精品解析：四川省新高考2025届高三适应性考试（第三次联考）数学试题

四川省新高考2022级高三适应性考试 数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、考场/座位号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴码区”． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知i为虚数单位，复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ） A B. C. D. 4. 已知函数，则函数的图象（ ） A 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 5. 已知向量，则“”是“向量共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 赵爽是我国古代数学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．如图的“赵爽弦图”中小正方形的面积为49，大正方形的面积为169，直角三角形中较大的锐角为，则（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙等6人参加某次会议，会议安排其前后两排入座，每排3人（如图所示），其中甲坐后排，乙与甲前后、左右均不相邻，则不同的坐法种数共有（ ） A. 144种 B. 168种 C. 192种 D. 216种 8. 设抛物线C：的焦点为F，P为抛物线C上任意一点，O为坐标原点，M为线段的中点，则直线斜率的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. p 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知袋装食盐标准质量为400g，设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量X，Y，且，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知在中，角的对边分别为，若，则（ ） A. 的周长为12 B. 角的最大值为 C. 的面积最小值为 D. 的面积最大值为 11. 已知是函数的极大值点，则（ ） A. 函数的极小值为0 B. 若，则 C. 若，则有3个相异的零点 D. 若（其中），则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线，O为坐标原点，过双曲线C的右焦点且与x轴垂直的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于点M，N，则的面积为_______． 13. 若，，则实数m的取值范围为_______． 14. 已知正四面体ABCD的棱长为，其顶点都在球O的球面上，点M在棱CD上，且，则过点M的平面截球O所得截面的面积最小值为_______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在各项为正的等比数列中，，是与的等差中项． （1）求数列通项公式； （2）若，，求数列的前n项和． 16. 某工厂生产了两批次的某种产品，现从两批次的产品中共抽取500件进行检测，根据检测结果（“次品”或“合格品”）得到如下列联表： 生产批次 产品检测结果 合计 次品 合格品 第一批次 10 190 200 第二批次 40 260 300 合计 50 450 500 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为产品检测结果与生产批次有关联？ （2）用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从两批次中选一批次，再从该批次中随机抽取1件产品． （ⅰ）求取出产品是次品的概率； （ⅱ）已知取出的产品是次品，求它是从第一批次的产品中取出的概率． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 17. 动点与定点的距离和点到定直线的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若直线与曲线交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）是否存在实数，使得点在线段的中垂线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18. 如图，在直四棱柱中，四边形为正方形，，分别为的中点，是棱上的动点（包含端点）． （1）请说明当点在何处时，四点在同一平面内； （2）当点满足时，求三棱锥体积； （3）设二面角的大小为，求的最大值． 19. 定义二元函数，且同时满足：①；②两个条件． （1）求的值； （2）当时，比较和0的大小； （3）若为的极大值点，求的取值范围． 附：参考公式： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省新高考2022级高三适应性考试 数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、考场/座位号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴码区”． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用一元二次不等式求集合B，进而求交集. 【详解】因为，， 所以． 故选：C. 2. 已知i为虚数单位，复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知等式求出复数，再根据复数的模的计算公式求出. 【详解】由，有，所以，故． 故选：B 3. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的周期性以及单调性，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，最小正周期为，由，得，则单调递减，故A错误； 对于B，最小正周期为，由，得，则单调递减，故B错误； 对于C，最小正周期为，当时，单调递减，故C错误； 对于D，最小正周期为，当时，单调递增，故D正确； 故选：D 4. 已知函数，则函数的图象（ ） A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可得为奇函数，再结合函数的平移变换即可得到结果. 【详解】因为，则为奇函数， 所以的图象关于原点对称， 函数的图象可由的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到， 所以函数的图象关于点对称． 故选：A 5. 已知向量，则“”是“向量共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件判断即可. 【详解】当时，向量，因为，所以向量共线成立； 由向量，共线，有，此时， 所以“”是“向量共线”的充分不必要条件． 故选：A 6. 赵爽是我国古代数学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．如图的“赵爽弦图”中小正方形的面积为49，大正方形的面积为169，直角三角形中较大的锐角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，由条件可得，再由同角三角函数的平方关系以及二倍角公式，代入计算，即可得到结果. 【分析】由题意，大、小正方形的边长分别为13，7， 于是有，即有， 两边平方得，所以． 故选：D 7. 甲、乙等6人参加某次会议，会议安排其前后两排入座，每排3人（如图所示），其中甲坐后排，乙与甲前后、左右均不相邻，则不同的坐法种数共有（ ） A. 144种 B. 168种 C. 192种 D. 216种 【答案】C 【解析】 【分析】讨论甲坐的位置，然后根据分类加法计数原理求解即可. 【详解】如图所示，甲坐位置①，乙有3种选择，其他人不同坐法有种，共有种不同坐法； 甲坐位置②，乙有2种选择，其他人不同坐法有种，共有种不同坐法； 甲坐位置③，乙有3种选择，其他人不同坐法有种，共有种不同坐法， 所以不同坐法种数共有种． 故选：C 8. 设抛物线C：的焦点为F，P为抛物线C上任意一点，O为坐标原点，M为线段的中点，则直线斜率的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. p 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件得出直线 斜率的表达式，然后利用基本不等式求出其最大值. 【详解】由已知，，设（因为需要确定最大值，不妨设），则，于是直线的斜率满足： ，当且仅当即时取等． 另解：可取点，连接，则，直线的斜率．由图形直观可得，直线与抛物线相切时（点在第一象限），其斜率最大． 故选：B. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知袋装食盐标准质量为400g，设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量X，Y，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由正态曲线的性质，逐一判断，即可得到结果. 【详解】 对于A，作出随机变量正态分布密度曲线草图，根据对称性，选项A正确； 对于B，，选项B错误； 对于C，，选项C错误； 对于D，对于正态分布，给定是一个只与有关的定值， 则，选项D正确． 故选：AD 10. 已知在中，角的对边分别为，若，则（ ） A. 的周长为12 B. 角的最大值为 C. 的面积最小值为 D. 的面积最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理得可判断A；利用基本不等式得，再由余弦定理得可判断B；根据，当角接近0时，的面积也接近0可判断C；由得在时取得最大值，可判断D． 【详解】对于A，由根据正弦定理得 的周长为，选项A正确； 对于B，因为，由余弦定理， 因为，当且仅当等号成立，所以，选项B正确； 对于C，，当角接近0时，的面积也接近0，所以选项C错误； 对于D，，由得在时取得最大值， 故在时取得最大值，选项D正确． 故选：ABD. 11. 已知是函数的极大值点，则（ ） A. 函数的极小值为0 B. 若，则 C. 若，则有3个相异的零点 D. 若（其中），则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，求得，得出函数单调性与极值（点），可判定A正确；当时，得到，结合函数的单调性，可判定B错误；作出函数的图象，结合图象，可得判定C正确；根据题意，转化为证明，构造，利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】对于A中，由函数，可得， 因为是的极大值点，所以，解得， 所以，可得， 当时，，单调递增；当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以函数的极大值点为，极小值点为0，所以A正确； 对于B中，当时，，则， 因为在区间上单调递减，所以，所以B错误； 对于C中，由，且当时，，当时，， 可得的图象，如图所示， 当时，有3个相异零点，所以C正确； 对于D中，因为，要证，只需证明， 由在上单调递增，需证明， 即当时，证明， 构造函数（其中）， 则， 当时，，则在上单调递增， 所以，即当时，， 所以，所以，所以D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线，O为坐标原点，过双曲线C的右焦点且与x轴垂直的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于点M，N，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】求出双曲线的焦点和渐近线，进而可求的面积，再乘以2即可. 【详解】，故双曲线C的右焦点为， 由已知，一条渐近线的方程为，其倾斜角为， 所以，的面积为． 故答案为： 13. 若，，则实数m的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，转化为，令，结合基本不等式，求得函数的最小值，即可求解. 【详解】由，可得， 因为，故只需， 令，则， 当且仅当，即时取等号，所以，所以实数取值范围为． 故答案为：. 14. 已知正四面体ABCD的棱长为，其顶点都在球O的球面上，点M在棱CD上，且，则过点M的平面截球O所得截面的面积最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，把正四面体放置在一个棱长为1的正方体中，取的中点，得到，由，求得，再由过点且垂直于的截面为面积最小，结合球的截面的性质，求得截面圆的半径，利用圆的面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，由题可知棱长为1的正方体的顶点也都在球面上，所以球的半径为， 取的中点，连接，则， 由且正四面体棱长为，可得，， 则， 因为过点的平面截球所得截面为圆，则过点且垂直于的截面为面积最小， 设该截面圆半径为， 则， 可得所得截面的圆面积最小值为． 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在各项为正的等比数列中，，是与的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）若，，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差中项的定义代入计算，即可得到结果； （2）由错位相减法代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设各项为正的等比数列的公比为， 由，所以， 因为是与的等差中项， 所以，化简得， 解得（舍去）， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）可得，， 所以， ， 两式相减得 ， 所以． 16. 某工厂生产了两批次的某种产品，现从两批次的产品中共抽取500件进行检测，根据检测结果（“次品”或“合格品”）得到如下列联表： 生产批次 产品检测结果 合计 次品 合格品 第一批次 10 190 200 第二批次 40 260 300 合计 50 450 500 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为产品检测结果与生产批次有关联？ （2）用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从两批次中选一批次，再从该批次中随机抽取1件产品． （ⅰ）求取出的产品是次品的概率； （ⅱ）已知取出的产品是次品，求它是从第一批次的产品中取出的概率． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）有关联 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）计算出卡方，即可判断； （2）（ⅰ）设事件“取出的产品是次品”，事件“被选出的是第一批次”，由全概率公式计算可得；（ⅱ）由条件概率公式计算可得. 【小问1详解】 提出零假设：产品检测结果与生产批次没有关联， 由， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即产品检测结果与生产批次有关联，此推断犯错误的概率不大于； 【小问2详解】 设事件“取出的产品是次品”，事件“被选出的是第一批次”， （ⅰ）依题意，， ， 由全概率公式得：； （ⅱ）取出的是次品，则它是从第一批次的产品中取出的概率为： ． 17. 动点与定点的距离和点到定直线的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若直线与曲线交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）是否存在实数，使得点在线段的中垂线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，化简整理，即可得到曲线的方程； （2）设，联立方程组，得到，（ⅰ）结合弦长公式，求得，进而求得的取值范围； （ⅱ）由（i）得到的中点坐标为，求得，结合点在线段的中垂线上，可得，求得的值，即可求解. 【小问1详解】 解：因为动点与定点的距离和点到定直线的距离的比是常数， 可得，化简整理得，即曲线的方程为. 【小问2详解】 解：联立方程组，整理得， 设，可得， 且，所以， （ⅰ）由弦长公式，可得， 即， 因为，所以，的取值范围为； （ⅱ）由且， 可得的中点坐标为， 所以的斜率， 因为点在线段的中垂线上，可得，解得， 所以存在，使得点在线段的中垂线上. 18. 如图，在直四棱柱中，四边形为正方形，，分别为的中点，是棱上的动点（包含端点）． （1）请说明当点在何处时，四点在同一平面内； （2）当点满足时，求三棱锥的体积； （3）设二面角的大小为，求的最大值． 【答案】（1）当且仅当点位于点的位置时，四点在同一平面内 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）方法一根据面面平行结合线线平行得出四点在同一平面内；方法二应用空间向量法得出即可证明四点共面； （2）应用空间向量法计算点到平面的距离即可计算三棱锥体积； （3）方法一应用面面角定义得出的最大值为，方法二应用空间向量法计算二面角计算结合值域求解. 【小问1详解】 方法一：如图，取的中点，连接， 由已知，，，所以，， 易知，当点位于点的位置时，， 此时四点在同一平面内， 平面， 若四点在同一平面内， 则，当点不在点的位置时， 与不平行，从而与不平行， 因此四点不在同一平面内， 所以，当且仅当点位于点的位置时，四点在同一平面内； 方法二：根据已知，以为原点，为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 又因为， 则， 所以， 显然，与不共线，令， 由上可得， ， 于是有解得 此时，， 所以，当且仅当点在点的位置时，四点在同一平面内； 【小问2详解】 由（1），， 设平面的法向量为， 则 不妨设，可得，， 所以为平面的一个法向量， 由已知，当时，可得，则， 所以点到平面的距离为， 在中，， 所以，，； 【小问3详解】 方法一：由（1）可知，四点在同一平面内， 则二面角的平面角与二面角的平面角互补， 所以， 设点到平面的距离为，点到直线的距离为， 则， 在矩形中，，又因为， 则，又因为， 所以，是异面直线与的公垂线， 故当点运动至点时，点到直线的距离最小，且， 此时点到平面的距离最大， 即等于点到平面的距离， 所以，的最大值为， 在中，， 边上的高为， 由，得， 即， 所以，，解得， 所以，的最大值为； 方法二：由（2）可知平面的一个法向量为， 设，则， 设平面的法向量为，则 不妨设，可得，， 所以为平面的一个法向量， 则， 令，则， 所以， 所以，当且仅当，即时，取得最小值， 此时，取得最大值． 19. 定义二元函数，且同时满足：①；②两个条件． （1）求的值； （2）当时，比较和0的大小； （3）若为的极大值点，求的取值范围． 附：参考公式： 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据函数新定义结合特殊角三角函数值计算求解； （2）应用定义解裂项相消及不等式的性质证明； （3）先求出导函数，根据导函数得出函数单调性及极值点计算求参. 【小问1详解】 由题意知，， ； 【小问2详解】 由已知， 当时，， ， 所以 ， 当且仅当时，上式取得等号，但不可能成立， 当时，，不等式也成立， 所以当时，； 【小问3详解】 因为， 所以，注意到， ，注意到， 令， 则，注意到， 令， 则， 可知当时，， 则当时，为增函数，即为增函数， 若，即当时， 存在，使得当时，为增函数，即为增函数， 所以在区间上为增函数， 所以不是的极大值点，不符合题意，舍去， 若，即当时， 存在，使得当时，为减函数，即为减函数， 所以，在区间上，，函数单调递减， 在区间上，，函数单调递增， 所以，是的极大值点，符合题意， 综上所述，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $