重难点突破1.1 幂的运算（4知识梳理+10题型解读+拓展训练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（湘教版2024）

重难点突破1.1 幂的运算（4个知识梳理+10题型解读+拓展训练） 知识梳理 知识01 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 知识02 幂的乘方 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1）幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 知识03 积的乘方 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 题型解读 【题型一 同底数幂相乘】 【例1】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知，则的值是（　　） A．9 B．27 C． D． 【变式训练1】（2025七年级下·湖南长沙·专题练习） ． 【变式训练2】（24-25七年级下·山东菏泽·阶段练习）下列等式中正确的个数是（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，，，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A． B． C． D． 【变式训练4】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（为正整数）． 【题型二 同底数幂相乘的逆用】 【例2】（24-25八年级上·全国·单元测试）若，则 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·广东清远·期中）已知，，则（    ） A． B．6 C．8 D．2 【变式训练2】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知，，则的值为 ． 【变式训练3】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若，，则 ． 【变式训练4】（23-24七年级下·江苏宿迁·课后作业）（1）已知，，求的值． （2）已知，求． 【题型三 幂的乘方】 【例3】（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）计算的结果为（  ） A． B． C． D．0 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（23-24七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式训练3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知，则为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式训练4】51．（24-25七年级下·江苏常州·期中）（1）若，写出、、之间的数量关系，并说明理由； （2）已知，求的值． 【题型四 幂的乘方的逆用】 【例4】（23-24七年级下·全国·课后作业）（）若，则 ；若，则 ． （）若，则 ． 【变式训练1】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）已知，m，n为正整数，则的值为 （用含有a、b的式子表示）． 【变式训练2】（24-25八年级上·北京·期中）如果，，那么 ． 【变式训练3】（24-25七年级下·广东梅州·阶段练习）若m，n均为正整数且 ，则的值为 ． 【变式训练4】（24-25七年级下·江苏常州·期中）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【题型五 积的乘方】 【例5】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式训练1】（2024七年级下·江苏宿迁·专题练习）若成立，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知，则的值为 ． 【变式训练3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练4】5．（24-25七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值．其中． 【题型六 积的乘方的逆用】 【例6】6．（24-25七年级下·陕西西安·期中）数学是一门纯粹的学科，它的魅力在于它所呈现的和谐、规律和无限．老师带领同学们一起探索“数学之美”，他们发现： ； ． 总结规律，解答下列问题． (1)__________，__________． (2)计算：． 【变式训练1】（24-25七年级下江苏泰州·期末）计算的值等于（   ） A．4 B． C．5 D． 【变式训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）若，，则可以表示为 【变式训练3】（2025七年级下·全国·专题练习）若，则 （填“”“”或“”）． 【变式训练4】26．（23-24八年级上·山西晋城·期中）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． (1)若，，请你也利用逆向思考的方法求出的值． (2)下面是小宇用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小宇的方法解答下面的问题： 小宇的作业 计算：． 解：． ①小宇的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式：________． ②计算： 【题型七 比较幂的大小】 【例7】（24-25七年级下·陕西西安·期中）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化成同底数（或指数）幂，进行比较，如：比较与的大小，因为，，所以，即． (1)比较，的大小； (2)比较，，的大小． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）比较、、的大小（    ） A．B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）已知，，则a，b，c的大小关系为 （用“”连接）． 【变式训练3】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）设，，，试比较a、b、c的大小． 【变式训练4】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）某同学在比较，的大小时，发现，都是的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：因为，， 所以， 请根据上述解题思路完成下题： 若，，试比较，的大小． 【题型八 利用幂的运算解决新定义题型】 【例8】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m，n为正整数），类似我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，比如，则，若，那么的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)若运算的结果为，求的值； 【变式训练2】（24-25七年级下·江西九江·阶段练习）在学习同底数幂的乘法后，类似的，我们规定关于任意整数，的一种新运算，即：，且，以及的值都不等于．请根据这种新运算解决下列问题： (1)求证； (2)若，则求的值． 【变式训练3】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 【变式训练4】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新计算，若，记做，例如：因为，所以 (1)根据上述规定，填空： ①若，则_______； ②若，则_______； (2)若，，，求c的值． 【题型九 对不同的底数进行换底计算】 【例9】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若（且，m，n是正整数），则．试利用该结论求x的值：． 【变式训练1】（24-25七年级下·福建·期中）已知，则的值为 ． 【变式训练2】（23-24八年级上·甘肃武威·期中）已知，，则 【变式训练3】（12．（2025·吉林·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式训练4】（2025·湖南岳阳·一模）若（且是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求x的值． (2)若，，用含x的代数式表示y． 【题型十 幂的运算中用一个字母表示另一个字母】（） 【例10】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）若，是正整数，且满足，则用含的关系式表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级下·浙江·期中）如果，（为整数），那么用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）若，，则与满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 【变式训练4】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）在幂的运算中规定：若（且是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，用含m的代数式表示n． 拓展训练 一、选择题 1、（24-25七年级下·河北张家口·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2、（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3、（24-25七年级下·福建三明·期中）若，是正整数，且满足，则正确的是（   ） A． B． C． D． 4、（24-25七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5、（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若的运算结果为S，则S不能被下列哪个数整除（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 2、 填空题 6、（24-25七年级下·广西贵港·阶段练习）已知，，则的值是 ． 7、（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习） 33．若，则 ． 8、（24-25八年级上·全国·阶段练习）若，则n的值是 ． 9、（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若，则代数式xy与之间关系是 ． 10、（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，，，则 ． 3、 解答题 11、（24-25八年级上·北京西城·期中）（1）计算：；             （2）计算：； （3）计算：；                     （4）计算：． 12、（24-25八年级上·四川绵阳·期中）（1）已知，，求的值． （2）计算：． 13、（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）计算： (1)； (2)已知n为正整数，且，求的值． 14、（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）“整体思想”在数学运算中有着重要的作用：请解决以下问题： (1)以下是小明计算的过程． 解：原式① ．② 小明的计算过程是从第_____步开始出现错误（填序号），请写出正确的过程． (2)若，求的值． 15、（2024七年级下·全国·专题练习）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，，用含m的代数式表示n． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点突破1.1 幂的运算（4个知识梳理+10题型解读+拓展训练） 知识梳理 知识01 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 知识02 幂的乘方 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1）幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 知识03 积的乘方 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 题型解读 【题型一 同底数幂相乘】 【例1】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知，则的值是（　　） A．9 B．27 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则结合整体代入法，进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式训练1】（2025七年级下·湖南长沙·专题练习） ． 【答案】 【分析】本题考查了乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据乘方以及同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级下·山东菏泽·阶段练习）下列等式中正确的个数是（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘，根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：①，故原选项计算错误，不符合题意； ②，故原选项计算错误，不符合题意； ③，故原选项计算错误，不符合题意； ④，故原选项计算正确，符合题意； 综上所述，正确的有1个， 故选：A． 【变式训练3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，，，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则及性质是解题的关键． 根据可得，再根据同底数幂的乘法可得出结论． 【详解】解：，，， ， 即：， ， ， ， ， 故选：A． 【变式训练4】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（为正整数）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键 （1）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解； （2）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解； （3）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解； （4）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【题型二 同底数幂相乘的逆用】 【例2】（24-25八年级上·全国·单元测试）若，则 ． 【答案】72 【分析】此题考查了同底数幂的乘法的逆运算，绝对值的非负性，解题的关键是掌握以上运算法则．首先得到，，然后根据同底数幂的乘法的逆运算求解即可． 【详解】∵， ∴，， ∴． 故答案为：72． 【变式训练1】（23-24七年级下·广东清远·期中）已知，，则（    ） A． B．6 C．8 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用．熟练掌握同底数幂乘法的逆用是解题的关键． 根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：A． 【变式训练2】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知，，则的值为 ． 【答案】32 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的运算性质，根据给定条件，利用同底数幂的乘法法则计算作答． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：32． 【变式训练3】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若，，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法逆用，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法的逆运算解答即可； 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：6． 【变式训练4】（23-24七年级下·江苏宿迁·课后作业）（1）已知，，求的值． （2）已知，求． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （2）根据同底数幂的乘法运算的逆用求解即可． 【详解】（1）因为，， ． （2）因为， 所以， 所以， 解得． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算及其逆运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【题型三 幂的乘方】 【例3】（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）计算的结果为（  ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】此题考查了幂的乘方计算法则，整式的混合运算，正确掌握计算法则是解题的关键． 根据幂的乘方计算法则去括号，再计算加减法． 【详解】解：， 故选：D． 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方，合并同类项，同底数幂相乘，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据幂的乘方，合并同类项，同底数幂相乘等知识点逐项判断即可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确； 故选：D． 【变式训练2】（23-24七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查幂的乘方，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方，底数不变，指数相乘解题； （2）根据幂的乘方，底数不变，指数相乘解题； （3）根据幂的乘方，底数不变，指数相乘解题； （4）先运算幂的乘方，然后运算同底数幂的乘法解题； （5）根据幂的乘方，底数不变，指数相乘解题； （6）先运算幂的乘方，然后运算同底数幂的乘法解题． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【变式训练3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知，则为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】本题考查幂数的乘方运算法则，解题的关键是将进行变形，使其符合的形式，从而确定的值． 对进行指数变形，然后找出与形式对应的． 【详解】解：对进行变形，根据指数运算法则，可得， 因为，所以， 已知，即， 所以， 故选：B． 【变式训练4】51．（24-25七年级下·江苏常州·期中）（1）若，写出、、之间的数量关系，并说明理由； （2）已知，求的值． 【答案】（1），理由见解析；（2） 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂相乘，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将式子变形为，结合同底数幂相乘的法则可得，即可得解； （2）将式子变形为，结合同底数幂相乘的法则可得，推出，解方程即可得解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型四 幂的乘方的逆用】 【例4】（23-24七年级下·全国·课后作业）（）若，则 ；若，则 ． （）若，则 ． 【答案】 【分析】（）利用幂的乘方的逆运算法则计算即可求解； （）由同底数幂的乘法运算法则可得，进而利用幂的乘方的逆运算法则计算即可求解； 本题考查了幂的运算，掌握幂的乘方的逆运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （）∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练1】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）已知，m，n为正整数，则的值为 （用含有a、b的式子表示）． 【答案】 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握幂的乘方以及同底数幂的乘法运算法则的逆耳用是解题的关键． 直接利用幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则以及它们运算法则的逆用计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【变式训练2】（24-25八年级上·北京·期中）如果，，那么 ． 【答案】30 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算、同底数幂的乘法逆运算，先根据幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法逆运算求得，，再求和即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：30． 【变式训练3】（24-25七年级下·广东梅州·阶段练习）若m，n均为正整数且 ，则的值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，关键是综合应用幂的法则进行有目的的转化． 通过幂的法则转化列出m、n的方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ， ∴， 故答案为：11． 【变式训练4】（24-25七年级下·江苏常州·期中）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)73 (2)576 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得； （2）根据幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用可得，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 【题型五 积的乘方】 【例5】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用积的乘方法则计算即可； （2）利用幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂乘法及除法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练1】（2024七年级下·江苏宿迁·专题练习）若成立，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方，熟练掌握积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键．利用积的乘方与幂的乘方运算法则可得，再根据各字母的指数相等得到，，对两方程求解即可得出答案． 【详解】解：，， ， ，， 解得：，． 故选：A． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知，则的值为 ． 【答案】1025 【分析】先化简，再逆用幂的乘方，进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：1025． 【点睛】本题考查积的乘方，幂的乘方，以及代数式求值．熟练掌握积的乘方，幂的乘方运算，是解题的关键． 【变式训练3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方等知识点，掌握运用幂的运算法则成为解题的关键． （1）直接运用积的乘方法则计算即可； （2）直接运用积的乘方和幂的运算法则计算即可； （3）直接运用积的乘方和幂的运算法则计算即可； （4）直接运用积的乘方和幂的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【变式训练4】5．（24-25七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值．其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的化简求值，根据幂的乘方，积的乘方，单项式乘以单项式法则化简，然后合并同类项化成最简，然后把代入求值即可，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 【题型六 积的乘方的逆用】 【例6】6．（24-25七年级下·陕西西安·期中）数学是一门纯粹的学科，它的魅力在于它所呈现的和谐、规律和无限．老师带领同学们一起探索“数学之美”，他们发现： ； ． 总结规律，解答下列问题． (1)__________，__________． (2)计算：． 【答案】(1)1； (2) 【分析】本题考查积的乘方运算规律的应用，解题的关键是观察所给示例，总结出这一规律并灵活运用。 （1）利用总结的规律计算，并归纳的结果。 （2）通过对原式变形，使其符合积的乘方规律进行简便计算。 【详解】（1）解：， ， 故答案为：1；； （2）解：原式． 【变式训练1】（24-25七年级下江苏泰州·期末）计算的值等于（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查积的乘方，同底数幂相乘，解答的关键是掌握积的乘方，同底数幂相乘法则的逆用． 先逆用同底数幂相乘将化成，再逆用积的乘方法则计算，即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）若，，则可以表示为 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方法则是解题关键．将改写成，再计算积的乘方即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式训练3】（2025七年级下·全国·专题练习）若，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是积的乘方和幂的乘方，掌握积的乘方法则和幂的乘方法则是解题的关键． 根据题意得到①，②两式相乘即可得到答案． 【详解】解：∵， ①， 又， ②， 得到，， 即， 故． 故答案为：． 【变式训练4】26．（23-24八年级上·山西晋城·期中）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． (1)若，，请你也利用逆向思考的方法求出的值． (2)下面是小宇用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小宇的方法解答下面的问题： 小宇的作业 计算：． 解：． ①小宇的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式：________． ②计算： 【答案】(1)4 (2)①；②0.25 【分析】此题考查了积的乘方、同底数幂的乘法、幂的乘方等运算法则，熟练掌握公式的逆用是解题的关键． （1）运用逆用同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式进行计算即可； （2）①根据题意得到是逆用积的乘方，写出公式即可；②逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）①．   ② ． 【题型七 比较幂的大小】 【例7】（24-25七年级下·陕西西安·期中）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化成同底数（或指数）幂，进行比较，如：比较与的大小，因为，，所以，即． (1)比较，的大小； (2)比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的乘方法则是解题的关键． （1）转化为同底数幂，，然后比较指数即可； （2）转化为同指数，，，然后比较底数即可． 【详解】（1）解：，， ， ． （2）解：，，， ， ， ． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）比较、、的大小（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运用，根据，整理得，，，再比较底数的大小，即可作答． 【详解】解：依题意，，，， ∵， ∴， 故选：C 【变式训练2】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）已知，，则a，b，c的大小关系为 （用“”连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方，将，，全部化成以为底数的指数幂，再比较即可得出答案，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解：； ； ； ， ； 即． 故答案为：． 【变式训练3】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）设，，，试比较a、b、c的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方以及有理数大小比较，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 根据幂的乘方逆运算把它们化为指数相同的幂，再比较大小即可． 【详解】解：∵a、b、c均是正数， ， ， ， 而， ∴． 【变式训练4】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）某同学在比较，的大小时，发现，都是的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：因为，， 所以， 请根据上述解题思路完成下题： 若，，试比较，的大小． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，有理数大小比较，理解例题的解题方法是解题的关键．按照例题的解题方法，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 【题型八 利用幂的运算解决新定义题型】 【例8】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m，n为正整数），类似我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，比如，则，若，那么的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式混合运算，同底数幂的乘法，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，掌握乘方的意义．根据分别求出和，根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：，， ， 故选：C． 【变式训练1】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)若运算的结果为，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂乘法的逆运算，正确理解利用新运算规则是解题的关键． （1）根据新运算规则计算，即可求解； （2）根据新运算规则原式可变形得出，根据题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解： ∵ ∴ ∴ ∴ 【变式训练2】（24-25七年级下·江西九江·阶段练习）在学习同底数幂的乘法后，类似的，我们规定关于任意整数，的一种新运算，即：，且，以及的值都不等于．请根据这种新运算解决下列问题： (1)求证； (2)若，则求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查新定义下对同底数幂的乘法法则的应用，解题的关键是正确理解题意，准确计算． （1）令，根据，即可证明； （2）根据新定义，将变形，得，可得进而可求的值． 【详解】（1）证明：令，，可得：， 又， 故等式左右两边同时除以得：． （2）解：， 而 ， ． 【变式训练3】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算、幂的乘方、积的乘方、整体代入法求代数式的值．首先根据规定的新运算可得，从而可得：，根据幂的乘方和积的乘方的运算法则整理可得：，然后再整体代入计算可得原式． 【详解】解：， ， ． 故答案为： ． 【变式训练4】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新计算，若，记做，例如：因为，所以 (1)根据上述规定，填空： ①若，则_______； ②若，则_______； (2)若，，，求c的值． 【答案】(1)9； (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方，幂的乘方的逆运算．根据题意得，，是解题的关键． （1）根据有理数的乘方和新定义即可得出答案． （2）由题意得，，，从而即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 故答案为：9； ②∵，即， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴，，， 则． 【题型九 对不同的底数进行换底计算】 【例9】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若（且，m，n是正整数），则．试利用该结论求x的值：． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、解一元一次方程，根据同底数幂相乘以及幂的乘方的运算法则将式子变形为，结合题意得出，解方程即可得解． 【详解】解：∵， ∴由题意可得：， ∴． 【变式训练1】（24-25七年级下·福建·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方，根据代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】（23-24八年级上·甘肃武威·期中）已知，，则 【答案】675 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用，由可得出，然后根据同底数幂乘法的逆用代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：675 【变式训练3】（12．（2025·吉林·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，将变形为，化简计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式训练4】（2025·湖南岳阳·一模）若（且是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求x的值． (2)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用； （1）把左边都换成以为底数的幂，再根据底数相同指数相等列方程计算即可； （2）根据计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴． 【题型十 幂的运算中用一个字母表示另一个字母】（） 【例10】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）若，是正整数，且满足，则用含的关系式表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 化简得到，即可解答． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 【变式训练1】（24-25七年级下·浙江·期中）如果，（为整数），那么用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方及其逆运算，掌握计算公式并灵活运用是解题的关键． 先将化为，再由幂的乘方及其逆运算将化为，再代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）若，，则与满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方的运算，幂的乘方，正确推出，是解题的关键．先求出，则，再推出，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选A． 【变式训练3】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方，解一元一次方程，用含x的代数式表示y等． （1）将式子变形得，再对应相等即可得到本题答案； （2）将变形为，继而得到，后移项计算即可； （3）根据题干可得，再代入可得，再展开整理即可． 【详解】（1）解：∵，即：， ∴，即：； （2）解：变形为：，即：， ∴，即：，，解得：； （3）解：∵，即：， ∵，即：， ∴． 【变式训练4】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）在幂的运算中规定：若（且是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，用含m的代数式表示n． 【答案】(1)3 (2)2 (3) 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用幂的乘方的法则进行运算即可； （2）利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可； （3）利用幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ 拓展训练 一、选择题 1、（24-25七年级下·河北张家口·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方以及积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算出各项的结果，再进行判断即可． 【详解】解：A．，计算正确，符合题意； B．，故原选项错误，不符合题意； C．，故原选项错误，不符合题意； D．，故原选项错误，不符合题意； 故选：A． 2、（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方．根据幂的乘方将，转化为，求得，利用同底数幂的乘法将，转化为，求得，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 3、（24-25七年级下·福建三明·期中）若，是正整数，且满足，则正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘方，由，知，即，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则， 故选：D． 4、（24-25七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算、同底数幂的乘法，首先逆用同底数幂的乘法法则，得到原式，再提公因数得到，经计算得到结果． 【详解】解： ． 故选：B． 5、（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若的运算结果为S，则S不能被下列哪个数整除（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，以及积的乘方，根据法则进行计算即可； 【详解】解：原式= 故原式可以被5，7，9整除． 故选：D ． 2、 填空题 6、（24-25七年级下·广西贵港·阶段练习）已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可得到答案． 【详解】解：． 故答案为：． 7、（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习） 33．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘法的逆运算，熟练掌握运算法则是解题关键； 先将变形为，再进行计算即可． 【详解】解： 故答案为： ． 8、（24-25八年级上·全国·阶段练习）若，则n的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算及同底数幂相乘的逆运算，根据及求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 即：， ∴，解得：， 故答案为：4． 9、（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若，则代数式xy与之间关系是 ． 【答案】 【分析】由条件可得可得而从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 而 ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，积的乘方的逆运算，掌握“利用幂的运算与逆运算进行变形”是解本题的关键． 10、（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法的逆用，根据积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法的运算法则推出，从而得到，即可求出结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 3、 解答题 11、（24-25八年级上·北京西城·期中）（1）计算：；             （2）计算：； （3）计算：；                     （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘法则即可求解； （2）根据积的乘方化简后，再根据同底数幂的乘法法则计算即可； （3）根据幂的乘方化简后，再根据同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则计算即可； （4）根据积的乘方的逆运算即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 12、（24-25八年级上·四川绵阳·期中）（1）已知，，求的值． （2）计算：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据已知可得得出，即可求解； （2）根据幂的运算法则进行计算，最后合并，即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∴； （2） ． 13、（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）计算： (1)； (2)已知n为正整数，且，求的值． 【答案】(1) (2)56 【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）先根据同底数幂乘法的逆运算法则和积的乘方的逆运算法则把原式变形为，再计算求解即可； （2）先根据幂的乘方计算法则求出，再把所求式子通过积的乘方计算法则得到，据此代值计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴，， ∴ ∴ ． 14、（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）“整体思想”在数学运算中有着重要的作用：请解决以下问题： (1)以下是小明计算的过程． 解：原式① ．② 小明的计算过程是从第_____步开始出现错误（填序号），请写出正确的过程． (2)若，求的值． 【答案】(1)①，过程见解析 (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的运算公式的逆用等； （1）化为同底数后进行运算，即可求解； （2）由同底数幂的乘法及幂的乘方公式的逆用得，即可求解； 能熟练利用幂的运算公式的逆用及整体思想进行运算是解题的关键． 【详解】（1）解：小明的计算过程是从第①步开始出现错误， 原式 ； （2）解：， ， ， ， ， 解得：． 15、（2024七年级下·全国·专题练习）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，，用含m的代数式表示n． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方计算及其逆运算： （1）根据幂的乘方的逆运算法则和幂的乘方计算法则得到，再根据题意求解即可； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则和幂的乘方的逆运算法则得到，进而得到再根据题意求解即可； （3）先求出，，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$