专题01 相交线与平行线（8个知识点+7个核心考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

专题01 相交线与平行线 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1 两条直线相交】 【邻补角的概念与性质】 1.相交线：有一个公共点的两直线是相交线. 2.定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角. 3.性质：邻补角互补. 【对顶角的概念与性质】 1.定义：两个角有一个公共顶点，并且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角. 2.性质：对顶角相等. 【典例1】如图直线相交于点，是的邻补角是 ，的对顶角是 ，若，则 度， 度． 【知识点2 两条直线垂直】 【垂直的定义】 1.定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线 叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 【垂线的画法及性质】 1.垂线的画法：有一个公共点的两直线是相交线. 一“落”：让直角三角板的一条直角边落在已知直线上，即与已知直线重合 二“移”：沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点 三“画”：沿与已知直线不重合的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线. 2.垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 【典例2】已知三角形，用直角三角板过点A作直线的垂线，下列三角板的位置摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 【垂线段最短】 1.垂线段：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段，叫作垂线段. 2.垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成垂线段最短. 【典例3】如图，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 【点到直线的距离】 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 【典例4】在下列图形中，线段的长表示点到直线的距离的是（　　） A． B． C． D． 【知识点3 两条直线被第三条直线所截】 1.同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线） 的同旁，则这样一对角叫做同位角． 2.内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线） 的两旁，则这样一对角叫做内错角． 3.同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截 线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． 【典例5】如图所示的八个角中，同位角有 对，内错角有 对，同旁内角有 对． 【知识点4 平行线的概念】 【平行线的定义及平面内两直线的位置关系的判定】 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 【平行线的基本事实及其推论】 （1）平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【典例6】已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个判断：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中正确的是 ．（填写所有正确的序号） 【知识点5 平行线的判定】 定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等， 两直线平行． 定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两 直线平行． 定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互 补，两直线平行． 注意：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 【典例7】如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中，能判定的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【知识点6 平行线的性质】 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 【典例8】如图，，若，，则 ． 【知识点7 定义、命题、定理】 命题的定义：可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题． 命题的真假：被判断为正确（或真）的命题叫作真命题，被判断为错误（或假）的命题叫作假命题． 命题的组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.通常可以写成“如果……那么……”的形式.“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论 . 举反例：要说明一个命题是假命题，只要举出一个符合命题的题设，但不满足命题的结论的例子就可以了.像这样的例子叫作反例. 【命题与证明综合应用】 （1）定理：有些真命题，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理.如“对顶角相等”“平行于同一直线的两条直线平行”都可以看作定理. （2）证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明，如本章我们做过的一些证明题，其过程就是在证明. （3）证明的一般步骤是：1.根据题意画:出图形；2.个依据题设、结论，结合图形写出已知、求证；3.个经过分析，由已知条件推出结论，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径，然后书写证明过程.证明的过程就是用已经学过的知识有理有据地推出结论.证明同一个命题可能会有多种方法. 【典例9】命题：互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角． (1)将该命题改写成“如果……，那么……”的形式； (2)该命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例． 【知识点8 平移】 【平移定义】 1.定义：一般地，在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移． 2.平移的条件：决定平移的条件是平移的方向和平移的距离. 【平移的性质】 （1）平移后的图形与原图形的形状和大小完全相同. （2）平移后，新图形和原图形对应线段平行(或共线)且相等；对应角相等；对应点所连线段平行(或共线)且相等. 【平移作图】 （1）定：确定平移的方向和距离； （2）找：找出原图形中的关键点； （3）移：过关键点作平行或在同一条直线上且相等的线段得到关键点平移后的对应点； （4）连：按原图形顺序依次连接各个对应点得到的图形即为平移后的图形. 【典例10】如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，若平移距离为7，则阴影部分面积为 ． 考点一：相交线中的角度计算 例1．如图所示，直线相交于点，，垂足为，已知． (1)若平分，求的度数； (2)若的度数比的度数的倍多，试判断与垂直吗，并说明理由． 【变式1-1】如图，直线相交于点O，，平分． (1)若，求的度数； (2)若． ①用含的代数式分别表示和； ②求的度数． 【变式1-2】如图，直线与相交于点，是的平分线，，． (1)如果，求的度数； (2)设，求证：． 【变式1-3】若直线和直线相交于点，为内部的射线，平分，平分． (1)若，求和的度数？ (2)若是任意角，求的度数？ (3)请猜想，度数会改变吗？若改变，请说明理由；若不改变，则度数是多少？ 考点二：填写推理依据，完善证明过程 例2.完成下面的推理填空： 如图，已知，，求证：． 证明：， （_________）． _________， _________， ， ， 又， _________， _________（_________）． ．（_________）． 【变式1-1】如图，，求的度数． 解：∵（已知） （ ） ∴（ ） ∴ （ ） ∴（ ） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（ ） ∴（ ） 【变式1-2】将下面的说理过程补充完整． 已知：如图，，垂足为． （1）试说明； （2）试求出的度数． 解：（1）（已知）， ______________（______________）． （______________）． （2）（已知）， （垂直的定义）． （已证），（已知）， （______________）． ______________（______________）． ______________． 的度数为______________． 【变式1-3】把下列推理过程补充完整： 如图，已知交BC于点M，交BC于点E，，，求证：． 证明：，， ，（ ① ）． （等量代换）． （ ② ）． ③ （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． ， （内错角相等，两直线平行）． （ ⑤ ）． 考点三：平行线的判定与性质证明 例3.如图，在三角形中，、分别是、边上的点，点，在边上，连接，，，已知，． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【变式1-1】如图，在三角形中，点在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，且，求的度数． 【变式1-2】已知：如图，点E在上，，垂足分别为D、F，点M、G在上，，．求证：． 【变式1-3】如图，已知，．    (1)证明：； (2)若， ①，求的度数； ②求证： 考点四：平行线中的拐点问题 例4. 如图，，，，则 ． 【变式1-1】如图，已知：，，，．则x，y，z之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A，B，G，C，D，E，F，将A，B，G，C，D，E，F顺次首尾连接．若B，G，C三点共线，恰好经过点G，且，，，则为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】【问题初探】 （）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，，点在，之间且点在点右侧，求证：； 【类比探究】 （）李明对王老师给出的问题进行了改编：如图，，点在，之间且点在点左侧，直接写出，，之间的数量关系； 【学以致用】 （）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，求的度数． 考点五：平行线中多结论问题 例5. 如图，在四边形中， ，点在的延长线上，连接交于点，点在上，连接，，已知，；下列结论：①与互为同位角；② ；③平分；④．其中所有正确结论的序号为 ． 【变式1-1】如图，，点，在直线上（在的右侧），点在直线上，，为线段上的一点，连接与的角平分线交于点，且点在直线之间，下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的结论是 ．    【变式1-2】如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②平分；③；④；⑤，其中正确的是 填序号）． 【变式1-3】如图，，为上一点，且垂足为，，平分，且，则下列结论：；平分；；；其中正确的有 ．（请填写序号） 考点六：平行线中的判定与性质综合探究题 例6. 综合与探究 如图，，点，分别在直线，上． (1)如图1，是直线，之间一点，连接，．试说明． (2)如图2，是直线，之间一点，连接，．若，，求的度数． (3)如图3，平分，平分，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【变式1-1】【探究结论】如图1，，为平行线内一点，连接、得到，经推理证明可得．（不要求证明） 【探究应用】利用以上结论解决下面问题： (1)如图2，和的平分线交于点，的度数是________； (2)如图3，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，试说明； (3)如图4，点为线段（端点除外）上的一个动点，过点作的垂线交于，交于，、的平分线相交于，则________． 【变式1-2】已知直线，将一个含角的直角三板按如图1所示位置摆放，使分别在上，P在之间，设． (1)比较：_______（填“>”“<”或“=”）； (2)如图2，分别画的平分线，交于点Q，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若平分，交于点E，过点N作，交于点F．请在图3中补全图形，并判断的大小是否是一个定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【变式1-3】已知直线，点、分别是直线和上的两点，点为直线和之间的一点，连接、． (1)如图1，若，试说明； (2)如图2，在（1）的结论下，点是直线下方一点，满足平分，平分．若，求的度数； (3)如图3，点是直线上方一点，连结、，若点为线段上一点，的延长线为的三等分线，平分，，则_________． 考点七：：平行线中的动态旋转问题 例7. 如图1，点为直线上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点处，直角边，分别在射线，上，且，． (1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为___________度． (2)继续将图2中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由． (3)在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点按每秒的速度旋转，当直角三角板的边所在的直线恰好平行于直角三角板的一边时，直接写出此时三角板绕点的运动时间的值． 【变式1-1】如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． AI (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点B以每秒4度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当落在射线上时，运动停止．设旋转时间为t（s）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），两个三角形同时停止运动．请直接写出当的角平分线与的角平分线平行时t的值． 【变式1-2】如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分； (1)求的度数； (2)如图2，若将绕B点以每秒的速度按逆时针方向旋转（A、C的对应点分别为F、G）．设旋转时间为t秒； ①在旋转过程中，若边，求t的值； ②若在绕B点旋转的同时，绕E点以每秒的速度按顺时针方向旋转（C、D的对应点分别为K、T），请直接写出与平行时的值． 【变式1-3】如图，已知是直线，间的一点，于点，交于点， ． (1) ． (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当时，请求出的度数； ②当时，请求出的值． 1．将一定宽度的纸带与一直角三角尺按如图所示的方式放置，下列结论中能判定纸带边的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列命题中，①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种；④不相交的两条直线是平行线；⑤有公共顶点且有一条公共边的两个角互为补角是假命题的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，，交于点，，，平分，若设，，则和之间的关系是(   ) A． B． C． D． 4．如图，与交于点，点在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．①③ C．①② D．①②③ 5．如图，图①是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③，则图③中的的度数是 ． 6．直线相交于点O，且，平分． (1)如图1，①的余角有_______．（填写所有符合情况的角） ②若，求的度数． (2)如图2，请直接写出与的数量关系为________． 7．完成下面推理过程： 如图，，，，，．求的度数． 解：∵，，（已知） ∴，（等量代换） ∴，（    ） ∴_________，（    ） ∵，（已知） ∴ ∵，（已知） ∴____________，（    ） ∵，（已知） ∴__________，（等量代换） ∴_____________________°． 8．如图，点，分别在，上，点，都在上，交于点，平分，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 9．如图，，点E在下方，连接，，平分． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，在射线上取点G，连接，使得，若，求的度数； (3)如图3，若，作平分，过点B作，在射线上取一点N，连接，使得，请直接写出的度数：__________． 10．如图①所示的是一副三角尺，，，，． (1)将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点与点重合，点在直角边上，斜边与斜边相交于点，求的度数； (2)如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，直角边与斜边相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)直线，三角板和三角板按照图④所示放置，直角顶点与点重合，并且在直线上，直角顶点在直线上，，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒6°的速度顺时针旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒．在旋转过程中，当边与三角板的一条边平行时，求出所有满足条件的的值． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相交线与平行线 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1 两条直线相交】 【邻补角的概念与性质】 1.相交线：有一个公共点的两直线是相交线. 2.定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角. 3.性质：邻补角互补. 【对顶角的概念与性质】 1.定义：两个角有一个公共顶点，并且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角. 2.性质：对顶角相等. 【典例1】如图直线相交于点，是的邻补角是 ，的对顶角是 ，若，则 度， 度． 【分析】由题意得，的邻补角是或；的对顶角是， ∵， ∴，； 故答案为：、；；；． 【知识点2 两条直线垂直】 【垂直的定义】 1.定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线 叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 【垂线的画法及性质】 1.垂线的画法：有一个公共点的两直线是相交线. 一“落”：让直角三角板的一条直角边落在已知直线上，即与已知直线重合 二“移”：沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点 三“画”：沿与已知直线不重合的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线. 2.垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 【典例2】已知三角形，用直角三角板过点A作直线的垂线，下列三角板的位置摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】选项A中三角板过点A，但不垂直，故不符合题意； 选项B中三角板过点A，且垂直，故符合题意； 选项C中三角板不过点A，故不符合题意； 选项D中三角板过点A，但不垂直，故不符合题意， 故选：B． 【垂线段最短】 1.垂线段：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段，叫作垂线段. 2.垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成垂线段最短. 【典例3】如图，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 【分析】∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴当时，的值最小， 在中， ∵，，，， ∴，即：， ∴， 故选：B． 【点到直线的距离】 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 【典例4】在下列图形中，线段的长表示点到直线的距离的是（　　） A． B． C． D． 【分析】因为A选项中垂直于，所以线段的长表示点P到直线的距离的是A选项． 故选：A． 【知识点3 两条直线被第三条直线所截】 1.同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线） 的同旁，则这样一对角叫做同位角． 2.内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线） 的两旁，则这样一对角叫做内错角． 3.同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截 线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． 【典例5】如图所示的八个角中，同位角有 对，内错角有 对，同旁内角有 对． 【分析】同位角有与，与，与，共3对， 内错角：与，与，与，与，共4对； 同旁内角：与，与，与，与，共4对； 故答案为：3；4；4． 【知识点4 平行线的概念】 【平行线的定义及平面内两直线的位置关系的判定】 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 【平行线的基本事实及其推论】 （1）平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【典例6】已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个判断：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中正确的是 ．（填写所有正确的序号） 【分析】①如果，，那么，正确； ②如果，，那么，正确； ③如果，，那么，错误，应该是； ④如果，，那么，正确． 故答案为：①②④． 【知识点5 平行线的判定】 定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等， 两直线平行． 定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两 直线平行． 定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互 补，两直线平行． 注意：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 【典例7】如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中，能判定的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】①∵，∴，故①符合题意； ②∵，∴，故②不符合题意； ③∵，∴，故③不符合题意； ④∵，∴，故④符合题意； ⑤∵，∴，故⑤符合题意； 综上所述，正确的有①④⑤，共个， 故选：C． 【知识点6 平行线的性质】 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 【典例8】如图，，若，，则 ． 【分析】∵， ∴， ， ∴． 故答案为： 【知识点7 定义、命题、定理】 命题的定义：可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题． 命题的真假：被判断为正确（或真）的命题叫作真命题，被判断为错误（或假）的命题叫作假命题． 命题的组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.通常可以写成“如果……那么……”的形式.“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论 . 举反例：要说明一个命题是假命题，只要举出一个符合命题的题设，但不满足命题的结论的例子就可以了.像这样的例子叫作反例. 【命题与证明综合应用】 （1）定理：有些真命题，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理.如“对顶角相等”“平行于同一直线的两条直线平行”都可以看作定理. （2）证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明，如本章我们做过的一些证明题，其过程就是在证明. （3）证明的一般步骤是：1.根据题意画:出图形；2.个依据题设、结论，结合图形写出已知、求证；3.个经过分析，由已知条件推出结论，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径，然后书写证明过程.证明的过程就是用已经学过的知识有理有据地推出结论.证明同一个命题可能会有多种方法. 【典例9】命题：互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角． (1)将该命题改写成“如果……，那么……”的形式； (2)该命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例． 【分析】（1）解：由题意得：如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角； （2）解：该命题是假命题，反例为两个直角相加也为180度． 【知识点8 平移】 【平移定义】 1.定义：一般地，在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移． 2.平移的条件：决定平移的条件是平移的方向和平移的距离. 【平移的性质】 （1）平移后的图形与原图形的形状和大小完全相同. （2）平移后，新图形和原图形对应线段平行(或共线)且相等；对应角相等；对应点所连线段平行(或共线)且相等. 【平移作图】 （1）定：确定平移的方向和距离； （2）找：找出原图形中的关键点； （3）移：过关键点作平行或在同一条直线上且相等的线段得到关键点平移后的对应点； （4）连：按原图形顺序依次连接各个对应点得到的图形即为平移后的图形. 【典例10】如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，若平移距离为7，则阴影部分面积为 ． 【分析】由平移的性质知，，， ， ∵平移，， ， 故答案为：56． 考点一：相交线中的角度计算 例1．如图所示，直线相交于点，，垂足为，已知． (1)若平分，求的度数； (2)若的度数比的度数的倍多，试判断与垂直吗，并说明理由． 【分析】本题主要考查垂直判定和性质，角平分线的定义，几何中角度的计算，一元一次方程解角度问题，理解图示，掌握角度的和差计算是关键． （1）根据垂直及角的比例关系得到，，由角平分线的定义得到，由即可求解； （2）设，则，则，由此得到，则由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 若平分，则， ∴； （2）解：，理由如下， 设，则， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴． 【变式1-1】如图，直线相交于点O，，平分． (1)若，求的度数； (2)若． ①用含的代数式分别表示和； ②求的度数． 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，角平分线的定义，熟知垂线的定义和角平分线的定义是条件的关键． （1）先由平角的定义求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，最后根据垂线的定义得到的度数即可得到答案； （2）①由垂线的定义得到的度数，则可求出的度数，则由对顶角相等得到的度数，同理求出的度数即可得到答案；②根据①所求即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，             ∵平分， ∴， ∵， ∴，       ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴，               ∴，              ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴；    ②由①得：． 【变式1-2】如图，直线与相交于点，是的平分线，，． (1)如果，求的度数； (2)设，求证：． 【分析】本题考查了对顶角的性质，互余的性质，角平分线的定义等知识，熟练利用这两个性质是解题的关键． （1）由对顶角相等得，再利用互余关系即可求解； （2）由对顶角的性质及互余的性质得，再由是的平分线，得，从而得，利用互余的性质得，从而得证． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 即， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1-3】若直线和直线相交于点，为内部的射线，平分，平分． (1)若，求和的度数？ (2)若是任意角，求的度数？ (3)请猜想，度数会改变吗？若改变，请说明理由；若不改变，则度数是多少？ 【分析】本题考查角的计算，角平分线的定义，对顶角，熟练计算角度是解题的关键． （1）由对顶角的性质，得到，再由角平分线的定义即可求解； （2）由角平分线的定义，对顶角的性质得到，，，从而求出的度数； （3）由角平分线的定义推出，即可得到答案． 【详解】（1）解：平分，平分， ，， ， ， ， ， （2）解：平分， ， ， ， ， 平分， ， ； （3）解：的度数不变， 平分，平分， ，， ， ． 考点二：填写推理依据，完善证明过程 例2.完成下面的推理填空： 如图，已知，，求证：． 证明：， （_________）． _________， _________， ， ， 又， _________， _________（_________）． ．（_________）． 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟记平行线的性质与判定方法并灵活运用是解本题的关键．先根据平行线的性质证明，得出，即可证明，根据平行线的性质即可得答案． 【详解】证明：， （两直线平行，同位角相等）， ， ， ， ， 又， ， （内错角相等，两直线平行）． ．（两直线平行，内错角相等）． 【变式1-1】如图，，求的度数． 解：∵（已知） （ ） ∴（ ） ∴ （ ） ∴（ ） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（ ） ∴（ ） 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟知相关性质定理是正确解答此题的关键． 根据平行线的性质和判定补充证明过程即可得答案． 【详解】解：∵（已知） （邻补角互补） ∴（同角的补角相等） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） 又∵（已知） ∴（等量代换 ） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） 【变式1-2】将下面的说理过程补充完整． 已知：如图，，垂足为． （1）试说明； （2）试求出的度数． 解：（1）（已知）， ______________（______________）． （______________）． （2）（已知）， （垂直的定义）． （已证），（已知）， （______________）． ______________（______________）． ______________． 的度数为______________． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，垂线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）证明可得； （2）由垂直的定义得，由等量代换得，从而，然后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：（1）（已知）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 故答案为：；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； （2）（已知）， （垂直的定义）， （已证），（已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）， ， 的度数为， 故答案为：等量代换；；同旁内角互补，两直线平行；；． 【变式1-3】把下列推理过程补充完整： 如图，已知交BC于点M，交BC于点E，，，求证：． 证明：，， ，（ ① ）． （等量代换）． （ ② ）． ③ （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． ， （内错角相等，两直线平行）． （ ⑤ ）． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据垂直的定义，平行线的判定方法，平行线的性质进行作答即可，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【详解】证明：，， ，（垂直的定义）． （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． ， （内错角相等，两直线平行）． （平行于同一条直线的两直线平行）． 考点三：平行线的判定与性质证明 例3.如图，在三角形中，、分别是、边上的点，点，在边上，连接，，，已知，． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）利用平行线的判定及性质即可求证结论； （2）利用平行线的性质及角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ， ， ． 【变式1-1】如图，在三角形中，点在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，且，求的度数． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． （1）先由，得到，则，进而得到，由此即可证明； （2）先由平行线的性质得到，，再证明，结合进行求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， ； （2）解：，， ，， ， ， ， ， ． 【变式1-2】已知：如图，点E在上，，垂足分别为D、F，点M、G在上，，．求证：． 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，垂直的定义，先证明，再证明，再证明，，再进一步可得结论. 【详解】证明：，垂足分别为D、F（已知）． （垂直的定义）． （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． （已知）． （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． （已知）． （同位角相等，两直线平行）． （平行于同一条直线的两条直线平行）． （两直线平行，同旁内角互补）． 【变式1-3】如图，已知，．    (1)证明：； (2)若， ①，求的度数； ②求证： 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，证明是关键． （1）先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证； （2）①先根据角的和差可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得．②证明，由，即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ． （2）①解：，， ， 由（1）已证：， ， ． ②∵， ∴， ∴， ∵． ∵． ∴ 考点四：平行线中的拐点问题 例4. 如图，，，，则 ． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行、同旁内角互补、内错角相等成为解题的关键． 如图：过P作，然后利用平行线的性质可得，再根据条件，设出未知数列出方程求解即可． 【详解】解：如图：过P作， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，解得：， ∴． 故答案为：． 【变式1-1】如图，已知：，，，．则x，y，z之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点E作，则，由平行线的性质可得，，据此根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1-2】如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A，B，G，C，D，E，F，将A，B，G，C，D，E，F顺次首尾连接．若B，G，C三点共线，恰好经过点G，且，，，则为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行公理的推论，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 过点作，则，得到，，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ． 故选：A． 【变式1-3】【问题初探】 （）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，，点在，之间且点在点右侧，求证：； 【类比探究】 （）李明对王老师给出的问题进行了改编：如图，，点在，之间且点在点左侧，直接写出，，之间的数量关系； 【学以致用】 （）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，求的度数． 【分析】（）如图，过点作，可得，，即得，进而即可求证； （）如图，过点作，可得，，即得，进而即可求证； （）如图，过点作，过点作，可得，，即得，即得到，又由平行公理的推论得，即可得，进而即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（）证明：如图，过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （）如图，过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （）如图，过点作，过点作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 考点五：平行线中多结论问题 例5. 如图，在四边形中， ，点在的延长线上，连接交于点，点在上，连接，，已知，；下列结论：①与互为同位角；② ；③平分；④．其中所有正确结论的序号为 ． 【分析】本题考查同旁内角，对顶角相等，角平分的定义，平行线的判定和性质，根据同旁内角的定义判断①，根据内错角相等两直线平行判断②，进而根据平行线的性质以及已知条件判断③，根据已知条件结合角平分线的定义得出，即可判断④，即可求解． 【详解】解：与位于之间，的右侧，与互为同旁内角，故①错误； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分；故③正确； ∵ ∴ ∵， ∴， ∴ ∵平分 ∴ ∵ ， ∴，故④错误 故答案为：②③． 【变式1-1】如图，，点，在直线上（在的右侧），点在直线上，，为线段上的一点，连接与的角平分线交于点，且点在直线之间，下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的结论是 ．    【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识点，作辅助线求得，是解此题的关键．①过点作，利用平行线的性质以及已知即可证明；②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到，，结合①的结论即可证明；③由已知得到，结合①的结论即可证明；④由已知得到，结合①的结论即可证明． 【详解】解：①过点作，如图：    ， ， ，， ，即， ，故①正确； ②∵，平分，平分，   ，， ， ， 即， ， ， ， ，故②正确； ③， ， ； ，故③正确； ④， ，即， ， ，故④不正确． 综上，①②③正确，， 故答案为：①②③． 【变式1-2】如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②平分；③；④；⑤，其中正确的是 填序号）． 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，代入计算即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断⑤；过点E作，根据平行线的性质证明即可判断④；根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断③和②． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，故结论①正确； ， ， ，故结论⑤正确； 过点E作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； ， ， ， 但不一定等于， ∴不一定成立，故结论③错误； ∵不一定等于， ∴平分不一定正确，则结论②错误； 综上，正确的是①④⑤， 故答案为：①④⑤． 【变式1-3】如图，，为上一点，且垂足为，，平分，且，则下列结论：；平分；；；其中正确的有 ．（请填写序号） 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、垂直的定义，解决本题的关键是根据图形的性质找到角之间的关系，根据角之间的关系判断结论是否正确． 【详解】解：， ， ， 平分， ， 故错误； ，， ， ， ， ， ， 平分， 故正确； 已知，， ， 故正确； ，， ， ， ， 故正确． 正确的有． 故答案为： ． 考点六：平行线中的判定与性质综合探究题 例6. 综合与探究 如图，，点，分别在直线，上． (1)如图1，是直线，之间一点，连接，．试说明． (2)如图2，是直线，之间一点，连接，．若，，求的度数． (3)如图3，平分，平分，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）过点作，根据平行线的性质可得，，即可得出结论； （2）由（1）可得，代入数据，即可求解． （3）根据角平分线以及平角的定义可得，，由（1）可得，，进而得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：∵ ∴ ∵， 由（1）可得 （3）解：，理由如下： ∵平分，平分， ∴， 由（1）可得， ∴ 即． 【变式1-1】【探究结论】如图1，，为平行线内一点，连接、得到，经推理证明可得．（不要求证明） 【探究应用】利用以上结论解决下面问题： (1)如图2，和的平分线交于点，的度数是________； (2)如图3，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，试说明； (3)如图4，点为线段（端点除外）上的一个动点，过点作的垂线交于，交于，、的平分线相交于，则________． 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）根据、分别平分和，得到，，由于到，于是得到，即可得到结论； （2）过点作，由已知可得，，得到，由于平分，求得，由于，于是得到，由于，得到，然后根据平行线的性质即可得到结论； （3）根据、的平分线相交于，得到，，由于，得到，且；根据，得，再利用等量代换即可得到结论． 【详解】（1）解：∵、分别平分和， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, 故答案为：； （2）证明：如图，过点I作， ∵， ∴， 由已知可得，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， 同理，且， ∵的平分线相交于P， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】已知直线，将一个含角的直角三板按如图1所示位置摆放，使分别在上，P在之间，设． (1)比较：_______（填“>”“<”或“=”）； (2)如图2，分别画的平分线，交于点Q，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若平分，交于点E，过点N作，交于点F．请在图3中补全图形，并判断的大小是否是一个定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，平角的性质，通过平行线构造等角是解答本题的关键． （1）通过辅助线构造等角得出和，进而得出结论； （2）由平行线的性质得出，在平角中求出，进而求出 ，再同（1）可求出的大小； （3）根据题意补全图形，先由平行线的性质求出然后角平分线的性质求出，最后通过角的和差关系求得 ，结合（1）即可求出结果． 【详解】（1）解： 如图， 过点作平行于， 则， ， ， ， 故答案为：； （2）解：∵， ， ， ∴由（1）结论同理可得：， ， ； （3）解：根据题意补全图形如下： ∵， ， ， ， ， ∵平分， ， ∵平分 ， ， ， 由（1）知， ， 故的大小为定值，度数是 ． 【变式1-3】已知直线，点、分别是直线和上的两点，点为直线和之间的一点，连接、． (1)如图1，若，试说明； (2)如图2，在（1）的结论下，点是直线下方一点，满足平分，平分．若，求的度数； (3)如图3，点是直线上方一点，连结、，若点为线段上一点，的延长线为的三等分线，平分，，则_________． 【分析】本题考查了平行线的性质，准确识图、熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点作，证明，得，，则，即可得出结论； （2）过点作，先求出，根据平分，设，得，则，由（1）的结论得，即可求解； （3）设点在的延长线上，过点作，再分以下两种情况：①当时，设，根据平分，设，则，由（1）的结论得，得，，则，再根据即可求解；②当时，设，则，设，则，由（1）的结论得，同①得，根据，即可得出，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点作（点在点的左侧），如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作（点在点的左侧），如图所示： ∵平分， ∴， ∵平分， 设， ∵ ∴， ∴， ∴， 由（1）的结论得：， ∴； （3）解：设点在的延长线上，过点作（点在点的右侧）， ∵的延长线为的三等分线， 有以下两种情况： ①当时，如图所示： 设，则， ∴， ∴， ∵平分， 设， ∴， ∴， 由（1）的结论得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②当时，如图所示： 设，则， ∴， ∵平分， 设， ∴， ∴， 由（1）的结论得：， 同①得：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 综上所述：或． 故答案为：或． 考点七：：平行线中的动态旋转问题 例7. 如图1，点为直线上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点处，直角边，分别在射线，上，且，． (1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为___________度． (2)继续将图2中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由． (3)在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点按每秒的速度旋转，当直角三角板的边所在的直线恰好平行于直角三角板的一边时，直接写出此时三角板绕点的运动时间的值． 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是分类讨论． （1）根据的度数就是旋转的角度求解即可； （2）由图3可知，，，则可求解； （3）分情况讨论：①当时；②当时；③当时；④当时；分别求出旋转的度数，再除以旋转速度便可得时间． 【详解】（1）解： ， 落在射线上时，旋转的角度是， 三角板旋转的角度为， 故答案为：； （2），理由如下： 由图3可知，，， ， 即； （3）①当时，或， 或； ②当时，， ； ③当时，， ， ； ④当时，， ； 综上所述，的值为或或或或． 【变式1-1】如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． AI (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点B以每秒4度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当落在射线上时，运动停止．设旋转时间为t（s）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），两个三角形同时停止运动．请直接写出当的角平分线与的角平分线平行时t的值． 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于利用方程思想解决问题． （1）利用平行线的性质，以及角平分线的定义求解，即可解题． （2）①首先证明，由此构建方程求解，即可解题． ②分两种情形：当当转到之前时，构建方程即可解决问题．当落在射线上时返回，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：①如图， 当转到之前时 ， ， ， ， ， ， 当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时 在旋转过程中，若边，t的值为或； ②当转到之前时 绕点B旋转，平分的角平分线， ， ； 绕点E旋转，平分 ， 当时 ∵ ∴ 即 解得：；      当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时 如图 ，， 当时 ， ∵ ∴， ∵ 即 解得：； 【变式1-2】如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分； (1)求的度数； (2)如图2，若将绕B点以每秒的速度按逆时针方向旋转（A、C的对应点分别为F、G）．设旋转时间为t秒； ①在旋转过程中，若边，求t的值； ②若在绕B点旋转的同时，绕E点以每秒的速度按顺时针方向旋转（C、D的对应点分别为K、T），请直接写出与平行时的值． 【分析】（1）首先求出，根据角平分线的定义求出，再根据平行线的性质求出，继而可得结果； （2）①分两种情况，画出图形，根据旋转速度以及平行线的性质列出关于t的方程，解之即可；②表示出，，分三种情况（如解析所示），画出图形，根据平行线的性质列出方程，再求解即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ， ． （2）解：①如图，当在上方时，， ， ， ， ， ． 如图，当在下方时，， ， ∵， ∴， 此时旋转了， ∴， ． 在旋转过程中，若边，的值为5或35． ②如图，延长，与交于H，由题意得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 如图，过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得：； 如图，延长，与交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上：t的值为或或． 【变式1-3】如图，已知是直线，间的一点，于点，交于点， ． (1) ． (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当时，请求出的度数； ②当时，请求出的值． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质以及一元一次方程的应用，正确理解题意、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点P作，则，根据平行线的判定和性质以及垂直的定义可得，再利用角的和差即可求解； （2）①当时，分两种情况，当在和之间，当在和之间，计算出的运动时间t，根据运动时间可计算出，由已知可计算出的度数； ②分四种情况：当、、与，根据平行线的性质列出方程求解即可． 【详解】（1）解：过点P作，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①当在和之间时，如图2， ∵，， ∴， ∴射线运动的时间秒， ∴射线旋转的角度， 又∵， ∴； 当在和之间时，如图3所示， ∵，， ∴， ∴射线ME运动的时间秒， ∴射线旋转的角度， 又∵， ∴； ∴的度数为或； ②当，即时，若，如图， 则，即， 解得：，不合题意，舍去；      当时，若，如图， 则，即， 解得：；      当时，若，如图， 则，即， 解得：；      当时，不存在互相平行的情况； 综上，当时，t的值是或． 1．将一定宽度的纸带与一直角三角尺按如图所示的方式放置，下列结论中能判定纸带边的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行可判定①⑤，根据内错角相等，两直线平行可判定②，根据同旁内角互补可判断④． 【详解】解：①∵， ∴，故①可以； ②∵， ∴，故②可以； ③，无法得出，故③不可以； ④∵， ∴，故④可以； ⑤∵，， ∴， ∴，故⑤可以． 综上所述，能判定纸带边的有4个． 故选：C． 2．下列命题中，①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种；④不相交的两条直线是平行线；⑤有公共顶点且有一条公共边的两个角互为补角是假命题的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、垂线的性质、两直线的位置关系、平行线的定义、邻补角的定义． 根据解平行线的性质、垂线的性质、两直线的位置关系、平行线的定义、邻补角的定义进行分析，即可得到答案． 【详解】①过一点有且只有一条直线与已知直线平行，应强调过直线外一点，故错误； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确； ③在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交，平行两种，故正确； ④不相交的两条直线叫做平行线，没有说明是否在同一个平面内，故错误； ⑤有公共顶点且有一条公共边的两个角不一定互为邻补角，互为补角需两角之和为 故错误； 综上所述正确的有∶②、③ 共2个；错误的有∶①、④、⑤共3个 故选：C． 3．小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，，交于点，，，平分，若设，，则和之间的关系是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，若两直线平行，则同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，灵活应用平行线的性质是解题的关键．过点作，由平行公理得，根据平行线的性质得，，由角平分线的定义得，由，得到含有和的等式，化简即可得到和之间的关系． 【详解】解：如图， 过点作， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 即． 故选：C． 4．如图，与交于点，点在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．①③ C．①② D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质，角度的相关计算，由已知条件可得出，过点H作，由平行线的性质可得出②，设，则，， 可判断③④． 【详解】解：∵， ∴， ∴①正确； 过点H作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴②正确． 设，则，， 由②知， 作， ， ， ∴，无法判断是否为， ∴③错误； ∴， ∴④正确． 综上所述，正确答案为①②④． 故选：A． 5．如图，图①是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③，则图③中的的度数是 ． 【答案】/102度 【分析】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． 由四边形为长方形，利用平行线的性质可得出和，再结合及，即可求出． 【详解】解：图①中∵四边形为长方形，， ∴， ∴， ∴， ∴图②中， ∴图③中， 故答案为：． 6．直线相交于点O，且，平分． (1)如图1，①的余角有_______．（填写所有符合情况的角） ②若，求的度数． (2)如图2，请直接写出与的数量关系为________． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，垂直的性质，余角的定义，角的和差，掌握以上知识是解题的关键． （1）①根据余角的定义解答即可；②根据，，得到，根据，推出，由平分，得到，设，则，利用，求出x的值，即可求解； （2）根据题意得到，推出，由平分，得到，根据，即，即可得出结论． 【详解】（1）解：① ， ， ， ， ， 的余角有， 故答案为：； ② ，， ， ， ， 平分， ， 设，则， ， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ，即， 平分， ， ，即， ， ． 7．完成下面推理过程： 如图，，，，，．求的度数． 解：∵，，（已知） ∴，（等量代换） ∴，（    ） ∴_________，（    ） ∵，（已知） ∴ ∵，（已知） ∴____________，（    ） ∵，（已知） ∴__________，（等量代换） ∴_____________________°． 【答案】同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；两直线平行，内错角相等；；50；20 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，先证明，得到，得到，由得到，进一步求出的度数． 【详解】解：∵，，（已知） ∴，（等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∵，（已知） ∴ ∵，（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（等量代换） ∴ ． 故答案为：同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；两直线平行，内错角相等；；50；20． 8．如图，点，分别在，上，点，都在上，交于点，平分，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据同位角相等得出，进而根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出．等量代换得出，可得，即可得证； （2）根据已知得出，证明，进而根据平行线的性质得出． 【详解】（1）证明：， ． ． 平分， ． ． ， ，即． ． （2）解：，， ， ， ， ， ，， ， ，     ． 9．如图，，点E在下方，连接，，平分． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，在射线上取点G，连接，使得，若，求的度数； (3)如图3，若，作平分，过点B作，在射线上取一点N，连接，使得，请直接写出的度数：__________． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）作，求得，求得，推出，即可求得； （2）作，，设，，则，求得，，根据，列式计算即可求解； （3）作，设，，求得，，根据，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：作，如图， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：作，，如图， ∵平分， ∴设，， 则， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：作，如图， ∵平分， ∴设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 故答案为： 10．如图①所示的是一副三角尺，，，，． (1)将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点与点重合，点在直角边上，斜边与斜边相交于点，求的度数； (2)如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，直角边与斜边相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)直线，三角板和三角板按照图④所示放置，直角顶点与点重合，并且在直线上，直角顶点在直线上，，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒6°的速度顺时针旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒．在旋转过程中，当边与三角板的一条边平行时，求出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)所有满足条件的的值为或或或或或． 【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． （1）过点作，则，进而得，，由此可得的度数； （2）过点作，则，进而得，，再根据可得出答案； （3）分情况讨论，画出图形，利用平行线的性质列式计算即可得出所有满足条件的的值． 【详解】（1）解：过点作，如图2所示， 依题意得：，，，， ， ， 又 ， ，， ； （2）解：，理由如下： 过点作，如图3所示， ， ， ，， ，且， ； （3）解：设边旋转的角度为，则边旋转的角度为，下面分类讨论： 如图⑤，，则， 所以，解得； 如图⑥，，则， 所以，解得； 如图⑦，，则， 所以，解得； 如图⑧，，则， 因为，所以， 解得； 如图⑨，，则， 因为，所以， 解得； 如图⑩，，则， 所以，解得， 综上，所有满足条件的的值为或或或或或． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$