重难点突破1.2 整式的乘法（3知识梳理+10题型解读+15拓展训练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（湘教版2024）

重难点突破1.2 整式的乘法 （3知识梳理+10题型解读+15拓展训练） 知识梳理 知识01 单项式的乘法法则 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 【特别注意】： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤： ①积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值； ②相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算； ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 知识02 单项式乘多项式的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 【特别注意】： （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 知识03 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【特别注意】：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 题型解读 【题型一 计算单项式乘单项式】 【例1】（23-24七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，掌握单项式乘单项式的运算法则成为解题的关键． 利用单项式乘单项式的运算法则逐题解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式训练1】（2023·青海海东·二模）计算：（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据整式的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的乘法-单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘法中同底数相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了积的乘方及单项式乘单项式运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）利用单项式乘单项式法则进行计算即可； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式，最后合并即可； （3）先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法即可； （4）利用积的乘方逆运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式， ， ； （3）解：原式， ； （4）解：原式， ， ， ． 【变式训练3】（24-25七年级下·陕西汉中·阶段练习）表示，表示，求． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 【变式训练4】（23-24七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式乘法综合．熟练掌握单项式乘以单项式法则，同底数幂乘法的运算法则，幂的乘方的运算法则，积的乘方的运算法则，是解决问题的关键． （1）根据单项式乘以单项式运算法则得出即可； （2）应把与分别看成一个整体，那么此题也属于单项式的乘法，可以根据单项式乘以单项式运算法则以及同底数幂的乘法运算法则得出即可； （3）先根据积的乘方的法则与幂的乘方的法则计算，再根据单项式乘以单项式运算法则和同底数幂的乘法运算法则运算得出即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【题型二 利用单项式乘单项式求字母或代数式的值】 【例2】（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义： （1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：， ∵与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式． 【变式训练1】（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）单项式与单项式乘积的结果是一个9次单项式，则的值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘法，单项式的次数，熟练掌握单项式的乘法法则和单项式次数的定义是解题的关键．根据单项式的乘法法则，两个单项式的次数的和就是积的次数，即可列方程求解． 【详解】解：根据题意，， ， 故选：D． 【变式训练2】（23-24七年级下·全国·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，解二元一次方程组，先根据单项式乘以单项式的计算法则得到，则可得方程组，解方程组求出m、n的值，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 【变式训练3】（20-21八年级上·全国·课后作业）有理数x，y满足条件，求代数式的值． 【答案】192 【分析】由非负数的性质，得到方程组，然后求出x、y的值，即可求出代数式的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． ． 当，时， 原式． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，求代数式的值，绝对值的非负性，解题的关键是由非负性求出x、y的值，从而进行解题． 【变式训练4】（20-21七年级上·全国·课后作业）已知是关于，的三次单项式，且，求的值． 【答案】当时，原式；当时，原式． 【分析】先根据三次单项式，求得m，根据绝对值的意义求得n，再化简代数式求值． 【详解】解：由题意得 解得． ∵， ∴或． ， ∴当时，原式； 当时，原式． 【点睛】本题考查单项式的系数与次数，单项式的乘法，熟练掌握基础知识是关键． 【题型三 计算单项式乘多项式及求值】 【例3】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）计算． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，单项式乘以多项式是把单项式与多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加，解决本题的关键是根据单项式乘以多项式的法则进行计算． 【详解】解： ． 【变式训练1】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘以多项式以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案； （2）利用单项式乘以多项式运算法则以及单项式乘以单项式运算法则计算得出答案； （3）直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案； （4）利用单项式乘以多项式运算法则计算，再合并同类项得出答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式 ． 