精品解析：重庆南开中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

重庆南开中学高2026届高二（下）半期考试 数学试题 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第I卷和第II卷都答在答题卷上. 第I卷（选择题共58分） 一､单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请将答案填写在答题卡的相应位置上. 1. 从五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（ ） A. 60 B. 70 C. 80 D. 90 【答案】A 【解析】 【分析】利用排列可求无重复数字的三位数的个数. 【详解】无重复数字的三位数的个数为， 故选：A. 2. 函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 是函数的极大值点 D. 是函数的极小值点 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数图象分析函数的单调性，结合极值点的定义判断即可. 【详解】对于A选项，当时，，故函数在区间上单调递增，A错； 对于B选项，当时，，故函数在区间上单调递增，B对； 对于C选项，当时，，当时，， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，是函数的极小值点，C错； 对于D选项，函数在区间上单调递增，在区间上单调递增， 故不是函数的极值点，D错. 故选：B. 3. 多项式展开式中，项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出展开式通项，对照项，求出参数值，代入通项后即可得解. 【详解】的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为， 由可得，故展开式中项的系数为. 故选：A. 4. 函数的图象与直线恰有两个公共点，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的值. 【详解】设，其中，则，令可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的极大值为，极小值为，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个公共点. 故选：D. 5. 随机变量的分布列如表，则方差（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列的性质求出的值，可求出的值，再利用方差公式可求得的值. 【详解】由分布列的性质可得，解得，所以， 故. 故选：C. 6. 过抛物线的焦点作斜率为的直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，设、的斜率为、，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合以及，可求出的值. 【详解】易知抛物线的焦点为，则直线的方程为，设点、， 联立可得，则， 由韦达定理可得，， 所以，因为，解得. 故选：B. 7. 为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的数学拓展课程，现有几何画板、数学与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先考虑五名同学选修四门课程的所有情况种数，然后对选修数独、几何画板的人数进行分类讨论，结合分类、分步计数原理与古典概型的概率公式求解即可. 【详解】将五名同学分为四组，每组人数分别为、、、，分组方法种数为种， 所以，五名同学报名四门课程，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修， 不同的报名种数为种， 考虑数独的报名人数， ①若数独只有一人报名，从乙和丙中选一人，有种情况， 若选修几何画板只有一人，从剩余4人中除甲以外的3人中任选1人，有种情况， 最后将剩余人分为两组，再分配给另外两门课程， 此时不同的选择情况种数为种； 若选修几何画板有两人，有种情况，剩余两人选修剩余两门课程， 此时不同的选择方法种数为种； ②若数独有两人报名（乙和丙）， 则选修几画板的有剩余人中除甲以外的两人中任选一人，有两种情况. 剩余两人报名剩余两名课程， 此时不同的选择方法种数为种. 综上所述，所求概率为. 故选：D. 8. 已知直线为的一条切线，将的图象向右平移个单位，向上平移1个单位后仍与直线相切，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知的一条切线的斜率为，根据导数的几何意义求得切点，进而求得切线方程，即可求得. 【详解】由得 由题意，直线的斜率为，则，解得. ∴，∴切点为 ∴切线方程为，即. 所以，. 故选：B. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请将答案填写在答题卡相应的位置上. 9. 已知的展开式中所有二项式系数之和为512，则以下说法正确的有（ ） A. B. 展开式中第四项和第五项的二项式系数最大 C. 除以4的余数为1 D. 展开式中常数项为672 【答案】AD 【解析】 【分析】根据在二项展开式中二项式系数和为，求出可判断A；根据二项式系数的性质求解可判断B；，结合二项展开式的通项公式可判断C；利用展开式通项进而可求出展开式中的常数项D. 【详解】对于A，由题意得，，得，故A正确； 对于B，由于为奇数，中间两项即第5项与第6项的二项式系数最大，故B不正确； 对于C，的展开式中除首项外，其余各项都含因数4，所以除以4的余数为3，故C不正确 对于D，展开式通项为， 则令，所以，常数项为，故D正确. 故选：AD. 10. 在一个盒子中装有4个大小形状均相同，编号为的小球.从中有放回地随机取两次，每次取1个球，记事件A：“第二次取到球的号码小于等于2”，事件B：“两次取到球的号码之和为奇数”，事件C：“两次取到球的号码之积为偶数”，则（ ） A. 与互斥 B. 与相互独立 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用互斥事件的定义即可判断A；利用独立事件的概率公式即可判断B；根据公式计算可判断C；利用条件概率的计算公式即可判断D. 【详解】对于A，事件与可以同时发生，如两次取到球的号码分别为1和2，则与不互斥，故A错误； 对于B，，，. 所以与相互独立，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D正确 故选：BCD. 11. 已知函数及其导函数定义域均为，且满足，，则下列说法正确的有（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数存在极小值 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先结合，构造函数，利用导函数与求解函数与，则A项可得；B项求导研究函数单调性可得无极值；C项，由得关系，消元得，进而利用基本不等式可得；D项，将不等式变形转化为，再利用整体换元构造函数，利用单调性证明不等式即可. 【详解】由已知可得，构造函数， 则， 所以，其中为常数， 所以，可得，故， 所以，解得，故， A选项，函数在上单调递增，A正确； B选项，，令，其中， 则，令，则， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. 故，所以函数在上单调递增， 即函数无极值，B错误； C选项，因为，所以， 则， 当且仅当时，等号成立，故C正确； D选项，由，则，，故， 不等式，可化为， 即，即， 由，不等式又可化为， 令，即. 下面证明：任意，. 证明：原不等式， 令，即证， 构造函数，， 则， 故在单调递减，由，则， 故得证. 因此，成立，故D项正确； 故选：ACD. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请将答案填写在答题卡相应位置上. 12. 现有6件大小和外形都相同的零件，其中2件次品，4件正品，现随机从中一次性抽取2件，则抽到次品的件数的数学期望为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，写出服从的分布列，根据分布列求其数学期望即可. 【详解】由已知的所有可能取值为：0,1,2； 则 所以． 故答案为：. 13. 已知一道双空填空题要求每空都要填，根据以往经验，每10个人大约有8个人能填对第一空，以频率估计概率，若在第一空填不对的情况下，填对第二空的概率为0.1，第一空填对的情况下，第二空填错的概率为0.6，则填对第二空的概率为__________. 【答案】0.34 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式、全概率公式，结合对立事件的概率公式求解. 【详解】设“填对第一空”为事件，“填对第二空”为事件， 依题意，， 则，， ，所以. 故答案为：0.34 14. 按照一定次序排列的一列集合称为集合列，可记为；已知全集的子集满足.若恰有两个元素，则这样的集合列有__________个；所有满足条件的集合列有__________个. 【答案】 ①. 96 ②. 625## 【解析】 【分析】对于空①：先利用组合确定的不同的可能种数，然后结合集合的交并运算，利用乘法计数原理得到对于的每一种确定的情况，集合列的不同种数，进而利用乘法计数原理求得集合列的不同种数，得到空①的答案；类似空①的求解过程，得到的元素个数为0，1，2，3，4的各种情况下的集合列的不同种数，然后根据加法计数原理求和，并利用二项式定理化简计算得到空②的答案. 【详解】空①：有2个元素，是从中任选2个数字，有种不同的可能； 由于，所以中必须而且只需包含没有被选中的2个元素； 其余的2个元素都可以任意的在或不在中，各有4种不同的处置方法， 每种方法都确保了集合列的不同， 从而有种不同的处置方式，得到集合列的16种不同的结果， 所以集合列有种不同的结果. 空②：类似空①的过程，可知当时， 集合列有个不同的结果， 因为， 所以所有满足条件的集合列有625种不同的结果. 故答案为：96；625. 四､解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请将答案填写在答题卡相应的位置上. 15. 已知函数. （1）若为函数的极大值点，求的值； （2）若，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，求出的值，然后结合极值点的定义验证即可； （2）由参变量分离法可得，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，则， 因为为函数的极大值点，则，解得， 此时，， 由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 此时，函数在处取得极大值，合乎同意. 综上所述，. 【小问2详解】 对任意的，，可得， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 所以，，故， 因此，实数的取值范围是. 16. 如图，四棱锥中，底面为菱形，为的中点. （1）证明平面； （2）若在平面上的射影为中点，且，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 连接，交于，连接，作图如下： 在菱形，因为，所以为的中点， 在中，因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质以及三角形中位线定理可得线线平行，根据线面平行的判定，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据面面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记的中点为，连接，由题意可知平面， 在菱形中，由，则，易知为等边三角形， 由为的中点，则，由平面， 则， 以为原点，分别以所在是直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 由，，则， 易知，则，且， 由图可得，，，， 则，， 设平面的法向量，由（1）易知， 则，令，则， 所以平面的一个法向量， 由图易知为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则. 17. 已知双曲线的图象经过点，其中一条渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）过点作垂直于轴的直线，过点作直线与双曲线右支交于、两点，过点作的垂线，垂足为点.证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2）定点坐标为，证明如下： 若直线与轴重合，则该直线与双曲线交于两个顶点，不合乎题意. 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 由题意可得， 由韦达定理可得，， 易知点，由对称性知直线过轴上的定点， ，， 由题意可知，即， 可得，解得， 因此，直线过定点，且定点坐标为. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出双曲线的标准方程； （2）设直线的方程为，设点、，将该直线方程与双曲线方程联立，列出韦达定理，由对称性知直线过轴上的定点，由结合韦达定理可求出的值，即可得出定点的坐标. 【小问1详解】 由题意可得，解得，因此，双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 略 18. 重庆漆艺历史悠久，可以追溯到商周时期，是一种传承千年，特色鲜明的传统手工技艺.某漆器厂准备制作三种不同规格的漆器瓷盘各一件，制作过程必须经过两道工艺，第一道是胎体制作，第二道是抛光上漆，第一道工艺合格以后才能进入第二道，两道工艺相互独立，三件瓷盘的制作过程也相互独立.该厂制作A，B，C瓷盘第一道工艺合格率分别为，第二道工艺合格率分别为. （1）求经过第一道工艺以后三件瓷盘中恰有两件合格的概率； （2）经过两道工艺且均合格以后，产品就可以上市销售，每件瓷盘可获利2百元；如果不合格，每件亏损1百元，求这三件瓷盘合计盈亏金额的数学期望； （3）该厂决定研发瓷盘，计划邀请两名一级技工和一名二级技工参与，假定每名一级技工独立制作成功的概率为，每名二级技工制作成功的概率为.现三人按照一定顺序依次制作瓷盘，从第一个人开始，如果制作失败，则换下一个人制作，如果制作成功，则停止制作（如果三人均制作失败，也停止制作）.三个人的制作过程相互独立.若每制作一次，进行制作的技工会获得相应的人工费，未进行制作的技工不获得人工费，其中一级技工的人工费为3百元，二级技工的人工费为2百元.现有以下两种方案可供选择： 方案一：由二级技工第一个制作； 方案二：由二级技工第三个制作. 试比较两种方案人工费开销的数学期望哪个更小？并说明理由. 【答案】（1） （2）（百元） （3） 设方案一的人工费开销为，则可取， 而，，， 故 ， 设方案二的人工费开销为，则可取， 而，，， 故 ， ， 当时，，故方案二的人工费开销的数学期望较小； 当时，，故方案一、方案二的人工费开销的数学期望相同； 当时，，故方案一的人工费开销的数学期望较小. 【解析】 【分析】（1）由独立事件的概率公式可求经过第一道工艺以后三件瓷盘中恰有两件合格的概率； （2）根据二项分布的数学期望可求三件瓷盘合计盈亏金额的数学期望； （3）设方案一的人工费开销为，方案二的人工费开销为，由独立事件的概率公式可求它们的分布列，从而可得它们的数学期望，作差后可比较它们的大小. 【小问1详解】 设事件为“经过第一道工艺以后三件瓷盘中恰有两件合格”， 则. 【小问2详解】 由题设可得经过两道工序，瓷盘合格的概率为， 瓷盘合格的概率为，瓷盘合格的概率为， 设三件瓷盘合格的个数为，则，故， 而， 所以（百元）. 【小问3详解】 略 19. 已知函数. （1）判断函数在上的单调性； （2）设函数，若方程在上有三个不同的根，求证：； （3）求证：. 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减 （2）证明如下： 当时，函数单调递减，由（1）知，, ①先证明，即证， 令，即证． 求导， 令，求导， 所以，所以在上单调递增， 又因为，所以，所以， 所以在上单调递增，又因为，所以． 所以原不等式成立. ②再证明，即证． 即证， 令，即证． 求导， 所以在上单调递增，所以． （3）证明如下： 要证，即证． 令，则有， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以． 令，则有， 所以在上单调递增，所以，所以． 令，则有， 所以在上单调递增，所以，所以． 同理可证． ①当时：因为，所以， 所以，又因为，所以原不等式成立． ②当时：因为， 且， 当时，，而，所以． 当时：，而，所以． 综上所述，原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）求出导数，分别求出导数大于0、小于0的区间即可得到对于的增区间和减区间； （2）先证明，再证明即可，通过构造函数，研究函数的单调性及最值即可证明； （3）即证即证，通过构造函数即可证明. 【小问1详解】 求导有， 则有：当时，，当时，， 所以在单调递增．在上单调递减． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆南开中学高2026届高二（下）半期考试 数学试题 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第I卷和第II卷都答在答题卷上. 第I卷（选择题共58分） 一､单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请将答案填写在答题卡的相应位置上. 1. 从五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（ ） A. 60 B. 70 C. 80 D. 90 2. 函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 是函数的极大值点 D. 是函数的极小值点 3. 多项式展开式中，项的系数为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象与直线恰有两个公共点，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 5. 随机变量的分布列如表，则方差（ ） A. B. C. D. 6. 过抛物线的焦点作斜率为的直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，设、的斜率为、，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的数学拓展课程，现有几何画板、数学与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线为的一条切线，将的图象向右平移个单位，向上平移1个单位后仍与直线相切，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请将答案填写在答题卡相应的位置上. 9. 已知的展开式中所有二项式系数之和为512，则以下说法正确的有（ ） A. B. 展开式中第四项和第五项的二项式系数最大 C. 除以4的余数为1 D. 展开式中常数项为672 10. 在一个盒子中装有4个大小形状均相同，编号为的小球.从中有放回地随机取两次，每次取1个球，记事件A：“第二次取到球的号码小于等于2”，事件B：“两次取到球的号码之和为奇数”，事件C：“两次取到球的号码之积为偶数”，则（ ） A. 与互斥 B. 与相互独立 C. D. 11. 已知函数及其导函数定义域均为，且满足，，则下列说法正确的有（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数存在极小值 C. 若，则 D. 若，则 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请将答案填写在答题卡相应位置上. 12. 现有6件大小和外形都相同的零件，其中2件次品，4件正品，现随机从中一次性抽取2件，则抽到次品的件数的数学期望为__________. 13. 已知一道双空填空题要求每空都要填，根据以往经验，每10个人大约有8个人能填对第一空，以频率估计概率，若在第一空填不对的情况下，填对第二空的概率为0.1，第一空填对的情况下，第二空填错的概率为0.6，则填对第二空的概率为__________. 14. 按照一定次序排列的一列集合称为集合列，可记为；已知全集的子集满足.若恰有两个元素，则这样的集合列有__________个；所有满足条件的集合列有__________个. 四､解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请将答案填写在答题卡相应的位置上. 15. 已知函数. （1）若为函数的极大值点，求的值； （2）若，恒成立，求的取值范围. 16. 如图，四棱锥中，底面为菱形，为的中点. （1）证明平面； （2）若在平面上的射影为中点，且，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知双曲线的图象经过点，其中一条渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）过点作垂直于轴的直线，过点作直线与双曲线右支交于、两点，过点作的垂线，垂足为点.证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 18. 重庆漆艺历史悠久，可以追溯到商周时期，是一种传承千年，特色鲜明的传统手工技艺.某漆器厂准备制作三种不同规格的漆器瓷盘各一件，制作过程必须经过两道工艺，第一道是胎体制作，第二道是抛光上漆，第一道工艺合格以后才能进入第二道，两道工艺相互独立，三件瓷盘的制作过程也相互独立.该厂制作A，B，C瓷盘第一道工艺合格率分别为，第二道工艺合格率分别为. （1）求经过第一道工艺以后三件瓷盘中恰有两件合格的概率； （2）经过两道工艺且均合格以后，产品就可以上市销售，每件瓷盘可获利2百元；如果不合格，每件亏损1百元，求这三件瓷盘合计盈亏金额的数学期望； （3）该厂决定研发瓷盘，计划邀请两名一级技工和一名二级技工参与，假定每名一级技工独立制作成功的概率为，每名二级技工制作成功的概率为.现三人按照一定顺序依次制作瓷盘，从第一个人开始，如果制作失败，则换下一个人制作，如果制作成功，则停止制作（如果三人均制作失败，也停止制作）.三个人的制作过程相互独立.若每制作一次，进行制作的技工会获得相应的人工费，未进行制作的技工不获得人工费，其中一级技工的人工费为3百元，二级技工的人工费为2百元.现有以下两种方案可供选择： 方案一：由二级技工第一个制作； 方案二：由二级技工第三个制作. 试比较两种方案人工费开销的数学期望哪个更小？并说明理由. 19. 已知函数. （1）判断函数在上的单调性； （2）设函数，若方程在上有三个不同的根，求证：； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $