清单04 复数（考点清单，知识导图+8个考点清单+题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（湘教版2019必修第二册）

清单04 复数 （8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】复数的基本概念 1、虚数单位 数叫倣虚数单位，它的平方等于，即． （1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的摡念 形如的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数 若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数． 分类如下： （） 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．） 【清单02】复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 【清单03】复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2、复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 3、复数的模 设，则向量的长度叫做复数的模，记作． ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 【清单04】复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 【清单05】复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： ， 2、乘法运算律： （1）交换律：（2）结合律：（3）分配律： 【清单06】复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 【清单07】复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 2、复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 【清单08】共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为． 【考点题型一】复数模的几何意义 技巧:复数模的几何意义可以延伸为表示复数对应的点与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题，考查直观想象素养． 【例1】满足的复数为______． 【变式1-1】已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则______． 【变式1-2】设是复数，已知，，，则__________． 【变式1-3】复数的模为，则实数m=________ 【变式1-4】若复数（为虚数单位，），满足，则的值为______． 【考点题型二】复数相等的充要条件 技巧：复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． （3）如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 【例2】若实数x，y满足(x＋y)＋(x－y)i＝2，则xy的值是____. 【变式2-1】复数为纯虚数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【变式2-2】已知复数满足，且，那么实数不可能取的值是（    ） A． B． C．1 D．4 【考点题型三】复数代数形式的乘除法运算 技巧：1、复数代数形式的乘法运算 （1）两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开． ②再将换成． ③然后再讲行复数的加、减运簯． （2）常用公式 ①． ②． ③． 2、复数代数形式的除法运算 （1）两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式． ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数． ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． （2）常用公式 ①；②；③． 【例3】设z的共轭复数是，若，，则（    ） A． B． C． D．或 【变式3-1】已知复数z满足，则z的实部为（       ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知复数满足则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知复数. (1)求； (2)若，求. 【变式3-4】复数，其中为虚数单位． (1)求及； (2)若，求实数，的值． 【考点题型四】复数模的综合问题 技巧：表示复平面内，对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解． 【例4】若，i为虚数单位，且，求的最小值. 【变式4-1】已知复数z满足，则的最小值为（      ） A．1 B．2 C． D． 【变式4-2】著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于120°时，则使得的点即为费马点．根据以上材料，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为______． 【变式4-4】若，且，则的最小值为___________ 【考点题型五】复数的三角形式乘法运算 技巧：两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和．简单的说，两个复数三角形式相乘的法则为：模数相乘，幅角相加． 【例5】若，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式5-1】任意一个复数都可以表示成三角形式即.棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）创立的，指的是设两个复数（用三角函数形式表示），，则：，”已知复数，则______. 【变式5-2】已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则是实数 C．若，则是纯虚数 D．若，则 【考点题型六】在复数范围内解方程 技巧：当一元二次方程中时，在复数范围内有两根且互为共轭复数． 【例6】在复数范围内解方程． 【变式6-1】已知是实系数一元二次方程的两个虚数根，且满足方程． (1)求和． (2)写出一个以和为根的实系数一元二次方程． 【变式6-2】已知是关于的方程一个根，则（    ） A． B．26 C． D．13 【变式6-3】在复数范围内，方程的两个根分别为，，则（   ） A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 复数 （8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】复数的基本概念 1、虚数单位 数叫倣虚数单位，它的平方等于，即． （1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的摡念 形如的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数 若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数． 分类如下： （） 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．） 【清单02】复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 【清单03】复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2、复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 3、复数的模 设，则向量的长度叫做复数的模，记作． ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 【清单04】复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 【清单05】复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： ， 2、乘法运算律： （1）交换律：（2）结合律：（3）分配律： 【清单06】复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 【清单07】复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 2、复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 【清单08】共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为． 【考点题型一】复数模的几何意义 技巧:复数模的几何意义可以延伸为表示复数对应的点与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题，考查直观想象素养． 【例1】满足的复数为______． 【答案】 【解析】设 因为,所以 可得, 可得,即得 计算可得. 所以 故答案为: 【变式1-1】已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则______． 【答案】 【解析】因为为纯虚数， 则且，所以， 所以. 故答案为：. 【变式1-2】设是复数，已知，，，则__________． 【答案】 【解析】设，， ，， ， ， ，. 故答案为：. 【变式1-3】复数的模为，则实数m=________ 【答案】或. 【解析】， ， 解得或. 故答案为：或. 【变式1-4】若复数（为虚数单位，），满足，则的值为______． 【答案】 【解析】由得， 故答案为： 【考点题型二】复数相等的充要条件 技巧：复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． （3）如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 【例2】若实数x，y满足(x＋y)＋(x－y)i＝2，则xy的值是____. 【答案】1 【解析】由(x＋y)＋(x－y)i＝2(x， y∈R)得 所以所以xy＝1. 故答案为：1 【变式2-1】复数为纯虚数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】D 【解析】要使复数为纯虚数，则， 若，则；若，则， 所以且． 故选：D． 【变式2-2】已知复数满足，且，那么实数不可能取的值是（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【解析】令，则分别带入，中得 当时，，或； 当时，解得； 综上：或或. 故选：A 【考点题型三】复数代数形式的乘除法运算 技巧：1、复数代数形式的乘法运算 （1）两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开． ②再将换成． ③然后再讲行复数的加、减运簯． （2）常用公式 ①． ②． ③． 2、复数代数形式的除法运算 （1）两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式． ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数． ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． （2）常用公式 ①；②；③． 【例3】设z的共轭复数是，若，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】设，则，由题意得 ， 解得即或， 故选：D 【变式3-1】已知复数z满足，则z的实部为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 故z的实部为. 故选：B. 【变式3-2】已知复数满足则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得, 故选：C． 【变式3-3】已知复数. (1)求； (2)若，求. 【解析】（1），故 （2）由（1），若则，即， 故，解得，故 【变式3-4】复数，其中为虚数单位． (1)求及； (2)若，求实数，的值． 【解析】（1）∵， ∴． （2）由（1）可知， 由，得：， 即，∴，解得 【考点题型四】复数模的综合问题 技巧：表示复平面内，对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解． 【例4】若，i为虚数单位，且，求的最小值. 【解析】由得，因此复数z对应的点Z在以对应的点为圆心，1为半径的圆上，如图所示. 设，则y是Z点到对应的点A的距离.又，∴由图知. 【变式4-1】已知复数z满足，则的最小值为（      ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】设复数z在复平面内对应的点为Z， 因为复数z满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等， 所以在复平面内点的轨迹为轴， 又表示点到点的距离， 所以问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值， 所以的最小值为2， 故选：B. 【变式4-2】著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于120°时，则使得的点即为费马点．根据以上材料，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则表示点到三顶点、、的距离之和. 依题意结合对称性可知的费马点位于虚轴的负半轴上，且，则. 此时. 故选：B. 【变式4-3】已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为______． 【答案】 【解析】，是以复平面内点为圆心，以为半径的圆， ， ， 即：复数与复数在复平面内所对应的点之间的距离为， 复数以复平面内点为圆心，以为半径的圆， 则在复平面所对应的点组成的图形的面积为： 故答案为：. 【变式4-4】若，且，则的最小值为___________ 【答案】4 【解析】复数z满足，点z表示以原点为圆心、1为半径的圆，则表示z点对应的复数与点(3,4)之间的距离. 原点O到点(3,4)之间的距离d=5， ∴的最小值为5-1=4. 故答案为：4. 【考点题型五】复数的三角形式乘法运算 技巧：两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和．简单的说，两个复数三角形式相乘的法则为：模数相乘，幅角相加． 【例5】若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 所以，， 综上，. 故选：A 【变式5-1】任意一个复数都可以表示成三角形式即.棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）创立的，指的是设两个复数（用三角函数形式表示），，则：，”已知复数，则______. 【答案】1 【解析】由， 所以， 而， 所以. 故答案为：1 【变式5-2】已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则是实数 C．若，则是纯虚数 D．若，则 【答案】ABC 【分析】利用复数的代数运算计算可判断ABC，利用赋值法计算可判断D. 【详解】因为，，所以，故A正确； 设，则 ， 所以，故B正确； 设，则，所以， 解得，所以 是纯虚数，故C正确； ， 则 但，故D错误. 故选：ABC. 【考点题型六】在复数范围内解方程 技巧：当一元二次方程中时，在复数范围内有两根且互为共轭复数． 【例6】在复数范围内解方程． 【解析】解析  解法一：因为， 所以， 又因为，所以， 所以，即． 解法二：因为， 所以方程的根为． 【变式6-1】已知是实系数一元二次方程的两个虚数根，且满足方程． (1)求和． (2)写出一个以和为根的实系数一元二次方程． 【答案】(1)， (2)（答案不唯一） 【分析】 1）根据题意设，，代入，得到关于，的方程，再求出，，即可可解决此问题； （2）利用根与系数关系，即可解决此问题． (1)因为是实系数一元二次方程的两个虚数根， 则互为共轭复数， 设，， 代入中， 得， 整理得， ，解得， ，； (2)；， 以和为根的实系数一元二次方程可以为． 【变式6-2】已知是关于的方程一个根，则（    ） A． B．26 C． D．13 【答案】B 【分析】将代入方程可得，进而列方程组求解即可. 【详解】将代入方程， 得， 即， 所以，解得. 故选：B. 【变式6-3】在复数范围内，方程的两个根分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据韦达定理和复数范围内一元二次方程两根的特点一一分析即可. 【详解】对A，根据韦达定理知，故A错误； 对B，根据韦达定理知，故B正确； 对C，解出两根分别为，显然两根互为共轭复数，则，故C正确； 对D，因为，则，故D正确. 故选：BCD. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$