【变式训练2】（24-25八年级上·广东江门·期中）先化简后求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式及合并同类项，熟练掌握单项式乘以多项式及合并同类项是解题的关键．先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项，得到，再将代入计算，即得答案． 【详解】 ， 当时，原式． 【变式训练3】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）数学课上，王老师给学生出了一道题：当时，求的值．小明说：“不用给出的值就可以计算出结果．”小军说：“没有的值不能计算出结果．”你认为他们谁的说法正确，请说明理由． 【答案】小明说得对，理由见解析 【分析】本题考查了单项式乘多项式化简求值，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．先合并同类项，再根据结果判断即可． 【详解】解：小明说得对，理由如下： ． 因为化简结果中不含有，， 所以结果跟，的值无关， 故小明说得对． 【变式训练4】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解：原式 请你用上述方法解决问题：已知， (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（） 把转化为，再利用整体代入法计算即可； （）利用单项式乘以多项式的乘法法则展开，再利用整体代入法计算即可； 本题考查了积的乘方的逆应用，单项式乘多项式，掌握积的乘方的逆应用是解题关键． 【详解】（1）解：； （2）解： ， ， ， ， ． 【题型四 单项式乘法的应用】 【例4】（24-25七年级上·上海·阶段练习）长方形内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度变化时，按照同样的方式放置，始终不变，则，应满足 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的运算，得到图形中的关系是解题的关键． 对图形进行点标注，则左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为，再结合图形信息表示出；然后根据面积公式求出面积差，根据始终保持不变，即可得到、满足的关系式． 【详解】解：对图形进行点标注，如图所示： 左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为， ，即，， ，即， 阴影部分面积之差， 因为当的长度变化时，按照同样的方式放置，始终不变，故， 即； 故答案为： 【变式训练1】（19-20八年级上·吉林长春·阶段练习）光速约为米/秒，太阳光射到地球上的时间约为秒，地球与太阳的距离约是多少米？ 【答案】地球与太阳的距离大约是1.5×1011米. 【分析】根据距离=速度×时间即可求解. 【详解】依题意地球与太阳的距离约是（）×（）=15×1010 =1.5×1011 故地球与太阳的距离大约是1.5×1011米. 【点睛】此题主要考查整式乘法的应用，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则. 【变式训练2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）小李家住房结构如图所示，他打算把卧室和客厅铺上木制地板． (1)列式计算说明小李需要买多少平方米的木制地板．（x、y单位：米） (2)若米，米时，并且每平方米木地板的价格是190元，则他需要花费多少元钱？ 【答案】(1)小明至少需要买平方米的木制地板 (2)他至少需要准备11400元钱 【分析】本题考查的是代数式的知识，根据长方形的面积公式正确的写出代数式是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式用字母列式即可得到答案； （2）由（1）可得需要木地板的代数式，将代入之后再乘以190计算即可． 【详解】（1）解：由图中可知，卧室的宽为，长为，客厅的长为，宽为， 所以小李至少需要买木地板：平方米， 答：小明至少需要买平方米的木制地板． （2）解：由（1）可知小李需要买平方米的地板， 当时，平方米， 元， 答：他至少需要准备11400元钱． 【变式训练3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知一个大长方形中被剪去两个小长方形，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查列代数式及整式加减运算的应用，用代数式表示出大长方形和两个小长方形的面积，则阴影部分的面积等于大长方形的面积减去两个小长方形的面积． 【详解】解：观察图形可知：大长方形的长，宽， 上面小长方形的长，宽， 下面小长方形的长，宽， 因此大长方形的面积为：， 上面小长方形的面积为， 下面小长方形的面积为， 故阴影部分的面积为． 故答案为：． 【变式训练4】（24-25七年级上·广西贵港·期中）如图，边长分别为的两个正方形并排放置， (1)求出图中阴影部分的面积（用含的式子表示）； (2)当，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项： （）根据进行计算即可； （）把代入求值即可． 【详解】（1） ； （2）解：当时， ． 【题型五 计算多项式乘多项式及其应用】 【例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可； （3）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式训练1】（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片的张数为（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形的面积，熟练掌握运算法则以及数形结合思想是解题的关键． 先根据多项式乘多项式的法则计算，再求出A类、B类C类卡片的面积，即可得出C类卡片的张数． 【详解】解： ， ∵A类卡片的面积是，B类卡片的面积是，C类卡片的面积是， ∴拼拼一个长为，宽为的大长方形需要C类卡片5张． 故本题选：B． 【变式训练2】（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）下面是小明的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 任务： (1)运算从第 步开始出错，出现错误的原因是 ． (2)正确运算结果为 ． 【答案】(1)二；与相乘时，的指数没有相加 (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则． （1）根据多项式乘多项式的运算法则判断即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：运算从第二步开始出错，出现错误的原因是与相乘时，的指数没有相加， 故答案为：二；与相乘时，的指数没有相加； （2）解：， ， ， ， 故答案为：． 【变式训练3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，某市某小区计划在空地处规划一块带甬道的草坪（空白处为甬道，阴影部分为草坪），其中长方形场地的长：，宽：，两条甬道的宽分别为a，b，单位：米． (1)用含a、b的式子表示出草坪面积（结果化为最简形式）； (2)若，，求出草坪总面积． 【答案】(1) (2)81 【分析】本题主要考查整式乘除的应用，熟练掌握整式乘除运算法则是解题的关键． （1）根据题意表示出面积，再进行化简即可； （2）代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴草坪总面积为平方米． （2）解：当，时，原式， ∴草坪总面积为81平方米． 【变式训练4】（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题． 例：若，试比较的大小． 解：设， 则． ∵， ∴． 请利用上面的方法解答下列问题： 若，试比较的大小． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，设，用含的代数式表示出，比较大小即可． 【详解】解：设，则 ， ， ∴． 【题型六 (x+p)(x+q)型多项式乘法】 【例6】（23-24七年级下·广东清远·期末）计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． (1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为： ________； (2)运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； (3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 【答案】(1)，，，， (2)①；② (3)19，11，9，，， 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的法则即可得，然后总结规律即可； （2）根据上面的结果，归纳类推出一般规律即可得； （3）运用（1）的规律即可得． 【详解】（1）；； ；； ∴； （2）①； ②； （3）∵ ∴， ∵均为整数， ∴当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 综上所述，满足条件的k的值可以是19，11，9，，，． 、 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果中，含的项的系数为（   ） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键．根据多项式乘以多项式法则计算即可得． 【详解】解： ， 则计算的结果中，含的项的系数为， 故选：A． 【变式训练2】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）已知（，，是整数），则可能的值的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解答本题的关键． 根据多项式乘多项式的法则求得，，再进行分类讨论，从而得解． 【详解】解：， ，， 又，，是整数， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 故可能的值为个， 故选：C． 【变式训练3】（24-25八年级上·陕西西安·期末）红红学习完《多项式乘多项式》的知识后，打算练习习题巩固知识，请你帮红红解决下列问题： (1)如果，求和的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式， （1）先根据多项式乘多项式法则计算，然后根据求出，即可； （2）先根据多项式乘多项式法则计算，然后根据，求出、，然后把所求整式利用多项式乘多项式法则展开，再把和的值代入进行计算即可； 解题关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则． 【详解】（1）解：∵ ， 又∵， ∴，； （2）∵ ， 又∵， ∴，， ∴ ． 【变式训练4】（2025七年级下·全国·专题练习）图、图是两个长和宽分别相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据图、图的特征用不同的方法表示长方形的面积： 图的面积______， 图的面积____________． 由此可以发现关于字母的两个一次多项式（一次项系数为）相乘的计算规律，用数学式子表示是_________； (2)利用你所得的规律进行多项式乘法计算： ； ； ． 【答案】(1)；；；； (2)；；． 【分析】（）图的利用长宽即可求解，图的面积等于四个小长方形面积相加即可，两个面积相等即可得出等式； （）利用题（）的等式即可求解； 本题考查了多项式乘以多项式的应用，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：解：图的面积， 图的面积， 数学式子表示是， 故答案为：，，，； （2）解：原式 ； 原式 ； 原式 ． 【题型七 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例7】（23-24七年级上·四川成都·期末）若的积中不含x项与项． (1)求p、q的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)； (2)36． 【思路点拨】本题主要考查多项式乘以多项式的法则． （1）将原式根据多项式乘以多项式法则展开后合并同类项，由积中不含x项与项可知x项与项的系数均等于0，可得关于p、q的方程组，解方程组即可； （2）由（1）中p、q的值得，将原式整理变形成再将p、q、的值代入计算即可． 【规范解答】（1）解： ， ∵积中不含x项与项， ∴， 解得：，； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 【变式训练1】34．计算的结果不含和的项，那么 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘积无关型计算问题，用多项式乘多项式的运算法则展开求它们的积，把当做常数合并同类项，根据不含和的项，关于和的项的系数为0，即可求出的值． 【详解】解： ∵结果不含和的项， ∴ ∴ 故答案为：，． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若等式恒成立，无论t为何值，的值始终为定值，则这个定值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则把已给等式左边展开得到，则，据此可得，根据无论t为何值，的值始终为定值，得到，据此求出s的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵无论t为何值，的值始终为定值， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练3】（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）李老师给学生出了一道题：当，时，求的值．题目出完后，小聪说：“老师给的条件，是多余的．”小明说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说的有道理？为什么？ 【答案】小聪说得有道理，理由见解析 【分析】本题主要考查多项式的乘法和合并同类项，根据题意将代数式展开，将同类项合并即可知小聪说的有道理． 【详解】解：小聪说得有道理． 则此题的结果与a、b无关． 故小聪说得有道理． 【变式训练4】（23-24七年级下·全国·课后作业）若恒成立，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查整式的加减，求代数式的值，解题的关键是先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 【详解】解：∵， 又∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴， 即的值为． 【题型八 多项式乘多项式---化简求值】 【例8】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式及化简求值，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；因此此题可先根据多项式乘以多项式进行化简，然后代值求解即可 【详解】解：原式 ； ， ∴原式 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先利用多项式乘多项式法则化简得到，将代入计算即可． 【详解】解：， ， 原式． 【变式训练2】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）先化简，再求值：其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式法则、合并同类项法则化简，然后把x、y的值代入计算即可． 【详解】解： 原式 ， 把代入上式得： 原式 ． 【变式训练3】（24-25七年级上·四川成都·期末）先化简，再求值：，且单项式与是同类项． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的乘法，求代数式的值，同类项的定义；先按照整式乘法法则展开，再合并同类项，得，结合单项式与是同类项，得出，即，代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ； ∵与是同类项， ∴， 即， ∴． 【变式训练4】68．（2025七年级下·全国·专题练习）现定义了一种新运算“，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 【答案】(1) (2)0.2 (3) (4)24 【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式在几何中的应用，解决本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式在几何图形中的应用： （1）根据新定义计算求解即可； （2）根据新定义求出，再根据不含x的一次项，即可含x的一次项的系数为0进行求解即可； （3）根据新定义求出，再利用整体代入法代值计算即可； （4）根据所给图形可得，根据推出，再根据新定义，进而一步步利用整体代入法降次求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：， ， ， ， ∵代数式中不含x的一次项， ∴， ∴； （3）解：， ， ， ， ， ∵， ∴原式； （4）解：根据题意得：， 整理得：， ∴， ， ， ， ， ， ． 【题型九 多项式乘多项式与几何图形面积】 【例9】（22-23七年级下·内蒙古包头·期末）如图，学校有一块边长为米的大正方形空地，在这块大正方形空地内规划一个小正方形活动区域，活动区域连接大正方形四边修建四条长均为米，宽均为米的小路．剩余阴影区域铺设草坪． (1)用含，的代数式表示图中小正方形的边长； (2)用含，的代数式表示阴影区域草坪的面积．（说明：本题的结果均要求化简） 【答案】(1)米 (2)平方米 【思路点拨】本题考查了列代数式、整式的混合运算，明确题意，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）根据题意即可得出结论； （2）根据阴影区域草坪的面积大正方形的面积4个长方形的面积中间小正方形的面积，列式计算即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，小正方形的边长为米 答：图中小正方形的边长为米． （2）解：阴影区域草坪的面积 答：阴影区域草坪的面积为平方米． 【变式训练1】（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）一长方形如图所示，甲、乙、丙、丁四位同学给出了以下四种表示该长方形面积的算式： ；    ； ；    ． 其中正确算式的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式乘法的应用，根据长方形面积公式判断各式是否正确即可，根据图形正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：长方形的面积由个长方形的面积之和，可表示为； 长方形的面积等于左边，中间及右边的长方形面积之和，可表示为，原算式不正确，不符合题意； 长方形的面积等于上下两个长方形面积之和，可表示为，原算式正确，符合题意； 大长方形的长为，宽为，根据长方形的面积公式可表示为，原算式正确，符合题意； 综上可知：正确，共个， 故选：． 【变式训练2】（24-25七年级下·山西临汾·期中）如图①，将一张长方形铁皮的四个角都剪去边长为的正方形，然后沿四周折起，做成一个无盖铁盒，如图②，铁盒底面长方形的长为 ，宽为 ． (1)请用含x的代数式表示图①中原长方形铁皮的面积； (2)现要在铁盒的各个外表面涂上某种油漆，使盒子更加美观，若花费为元/，则涂漆这个铁盒需要多少钱（用含x的代数式表示）． 【答案】(1) (2)涂漆这个铁盒需要元钱 【分析】本题考查了多项式乘以多项式与图形的面积； （1）根据长方形的长乘以宽进行计算即可求解； （2）根据（1）减去4个边长为的正方形面积，进而乘以，即可求解． 【详解】（1）解：原铁皮的面积是； （2）油漆这个铁盒的表面积是：． 则油漆这个铁盒需要的钱数是： 答：涂漆这个铁盒需要元钱． 【变式训练3】（24-25八年级上·吉林·期中）7个如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为 的长度为m． (1)填空： ____，_______（用含a、b、m的式子表示）； (2)若的值与m的取值无关，求a与b的数量关系； (3)在（2）的条件下，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的意义，整式加减中的无关型问题，正确求出和是解题的关键． （1）根据题意分别表示出两个阴影部分长方形的长和宽，进而表示出对应的面积即可； （2）根据（1）所求结合整式的加减计算法则求出的结果，再根据结果与m无关列式求解即可； （3）根据（2）所求即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； ； （2）解：由（1）得， ∵的值与m的取值无关， ∴， ∴； （3）解：由（2）得． 【变式训练4】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，有A，B，C三种不同型号的卡片．A型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，有2张，B型卡片是相邻两边长分别为a，c的长方形，C型卡片是相邻两边长分别为b，c的长方形，B，C型卡片各有1张．从中取n张卡片，把取出的这些卡片拼成一个长方形（注：a，b，c各不相等）． (1)在图②，图③中画出拼得的两种长方形的示意图（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分）． (2)图②中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______． 图③中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______． (3)除了图②和图③，你觉得还可以拼出多少种不同的长方形？说说你的想法． 【答案】(1)见解析 (2)；；；；； (3)5种 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式在几何图形中的应用，熟知单项式乘以多项式的方法是解题的关键． （1）根据题意相等的边要重合，据此拼图即可； （2）根据（1）所画图形，大长方形面积等于其长乘以宽，又等于两个小长方形的面积之和，据此求解即可； （3）拼成长为，宽为a的长方形；拼成长为，宽为a的长方形；拼成长为，宽为b的长方形；拼成长为，宽为b的长方形；拼成长为，宽为b的长方形；据此画图求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解；图②中，长方形的面积既可以表示为，又可以表示为，所以可得等式：； 故答案为：，，； 图③中，长方形的面积既可以表示为，又可以表示为，所以可得等式：； ，，； （3）解：如图所示，两个A可拼成长方形，长为，宽为a； 如图所示，两个A、一个B拼成长方形，长为，宽为a； 如图所示，两个A拼成一个长方形，长为，宽为b； 如图所示，一个A，一个C拼成长方形，长为，宽为b； 如图所示，两个A，一个C拼成长方形，长为，宽为b； 综上所述，还可以拼出5种不同的长方形． 【题型十 多项式乘法中的规律性问题】 【例10】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）观察下列各式： …… (1)根据规律可得______（其中为正整数） (2)运用规律计算： (3)运用规律计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查多项式乘以多项式中的规律探究问题，根据已有等式，得到相应的规律，是解题的关键： （1）根据已有等式，抽象概括出相应的规律即可； （2）利用（1）中规律解题即可； （3）将式子乘以，利用规律解题即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴； 故答案为：； （2）； （3） ． 【变式训练1】（23-24七年级下·广东揭阳·期末）观察以下等式： ； ； ． (1)根据以上等式的规律，填空： ①__________；②__________； (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． 【答案】(1)①；② (2) 【思路点拨】本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据题目所给的计算方法，即可解答； （2）运用多项式乘以多项式，再根据整式的运算法则即可求解． 【规范解答】（1）解：①，② 故答案为：；． （2）解： ． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记=1+2+3+…+（n﹣1）+n，=（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知，则m的值是（     ） A．﹣62 B．﹣38 C．﹣40 D．﹣20 【答案】B 【分析】利用题中的新定义计算即可得到m的值． 【详解】根据题意得， ∵ ∴n=5,即= x2＋x−6＋x2＋x−12＋x2＋x−20== 则m＝−38． 故选：B． 【点睛】此题考查了整式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式训练3】（24-25七年级下·山东青岛·期中）观察下列两位数相乘的算式 …… (1)利用规律计算；（计算过程需体现规律） (2)请你用字母表示发现的规律并说明规律的正确性． 【答案】(1) (2)（其中a、b为一个两位数的十位数字和个位数字），证明见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知，两个两位数相乘（十位数字之和为10，个数数字相同）的结果为十位数字相乘的结果加上个位数字后乘以100，再加上个数数字的平方，据此规律求解即可； （2）设第一个两位数的十位数字为，个位数字为，则，根据多项式乘以多项式的计算法则把等式左边展开证明即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴； （2）解：设第一个两位数的十位数字为，个位数字为，则，证明如下： 【变式训练4】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）杨辉三角形是形如（这里）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列，记载于1261年他所著的《详解九章算术》中．下图是杨辉三角形与展开式的部分对照：              1             1  1           1  2  1         1  3  3  1        1  4  6  4  1 …… …… 请根据上述材料解决下列问题： (1)的展开式中第三项为___________； (2)的展开式中系数为10的项是___________； (3)求的展开式中含项的系数． 【答案】(1) (2)和 (3) 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算中的某项的系数的规律探究，掌握探究的方法并总结运用规律是解本题的关键． （1）利用题干表的系数对应写出展开式，即可求解三项； （2）利用题干表的系数对应写出展开式，找出系数为10的项即可； （3）先计算，，，再观察得到的前面两项，再利用前面两项的系数规律可得答案． 【详解】（1）解：由题意得， ∴第三项为， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴系数为10的项为和， 故答案为：和； （3）解：，，，…， 观察可知：展开式的前两项为， ∴当时，含项的系数为． 拓展训练 一、选择题 1、设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 2、（2025七年级下·河南·专题练习）计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；通过单项式乘多项式法则进行展开，然后合并同类项，即可解答． 【详解】解： ， 故选：D． 3、（24-25九年级下·云南·阶段练习）已知：无论取何值时，都成立，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则，根据题意，正确计算，进而求出，是解题关键． 先对原式进行多项式乘以多项式，得出，，再将化成，再代入即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ，， ． 故选：B． 4、（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）某同学在计算乘一个多项式时错将乘法做成了加法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的混合运算，单项式乘多项式，先根据题意算出这个多项式，再与相加即乘即可，熟练掌握整式的混合运算的运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：由题意知， 这个多项式为：， ∴正确的计算结果为： ， 故选：A． 5、（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键； 根据多项式乘以多项式分别计算与，然后做差比较即可； 【详解】解：， ； ， 则； 故选：C 2、 填空题 6、（24-25七年级上·重庆·期末）若，则的值为 ． 【答案】8 【思路点拨】本题考查整式的混合运算及化简求值，先计算单项式乘多项式、多项式乘多项式，再合并同类项，最后将代入求值即可． 【规范解答】解：原式 ， ， 原式， 故答案为：8． 7、（2025七年级下·全国·专题练习）若，则的值为 ． 【答案】16 【分析】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式， 当时，原式， 故答案为：16． 8、（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）若（a、b、c为常数），则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．计算多项式乘以多项式可得，则可得，代入计算即可得． 【详解】解：， ∵， ∴（为常数）， ∴， ∴， 故答案为：0． 9、（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，是我国古代数学重要的成就之一——“杨辉三角”或“贾宪三角”．该三角形图表两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个图表给出了（n为正整数）的展开式的系数规律．例如，此三角形中第2行中的2个数1，1，对应着展开式中各项的系数，此三角形中第3行中的3个数1，2，1，对应着展开式中各项的系数，若的展开式共有6项．那么各项的系数中最小的系数是 ． 【答案】 【分析】根据题意得到规律第n行有n项，且指数为序号减1，得到的展开式共有6项，得到，然后根据规律写出的各项系数，进而比较求解即可． 【详解】第1行有1项，； 第2行有2项， 第3行有3项， 第4行有4项， … ∴第n行有n项， ∵的展开式共有6项 ∴ 根据题意得， ∴ ∴各项系数分别为32，，80，，10， ∴最小的为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式规律问题，中能依据“杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和”写出“杨辉三角”的第6行数是解题关键． 10、（24-25七年级下·四川达州·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了整式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义的新运算进行计算，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 当时，原式． 3、 解答题 11、（1）化简：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题的关键． （1）利用多项式乘法法则展开，再合并同类项即可； （2）利用单项式乘以多项式法则和平方差公式展开，再合并同类项即可； 【详解】解：（1） ； （2） 12、（23-24七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的四则混合运算法则成为解题的关键． 先运用整式的四则混合运算法则化简，然后将、代入计算即可． 【详解】解： ， 把，代入上式得： ． 13、（24-25七年级下·河南平顶山·阶段练习）已知的展开式中不含项和项，求的值． 佳佳的解法如下： 解：， 展开式中不含项和项， 解得：， ， ． 请问佳佳的解法正确吗？如果不正确，请写出正确的解题过程． 【答案】佳佳的解法不正确，正确过程见解析． 【分析】本题考查了多项式乘多项式以及结果中不含某项，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据多项式乘多项式计算法则化简出结果，再根据展开式中不含项和项得项和项前的系数为，即可求出、的值，再将、的值代入原式即可求解． 【详解】解：佳佳的解法不正确，正确解答如下： ． 展开式中不含项和项， ， 解得：， ， ， ， ， ． 14、（24-25七年级下·河南周口·期中）在学习多项式乘多项式之后，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为．那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现一次项系数就是：，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数； (2)若计算所得多项式中不含一次项，求a的值； (3)如果，则______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了多项式与多项式的乘法运算，准确理解并掌握题目中的求多项式的某次项的系数的方法是解答此题的关键． （1）直接根据材料中的方法，求多项式的一次项系数即可； （2）先利用材料中的方法，求一次项的系数，然后其系数等于零求解即可； （3）求即多项式中一次项的系数，利用材料中的方法计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：一次项系数为， （2） 解：根据题意，得一次项系数， 解得； （3）解：的一次项系数为， ． 15、（24-25八年级上·北京·期中）先阅读下面材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”． 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”，完成下列各小题： （1）若，则代数式的值为 ； （2）若，则代数式的值为 ； （3）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 3 10 【分析】本题主要考查多项式乘多项式、整式的化简求值等知识点，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）先由得出，再运用多项式乘多项式法则计算，然后将代入计算即可． （2）先由得出，然后运用整式的四则混合运算法则计算，然后将代入计算即可； （3）由可得、、 ，然后代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴ ． 故答案为：3． （2）∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． （3）∵， ∴，， ， ∴ ． 故答案为10． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点突破1.2 整式的乘法 （3知识梳理+10题型解读+15拓展训练） 知识梳理 知识01 单项式的乘法法则 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 【特别注意】： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤： ①积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值； ②相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算； ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 知识02 单项式乘多项式的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 【特别注意】： （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 知识03 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【特别注意】：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 题型解读 【题型一 计算单项式乘单项式】 【例1】（23-24七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练1】（2023·青海海东·二模）计算：（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练3】（24-25七年级下·陕西汉中·阶段练习）表示，表示，求． 【变式训练4】（23-24七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3) 【题型二 利用单项式乘单项式求字母或代数式的值】 【例2】（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【变式训练1】（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）单项式与单项式乘积的结果是一个9次单项式，则的值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式训练2】（23-24七年级下·全国·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（20-21八年级上·全国·课后作业）有理数x，y满足条件，求代数式的值． 【变式训练4】（20-21七年级上·全国·课后作业）已知是关于，的三次单项式，且，求的值． 【题型三 计算单项式乘多项式及求值】 【例3】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）计算． 【变式训练1】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练2】（24-25八年级上·广东江门·期中）先化简后求值：，其中． 【变式训练3】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）数学课上，王老师给学生出了一道题：当时，求的值．小明说：“不用给出的值就可以计算出结果．”小军说：“没有的值不能计算出结果．”你认为他们谁的说法正确，请说明理由． 【变式训练4】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解：原式 请你用上述方法解决问题：已知， (1)求的值． (2)求的值． 【题型四 单项式乘法的应用】 【例4】（24-25七年级上·上海·阶段练习）长方形内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度变化时，按照同样的方式放置，始终不变，则，应满足 ． 【变式训练1】（19-20八年级上·吉林长春·阶段练习）光速约为米/秒，太阳光射到地球上的时间约为秒，地球与太阳的距离约是多少米？ 【变式训练2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）小李家住房结构如图所示，他打算把卧室和客厅铺上木制地板． (1)列式计算说明小李需要买多少平方米的木制地板．（x、y单位：米） (2)若米，米时，并且每平方米木地板的价格是190元，则他需要花费多少元钱？ 【变式训练3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知一个大长方形中被剪去两个小长方形，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式训练4】（24-25七年级上·广西贵港·期中）如图，边长分别为的两个正方形并排放置， (1)求出图中阴影部分的面积（用含的式子表示）； (2)当，时，求图中阴影部分的面积． 【题型五 计算多项式乘多项式及其应用】 【例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式训练1】（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片的张数为（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 【变式训练2】（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）下面是小明的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 任务： (1)运算从第 步开始出错，出现错误的原因是 ． (2)正确运算结果为 ． 【变式训练3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，某市某小区计划在空地处规划一块带甬道的草坪（空白处为甬道，阴影部分为草坪），其中长方形场地的长：，宽：，两条甬道的宽分别为a，b，单位：米． (1)用含a、b的式子表示出草坪面积（结果化为最简形式）； (2)若，，求出草坪总面积． 【变式训练4】（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题． 例：若，试比较的大小． 解：设， 则． ∵， ∴． 请利用上面的方法解答下列问题： 若，试比较的大小． 【题型六 (x+p)(x+q)型多项式乘法】 【例6】（23-24七年级下·广东清远·期末）计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． (1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为： ________； (2)运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； (3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果中，含的项的系数为（   ） A． B．1 C．5 D． 【变式训练2】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）已知（，，是整数），则可能的值的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练3】（24-25八年级上·陕西西安·期末）红红学习完《多项式乘多项式》的知识后，打算练习习题巩固知识，请你帮红红解决下列问题： (1)如果，求和的值； (2)如果，求的值． 【变式训练4】（2025七年级下·全国·专题练习）图、图是两个长和宽分别相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据图、图的特征用不同的方法表示长方形的面积： 图的面积______， 图的面积____________． 由此可以发现关于字母的两个一次多项式（一次项系数为）相乘的计算规律，用数学式子表示是_________； (2)利用你所得的规律进行多项式乘法计算： ； ； ． 【题型七 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例7】（23-24七年级上·四川成都·期末）若的积中不含x项与项． (1)求p、q的值； (2)求代数式的值． 【变式训练1】34．计算的结果不含和的项，那么 ， ． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若等式恒成立，无论t为何值，的值始终为定值，则这个定值为 ． 【变式训练3】（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）李老师给学生出了一道题：当，时，求的值．题目出完后，小聪说：“老师给的条件，是多余的．”小明说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说的有道理？为什么？ 【变式训练4】（23-24七年级下·全国·课后作业）若恒成立，求的值． 【题型八 多项式乘多项式---化简求值】 【例8】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值，其中． 【变式训练2】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）先化简，再求值：其中． 【变式训练3】（24-25七年级上·四川成都·期末）先化简，再求值：，且单项式与是同类项． 【变式训练4】68．（2025七年级下·全国·专题练习）现定义了一种新运算“，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 【题型九 多项式乘多项式与几何图形面积】 【例9】（22-23七年级下·内蒙古包头·期末）如图，学校有一块边长为米的大正方形空地，在这块大正方形空地内规划一个小正方形活动区域，活动区域连接大正方形四边修建四条长均为米，宽均为米的小路．剩余阴影区域铺设草坪． (1)用含，的代数式表示图中小正方形的边长； (2)用含，的代数式表示阴影区域草坪的面积．（说明：本题的结果均要求化简） 【变式训练1】（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）一长方形如图所示，甲、乙、丙、丁四位同学给出了以下四种表示该长方形面积的算式： ；    ； ；    ． 其中正确算式的个数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级下·山西临汾·期中）如图①，将一张长方形铁皮的四个角都剪去边长为的正方形，然后沿四周折起，做成一个无盖铁盒，如图②，铁盒底面长方形的长为 ，宽为 ． (1)请用含x的代数式表示图①中原长方形铁皮的面积； (2)现要在铁盒的各个外表面涂上某种油漆，使盒子更加美观，若花费为元/，则涂漆这个铁盒需要多少钱（用含x的代数式表示）． 【变式训练3】（24-25八年级上·吉林·期中）7个如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为 的长度为m． (1)填空： ____，_______（用含a、b、m的式子表示）； (2)若的值与m的取值无关，求a与b的数量关系； (3)在（2）的条件下，直接写出的值． 【变式训练4】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，有A，B，C三种不同型号的卡片．A型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，有2张，B型卡片是相邻两边长分别为a，c的长方形，C型卡片是相邻两边长分别为b，c的长方形，B，C型卡片各有1张．从中取n张卡片，把取出的这些卡片拼成一个长方形（注：a，b，c各不相等）． (1)在图②，图③中画出拼得的两种长方形的示意图（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分）． (2)图②中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______． 图③中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______． (3)除了图②和图③，你觉得还可以拼出多少种不同的长方形？说说你的想法． 【题型十 多项式乘法中的规律性问题】 【例10】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）观察下列各式： …… (1)根据规律可得______（其中为正整数） (2)运用规律计算： (3)运用规律计算： 【变式训练1】（23-24七年级下·广东揭阳·期末）观察以下等式： ； ； ． (1)根据以上等式的规律，填空： ①__________；②__________； (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记=1+2+3+…+（n﹣1）+n，=（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知，则m的值是（     ） A．﹣62 B．﹣38 C．﹣40 D．﹣20 【变式训练3】（24-25七年级下·山东青岛·期中）观察下列两位数相乘的算式 …… (1)利用规律计算；（计算过程需体现规律） (2)请你用字母表示发现的规律并说明规律的正确性． 【变式训练4】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）杨辉三角形是形如（这里）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列，记载于1261年他所著的《详解九章算术》中．下图是杨辉三角形与展开式的部分对照：              1             1  1           1  2  1         1  3  3  1        1  4  6  4  1 …… …… 请根据上述材料解决下列问题： (1)的展开式中第三项为___________； (2)的展开式中系数为10的项是___________； (3)求的展开式中含项的系数． 拓展训练 一、选择题 1、设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 2、（2025七年级下·河南·专题练习）计算的结果为（　　） A． B． C． D． 3、（24-25九年级下·云南·阶段练习）已知：无论取何值时，都成立，则的值为（     ） A． B． C． D． 4、（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）某同学在计算乘一个多项式时错将乘法做成了加法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是（    ） A． B． C． D． 5、（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不确定 2、 填空题 6、（24-25七年级上·重庆·期末）若，则的值为 ． 7、（2025七年级下·全国·专题练习）若，则的值为 ． 8、（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）若（a、b、c为常数），则 ． 9、（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，是我国古代数学重要的成就之一——“杨辉三角”或“贾宪三角”．该三角形图表两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个图表给出了（n为正整数）的展开式的系数规律．例如，此三角形中第2行中的2个数1，1，对应着展开式中各项的系数，此三角形中第3行中的3个数1，2，1，对应着展开式中各项的系数，若的展开式共有6项．那么各项的系数中最小的系数是 ． 10、（24-25七年级下·四川达州·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 3、 解答题 11、（1）化简：； （2）化简：． 12、（23-24七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中，． 13、（24-25七年级下·河南平顶山·阶段练习）已知的展开式中不含项和项，求的值． 佳佳的解法如下： 解：， 展开式中不含项和项， 解得：， ， ． 请问佳佳的解法正确吗？如果不正确，请写出正确的解题过程． 14、（24-25七年级下·河南周口·期中）在学习多项式乘多项式之后，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为．那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现一次项系数就是：，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数； (2)若计算所得多项式中不含一次项，求a的值； (3)如果，则______． 15、（24-25八年级上·北京·期中）先阅读下面材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”． 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”，完成下列各小题： （1）若，则代数式的值为 ； （2）若，则代数式的值为 ； （3）已知，则代数式的值为 ． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$