重难点突破1.3 整式的乘法公式（3知识梳理+10题型解读+15拓展训练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（湘教版2024）

重难点突破1.2 整式的乘法公式 （3知识梳理+8题型解读+15拓展训练） 知识梳理 知识01 平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点剖析】①在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. ②平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 【常见的变式类型】： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 知识02 完全平方公式 完全平方公式： 两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【易错点剖析】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 【常见的变形】 知识03 补充公式 ；； ；. 题型解读 【题型一 运用平方差公式进行运算】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键． （1）直接利用平方差公式求解即可； （2）直接利用平方差公式求解即可； （3）直接利用平方差公式求解即可； （4）直接利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 【变式训练1】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）下列能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式：，其特点是：①两个二项式相乘，②有一项相同，另一项互为相反数，③a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式．根据公式逐项分析即可． 【详解】解：A．无相同的项，故不能用平方差公式计算； B．故能用平方差公式计算； C．无相反的项，故不能用平方差公式计算；     D．无相同的项，故不能用平方差公式计算； 故选B． 【变式训练2】（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）数学课堂上，老师让同学们计算：．小红同学的解答过程如下： 解： 第一步 第二步 (1)小红同学的解答过程中第___________步错了； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)过程见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算及平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式和单项式乘多项式运算法则判断即可，注意当括号前面是负号，去括号时，括号里面各项都要变号； （2）根据平方差公式和单项式乘多项式进行展开，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解：小红同学的解答过程中，对原式进行变形，第一项运用平方差公式的计算不对，第二项去括号时，有一项没变号，故从第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2） ． 【变式训练3】（24-25七年级下·甘肃张掖·阶段练习）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式，是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练4】（（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）阅读材料后解决问题．小明遇到下面一个问题：求（的值． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． （1）在本式前乘，再利用平方差公式进行逐步计算即可； （2）在本式前乘，在本式后乘，再利用平方差公式进行逐步计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【题型二 平方差公式与几何图形】 【例2】（24-25七年级下·山东青岛·期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数形结合的思想就是运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来． 如图①从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形后，将剩下的阴影部分沿虚线剪开，拼成图②所示的长方形． (1)通过比较图①和图②中阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是________； (2)在计算时，可以利用（1）中的结论，请你补全计算过程： 解： ________ (3)利用以上的结论和方法计算： (4)根据你发现的规律填空： ________． 【答案】(1) (2)，， (3) (4) 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积、利用平方差公式进行计算，熟练掌握平方差公式是解题关键． （1）图①中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积；图②中阴影部分的面积等于长为、宽为的长方形的面积，由此即可得； （2）利用平方差公式计算即可得； （3）将式子转化为，再利用平方差公式计算即可得； （4）利用平方差公式计算，得出一般规律即可得． 【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积为， 图②中阴影部分的面积， ∵图①和图②中阴影部分的面积相等， ∴， 故答案为：． （2）解： ， 故答案为：，，． （3）解： ． （4）解： ， 故答案为：． 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，将一个边长为a的正方形，剪掉一个边长为b的小正方形后，剩余部分沿对角线分成I 和 II 两部分，剪开后的 I 和 Ⅱ 可以拼成一个长方形． (1)以上操作过程可以验证的乘法公式是___________ ．（填正确选项的字母代号） A．    B．     C． (2)利用（1）中的结论，求的值． 【答案】(1)A (2) 【分析】此题主要考查平方差公式的验证，根据图形找到面积关系是解答的关键． （1）根据第一个图形两个正方形面积的差，构造一个长为，宽为的长方形，相同的面积用不同的表达式表示，从而可推导验证乘法公式中的平方差公式； （2）变形原式，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，第二个长方形面积为， 第一个图形中大正方形减去小正方形后的面积为， ∴， 故答案为：A． （2）解： ． 