专题06 概率（易错必刷40题8种题型专项训练）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（湘教版2019必修第二册）

专题07 概率 （易错必刷40题8种题型专项训练） 题型一　必然事件、不可能事件与随机事件的判断 题型二　事件关系的判断 题型三　古典概型的计算 题型四　频率与概率 题型五　事件独立性的判断 题型六　相互独立事件概率 题型七　方程思想在相互独立事件概率中的应用 题型八　概率的基本性质 题型一　必然事件、不可能事件与随机事件的判断 1．（23-24高一下·云南玉溪·期末）下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②车辆到达十字路口，遇到红灯；③当时，关于x的方程在实数集内有解，其中是必然事件的有（   ） A．① B．② C．③ D．①② 2．（24-25高二上·上海·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签 B．底面是正方形的四棱柱是正四棱柱 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．有公共点的两个圆相切 3．（2024高二下·安徽·学业考试）抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数不大于2”，事件“点数大于1”，则下列结论中正确的是（    ） A．M是不可能事件 B．N是必然事件 C．是不可能事件 D．是必然事件 4．（24-25高二上·上海静安·期中）下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 5．（24-25高二上·吉林·阶段练习）若随机试验的样本空间为，则下列说法不正确的是（    ） A．事件是随机事件 B．事件是必然事件 C．事件是不可能事件 D．事件是随机事件 题型二　事件关系的判断 6．（2024·上海嘉定·一模）假定生男生女是等可能的，设事件：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（    ）. A．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件相互独立 B．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件相互独立 C．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件不相互独立 D．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件不相互独立 7．（2024高三·全国·专题练习）已知甲、乙两个班级的女生人数占本班人数的比例分别为和，现从每个班各选一名同学，记事件“从甲班选择的是女生”，事件“两名同学中至少有一名是男生”，事件“从两个班选到的学生性别不同”，则（    ） A．事件和相互独立 B．事件和相互独立 C．事件和相互独立 D．事件和相互独立 8．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则与互斥 B．互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 C．事件与事件中至少有一个发生的概率可以等于与中恰有一个发生的概率 D．一个袋子中有大小和质地完全相同的4个球（标号为），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件“第一次摸到标号小于3的球”､事件“第二次摸到标号小于3的球”，则与相互独立 9．（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4张号签，从中随机地选取两张号签，事件A=“取到标号为1和3的号签”，事件B=“两张号签标号之和为5”，则下列说法正确的是（    ） A．A与B互斥 B．A与B独立 C．A与B对立 D． 10．（24-25高二上·广东·期中）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“两次掷出的点数之和是”，事件B表示“第二次掷出的点数是偶数”，表示“两次掷出的点数相同”，表示“至少出现一个奇数点”，则（    ） A．A与互斥 B．A与相互独立 C．与对立 D．与相互独立 题型三　古典概型的计算 11．（24-25高二上·湖北·期中）一个袋子中有标号分别为、、、的个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次 (1)求摸出两球标号互质的概率； (2)设事件“第一次摸出球的标号小于”，事件“第二次摸出球的标号小于”，判断事件与事件是否相互独立. 12．（24-25高三下·上海青浦·阶段练习）去年上海进口博览会智能科技展区，主办方统计了20天的每日接待客户人数（单位：人次），并制作了如下茎叶图：    (1)求这组数据的第16、第70百分位数； (2)现从这20天中随机抽取1天，求这天的接待人数在50人次至69人次之间的概率； (3)主办方预计今年进博会期间，该展区日均接待人数将同比增长15%.假设接待人数的分布情况与去年相同，试估计今年进博会期间（同样为20天），接待人数超过70人次的天数所占比例，并说明理由. 13．（2025·福建福州·模拟预测）春季流感爆发期间，某学校通过在校门口并排设立三个红外体温检测点作为预防手段，进入学校的人员只需要在任意一个检测点检测体温即可进入校园，假设每个人在进入学校时选择每个检测点的概率相同，现有三男三女六位学生通过体温检测点进入学校，则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的概率为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）问卷的设计是一门很大的学问，例如，调查问题的措辞会对被调查者产生影响，举例来说，在“你在多大程度上喜欢吸烟”和“你在多大程度上不喜欢吸烟”这两种问法中，前者会比后者给出更为肯定的答案．下面设计了一个调查程序： 已知某高校有12000名学生，我们随机抽取其中1200名学生进行调查（吸烟问题）． 第一步：每个被测人员在大小和形状相同的50个红球与50个白球中随机摸取一个球，然后再同时掷两个骰子：（结果只有被测人员知道） 第二步：如果取到红球，且两个骰子的点数之和是4或5或6，则被测人员在计数器上点一下： 如果取到白球，且吸烟的被测人员在计数器上点一下．已知最后计数器数字是211． (1)求第二步中两个骰子的点数之和是4或5或6的概率： (2)试估计某高校吸烟的人数． 15．（24-25高三上·河南周口·期末）甲、乙、丙3人做传球游戏，游戏规则为：一人随机将球传到另外两人中的一人手里，接到球的一人再将球随机传到另外两人中的一人手里，如此循环传递下去，如果由甲先传球，则连续传球五次后，球在甲手里的概率为 . 题型四　频率与概率 16．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下： (1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率； (2)根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较． 17．（2024·四川绵阳·模拟预测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（    ）    A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天 B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3 C．估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时 D．估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时 18．（2024高三·全国·专题练习）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当临界值时，求漏诊率和误诊率； (2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间上的最大值． 19．（23-24高一上·广西桂林·期末）在某校进行男生身高调查，随机抽取100名男生，测得他们的身高（单位：），并按照区间，，，，分组，得到如下的样本数据的频率分布直方图：    (1)估计该校一位男生的身高位于区间的概率及该校男生身高的分位数； (2)估计该校男生的平均身高（同一组数据用该区间的中点值为代表）. 20．（21-22高一上·湖南株洲·开学考试）为响应垃圾分类处理，改善生态环境，某小区将生活垃圾分成三类：厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为a，b，c.并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C. (1)若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱，请写出投放正确的概率； (2)为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了某天三类垃圾箱中总共100吨的生活垃圾，数据统计如下（单位：吨） A B C a 40 10 10 b 3 24 3 c 2 2 6 ①请根据以上信息，试估计“厨余垃圾”投放正确的概率； ②调查发现，在“可回收垃圾”中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料，某城市每天大约产生2000吨生活垃圾.假设该城市对每天产生的垃圾箱中的垃圾全部分类处理，那么按样本中的投放垃圾与按规范投放垃圾相比，每月（按30天）流失掉多少吨塑料类垃圾的二级原料？ 题型五　事件独立性的判断 21．（23-24高二下·山东威海·期末）甲、乙两人进行投篮比赛，每次投篮若一方投中且另一方未投中，则投中的一方获胜，否则本次平局.已知每次投篮甲、乙投中的概率分别为和，且每次投篮甲、乙投中与否互不影响，各次投篮也互不影响，则次投篮甲至少获胜次的概率为 . 22．（23-24高一下·安徽六安·期末）概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金180枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这360枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（    ） A．甲180枚，乙180枚 B．甲288枚，乙72枚 C．甲240枚，乙120枚 D．甲270枚，乙90枚 23．（23-24高二下·安徽·阶段练习）甲、乙两人玩剪子包袱锤游戏，若每次出拳甲胜与乙胜的概率均为，且两人约定连续3次平局时停止游戏，则第7次出拳后停止游戏的概率为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二下·江苏泰州·期中）已知事件和相互独立，，，则（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高一下·云南·期末）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 题型六　相互独立事件概率 26．（24-25高二上·上海·阶段练习）某类型题目需要从A，B，C，D四个选项中选出正确答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对则得6分，部分选对则得部分分数（两个答案的每个答案3分，三个答案的每个答案2分），有选错的得0分． (1)有一道考试题甲不会做，假设他随机选择两个或三个选项，且写下每种答案的可能性相等，若该题的正确的答案为ABD，求考生甲本题得4分的概率； (2)现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的概率为得3分的概率为；考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙、丙两位考生总分刚好得18分的概率． 27．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）某校为选拔参加数学联赛的同学，先进行校内数学竞赛，为了解校内竞赛成绩，从所有学生中随机抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩，并作出频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)求频率分布直方图中的值.若从成绩不低于70分的同学中，按分层抽样方法抽取12人的成绩，求12人中成绩不低于90分的人数； (2)用样本估计总体，估计该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数以及中位数（保留两位小数）； (3)若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为，乙复赛获一等奖的概率为，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率． 28．（24-25高二上·湖北·期末）甲、乙两名同学组成“梦队”与AI人工智能进行比赛.每轮比赛均由甲、乙分别与AI挑战一次，已知甲每次挑战成功的概率为，乙每次挑战成功的概率为.在每轮比赛中，甲和乙成功与否互不影响，各轮结果也互不影响.“梦队”在两轮比赛中挑战成功4次的概率为. (1)求P的值； (2)求“梦队”在两轮比赛中，挑战成功至少2次的概率. 29．（24-25高一上·北京房山·期末）随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称）获取新闻资讯，手机应用程序已经成为人们生活中不可或缺的一部分，它悄无声息的改变着人们的生活习惯，也为人们的生活提供了极大的便利.为了解用户对某款的满意度，随机调研了名用户，调研结果如下表（单位：人）： 青年人 中年人 老年人 满意 一般 不满意 (1)从所有参与调研的人中随机选取人，求此人“不满意”的概率； (2)若用频率估计概率，从使用该款的青年人和中年人中各随机选取人，估计恰有人“满意”的概率； (3)现需从参与调研的老年人中选择人作进一步访谈，若在“满意”、“一般”、“不满意”的老年人中各选取人，这种抽样是否合理？说明理由． 30．（24-25高一上·北京房山·期末）甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是. (1)求甲、乙两人都解出这道题目的概率； (2)求甲、乙两人恰有一人解出这道题目的概率； (3)求这道题目被甲、乙两人解出的概率. 题型七　方程思想在相互独立事件概率中的应用 31．（23-24高一下·甘肃白银·期末）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，则下列事件发生的概率为的是（    ） A． B． C． D．方程有实数解 32．（23-24高二上·湖北孝感·阶段练习）抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用表示黄色骰子朝上的点数，表示白色骰子朝上的点数，用表示一次试验的结果，该试验的样本空间为，事件“关于的方程无实根”，事件“”，事件“”，事件“”则（    ） A．A与互斥 B．A与对立 C．与相互独立 D．与相互独立 33．（22-23高二下·湖北孝感·开学考试）已知函数，集合，若分别从集合P，Q中随机抽取一个数a和b，构成数对． (1)记事件A为“函数的单调递增区间为”，求事件A的概率； (2)记事件B为“方程有4个根”，求事件B的概率． 34．（20-21高一下·陕西铜川·期中）已知函数． （1）若，都是从集合中任取的一个数，求函数在上单调递减的概率； （2）若是从集合中任取的一个数，是从集合中任取的一个数，求方程在区间上有实数根的概率． 35．（16-17高二·安徽安庆·期中）设关于的一元二次方程. （1）若是从 五个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有 实根的概率； （2）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率. 题型八　概率的基本性质 36．（24-25高一下·全国·课堂例题）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 七年级 八年级 九年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为0.19． (1)求x的值； (2)已知，，求九年级中女生比男生少的概率； (3)已知，在全校学生中随机抽取一名学生，则该学生是女生或是九年级学生的概率是多少？ 37．（22-23高三·全国·对口高考）甲，乙两人破译一个密码，他们能破译的概率分别为，求 (1)甲，乙两人同时破译密码的概率； (2)甲，乙两人都不能破译密码的概率； (3)甲，乙两人中恰有一人破译密码的概率； (4)甲，乙两人中至多一人破译密码的概率； (5)若要使破译密码的概率大于99%，至少需要乙这样的人多少个. 38．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知，，且，则（   ） A．0.5 B．0.4 C．0.9 D．0.2 39．（24-25高二上·上海·期末）某学生参加两次英语高考，已知第一次超过130分的概率是0.5，第二次超过130分的概率是0.7，两次都超过130分的概率是0.3，则两次考试中至少有一次超过130分的概率为 ． 40．（24-25高一下·全国·随堂练习）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（    ） A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 概率 （易错必刷40题8种题型专项训练） 题型一　必然事件、不可能事件与随机事件的判断 题型二　事件关系的判断 题型三　古典概型的计算 题型四　频率与概率 题型五　事件独立性的判断 题型六　相互独立事件概率 题型七　方程思想在相互独立事件概率中的应用 题型八　概率的基本性质 题型一　必然事件、不可能事件与随机事件的判断 1．（23-24高一下·云南玉溪·期末）下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②车辆到达十字路口，遇到红灯；③当时，关于x的方程在实数集内有解，其中是必然事件的有（   ） A．① B．② C．③ D．①② 【答案】A 【分析】根据必然事件，随机事件和不可能事件的定义得到答案. 【详解】①是必然事件；②是随机事件； ③时，，无解，故③是不可能事件． 故选：A． 2．（24-25高二上·上海·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签 B．底面是正方形的四棱柱是正四棱柱 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．有公共点的两个圆相切 【答案】C 【分析】根据随机事件、必然事件的意义逐项分析即可求解. 【详解】对于A，标有数字4的标签可能取到，也可能取不到，不是必然事件，A不是； 对于B，底面是正方形的四棱柱不一定是正四棱柱，不是必然事件，B不是； 对于C，平行于同一条直线的两条直线互相平行，一定能发生，是必然事件，C是； 对于D，有公共点的两个圆可能相交，也可能相切，不是必然事件，D不是. 故选：C 3．（2024高二下·安徽·学业考试）抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数不大于2”，事件“点数大于1”，则下列结论中正确的是（    ） A．M是不可能事件 B．N是必然事件 C．是不可能事件 D．是必然事件 【答案】D 【分析】根据事件的定义判断． 【详解】事件是点数为1或2，事件是点数是2，3，4，5或6，它们都是随机事件， 是点为2，是随机事件，是可能发生的， 是点数为1，2，3，4，5或6，一定会发生，是必然事件， 故选：D． 4．（24-25高二上·上海静安·期中）下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 【答案】A 【分析】利用随机现象、必然事件、不可能事件的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，买一张福利彩票，中奖是随机的，A是； 对于B，在标准大气压下水加热到，沸腾是必然事件，B不是； 对于C，异性电荷，相互吸引，因此“异性电荷，相互排斥”是不可能事件，C不是； 对于D，实心铁块丢入纯净水中，铁块下沉，因此“实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起”是不可能事件，D不是. 故选：A 5．（24-25高二上·吉林·阶段练习）若随机试验的样本空间为，则下列说法不正确的是（    ） A．事件是随机事件 B．事件是必然事件 C．事件是不可能事件 D．事件是随机事件 【答案】D 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念判断即可. 【详解】随机试验的样本空间为， 则事件是随机事件，故A正确； 事件是必然事件，故B正确； 事件是不可能事件，故C正确； 事件是不可能事件，故D错误. 故选：D 题型二　事件关系的判断 6．（2024·上海嘉定·一模）假定生男生女是等可能的，设事件：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（    ）. A．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件相互独立 B．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件相互独立 C．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件不相互独立 D．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件不相互独立 【答案】B 【分析】分别写出①②对应的样本空间，再利用相互独立事件计算判断. 【详解】若家庭中有两个小孩，样本空间为(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女)，共4种情况， (男,女)，(女,男)(男,男)，(男,女)，(女,男)(男,女)，(女,男)， 则，，，事件与事件不相互独立，AC错误； 若家庭中有三个小孩，样本空间为(男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)， (男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)，(女,女,女)，共8种情况， (男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)， (男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)， ，，，事件与事件相互独立，B正确，D错误. 故选：B 7．（2024高三·全国·专题练习）已知甲、乙两个班级的女生人数占本班人数的比例分别为和，现从每个班各选一名同学，记事件“从甲班选择的是女生”，事件“两名同学中至少有一名是男生”，事件“从两个班选到的学生性别不同”，则（    ） A．事件和相互独立 B．事件和相互独立 C．事件和相互独立 D．事件和相互独立 【答案】C 【分析】利用独立事件的定义逐项判断即可. 【详解】由题意可得，，， ，， ，， 因为，则事件和不相互独立，A错误； 因为，则事件和不相互独立，B错误； 因为，则事件和相互独立，C正确； 因为，则事件和不相互独立，D错误． 故选：C. 8．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则与互斥 B．互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 C．事件与事件中至少有一个发生的概率可以等于与中恰有一个发生的概率 D．一个袋子中有大小和质地完全相同的4个球（标号为），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件“第一次摸到标号小于3的球”､事件“第二次摸到标号小于3的球”，则与相互独立 【答案】BC 【分析】根据互斥、对立事件的定义及事件描述判断A、B；以事件与事件互斥为例判断C；应用列举法及独立事件的判定判断D. 【详解】A：由题意，第一枚硬币正面朝上，第二枚硬币反面朝上可以同时发生，故与不互斥，错； B：根据互斥、对立事件的定义知，互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，对； C：当事件与事件互斥时，它们中至少有一个发生，与、恰有一个发生的概率相等，对； D：由题意，摸出2个球的所有情况有，共12种， 其中第一次摸到标号小于3的球，共6种， 第二次摸到标号小于3的球，共6种， 第一和第二次摸到都小于3的球，共2种， 所以，错； 故选：BC 9．（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4张号签，从中随机地选取两张号签，事件A=“取到标号为1和3的号签”，事件B=“两张号签标号之和为5”，则下列说法正确的是（    ） A．A与B互斥 B．A与B独立 C．A与B对立 D． 【答案】AD 【分析】由互斥事件，对立事件，独立事件的定义判断ABC选项，古典概型计算概率判断选项D. 【详解】根据题意，选取两张号签用表示一次实验结果， 则随机试验结果的样本空间， ，. 对A，，所以与互斥，故A选项正确； 对B，，，，所以，与不独立，故B选项错误； 对C，，，所以与不对立，故C选项错误； 对D，，故D选项正确. 故选：AD. 10．（24-25高二上·广东·期中）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“两次掷出的点数之和是”，事件B表示“第二次掷出的点数是偶数”，表示“两次掷出的点数相同”，表示“至少出现一个奇数点”，则（    ） A．A与互斥 B．A与相互独立 C．与对立 D．与相互独立 【答案】ABD 【分析】对于A：根据互斥事件的概念分析判断；对于C：根据对立事件的概念分析判断；对于BD：求相应事件的概率，结合独立事件的定义分析判断. 【详解】试验的样本空间，，，. 事件，. 对于A，A与没有公共的基本事件，A与互斥，正确； 对于B，与相互独立，B正确； 对于C，显然，与可以同时发生，C错误； 对于D，与相互独立，D正确. 故选：ABD. 题型三　古典概型的计算 11．（24-25高二上·湖北·期中）一个袋子中有标号分别为、、、的个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次 (1)求摸出两球标号互质的概率； (2)设事件“第一次摸出球的标号小于”，事件“第二次摸出球的标号小于”，判断事件与事件是否相互独立. 【答案】(1) (2)不独立，理由见解析 【分析】（1）记事件摸出两球标号互质，列举出样本空间，以及事件包含的样本点，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）利用独立事件的定义判断可得出结论. 【详解】（1）讨论摸出两球的标号，记事件摸出两球标号互质， 样本空间为，共个样本点， 每个样本点出现的可能性相同， ，共个样本点，故. 因此，摸出两球标号互质的概率为. （2）样本空间为， 共个样本点， ， ，， 则，，所以，， 所以，事件与事件不独立. 12．（24-25高三下·上海青浦·阶段练习）去年上海进口博览会智能科技展区，主办方统计了20天的每日接待客户人数（单位：人次），并制作了如下茎叶图：    (1)求这组数据的第16、第70百分位数； (2)现从这20天中随机抽取1天，求这天的接待人数在50人次至69人次之间的概率； (3)主办方预计今年进博会期间，该展区日均接待人数将同比增长15%.假设接待人数的分布情况与去年相同，试估计今年进博会期间（同样为20天），接待人数超过70人次的天数所占比例，并说明理由. 【答案】(1)45，64.5 (2) (3)40%，理由见解析 【分析】（1）由百分位数的计算公式即可求解； （2）由古典概型概率公式即可求解； （3）由同比增长15%，计算出接待人数超70人次的天数，即可判断； 【详解】（1）注意到，， 因此，第16、70百分位数分别是： 序列表中的第4个值、（第14＋第15数值） 即分别为：45、64.5 （2）现从这20天中随机抽取1天， 在50和69之间的数据点数量，这些值是： 51，53，54，56，57，59，60，62，64，65，68 有11个这样的值. 由于总共有20个数据点，因此所求概率是： （3）由于接待人数的分布情况与去年相同， 日均接待人数将同比增长15%，于是接待人数超70人次的天数有： ，，，， ，，…，， 合计8天 于是接待人数超过70人次的天数所占比例为： 综上，估计今年进博会期间，接待人数超过70人次的天数所占比例为40% 13．（2025·福建福州·模拟预测）春季流感爆发期间，某学校通过在校门口并排设立三个红外体温检测点作为预防手段，进入学校的人员只需要在任意一个检测点检测体温即可进入校园，假设每个人在进入学校时选择每个检测点的概率相同，现有三男三女六位学生通过体温检测点进入学校，则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分三种情况讨论，利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】由题知，每个人进入学校时选择每个检测点的概率都相等， 则三男三女六位学生通过体温检测点进入学校，共有种不同的结果， 若每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等， 则①每个检测点均为一男一女通过，共有 ②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女， 共有种不同的结果；种不同的结果； ③六人均在同一个检测点通过，共有种不同的结果. 则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的概率为. 故选：B. 14．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）问卷的设计是一门很大的学问，例如，调查问题的措辞会对被调查者产生影响，举例来说，在“你在多大程度上喜欢吸烟”和“你在多大程度上不喜欢吸烟”这两种问法中，前者会比后者给出更为肯定的答案．下面设计了一个调查程序： 已知某高校有12000名学生，我们随机抽取其中1200名学生进行调查（吸烟问题）． 第一步：每个被测人员在大小和形状相同的50个红球与50个白球中随机摸取一个球，然后再同时掷两个骰子：（结果只有被测人员知道） 第二步：如果取到红球，且两个骰子的点数之和是4或5或6，则被测人员在计数器上点一下： 如果取到白球，且吸烟的被测人员在计数器上点一下．已知最后计数器数字是211． (1)求第二步中两个骰子的点数之和是4或5或6的概率： (2)试估计某高校吸烟的人数． 【答案】(1) (2)220人 【分析】（1）由古典概型可求， （2）先求出被测试中的一个学生吸烟的概率，再估算高校吸烟的人数. 【详解】（1）设两个骰子的点数之和是4或5或6的事件为，则掷两个骰子共有种不同结果， 其中之和是4或5或6的有（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共有12种， 所以. （2）设被测试中的一个学生吸烟的概率为，则被计数器计数的学生人数为211， 所以，解得， 所以估计某高校吸烟的人数为人． 15．（24-25高三上·河南周口·期末）甲、乙、丙3人做传球游戏，游戏规则为：一人随机将球传到另外两人中的一人手里，接到球的一人再将球随机传到另外两人中的一人手里，如此循环传递下去，如果由甲先传球，则连续传球五次后，球在甲手里的概率为 . 【答案】/0.3125 【分析】求出五次传球总的传球结果数，然后分析如何传球才能使得满足题意，分别求出其可能的结果数，然后求和.最后利用古典概型求出概率即可. 【详解】每次传球都有两种选择，所以5次传球共有种传球结果. 因为从甲开始，最后回到甲手上，所以第一次传球后不可能是甲接到球，第四次传球后不可能是甲接到球. 如果第二次传球是甲接到球，则第三次传球后不是甲接到球，所以共有种传球结果； 如果第二次传球不是甲接到球，第三次传球后也不是甲接到球，则有种传球结果； 如果第二次传球不是甲接到球，第三次传球后是甲接到球，则有种传球结果； 所以甲先传球，则连续传球五次后，球在甲手里共有种传球的结果， 所以甲先传球，则连续传球五次后，球在甲手里得概率为. 故答案为： 题型四　频率与概率 16．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下： (1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率； (2)根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较． 【答案】(1) (2)新养殖法更加优于旧养殖法. 【分析】（1）通过计算旧养殖法的箱产量低于50kg的频率来估计其概率； （2）利用平均数进行比较判断即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为 ， 所以事件A的概率估计值为； （2）由频率分布直方图可得 旧养殖法100个网箱的箱产量的平均数为 ， 新养殖法100个网箱的箱产量的平均数为 ， 因为， 所以新养殖法更加优于旧养殖法. 17．（2024·四川绵阳·模拟预测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（    ）    A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天 B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3 C．估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时 D．估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时 【答案】C 【分析】利用频率分别直方图、频数、频率、中位数、众数直接求解. 【详解】对于A，该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的天数为：天，故A错误； 对于B，估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为，故B错误； 对于C，的频率为，的频率为， 则该学生每日完成作业时间的中位数为，故C正确； 对于D，估计该学生每日完成作业时间的众数为，故D错误； 故选：C 18．（2024高三·全国·专题练习）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当临界值时，求漏诊率和误诊率； (2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间上的最大值． 【答案】(1)0.5%，3.5%； (2)，0.07. 【分析】（1）根据题意，由第一个图求出的矩形面积，再根据第二个图求出的矩形面积即可解出. （2）根据题意，确定分段点100，即可得出的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出. 【详解】（1）依题意，， . （2）当时， ， 当时，； 当时， ， 当时，， 所以，在区间上的最大值为0.07. 19．（23-24高一上·广西桂林·期末）在某校进行男生身高调查，随机抽取100名男生，测得他们的身高（单位：），并按照区间，，，，分组，得到如下的样本数据的频率分布直方图：    (1)估计该校一位男生的身高位于区间的概率及该校男生身高的分位数； (2)估计该校男生的平均身高（同一组数据用该区间的中点值为代表）. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图利用频率估计概率运算求解，并根据百分位数的定义求分位数； （2）直接利用平均数公式求出平均数. 【详解】（1）由题意可知：每组的频率依次为， 身高位于区间的频率为， 用频率估计概率，估计该校一位男生的身高位于区间的概率为， 又因为的人数占比为0.10，的人数占比为0.20. 可知该校100名生学身高的分位数落在. 设该校100名生学身高的分位数为x，则，解得. 故该校100名生学身高的分位数为. （2）根据频率分布直方图，由平均数公式可得： 20．（21-22高一上·湖南株洲·开学考试）为响应垃圾分类处理，改善生态环境，某小区将生活垃圾分成三类：厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为a，b，c.并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C. (1)若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱，请写出投放正确的概率； (2)为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了某天三类垃圾箱中总共100吨的生活垃圾，数据统计如下（单位：吨） A B C a 40 10 10 b 3 24 3 c 2 2 6 ①请根据以上信息，试估计“厨余垃圾”投放正确的概率； ②调查发现，在“可回收垃圾”中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料，某城市每天大约产生2000吨生活垃圾.假设该城市对每天产生的垃圾箱中的垃圾全部分类处理，那么按样本中的投放垃圾与按规范投放垃圾相比，每月（按30天）流失掉多少吨塑料类垃圾的二级原料？ 【答案】(1) (2)①；②252 【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出垃圾投放正确的情况数，即可求出所求的概率. （2）①利用频率估计概率求解可得. ②首先求得可回收垃圾量，然后求得二级原料即可. 【详解】（1）列表如下： a b c A B C 所有等可能的情况数有9种， 其中垃圾投放正确的有，，共3种， 所以垃圾投放正确的概率为. （2）①.估计“厨余垃圾”投放正确的概率为， ②.由（吨）， 答：每月（按30天）流失掉252吨塑料类垃圾的二级原料. 题型五　事件独立性的判断 21．（23-24高二下·山东威海·期末）甲、乙两人进行投篮比赛，每次投篮若一方投中且另一方未投中，则投中的一方获胜，否则本次平局.已知每次投篮甲、乙投中的概率分别为和，且每次投篮甲、乙投中与否互不影响，各次投篮也互不影响，则次投篮甲至少获胜次的概率为 . 【答案】/0.104 【分析】设甲获胜为事件,求出甲获胜的概率，次投篮甲至少获胜次的概率为，利用独立事件的概率公式求解即可. 【详解】设甲获胜为事件,则， 则次投篮甲至少获胜次的概率为 . 故答案为：. 22．（23-24高一下·安徽六安·期末）概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金180枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这360枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（    ） A．甲180枚，乙180枚 B．甲288枚，乙72枚 C．甲240枚，乙120枚 D．甲270枚，乙90枚 【答案】D 【分析】利用独立事件的概率公式进行求解即可. 【详解】根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为， 假设两人继续进行比赛， 甲获取360枚金币有：第四局甲赢，或第四局甲输，第五局甲赢， 故概率为， 乙获取360枚金币有：第四、五局乙都赢， 故概率为， 则甲应该获得枚金币，乙应该获得枚金币， 故选：D 23．（23-24高二下·安徽·阶段练习）甲、乙两人玩剪子包袱锤游戏，若每次出拳甲胜与乙胜的概率均为，且两人约定连续3次平局时停止游戏，则第7次出拳后停止游戏的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意分析可知，后3局连续平局，第4局不是平局，前3局不是连续平局，再结合独立事件概率公式，即可求解. 【详解】记第i次出拳是平局为事件，则， 记第7次出拳后停止游戏为事件A，则， 所以． 故选：D． 24．（23-24高二下·江苏泰州·期中）已知事件和相互独立，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相互独立事件概率公式计算即可. 【详解】因为事件和相互独立，事件为和事件，则， 所以，解得； 故选：D 25．（23-24高一下·云南·期末）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 【答案】D 【分析】列举出样本空间、事件和事件，即可判断A；对于BD：根据互斥事件、对立事件的概念分析判断；对于C：根据事件概率乘法公式分析判断. 【详解】用每次取球的结果，分别表示甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球的标号， 由题意可知：样本空间； 事件；事件，； 对于选项A：因为，所以事件A和不相等，故A错误； 对于选项BD：因为事件， 所以事件A和互斥，事件A和不互相对立，故B错误，D正确； 对于选项C：因为， 则， 显然，所以事件A和不相互独立，故C错误； 故选：D. 题型六　相互独立事件概率 26．（24-25高二上·上海·阶段练习）某类型题目需要从A，B，C，D四个选项中选出正确答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对则得6分，部分选对则得部分分数（两个答案的每个答案3分，三个答案的每个答案2分），有选错的得0分． (1)有一道考试题甲不会做，假设他随机选择两个或三个选项，且写下每种答案的可能性相等，若该题的正确的答案为ABD，求考生甲本题得4分的概率； (2)现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的概率为得3分的概率为；考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙、丙两位考生总分刚好得18分的概率． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意，由古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由相互独立事件的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题意甲同学选择的所有可能答案构成的样本空间为共10个样本点： 设事件表示“考生甲猜对本题得4分”， 则有3个样本点， 所以． （2）由题意乙得0分的概率为，丙得0分的概率为， 乙、丙总分刚好得18分的情形有以下几种： 情形一记为事件：乙得12分有一种情况，丙得6分有三种情况， 则， 情形二记为事件：乙得9分有两种情况，丙得9分有两种情况， 则， 事件：乙得6分有三种情况，丙得12分有一种情况， 则， 所以乙、丙总分刚好得18分的概率. 27．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）某校为选拔参加数学联赛的同学，先进行校内数学竞赛，为了解校内竞赛成绩，从所有学生中随机抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩，并作出频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)求频率分布直方图中的值.若从成绩不低于70分的同学中，按分层抽样方法抽取12人的成绩，求12人中成绩不低于90分的人数； (2)用样本估计总体，估计该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数以及中位数（保留两位小数）； (3)若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为，乙复赛获一等奖的概率为，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率． 【答案】(1)；12人中成绩不低于90分的人数为1； (2)平均数约为分，中位数约为分； (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和为1可求的值，再根据分层随机抽样可得12人中成绩不低于90分的人数； （2）根据频率分布直方图及平均数与中位数的定义计算即可； （3）根据相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得. 的频率为，的频率为， 的频率为，按分层抽样方法抽取12人的成绩， 则12人中成绩不低于90分的人数为. （2）该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数为： . 的频率为， 的频率为， 设中位数为,则，则，解得， 故该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数约为分，中位数约为分. （3）设“至少有一位同学复赛获一等奖”， 则， 故至少有一位同学复赛获一等奖的概率为. 28．（24-25高二上·湖北·期末）甲、乙两名同学组成“梦队”与AI人工智能进行比赛.每轮比赛均由甲、乙分别与AI挑战一次，已知甲每次挑战成功的概率为，乙每次挑战成功的概率为.在每轮比赛中，甲和乙成功与否互不影响，各轮结果也互不影响.“梦队”在两轮比赛中挑战成功4次的概率为. (1)求P的值； (2)求“梦队”在两轮比赛中，挑战成功至少2次的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分步乘法计数原理求解即可. （2）利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解即可. 【详解】（1）设，，分别表示甲两轮挑战成功的次数分别为0，1，2的事件， ，，分别表示乙两轮挑战成功的次数分别为0，1，2的事件， 则，， ，，，. 设“梦队”在两轮比赛中挑战成功4次为事件， 则，解得（舍去负根）. （2）由（1）知，，， 设“梦队”在两轮比赛中挑战成功至少2次为事件D， 则. 29．（24-25高一上·北京房山·期末）随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称）获取新闻资讯，手机应用程序已经成为人们生活中不可或缺的一部分，它悄无声息的改变着人们的生活习惯，也为人们的生活提供了极大的便利.为了解用户对某款的满意度，随机调研了名用户，调研结果如下表（单位：人）： 青年人 中年人 老年人 满意 一般 不满意 (1)从所有参与调研的人中随机选取人，求此人“不满意”的概率； (2)若用频率估计概率，从使用该款的青年人和中年人中各随机选取人，估计恰有人“满意”的概率； (3)现需从参与调研的老年人中选择人作进一步访谈，若在“满意”、“一般”、“不满意”的老年人中各选取人，这种抽样是否合理？说明理由． 【答案】(1) (2) (3)这种抽样不合理，理由见解析 【分析】（1）利用古典概型求解概率即可. （2）由相互独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式可求解概率. （3）利用分层抽样的性质判断即可. 【详解】（1）所有参与调研的人共有人， 不满意的人数是. 记事件“从所有参与调研的人中随机选取人，此人不满意”， 则所求概率为 （2）参与调研的青年人共有人，满意的有人. 记事件“从使用该款的青年人中随机选取人，此人满意”， 则的估计值为. 参与调研的中年人共有人，满意的有人. 记事件“从使用该款的中年人中随机选取人，此人满意”， 则的估计值为. 则从使用该款的青年人和中年人中各随机选取人， 恰有人“满意”的概率估计为， ； （3）这种抽样不合理. 理由：参与调研的名老年人中不满意的人数为， 满意和一般的总人数为，说明满意度之间存在较大差异， 所以从三种态度的老年中各选取人不合理.合理的抽样方法是采用分层抽样， 根据，，的具体数值来确定抽样的数目. 30．（24-25高一上·北京房山·期末）甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是. (1)求甲、乙两人都解出这道题目的概率； (2)求甲、乙两人恰有一人解出这道题目的概率； (3)求这道题目被甲、乙两人解出的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可； （2）分甲解出乙没有解出和乙解出甲没有解出两种情况，利用对立事件的性质和相互独立事件的概率乘法公式求解即可； （3）分甲、乙两人都解出和只有一人解出，利用对立事件的性质和相互独立事件的概率乘法公式求解即可. 【详解】（1）设事件“甲、乙两人都解出这道题目”， 则. （2）设事件“甲、乙两人恰有一人解出这道题目”， 则. （3）设事件“这道题目被甲、乙两人解出”， 则. 题型七　方程思想在相互独立事件概率中的应用 31．（23-24高一下·甘肃白银·期末）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，则下列事件发生的概率为的是（    ） A． B． C． D．方程有实数解 【答案】BCD 【分析】利用列举法及古典概型概率公式逐项分析可得答案. 【详解】先后抛掷一枚骰子两次，得到基本事件总数有36种. 对于选项A，满足的有，，，，，共5种， 故概率为，故A错误； 对于选项B，满足的有，，，，，，共6种， 故概率为，故B正确； 对于选项C，满足，即的有，，，，， ，共6种，故概率为，故C正确； 对于选项D，方程有实数解，则，即， 符合题意的有，，，，，，共6种，故概率为，故D正确. 故选：BCD. 32．（23-24高二上·湖北孝感·阶段练习）抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用表示黄色骰子朝上的点数，表示白色骰子朝上的点数，用表示一次试验的结果，该试验的样本空间为，事件“关于的方程无实根”，事件“”，事件“”，事件“”则（    ） A．A与互斥 B．A与对立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】BCD 【分析】先用列举法写出一次试验的基本事件，再根据条件写出事件包含的基本事件即可判断出选项A和B的正误；再利用古典概率公式和事件相互独立的判断方法逐一对选项C和D分析判断即可得出结果. 【详解】由题意得， ， ， 包含36个样本点. 对于选项A：由，得， 所以，，，， 共包含30个样本点， 且，共包含6个样本点， 因为，所以A与不互斥，故A错误； 对于选项B：因为，， 共包含18个样本点， 且，共包含6个样本点， 因为，所以A与对立，故B正确； 对于选项C：因为， 所以，故与相互独立，故C正确； 对于选项D：因为，所以， 故与相互独立，故正确. 故选：BCD. 33．（22-23高二下·湖北孝感·开学考试）已知函数，集合，若分别从集合P，Q中随机抽取一个数a和b，构成数对． (1)记事件A为“函数的单调递增区间为”，求事件A的概率； (2)记事件B为“方程有4个根”，求事件B的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列举样本空间所有的样本点，依题意有，列举满足条件的样本点，根据古典概型概率公式计算； （2）依题意有，列出所有符合条件的样本点，根据古典概型概率公式计算. 【详解】（1）由题知，所以，数对的可能取值为： 共16对． 若函数的单调递增区间为，则函数的对称轴为，即 所以，满足条件的基本事件有：，共4对， 所以，事件A的概率为 （2）因为，二次函数开口向上， 所以，方程有4个根，即为和各有2个根， 所以，二次函数的最小值小于． 所以，即， 满足条件的基本事件有：，共11对， 所以，事件B的概率． 34．（20-21高一下·陕西铜川·期中）已知函数． （1）若，都是从集合中任取的一个数，求函数在上单调递减的概率； （2）若是从集合中任取的一个数，是从集合中任取的一个数，求方程在区间上有实数根的概率． 【答案】(1)；(2). 【分析】(1)先将所求的事件记为事件，再列出，所有可能的取值情况，根据函数在区间上单调递减得出，再找出符合事件的情况，最后利用古典概率模型公式求概率； (2)先将所求的事件记为事件，再列出，所有可能的取值情况，根据方程在区间上有实数根得出，再找出符合事件的情况，最后利用古典概率模型公式求概率. 【详解】(1)记函数在区间上单调递减为事件A． 由于a，b都是从集合中任取的一个数，基本事件有 ，，，，，，，，，共9种． 因为的取值为正数，所以函数图象开口向上， 若函数在区间上单调递减，则有，即，， 满足条件的有，，，，，， 所以事件A包含其中的6个基本事件． 所以所求的概率为． (2)记方程在区间上有实数根为事件B． 由于a是从集合上任取的一个数，b是从集合上任取的一个数， 基本事件有，，，，，，，， ，，，，共12种. 由题意知，， 所以方程在区间上有实数根， 则有，即， 满足条件的有，，，，， 所以事件B包含其中的5个基本事件， 所以所求的概率为． 35．（16-17高二·安徽安庆·期中）设关于的一元二次方程. （1）若是从 五个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有 实根的概率； （2）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先确定方程有实根的条件：，再根据分步计数原理以及枚举法确定总事件数以及方程有实根事件数，最后根据古典概型概率公式求解，（2）所求概率为几何概型，测度为面积，根据矩形面积得分母，根据直角梯形面积得分子，最后根据几何概型概率公式得结果. 【详解】（1）是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，所以总事件数为，由有实根得，包含基本事件为 ，共14个，故所求事件的概率为 （2）若是从区间[0，4]中任取的一个实数，b是从区间[0，3]中任取的一个实数，则的面积12，其中中满足的区域面积为， 故所求事件的概率为 题型八　概率的基本性质 36．（24-25高一下·全国·课堂例题）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 七年级 八年级 九年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为0.19． (1)求x的值； (2)已知，，求九年级中女生比男生少的概率； (3)已知，在全校学生中随机抽取一名学生，则该学生是女生或是九年级学生的概率是多少？ 【答案】(1)380 (2) (3)． 【分析】（1）运用等可能事件概率公式可解； （2）设九年级女生比男生少为事件，九年级女生数、男生数记为,列举样本空间样本点和满足题意的样本点，然后运用古典概型计算； （3）运用并事件概率公式计算即可. 【详解】（1），． （2）设九年级女生比男生少为事件，九年级女生数、男生数记为， 由（1）知，，，． 满足题意得所有样本点是，共11个， 事件A包含的样本点是，共5个． 因此． （3）设“抽到女生”，“抽到九年级学生”，由（2）知， 又，， 全校女生共有（名）， 则有，，． 该学生是女生或九年级学生的概率为． 37．（22-23高三·全国·对口高考）甲，乙两人破译一个密码，他们能破译的概率分别为，求 (1)甲，乙两人同时破译密码的概率； (2)甲，乙两人都不能破译密码的概率； (3)甲，乙两人中恰有一人破译密码的概率； (4)甲，乙两人中至多一人破译密码的概率； (5)若要使破译密码的概率大于99%，至少需要乙这样的人多少个. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）根据概率的乘法公式即可计算出结果为； （2）根据概率的加法公式可分别计算出甲、乙不能破译密码的概率，再利用乘法公式计算即可； （3）甲，乙两人中恰有一人破译密码包括“甲破译乙未破译”和“甲未破译乙破译”两种情况，将两概率相加即可; （4）根据对立事件的概念可知，该事件与（1）中的事件互为对立事件，利用加法公式即可求得结果. （5）根据题意可知不能破译密码的概率小于，即，解出即可得出结果. 【详解】（1）记“甲破译密码”为事件，“乙破译密码”为事件， 则，易知事件与事件相互独立； 所以甲，乙两人同时破译密码的概率为 （2）根据题意可知, 甲不能破译密码的概率， 乙不能破译密码的概率； 所以甲，乙两人都不能破译密码的概率为 （3）由（1）（2）可知，甲，乙两人中恰有一人破译密码的概率为 ； （4）易知事件“甲，乙两人中至多一人破译密码”与（1）中的事件“甲，乙两人同时破译密码”互为对立事件， 由（1）知， 则甲，乙两人中至多一人破译密码的概率为 （5）设至少需要个像乙这样的人， 则这个人能破译密码的概率大于，即不能破译密码的概率小于， 即需满足，即，所以，即； 将代入，解得； 故至少需要个乙这样的人. 38．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知，，且，则（   ） A．0.5 B．0.4 C．0.9 D．0.2 【答案】B 【分析】由A与B之间的包含关系可直接得到答案. 【详解】因为，所以, 故选：B. 39．（24-25高二上·上海·期末）某学生参加两次英语高考，已知第一次超过130分的概率是0.5，第二次超过130分的概率是0.7，两次都超过130分的概率是0.3，则两次考试中至少有一次超过130分的概率为 ． 【答案】0.9/ 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质计算得答案. 【详解】记两次考试分别超过130分的事件为，则， 因此， 所以两次考试中至少有一次超过130分的概率为0.9. 故答案为：0.9 40．（24-25高一下·全国·随堂练习）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（    ） A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0 【答案】C 【分析】根据总的概率之和为1进行求解. 【详解】摸出黑球的概率为. 故选：C 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$