精品解析：陕西省宝鸡市金渭滨区2025年九年级二检数学试题

九年级质量检测（二） 数学试卷 注意事项： 1．满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 实数的倒数为（　　） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，， ∴实数的倒数为， 故选：D． 2. 如图，将该平面图形绕图中的虚线（轴线）旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转，记住常见平面图形旋转得到的几何体是解题的关键． 根据旋转的性质判定即可． 【详解】解：绕图中的虚线（轴线）旋转一周，得到的立体图形是 故选：B． 3. 如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，先根据，得出，由平行线的性质可得，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．对不等式去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案． 【详解】解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 故选：A． 5. 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则的值为（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、关于原点对称的点，熟练掌握正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称是解题的关键．根据正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，得出，两点关于原点对称，解出的值，即可解答． 【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象都关于原点对称，且交于，两点， ，两点关于原点对称， ，， ． 故选：B． 6. 如图，在中，，点在边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据折叠的性质可得，，结合得到，再利用三角形外角的性质得到，即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质得，，， 又， ， ， ， ． 故选：C． 7. 如图，在平行四边形中，是边延长线上的一点，连接，交于点．若，设的面积为2，则平行四边形的面积为（ ） A. 10 B. 14 C. 18 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．利用平行四边形的性质得到，，，通过证明得到，再通过证明得到，最后利用即可求解． 【详解】解：平行四边形， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 8. 已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表，则下列结论错误的是（ ） … 0 2 4 6 … … 9 21 25 21 9 … A. 当时，随的增大而增大 B. 函数的最大值为25 C. 图象经过第一、二、三、四象限 D. 图象的对称轴为直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由表格可得，和对应的的值相同，得出图象的对称轴为直线，得出二次函数图象的顶点坐标为，设二次函数的表达式，利用待定系数法求出的值，再结合选项分析即可判断． 【详解】解：由表格可得，和对应的的值相同， 图象的对称轴为直线，故D选项正确，不符合题意； 二次函数图象的顶点坐标为， 设二次函数的表达式为， 代入，得，解得：， 二次函数的表达式为， ， 函数图象开口向下，当时，函数的最大值为25，故B选项正确，不符合题意； 图象的对称轴为直线，且图象开口向下， 当时，随的增大而减小，故A选项错误，符合题意； 图象经过点，对称轴为， 图象也经过点， 又图象经过点和， 图象经过第一、二、三、四象限，故C选项正确，不符合题意； 故选：A． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 9. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，先确定公因式，再分解即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 10. 如图，是的直径，若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，熟练掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．根据圆周角定理和直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ， ． 故答案为：． 11. 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图2）．观察图1、图2，请你探究出三阶幻方中数和数之间的数量关系所呈现的规律，并用这个规律，写出图3幻方中的值：________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了数字类的规律、代数式的求值，解一元一次方程，找到三阶幻方中数和数之间的数量关系所呈现的规律是解题的关键．观察图2可得三阶幻方中每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，根据这个规律，结合图3即可求解． 【详解】解：观察图2可得三阶幻方中每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等， 用这个规律，由图3得，， ． 故答案为：4． 12. 如图，矩形的顶点，在轴上，反比例函数的图象经过边的中点和顶点．