【变式训练2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）实践探究题 某数学兴趣小组利用“等面积法”分别构造了以下两种图形验证“平方差公式”． (1)探究：以下两种图形能够验证平方差公式的是_______（填序号） (2)应用：利用“平方差公式”计算 (3)拓展：运用平方差公式计算 【答案】(1)① (2)1 (3) 【分析】此题考查了数形结合思想推导代数式恒等式和平方差公式的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识． （1）根据图形面积求法进行求解即可． （2）运用平方差公式进行求解． （3）将原式变形成，再根据平方差公式进行求解即可． 【详解】（1）解：图①验证了等式， 图②验证了等式， ∴图形①能够验证平方差公式， 故答案为：①； （2）解： ； （3）解： ． 【变式训练3】（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图1，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分拼成一个以为长、为宽的长方形，如图2． 【探究】 （1）请列式表示： 图1中阴影部分的面积为______， 图2中阴影部分的面积为______； 根据两图中阴影面积相等，可以得到乘法公式是： ． 【应用】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，则 ； ②计算：． 【答案】（1），，；（2）①；② 【分析】本题考查平方差公式的几何意义和平方差公式的应用，解题的关键是数形结合思想的运用及熟练掌握平方差公式． （1）图①中阴影部分的面积是两个正方形面积的差，图②中阴影部分的面积是长为，宽为的长方形面积，易得两图的阴影部分面积相等，即可列出式子； （2）①根据（1）的公式，代入数值计算，即可作答； ②各项都应用公式计算即可抵消，得到结果． 【详解】解：（1）依题意，在图①中， ∵大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， 在图②中， ∵阴影部分为长方形，长为，宽为， ∴阴影部分的面积为； ∵两图的阴影部分面积相等， ∴可以得到乘法公式， 故答案为：，，； （2）①∵， 则， ∴， ∴， 故答案为：4； ② ． 【变式训练4】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）实践与探索 【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的长方形． （1）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为： ________________（用含字母a，b的式子表示） 【应用】请应用这个公式完成下面的问题 （2）计算： （3）计算： 【答案】（1）；（2）；（3）17 【分析】本题考查了整式的运算，平方差公式，逆用积的乘方运算公式计算，理解题意根据面积相等得出平方差公式，利用平方差公式解决问题是关键． （1）利用两个图形中阴影部分面积相等列式即可； （2）利用（1）中的公式计算即可； （3）利用平方差公式，逆用积的乘方运算公式，计算即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为， 因此可以得到乘法公式； （2） ； （3） ． 【题型三 运用完全平方公式进行运算】 【例3】（24-25七年级上·河南信阳·期末）李明在教材第83页的教学活动探索发现，如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第n个正方形比第个正方形多（　　）个小正方形？ A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需小正方形个数的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出图形中正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【规范解答】解：由所给图形可知， 拼第1个正方形需要的小正方形个数为：； 拼第2个正方形需要的小正方形个数为：； 拼第3个正方形需要的小正方形个数为：； …， 所以拼第n个正方形需要的小正方形个数为个， 则， 即拼第n个正方形比第个正方形多个正方形． 故选：D． 【变式训练1】（2025·河南漯河·三模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，完全平方公式，同底数幂乘法，根据合并同类项，完全平方公式，同底数幂乘法法则逐一排除即可，掌握知识运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 故选：． 【变式训练2】（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．根据完全平方公式将等号左边展开，再与等号右边比较即可求出的值，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴， 故答案为：． 【变式训练3】（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式进行变形求值即可，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， 得：， ∴， 故选：． 【变式训练4】阅读理解． 已知，求的值． 解：由，可得． 整理得． 得． 请仿照上述方法，完成下列问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)7 (2)22 【分析】本题考查了完全平方公式．记住完全平方公式：是解题的关键． （1）将变形为，利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算； （2）将变形为，利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解： 整理得 ； （2）解： ． 【题型四 通过对完全平方公式变形求值】 【例4】（24-25七年级下·四川成都·期中）阅读下列解答过程： 已知：，且满足，求：的值． 解：∵，∴， ∴，即， ∴． 请通过阅读以上内容，解答下列问题： 已知，且满足， 求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，多项式乘以多项式，合并同类项法则等知识，熟练掌握完全平方公式，会根据完全平方公式进行变形是解题的关键． （）先通过平方差公式，多项式乘以多项式，合并同类项法则进行运算，然后仿照阅读内容求出的值即可， （）将（）中的值两边平方，然后根据完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， ∴； （2）解：由（）得， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1】（21-22七年级下·江苏宿迁·期末）已知，，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了完全平方公式．解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式把式子变形为．根据，，利用完全平方公式把式子变形，可以求得所求式子的值． 【详解】解：，， ， 故答案为：16． 【变式训练2】（19-20七年级下·安徽合肥·期末）若，为有理数，且，则（   ） A． B． C．8 D．16 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式的应用、代数式求值等知识，利用完全平方公式确定的值是解题关键．由，可化为两个完全平方的形式，根据非负数相加等于0，所以各个非负数都为0确定的值，然后代入求值即可． 【规范解答】解：∵， 整理可得， ∴， ∴，解得， ∴． 故选：B． 【变式训练3】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，求的值． 解：， ， ， ． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，求的值； （2）若，求的值． 类比应用： （3）若，求的值． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，根据完全平方公式变形即可求解； （2）模仿题干解题过程，根据完全平方公式变形即可求解； （3）模仿题干解题过程，根据完全平方公式变形即可求解； 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴ ∵， ∴ ∴． 【变式训练4】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）阅读理解：若满足，求的值， 解：设，，则有： ，， 所以 请仿照上例解决下面的问题： 问题发现：（1）若满足，求的值； 类比探究：（2）若满足，求的值； 拓展延伸：（3）若，求的值 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式变形应用； （1）设，由完全平方公式将化为，即可求解； （2）设，，将化为，即可求解； （3）设，，可求出，，将化为，即可求解； 掌握、、、、之间的关系，并能熟练利用其进行运算是解题的关键． 【详解】解：（1）设，则： ，， ； （2）设，，则有： ，， ， ； （3）设，， ， ，， ，， ， ， ． 【题型五 完全平方公式在几何图形中的应用】 【例5】（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）用图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)根据图2中阴影部分的面积关系，直接写出代数式之间的数量关系：___________． (2)根据完全平方公式的变形，解决下列问题． ①已知，求和的值． ②已知，则的值为___________． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题考查的是完全平方公式的变形，掌握公式变形是解本题的关键； （1）由等面积法可得公式变形； （2）①由，得出， 代入已知等式，计算即可； ②由，结合，再利用公式可得答案． 【详解】（1）解：由等面积法可得：， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴ ． ②∵，， ∴ ， 即， 解得． 【变式训练1】（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法一：_______    方法二：_______； (2)观察图2，直接写出代数式，，mn之间的关系：_______． (3)利用（2）的结论，尝试解决以下问题： 已知，，则的值为，_______； (4)两个正方形，如图3摆放，边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分面积和． 【答案】(1)； (2) (3)25 (4)8 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想是解题关键． （1）方法一：直接求小正方形面积即可；方法二：利用大正方形的面积减4个长方形的面积计算即可； （2）根据大正方形的面积减4个长方形的面积等于阴影部分的面积解答即可； （3）根据（2）所求关系解答即可； （4）由题意可知，，，即可求出．结合，可求出，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：方法一：直接计算阴影部分的面积为； 方法二：利用大正方形的面积减4个长方形的面积计算为； （2）解：由图2可知； （3）解：∵，， ∴由（2）可得，； （4）解：∵， ∴． 由图可知的底为x，高为2， ∴． 的底为2，高为， ∴， ∴． ∵，即， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴阴影部分面积和为8． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习） 77．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．如图1是由若干个正方形和长方形组成的规则图形正方形．         (1)请根据图1写出一个乘法公式：____________； (2)①已知等式可以通过两种不同的方式计算同一个图形的面积得到，请画出这个图形并在所画图中标注相关数据； ②若，，则______； (3)如图2，点C在线段上，分别以、为边作正方形和正方形，连接、．若，．试求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)①图见解析；②29 (3)17 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，完全平方公式的变形应用： （1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可得出结论； （2）①画出一个边长为的正方形即可； ②利用①中等式进行变形计算即可； （3）设，得到，分割法表示出阴影部分的面积，整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积可表示为：或， ∴； 故答案为：； （2）解：①可以看成是一个边长为的正方形的面积，故可画图如下： ②， ， ； 故答案为：29； （3）解：设， ， ， ， ，即， ； 答：阴影部分的面积为17． 【变式训练3】（24-25七年级下·广西桂林·期中）【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】 （1）①若，，则的值为________． ②若，则________． 【迁移应用】 （2）两块完全相同的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积． 【答案】（1）①44②180（2）15 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握并灵活运用完全平方公式是本题的关键． （1）①利用计算即可； ②令，，从而得到、的和与积，再利用计算即可； （2）将三角板的两直角边分别用字母表示出来，从而写出这两个字母的和、平方和，利用题目中给出的等式计算这两个字母的积，进而求出一块三角板的面积． 【详解】解：（1）①由题意可知，， ∵，， ， 故答案为：44； ②令，， ，， ， 故答案为：180； （2）设三角板的两条直角边，，则一块三角板的面积为， 由题意，得：，，即， ， ， ， 一块三角板的面积是15． 【变式训练4】（24-25六年级下·山东济南·期中）通过《整式的乘除》的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图1可以得到；如图2可以得到：．