高考模拟测试卷02（考前手感卷）-2025年高考数学最后冲刺题型秒杀专项训练（上海专用）

2025年上海市高考模拟测试卷02（考前手感卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设集合，，则 ． 2．已知， 是虚数单位，的虚部为 . 3．双曲线的右焦点坐标为 . 4．关于的不等式的解集是 . 5．若，则 ． 6．甲、乙两人进行投篮练习，甲投中的概率为0.8，乙未投中的概率为0.1，甲、乙两人各投篮1次，设两人投篮互不影响，则两人中恰有1人投中的概率为 . 7．设函数 ，则满足的的取值范围是 . 8．在中，已知，若，则的面积为 . 9．为比较甲乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月5天11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，已知甲地该月11时的平均气温比乙地该月11时的平均气温高1℃，则甲地该月11时的平均气温的标准差为 ．      10．已知数列的前项和为，满足.记为数列在区间内的项的个数，则数列的前100项的和为 . 11．晶胞是构成晶体的最基本的几何单元，是结构化学研究的一个重要方面在如图（1）所示的体心立方晶胞中，原子与（可视为球体）的中心分别位于正方体的顶点和体心，且原子与8个原子均相切，已知该晶胞的边长（图（2）中正方体的棱长）为，则当图（1）中所有原子个原子与1个原子）的体积之和最小时，原子的半径 12．已知a1，a2，a3与b1，b2，b3是6个不同的实数，若关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解集A是有限集，则集合A中，最多有 个元素． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．设、是任意两个向量，则“”是“”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 14．的展开式中，不含的项是（    ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项或第项 15．在正方体中，点在正方形内（不含边界），则在正方形内（不含边界）一定存在一点，使得（    ）    A． B． C．平面 D．平面平面 16．已知数列满足，有如下两个命题： 命题：“是严格减数列”的充要条件是“存在使得对任意，都有”； 命题：“是严格增数列”的充要条件是“存在使得对任意，都有”． 则下列说法中正确的是（    ） A．是真命题，是假命题 B．是假命题，是真命题 C．和都是真命题 D．和都是假命题 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．棱锥中，平面平面，，，是棱的中点. (1)证明：平面; (2)求二面角的余弦值. 18．已知函数，． (1)若函数的图象关于轴对称，求的值，并求函数的单调减区间； (2)当时，若存在，使等式成立，求实数的取值范围． 19．第二十二届卡塔尔世界杯足球决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队，某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团，足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各名进行调查，部分数据如下表所示． 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 女生 合计 (1)根据所给数据求出、、、的值，并判断是否有95%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？（附） (2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了名男生和名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求人进球总次数的分布和数学期望． 20．如图，已知椭圆与椭圆有相同的离心率，点在椭圆上．过点的两条不重合直线与椭圆相交于两点，与椭圆相交于和四点．    (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：； (3)若，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值． 21．定义域为的函数存在导函数，如果对于定义域上的任意实数，不等式恒成立，则称函数具有“性质”，其中 为常数. (1)若，判断函数是否具有“2性质”，并说明理由； (2)若，函数的定义域为且具有“1性质”，求实数的取值范围； (3)已知定义域为的函数的表达式为，该函数具有“2性质”，证明：存在实数，对任意，当时，不等式 恒成立. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海市高考模拟测试卷02（考前手感卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题 1．设集合，，则 ． 【答案】 【分析】根据交集的定义计算即可. 【解析】集合，则． 故答案为：. 2．已知， 是虚数单位，的虚部为 . 【答案】 【分析】根据复数的概念和复数的运算求解即可. 【解析】由题， 所以的虚部为. 故答案为： 3．双曲线的右焦点坐标为 . 【答案】 【分析】利用双曲线的标准方程,直接求出双曲线的右焦点即可. 【解析】由双曲线的标准方程为，可得 ， 由可得， 所以双曲线的右焦点坐标. 故答案为：. 4．关于的不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法计算即可. 【解析】由可得，即，解之得，或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 5．若，则 ． 【答案】 【分析】直接利用二倍角公式计算可得. 【解析】因为， 所以. 故答案为： 6．甲、乙两人进行投篮练习，甲投中的概率为0.8，乙未投中的概率为0.1，甲、乙两人各投篮1次，设两人投篮互不影响，则两人中恰有1人投中的概率为 . 【答案】/ 【分析】根据相互独立事件的乘法概率公式即可求解.. 【解析】已知甲投中的概率为，乙投中的概率是. 所以两人中恰有一人投中的概率为. 故答案为：. 7．设函数 ，则满足的的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性求解即可. 【解析】因为函数在上单调递增，函数为常函数， 所以分段函数在单调递增，在不具有单调性， 且，即当时，， 因为，所以，解得， 所以满足的的取值范围是. 故答案为： 8．在中，已知，若，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算即得. 【解析】在中，，， 由余弦定理得， 解得， 所以的面积为. 故答案为： 9．为比较甲乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月5天11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，已知甲地该月11时的平均气温比乙地该月11时的平均气温高1℃，则甲地该月11时的平均气温的标准差为 ．      【答案】 【分析】首先根据平均数公式求得m，再结合标准差公式求答案即可. 【解析】由茎叶图中的数据知，乙两地某月11时的气温分别为： 甲：； 乙：； 根据题意甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温高1℃， ∴，则，即，易知甲地平均气温为30℃， 故甲地该月11时的平均气温的标准差为. 故答案为：. 10．已知数列的前项和为，满足.记为数列在区间内的项的个数，则数列的前100项的和为 . 【答案】319 【分析】先求出数列的通项公式，根据数列的通项公式结构特征即可求解. 【解析】，， 则当时，， 于是得，即， 而，即， 因此，数列是首项为1，公比为4的等比数列，， 因为数列在区间内的项的个数， 则有， ， ， ， 所以数列的前100项的和为. 故答案为：319. 11．晶胞是构成晶体的最基本的几何单元，是结构化学研究的一个重要方面在如图（1）所示的体心立方晶胞中，原子与（可视为球体）的中心分别位于正方体的顶点和体心，且原子与8个原子均相切，已知该晶胞的边长（图（2）中正方体的棱长）为，则当图（1）中所有原子个原子与1个原子）的体积之和最小时，原子的半径 【答案】 【分析】根据原子与1个原子的直径和为正方体的体对角线长得到，再由8个原子与1个原子的体积之和为，利用导数法求解. 【解析】正方体的棱长为，则该正方体的体对角线长为， 设原子的半径为，原子的半径为，依题意，，即，， 个原子与1个原子的体积之和为： ， 令，，则， 由，得，当时，， 当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 即当时，取得最小值， 当图（1）中所有原子个原子与1个原子）的体积之和最小时，原子的半径为． 故答案为：． 12．已知a1，a2，a3与b1，b2，b3是6个不同的实数，若关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解集A是有限集，则集合A中，最多有 个元素． 【答案】1 【分析】由题意，可将关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解的个数问题转化为f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|，g(x)＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|两个函数图象交点个数问题，将两个函数改写为分段函数，由于两个函数都是折线，分别讨论折线端点处的函数值，作出符合题意的图象，即可得出图象交点个数，从而得出方程解的个数 【解析】令f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|，g(x)＝|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|， 将关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解的个数的问题转化为两个函数图象交点个数的问题 不妨令a1＜a2＜a3，b1＜b2＜b3， 由于f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝， g(x)＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|＝， 考查两个函数，可以看到每个函数都是由两条射线与两段折线所组成的，且两条射线的斜率对应相等，两条线段的斜率对应相等． 当a1，a2，a3的和与b1，b2，b3的和相等时，此时两个函数射线部分完全重合，这与题设中方程的解集是有限集矛盾 不妨令a1，a2，a3的和小于b1，b2，b3的和即a1+a2+a3＜b1+b2+b3，﹣a1﹣a2﹣a3＞﹣b1﹣b2﹣b3， 两个函数图象射线部分端点上下位置不同，即若左边f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|的射线端点在上，右边射线端点一定在下，反之亦有可能． 不妨认为左边f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|的射线端点在上，右边射线端点一定在下，且射线互相平行，中间线段也对应平行，图象只能如图： 故两函数图象只能有一个交点，即方程的解集是有限集时，最多有一个元素， 故答案为：1． 二、单选题 13．设、是任意两个向量，则“”是“”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】根据向量数量积公式及向量垂直结合充分条件必要条件定义判断即可. 【解析】当，，满足，但是不垂直， 当时，设夹角为 则， 所以“”是“”的必要非充分条件． 故选：B. 14．的展开式中，不含的项是（    ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项或第项 【答案】C 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再由的幂指数为0求得答案. 【解析】二项式的展开式通项， 由，得，所以展开式中不含项是第13项. 故选：C 15．在正方体中，点在正方形内（不含边界），则在正方形内（不含边界）一定存在一点，使得（    ）    A． B． C．平面 D．平面平面 【答案】A 【分析】 作出截面后可作，从而判断A，利用线面垂直的性质判断BC，根据面面平行的性质判断D． 【解析】选项A，正方体中，显然有，连接延长， 如果直线交棱于点（图1），则作交于，连接，则是梯形，作交于，则平面， 如果直线交棱于点（图2），则直接连接，在三角形内作交于，也有平面，因此A正确；    选项B，正方体中易知平面，因此与垂直的直线都可能平移到平面内，而当平面，平面时，直线与平面相交，不可能平移到平面内，B错； 选项C，由选项B知与不可能垂直，因此与平面也不可能垂直，C错； 选项D，过的平面只有平面与平面平行，因此要使得平面平面，则平面与平面重合，从而点只能在棱上，与已知不符，D错． 故选：A． 16．已知数列满足，有如下两个命题： 命题：“是严格减数列”的充要条件是“存在使得对任意，都有”； 命题：“是严格增数列”的充要条件是“存在使得对任意，都有”． 则下列说法中正确的是（    ） A．是真命题，是假命题 B．是假命题，是真命题 C．和都是真命题 D．和都是假命题 【答案】B 【分析】根据构造函数，结合函数的导函数及单调性应用迭代的方法判断命题即可. 【解析】因为数列满足，所以， 设函数，， 所以当单调递增；当单调递减； , 单调递增；单调递减；， 所以是函数的切线；由迭代思想可知是假命题，是真命题； 所以时，，是严格增数列，存在使得对任意，都有； 所时，，是严格减数列的充要条件不是存在使得对任意，都有； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构函数，的大小关系得出数列单调性进而判断命题. 三、解答题 17．棱锥中，平面平面，，，是棱的中点. (1)证明：平面; (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由结合面面垂直的性质定理即可得证 （2）先求证两两垂直，接着建立适当的空间直角坐标，求出平面和平面的法向量，再结合向量夹角余弦公式即可计算得解. 【解析】（1）证明：因为，是棱的中点， 所以，因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为，是棱的中点， 所以，所以两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 所以， 所以， 由上可知为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为， 则，故，取，则， 所以， 所以由图可知二面角的余弦值为. 18．已知函数，． (1)若函数的图象关于轴对称，求的值，并求函数的单调减区间； (2)当时，若存在，使等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据函数的对称性求出，再根据余弦函数的性质求出其单调递减区间. （2）先求出，再换元，令，，等价为在上成立，求出二次函数的最值即得解. 【解析】（1）因为函数的图象关于轴对称， 所以，解得， 又，所以或； 当时，， 所以的单调减区间为，； 当时，， 所以的单调减区间为，； 综上可得：当时的单调减区间为，； 当时的单调减区间为，. （2）当时， 因为，所以， ，， 所以，令，， 则等式成立等价为在上成立， ， 当时，取得最小值；当时，取得最大值， 故的取值范围是 19．第二十二届卡塔尔世界杯足球决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队，某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团，足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各名进行调查，部分数据如下表所示． 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 女生 合计 (1)根据所给数据求出、、、的值，并判断是否有95%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？（附） (2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了名男生和名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求人进球总次数的分布和数学期望． 【答案】(1)，，、，有关 (2)分布列见解析，期望 【分析】（1）根据列联表可得出、、、的值，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论； （2）由题意可知，人进球总次数的所有可能取值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【解析】（1）由列联表中的数据可得，， ，， 所以，， 故有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关. （2）人进球总次数的所有可能取值为、、、， ，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 数学期望． 20．如图，已知椭圆与椭圆有相同的离心率，点在椭圆上．过点的两条不重合直线与椭圆相交于两点，与椭圆相交于和四点．    (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：； (3)若，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）由离心率和椭圆上的点，求椭圆的标准方程； （2）要证，只需证，通过直线与椭圆联立方程组，由韦达定理和两点间距离公式证明； （3）由题意有，由韦达定理和距离公式化简得，由题意，所以，可得. 【解析】（1）由题意知，两椭圆有相同的离心率，则有，， 又点在椭圆上，有，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）要证，即证， 设， 当直线斜率不存在时，由椭圆对称性可知成立， 当直线斜率存在时，设斜率为，则方程为， 由得， ， 由得， ， 得，， ，，则有. 所以与等底等高，有. （3）由（2）可知，同理有， 由，可得，则有， 设直线的斜率为，直线方程为，设， 由得， ， ， ， 所以， 即， 化简得，即，由题意，所以， 所以. 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21．定义域为的函数存在导函数，如果对于定义域上的任意实数，不等式恒成立，则称函数具有“性质”，其中 为常数. (1)若，判断函数是否具有“2性质”，并说明理由； (2)若，函数的定义域为且具有“1性质”，求实数的取值范围； (3)已知定义域为的函数的表达式为，该函数具有“2性质”，证明：存在实数，对任意，当时，不等式 恒成立. 【答案】(1)具有“2性质”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义直接判断即可； （2）结合定义可得对任意的恒成立，进而得到对任意的恒成立，令，进而结合导数分析单调性求得最值即可求解； （3）先根据定义得到对任意的恒成立，分类讨论求得，再结合题意可得，令，，进而结合导数分析求解即可. 【解析】（1）具有“2性质”，理由如下： 因为，所以， 所以， 所以恒成立，所以具有“2性质”； （2）因为，所以， 因为函数在上具有“1性质”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则， 当时，；当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以实数的取值范围为. （3）因为，所以， 因为函数在上具有“2性质”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 当时，对任意的，上式恒成立，符号题意； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即. 综上所述，. 要证对任意的，当时，都有恒成立， 不妨设，则，则， 即证恒成立， 即恒成立， 令，， 即存在，使得在上为增函数， 即存在，使得， 即对任意的恒成立， 可得对任意的恒成立， 令，， 则，所以在上单调递增， 又，所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意，当时，不等式恒成立. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$