精品解析：2024年山东省聊城市东昌府中考模拟考试数学试题(二)

2024年中考模拟考试（二） 数学学科试题 亲爱的同学，请你在答题之前，仔细阅读以下说明： 1．试题由选择题和非选择题两部分组成，共6页，选择题30分，非选择题90分，共120分，考试时间120分钟． 2．将姓名、考场号、座号、准考证号填写到答题卡指定的位置． 3．试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题． 4．考试结束，只交答题卡． 5．一律不允许使用科学计算器． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 的倒数是 A B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年1月8日，以“家家挂红灯，户户贴春联，村村有好戏——回村过大年”为主题的2024春节山东乡村文化旅游节启动．小明通过观看纪录片对剪纸产生了浓厚的兴趣，以下哪个剪纸图片既是轴对称图形又是中心对称图形（ ） A B. C. D. 4. 2024年1月12日，中国海油发布消息，2023年，国内最大原油生产基地渤海油田累产油气当量超3680万吨，其中原油产量超3400万吨，天然气产量超35亿立方米，创历史最高水平．数据“3400万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，作如下作图； ①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点M、N； ②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点P； ③作射线交于点D；根据以上作图，判断下列结论正确的有（ ） ①是等腰三角形 ② ③ ④ A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 7. 有四张完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数，，，1，将四张卡片背面朝上，随机抽取一张，所得卡片上的数记为，不放回，再随机抽取一张，所得卡片上的数记为，则方程没有实数根的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，是的切线，，为切点，过点作交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点A，B在双曲线第一象限的分支上，若A，B的纵坐标分别是4和2，连接OA，OB，的面积是6，则k的值是（ ） A 6 B. 8 C. 10 D. 12 10. 如图1，在平行四边形ABCD中，，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿折线运动到点D停止．图2是点P、Q运动时，的面积S与运动时间t函数关系的图象，则a的值是（ ） A. B. C. 6 D. 12 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 因式分解：__________． 12. 分式方程的解为_____． 13. 如图，在中，E为BC的中点，以E为圆心，BE长为半径画弧交对角线AC于点F，若，，，则扇形BEF的面积为________． 14. 对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为______． 15. 如图，在七边形中，的延长线相交于点．若图中，，，的角度和为，则的度数为______． 16. 聊城近几年城市发展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃，其中偶数个苯环可视为同系物．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下： 若图和图的分子中共含有242个原子，则的值______． 三、解答题（本题共8个小题，满分72分） 17 计算： （1）； （2）解不等式组：． 18. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书．若购买1本《北上》比1本《牵风记》进价少20元；若用1200元购买《北上》与用1800元购买《牵风记》的本数相同． （1）求每本《北上》和每本《牵风记》各为多少元？ （2）若该校购进《牵风记》的本数比购进《北上》的本数的2倍还多5本，且《北上》的本数不少于17本，购进《北上》和《牵风记》的总费用不超过3340元，则该校有几种购货方案？ 19. 某中学数学小组的同学们，带着测量工具来到一山顶，为测量山顶上铁塔高度设计了如下方案，请你根据以下材料，完成项目任务． 项目 计算铁塔的高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 说明：在高的楼底部测得塔顶的仰角为，在楼顶测得塔顶的仰角．已知山高为，楼的底部与山脚在同一水平线上 参考数据： ，， 项目任务 求铁塔的高度的长． 20. 某社区为了加强社区居民对民法典知识的了解，鼓励社区居民在线参与作答“适用民法”专项试题，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取10名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下： 收集数据 甲小区：90 90 70 90 100 80 80 90 95 65 乙小区：95 70 80 90 70 80 95 80 100 90 整理数据 成绩（分） 甲小区 2 2 4 2 乙小区 2 3 3 分析数据 统计量 平均数 中位数 众数 甲小区 85 90 乙小区 80 应用数据 （1）直接写出，，，的值； （2）根据以上的数据分析，请你判断哪个小区对“适用民法”专项知识掌握更好?至少说出两个理由； （3）若乙小区共有1000人参与了答卷，请估计乙小区成绩大于90分的人数． 21. 如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，B两点，一次函数与x轴交于点C，若． （1）求一次函数的解析式． （2）将一次函数的图象沿x轴负方向平移个单位长度得到新图象，求这个新图象与函数的图象只有一个交点M时，求a的值及交点M的坐标． 22. 如图，内接于，是的直径，过上的点作，交的延长线于点，交于点，过点作的切线交于点． （1）求证：是的中点； （2）若，，，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点，时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，且点的横坐标小于2，为轴上方抛物线上的一点，过点作轴，垂足为点，是否存在点使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，直接出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 24. 在一次数学研究性学习中，小明发现：如图1，在正方形中，点E，Q分别在边，上，于点O，点G，F分别在边，上，，通过证明，再证四边形平行四边形，从而证出． （1）【学以致用】：如图2，正方形纸片的边长为12，E是边上一点，连接，折叠该纸片，使点A落在上的G点，并使折痕经过点B，折痕与交于点H，点F在上，若，则的长为______． （2）【类比探究】：如图3，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，点D落在点处，得到四边形，交于点H，连接交于点O，试探究与之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点M，N分别在边，上．沿着直线折叠矩形，点A，B分别落在点E，F处，且点F在线段上（不与两端点重合），过点M作于点H，连接交于点O．若，求折叠后重叠部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年中考模拟考试（二） 数学学科试题 亲爱的同学，请你在答题之前，仔细阅读以下说明： 1．试题由选择题和非选择题两部分组成，共6页，选择题30分，非选择题90分，共120分，考试时间120分钟． 2．将姓名、考场号、座号、准考证号填写到答题卡指定的位置． 3．试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题． 4．考试结束，只交答题卡． 5．一律不允许使用科学计算器． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 的倒数是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵(−)×(−)=1， ∴−的倒数是−. 故选D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，掌握整式运算的规律是解题的关键． 根据运算规律仔细计算即可． 详解】解：A． ，故此选项错误； B． ，故此选项错误； C． ， 故此选项错误； D． ，故此选项正确． 故选：D． 3. 2024年1月8日，以“家家挂红灯，户户贴春联，村村有好戏——回村过大年”为主题的2024春节山东乡村文化旅游节启动．小明通过观看纪录片对剪纸产生了浓厚的兴趣，以下哪个剪纸图片既是轴对称图形又是中心对称图形（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后两部分重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B． 是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C． 不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D． 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 2024年1月12日，中国海油发布消息，2023年，国内最大原油生产基地渤海油田累产油气当量超3680万吨，其中原油产量超3400万吨，天然气产量超35亿立方米，创历史最高水平．数据“3400万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：3400万用科学记数法表示为． 故选：A． 5. 如图所示的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】立体几何的俯视图，看到的是顶部的面与线条，能看到的线都是实线，由此即可求解． 【详解】解：根据立体几何三视图的特点可知，题设中的俯视图是 故选：． 【点睛】本题主要考查立体几何的三视图，掌握三视图中各视图的特点是解题的关键． 6. 如图，在中，，，作如下作图； ①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点M、N； ②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点P； ③作射线交于点D；根据以上作图，判断下列结论正确的有（ ） ①是等腰三角形 ② ③ ④ A ①② B. ①②③ C ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角的平分线基本作图，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握基本作图和性质是解题的关键．根据，，得到，可判断②正确；结合基本作图，得到，得到，可以判断①③正确；根据得到即解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴②正确； 根据基本作图， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴①③正确； 根据题意，得， ∴即， ∴④正确； 故选D． 7. 有四张完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数，，，1，将四张卡片背面朝上，随机抽取一张，所得卡片上的数记为，不放回，再随机抽取一张，所得卡片上的数记为，则方程没有实数根的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件的结果数目，然后根据概率公式计算事件的概率．也考查了根的判别式．先画树状图展示所以12种等可能的结果，通过计算找出满足的结果数，然后根据根的判别式的意义和概率公式求解． 【详解】画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中满足 的有；共3种结果， ∴方程没有实数根的概率为 故选：C． 8. 如图，，是的切线，，为切点，过点作交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 连接，根据切线的性质得出，根据四边形内角和为，求得，根据圆周角定理得出，然后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 9. 如图，点A，B在双曲线第一象限的分支上，若A，B的纵坐标分别是4和2，连接OA，OB，的面积是6，则k的值是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，设与的交点为F，根据反比例函数性质，得到，用k表示梯形的面积计算即可． 本题考查了反比例函数的性质，梯形的面积公式，等积变形，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，设与的交点为F， 根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵A，B的纵坐标分别是4和2， ∴，， ∵的面积是6，则k的值是 ∴， 解得， 故选B． 10. 如图1，在平行四边形ABCD中，，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿折线运动到点D停止．图2是点P、Q运动时，的面积S与运动时间t函数关系的图象，则a的值是（ ） A. B. C. 6 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意计算得；再结合题意，得当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现二次函数关系；当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现一次函数关系，从而得a对应动点Q和点C重合；通过计算，即可得到答案． 【详解】解：∵动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，一共用6秒钟， ∴AB=1×6=6， ∵， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD=6， 当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现二次函数关系， 当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现一次函数关系， ∴a对应动点Q和点C重合，如图： ∵动点Q以每秒4个单位的速度从点B出发， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点C作，交于点E ， ∴， ∴，即． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形、函数图像，二次函数、一次函数、三角函数,与三角形高有关的计算等知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、三角函数的性质，从而完成求解． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 详解：原式=2（9-x2）=2（x+3）（3-x）， 故答案为2（x+3）（3-x） 点睛：此题考查了提公因式法与公式法综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12. 分式方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】去分母，化分式方程为一元二次方程，求解方程并验根即可. 【详解】解：去分母，得， 整理，得， ， 当时，， 所以是原方程的解； 当时，， 所以不是原方程的解． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程及一元二次方程的解法．掌握分式方程和一元二次方程的解法，是解决本题的关键． 13. 如图，在中，E为BC的中点，以E为圆心，BE长为半径画弧交对角线AC于点F，若，，，则扇形BEF的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和、三角形的外角以及等腰三角形性质求出，然后根据扇形面积公式计算． 【详解】解：∵，， ∴， ∵E为BC的中点，EB、EF为半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴扇形BEF的面积． 【点睛】本题主要考查的是扇形面积计算，三角形内角和定理，等腰三角形性质，掌握扇形面积计算公式是解题的关键． 14. 对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据新定义，分类计算即可． 本题考查了新定义运算，正确理解运算是解题的关键． 【详解】当时， 变形得， 整理，得， 解得（舍去）． 当时， 变形得， 解得（舍去）． 故答案为：3． 15. 如图，在七边形中，的延长线相交于点．若图中，，，的角度和为，则的度数为______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和定理及内外角关系，解题的关键是根据题意得到是五边形． 根据七边形中，，的延长线相交于点，得到是五边形，根据的角度和为，得到，结合内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵七边形中，，的延长线相交于点， ∴是五边形， ∵，，，的角度和为， ∴， ∵五边形的内角和为 ∴． 故答案为：． 16. 聊城近几年城市发展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃，其中偶数个苯环可视为同系物．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下： 若图和图的分子中共含有242个原子，则的值______． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给结构简式，发现原子的个数的规律即可解决问题． 【详解】解：由所给分子结构图及结构简式可知， 图（1）分子中含原子的个数为：； 图（2）的分子中含原子的个数为：； 图（3）的分子中含原子的个数为：； …， 所以图（n）的分子中含原子的个数为个． 由图和图的分子中共含有242个原子， ， 解得， 所以m的值为19． 故答案为：19． 三、解答题（本题共8个小题，满分72分） 17. 计算： （1）； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求特殊角三角函数值，实数的运算等等： （1）先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后计算加减法即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 18. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书．若购买1本《北上》比1本《牵风记》进价少20元；若用1200元购买《北上》与用1800元购买《牵风记》的本数相同． （1）求每本《北上》和每本《牵风记》各为多少元？ （2）若该校购进《牵风记》的本数比购进《北上》的本数的2倍还多5本，且《北上》的本数不少于17本，购进《北上》和《牵风记》的总费用不超过3340元，则该校有几种购货方案？ 【答案】（1）每本《北上》40元，每本《牵风记》60元 （2）共有三种购买方案，见解析 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设每本《牵风记》元，则每本《北上》元，根据用1200元购买《北上》与用1800元购买《牵风记》的本数相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买本《北上》，则购买本《牵风记》，根据《北上》的本数不少于17本，购进《北上》和《牵风记》的总费用不超过3340元，列出不等式组，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设每本《牵风记》元，则每本《北上》元 由题意得：，解得： 经检验，是分式方程的根，且符合题意，此时 答：每本《北上》40元，每本《牵风记》60元． 【小问2详解】 解：设购买本《北上》，则购买本《牵风记》 ，解得： 为正整数， 共有三种购买方案：①购买17本《北上》，购买39本《牵风记》 ②购买18本《北上》，购买41本《牵风记》 ③购买19本《北上》，购买43本《牵风记》． 19. 某中学数学小组的同学们，带着测量工具来到一山顶，为测量山顶上铁塔高度设计了如下方案，请你根据以下材料，完成项目任务． 项目 计算铁塔的高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 说明：在高的楼底部测得塔顶的仰角为，在楼顶测得塔顶的仰角．已知山高为，楼的底部与山脚在同一水平线上 参考数据： ，， 项目任务 求铁塔的高度的长． 【答案】该铁塔的高为52米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作于点，设塔高，在中，利用表示出的长度，在中，，可知，最后结合，求得的长度． 【详解】解：如图，过点作于点 设塔高 ， ， 在中，， 则 在中，， 则 ，， 四边形是矩形 解得： 答：该铁塔的高为52米． 20. 某社区为了加强社区居民对民法典知识的了解，鼓励社区居民在线参与作答“适用民法”专项试题，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取10名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下： 收集数据 甲小区：90 90 70 90 100 80 80 90 95 65 乙小区：95 70 80 90 70 80 95 80 100 90 整理数据 成绩（分） 甲小区 2 2 4 2 乙小区 2 3 3 分析数据 统计量 平均数 中位数 众数 甲小区 85 90 乙小区 80 应用数据 （1）直接写出，，，的值； （2）根据以上的数据分析，请你判断哪个小区对“适用民法”专项知识掌握更好?至少说出两个理由； （3）若乙小区共有1000人参与了答卷，请估计乙小区成绩大于90分的人数． 【答案】（1），，，；（2）甲小区对“适用民法”专项知识掌握更好，理由见解析；（3）估计乙小区成绩大于90分的人数是300人． 【解析】 【分析】（1）根据数据找出乙小区的数据数可求a，再结合平均数、中位数和众数的定义分别可求，，的值； （2）从平均数、中位数和众数三个角度分析即可； （3）乙小区10人中成绩高于90分的有3人，用1000乘以所占百分百即可． 【详解】解：（1）由题目中的数据可得，乙小区成绩在80和90之间的有2人， 则， 乙小区的平均数为： ， 乙小区的成绩由小到大排列如下：70 70 80 80 80 90 90 95 95 100， 中位数是第5、6两个数的平均数， 甲小区的出现次数最多的是90，因此众数是； （2）根据（1）中数据，甲小区对“适用民法”专项知识掌握更好， 理由是：在平均数一样的情况下，甲小区的中位数比乙小区大；甲小区的众数比乙小区大； （3）（人） 答:估计乙小区成绩大于90分的人数是300人． 【点睛】本题考查统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数、中位数、众数的意义是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法． 21. 如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，B两点，一次函数与x轴交于点C，若． （1）求一次函数的解析式． （2）将一次函数的图象沿x轴负方向平移个单位长度得到新图象，求这个新图象与函数的图象只有一个交点M时，求a的值及交点M的坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，根据题意，，得到，结合，得到，继而得到，利用待定系数法求一次函数的解析式即可． （2）根据将一次函数的图象沿x轴负方向平移个单位长度得到新图象，其解析式为，联立，整理得到一元二次方程，令判别式等于零，计算解答即可． 【小问1详解】 解：过点A作轴于点D，过点B作轴于点E， 根据题意，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，B两点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象沿x轴负方向平移个单位长度得到新图象， ∴解析式为， 根据题意，得， 整理得， ∵新图象与函数的图象只有一个交点M， ∴， 解得， ∵交点在第一象限内， ∴舍去， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，反比例函数，待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程根的判别式，熟练掌握平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，根的判别式是解题的关键． 22. 如图，内接于，是的直径，过上的点作，交的延长线于点，交于点，过点作的切线交于点． （1）求证：是的中点； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为 【解析】 【分析】（1）连接，切线的性质，等角的余角相等，得到，推出，再利用等角的余角相等，得到，得到，即可得出结果； （2）先证明，得到，解中，求出的长，证明，得到，求出的长，进而求出的长，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：连接， 与相切， ， ， ， ， 又， ， ，， ， 是的中点； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ， 又， 在中，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点，时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，且点的横坐标小于2，为轴上方抛物线上的一点，过点作轴，垂足为点，是否存在点使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，直接出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为 （2）点坐标为或 （3）存在，的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据点，，设抛物线解析式为，把代入解析式求解即可． （2）先求得直线的解析式为：．根据抛物线的解析式为，设，过点D作轴，交直线于点F， 故点F的纵坐标为，求得，根据，得到，求得，解答即可． （3）根据（2）得或，结合点的横坐标小于2，得；结合， ，得到，，，得到，得到． 结合为轴上方抛物线上的一点，设，得到，，继而得到，根据以、、为顶点的三角形与相似，结合，得到或，解得即可． 本题考查了待定系数法，勾股定理逆定理，运用两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，证明三角形的相似，两点间距离公式，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 根据点，， 设抛物线解析式为，把代入解析式，得 ， 解得， 故抛物线解析式为． 【小问2详解】 ∵，， 设直线的解析式为，将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 根据抛物线的解析式为， 设， 过点D作轴，交直线于点F， 故点F的纵坐标为， ∴． 解得， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 解得， ∴或． 【小问3详解】 根据（2）得或， ∵点的横坐标小于2， ∴； ∵， ， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形， ∴． ∵为轴上方抛物线上的一点， 设， ∴，， ∴， ∵以、、为顶点的三角形与相似，且， ∴或， ∴或， 解得（舍去）或（舍去） 故的坐标为或． 24. 在一次数学研究性学习中，小明发现：如图1，在正方形中，点E，Q分别在边，上，于点O，点G，F分别在边，上，，通过证明，再证四边形为平行四边形，从而证出． （1）【学以致用】：如图2，正方形纸片的边长为12，E是边上一点，连接，折叠该纸片，使点A落在上的G点，并使折痕经过点B，折痕与交于点H，点F在上，若，则的长为______． （2）【类比探究】：如图3，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，点D落在点处，得到四边形，交于点H，连接交于点O，试探究与之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点M，N分别在边，上．沿着直线折叠矩形，点A，B分别落在点E，F处，且点F在线段上（不与两端点重合），过点M作于点H，连接交于点O．若，求折叠后重叠部分的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用勾股定理，直角三角形的面积公式解答即可． （2）过点D作，交于点M，交于点N，先证明，再证明四边形是平行四边形即可得证． （3）利用折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，正切函数的应用，解答即可． 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴， ∴， ∵折叠该纸片，使点A落在上的G点，并使折痕经过点B， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 证明：．理由如下： 过点D作，交于点M，交于点N， ∵矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形，交于点H，连接交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵矩形中，，，， ∴，，， ∵沿着直线折叠矩形，点A，B分别落在点E，F处，且点F在线段上， ∴，，， 设， ∴ 根据题意，得， ∴， 解得； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； ∵， ∴， ∴， 设， 则 ∴， 解得． ∴， ∴， ∴折叠后重叠部分的面积为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，三角形全等判定和性质，三角形相似的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，正切函数的应用，分割法计算面积，熟练掌握三角形相似的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，正切函数的应用，分割法计算面积是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $