学兴趣小组准备测量塔的高度．如图选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，小组同学测得，，米，在点A处测得塔顶C的仰角为，则塔高CD为 米．（结果保留2位小数，参考数据：，）      【答案】50.76 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出，再利用直角三角形边角关系求得答案. 【详解】在中，由，，得，而， 由正弦定理得， 在中，，， 所以塔高CD为约为50.76米. 故答案为：50.76 【变式4-2】一艘轮船按照北偏东方向，以18海里/小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东方向上，经过10分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为 海里. 【答案】2 【分析】作出示意图，利用余弦定理，即可得解． 【详解】设轮船从点出发到达点，灯塔在点，如图所示，    由题意结合图可知，，海里， 在中，由余弦定理知，， 所以，即， 解得或（舍负）， 所以灯塔与轮船原来的距离为2海里． 故答案为：2 【变式4-3】一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【答案】D 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图， 由题意，在中，，，， 则为正三角形，则， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 【考点题型五】面积与周长求值问题 技巧：①② 其中分别为内切圆半径及的周长 ③（为外接圆的半径） ④ ⑤海伦公式（其中） 类型一：已知一角与两边乘积模型第一步：求两边乘积第二步：利用余弦定理求出两边之和 类型二：已知一角与三角等量模型第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三边的长度 【例5】在中，角、、的对边分别为、、，已知，，. (1)求角的大小； (2)求的值； (3)求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理计算即可求解； （2）利用正弦定理结合（1）的结论计算即可； （3）利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以， 因为，所以， （2）在中，由正弦定理得， 又因为，，， 所以，解得， 因为，所以， （3）因为，，， 所以. 【变式5-1】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若外接圆的半径为1，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理角化边可得，再由余弦定理求解即可. （2）由正弦定理求出，再由余弦定理和基本不等式求出，最后由三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】（1）由已知及正弦定理可得， 整理得， ∴， ∵，∴． （2）∵外接圆的半径为1， ∴，得，∴， 又，∴， 当且仅当时，等号成立， ∴， 即面积的最大值为 【变式5-2】已知中，内角的对边分别为，若向量，且向量. (1)求角的值； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量平行得到从而利用余弦定理求解得到 （2）利用正弦定理得到进而得到从而求解出周长. 【详解】（1）因为，所以， 即， 所以， 因为，所以. （2）由正弦定理，将代入，得， 因为，所以， 所以， 故的周长为. 【变式5-3】已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，角的平分线交于点，的周长为15，求的长． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）正弦定理边化角结合两角和的正弦公式求解即可； （2）由余弦定理得，再利用等面积结合角分线性质即可求解. 【详解】（1）由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 因为，所以． （2）因为，，所以． 在中，由余弦定理可得：，所以． 因为为角的平分线，所以， 因为， 所以， 即，所以． 【考点题型六】三角形中距离、高度、角度问题 技巧：求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形． 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题． 【例6】已知分别为锐角三个内角的对边，且. (1)求； (2)若； （i）求周长的取值范围. （ii）当周长最大时，设点为边的中点，点在边上（包括端点），求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，再结合三角函数求角即可； （2）（i）先根据正弦定理得出2R的值，把转化为含的三角函数式. 利用将化为，化简得到. 再根据锐角三角形条件确定范围，进而得到范围，求出范围，最后得出周长范围. （ii）当周长最大时三角形是等边三角形，建立直角坐标系确定、坐标，得出向量、，计算数量积，通过配方求最小值. 【详解】（1）. 由正弦定理得 在中， 代入上式化简得：sinC 因为，所以，即 为锐角， （2）（i）由正弦定理得 所以 是锐角三角形， 即 所以周长的取值范围为. （ii）当三角形周长最大时，三角形为等边三角形，以所在直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立直角坐标系， 由题意可知，设， 则 所以， 当时，取最小值 所以的最小值是 【变式6-1】如图所示，四边形地块是东湖畔拟建造的一个露营基地．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边，，，修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，． (1)如果烧烤区是一个占地面积为平方米的三角形，那么最长需要修建多长的隔离防护栏？ (2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的周长尽可能大，则应如何设计观赏步道和？ 【答案】(1)260米 (2)观赏步道，应均设计为长度是米 【分析】（1）由三角形的面积公式解得，所以，利用余弦定理即可求解； （2）由烧烤区的占地面积最大得到，利用正弦定理解得AB和AD，代入三角形面积公式，利用三角函数性质即可求解． 【详解】（1）依题意知， 解得，所以， 当时， 当时， 故最长需要修建260米的隔离防护栏； （2）， 当且仅当时取到等号，此时， 设（）， 在中，， 所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号 所以周长的最大值为，此时， 故观赏步道，应均设计为长度是米． 【变式6-2】在中，、、分别为内角、、的对边，且． (1)求； (2)若，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由向量建立等量关系，结合基本不等式求得面积的最大值即可. 【详解】（1）由及正弦定理得， 化简可得，即， 由余弦定理可得，因为，故. （2）因为，则，即， 所以， 即， 所以，当且仅当时， 即当，时，等号成立， 故， 即面积的最大值为. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$