第17课 矩形《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列 -2024-2025学年浙教版数学八年级下册

第17课 矩形 ( 目标导航 ) 学习目标 1.经历矩形的概念性质的发现过程，掌握矩形的概念. 2.掌握矩形的性质定理及对称性. 3.掌握矩形的判定定理. ( 知识精讲 ) 知识点01 矩形的性质 1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形 2.性质： ①边：对边平行且相等； ②角：对角相等、邻角互补； ③对角线：对角线互相平分且相等； ④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）． 知识点02 矩形的判定 矩形的判定： 1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2. 有三个角是直角的四边形是矩形； 3. 对角线相等的平行四边形是矩形. ( 能力拓展 )考点01 矩形的性质 【典例1】如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED． （1）求证：BE＝BC； （2）AB＝1，∠ABE＝45°，求△BCE的面积． 【思路点拨】（1）利用平行线性质和角平分线定义得到∠BEC＝∠BCE，利用等角对等边可得BE＝BC； （2）根据勾股定理可得BE＝，再根据BE＝BC＝利用三角形面积公式计算即可． 【解析】（1）证明：∵ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DEC＝∠BCE， ∵EC平分∠BED． ∴∠DEC＝∠BEC， ∴∠BEC＝∠BCE， ∴BE＝BC． （2）解：∵AB＝1，∠ABE＝45°， ∴AB＝AE＝1， 由勾股定理得BE＝＝＝， 由（1）可知BE＝BC＝， S△BCE＝BC•AB＝＝． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积，熟练掌握以上知识点是关键． 即学即练1】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC． （1）求证EO＝OF； （2）若FC＝2，求矩形ABCD的面积． 【思路点拨】（1）由AAS可证△AOE≅△COF，可得EO＝OF； （2）由直角三角形的性质可得CF＝AE＝2，BC＝2，BF＝2CF＝4，即可求解． 【解析】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠FCO， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≅△COF（AAS）， ∴EO＝OF； （2）解：如图，连接OB． ∵BE＝BF，OE＝OF， ∴BO⊥EF． ∴∠BEF+∠ABO＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠BAC＝∠ABO， 又∠BEF＝2∠BAC， ∴2∠BAC+∠BAC＝90°． ∴∠BAC＝30°，∠BEO＝60°， ∴△EBF是等边三角形， ∴∠EBF＝60°，EB＝BF， ∴∠CBF＝30°， ∵CF＝2， ∴CF＝AE＝2，BC＝2，BF＝2CF＝4， ∴BF＝BE＝4， ∴AB＝AE+BE＝6， ∴矩形ABCD的面积＝． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 考点02 矩形的判定 【典例2】如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　） A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥AB 【思路点拨】先证四边形DBCE为平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB＝CD，BC＝AD，BC∥AD，AB∥CD， ∵DE＝AD， ∴BC＝DE， ∵BC∥AD， ∴BC∥DE， ∴四边形DBCE是平行四边形 A、∵AB＝BE时，AB＝CD， ∴BE＝CD， ∴平行四边形DBCE是矩形，故选项A不符合题意； B、∵CE⊥DE， ∴∠CED＝90°时， ∴平行四边形DBCE是矩形，故选项B不符合题意； C、∵∠ADB＝90°， ∴∠BDE＝180°﹣∠ADB＝90°， ∴平行四边形DBCE是矩形，故选项C不符合题意； D、∵BE⊥AB，AB∥CD， ∴BE⊥CD， ∴平行四边形DBCE是菱形，故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【即学即练2】如图，已知点E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，且AF＝BC．求证：四边形ABFC为矩形． 【思路点拨】证△ABE≌△FCE（AAS），得AB＝FC，再由AB∥FC，证四边形ABFC是平行四边形，然后由AF＝BC即可得出结论． 【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠CFE， ∵点E是▱ABCD中BC边的中点， ∴BE＝CE， 在△ABE和△FCE中， ， ∴△ABE≌△FCE（AAS）， ∴AB＝FC， ∵AB∥FC， ∴四边形ABFC是平行四边形， 又∵AF＝BC， ∴平行四边形ABFC为矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、熟练掌握矩形的判定定理，证明△ABE≌△FCE是解题的关键． 考点03 矩形的性质与判定综合 【典例3】矩形ABCD中，点E是DC上一点，连接AE、BE，过点A作BE的平行线，过点B作AE的平行线，两条平行线交于点F，∠DAE＝∠BEC． （1）求证：四边形AFBE是矩形； （2）连接EF，若∠DAE＝30°，DE＝1，求EF的长． 【思路点拨】（1）由AF∥BE，BF∥AE，证明四边形AFBE是平行四边形，由矩形的性质得∠D＝90°，由∠DAE＝∠BEC，推导出∠AED+∠BEC＝∠AED+∠DAE＝90°，则∠AEB＝90°，即可证明四边形AFBE是矩形； （2）连接EF，由∠DAE＝30°，∠BAD＝∠AEB＝∠D＝90°，推导出∠ABE＝∠DAE＝30°，则AE＝2DE＝2，所以AB＝2AE＝4，因为四边形AFBE是矩形，所以EF＝AB＝4． 【解析】（1）证明：∵AF∥BE，BF∥AE， ∴四边形AFBE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°， ∵∠DAE＝∠BEC， ∴∠AED+∠BEC＝∠AED+∠DAE＝90°， ∴∠AEB＝180°﹣（∠AED+∠BEC）＝90°， ∴四边形AFBE是矩形． （2）解：连接EF， ∵∠DAE＝30°，∠BAD＝∠AEB＝∠D＝90°，DE＝1， ∴∠ABE＝90°﹣∠BAE＝∠DAE＝30°， ∵AE＝2DE＝2， ∴AB＝2AE＝4， ∵四边形AFBE是矩形， ∴EF＝AB＝4， ∴EF的长为4． 【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，推导出∠AED+∠BEC＝90°，进而证明四边形AFBE是矩形是解题的关键． 【即学即练3】如图，在▱ABCD中，点O为边AD的中点，连接BO并延长交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°． （1）求证：四边形ABDE是矩形； （2）连接OC．若AB＝4，，求OC的长． 【思路点拨】（1）证△AOB≌△DOE（ASA），得AB＝DE，再证四边形ABDE是平行四边形，然后证∠BDE＝90°，即可得出结论； （2）过点O作OF⊥DE于点F，由矩形的性质得DE＝AB＝4，OD＝OE，再由等腰三角形的性质得DF＝EF＝DE＝2，则OF为△BDE的中位线，得OF＝BD＝2，然后由平行四边形的性质得CD＝AB＝4，进而由勾股定理即可得出结论． 【解析】（1）证明：∵O为AD的中点， ∴AO＝DO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAO＝∠EDO， 又∵∠AOB＝∠DOE， ∴△AOB≌△DOE（ASA）， ∴AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠BDC＝90°， ∴∠BDE＝90°， ∴平行四边形ABDE是矩形； （2）解：如图，过点O作OF⊥DE于点F， ∵四边形ABDE是矩形， ∴DE＝AB＝4，OD＝AD，OB＝OE＝BE，AD＝BE， ∴OD＝OE， ∵OF⊥DE， ∴DF＝EF＝DE＝2， ∴OF为△BDE的中位线， ∴OF＝BD＝2， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝4， ∴CF＝CD+DF＝6， 在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC＝＝＝2， 即OC的长为2． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列图形性质中，矩形不一定具有的是（　　） A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形 【思路点拨】根据矩形的性质，即对角线平分相等，及是轴对称图形又是中心对称图形，进行解答即可． 【解析】解：A．矩形对角线互相平分且相等，不符合题意；B．矩形的四个角相等，不符合题意；C．矩形的对角线互相平分且相等，符合题意； D．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意，故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质． 2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AO＝3，则BD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】根据矩形的性质得出AC＝BD，AO＝CO，求出AC，再求出BD即可． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AO＝CO， ∵AO＝3， ∴CO＝3， ∴AC＝3+3＝6， ∴BD＝AC＝6， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，能熟记矩形的对角线互相平分且相等是解此题的关键． 3．周末，小刚去正在装修的房屋查看进度，放在地上的一块地板砖（如图）吸引了他的注意，于是他找来卷尺进行如下操作：①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等；②测量地板砖的两条对角线是否相等，以此判断地板砖的表面是否为矩形．小刚的判断依据是（　　） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．有三个角是直角的四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【思路点拨】利用①判定平行四边形，再利用②判定矩形，即可得判断依据． 【解析】解：由②测量地板砖的两条对角线是否相等， 即AC＝BD， 则利用“对角线相等的平行四边形是矩形”可判断四边形ABCD是矩形； 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，熟练掌握平行四边形和矩形的判定是解题的关键． 4．活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 【思路点拨】由矩形的判定方法可求解． 【解析】解：∵三个角是直角的四边形是矩形， ∴选项A正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 5．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC＝3：2，则∠BDE的度数为（　　） A．36° B．27° C．18° D．9° 【思路点拨】利用矩形的性质结合∠ADE：∠EDC＝3：2，求解∠ADE＝90°×＝54°，再求解∠BDA＝∠OAD＝36°，再利用角的和差即可得到答案． 【解析】解：∵矩形ABCD中， ∴∠ADC＝90°，OA＝OB＝OC＝OD， ∵∠ADE：∠EDC＝3：2， ∴∠ADE＝90°×＝54°， ∵DE⊥AC于E， ∴∠DAE＝90°﹣54°＝36°， ∵OA＝OD， ∴∠BDA＝∠OAD＝36°， ∴∠BDE＝∠ADE﹣∠ADO＝54°﹣36°＝18°． 故选：C． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握“矩形的对角线相等且互相平分”是解本题的关键． 6．如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O．添加下列一个条件，仍不能判定▱ABCD是矩形，该条件是（　　） A．∠AOB＝90° B．∠ABC＝90° C．AC＝BD D．∠OAD＝∠ODA 【思路点拨】根据平行四边形的性质，矩形的判定方法即可一一判断即可． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠AOB＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形，故A错误；符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°， ∴▱ABCD是矩形，故B不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形，故C不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2AO，OD＝2BD， ∵∠OAD＝∠ODA， ∴OA＝OD， ∴AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 7．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（　　） A．∠A＝90° B．∠B＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD 【思路点拨】根据有一个角等于90°的平行四边形是矩形可对选项A进行判断；根据平行四边形性质得AB∥CD，则∠B+∠C＝180°，再根据∠B＝∠C得∠B＝∠C＝90°，然后根据有一个角等于90°的平行四边形是矩形可对选项B进行判断；根据对角线相等的平行四边形是矩形可对选项C进行判断；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【解析】解：A、已知四边形ABCD是平行四边形， ∴当∠A＝90°，平行四边形ABCD是矩形， ∴可以判定▱ABCD为矩形， 故该选项不符合题意； B、已知四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， 当∠B＝∠C时，则∠B＝∠C＝90°，此时▱ABCD为矩形， ∴可以判定▱ABCD为矩形， 故该选项不符合题意； C、已知四边形ABCD是平行四边形， 当AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形， ∴可以判定▱ABCD为矩形， 故该选项不符合题意； D、已知四边形ABCD是平行四边形， 当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形， ∴不能判定▱ABCD为矩形， 故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，理解平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定是解决问题的关键． 8．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线交AD，BC于E，F两点，若AC＝6，∠AEO＝120°，则OE的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【思路点拨】由矩形的性质及直角三角形的性质可得出答案． 【解析】解：∵EF⊥BD，∠AEO＝120°， ∴∠EDO＝30°，∠DEO＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD， 又∵Rt△BOF中，OD＝OB＝＝3， ∴， ∴OE＝（负值舍）， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质，需要熟练掌握并灵活运用． 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是AD上一点，AE＝3，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，则线段EF取得最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】过点P作PM∥EF交AD于点M，易知EF是△APM的中位线，可得PM＝2EF，当PM取得最小值时，EF最小，根据垂线段最短求出最小值即可． 【解析】解：过点P作PM∥EF交AD于点M， 由条件可知EF是△APM的中位线， ∴AM＝2AE＝6，PM＝2EF， 当PM取得最小值时，EF最小， 当PM⊥AD时，PM最小，此时PM＝AB＝6， ∴EF最小＝PM最小＝＝3． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、垂线段最短，熟练掌握以上知识点是关键． 10．如图，在矩形ABCD中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点E，交AD于点F，若BE＝3，AF＝5，则矩形的周长为（　　） A．8 B．20 C．24 D．30 【思路点拨】根据作图过程可得，MN是AC的垂直平分线，再由矩形的性质可以证明△AFO≌△CEO，可得AF＝CE＝AE＝5，再根据勾股定理可得AB的长，进而可得矩形的周长． 【解析】解：如图，连接AE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠FAC＝∠ECA， 根据作图过程可知：MN是AC的垂直平分线， ∴∠FOA＝∠EOC＝90°，AO＝CO， 在△AFO和△CEO中， ， ∴△AFO≌△CEO（ASA）， ∴AF＝CE， ∵AE＝CE， ∴AE＝CE＝AF＝5， ∴BC＝BE+CE＝3+5＝8， 在Rt△ABE中，根据勾股定理，得 AB＝＝4， ∴矩形的周长为2（AB+BC）＝2（4+8）＝24． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 11．如图，在矩形ABCD中，E为AB上一点，连接CE、DE，过点D作DF⊥CE，垂足为F．若CE＝CD，DF＝3，BE＝4，则DE＝　　 ． 【思路点拨】根据矩形的性质得出AB∥CD，∠B＝90°，进而利用AAS证明△CFD≌△EBC，根据全等三角形的性质求出CF＝BE＝4，DF＝BC＝3＝AD，再根据勾股定理求解即可． 【解析】证明：在矩形ABCD中，DF⊥CE于点F， ∴AB∥CD，∠A＝∠B＝∠DCB＝90°，∠DFC＝90°，AD＝BC，AB＝CD， ∴∠DFC＝∠B，∠DCF＝∠CEB， 在△CFD与△EBC中， ， ∴△CFD≌△EBC（AAS）， ∴CF＝BE＝4，DF＝BC＝3＝AD， ∴CD＝＝＝5＝AB， ∴AE＝AB﹣BE＝5﹣4＝1， ∴DE＝＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 12．如图所示，将长方形纸片ABCD沿折痕EF折叠，点D、C的对应点分别为D'、C'，线段D'C'交线段BC于点G，若∠DEF＝55°，则∠FGC'的度数是 　20°　 ． 【思路点拨】根据折叠的性质和矩形的性质、以及平行线的性质，可以求得∠EFC′、∠C′，∠GFC′的度数，然后根据三角形内角和，即可求得∠FGC′的度数． 【解析】解：由题意可得， ∠EFC＝∠EFC′，∠C＝∠C′＝90°， ∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFG，∠DEF+∠EFC＝180°， ∵∠DEF＝55°， ∴∠EFG＝55°，∠EFC＝125°， ∴∠EFC′＝125°， ∴∠GFC′＝∠EFC′﹣∠EFG＝125°﹣55°＝70°， ∴∠FGC′＝180°﹣∠C′﹣∠GFC′＝180°﹣90°﹣70°＝20°， 故答案为：20°． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行线的性质、折叠的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 13．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，分别以点D，O为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点E，作射线AE．若AE⊥OD，AD＝2，则AB＝ 　2　 ． 【思路点拨】由作图过程可得AE是DO的垂直平分线，得AD＝AO＝OB＝OD＝2，进而可以解决问题． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝CO＝OB＝OD，∠BAD＝90°， 由作图过程和AE⊥OD可知：AE是DO的垂直平分线， ∴AD＝AO， ∴AD＝AO＝OB＝OD＝2， ∴AB＝AD＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了矩形的性质、作图﹣基本作图、垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 14．如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F．求证：BE＝AF． 【思路点拨】由矩形性质及DF⊥AE，导角可得∠ADF＝∠BAE．从而可证明△ADF≌△EAB（AAS），进而可证明结论． 【解析】证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠DAB＝90°＝∠DAF+∠BAE，∠B＝90°． 又∵DF⊥AE， ∴∠DAF+∠ADF＝90°， ∴∠ADF＝∠BAE． 在△ADF和△EAB中， ， ∴△ADF≌△EAB（AAS）， ∴BE＝AF． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题关键． 15．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE、BA交于点F，连接AC、BD、DF． （1）求证：BD＝DF； （2）当CF平分∠BCD，且BC＝6时，求CD的长． 【思路点拨】（1）证明△FAE≌△CDE得出CD＝FA，可证四边形ACDF是平行四边形，可得AC＝DF，即可得出结论； （2）证出△CDE是等腰直角三角形，得出CD＝DE，得出AD＝BC＝2CD，即可求解． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AD＝BC，AC＝BD， ∴∠FAE＝∠CDE． ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE． 在△FAE和△CDE中， ， ∴△FAE≌△CDE（AAS）， ∴CD＝FA． ∵CD∥AF， ∴四边形ACDF是平行四边形， ∴AC＝DF， ∴BD＝DF； （2）解：∵CF平分∠BCD， ∴∠DCE＝45°． ∵∠CDE＝90°， ∴△CDE是等腰直角三角形， ∴CD＝DE． ∵E是AD的中点， ∴AD＝2DE＝2CD， ∴BC＝2CD＝6， ∴CD＝3． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 16．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F，连接AC，BE． （1）求证：四边形ABEC是平行四边形； （2）当△ADE满足什么条件时，四边形ABEC是矩形，请说明理由． 【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，求出AB∥CE，AB＝CE，根据平行四边形的判定得出即可； （2）根据平行四边形的性质得出AD＝BC，求出AE＝BC，根据矩形的判定得出即可． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵CE＝CD， ∴AB∥CE，AB＝CE， ∴四边形ABEC是平行四边形； （2）解：当AE＝AD，四边形ABEC是矩形， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， ∵AE＝AD， ∴AE＝BC， 由（1）知：四边形ABEC是平行四边形， ∴四边形ABEC是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：对角线相等的平行四边形是矩形． 17．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点G、H分别是AD、BC的中点，点E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F． （1）求证：四边形GEHF是平行四边形； （2）当AB与BD满足条件 　BD＝2AB　 时，四边形GEHF是矩形． 【思路点拨】（1）由三角形中位线定理得GF∥OA，GF＝OA，同理EH∥OC，EH＝OC，再由平行四边形的性质得OA＝OC，则EH∥GF，EH＝GF，即可得出结论； （2）连接GH，由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，再证四边形ABHG是平行四边形，得AB＝GH，然后证GH＝EF，即可得出结论． 【解析】（1）证明：∵G，F分别为AD，DO的中点， ∴GF为△AOD的中位线， ∴GF∥OA，GF＝OA， 同理可得：EH∥OC，EH＝OC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， ∴EH∥GF，EH＝GF， ∴四边形GEHF是平行四边形； （2）解：当BD＝2AB时，四边形GEHF是矩形． 理由：如图，连接GH， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD， ∵G，H分别是AD，BC的中点， ∴AG＝BH，AG∥BH， ∴四边形ABHG是平行四边形， ∴AB＝GH， ∵E，F分别是BO，DO的中点， ∴BE＝OE＝OF＝DF， ∴BD＝2EF， ∵BD＝2AB， ∴EF＝AB， ∴GH＝EF， ∴平行四边形GEHF是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 题组B 能力提升练 18．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB上的一个动点，过点D作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，连接EF，则线段EF长的最小值为（　　） A． B．5 C．2.4 D．2.5 【思路点拨】作CH⊥AB于点H，连接CD，上∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，求得AB＝5，由S△ABC＝×5CH＝×3×4，求得CH＝2.4，由DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，证明四边形ECFD是矩形，则CD＝EF，由CD≥CH，得EF≥2.4，则线段EF的最小值为2.4，于是得到问题的答案． 【解析】解：作CH⊥AB于点H，连接CD， ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝＝＝5， ∵S△ABC＝×5CH＝×3×4， ∴CH＝2.4， ∵DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点， ∴∠DEC＝∠DFC＝∠ECF＝90°， ∴四边形ECFD是矩形， ∴CD＝EF， ∵CD≥CH， ∴EF≥2.4， ∴线段EF的最小值为2.4， 故选：C． 【点睛】此题重点考查勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键． 19．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF，添加一个适当的条件，使四边形BEDF是矩形，这个条件可以是 　∠BED＝90°（答案不唯一）　 ．（填一个条件即可） 【思路点拨】由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，进而证明OE＝OF，再证明四边形BEDF是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论． 【解析】解：这个条件可以是∠BED＝90°，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF， 即OE＝OF， ∴四边形BEDF是平行四边形， 又∵∠BED＝90°， ∴平行四边形BEDF是矩形， 故答案为：∠BED＝90°（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了菱形的判定以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 20．四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列三组条件： ①AB∥CD，AD＝BC，AC＝BD； ②∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC； ③∠BAD＝∠BCD＝90°，AC＝BD； 其中一定能判定这个四边形是矩形的条件有 　②③　 ．（填写所有正确条件的序号） 【思路点拨】矩形的判定：需满足“三个角是直角”或“平行四边形+一个直角”或“平行四边形+对角线相等”等条件． ①需判断是否为平行四边形或等腰梯形，排除非矩形情况． ②通过构造反例验证是否可能形成非矩形的直角四边形 ③利用对角线相等和直角条件，推导其他角是否为直角． 【解析】解：①条件：AB∥CD，AD＝BC，AC＝BD．推理：AB∥CD且AD＝BC，可能为等腰梯形．等腰梯形满足AC＝BD，但等腰梯形不一定是矩形．结论：无法确定为矩形． ②条件：∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC．推理：∵，∴△ABD≌△CDB（HL），∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，∴四边形ABCD为矩形．结论：确定为矩形． ③条件：∠BAD＝∠BCD＝90°，AC＝BD． 推理：设A（0，0），D（0，a），B（b，0），C（c，d）， 由∠BCD＝90°，得（c﹣b）c+（d﹣a）d＝0． 由AC＝BD，得，联立方程可得b＝0，a＝d，即B（0，0），C（a，a），此时四边形为矩形．结论：必为矩形． 故选：②③． 【点睛】本题主要考查矩形的判定条件，解题的关键是结合四边形的性质进行推理． 21．如图，在三角形ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN平行于BC，设MN交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于F． （1）求证：OE＝OF； （2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 【思路点拨】（1）由角平分线的定义得∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠GCF，再由平行线的性质得∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF，则∠OEC＝∠ACE，∠OFC＝∠ACF，然后证明EO＝CO，FO＝CO，即可得出结论； （2）先证明四边形AECF是平行四边形，再证明AC＝EF，然后由矩形的判定即可得出结论． 【解析】（1）证明：如图， ∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， ∴∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠GCF， ∵MN∥BC， ∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF， ∴∠OEC＝∠ACE，∠OFC＝∠ACF， ∴EO＝CO，FO＝CO， ∴OE＝OF； （2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，理由如下： 当O为AC的中点时，AO＝CO， 由（1）可知，EO＝FO＝CO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵OA+OC＝OE+OF， 即AC＝EF， ∴平行四边形AECF是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和等腰三角形的判定是解题的关键． 22．如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝10，BO＝DO，且AB＝12，BC＝16． （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC于点E，求∠BDF的度数． 【思路点拨】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，利用勾股定理逆定理，得到∠ABC＝90°，即可得证； （2）求出∠FDC的度数，根据三角形的内角和，求出∠DCO，然后根据OD＝OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度数． 【解析】（1）证明：∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝10，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝AO+CO＝20， ∵AB＝12，BC＝16， ∴AB2+BC＝122+162＝202＝AC2， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ADC＝90°， ∵∠ADF：∠FDC＝3：2，∠ADF+∠FDC＝∠ADC， ∴， ∵DF⊥AC， ∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CO＝OD， ∴∠ODC＝∠DCO＝54°， ∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键．注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 题组C 培优拔尖练 23．如图，D，E是△ABC中AB，BC边上的点，且DE∥AC，∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H．则下列结论错误的是（　　） A．若BG∥CH，则四边形BHCG为矩形 B．若BE＝CE时，四边形BHCG为矩形 C．若HE＝CE，则四边形BHCG为平行四边形 D．若CH＝3，CG＝4，则CE＝2.5 【思路点拨】由∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H可得∠HCG＝90°，∠ECG＝∠ACG即可得HE＝EC＝EG，再根据A，B，C，D的条件，进行判断． 【解析】解：∵∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H， ∴∠HCG＝90°，∠ECG＝∠ACG； ∵DE∥AC． ∴∠ACG＝∠HGC＝∠ECG． ∴EC＝EG； 同理：HE＝EC， ∴HE＝EC＝EG＝HG； 若CH∥BG， ∴∠HCG＝∠BGC＝90°， ∴∠EGB＝∠EBG， ∴BE＝EG， ∴BE＝EG＝HE＝EC， ∴CHBG是平行四边形，且∠HCG＝90°， ∴CHBG是矩形； 故A正确； 若BE＝CE， ∴BE＝CE＝HE＝EG， ∴CHBG是平行四边形，且∠HCG＝90°， ∴CHBG是矩形， 故B正确； 若HE＝EC，则不可以证明则四边形BHCG为平行四边形， 故C错误； 若CH＝3，CG＝4，根据勾股定理可得HG＝5， ∴CE＝2.5， 故D正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质和判定，关键是灵活这些判定解决问题． 24．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥BD，且AG＝BD，交CB的延长线于点G，连接FG，若AD⊥BD，下列结论：①DF∥BE；②四边形ADBG是矩形；③FG＝AB；④4S△BFC＝S▱ABCD，正确的有（　　） A．①②③④ B．①② C．①③ D．①②④ 【思路点拨】①证明四边形DEBF是平行四边形即可；②根据AG∥BD且AG＝DB可证四边形ADBG是平行四边形，结合AD⊥BD可证四边形ADBG是矩形；③连接DG，若FG＝AB，可证FG＝CD，显然不一定成立；④先证明S△BFC＝S△BFD，然后结合平行四边形的性质即可求解． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵E、F分别为边AB、CD的中点， ∴BE＝DF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DF∥BE，故①正确； ∵AG∥DB且AG＝DB， ∴四边形ADBG是平行四边形， ∵AD⊥BD， ∴四边形ADBG是矩形，故②正确； 连接DG， ∵四边形ADBG是矩形， ∴DG过点E，AB＝GD． 若FG＝AB，则FG＝GD，显然FG与GD不相等，故③不正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵F为边CD的中点， ∴S△BFC＝S△BFD， ∴， ∴4S△BFC＝S▱ABCD，故④正确． 综上可知，正确的有①②④， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握平行四边形和矩形的性质是解答本题的关键． 25．如图，在矩形ABCD中，AD＝12cm，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以4cm/s的速度从点C出发．在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，那么运动时间为 　或4或或12　 ． 【思路点拨】根据运动表示出DP、CQ，结合矩形的判定得到当DP＝CQ时以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形列式求解即可得到答案． 【解析】解：∵四边形是ABCD矩形， ∴∠D＝∠C＝90°，AD＝BC， ∵AD＝12cm，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以4cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动， ∴DP＝12﹣t，CQ＝4t或CQ＝24﹣4t或4t﹣24， ∵以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形， ∴DP＝CQ， ∴12﹣t＝4t或12﹣t＝24﹣4t或12﹣t＝4t﹣24， 解得：或4或， 故答案为：或4或或12． 【点睛】本题考查了矩形的判定，掌握矩形的判定是解题的关键． 26．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F． （1）在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件：　AC⊥BD（答案不唯一）．　 ，使得四边形AOBE是矩形，并说明理由； （2）若AC⊥BD，OE＝10，AC＝16，求▱ABCD的面积． 【思路点拨】（1）添加：AC⊥BD（答案不唯一）．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）利用矩形的性质求出AB，再利用勾股定理求出OB，可得结论． 【解析】解：（1）添加：AC⊥BD（答案不唯一）． 理由：∵BE∥AC，AE∥BD， ∴四边形AOBE是平行四边形， ∵AC⊥DB， ∴∠AOB＝90°， ∴四边形AOBE是矩形； 故答案为： （2）由（1）可知，四边形AOBE是矩形， ∴AB＝OE＝10， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC＝AC＝8， ∵AC⊥BD， ∴OD＝OB＝＝＝6， ∴BD＝12， ∴四边形ABCD的面积＝•AC•BD＝×16×12＝96． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 27．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，点使CF＝BE，连接AF、DE、DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AB＝6，BF＝10，DE＝8，求AE的长． 【思路点拨】（1）根据平行四边形性质得AD∥BC，AD＝BC，再根据CF＝BE得EF＝BC＝AD，由此可判定四边形AEFD为平行四边形，然后再根据AE⊥BC可得出结论； （2）根据矩形性质得AF＝DE＝8，再根据勾股定理的逆定理证明∠BAF＝90°，然后根据三角形的面积公式即可求出AE的长． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵CF＝BE， ∴CF+CE＝BE+CE， 即EF＝BC， ∴AD＝EF， 又∵AD∥BC， 即AD∥EF， ∴四边形AEFD为平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴平行四边形AEFD为矩形； （2）∵四边形AEFD是矩形， ∴AF＝DE＝8， 在△ABF中，AB＝6，AF＝8，BF＝10， ∵AB2+AF2＝100，BF2＝100， ∴AB2+AF2＝BF2， ∴△ABF为直角三角形， 即∠BAF＝90°， 由三角形的面积公式得：S△ABF＝BF•AE＝AB•AF， ∴AE＝＝＝4.8． 【点睛】此题主要考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定与性质，平行四边形的性质是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17课 矩形 ( 目标导航 ) 学习目标 1.经历矩形的概念性质的发现过程，掌握矩形的概念. 2.掌握矩形的性质定理及对称性. 3.掌握矩形的判定定理. ( 知识精讲 ) 知识点01 矩形的性质 1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形 2.性质： ①边：对边平行且相等； ②角：对角相等、邻角互补； ③对角线：对角线互相平分且相等； ④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）． 知识点02 矩形的判定 矩形的判定： 1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2. 有三个角是直角的四边形是矩形； 3. 对角线相等的平行四边形是矩形. ( 能力拓展 )考点01 矩形的性质 【典例1】如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED． （1）求证：BE＝BC； （2）AB＝1，∠ABE＝45°，求△BCE的面积． 即学即练1】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC． （1）求证EO＝OF； （2）若FC＝2，求矩形ABCD的面积． 考点02 矩形的判定 【典例2】如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　） A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥AB 【即学即练2】如图，已知点E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，且AF＝BC．求证：四边形ABFC为矩形． 考点03 矩形的性质与判定综合 【典例3】矩形ABCD中，点E是DC上一点，连接AE、BE，过点A作BE的平行线，过点B作AE的平行线，两条平行线交于点F，∠DAE＝∠BEC． （1）求证：四边形AFBE是矩形； （2）连接EF，若∠DAE＝30°，DE＝1，求EF的长． 【即学即练3】如图，在▱ABCD中，点O为边AD的中点，连接BO并延长交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°． （1）求证：四边形ABDE是矩形； （2）连接OC．若AB＝4，，求OC的长． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列图形性质中，矩形不一定具有的是（　　） A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形 2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AO＝3，则BD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．周末，小刚去正在装修的房屋查看进度，放在地上的一块地板砖（如图）吸引了他的注意，于是他找来卷尺进行如下操作：①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等；②测量地板砖的两条对角线是否相等，以此判断地板砖的表面是否为矩形．小刚的判断依据是（　　） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．有三个角是直角的四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 4．活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 5．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC＝3：2，则∠BDE的度数为（　　） A．36° B．27° C．18° D．9° 6．如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O．添加下列一个条件，仍不能判定▱ABCD是矩形，该条件是（　　） A．∠AOB＝90° B．∠ABC＝90° C．AC＝BD D．∠OAD＝∠ODA 7．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（　　） A．∠A＝90° B．∠B＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD 8．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线交AD，BC于E，F两点，若AC＝6，∠AEO＝120°，则OE的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是AD上一点，AE＝3，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，则线段EF取得最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 10．如图，在矩形ABCD中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点E，交AD于点F，若BE＝3，AF＝5，则矩形的周长为（　　） A．8 B．20 C．24 D．30 11．如图，在矩形ABCD中，E为AB上一点，连接CE、DE，过点D作DF⊥CE，垂足为F．若CE＝CD，DF＝3，BE＝4，则DE＝　　 ． 12．如图所示，将长方形纸片ABCD沿折痕EF折叠，点D、C的对应点分别为D'、C'，线段D'C'交线段BC于点G，若∠DEF＝55°，则∠FGC'的度数是 　　 ． 13．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，分别以点D，O为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点E，作射线AE．若AE⊥OD，AD＝2，则AB＝ 　　 ． 14．如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F．求证：BE＝AF． 15．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE、BA交于点F，连接AC、BD、DF． （1）求证：BD＝DF； （2）当CF平分∠BCD，且BC＝6时，求CD的长． 16．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F，连接AC，BE． （1）求证：四边形ABEC是平行四边形； （2）当△ADE满足什么条件时，四边形ABEC是矩形，请说明理由． 17．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点G、H分别是AD、BC的中点，点E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F． （1）求证：四边形GEHF是平行四边形； （2）当AB与BD满足条件 　 　 时，四边形GEHF是矩形． 题组B 能力提升练 18．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB上的一个动点，过点D作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，连接EF，则线段EF长的最小值为（　　） A． B．5 C．2.4 D．2.5 19．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF，添加一个适当的条件，使四边形BEDF是矩形，这个条件可以是 　 　 ．（填一个条件即可） 20．四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列三组条件： ①AB∥CD，AD＝BC，AC＝BD； ②∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC； ③∠BAD＝∠BCD＝90°，AC＝BD； 其中一定能判定这个四边形是矩形的条件有 　　 ．（填写所有正确条件的序号） 21．如图，在三角形ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN平行于BC，设MN交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于F． （1）求证：OE＝OF； （2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 22．如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝10，BO＝DO，且AB＝12，BC＝16． （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC于点E，求∠BDF的度数． 题组C 培优拔尖练 23．如图，D，E是△ABC中AB，BC边上的点，且DE∥AC，∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H．则下列结论错误的是（　　） A．若BG∥CH，则四边形BHCG为矩形 B．若BE＝CE时，四边形BHCG为矩形 C．若HE＝CE，则四边形BHCG为平行四边形 D．若CH＝3，CG＝4，则CE＝2.5 24．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥BD，且AG＝BD，交CB的延长线于点G，连接FG，若AD⊥BD，下列结论：①DF∥BE；②四边形ADBG是矩形；③FG＝AB；④4S△BFC＝S▱ABCD，正确的有（　　） A．①②③④ B．①② C．①③ D．①②④ 25．如图，在矩形ABCD中，AD＝12cm，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以4cm/s的速度从点C出发．在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，那么运动时间为 　　 ． 26．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F． （1）在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件： 　 ，使得四边形AOBE是矩形，并说明理由； （2）若AC⊥BD，OE＝10，AC＝16，求▱ABCD的面积． 27．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，点使CF＝BE，连接AF、DE、DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AB＝6，BF＝10，DE＝8，求AE的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$