现有长与宽分别为a、b的4个小长方形，排成了如图3的形状． (1)【探索发现】根据图3，写出与之间的关系（用含a、b的代数式表示出来）：________； (2)【解决问题】若，，求的值； (3)【拓展提升】如图4，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和，延长和交于点H，得到长方形，若，图中阴影部分面积为38，求两个正方形的面积之和的值． 【答案】(1) (2)8 (3)24 【分析】本题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． （1）根据图3是一个边长为的大正方形，是由4个长为a，宽为b的长方形和一个边长为的小正方形构成，由此根据图形的面积可得出与之间的关系； （2）先由完全平方公式得，再将，整体代入计算即可得出的值； （3）设，，则，，再由完全平方公式得，据此可得的值． 【详解】（1）解：如图所示：大正方形的边长为，小正方形的边长为， 大正方形的面积为，小正方形的面积为， 另一方面：大正方形是由个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成， ， 故答案为：． （2）解：∵，，， ∴ ； （3）解：设，， ∵， ∴， ∵图中阴影部分面积为38， ∴， ∵四边形和均为正方形， ∴， ∵， ∴ ∴． 【题型六 求完全平方式中的字母系数】 【例6】（24-25七年级下·四川成都·期中）如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是 ． 【答案】或/或8 【分析】本题考查了完全平方式，解题的关键是知道常数项是一次项系数一半的平方． 根据完全平方式特点列式求解，即可解题． 【详解】解：二次三项式是一个完全平方式， ， 即或， 解得或； 故答案为：或． 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方公式计算即可得解，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：， ∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级下·福建漳州·期中）如果关于的二次三项式是完全平方式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，根据完全平方公式的式子结构得到，，解得即可得到答案． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴需满足， ∴，， ∴ 解得：， 故答案为：． 【变式训练3】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）若二次三项式是完全平方式，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 【详解】解：∵二次三项式是完全平方式， ∴， 解得：或． 故答案为：或． 【变式训练4】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）已知关于的代数式“”是完全平方式，则应该是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴或， 故答案为：A． 【题型七 整式乘法中的新定义计算】 【例7】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：，，，因此4，12，20都是“神秘数”． (1)请说明36是“神秘数”； (2)“神秘数”一定是8的倍数吗？为什么？ (3)2026是“神秘数”吗？请说明理由． 【答案】(1)36是“神秘数” (2)“神秘数”不是8的倍数，理由见详解 (3)2026不是“神秘数”，理由见详解 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）根据“神秘数”的定义进行求解即可； （2）设两个连续偶数中较大的数为，较小的数为，其中m为正整数，然后根据“神秘数”的定义进行求解即可； （3）根据（2）可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴36是“神秘数”； （2）解：设两个连续偶数中较大的数为，较小的数为，其中m为正整数，由题意得： ， ∴“神秘数”不是8的倍数； （3）解：假设2026是“神秘数”，由（2）可得： ， 解得：（不符合题意）， ∴2026不是“神秘数”． 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）对于任意实数，我们规定符号的意义是：．按照这个规定请你计算：当时，的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先求出，再根据新定义得到，据此利用整体代入法计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a、b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i； （2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i； （2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i． 根据以上信息，完成下面计算：（2+i）（1﹣2i）+（2﹣i）2＝ ． 【答案】7﹣7i 【分析】直接利用已知结合多项式乘多项式以及完全平方公式化简，进而得出答案． 【详解】解：（2+i）（1﹣2i）+（2﹣i）2 ＝2﹣4i+i﹣2i2+4+i2﹣4i ＝6﹣i2﹣7i ＝6﹣（﹣1）﹣7i ＝7﹣7i． 故答案为：7﹣7i． 【点睛】本题为新定义问题，考查了多项式乘以多项式、完全平方公式及学生自主学习的能力，理解好新定义并灵活运用已学知识是解题关键． 【变式训练3】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）定义：对于依次排列的多项式，，，（a，b，c，是常数），当它们满足，且M为常数时，则称a，b，c，是一组完美数，M是该组完美数的完美因子．例如：对于多项式：，，，因为，所以1，3，5是一组完美数，4是该组完美数的完美因子． (1)已知1、4、7是一组完美数，则该组完美数的完美因子=______． (2)已知2，5，8是一组完美数，求该组完美数的完美因子M； (3)直接写出a，b，c之间满足什么数量关系时，它们是一组完美数． 【答案】(1)9 (2)9 (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式及完全平方公式，熟练掌握整式的运算法则是关键． （1）根据新定义解答即可； （2）根据一组完美数之间的关系进行解答即可； （3）设a、b、c的完美因子为常数M，则有，整理令x的系数为0即可得到完美数之间的关系． 【详解】（1）解：根据题意得： ； （2）解：根据题意得： ； （3）解：当时，a，b，c是一组完美数，理由如下： 设a、b、c的完美因子为常数M，则有：， ∴， 当时，M为常数． ∴． 【变式训练4】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为， 所以当时， 的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是1， 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【探究问题】 （1）①已知，则______． ②已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （2）已知实数，满足，当等于多少时，能取得最小值并求出最小值． 【答案】（1）①；②，理由见解析；（2）当时，有最小值，最小值为1． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）①已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值； ②根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （2）由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最小值即可． 【详解】（1）①∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； ②当时，为“完美数”， 理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； （2）∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为1． 【题型八 整式乘法混合运算及化简求值】 【例8】（2025·湖南湘西·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值．首先根据多项式乘以多项式的法则和完全平方公式把多项式的各部分分别展开，可得：原式，再根据合并同类项的法则合并同类项，可得结果为，把整理可得，再整体代入化简后的代数式计算求值即可． 【详解】解： ． ， ， 原式． 【变式训练1】（2025七年级下·全国·专题练习）运用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了乘法公式和幂的运算，牢记公式是解题的关键． （1）先利用完全平方公式进行化简，再合并； （2）先利用平方差公式进行化简，再合并； （3）利用平方差公式进行化简，再合并； （4）先利用完全平方公式进行化简，再合并； （5）先利用同底数幂的乘法化为，再利用完全平方公式以及整式乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：原式， ． （2）解：原式 ， ． （3）解：原式， ． （4）解：原式， ， ． （5）解：原式， ， ， ． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）求下列代数式的值：，其中． 下面是小泰同学化简代数式的部分解题过程： 解： 第一步 第二步 第三步 … (1)请写出第一步计算的依据：______； (2)小泰的解答过程从第______步开始出错； (3)请按小泰的思路帮小泰写出完整正确的解答过程． 【答案】(1)积的乘方的逆运算或； (2)二； (3)见解析． 【分析】此题考查了整式的混合运算和化简求值，熟练掌握乘方公式和幂的运算法则是关键． （1）根据题意可得到计算的依据是积的乘方的逆运算； （2）根据平方差公式进行判断即可； （3）逆用积的乘方，平方差公式、完全平方公式、多项式乘以多项式法则计算即可得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】（1）解：第一步计算的依据：积的乘方的逆运算或； 故答案为：积的乘方的逆运算或； （2）小泰的解答过程从第二步开始出错； 故答案为：二 （3）解： 当时，原式 【变式训练3】（23-24七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用完全平方公式展开，再合并同类项即可； （）连续再次利用平方差公式计算即可； 本题考查了整式的乘法运算，掌握整式的乘法公式是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式训练4】（2025七年级下·全国·专题练习）利用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键． （1）运用平方差公式进行计算即可； （2）运用平方差公式进行计算后，再运用完全平方公式即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 拓展训练 一、选择题 1.（24-25八年级上·四川乐山·期末）运用完全平方公式计算的最佳选择是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对完全平方公式的应用，注意：．根据完全平方公式展开，再看看每一部分是否好算即可． 【详解】解：A．， B．， C． D．， 选项A、C、D都不如选项B好算， 故选：B． 2.1．（2025·四川绵阳·三模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的乘法，解决本题的关键是根据整式的乘法法则分别计算出各项的正确结果，根据正确结果判断正误即可． 【详解】解：A选项：根据平方差公式可得： ， 故A选项正确； B选项：根据多项式乘以多项式的法则可得： ， 故B选项错误； C选项：根据单项式乘以多项式的法则可得： ， 故C选项错误； D选项：根据完全平方公式可得： ， 故D选项错误． 故选：A． 3.（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）若，，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．根据，再判断、的关系即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， 故选：C． 4.（2025·广东潮州·一模）若，，则的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式变形进行计算即可．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴； 故选A． 5.（2025·山东聊城·二模）发现：……依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（    ） A．7 B．9 C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式和尾数特征．观察时注意7的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答．解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用． 【详解】解：， ， ， ， ， 根据题中规律可得从到，结果的个位数字四个一循环，分别为， ， 的结果的个位数字为， 故答案为：D． 2、 填空题 6.（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是整式乘法的平方差公式，掌握利用平方差公式进行计算是解题的关键．逐一利用平方差公式计算即可． 【详解】解： ； 故答案为： 7.（2025·河北唐山·二模）现有如图所示的三种纸片若干张．淇淇要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，她选取纸片4张，再取纸片1张，还需要取纸片 张． 【答案】4 【分析】本题主要考查完全平方公式，利用完全平方公式进行作答即可．熟练掌握完全平方公式的数形结合是解题的关键． 【详解】解：设取张纸片， 则可得大长方形的面积为， ， ，即需要取纸片张， 故答案为：． 8.（24-25七年级下·广东深圳·期中）已知是一个完全平方式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求完全平方式中的字母系数，其中两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式． 根据完全平方式的特点求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 9.（24-25七年级下·广东深圳·期中）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式：，熟练掌握并灵活运用完全平方公式是解题关键．由可得，把两边同时平方得，两边再同时平方即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 两边同时平方得：，即， 把两边同时平方得：． 故答案为： 10.（2025·广东佛山·二模）若x、a为实数，则M、N的大小关系为 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的加减，完全平方公式的应用，计算，进而即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：． 3、 解答题 11.（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式除以单项式，多项式乘以多项式和整式的混合运算的知识，掌握以上知识是解题的关键； （1）根据平方差公式和完全平方公式进行作答，即可求解； （2）根据完全平方公式进行作答，即可求解； （3）先提取负号，再完全平方公式和平方差公式求解即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； 12．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，直接利用乘法公式化简，再合并同类项，把已知数据代入得出答案，正确运用乘法公式是解题关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 13.（24-25七年级下·甘肃张掖·阶段练习）阅读下面各式，寻找其中的计算规律． ① ②   ③ (1)按这个规律，第10个式子是：______________ (2)观测上式，并猜测： ________________ (3)根据你的猜测，计算（其中n是正整数）的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类变化规律，平方差公式，多项式乘以多项式，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题干即可求解； （2）仿照题干，即可归纳总结得到一般性规律， （2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵① ②   ③ ∴第10个式子是：， 故答案为：； （2）解：由题干规律可得：， 故答案为：； （3）解： ． 14.（24-25七年级上·辽宁大连·期末）在学习整式乘法一章时，小明定义：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“妙数”．例如：10是“妙数”，因为；再如：（是整数），所以也是“妙数”． (1)判断20是否为“妙数”___________（填“是”或者“否”）； (2)已知（是整数）是常数，要使为“妙数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【答案】(1)是 (2)，理由见解析 【思路点拨】本题考查完全平方公式： （1）根据新定义，进行判断即可； （2）利用完全平方公式，将转换为：，根据新定义，得到，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：， ∴20是“妙数”； 故答案为：是； （2）解：，理由如下： ． 为“妙数”， ， 15.（24-25七年级下·江苏无锡·期中）把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为；所以；所以；得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： 【初步应用】 （1）若，，则 ； 【类题探究】     （2）若m满足．求的值． 【拓展延伸】 （3）如图，点C在线段上，以为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积． 【答案】（1）3；（2）；（3）． 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）由完全平方公式即可计算； （2）由完全平方公式即可计算； （3）由正方形，三角形的面积，利用完全平方公式求出，，即可求解 【详解】解：（1）∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）设，则，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）设， ∵， ∴， ∵， ∴， 由完全平方公式可得，， ∴， 解得：， ∴阴影部分的面积． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点突破1.2 整式的乘法公式 （3知识梳理+8题型解读+15拓展训练） 知识梳理 知识01 平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点剖析】①在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. ②平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 【常见的变式类型】： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 知识02 完全平方公式 完全平方公式： 两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【易错点剖析】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 【常见的变形】 知识03 补充公式 ；； ；. 题型解读 【题型一 运用平方差公式进行运算】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练1】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）下列能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）数学课堂上，老师让同学们计算：．小红同学的解答过程如下： 解： 第一步 第二步 (1)小红同学的解答过程中第___________步错了； (2)请你写出正确的解答过程． 【变式训练3】（24-25七年级下·甘肃张掖·阶段练习）用简便方法计算： (1) (2) 【变式训练4】（（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）阅读材料后解决问题．小明遇到下面一个问题：求（的值． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： (1)； (2)． 【题型二 平方差公式与几何图形】 【例2】（24-25七年级下·山东青岛·期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数形结合的思想就是运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来． 如图①从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形后，将剩下的阴影部分沿虚线剪开，拼成图②所示的长方形． (1)通过比较图①和图②中阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是________； (2)在计算时，可以利用（1）中的结论，请你补全计算过程： 解： ________ (3)利用以上的结论和方法计算： (4)根据你发现的规律填空： ________． 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，将一个边长为a的正方形，剪掉一个边长为b的小正方形后，剩余部分沿对角线分成I 和 II 两部分，剪开后的 I 和 Ⅱ 可以拼成一个长方形． (1)以上操作过程可以验证的乘法公式是___________ ．（填正确选项的字母代号） A．    B．     C． (2)利用（1）中的结论，求的值． 【变式训练2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）实践探究题 某数学兴趣小组利用“等面积法”分别构造了以下两种图形验证“平方差公式”． (1)探究：以下两种图形能够验证平方差公式的是_______（填序号） (2)应用：利用“平方差公式”计算 (3)拓展：运用平方差公式计算 【变式训练3】（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图1，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分拼成一个以为长、为宽的长方形，如图2． 【探究】 （1）请列式表示： 图1中阴影部分的面积为______， 图2中阴影部分的面积为______； 根据两图中阴影面积相等，可以得到乘法公式是： ． 【应用】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，则 ； ②计算：． 【变式训练4】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）实践与探索 【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的长方形． （1）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为： ________________（用含字母a，b的式子表示） 【应用】请应用这个公式完成下面的问题 （2）计算： （3）计算： 【题型三 运用完全平方公式进行运算】 【例3】（24-25七年级上·河南信阳·期末）李明在教材第83页的教学活动探索发现，如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第n个正方形比第个正方形多（　　）个小正方形？ A． B． C． D． 【变式训练1】（2025·河南漯河·三模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）已知，则的值为 ． 【变式训练3】（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4】阅读理解． 已知，求的值． 解：由，可得． 整理得． 得． 请仿照上述方法，完成下列问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【题型四 通过对完全平方公式变形求值】 【例4】（24-25七年级下·四川成都·期中）阅读下列解答过程： 已知：，且满足，求：的值． 解：∵，∴， ∴，即， ∴． 请通过阅读以上内容，解答下列问题： 已知，且满足， 求： (1)的值； (2)的值． 【变式训练1】（21-22七年级下·江苏宿迁·期末）已知，，则的值为 ． 【变式训练2】（19-20七年级下·安徽合肥·期末）若，为有理数，且，则（   ） A． B． C．8 D．16 【变式训练3】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，求的值． 解：， ， ， ． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，求的值； （2）若，求的值． 类比应用： （3）若，求的值． 【变式训练4】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）阅读理解：若满足，求的值， 解：设，，则有： ，， 所以 请仿照上例解决下面的问题： 问题发现：（1）若满足，求的值； 类比探究：（2）若满足，求的值； 拓展延伸：（3）若，求的值 【题型五 完全平方公式在几何图形中的应用】 【例5】（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）用图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)根据图2中阴影部分的面积关系，直接写出代数式之间的数量关系：___________． (2)根据完全平方公式的变形，解决下列问题． ①已知，求和的值． ②已知，则的值为___________． 【变式训练1】（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法一：_______    方法二：_______； (2)观察图2，直接写出代数式，，mn之间的关系：_______． (3)利用（2）的结论，尝试解决以下问题： 已知，，则的值为，_______； (4)两个正方形，如图3摆放，边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分面积和． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．如图1是由若干个正方形和长方形组成的规则图形正方形．         (1)请根据图1写出一个乘法公式：____________； (2)①已知等式可以通过两种不同的方式计算同一个图形的面积得到，请画出这个图形并在所画图中标注相关数据； ②若，，则______； (3)如图2，点C在线段上，分别以、为边作正方形和正方形，连接、．若，．试求出阴影部分的面积． 【变式训练3】（24-25七年级下·广西桂林·期中）【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】 （1）①若，，则的值为________． ②若，则________． 【迁移应用】 （2）两块完全相同的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积． 【变式训练4】（24-25六年级下·山东济南·期中）通过《整式的乘除》的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图1可以得到；如图2可以得到：．现有长与宽分别为a、b的4个小长方形，排成了如图3的形状． (1)【探索发现】根据图3，写出与之间的关系（用含a、b的代数式表示出来）：________； (2)【解决问题】若，，求的值； (3)【拓展提升】如图4，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和，延长和交于点H，得到长方形，若，图中阴影部分面积为38，求两个正方形的面积之和的值． 【题型六 求完全平方式中的字母系数】 【例6】（24-25七年级下·四川成都·期中）如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是 ． 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若是一个完全平方式，则 ． 【变式训练2】（24-25七年级下·福建漳州·期中）如果关于的二次三项式是完全平方式，则的值是 ． 【变式训练3】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）若二次三项式是完全平方式，则的值是 ． 【变式训练4】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）已知关于的代数式“”是完全平方式，则应该是（   ） A．或 B． C． D． 【题型七 整式乘法中的新定义计算】 【例7】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：，，，因此4，12，20都是“神秘数”． (1)请说明36是“神秘数”； (2)“神秘数”一定是8的倍数吗？为什么？ (3)2026是“神秘数”吗？请说明理由． 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）对于任意实数，我们规定符号的意义是：．按照这个规定请你计算：当时，的值． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a、b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i； （2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i； （2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i． 根据以上信息，完成下面计算：（2+i）（1﹣2i）+（2﹣i）2＝ ． 【变式训练3】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）定义：对于依次排列的多项式，，，（a，b，c，是常数），当它们满足，且M为常数时，则称a，b，c，是一组完美数，M是该组完美数的完美因子．例如：对于多项式：，，，因为，所以1，3，5是一组完美数，4是该组完美数的完美因子． (1)已知1、4、7是一组完美数，则该组完美数的完美因子=______． (2)已知2，5，8是一组完美数，求该组完美数的完美因子M； (3)直接写出a，b，c之间满足什么数量关系时，它们是一组完美数． 【变式训练4】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为， 所以当时， 的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是1， 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【探究问题】 （1）①已知，则______． ②已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （2）已知实数，满足，当等于多少时，能取得最小值并求出最小值． 【题型八 整式乘法混合运算及化简求值】 【例8】（2025·湖南湘西·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【变式训练1】（2025七年级下·全国·专题练习）运用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）求下列代数式的值：，其中． 下面是小泰同学化简代数式的部分解题过程： 解： 第一步 第二步 第三步 … (1)请写出第一步计算的依据：______； (2)小泰的解答过程从第______步开始出错； (3)请按小泰的思路帮小泰写出完整正确的解答过程． 【变式训练3】（23-24七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式训练4】（2025七年级下·全国·专题练习）利用乘法公式计算： (1)； (2)． 拓展训练 一、选择题 1.（24-25八年级上·四川乐山·期末）运用完全平方公式计算的最佳选择是（      ） A． B． C． D． 2.（2025·四川绵阳·三模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）若，，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 4.（2025·广东潮州·一模）若，，则的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D．6 5.（2025·山东聊城·二模）发现：……依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（    ） A．7 B．9 C．3 D．1 2、 填空题 6.（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）计算： ． 7.（2025·河北唐山·二模）现有如图所示的三种纸片若干张．淇淇要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，她选取纸片4张，再取纸片1张，还需要取纸片 张． 8.（24-25七年级下·广东深圳·期中）已知是一个完全平方式，则的值是 ． 9.（24-25七年级下·广东深圳·期中）若，则的值是 ． 10.（2025·广东佛山·二模）若x、a为实数，则M、N的大小关系为 3、 解答题 11.（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； 12．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中． 13.（24-25七年级下·甘肃张掖·阶段练习）阅读下面各式，寻找其中的计算规律． ① ②   ③ (1)按这个规律，第10个式子是：______________ (2)观测上式，并猜测： ________________ (3)根据你的猜测，计算（其中n是正整数）的值． 14.（24-25七年级上·辽宁大连·期末）在学习整式乘法一章时，小明定义：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“妙数”．例如：10是“妙数”，因为；再如：（是整数），所以也是“妙数”． (1)判断20是否为“妙数”___________（填“是”或者“否”）； (2)已知（是整数）是常数，要使为“妙数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 15.（24-25七年级下·江苏无锡·期中）把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为；所以；所以；得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： 【初步应用】 （1）若，，则 ； 【类题探究】     （2）若m满足．求的值． 【拓展延伸】 （3）如图，点C在线段上，以为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$