精品解析：2025年贵州省贵阳市南明区中考第二次模拟考试数学试卷

南明区2025年义务教育质量提升检测试卷 九年级 数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25题，满分150分，考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 下列实数中，最小的是（ ） A. 2025 B. 2024 C. D. 2. 2024年，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”非遗项目，列入联合国教科文组织的人类非物质文化遗产代表作名录．春节民间有剪窗花的习俗，人们用剪窗花来表达自己庆贺新春的欢乐心情．下面是某同学为首个非遗蛇年春节设计的四种窗花，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. E. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 南南在画板上画出两条不平行的直线a，b（如图①），他发现，如果利用平移变换就可以知道这两条直线所成的角的度数：将直线b向左平移与直线a交于一点（如图②），则直线a，b所成的锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ） A. 4 B. 1 C. 0 D. 6. 多项式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．某校2025年迎新活动中，九年级（1）班5名同学参加投壶游戏体验传统民俗，每人有10支箭进行投壶，投进去的箭数分别为：6，8，5，9，7（单位：支），某同学求得这组数据的平均数为7支，则这组数据的方差是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，蜡烛到小孔O的距离为，则像到小孔O的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 在学习“用频率估计概率”这节课时，教材“读一读”环节介绍了“估计6个人中有2个人生肖相同的概率”的模拟试验，课后某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人生肖相同的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 200 500 1000 2000 3000 “有2个人生肖相同”的次数 24 53 126 259 522 780 “有2个人生肖相同”的频率 0.24 0.265 0252 0.259 0.261 026 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人生肖相同”的概率（精确到0.01）大约是（ ） A. 0.24 B. 0.25 C. 0.26 D. 0.27 10. 开窗通风是日常生活中保持室内空气流通的一种方法，图①是平开窗的打开实物图，图②是平开窗打开的效果图，此时，窗户打开了，窗户底边长是60，则这扇窗户底边端点A扫过区域的轨迹长（弧长）是（ ） A. B. C. D. 11. 小妍同学在翻阅《九章算术》时，看到这样一个问题：“今有二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意为：甲、乙两人各有钱若干，若乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50；若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50，问甲、乙原本各有多少钱？ 为解决这个问题，小妍设甲原有x钱，乙原有y钱，可以得到方程组（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（m为实数）在的范围内有解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 化简的结果是________． 14. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点O作的垂线交于点E，连接DE．已知的周长是9cm，则平行四边形的周长是________cm． 15. 如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为________． 16. 如图，在矩形中，点F为边的中点，点E在边上，连接，两线段交于点G，过点G作交于点H，若，，，则的长为________． 三、解答题：本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）请从以下5个式子中，任选3个式子进行减法运算： ① ② ③ ④ ⑤ （2）解分式方程：． 18. 如果用眼不科学，坐姿不正确，就容易导致视力下降．经调查发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片的焦距x（米）是反比例函数关系，图象如图所示： （1）写出这一函数表达式； （2）小妮原来佩戴200度近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0.25米，求小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了多少度？ 19. 某市中考改革后，将地理、生物两个科目纳入等级考试，等级分为A，B，C，D四个等级．规定：这两科考试成绩均达到B等级及以上可以报考省级示范性高中；两科考试成绩均达到C等级及以上可以报考一般普通高中．某校为了解本届八年级学生地理、生物的成绩情况，组织了这两科目的模拟考试，并从八年级学生中随机抽取了12名学生的两科考试成绩制作了如下的统计图．根据这些信息，解答下列问题： （1）被抽取的12名学生中，某学生的生物模拟考试成绩为95分，则该生的地理模拟考试成绩为________分； （2）根据历届成绩分析，地理成绩达65分及以上能评定为B等级及以上，生物成绩达70分及以上能评定为B等级及以上．该校本届八年级共有学生480人，请估计该校能报考省级示范性高中的学生人数； （3）小沐同学在本次模拟考试中两科成绩均高于95分，爸爸想奖励带她去看两场电影，但是目前只有四部电影上映（依次记为a，b，c，d），于是爸爸将四张完全相同的卡片分别写上a，b，c，d，背面朝上洗匀放好，要求小沐从中随机抽取两张卡片．请用列表或画树状图的方法，求小沐抽到的两张卡片恰好是a和c的概率． 20. 如图，在四边形中，，点F，点E分别在边上，连接，若，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 21. 每年的4月23日是“世界读书日”，某校为了让学生学会读书，爱上读书，准备购进一批心理学书籍和科技类书籍放在学校和班级的图书馆及图书角里，其中购买3本心理学书籍和4本科技类书籍共需240元，购买6本心理学书籍和5本科技类书籍共需390元． （1）求心理学书籍和科技类书籍单价各是多少元？ （2）若该校想要购进心理学书籍和科技类书籍共80本，要求心理学书籍不低于50本，设购买心理学书籍a本，付款金额为w元，请求出w与a的表达式，并求当a为多少本时，w有最小值，最小值是多少元？ 22. 某学习小组成员对无人机烟花（如图①）的绽放高度非常感兴趣，开展了“测量无人机烟花绽放高度”的实践活动．如图②，已知一无人机烟花在A点绽放，测角仪在D处测得无人机烟花绽放点A的仰角为，在F处测得无人机烟花绽放点A的仰角为．点E，C在同一水平地面上，线段均与地面垂直，，． （参考数据：，，．） （1）过点A作于点B，连接交于点G，若，则________m（用含x的代数式表示）． （2）在（1）的条件下，求无人机烟花绽放点A离地面的高度． 23. 等分圆是指将一个圆周均匀分割成多个相同长度的弧段，每个弧段对应的圆心角相等．小南学习了等分圆后，尝试着编了一道题：如图，已知的半径长为2，点A，B，C，D，E，F将六等分，连接，，，，发现恰好过圆心O，过点C作的垂线，交的延长线于点G，连接． （1）________°； （2）在（1）的结论下，求的长； （3）求图中阴影部分的面积． 24. 如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点，若点B的坐标为，点D是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． （1）求二次函数的表达式： （2）连接，过点D作轴于点E，交线段于点F，当点D运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点D坐标和的最大值； （3）连接，若关于y轴的对称图形是，是否存在点D，使得四边形为菱形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 25. （1）【试题改编】小聪同学将教材习题进行了如下改编：如图①，四边形是正方形，是一个等边三角形，连接，则________°； （2）【深入探索】小悦同学接着小聪同学所编的题目继续进行改编：如图②，点E在正方形内部，且是一个等边三角形，此时发现点E恰好在AF上，提出问题：你能证明吗？ （3）【能力升华】老师看到小聪和小悦编的题后，非常高兴，稍作思考，也提出一个问题：在正方形中，点E在正方形内部，且是一个等边三角形，以为边作等边三角形，连接，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南明区2025年义务教育质量提升检测试卷 九年级 数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25题，满分150分，考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 下列实数中，最小的是（ ） A. 2025 B. 2024 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，解题的关键是掌握实数比较大小的方法． 根据实数比较大小的方法进行比较即可． 【详解】解：通过题意可知， 该组数据中最小的实数为， 故选：C． 2. 2024年，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”非遗项目，列入联合国教科文组织的人类非物质文化遗产代表作名录．春节民间有剪窗花的习俗，人们用剪窗花来表达自己庆贺新春的欢乐心情．下面是某同学为首个非遗蛇年春节设计的四种窗花，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. E. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意． 故选B． 3. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了去括号，解题关键是熟练掌握去括号的法则． 利用去括号的法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，该选项错误，故不符合题意； B. ，该选项错误，故不符合题意； C. ，该选项错误，故不符合题意； D.该选项正确，故符合题意； 故选：D． 4. 南南在画板上画出两条不平行的直线a，b（如图①），他发现，如果利用平移变换就可以知道这两条直线所成的角的度数：将直线b向左平移与直线a交于一点（如图②），则直线a，b所成的锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【点睛】本题主要考查平移的性质．把直线a、b延伸，交于一点，进而问题可求解． 【详解】解：如图，把直线a、b延伸，交于一点， 由平移的性质得， ∴夹角就是a、b所成的角的度数， 故选：B． 5. 若一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ） A. 4 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可求解． 【详解】解：设该方程的另一个根是为：， 根据题意可得：， ∴， 故选：D． 6. 多项式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查利用平方差公式因式分解，熟练掌握相应方法是解题关键 直接利用平方差公式因式分解即可 【详解】解：， 故选：D 7. 投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．某校2025年迎新活动中，九年级（1）班5名同学参加投壶游戏体验传统民俗，每人有10支箭进行投壶，投进去的箭数分别为：6，8，5，9，7（单位：支），某同学求得这组数据的平均数为7支，则这组数据的方差是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差，根据方差的公式计算即可． 【详解】解：这组数据的方差为：． 故选：A． 8. 小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，蜡烛到小孔O的距离为，则像到小孔O的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形性质，熟知相似三角形的性质是解答关键．设像到小孔的距离为，根据相似三角形的性质来求解． 【详解】解：设像到小孔的距离为， 由题意可知△与相似， 长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是， ， ． 故选：B． 9. 在学习“用频率估计概率”这节课时，教材“读一读”环节介绍了“估计6个人中有2个人生肖相同的概率”的模拟试验，课后某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人生肖相同的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 200 500 1000 2000 3000 “有2个人生肖相同”的次数 24 53 126 259 522 780 “有2个人生肖相同”的频率 0.24 0.265 0.252 0.259 0.261 0.26 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人生肖相同”的概率（精确到0.01）大约是（ ） A. 0.24 B. 0.25 C. 0.26 D. 0.27 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识：在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就是事件发生的概率．根据表格中的数据解答即可． 【详解】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人生肖相同”的概率大约是0.26． 故选C． 10. 开窗通风是日常生活中保持室内空气流通的一种方法，图①是平开窗的打开实物图，图②是平开窗打开的效果图，此时，窗户打开了，窗户底边长是60，则这扇窗户底边端点A扫过区域的轨迹长（弧长）是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，根据弧长公式求解即可，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：这扇窗户底边端点A扫过区域的轨迹长（弧长）为： ， 故选：C． 11. 小妍同学在翻阅《九章算术》时，看到这样一个问题：“今有二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意为：甲、乙两人各有钱若干，若乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50；若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50，问甲、乙原本各有多少钱？ 为解决这个问题，小妍设甲原有x钱，乙原有y钱，可以得到方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据“乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50；若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50”可以列出相应的方程组． 【详解】解：设甲、乙两人持钱的数量分别为，， 列方程组为 ， 故选：C． 12. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（m为实数）在的范围内有解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点， 二次函数的性质，先利用抛物线的对称轴方程求出得到抛物线解析式，配方得到抛物线的顶点坐标，再结合函数图象，利用抛物线解析式与直线在的范围内有公共点可确定的范围，把解关于的一元二次方程转化为求二次函数与直线的交点坐标问题是解题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， 解得， 抛物线解析式为， 抛物线的顶点坐标为， 当时，；当时，， 关于的一元二次方程在的范围内有解， 抛物线与直线在的范围内有公共点， ． 故选：C． 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 化简的结果是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，根据平方差公式和约分的方法即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点O作的垂线交于点E，连接DE．已知的周长是9cm，则平行四边形的周长是________cm． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的判定与性质，根据题意得出为边的垂直平分线是解题的关键． 由平行四边形对角线互相平分和可知，由的周长是9cm，即可推到出，即可解答． 【详解】解：在平行四边形中 ， ∵， ∴， ∴， ∵的周长是9cm， ∴， ∴． 故答案为18． 15. 如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想成为解题的关键．从函数图象的角度看，就是确定直线在上方部分对应x的取值范围即可该不等式的解集． 【详解】解：把代入，得：，解得：， ∴直线与直线交于点， 当时，则． 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，点F为边的中点，点E在边上，连接，两线段交于点G，过点G作交于点H，若，，，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、正切的定义、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键．由矩形的性质以及中点的定义可得，即，进而得到；再根据正切的定义可得，，再运用勾股定理得到；如图：过G作垂直于I，则，易得，设，则，再证，运用相似三角形的性质列比例式可得，即，则，易得、；在和中运用勾股定理可得①；同理可得：②；最后联立即可解答． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵点F为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得： ， ∴， ∴ 如图：过G作垂直于I，则 ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴，， 如图：连接， 设，则， 在中，， 在中，， ∴①； 同理可得：②； ①②联立可得：，（已舍弃负值）． 故答案为：． 三、解答题：本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）请从以下5个式子中，任选3个式子进行减法运算： ① ② ③ ④ ⑤ （2）解分式方程：． 【答案】（1），见解析；（2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和解分式方程，熟练掌握运算法则和分式方程的解法是关键． （1）选取合适的数值进行计算即可； （2）去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可． 详解】（1）解：若选①，③，⑤， 则； （2） 解：方程两边都乘以，得 ， ， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的根． 18. 如果用眼不科学，坐姿不正确，就容易导致视力下降．经调查发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片的焦距x（米）是反比例函数关系，图象如图所示： （1）写出这一函数表达式； （2）小妮原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0.25米，求小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了多少度？ 【答案】（1）（） （2）增加了200度 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用； （1）设函数表达式为，把，代入计算即可； （2）将代入解析式计算即可． 【小问1详解】 解：设函数表达式为， 把，代入上式，得， 故所求函数的表达式为． 【小问2详解】 解：将代入（），得， （度）， 答：小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了200度． 19. 某市中考改革后，将地理、生物两个科目纳入等级考试，等级分为A，B，C，D四个等级．规定：这两科考试成绩均达到B等级及以上可以报考省级示范性高中；两科考试成绩均达到C等级及以上可以报考一般普通高中．某校为了解本届八年级学生地理、生物的成绩情况，组织了这两科目的模拟考试，并从八年级学生中随机抽取了12名学生的两科考试成绩制作了如下的统计图．根据这些信息，解答下列问题： （1）被抽取的12名学生中，某学生的生物模拟考试成绩为95分，则该生的地理模拟考试成绩为________分； （2）根据历届成绩分析，地理成绩达65分及以上能评定为B等级及以上，生物成绩达70分及以上能评定为B等级及以上．该校本届八年级共有学生480人，请估计该校能报考省级示范性高中的学生人数； （3）小沐同学在本次模拟考试中两科成绩均高于95分，爸爸想奖励带她去看两场电影，但是目前只有四部电影上映（依次记为a，b，c，d），于是爸爸将四张完全相同的卡片分别写上a，b，c，d，背面朝上洗匀放好，要求小沐从中随机抽取两张卡片．请用列表或画树状图的方法，求小沐抽到的两张卡片恰好是a和c的概率． 【答案】（1）80 （2）280人 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，折线统计图以及样本估计总体． （1）生物模拟考试成绩为95分的是4号同学，他的地理模拟考试成绩为80分； （2）分别求得地理成绩未达65分及以上的是2、3、6号同学，生物成绩未达70分及以上的是6、7、9号同学，再利用样本估计总体，即可求解； （3）列表得出所有等可能的结果数以及小沐抽到的两张卡片编号恰好是a和c的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：生物模拟考试成绩为95分的是4号同学，他的地理模拟考试成绩为80分； 故答案为：80； 【小问2详解】 解：地理成绩未达65分及以上的是2、3、6号同学， 生物成绩未达70分及以上是6、7、9号同学， 则不能能评定为B等级及以上的是2、3、6、7、9五位同学， ∴（人）； 答：该校能报考省级示范性高中的学生人数约为280人； 【小问3详解】 解：列表如下： 第二张 第一张 a b c d a （a，b） （a，c） （a，d） b （b，a） （b，c） （b，d） c （c，a） （c，b） （c，d） d （d，a） （d，b） （d，c） 一共有12种等可能的结果，其中抽到两张卡片恰好是a和c的可能有2种， ∴P（两张卡片恰好是a和c）． 20. 如图，在四边形中，，点F，点E分别在边上，连接，若，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）54 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理，证明四边形是矩形是解题的关键． （1）证明四边形是平行四边形，求出，即可证明结论成立； （2）根据矩形的性质得到是直角三角形，再根据勾股定理求出答案即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴ 21. 每年的4月23日是“世界读书日”，某校为了让学生学会读书，爱上读书，准备购进一批心理学书籍和科技类书籍放在学校和班级的图书馆及图书角里，其中购买3本心理学书籍和4本科技类书籍共需240元，购买6本心理学书籍和5本科技类书籍共需390元． （1）求心理学书籍和科技类书籍的单价各是多少元？ （2）若该校想要购进心理学书籍和科技类书籍共80本，要求心理学书籍不低于50本，设购买心理学书籍a本，付款金额为w元，请求出w与a的表达式，并求当a为多少本时，w有最小值，最小值是多少元？ 【答案】（1）心理学书籍的单价是40元，科技类书籍的单价是30元 （2）当本时，w有最小值为2900元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的实际应用； （1）设心理学书籍的单价是x元，科技类书籍的单价是y元，根据“购买3本心理学书籍和4本科技类书籍共需240元，购买6本心理学书籍和5本科技类书籍共需390元”列方程组求解即可； （2）根据题意求出w与a的表达式，再利用一次函数的性质求最小值即可． 【小问1详解】 解：设心理学书籍的单价是x元，科技类书籍的单价是y元， 根据题意，得 解这个方程组，得 答：心理学书籍的单价是40元，科技类书籍的单价是30元． 【小问2详解】 解：由题意得，， 即（）， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当本时，w有最小值，最小值（元）． 22. 某学习小组成员对无人机烟花（如图①）绽放高度非常感兴趣，开展了“测量无人机烟花绽放高度”的实践活动．如图②，已知一无人机烟花在A点绽放，测角仪在D处测得无人机烟花绽放点A的仰角为，在F处测得无人机烟花绽放点A的仰角为．点E，C在同一水平地面上，线段均与地面垂直，，． （参考数据：，，．） （1）过点A作于点B，连接交于点G，若，则________m（用含x的代数式表示）． （2）在（1）的条件下，求无人机烟花绽放点A离地面的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，利用相应的三角函数求解是解题关键． （1）根据题意利用正切函数即可得出结果； （2）根据题意得出，，，然后利用三角函数求解即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，线段均与地面垂直， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 由题意得，，，， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， 答：无人机烟花绽放点A离地面高度为． 23. 等分圆是指将一个圆周均匀分割成多个相同长度的弧段，每个弧段对应的圆心角相等．小南学习了等分圆后，尝试着编了一道题：如图，已知的半径长为2，点A，B，C，D，E，F将六等分，连接，，，，发现恰好过圆心O，过点C作的垂线，交的延长线于点G，连接． （1）________°； （2）在（1）的结论下，求的长； （3）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）90 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据点A，B，C，D，E，F将六等分，可得，圆周角定理得出，证出，结合，可得，即可得； （2）如图，连接，，根据被六等分，得出，证明是一个等边三角形，得出，，求出，，在中，求出．在中，勾股定理即可求解． （3）由（2）知，是一个边长为2的等边三角形，得出的高为，求出，在中，求出，即可求出，，最后根据求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，， ∵被六等分， ∴， ∵， ∴是一个等边三角形， ∴， ∵的半径长为2， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴在中，． 在中，． 【小问3详解】 解：由（2）知，是一个边长为2的等边三角形， ∴的高为， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了圆周角定理，平行线的性质和判定，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，以及扇形面积公式等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 24. 如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点，若点B的坐标为，点D是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． （1）求二次函数的表达式： （2）连接，过点D作轴于点E，交线段于点F，当点D运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点D的坐标和的最大值； （3）连接，若关于y轴的对称图形是，是否存在点D，使得四边形为菱形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点D的坐标为时，的最大值为4 （3）点D的坐标是 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设，由待定系数法求出直线的表达式为，则，列出关于函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）连接，交于点M，设点，由菱形的性质得，从而，解方程即可求解． 【小问1详解】 将，分别代入， 得 解这个方程组，得 所以二次函数的表达式为． 【小问2详解】 设， 由，，可得直线的表达式为， 则， ∴ 当时，， 故点D的坐标为时，的最大值为4． 【小问3详解】 存在，理由如下： 如图，连接，交于点M， 设点， 若四边形为菱形， 则，， ∴， ∴，即， 解得， ∵点D在第一象限， 故当点D的坐标是时，四边形为菱形． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数与几何综合，以及菱形的性质，数形结合是解答本题的关键． 25. （1）【试题改编】小聪同学将教材习题进行了如下改编：如图①，四边形是正方形，是一个等边三角形，连接，则________°； （2）【深入探索】小悦同学接着小聪同学所编的题目继续进行改编：如图②，点E在正方形内部，且是一个等边三角形，此时发现点E恰好在AF上，提出问题：你能证明吗？ （3）【能力升华】老师看到小聪和小悦编的题后，非常高兴，稍作思考，也提出一个问题：在正方形中，点E在正方形内部，且是一个等边三角形，以为边作等边三角形，连接，直接写出的值． 【答案】（1）15；（2）见解析；（3）1或 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，正确进行分类讨论是解答本题的关键． （1）由已知得，，，从而得，根据等边对等角和三角形内角和定理可得结论； （2）由已知根据正方形和等边三角形的性质得，，从而在中运用勾股定理得即可得出结论； （3）根据分类讨论：点在正方形的外部，点在正方形的内部求解即可． 【详解】解：（1）在正方形中，，； ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）能证明， 证明：在正方形中，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ∴； （3）若点在正方形的外部，由（2）知：， 过点作于点，如图， ， 则， 在正方形中，，， 在等边中，，， ∴，， 在中， ，， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴； 若点在正方形的内部， 同理得， ∴， 同理可得， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 综上，的值为或1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$