精品解析：2025年广东省云浮市中考一模数学试题

2025 年云浮市云城区初中学业水平测试数学 本试卷共8页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 下列数中，比大的实数是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 2. 下列图形中，对称轴最多的是（ ） A. B. C. D. 3. 华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米（7纳米）的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C D. 5. 如图，在中，，，点A恰好落在数轴上表示的点上，以原点O为圆心，的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图小明在点C处测得树顶端A 的仰角为α，且米，则树高度为（ ）米． A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 任意两个矩形都相似 B. 反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 C. 方程 有实数根 D. 甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 8. 如图，已知点A、B、C依次在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：______． 12. 在平面直角坐标系中，将点A（－1，1）向右平移________个单位得到点B（4，1）． 13. 等腰三角形的腰长为1cm，底边长为cm，则它的底角的正切值为_____． 14. 单项式3x2y3的次数是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，斜边上的高为1，，将绕原点顺时针旋转得到，点A的对应点C恰好在函数的图象上，若在的图象上另有一点M使得，则点M的坐标为_________． 三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 化简求值：其中x是不等式组的整数解． 18. 为促进同学间交流，丰富校园文化生活，增强班级团队意识和凝聚力．某校七年级将在操场上举办“绑腿跑”趣味运动比赛（每班有5名队员排成一列，每相邻两队员的相邻腿用绑腿带绑在一起，立于起跑线后，队员通过协调配合在跑道上共同行进）．为做准备，七（1）班选拔了15名学生参加训练，并将15名学生的身高（单位：）数据统计如下：162，163，163，165，166，166，166，167，167，168，169，169，171，173，176； （1）15名学生的身高数据如下表： 平均数 中位数 众数 167.4 根据信息填空：__________，__________； （2）在训练中，将15名学生分成三组进行练习，发现：对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则该组学生获胜机率越大．据此推断：在下列两组学生中，获胜机率大的是__________（填“甲组”或“乙组”）； 甲组学生的身高 163 166 166 167 167 乙组学生的身高 162 163 165 166 176 （3）根据安排，剩下的同学组成丙组．从丙组同学中，随机抽取两人担任引导员，求恰好抽到两名引导员身高相同的概率． 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为个单位正方形，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）试画出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）以原点为对称中心，画出关于原点对称的，写出点的坐标为______； （3）请在轴上找一点得到，则点的坐标为_______，若直线平分的面积，则______． 20. 【综合与实践】 【问题背景】 如图1，刻漏，中国古代汉族科学家发明的计时器．漏是指带孔的壶，刻是指附有刻度的浮箭．中国最早的漏刻出现在夏朝时期．随着时间的推移，漏刻在历朝历代得到了广泛的应用和改进，成为了重要的计时工具．漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间． 如图2，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀(控制水的流速)的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置． 【实验操作】 上午8：00，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔10min记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表： 记录时间 8：00 8：10 8：20 8：30 8：40 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度 30 29 281 27 25.9 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 【问题解决】 （1）利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式； （2）利用(1)中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ （3）经检验，发现有两组表中观察值不满足(1)中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据(1)中解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为s；s越小，偏差越小．请根据表中数据计算出(1)中得到的函数解析式的s值． 21. 如图1，是以的长为半径的圆，点O在矩形的对角线上，与矩形的三边，，分别交于点E，F，G，其中 （1）求证： （2）求证：直线是的切线； （3）如图2，若点 E落在线段的垂直平分线上，，求阴影部分的面积． 五、解答题(三)：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是中点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值． （3）若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标 23. 在矩形中， ，，E 是边上的一个动点，F是边 上的一个动点，连接，将矩形沿折叠． （1）如图1，若． 时，将矩形沿折叠后，点C 恰好落在上的点C'处，点B 落在点 处， 交于点 M． ①求折痕的长； ②连接交于点N，求 的值； （2）如图2， ，将矩形沿折叠后，点A、D 对应点分别是点 、，连接 ，，直接写出 面积的最大值为 ，与 面积的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025 年云浮市云城区初中学业水平测试数学 本试卷共8页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 下列数中，比大的实数是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，正数大于0，0大于负数，据此只需要根据实数比较大小的方法得到的大小关系即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴比大的实数是3， 故选：C． 2. 下列图形中，对称轴最多的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形知识，一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐项分析各图形的对称轴的条数即可解题． 【详解】解：A． 不是轴对称图形，没有对称轴； B． 有2条对称轴； C． 有2条对称轴； D． 有4条对称轴； 故选：D． 3. 华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米（7纳米）的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用科学记数法表示绝对值小于1的数．一般形式为为正整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：数0.000000007用科学记数法表示为． 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，积的乘方计算，平方差公式和合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、与不是同类项，不能进行加减计算，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，在中，，，点A恰好落在数轴上表示的点上，以原点O为圆心，的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理以及实数与数轴的关系，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．依据勾股定理即可得到的长，进而得出的长，即可得到点P所表示的数． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 又∵， ∴， 又∵点P在原点的左边， ∴点P表示的数为， 故选A． 6. 如图小明在点C处测得树顶端A 的仰角为α，且米，则树高度为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题．根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：根据题意，得，， 在中，米， ∴米， 故选：B． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 任意两个矩形都相似 B. 反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 C. 方程 有实数根 D. 甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据相似多边形的性质，根的判别式，反比例函数图象的性质，轴对称图形和中心对称图形的定义，平行投影对各项逐一判断即可． 【详解】解：A．任意两个矩形不一定相似，故选项A错误，不符合题意； B．反比例函数图象是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项B错误，不符合题意； C．方程可化为方程， ∴， 即此方程无实数根，故选项C错误，不符合题意； D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质，矩形的性质，轴对称图形以及中心对称图形的定义，平行投影等知识点，解决此题的关键是要能熟练运用以上知识点． 8. 如图，已知点A、B、C依次在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、等边对等角、三角形内角和定理，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，再由圆周角定理计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9. 公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出等量关系．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两队合作小时完成，可得出方程． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时， 依题意得， 故选：C． 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键． ①根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上，则， ∵对称轴为直线，则， ∴，故②正确 抛物线与轴交于负半轴，则， ∴，故①错误； ∵当时，取得小值， ∴， 当m为任意实数，则，故③正确， ④∵抛物线关于对称， ∴和的函数值相同， 即：， 由图象知，当时，函数值大于0， ∴，故④正确； ⑤当关于对称时：即：时， 对应的函数值相同， 即：， ∴ ∴若，且，则；故⑤正确； 综上所述，正确的是②③④⑤，共4个， 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用完全平方公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，将点A（－1，1）向右平移________个单位得到点B（4，1）． 【答案】5 【解析】 【分析】根据点坐标的平移变换规律即可得． 【详解】点坐标的平移变换规律：将点向右（或向左）平移k个单位长度，得到点的坐标为（或）；将点向上（或向下）平移k个单位长度，得到点的坐标为（或） 则 即点向右平移5个单位长度得到点 故答案为：5． 【点睛】本题考查了点坐标的平移变换规律，掌握理解点坐标的平移变换规律是解题关键． 13. 等腰三角形的腰长为1cm，底边长为cm，则它的底角的正切值为_____． 【答案】． 【解析】 【分析】作等腰三角形底边上的高，将问题转化到直角三角形中，求底角的正切值即可． 【详解】解：设AB＝AC＝1，BC＝， 过A点作AD⊥BC，垂足为D，如图所示： 则BD＝BC＝， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD＝, ∴tanB＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正切函数的求值,属于简单题,熟悉正切函数值的表示方式并通过勾股定理得到边长是解题关键. 14. 单项式3x2y3的次数是______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据单项式次数的定义即可求解． 【详解】解：单项式3x2y3的次数是5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查单项式的次数，单项式的次数是这个单项式中所有字母指数的和，掌握单项式次数的定义是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，斜边上的高为1，，将绕原点顺时针旋转得到，点A的对应点C恰好在函数的图象上，若在的图象上另有一点M使得，则点M的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用的正切可以求出C点坐标，再利用C、M在上，设M的坐标，最后通过可以求出M点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴， 由题意可知， 则，C在上， 设 即 解得（不符合题意，舍去） 所以 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的锐角三角函数，反比例函数性质，正确理解题意，求出C点的坐标是解决问题的关键． 三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含三角函数的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．先算三角函数、负整数指数幂、绝对值和二次根式，再算加减即可． 【详解】解： 17. 化简求值：其中x是不等式组的整数解． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组和求不等式组的整数解，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，从而确定不等式组的整数解，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为， ∵当时，， ∴当时，原式． 18. 为促进同学间交流，丰富校园文化生活，增强班级团队意识和凝聚力．某校七年级将在操场上举办“绑腿跑”趣味运动比赛（每班有5名队员排成一列，每相邻两队员的相邻腿用绑腿带绑在一起，立于起跑线后，队员通过协调配合在跑道上共同行进）．为做准备，七（1）班选拔了15名学生参加训练，并将15名学生的身高（单位：）数据统计如下：162，163，163，165，166，166，166，167，167，168，169，169，171，173，176； （1）15名学生的身高数据如下表： 平均数 中位数 众数 167.4 根据信息填空：__________，__________； （2）在训练中，将15名学生分成三组进行练习，发现：对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则该组学生获胜机率越大．据此推断：在下列两组学生中，获胜机率大的是__________（填“甲组”或“乙组”）； 甲组学生的身高 163 166 166 167 167 乙组学生的身高 162 163 165 166 176 （3）根据安排，剩下的同学组成丙组．从丙组同学中，随机抽取两人担任引导员，求恰好抽到两名引导员身高相同的概率． 【答案】（1）167；166 （2）甲组 （3） 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、方差等统计量，画树状图或列表法求概率． （1）根据中位数、众数的概念即可求解； （2）分别计算两组数据的方差，即可判断； （3）把168记为A，169记为，169记为，171记为C，173记为D，画树状图求出概率即可． 【小问1详解】 解：15名学生的身高排序后，处于中间位置（第8位）的是167， ∴中位数是167，即； 15名学生的身高中，166出现的次数最多， ∴众数是166，即． 故答案为：167，166 小问2详解】 解：甲组学生的身高的平均数， 方差； 乙组学生的身高的平均数， 方差 ∵， ∴获胜机率大的是甲组． 故答案为：甲组 【小问3详解】 解：由题意知丙组同学的身高分别为：168、169、169、171、173，把168记为A，169记为，169记为，171记为C，173记为D，画树状图如下： 由图可知，一共要有20种等可能结果，其中5名同学中身高相同的结果有2种， （恰好抽到两名引导员身高相同）． 答：恰好抽到两名引导员身高相同的概率为． 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为个单位的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）试画出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）以原点为对称中心，画出关于原点对称的，写出点的坐标为______； （3）请在轴上找一点得到，则点的坐标为_______，若直线平分的面积，则______． 【答案】（1）作图见解析； （2）作图见解析，； （3），． 【解析】 【分析】本题考查了作旋转后的图形，作中心对称图形，坐标与图形，平行四边形的性质，待定系数法求一次函数解析式，掌握旋转、中心对称图形及平行四边形的性质是解题的关键． （）根据旋转的性质作图即可； （）根据中心对称图形的性质作图即可； （）根据平行四边形的性质找到点，得出平行四边形对角线中心点的坐标，由平行四边形的性质可知，利用待定系数法即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求，点的坐标， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，平行四边形即为所求，， ∵平行四边形的中心点的坐标为， 又∵直线平分的面积， ∴直线经过点， ∴， ∴， 故答案：，． 20. 【综合与实践】 【问题背景】 如图1，刻漏，中国古代汉族科学家发明的计时器．漏是指带孔的壶，刻是指附有刻度的浮箭．中国最早的漏刻出现在夏朝时期．随着时间的推移，漏刻在历朝历代得到了广泛的应用和改进，成为了重要的计时工具．漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间． 如图2，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀(控制水的流速)的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置． 【实验操作】 上午8：00，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔10min记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表： 记录时间 8：00 8：10 8：20 8：30 8：40 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度 30 29 28.1 27 25.9 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 【问题解决】 （1）利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式； （2）利用(1)中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ （3）经检验，发现有两组表中观察值不满足(1)中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据(1)中解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为s；s越小，偏差越小．请根据表中数据计算出(1)中得到的函数解析式的s值． 【答案】（1） （2）10∶30 （3）0.02 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中所求解析式，求出t的值即可求解； （3）分别计算，，，，时，函数值与对应h的观察值之差的平方，然后求和即可． 【小问1详解】 解：设， 则， 解得， ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， 150分钟=2小时30分钟， ∴甲容器中的水面高度为时是10∶30； 【小问3详解】 解：由（1）知，；，满足h与t的函数关系式， ∴，， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴． 21. 如图1，是以的长为半径的圆，点O在矩形的对角线上，与矩形的三边，，分别交于点E，F，G，其中 （1）求证： （2）求证：直线是的切线； （3）如图2，若点 E落在线段的垂直平分线上，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，结合，证明，，再结合，可得结论； （2）连接，证明，，，由，可得，，即，从而可得结论； （3）证明，可得，．求解，，，，，证明，再利用相似三角形的性质可得，再根据阴影部分的面积，代入数值进行计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：四边形为矩形． ∴， ∵， ∴． ∴， 则， 即 【小问2详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴， ∴， 即， ∵为半径， ∴直线与相切； 【小问3详解】 解：∵点E落在线段垂直平分线上， ∴， ∴， 由（1）得， ∴． 在中，， ∴， ∵，， ∴，， 则， ∴ ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 解得. 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是直径， 即三点共线， ∴ ． 即阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查的是求不规则的图形的面积，矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定，锐角三角函数的应用，熟练的利用以上知识解题是关键. 五、解答题(三)：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是中点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值． （3）若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标 【答案】（1） （2）2 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、二次函数的图象与性质、两点坐标距离公式等知识，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）先求得点B坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先由待定系数法可得直线的函数解析式为为，而D是中点，有，过点P作轴交于点Q，设，则，即得，则，由二次函数性质可得面积的最大值是2； （3）设，分当时、当时、当时三种情况，结合两点坐标距离公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵的面积为8， ∴，解得， ∴， 将，代入得： ，解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设直线为，将代入得：，解得， 直线为， ，，D是中点， ， 过点P作轴交于点Q，如图： 设，则， ， ， ，， 时，有最大值，最大值为2； 即面积的最大值是2； 【小问3详解】 解：由得抛物线的对称轴为直线， 根据题意，设， ∴，，， 若是等腰三角形，分三种情况： 当时，， 则，解得，不合题意，舍去； 当时，， 则，解得，此时； 当时，， 则，解得或， 此时或， 综上，满足条件的点P的坐标为或或． 23. 在矩形中， ，，E 是边上的一个动点，F是边 上的一个动点，连接，将矩形沿折叠． （1）如图1，若． 时，将矩形沿折叠后，点C 恰好落在上的点C'处，点B 落在点 处， 交于点 M． ①求折痕的长； ②连接交于点N，求 的值； （2）如图2， ，将矩形沿折叠后，点A、D 的对应点分别是点 、，连接 ，，直接写出 面积的最大值为 ，与 面积的最小值为 ． 【答案】（1）①；② （2）18， 【解析】 【分析】（1）①根据证明，得出，设，，，在中，根据勾股定理得出，，求出，则，，可证四边形是矩形，得出，，，最后根据勾股定理求解即可； ②延长，交于点G，先证明，求出，，再证明，即可解答； （2）当中边上高最大时，的面积最大，即当F，C，三点共线时，的面积最大，根据三角形的面积公式即可解答；当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小，根据三角形的面积公式即可解答． 【小问1详解】 解：①如图， 过作于H， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， 由折叠得：，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，，， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； ②如图，延长，交于点G， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由折叠得：，，，， 如图， ∴当中边上的高最大时，的面积最大，即当F，C，三点共线时，的面积最大， 由（1）同理可求， ∴， ∴， ∴的面积为， 即面积的最大值为18． 如图， ∴当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， 即面积的最小值为． 故答案为：18，． 【点睛】本题是相似形的综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等和相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$