精品解析：2025年广东省云浮市中考一模数学试题

2025 年云浮市云城区初中学业水平测试数学 本试卷共8页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 下列数中，比大的实数是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 2. 下列图形中，对称轴最多的是（ ） A. B. C. D. 3. 某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，点A恰好落在数轴上表示的点上，以原点O为圆心，的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图小明在点C处测得树顶端A 的仰角为α，且米，则树高度 为（ ）米． A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 任意两个矩形都相似 B. 反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 C. 方程 有实数根 D. 甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 8. 如图，已知点A、B、C依次在 上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要 小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：______． 12. 在平面直角坐标系中，将点A（－1，1）向右平移________个单位得到点B（4，1）． 13. 等腰三角形的腰长为1cm，底边长为cm，则它的底角的正切值为_____． 14. 单项式的次数为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，斜边上的高为1，，将绕原点顺时针旋转 得到，点A的对应点C恰好在函数的图象上，若在的图象上另有一点M使得，则点M的坐标为_________． 三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 化简求值：其中x是不等式组的整数解． 18. 为促进同学间交流，丰富校园文化生活，增强班级团队意识和凝聚力．某校七年级将在操场上举办“绑腿跑”趣味运动比赛（每班有5名队员排成一列，每相邻两队员的相邻腿用绑腿带绑在一起，立于起跑线后，队员通过协调配合在跑道上共同行进）．为做准备，七（1）班选拔了15名学生参加训练，并将15名学生的身高（单位：）数据统计如下： 162，163，163，165，166，166，166，167，167，168，169，169，171，173，176， （1）15名学生的身高数据如下表： 平均数 中位数 众数 167.4 m n 根据信息填空：_____，______； （2）在训练中，将15名学生分成三组进行练习，发现：对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则该组学生获胜概率越大．据此推断：在下列两组学生中，获胜概率大的是_____；（填“甲组”或“乙组”）； 甲组学生的身高 163 166 166 167 167 乙组学生的身高 162 163 165 166 176 （3）根据安排，剩下的同学组成丙组．从丙组同学中，随机抽取两人担任引导员，请利用树状图或列表，求恰好抽到两名引导员身高相同的概率． 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为 个单位的正方形， 的顶点均在格点上，点 的坐标为． （1）试画出 以 为旋转中心，沿顺时针方向旋转 后的图形； （2）以原点 为对称中心，画出 关于原点 对称的，写出点的坐标为______； （3）请在 轴上找一点 得到，则点 的坐标为_______，若直线平分的面积，则______． 20. 【综合与实践】 【问题背景】 如图1，刻漏，中国古代汉族科学家发明的计时器．漏是指带孔的壶，刻是指附有刻度的浮箭．中国最早的漏刻出现在夏朝时期．随着时间的推移，漏刻在历朝历代得到了广泛的应用和改进，成为了重要的计时工具．漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间． 如图2，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀(控制水的流速)的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置． 【实验操作】 上午8：00，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔10min记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表： 记录时间 8：00 8：10 8：20 8：30 8：40 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度 30 29 28.1 27 25.9 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 【问题解决】 （1）利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式； （2）利用(1)中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ （3）经检验，发现有两组表中观察值不满足(1)中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据(1)中解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为s；s越小，偏差越小．请根据表中数据计算出(1)中得到的函数解析式的s值． 21. 如图1， 是以 的长为半径的圆，点O在矩形 的对角线 上， 与矩形 的三边 ， ， 分别交于点E，F，G，其中 （1）求证： （2）求证：直线是 的切线； （3）如图2，若点 E落在线段 的垂直平分线上，，求阴影部分的面积． 五、解答题(三)：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且 的面积为8，D是 中点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值． （3）若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标 23. 在矩形中， ， ，E 是边上的一个动点，F是边 上的一个动点，连接，将矩形沿折叠． （1）如图1，若． 时，将矩形沿折叠后，点C 恰好落在 上的点C'处，点B 落在点 处， 交于点 M． ①求折痕的长； ②连接交于点N，求 的值； （2）如图2， ，将矩形沿折叠后，点A、D 的对应点分别是点 、，连接 ，，直接写出 面积的最大值为 ，与 面积的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025 年云浮市云城区初中学业水平测试数学 本试卷共8页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 下列数中，比大的实数是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，正数大于0，0大于负数，据此只需要根据实数比较大小的方法得到的大小关系即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴比大的实数是3， 故选：C． 2. 下列图形中，对称轴最多的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形知识，一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐项分析各图形的对称轴的条数即可解题． 【详解】解：A． 不是轴对称图形，没有对称轴； B． 有2条对称轴； C． 有2条对称轴； D． 有4条对称轴； 故选：D． 3. 某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此即可获得答案． 【详解】解：． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，积的乘方计算，平方差公式和合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、与不是同类项，不能进行加减计算，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，在中，，，点A恰好落在数轴上表示的点上，以原点O为圆心，的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理以及实数与数轴的关系，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．依据勾股定理即可得到的长，进而得出的长，即可得到点P所表示的数． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 又∵， ∴， 又∵点P在原点的左边， ∴点P表示的数为， 故选A． 6. 如图小明在点C处测得树顶端A 的仰角为α，且米，则树高度 为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题．根据题意可得：，，然后在 中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：根据题意，得，， 在 中，米， ∴米， 故选：B． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 任意两个矩形都相似 B. 反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 C. 方程 有实数根 D. 甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据相似多边形的性质，根的判别式，反比例函数图象的性质，轴对称图形和中心对称图形的定义，平行投影对各项逐一判断即可． 【详解】解：A．任意两个矩形不一定相似，故选项A错误，不符合题意； B．反比例函数图象是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项B错误，不符合题意； C．方程可化为方程， ∴， 即此方程无实数根，故选项C错误，不符合题意； D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质，矩形的性质，轴对称图形以及中心对称图形的定义，平行投影等知识点，解决此题的关键是要能熟练运用以上知识点． 8. 如图，已知点A、B、C依次在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、等边对等角、三角形内角和定理，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，再由圆周角定理计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9. 公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要 小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据工作效率和合作时间列方程． 【详解】解：设单独处理需x小时，则单独处理需小时， ∵总工作量为1， ∴的工作效率为，的工作效率为， 合作工作效率为， 合作时间小时完成， ∴， 即， 故选：D． 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键． ①根据开口方向，对称轴，与 轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上，则， ∵对称轴为直线，则， ∴，故②正确 抛物线与 轴交于负半轴，则， ∴，故①错误； ∵当 时，取得小值， ∴， 当m为任意实数，则，故③正确， ④∵抛物线关于 对称， ∴和的函数值相同， 即：， 由图象知，当时，函数值大于0， ∴，故④正确； ⑤当关于 对称时：即：时， 对应的函数值相同， 即：， ∴ ∴若，且，则；故⑤正确； 综上所述，正确的是②③④⑤，共4个， 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用完全平方公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，将点A（－1，1）向右平移________个单位得到点B（4，1）． 【答案】5 【解析】 【分析】根据点坐标的平移变换规律即可得． 【详解】点坐标的平移变换规律：将点向右（或向左）平移k个单位长度，得到点的坐标为（或）；将点向上（或向下）平移k个单位长度，得到点的坐标为（或） 则 即点向右平移5个单位长度得到点 故答案为：5． 【点睛】本题考查了点坐标的平移变换规律，掌握理解点坐标的平移变换规律是解题关键． 13. 等腰三角形的腰长为1cm，底边长为cm，则它的底角的正切值为_____． 【答案】． 【解析】 【分析】作等腰三角形底边上的高，将问题转化到直角三角形中，求底角的正切值即可． 【详解】解：设AB＝AC＝1，BC＝， 过A点作AD⊥BC，垂足为D，如图所示： 则BD＝BC＝， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD＝, ∴tanB＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正切函数的求值,属于简单题,熟悉正切函数值的表示方式并通过勾股定理得到边长是解题关键. 14. 单项式的次数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式的次数，次数指所有字母的指数和，即可得到答案． 【详解】解：单项式的次数为， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，斜边上的高为1，，将绕原点顺时针旋转 得到，点A的对应点C恰好在函数的图象上，若在的图象上另有一点M使得，则点M的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用的正切可以求出C点坐标，再利用C、M在上，设M的坐标，最后通过可以求出M点的坐标． 【详解】解：如图，过点 作轴，过点 作轴， 由题意可知， 则，C在上， 设 即 解得（不符合题意，舍去） 所以 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的锐角三角函数，反比例函数性质，正确理解题意，求出C点的坐标是解决问题的关键． 三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含三角函数的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．先算三角函数、负整数指数幂、绝对值和二次根式，再算加减即可． 【详解】解： 17. 化简求值：其中x是不等式组的整数解． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组和求不等式组的整数解，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，从而确定不等式组的整数解，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为， ∵当时，， ∴当时，原式． 18. 为促进同学间交流，丰富校园文化生活，增强班级团队意识和凝聚力．某校七年级将在操场上举办“绑腿跑”趣味运动比赛（每班有5名队员排成一列，每相邻两队员的相邻腿用绑腿带绑在一起，立于起跑线后，队员通过协调配合在跑道上共同行进）．为做准备，七（1）班选拔了15名学生参加训练，并将15名学生的身高（单位：）数据统计如下： 162，163，163，165，166，166，166，167，167，168，169，169，171，173，176， （1）15名学生的身高数据如下表： 平均数 中位数 众数 167.4 m n 根据信息填空：_____，______； （2）在训练中，将15名学生分成三组进行练习，发现：对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则该组学生获胜概率越大．据此推断：在下列两组学生中，获胜概率大的是_____；（填“甲组”或“乙组”）； 甲组学生的身高 163 166 166 167 167 乙组学生的身高 162 163 165 166 176 （3）根据安排，剩下的同学组成丙组．从丙组同学中，随机抽取两人担任引导员，请利用树状图或列表，求恰好抽到两名引导员身高相同的概率． 【答案】（1）167，166 （2）甲组 （3） 【解析】 【分析】本题考查平均数，中位数，众数，方差的确定或计算，用列表法或画树状图法求等可能事件的概率，掌握相关统计量的确定方法或计算公式，以及用列表法或画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． （1）根据中位数和众数的确定方法即可得到m，n的值； （2）利用方差公式分别求出甲，乙两组的方差，再比较即可得到两组学生中，获胜机率大的组； （3）先确定丙组5人的身高，再利用列表法或画树状图法即可求出恰好抽到两名引导员身高相同的概率． 【小问1详解】 解：∵将15名学生的身高（单位：）数据由小到大排列第8个数据为中位数， ∴； ∵数据166出现3次，是出现次数最多的数据， ∴， 故答案为：167，166； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵，方差越小，学生获胜机率越大． ∴胜机率大的是甲组， 故答案为：甲组； 【小问3详解】 解：由已知15名学生的身高和甲组，乙组的身高，可得丙组学生的身高为：168，169，169，171，173， 列表如下： 168 169 169 171 173 168 - 169,168 169,168 171,168 173,168 169 168,169 - 169,169 171,169 173,169 169 168,169 169,169 - 171,169 173,169 171 168,171 169,171 169,171 - 173,171 173 168,173 169,173 169,173 171,173 - 一共有20种等可能的结果，其中恰好抽到两名引导员身高相同有2种可能的结果， ∴P（恰好抽到两名引导员身高相同）． 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为 个单位的正方形，的顶点均在格点上，点 的坐标为． （1）试画出以 为旋转中心，沿顺时针方向旋转 后的图形； （2）以原点为对称中心，画出关于原点对称的，写出点的坐标为______； （3）请在 轴上找一点 得到，则点 的坐标为_______，若直线平分的面积，则______． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 解：如图，即为所求，点的坐标， （3），． 【解析】 【分析】本题考查了作旋转后的图形，作中心对称图形，坐标与图形，平行四边形的性质，待定系数法求一次函数解析式，掌握旋转、中心对称图形及平行四边形的性质是解题的关键． （ ）根据旋转的性质作图即可； （ ）根据中心对称图形的性质作图即可； （）根据平行四边形的性质找到点 ，得出平行四边形对角线中心点的坐标，由平行四边形的性质可知，利用待定系数法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，平行四边形即为所求，， ∵平行四边形的中心点的坐标为， 又∵直线平分的面积， ∴直线经过点， ∴， ∴， 故答案为：，． 20. 【综合与实践】 【问题背景】 如图1，刻漏，中国古代汉族科学家发明的计时器．漏是指带孔的壶，刻是指附有刻度的浮箭．中国最早的漏刻出现在夏朝时期．随着时间的推移，漏刻在历朝历代得到了广泛的应用和改进，成为了重要的计时工具．漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间． 如图2，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀(控制水的流速)的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置． 【实验操作】 上午8：00，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔10min记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表： 记录时间 8：00 8：10 8：20 8：30 8：40 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度 30 29 28.1 27 25.9 【建立模型】 小组讨论发现：“ ，”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 【问题解决】 （1）利用 时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式； （2）利用(1)中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ （3）经检验，发现有两组表中观察值不满足(1)中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据(1)中解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为s；s越小，偏差越小．请根据表中数据计算出(1)中得到的函数解析式的s值． 【答案】（1） （2）10∶30 （3）0.02 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中所求解析式，求出t的值即可求解； （3）分别计算 ，，，，时，函数值与对应h的观察值之差的平方，然后求和即可． 【小问1详解】 解：设， 则， 解得， ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， 150分钟=2小时30分钟， ∴甲容器中的水面高度为时是10∶30； 【小问3详解】 解：由（1）知 ，；，满足h与t的函数关系式， ∴，， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴． 21. 如图1，是以的长为半径的圆，点O在矩形 的对角线 上，与矩形 的三边 ， ， 分别交于点E，F，G，其中 （1）求证： （2）求证：直线 是的切线； （3）如图2，若点 E落在线段 的垂直平分线上，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：四边形 为矩形． ∴， ∵， ∴． ∴， 则， 即 （2）证明：连接， ∵， ∴， ∵四边形 是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形 是矩形， ∴， ∴ ∴， ∴， 即， ∵为半径， ∴直线 与相切； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，结合，证明，，再结合，可得结论； （2）连接，证明，，，由，可得，，即，从而可得结论； （3）证明，可得，．求解，，，，，证明，再利用相似三角形的性质可得，再根据阴影部分的面积，代入数值进行计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵点E落在线段 的垂直平分线上， ∴， ∴， 由（1）得， ∴． 在中，， ∴， ∵，， ∴，， 则， ∴ ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 解得. 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是直径， 即三点共线， ∴ ． 即阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查的是求不规则的图形的面积，矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定，锐角三角函数的应用，熟练的利用以上知识解题是关键. 五、解答题(三)：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是 中点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值． （3）若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标 【答案】（1） （2）2 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、二次函数的图象与性质、两点坐标距离公式等知识，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）先求得点B坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先由待定系数法可得直线 的函数解析式为为，而D是 中点，有，过点P作轴交 于点Q，设，则，即得，则，由二次函数性质可得面积的最大值是2； （3）设，分当时、当时、当时三种情况，结合两点坐标距离公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵的面积为8， ∴，解得， ∴， 将，代入得： ，解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设直线 为，将代入得：，解得， 直线 为， ，，D是 中点， ， 过点P作轴交 于点Q，如图： 设，则， ， ， ，， 时，有最大值，最大值为2； 即面积的最大值是2； 【小问3详解】 解：由得抛物线的对称轴为直线 ， 根据题意，设， ∴，，， 若是等腰三角形，分三种情况： 当时，， 则，解得，不合题意，舍去； 当时，， 则，解得，此时； 当时，， 则，解得或， 此时或， 综上，满足条件的点P的坐标为或或． 23. 在矩形中， ，，E 是边 上的一个动点，F是边 上的一个动点，连接，将矩形沿折叠． （1）如图1，若． 时，将矩形沿折叠后，点C 恰好落在上的点C'处，点B 落在点 处， 交 于点 M． ①求折痕的长； ②连接交于点N，求 的值； （2）如图2， ，将矩形沿折叠后，点A、D 的对应点分别是点 、，连接 ，，直接写出 面积的最大值为 ，与 面积的最小值为 ． 【答案】（1）①；② （2）18， 【解析】 【分析】（1）①根据证明，得出，设，，，在中，根据勾股定理得出，，求出，则，，可证四边形是矩形，得出，，，最后根据勾股定理求解即可； ②延长，交于点G，先证明，求出，，再证明，即可解答； （2）当中边上的高最大时，的面积最大，即当F，C，三点共线时，的面积最大，根据三角形的面积公式即可解答；当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小，根据三角形的面积公式即可解答． 【小问1详解】 解：①如图， 过 作于H， ∵四边形 是矩形，，， ∴，，， 由折叠得：，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，，， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； ②如图，延长，交于点G， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由折叠得：，，，， 如图， ∴当中边上的高最大时，的面积最大，即当F，C，三点共线时，的面积最大， 由（1）同理可求， ∴， ∴， ∴的面积为， 即面积的最大值为18． 如图， ∴当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， 即面积的最小值为． 故答案为：18，． 【点睛】本题是相似形的综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等和相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $