第18课 菱形《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列-2024-2025学年浙教版数学八年级下册

第18课 菱形 ( 目标导航 ) 学习目标 1.经历菱形的概念、性质的发现过程，理解菱形的概念. 2.掌握菱形的性质定理及对称性. 3.掌握菱形的判定方法. ( 知识精讲 ) 知识点01 菱形的性质 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（菱形是平行四边形：一组邻边相等） 性质：①边：四条边都相等； ②角：对角相等、邻角互补； ③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角； ④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）． 知识点02 菱形的判定 菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形 ①有一组邻边相等的平行四边形； ②对角线互相垂直的平行四边形； ③四条边都相等． 　 ( 能力拓展 )考点01 菱形的性质 【典例1】如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，BD＝6．求： （1）∠BAD的度数和AB、AC的长； （2）DH⊥BC，求DH的长． 【即学即练1】如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上的点，连结AP交对角线BD于点E，连结EC． （1）求证：AE＝CE． （2）若∠ABC＝48°，AE＝PC，求∠BAP的度数． 考点02 菱形的判定 【典例2】如图，在▱ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件可以是（　　） A．∠BAD＝∠BDA B．AB＝DE C．DF＝EF D．DE平分∠ADB 【即学即练2】如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，CD＝CB． （1）求证：△DAC≌△BAC； （2）若AB∥CD，求证：四边形ABCD是菱形． 考点03 菱形的性质与判定综合 【典例3】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，BD＝2，求OE的长． 【即学即练3】如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求线段DP的长． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的面积为（　　） A．60 B．48 C．24 D．12 2．如图，已知菱形ABCD的周长为12，∠A＝60°，则BD的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若∠1＝70°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 4．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对边平行且相等 5．如图，在▱ABCD中，AC，BD为两条对角线．添加下列一个条件，仍不能判定▱ABCD是菱形，这个条件是（　　） A．AC⊥BD B．AB⊥BC C．AB＝BC D．∠BAC＝∠DAC 6．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OH＝1，S菱形ABCD＝6，则DH＝（　　） A． B． C． D． 8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是CD的中点，过点E作EF⊥CD交AC于点F，连接BF，若∠BAC＝α°，则∠CBF的度数为（　　） A．90°﹣α° B．α° C．90°﹣2α° D．2α° 9．如图，在菱形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，连结BD．若BD＝24，AD＝13，则CE的长为（　　） A． B． C．10 D．12 10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝6，BD＝8，则FG的长为（　　） A．7 B．10 C．2.5 D．5 11．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的周长是　　 厘米． 12．如图，分别以点A、B为圆心，以大于的定长a为半径画弧，两弧相交于点C、D，则四边形ADBC是菱形的理由是　 　 ． 13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH．若OB＝4.5，S菱形ABCD＝36，则OH的长为 　 　 ． 14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，延长CB到点E，使BE＝BC，连接AE．若CD＝13，AC＝10，求AE的值． 15．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H． （1）若∠ACD＝30°，求∠DAC的度数； （2）若AC＝8，DB＝6，求DH的长． 16．如图，在▱ABCD中，点E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE，BF，BD． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若∠ADB＝90°，求证：四边形BFDE为菱形． 17．如图，在平行四边形ABCD中，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，分别与AD，BC，AC相交于点E，F，O．连接AF，CE． （1）根据作图过程，判断EF与AC的位置关系是　 　 ； （2）求证：四边形AFCE是菱形． 题组B 能力提升练 18．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点E为BD上一点，过点E分别作EF⊥AB于点F，EG⊥AD于点G．若菱形ABCD的面积为12，则EF+EG的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 19．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列4组条件． ①AB＝BC＝CD＝AD； ②∠ABC＝∠BCD，∠CDA＝∠DAB； ③OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD；④∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°． 其中，能得到“四边形ABCD是菱形”的条件有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 20．如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接并延长EF，CB延长线交于点G，连接BD． （1）求证：四边形EGBD是平行四边形． （2）连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝6，求AG的长． 21．一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF． （1）求证：AF∥CE； （2）当∠BAC＝　　 度时，四边形AECF是菱形？说明理由． 题组C 培优拔尖练 22．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，菱形EFGH的三个顶点E，F，H分别在矩形ABCD的边AB，BC，AD上，BE＝1．得到如下两个结论：①△AEH面积的最大值为，②点G到BC的距离为3．则（　　） A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对 23．如图，在▱ABCD，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG＝GF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形，其中结论正确的是 　　 ． 24．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③S平行四边形ABCD＝4S△BFG；④若AB＝6，AD＝4，那么．其中所有正确结论的序号是 　　 ． 25．如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的长． 26．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝10，∠ABC的平分线与CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且点F为边AD的中点，∠BAD的平分线交BC于点M，交BE于点N，连接AE，FM． （1）求证：四边形ABMF为菱形； （2）若AM＝6，求AE的长． 27．如图在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DB，DB平分∠ABC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）过点D作DC的垂线，分别交AB，AE于点F、G，若AG＝3，AD＝4，求菱形ABCD的面积． ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18课 菱形 ( 目标导航 ) 学习目标 1.经历菱形的概念、性质的发现过程，理解菱形的概念. 2.掌握菱形的性质定理及对称性. 3.掌握菱形的判定方法. ( 知识精讲 ) 知识点01 菱形的性质 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（菱形是平行四边形：一组邻边相等） 性质：①边：四条边都相等； ②角：对角相等、邻角互补； ③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角； ④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）． 知识点02 菱形的判定 菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形 ①有一组邻边相等的平行四边形； ②对角线互相垂直的平行四边形； ③四条边都相等． 　 ( 能力拓展 )考点01 菱形的性质 【典例1】如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，BD＝6．求： （1）∠BAD的度数和AB、AC的长； （2）DH⊥BC，求DH的长． 【思路点拨】（1）根据菱形的性质可得AC⊥BD，∠ACD＝∠ACB，∠BAD＝∠BCD，AB＝AD＝BC，OB＝OD，OA＝OC，可得∠BAD＝∠BCD＝60°，进一步可知△ABD是等边三角形，可得AB＝BD＝6，根据勾股定理，求出AO的长，进一步可得AC的长； （2）根据菱形ABCD的面积＝＝BC•DH，即可求出DH的长． 【解析】解：（1）在菱形ABCD中，AC⊥BD，∠ACD＝∠ACB，∠BAD＝∠BCD，AB＝AD＝BC，OB＝OD，OA＝OC， ∵∠ACD＝30°， ∴∠BCD＝2×30°＝60°， ∴∠BAD＝60°， ∵AB＝AD， ∴△ABD是等边三角形， ∵BD＝6， ∴AB＝BD＝6， ∵OB＝3，∠AOB＝90°， 根据勾股定理，得AO＝＝＝， ∴AC＝2AO＝； （2）∵AC＝，BD＝6， ∴菱形ABCD的面积＝＝××6＝， ∵DH⊥BC，且BC＝AB＝6， ∴菱形ABC的面积＝BC•DH＝6DH， ∴6DH＝， ∴DH＝． 【点睛】本题考查了菱形的性质，涉及等边三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【即学即练1】如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上的点，连结AP交对角线BD于点E，连结EC． （1）求证：AE＝CE． （2）若∠ABC＝48°，AE＝PC，求∠BAP的度数． 【思路点拨】（1）根据菱形性质得BA＝BC，∠ABD＝∠CBD，进而可依据“SAS”判定△ABE和△CBE全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论； （2）设∠BAP＝α，由△ABE≌△CBE得∠BAP＝∠BCE＝α，根据AE＝PC，AE＝CE得PC＝CE，则∠CPE＝∠CEP＝（180°﹣∠BCE）＝90°﹣α，再根据三角形外角定理得∠CPE＝∠ABC+∠BAP得90°﹣α＝48°+α，由此解出α即可得出∠BAP的度数． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴BA＝BC，∠ABD＝∠CBD， 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE＝CE； （2）解：设∠BAP＝α， ∵△ABE≌△CBE， ∴∠BAP＝∠BCE＝α， ∵AE＝PC，AE＝CE， ∴PC＝CE， ∴∠CPE＝∠CEP＝（180°﹣∠BCE）＝90°﹣α， ∵∠CPE是△ABP的一个外角，∠ABC＝48°， ∴∠CPE＝∠ABC+∠BAP， ∴90°﹣α＝48°+α， ∴α＝28°， ∴∠BAP＝α＝28°． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理和三角形的外角性质，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 考点02 菱形的判定 【典例2】如图，在▱ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件可以是（　　） A．∠BAD＝∠BDA B．AB＝DE C．DF＝EF D．DE平分∠ADB 【思路点拨】证明△ADF≌△BEF（AAS），得AD＝BE，再证明四边形AEBD是平行四边形，然后由菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，∠BAD＝∠C， ∴AD∥BE， ∴∠ADF＝∠BEF， ∵点F是AB的中点， ∴AF＝BF， 在△ADF和△BEF中， ， ∴△ADF≌△BEF（AAS）， ∴AD＝BE， 又∵AD∥BE， ∴四边形AEBD是平行四边形， A、添加∠BAD＝∠BDA时，AB＝DB，不能判定平行四边形AEBD是菱形，故选项A不符合题意； B、添加AB＝DE时，能判定平行四边形AEBD是矩形，不是菱形，故选项B不符合题意； C、添加DF＝EF，不能判定平行四边形AEBD是菱形，故选项C不符合题意； D、∵DE平分∠ADB， ∴∠BDC＝∠BAD， ∵∠BAD＝∠C， ∴∠BDC＝∠C， ∴BD＝BC， ∵AD＝BC，AD＝BE， ∴BD＝BE， ∴平行四边形AEBD是菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【即学即练2】如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，CD＝CB． （1）求证：△DAC≌△BAC； （2）若AB∥CD，求证：四边形ABCD是菱形． 【思路点拨】（1）根据“SSS”定理即可证得结论； （2）由平行线的性质得到∠CAB＝∠ACD，由全等三角形的性质和等腰三角形的判定得到AB＝CD，根据平行四边形的判定证得四边形ABCD是平行四边形，进而证得四边形ABCD是菱形． 【解析】证明：（1）在△ADC与△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC（SSS）； （2）∵AB∥CD， ∴∠CAB＝∠ACD， 由（1）知△ADC≌△ABC， ∴∠CAB＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠ACD， ∴AD＝CD， ∵AD＝AB， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，菱形的判定，熟练掌握全等三角形和菱形的判定方法是解决问题的关键． 考点03 菱形的性质与判定综合 【典例3】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，BD＝2，求OE的长． 【思路点拨】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DCA＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论； （2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论． 【解析】（1）证明：∵AB∥DC， ∴∠OAB＝∠DCA， ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠OAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD＝AB， ∵AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，BD⊥AC， ∵CE⊥AB， ∴OE＝OA＝OC， ∵BD＝2， ∴， 在Rt△AOB中，，OB＝1， ∴， ∴OE＝OA＝2． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD＝AD＝AB是解答本题的关键． 【即学即练3】如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求线段DP的长． 【思路点拨】（1）根据平行四边形和角平分线的性质可得AB＝BE，AB＝AF，AF＝BE，从而证明四边形ABEF是菱形； （2）由菱形的性质得出AE⊥BF，得到∠ABF＝30°，∠BAP＝∠FAP＝60°从而得出AB＝AE＝8，AP＝4，过点P作PM⊥AD于M，得到PM＝2，AM＝2，从而得到DM＝10，由勾股定理求出PD、PB的长，即可得出结果． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE＝∠AEB． ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE． ∴∠BAE＝∠AEB． ∴AB＝BE． 同理：AB＝AF． ∴AF＝BE． ∴四边形ABEF是平行四边形． ∵AB＝BE， ∴四边形ABEF是菱形； （2）解：∵四边形ABEF是菱形， ∴AE⊥BF， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ABF＝30°，∠BAP＝∠FAP＝60°，△ABE为等边三角形， ∴AB＝AE＝8， ∵AB＝8， ∴AP＝4， 过点P作PM⊥AD于M，如图所示： ∴PM＝2，AM＝2， ∵AD＝12， ∴DM＝10， ∴PD＝＝＝4． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质、菱形的判定与性质、含30°角的直角三角形性质、勾股定理，等边三角形的判定与性质、菱形面积的计算等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的面积为（　　） A．60 B．48 C．24 D．12 【思路点拨】由菱形的面积公式，即可计算． 【解析】解：∵菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8， ∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×6×8＝24． 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质，关键是掌握菱形的面积＝ab（a、b是两条对角线的长度）． 2．如图，已知菱形ABCD的周长为12，∠A＝60°，则BD的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【思路点拨】根据菱形ABCD的周长，求出菱形ABCD的边长，再由∠A＝60°，断定△ABD是等边三角形，从而求解． 【解析】解：∵菱形ABCD的周长为12， ∴菱形ABCD的边长＝12÷4＝3， ∵∠A＝60°，AD＝AB， ∴△ABD等边三角形， ∴AB＝BD， ∴BD＝3， 故选：A． 【点睛】考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、解题的关键是证明△ABD是等边三角形，属于中考常考题型． 3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若∠1＝70°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【思路点拨】根据菱形对边平行得到∠OBC＝∠1＝70°，根据AC⊥BD，得到∠2＝20°． 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AC⊥BD ∴∠OBC＝∠1＝70°， ∵AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠OBC＝20°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质．熟练掌握菱形对边平行，对角线互相垂直，是解题的关键． 4．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对边平行且相等 【思路点拨】利用菱形的性质和平行四边形的性质进行判断可求解． 【解析】解：∵菱形具有的性质有：四边相等，两组对边平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，对角线互相垂直； 平行四边形的性质有：两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分， ∴菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是四边相等，对角线互相垂直， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，掌握菱形的性质好平行四边形的性质是解题的关键． 5．如图，在▱ABCD中，AC，BD为两条对角线．添加下列一个条件，仍不能判定▱ABCD是菱形，这个条件是（　　） A．AC⊥BD B．AB⊥BC C．AB＝BC D．∠BAC＝∠DAC 【思路点拨】根据菱形的判定定理判断即可． 【解析】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形，故不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥BC， ∴▱ABCD是矩形，故符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴▱ABCD是菱形，故不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵∠BAC＝∠DAC， ∴∠BAC＝∠ACB， ∴AB＝BC， ∴▱ABCD是菱形，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 6．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据平行四边形的性质及菱形的判定定理求解即可． 【解析】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故A不符合题意； 根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形， 故B不符合题意； 一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形， 故C符合题意； 根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，熟记菱形的判定定理及平行四边形的性质定理是解题的关键． 7．如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OH＝1，S菱形ABCD＝6，则DH＝（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】在Rt△BDH中先求得BD的长，根据菱形面积公式求得AC长，再根据勾股定理求得AB长，根据菱形面积公式即可求解． 【解析】解：∵DH⊥AB， ∴∠BHD＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OC＝OA＝AC，AC⊥BD，AB＝CD， ∴OH＝OB＝OD＝BD（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）， ∴OD＝1，BD＝2， ∵S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•DH＝6， ∴AC＝6， ∴OC＝OA＝AC＝3， ∴AB＝CD＝＝， ∴DH＝6， ∴DH＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解题的关键是推导得出OH＝OB＝OD＝BD． 8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是CD的中点，过点E作EF⊥CD交AC于点F，连接BF，若∠BAC＝α°，则∠CBF的度数为（　　） A．90°﹣α° B．α° C．90°﹣2α° D．2α° 【思路点拨】连接DF，由线段垂直平分线的性质推出DF＝FC，BF＝DF，得到BF＝FC，推出∠CBF＝∠BCF，由等腰三角形的性质推出∠BCF＝∠BAC＝α°，得到∠CBF＝α°． 【解析】解：连接DF， ∵E是CD的中点，EF⊥CD， ∴EF垂直平分CD， ∴DF＝FC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC垂直平分BD，BA＝CB， ∴BF＝DF， ∴BF＝FC， ∴∠CBF＝∠BCF， ∵BA＝BC， ∴∠BCF＝∠BAC＝α°， ∴∠CBF＝α°． 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出BF＝FC． 9．如图，在菱形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，连结BD．若BD＝24，AD＝13，则CE的长为（　　） A． B． C．10 D．12 【思路点拨】首先，利用菱形对角线互相垂直平分的性质和已知边长计算出对角线AC的长度；然后，利用菱形面积的两种计算方法，通过已知的面积和边长求解CE的长度． 【解析】解：连接AC交BD于O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴，OB＝OD＝BD＝12，AC⊥BD，AB＝AD＝13， ∴∠AOB＝90°， ∴OA＝＝＝5， ∴AC＝10， ∵菱形的面积＝AB．CE＝AC•BD， 即13×CE＝×10×24， 解得：CE＝， 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理以及菱形面积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝6，BD＝8，则FG的长为（　　） A．7 B．10 C．2.5 D．5 【思路点拨】由菱形的性质得出OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，AC⊥BD，根据勾股定理求出AD＝5，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE＝2.5，证出四边形EFOG是矩形，得到EO＝GF即可得出答案． 【解析】解：连接OE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，AC⊥BD， 在Rt△AOD中，AD＝＝5， 又∵E是边AD的中点， ∴OE＝AD＝×5＝2.5， ∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD， ∴∠EFO＝90°，∠EGO＝90°，∠GOF＝90°， ∴四边形EFOG为矩形， ∴FG＝OE＝2.5． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上中线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键． 11．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的周长是　20　 厘米． 【思路点拨】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出另一条对角线的长度，再根据勾股定理可求出边长，继而可求出周长． 【解析】解：如图所示： ∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，AC＝6cm，S菱形ABCD＝24cm2， ∴BD＝8cm，AO＝3cm，BO＝4cm， 在Rt△ABO中，AB2＝AO2+BO2， 即有AB2＝32+42， 解得：AB＝5cm， ∴菱形的周长＝4×5＝20cm． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了菱形的性质，属于基础题，解答本题用到的知识点为：①菱形的四边形等，菱形的对角线互相垂直且平分，②菱形的面积等于对角线乘积的一半． 12．如图，分别以点A、B为圆心，以大于的定长a为半径画弧，两弧相交于点C、D，则四边形ADBC是菱形的理由是　四边相等的四边形是菱形　 ． 【思路点拨】根据四条边都相等的四边形是菱形即可得四边形ADBC一定是菱形． 【解析】解：根据作图方法可知四边形ADBC一定是菱形； 理由如下： ∵分别以点A，B为圆心，以大于的定长a为半径画弧，两弧相交于C，D， ∴根据菱形的判定定理，AD＝AC＝BD＝BC＝a， ∴四边形ADBC是菱形，即四边形ADBC是菱形的理由是四边相等的四边形是菱形． 故答案为：四边相等的四边形是菱形． 【点睛】本题考查了作图——复杂作图及菱形的判定，解决本题的关键是掌握菱形的判定定理． 13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH．若OB＝4.5，S菱形ABCD＝36，则OH的长为 　4　 ． 【思路点拨】根据菱形面积的计算公式求得AC，再利用直角三角形斜边中线的性质即可求得答案． 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，OB＝4.5， ∴OA＝OC，BD＝2OB＝9， ∵S菱形ABCD＝36， ∴， ∴AC＝8， ∵AH⊥BC，OA＝OC， ∴∠AHC＝90°，O为AC的中点； 在Rt△AHC中，O为AC的中点 ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形的性质及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，根据菱形的面积公式：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半是解题的关键． 14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，延长CB到点E，使BE＝BC，连接AE．若CD＝13，AC＝10，求AE的值． 【思路点拨】根据菱形的性质可得BD＝24，再证明四边形AEDB是平行四边形，即可求出AE的值． 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，CD＝13，AC＝10， ∴AD∥BC，AD＝BC，AC⊥BD，BD＝2OD，， 在直角三角形OCD中，由勾股定理得：， ∴BD＝24， ∵BE＝BC， ∴AD＝BE， 又∵AD∥BE， ∴四边形AEDB是平行四边形， ∴AE＝BD＝24． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 15．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H． （1）若∠ACD＝30°，求∠DAC的度数； （2）若AC＝8，DB＝6，求DH的长． 【思路点拨】（1）由菱形的性质可得DA＝DC，即可求解； （2）由菱形的性质可得AC⊥BD，OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，由勾股定理可求AB＝5，由菱形的面积公式可求解． 【解析】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴DA＝DC， ∴∠ACD＝∠DAC＝30°； （2）∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD，OA＝OC＝4，OB＝OD＝3， ∴BA＝＝5， ∵S菱形ABCD＝AB•DH＝AC•BD， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的面积公式是解题的关键． 16．如图，在▱ABCD中，点E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE，BF，BD． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若∠ADB＝90°，求证：四边形BFDE为菱形． 【思路点拨】（1）根据平行四边形的对边相等的性质可以得到AD＝BC，AB＝CD，又点E、F是AB、CD中点，所以AE＝CF，然后利用边角边即可证明两三角形全等； （2）先证明BE与DF平行且相等，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BEDF是平行四边形；再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝EB＝AB，从而可得四边形BFDE为菱形． 【解析】证明：（1）在▱ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C， ∵E、F分别为边AB、CD的中点， ∴AE＝AB，CF＝DC， ∴AE＝CF， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）； （2）∵AB＝CD，AE＝CF， ∴BE＝DF， 又AB∥CD， ∴BE∥DF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵∠ADB＝90°， ∴点E为边AB的中点， ∴DE＝EB＝AB， ∴四边形BFDE为菱形． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定，以及全等三角形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 17．如图，在平行四边形ABCD中，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，分别与AD，BC，AC相交于点E，F，O．连接AF，CE． （1）根据作图过程，判断EF与AC的位置关系是　EF垂直平分AC　 ； （2）求证：四边形AFCE是菱形． 【思路点拨】（1）由作图可知直接得出结论； （2）证明△AOE≌△COF（AAS），得出AE＝CF，即可推出结论． 【解析】（1）解：由作图可知，EF垂直平分AC， 故答案为：EF垂直平分AC； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC ∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC， ∵EF垂直平分AC， ∴OA＝OC， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴AE＝CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵EF垂直平分AC， ∴四边形AFCE是菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，熟记各性质定理是解题的关键． 题组B 能力提升练 18．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点E为BD上一点，过点E分别作EF⊥AB于点F，EG⊥AD于点G．若菱形ABCD的面积为12，则EF+EG的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【思路点拨】延长GE交BC于点H，由四边形ABCD是菱形，得到AD∥BC，BD平分∠ABC，从而得到EH⊥BC，求出GH＝3，根据角平分线的性质得到EH＝EF，即可求解． 【解析】解：在菱形ABCD中，AB＝4，如图，延长GE交BC于点H， ∴AD∥BC，BD平分∠ABC， ∵EG⊥AD， ∴EH⊥BC， ∴GH＝S菱形ABCD÷BC＝12÷4＝3， ∵BD平分∠ABC，EF⊥AB，EH⊥BC， ∴EH＝EF， ∴EF+EG＝EH+EG＝GH＝3， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，角平分线的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 19．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列4组条件． ①AB＝BC＝CD＝AD； ②∠ABC＝∠BCD，∠CDA＝∠DAB； ③OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD；④∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°． 其中，能得到“四边形ABCD是菱形”的条件有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【思路点拨】由AB＝BC＝CD＝AD，根据“四条边都相等的四边形是菱形”证明四边形ABCD是菱形，可判断①符合题意；由∠ABC＝∠BCD，∠CDA＝∠DAB，得∠ABC+∠CDA＝∠BCD+∠DAB＝180°，则AD∥BC，可证明四边形ABCD是矩形或等腰梯形，但不一定是菱形，可判断②不符合题意；由OA＝OC，OB＝OD，证明四边形ABCD是平行四边形，由AC⊥BD，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明四边形ABCD是菱形，可判断③符合题意；由∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，证明四边形ABCD是矩形，但不一定是菱形，可判断④不符合题意，于是得到问题的答案． 【解析】解：∵AB＝BC＝CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形， 故①符合题意； ∵∠ABC＝∠BCD，∠CDA＝∠DAB， ∴∠ABC+∠CDA＝∠BCD+∠DAB＝×360°＝180°， ∴AD∥BC， 如图1，AB∥CD，则四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC+∠BCD＝2∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； 如图2，AB与CD不平行，延长BA、CD交于点E，则BE＝CE， ∵∠EAD＝∠ABC，∠EDA＝∠BCD， ∴∠EAD＝∠EDA， ∴AE＝DE， ∴BE﹣AE＝CE﹣DE， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是等腰梯形， ∴四边形ABCD是矩形或梯形，但不一定是菱形， 故②不符合题意； ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， 故③符合题意； ∵∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，但不一定是菱形， 故④不符合题意， 故选：B． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定等知识，正确理解和应用菱形的判定定理是解题的关键． 20．如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接并延长EF，CB延长线交于点G，连接BD． （1）求证：四边形EGBD是平行四边形． （2）连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝6，求AG的长． 【思路点拨】（1）根据菱形的性质得AD∥BC，AD＝AB，由平行线的性质可得ED∥BC，∠AEF＝∠G，再由等腰三角形的性质和对顶角的性质可得∠G＝∠GFB，再根据等角对等边得GB＝FB，从而可得GB＝ED，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）过点A作AH⊥BC于点H，由平行线的性质得∠DBC＝30°，再根据菱形的性质可得∠ABH＝60°，由直角三角形的性质得，利用勾股定理求得，在Rt△AGH中，利用勾股定理求解即可． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AD＝AB， ∴ED∥BC，∠AEF＝∠G， ∵AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴∠G＝∠AFE， 又∵∠AFE＝∠GFB， ∴∠G＝∠GFB， ∴GB＝FB， ∵AD＝AB，AE＝AF， ∴ED＝BF， ∴GB＝ED， ∴四边形EGBD是平行四边形． （2）解：过点A作AH⊥BC于点H， 由（1）可得，GE∥BD， ∵∠FGB＝30°，GE∥BD， ∴∠DBC＝30°， ∴∠ABH＝2∠DBC＝60°， ∵GB＝AE＝6， ∴AB＝AD＝12， ∵∠ABH＝90°， ∴∠BAH＝30°， ∴， ∴GH＝12， 在Rt△ABH中，， 在Rt△AGH中，． 【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的性质与判定是解题的关键． 21．一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF． （1）求证：AF∥CE； （2）当∠BAC＝　30　 度时，四边形AECF是菱形？说明理由． 【思路点拨】（1）证出∠HAF＝∠MCE，即可得出AF∥CE； （2）证出四边形AECF是平行四边形，再证出AF＝CF，即可得出四边形AECF是菱形． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， 由翻折知，∠DAF＝∠HAF＝∠DAC，∠BCE＝∠MCE＝∠BCA， ∴∠HAF＝∠MCE， ∴AF∥CE； （2）解：当∠BAC＝30°时四边形AECF为菱形，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠BAD＝90°，AB∥CD， 由（1）得：AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠BAC＝30°， ∴∠DAC＝60°． ∴∠ACD＝30°， 由折叠的性质得∠DAF＝∠HAF＝30°， ∴∠HAF＝∠ACD， ∴AF＝CF， ∴四边形AECF是菱形； 故答案为：30． 【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键． 题组C 培优拔尖练 22．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，菱形EFGH的三个顶点E，F，H分别在矩形ABCD的边AB，BC，AD上，BE＝1．得到如下两个结论：①△AEH面积的最大值为，②点G到BC的距离为3．则（　　） A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对 【思路点拨】根据题意，首先判断△AEH面积的最大时，需EH最大，利用菱形性质，得到需EC最大，从而求出最大的面积，判断结论①正确，利用三角形全等，得到GM＝AE＝3，判断结论②正确． 【解析】解：如图1， ∵AB＝4，BE＝1， ∴AE＝3， ∵在Rt△AEH中，面积S＝AH•AE， 又AH＝， ∴当EH最大时，AH最大，则△AEH的面积最大， ∵四边形EFGH是菱形， ∴EH＝EF， ∴当EF最大时，△AEH的面积最大， ∵当点F在C点时，EF最大， ∴△AEH的面积最大时，菱形为EH'G'C， ∴EH′＝， ∴EH'＝， ∴AH′＝， ∴△AEH的面积最大值S＝AH′•AE＝×2×3＝3， 故结论①正确，符合题意； 如图2，过点G作GM⊥BC，交BC的延长线于M点， ∴GF＝EH，∠GMF＝∠A＝90°，∠GFM＝∠AHE， ∴△AEH△≌MGF， ∴GM＝AE＝3， ∴点G到BC的距离为3， 故结论②正确，符合题意， 综上所述，结论①②都正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形、菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握相关定理是解题的关键． 23．如图，在▱ABCD，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG＝GF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形，其中结论正确的是 　①③④　 ． 【思路点拨】由平行四边形的性质得出，AD＝BC，结合BD＝2AD，得出OB＝BC＝OD＝AD，再由等腰三角形的性质即可判断①；由直角三角形的性质和三角形中位线定理即可判断②；通过证明四边形BGFE是平行四边形即可判断③；由平行线的性质和等腰三角形的性质即可判断④；由∠BAC≠30°即可判断⑤， 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD， ∵B D＝2 A D， ∴OB＝BC＝OD＝AD， ∵E是OC的中点， ∴BE⊥AC，故①正确，符合题意； ∵E、F分别是OC、OD的中点， ∴EF∥CD，， ∵点G是Rt△ABE斜边上AB的中点， ∴， ∴EG＝EF＝AG＝BG，无法证明GE＝GF，故②错误，不符合题意； ∵BG＝BE，AB∥CD∥EF， ∴四边形BGFE是平行四边形， ∴GF＝BE，且BG＝EF，GE＝GE， ∴△BGE≌△FEG（SSS），故③正确，符合题意； ∵AB∥CD∥EF， ∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF， ∵AG＝GE， ∴∠GAE＝∠AEC， ∴∠AEG＝∠AEF， ∴AE平分∠GEF，故④正确，符合题意； 若四边形BEFG是菱形，则， ∴∠BAC＝30°，与题意不符合，故⑤错误，不符合题意； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 24．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③S平行四边形ABCD＝4S△BFG；④若AB＝6，AD＝4，那么．其中所有正确结论的序号是 　①②③　 ． 【思路点拨】①根据题意可证明四边形DEBF为平行四边形，继而可判断出此项正确； ②根据①的结论，再结合AD⊥BD，E为边AB的中点得出DE＝BE＝AE可判断出四边形BEDF是菱形； ③根据S△BFG＝S△BFG＝S△FCG，S△FCG＝S平行四边形ABCD，可得出结论； ④根据矩形的性质和勾股定理的逆定理即可得到结论． 【解析】解：①∵在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点， ∴四边形DEBF为平行四边形， ∴DE∥BF，故①正确． ②由①知四边形DEBF为平行四边形， ∵AD⊥BD，E为边AB的中点， ∴DE＝BE＝AE， ∴四边形BEDF是菱形，故②正确． ④∵AG∥DB，AD∥BG，AD⊥BD， ∴四边形AGBD为矩形， ∴AD＝BG＝BC， ∵AB＝6，AD＝4， ∴BF＝DF＝CF＝3，BC＝4， ∴CG＝8， ∵CG2﹣CF2＝82﹣32＝55＝FG2， ∴∠CFG＝90°， ∴FG⊥CD， 要使FG⊥CD，则BF＝BC＝BG， 而BF＝3，BC＝BG＝4， ∴BF≠CG， ∴FG⊥AB不恒成立， ∴不成立，故④错误． 故④不正确． ③由④知BC＝BG， ∴S△BFG＝S△BFG＝S△FCG， ∵F为CD中点， ∴S△FCG＝S平行四边形ABCD， ∴S△BFG＝S平行四边形ABCD， 故③正确． 综上可得：①②③正确． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的性质及判定，综合性较强，解答此类题目时要注意由结论推条件，把结论当做已知条件求解． 25．如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的长． 【思路点拨】（1）先证四边形OCED是平行四边形．再证平行四边形OCED是矩形，则∠COD＝90°，得AC⊥BD，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝4，再由勾股定理得OD＝2，然后由矩形的在得CE＝OD＝2，∠OCE＝90°，即可解决问题． 【解析】（1）证明：∵DE∥AC，DE＝OC， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵OE＝CD， ∴平行四边形OCED是矩形， ∴∠COD＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，CD＝AB＝BC＝4，AC⊥BD， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝4， ∴OA＝OC＝2， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝＝2， 由（1）可知，四边形OCED是矩形， ∴CE＝OD＝2，∠OCE＝90°， ∴AE＝＝＝2， 即AE的长为2． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 26．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝10，∠ABC的平分线与CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且点F为边AD的中点，∠BAD的平分线交BC于点M，交BE于点N，连接AE，FM． （1）求证：四边形ABMF为菱形； （2）若AM＝6，求AE的长． 【思路点拨】（1）先证明四边形ABMF是平行四边形，再证明邻边相等即可证明． （2）根据菱形的性质及勾股定理可得BF＝8，再由全等三角形的判定与性质及勾股定理可得答案． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC， ∴∠DAM＝∠AMB， ∵∠BAD的平分线交BC于点E， ∴∠DAM＝∠BMA， ∴∠BAM＝∠BMA， ∴AB＝BM，同理可得AB＝AF， ∴AF＝BM， ∴四边形ABMF是平行四边形， ∵AB＝AF． ∴四边形ABMF是菱形． （2）解：由（1）得四边形ABMF是菱形， ∴AN＝AM＝3，NF＝BF， ∵F为边AD的中点， ∴AF＝5， 在Rt△ANF中，NF＝＝4， ∴BF＝8， 在△FAB和△FDE中， ， ∴△FAB≌△FDE（AAS）， ∴EF＝BF＝8， 在Rt△ANE中，AE＝＝＝3． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是记住菱形的三种判定方法，所以中考常考题型． 27．如图在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DB，DB平分∠ABC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）过点D作DC的垂线，分别交AB，AE于点F、G，若AG＝3，AD＝4，求菱形ABCD的面积． 【思路点拨】（1）先证四边形ABCD是平行四边形，∠ABD＝∠CDB，再证∠CDB＝∠CBD，则CD＝CB，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得AB＝AD＝4，AD∥BC，再证∠DAG＝90°，则DG＝5，进而由三角形面积求出AF＝，然后由勾股定理得DF＝，即可解决问题． 【解析】（1）证明：∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABD＝∠CDB， ∵DB平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴CD＝CB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：由（1）可知，四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝4，AD∥BC， ∵AE⊥BC， ∴AE⊥AD， ∴∠DAG＝90°， ∴DG＝＝＝5， ∵AB∥CD，DG⊥DC， ∴DG⊥AB， ∴S△ADG＝DG•AF＝AD•AG， ∴AF＝＝＝， ∴DF＝＝＝， ∴S菱形ABCD＝AB•DF＝4×＝． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$