若，，则的值为________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、求反比例函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键．设，根据矩形的性质表示出点和点的坐标，再代入点和点到，解出的值即可解答． 【详解】解：设， ，， ，， 矩形， ， 点是边的中点， ， ， 反比例函数的图象经过点和点， ， 解得：， 的值为18． 故答案为：18． 13. 如图，在中，，以为边，在的右侧作等边，连接，与交于点，，，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三线合一，中垂线的判定，勾股定理，根据题意，得到，结合，得到垂直平分，三线合一，求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵等边，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积； 故答案为：． 三、解答题（本大题共13个小题，共81分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 计算：． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、算术平方根、零指数幂，熟练掌握相关知识点是解题的关键．分别利用算术平方根、零指数幂、有理数乘法的运算法则化简，再将所得结果加减即可求解． 【详解】解： ． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，代入求值，掌握整式的混合运算法则是关键． 运用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项，代入计算即可求解． 【详解】解： ， 当，时，． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．去分母化为整式方程、解整式方程、再验根即可求解． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：， 检验：当，， 是原分式方程的解． 17. 如图，在中，，，请仅用直尺和圆规作图，在边上找一点，使得．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 解：如图，作的角平分线交于点， ，， ， 平分， ， 点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、直角三角形的性质，熟练掌握尺规作角平分线的方法是解题的关键．利用尺规作的角平分线交于点，利用直角三角形的性质求出，利用角平分线的定义得出，则点即为所求． 【详解】略 18. 如图，在矩形中，是边的中点，连接，．求证：． 【答案】 证明：矩形， ，， 是边的中点， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质得到，，由是边的中点，得到，再利用全等三角形判定得出，即可证明． 【详解】略 19. 在一个不透明的袋子里装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀． （1）若从袋中任取一个球，球上的数字为1的概率为________． （2）若从袋中一次性取出两个球，请用列表法或画树状图法，求两个球上的数字之差的绝对值为1的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键． （1）根据概率的计算公式即可求解； （2）根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【小问1详解】 解：从袋中任取一个球，共有4种等可能的结果，其中球上的数字为1的情况有1种， 球上的数字为1的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 由表格可得，共有12种等可能的结果，其中两个球上的数字之差的绝对值为1的情况有6种， 两个球上的数字之差的绝对值为1的概率． 答：两个球上的数字之差的绝对值为1的概率为． 20. 小方和小胡值日并打扫教室卫生，小方单独打扫完教室卫生，需20分钟，小胡单独打扫完教室卫生，需16分钟．因小胡要先将数学作业本交到老师办公室，故先由小方单独打扫2分钟，余下的再由两人一起完成，求小胡需要花多长时间打扫完教室的卫生． 【答案】小胡需要花8分钟打扫完教室的卫生 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系列出方程是解题的关键．设小胡需要花分钟打扫完教室的卫生，根据题意列出方程，解出的值即可解答． 【详解】解：设小胡需要花分钟打扫完教室的卫生， 由题意得，， 解得：， 答：小胡需要花8分钟打扫完教室的卫生． 21. 图1是某路灯的实物图，图2是其平面示意图．某数学项目学习小组要测量某路灯的顶部到地面的距离．已知该小组测得，，．根据以上测量结果，请你帮助该小组计算路灯顶部到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，过点作于点，则，．先求出，再根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， ∴，． 在中，， ， ． 答：路灯顶部到地面的距离约为． 22. 刘老师驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶．油箱中剩余油量（升）与行驶时间（小时）的函数关系如图所示． （1）求加油前油箱中剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的函数关系式． （2）求汽车到达乙地时油箱中剩余的油量． 【答案】（1） （2）6升 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、求一次函数的解析式，读懂函数图象信息是解题的关键． （1）设加油前与之间函数关系式，代入和到函数关系式，再利用待定系数法即可求解； （2）根据图象求出每行驶1小时减少油量为8升，汽车到达乙地时行驶时间为5小时，再结合图象可得行驶的第2个小时途中加油至30升，减去行驶3小时消耗的油量即可得出到达乙地时油箱中剩余的油量． 【小问1详解】 解：设加油前与之间函数关系式， 代入和得，， 解得：， 加油前油箱中剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：每行驶1小时减少油量为（升）， 汽车到达乙地时行驶时间为（小时）， 由图象得，行驶的第2个小时途中加油至30升， 汽车到达乙地时油箱中剩余的油量为（升）， 答：汽车到达乙地时油箱中剩余的油量为6升． 23. 某初级中学为了解学生平均每天完成课后作业用时情况，从本校学生中随机抽取300名学生进行问卷调查，并将调查结果进行了整理（最短时间为50分钟，最长时间为100分钟），结果如下表： 学生平均每天完成课后作业用时频数分布表 平均每天完成课后作业用时/分钟 人数 10 40 60 140 50 根据以上信息，解答下列问题． （1）在本次调查结果中，学生平均每天完成课后作业用时的中位数落在________这一组． （2）该校学生平均每天完成课后作业用时的平均数约是多少？（每组课后作业用时取其组中值，例如：，取55；，取65） （3）你认为该校学生完成课后作业用时偏长的原因可能有哪些（列举两条）？并给出一条建议． 【答案】（1） （2）该校学生平均每天完成课后作业用时的平均数约是81分钟 （3） 原因可能有：①课后作业的题量较多；②课后作业的难度较大； 建议：减少课后作业的题量，根据学生的能力分层布置作业等（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表、求中位数、求平均数，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据中位数的定义即可求解； （2）根据平均数的计算公式即可求解； （3）根据课后作业的题量、难度等方面分析原因，再给出对应的建议即可． 【小问1详解】 解：将300名学生平均每天完成课后作业用时从小到大顺序排列，则中位数为第150位和151位的平均数， 学生平均每天完成课后作业用时的中位数落在这一组． 故答案为：． 【小问2详解】 解：（分钟）， 答：该校学生平均每天完成课后作业用时的平均数约是81分钟． 【小问3详解】 略 24. 如图，在中，以为直径的，交于点，是的切线，且于点． （1）求证：． （2）若，，求半径的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， 是的切线， ， 又， ， ， ． （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质定理、圆周角定理、相似三角形的性质与判定、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，由得到，利用切线的性质定理得到，结合，得到，利用平行线的性质得到，即可证明； （2）连接，由是的直径，得到，得出，通过证明，得到，设，列出方程解出的值，再结合（1）中的结论即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 设，则， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 由（1）得，， ， ． 25. 陕西某水库的截面图如图所示，水库底呈抛物线形，以水平地面为轴，垂直于水平地面且位于水库中心的线为轴，建立平面直角坐标系，水库的宽，水库底的最深处距离水平地面． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）若水库原来的水面宽，水库现在水面的宽度减少为原来的一半，求水库底的最深处到水面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，经过点，设抛物线的函数解析式为，利用待定系数法解答即可求解； （）求出时的值，进而即可求解； 本题考查了二次函数的实际应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，经过点， ∴可设抛物线的函数解析式为， 把点代入得，， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴此时水库底的最深处到水面的距离． 26. 问题提出 （1）如图1，在扇形中，，半径，为在上且靠近点的三等分点，点，分别在线段，上，且，为的中点，连接，在滑动的过程中，的长度始终保持不变，当取最小值时，求的长． 问题解决 （2）如图2，正方形是某社区的花园，经测量，．社区管委会计划对该花园及正方形花园周边空地进行重新规划利用．在射线上取一点，沿，修两条小路，并在小路上取一点，将段铺设成休闲通道（通道宽度忽略不计）．根据设计要求，，为了节省铺设成本，要求休闲通道的长尽可能小，问的长是否存在最小值？若存在，求出的长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的长存在最小值，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据，为在上且靠近点的三等分点，可得，由直角三角形的斜边中线定理可得，则点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，当、、三点共线时，取最小值，证明是等边三角形，得到，即可求解； （2）连接，由正方形的性质可得，，证明，得到，得到，证明，得到，推出点在射线上运动时，点在以为直径的圆上运动，设的中点为，连接交圆于点，则，根据勾股定理可得：，进而得到，当点与点重合时，的值最小． 【详解】解：（1）连接、， 在扇形中，，为在上且靠近点的三等分点， ，， 点，分别在线段，上，且，为的中点， ， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，当、、三点共线时，取最小值， ，， 是等边三角形， ， ； （2）的长存在最小值， 连接， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ，且， ， ， 点在射线上运动时，点在以为直径的圆上运动，设的中点为，连接交圆于点， ， 在中，由勾股定理得：， ， 当点与点重合时，的值最小， 的长度存在最小值，最小值为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，最短路径问题，直角三角形的斜边中线定理，解题的关键是灵活运用相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级质量检测（二） 数学试卷 注意事项： 1．满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 实数的倒数为（　　） A. 6 B. C. D. 2. 如图，将该平面图形绕图中的虚线（轴线）旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则的值为（ ） A. 1 B. C. 5 D. 6. 如图，在中，，点在边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，是边延长线上的一点，连接，交于点．若，设的面积为2，则平行四边形的面积为（ ） A. 10 B. 14 C. 18 D. 24 8. 已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表，则下列结论错误的是（ ） … 0 2 4 6 … … 9 21 25 21 9 … A. 当时，随的增大而增大 B. 函数的最大值为25 C. 图象经过第一、二、三、四象限 D. 图象的对称轴为直线 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 9. 分解因式：___________． 10. 如图，是的直径，若，则的度数为________． 11. 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图2）．观察图1、图2，请你探究出三阶幻方中数和数之间的数量关系所呈现的规律，并用这个规律，写出图3幻方中的值：________． 12. 如图，矩形的顶点，在轴上，反比例函数的图象经过边的中点和顶点．若，，则的值为________． 13. 如图，在中，，以为边，在的右侧作等边，连接，与交于点，，，则的面积为________． 三、解答题（本大题共13个小题，共81分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 解方程：． 17. 如图，在中，，，请仅用直尺和圆规作图，在边上找一点，使得．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，在矩形中，是边的中点，连接，．求证：． 19. 在一个不透明的袋子里装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀． （1）若从袋中任取一个球，球上的数字为1的概率为________． （2）若从袋中一次性取出两个球，请用列表法或画树状图法，求两个球上的数字之差的绝对值为1的概率． 20. 小方和小胡值日并打扫教室卫生，小方单独打扫完教室卫生，需20分钟，小胡单独打扫完教室卫生，需16分钟．因小胡要先将数学作业本交到老师办公室，故先由小方单独打扫2分钟，余下的再由两人一起完成，求小胡需要花多长时间打扫完教室的卫生． 21. 图1是某路灯的实物图，图2是其平面示意图．某数学项目学习小组要测量某路灯的顶部到地面的距离．已知该小组测得，，．根据以上测量结果，请你帮助该小组计算路灯顶部到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 22. 刘老师驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶．油箱中剩余油量（升）与行驶时间（小时）的函数关系如图所示． （1）求加油前油箱中剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的函数关系式． （2）求汽车到达乙地时油箱中剩余的油量． 23. 某初级中学为了解学生平均每天完成课后作业用时情况，从本校学生中随机抽取300名学生进行问卷调查，并将调查结果进行了整理（最短时间为50分钟，最长时间为100分钟），结果如下表： 学生平均每天完成课后作业用时频数分布表 平均每天完成课后作业用时/分钟 人数 10 40 60 140 50 根据以上信息，解答下列问题． （1）在本次调查结果中，学生平均每天完成课后作业用时的中位数落在________这一组． （2）该校学生平均每天完成课后作业用时的平均数约是多少？（每组课后作业用时取其组中值，例如：，取55；，取65） （3）你认为该校学生完成课后作业用时偏长的原因可能有哪些（列举两条）？并给出一条建议． 24. 如图，在中，以为直径的，交于点，是的切线，且于点． （1）求证：． （2）若，，求半径的长． 25. 陕西某水库的截面图如图所示，水库底呈抛物线形，以水平地面为轴，垂直于水平地面且位于水库中心的线为轴，建立平面直角坐标系，水库的宽，水库底的最深处距离水平地面． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）若水库原来的水面宽，水库现在水面的宽度减少为原来的一半，求水库底的最深处到水面的距离． 26. 问题提出 （1）如图1，在扇形中，，半径，为在上且靠近点的三等分点，点，分别在线段，上，且，为的中点，连接，在滑动的过程中，的长度始终保持不变，当取最小值时，求的长． 问题解决 （2）如图2，正方形是某社区的花园，经测量，．社区管委会计划对该花园及正方形花园周边空地进行重新规划利用．在射线上取一点，沿，修两条小路，并在小路上取一点，将段铺设成休闲通道（通道宽度忽略不计）．根据设计要求，，为了节省铺设成本，要求休闲通道的长尽可能小，问的长是否存在最小值？若存在，求出的长的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $