专项训练06 高频易错题(28个重点考点讲练 共93题）-2024-2025学年小升初数学必刷考点分类压轴真题培优练（尖子生考前冲刺版）

2024-2025学年小升初数学必刷考点分类压轴真题培优练（尖子生考前冲刺版） 专项训练06 高频易错题 (28个重点考点讲练 共93题） 试题编写说明 同学你好，该份检测卷优选2024年全国各地名校真题，模拟题。重点强化小升初高频考察点，提升解题技能，优选常考易错题型。该份检测卷非常适合考前冲刺拔尖使用。题目整体难度偏上，适合成绩中上及拔尖的学生。按照考点划分，方便自我学习批改，检测学习能力。解析版思路清晰，理解全面，进一步优化解题过程，梳理考察点。相信你在2025年小升初正式考试中考出满意成绩！ 考点讲练01：整数的认识 2 考点讲练02：小数的认识 4 考点讲练03：分数的认识 6 考点讲练04：百分数的认识 7 考点讲练05：正负数的认识 9 考点讲练06：整数的四则混合运算 11 考点讲练07：小数的四则混合运算 13 考点讲练08：分数的四则运算 17 考点讲练09：百分数的四则混合运算 22 考点讲练10：运算定律与简便运算 28 考点讲练11：倍的运算 33 考点讲练12：字母表示数 34 考点讲练13：方程的解与解方程 36 考点讲练14：比 38 考点讲练15：比例 39 考点讲练16：比例的应用 43 考点讲练17：典型应用题 45 考点讲练18：图形的拼组 54 考点讲练19：立体图形的表面积和体积 58 考点讲练20：图形与变换 62 考点讲练21：位置与方向 66 考点讲练22：测量 70 考点讲练23：统计 73 考点讲练24：概率 73 考点讲练25：算式的规律 76 考点讲练26：数字排列的规律 77 考点讲练27：图形的变化规律 79 考点讲练28：数学竞赛问题 81 考点讲练01：整数的认识 1．（2024·重庆永川·小升初真题）在等式中，其中、、代表不同的偶数，则。( ) 【答案】√ 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。已知、、代表不同的偶数。根据分数的基本性质可得：，将、……这样的分数分解成3个同分母的分数相加，若3个同分母分数分别能约成分子是1、分母是偶数的最简分数后，再判断的和是否是26，即可解答判断。 【完整解答】 、、分别是20、4、2。 那么。原题说法正确。 故答案为：√ 【考点点拨】利用分数的基本性质是解题的关键。 2．（2024·广东深圳·小升初真题）现有365张大小相同的纸卡，上面分别印着整数1～365，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出365周围的部分。 （1）在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，在这些空格上打“×”。 （2）在其他位置填上与365相邻的数字。 【答案】见解答 【思路引导】（1）（2）如下图所示，数从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列出的图形是一个正方形，以1为中心数，每个1×1，3×3，5×5的正方形的右下角的数（即标蓝色方格内的数）均是从1开始的连续奇数的平方（即（2n－1）²），因为19²＝361，即最接近365的奇数的平方，据此画出以数361为右下角的数的排列，再画出以数289为右下角的数的排列（如下图），据此解答。 【完整解答】由分析可知： （1）如下图所示： （2）如下图所示： 【考点点拨】本题考查了数表中的规律的应用。 3．（2024·河北石家庄·小升初真题）两个数的最大公因数是9，最小公倍数是180，如果其中一个数是36，则另一个数是( )。 【答案】45 【思路引导】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，此题是求最大公因数和最小公倍数的逆运算，首先用180除以36得到另一个数的独有因数，然后用最大公因数9乘另一个数的独有因数，即可得解。 【完整解答】180÷36＝5 5×9＝45 所以另一个数是45。 【考点点拨】已知两个数的最大公因数和最小公倍数，又知道其中一个数，求另一个数，可以先求出这个数的独有因数，用两个数的最小公倍数÷已知的一个数，然后独有因数乘最大公因数，即为所要求的另一个数。 考点讲练02：小数的认识 4．（2022·山东济南·小升初真题）中国国家大剧院占地总面积为118900平方米，综合投资额达2688000000元。118900用“万”作单位记作( )，2688000000省略亿位后面的尾数是( )。 【答案】 11.89万 27亿 【思路引导】把一个数改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字；省略“亿”后面的尾数就是先根据千万位上的数字进行“四舍五入”，再把亿位后面的数字去掉，最后在数的后面加上一个“亿”字，据此解答。 【完整解答】118900＝11.89万 2688000000≈27亿 中国国家大剧院占地总面积为118900平方米，综合投资额达2688000000元。118900用“万”作单位记作11.89万，2688000000省略亿位后面的尾数是27亿。 5．（2024·河南郑州·小升初真题）扑尔敏是一种治疗过敏的药品。成人一次口服4mg，一日3次；儿童一日0.25mg/kg，分3～4次口服。读六年级的小兰体重30kg，她每次最多可以服用 mg。她爸爸一天可以服用 mg。 【答案】 2.5// 12 【思路引导】儿童一日0.25mg/kg，小兰重30千克，则每日可服用0.25×30＝7.5mg，分3～4次口服，所以她一次最多可服用7.5÷3＝2.5mg，成人一次口服4mg，一日3次，根据乘法的意义可知，她爸爸一天可以服用4×3＝12mg。 【完整解答】0.25×30÷3 ＝7.5÷3 ＝2.5（mg） 4×3＝12（mg） 所以她每次最多可以服用2.5mg，她爸爸一天可以服用12mg。 6．（2024·河南平顶山·小升初真题）小马虎同学在计算一道题时，得到的结果是一个两位小数，在书写结果时却把小数点丢掉了，这样所得的结果就比正确的结果多123.75，正确的结果是 。 【答案】1.25 【思路引导】一个两位小数，当把它的小数点去掉后，根据小数点位置移动引起数的大小变化规律，相当于把这个两位小数的小数点向右移动了两位。小数点向右移动两位，这个数就扩大到原来的100倍。也就是说去掉小数点后的数是原数的100倍，那么去掉小数点后的数比原数大了100－1＝99倍，用多的123.75除以多的倍数列式解答即可。 【完整解答】123.75÷（100－1） ＝123.75÷99 ＝1.25 所以正确的结果是1.25。 考点讲练03：分数的认识 7．（2024·四川绵阳·小升初真题）在下午3：00与4：00之间，求分针与时针成60度角的时间。 【答案】3时分和3时分 【思路引导】时针每分钟走（度），分针每分钟走（度），因此分针每分钟比时针多走（度），3点时，时针在分针前方90度，因此两针夹角为60度时，分针要比时针多走（度），或者多走（度）。分别用30除以5.5，150除以5.5，即可得解。 【完整解答】（30×3－60）÷（6－0.5） ＝（90－60）÷5.5 ＝30÷5.5 ＝（分） （30×3＋60）÷（6－0.5） ＝150÷5.5 ＝（分） 答：在钟表上，3点倒4点之间，3时分和3时分时分针与时针成60度的角。 【考点点拨】本题主要考查分数和除法的关系以及追及问题，关键是求出时针和分针每分钟走的度数。 8．（2024·四川成都·小升初真题）水果店购进一批水果，卖了几天后，卖掉的和剩下的比是1∶3，再卖30千克后，卖掉的就占购进总量的，水果店共购进多少千克水果？ 【答案】200千克 【思路引导】这批水果的总量是不变的，以这批水果的总量为单位“1”，第一次卖了几天后，卖掉占水果总量的，后来卖掉的占水果总量的，这样前后之间相差水果总量的，这个就是30千克的分率。也就是水果总量的就是30千克，用除法算出水果的总量。 【完整解答】 （千克） 答：水果店共购进200千克水果。 【考点点拨】找题目中不变的量，本题不变的量是这批水果的总量，以这批水果的总量的单位“1”。 9．（2024·四川成都·小升初真题）的值的整数部分为( )。 【答案】1 【思路引导】 可见，第二项的分子是3乘3，能够与第一项分母3和第三项分母3约分掉，原式子按此规律展开再约分相乘，可以简化计算过程，按此方法计算解答。 【完整解答】 式子值的整数部分是1。 【考点点拨】本题考查分数的混合运算，数字变化的规律，将各式整理后找出规律是解题的关键。 考点讲练04：百分数的认识 10．（2024·四川成都·小升初真题）观察下图，阴影部分面积与空白部分面积的最简整数比是( )，阴影部分面积占整个图形面积的( )%。 【答案】 3∶7 30 【思路引导】如图，（1）把整个长方形的面积看作单位“1”，平均分成5份，其中空白部分占整个长方形的＋×＝，阴影部分占整个长方形的×＝，再求出它们的面积比； （2）根据（1）的分析，阴影部分占整个长方形的×＝，然后化简为百分数即可。 【完整解答】（1）由分析得， 空白部分占整个长方形的： ＋× ＝＋ ＝ 阴影部分占整个长方形的： ×＝ 阴影部分面积与空白部分面积的最简整数比是： ∶ ＝（×10）∶（×10） ＝3∶7 （2）阴影部分占整个长方形的： ×＝＝30% 【考点点拨】解答此题关键把分数转化为同一单位“1”下进行比较，进而得出结论。 11．（2024·河南郑州·小升初真题）伏議山大峡谷环境优美，鲜花盛开。有好多珍稀鸟类。淘淘想到之前看书时的了解到的信息：“我国湿地鸟类资源丰富，在亚洲濒危鸟类中，中国湿地内占54%。”针对这条信息，下面说法中正确的是（    ）。 A．把亚洲濒危鸟类总种数平均分成100份，我国湿地内濒危鸟类的种数超过半份。 B．若亚洲濒危鸟类有10000种，则我国湿地内濒危鸟类有54种。 C．我国湿地内濒危鸟类种数与亚洲濒危鸟类总种数的比为31∶57。 D．我国湿地濒危鸟类的种数一定很多，可能超过50种。 【答案】A 【思路引导】百分数表示一个数是另一个数的百分之几，也叫百分率或百分比，所以“中国湿地内占54%”，是指中国湿地内鸟类种数占亚洲濒危鸟类种数的54%，据此根据与百分数有关的计算以及比的意义进行逐项分析判断。 【完整解答】A．把亚洲濒危鸟类总种数平均分成100份，半份为50份，50÷100×100%＝50%，54%＞50%，所以，中国湿地内占54%，超过半份，选项描述正确； B．10000×54%＝5400（种），若亚洲濒危鸟类有10000种，则我国湿地内濒危鸟类有5400种，选项描述错误； C．把亚洲濒危鸟类种数看作单位“1”即100%，54%∶100%＝27∶50，我国湿地内濒危鸟类种数与亚洲濒危鸟类总种数的比为27∶50，选项描述错误； D．亚洲濒危鸟类的种数×54%＝我国湿地濒危鸟类种数，由于亚洲濒危鸟类的种数未知，所以我国湿地濒危鸟类的种数不可计数，所以，选项描述错误； 故答案为：A 12．（2024·河南漯河·小升初真题）9÷( )＝＝( )∶20＝( )%＝( )（填小数）。 【答案】 12 15 75 0.75 【思路引导】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变； 分数与除法的关系：分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号； 分数与比的关系：分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，分数线相当于比号； 分数化成小数，用分子除以分母即可； 小数化成百分数，小数点向右移动两位，同时在数的后面添上百分号. 【完整解答】＝＝，＝9÷12 ＝＝，＝15∶20 ＝3÷4＝0.75 0.75＝75% 即9÷12＝＝15∶20＝75%＝0.75。 考点讲练05：正负数的认识 13．（2024·河南周口·小升初真题）某天中午气温为6℃，傍晚的气温比中午降低了8℃，则傍晚时的气温为（    ）。 A．2℃ B．14℃ C．﹣2℃ 【答案】C 【思路引导】根据“某天中午气温为6℃，傍晚的气温比中午降低了8℃”求傍晚的气温，也就是求比6℃少8℃是多少；利用减法计算。 【完整解答】6℃－6℃＝0℃ 0℃再减少2℃，就是﹣2℃； 某天中午气温为6℃，傍晚的气温比中午降低了8℃，则傍晚的气温是﹣2℃。 故答案为：C 14．（2024·河南三门峡·小升初真题）下面说法正确的有（    ）个。 ①0.6米可以改写成60%米。 ②我们没学圆锥表面积是因为它没有表面。 ③商品打七五折销售，“七五折”表示现价是原价的75%。 ④张旭家每月收入4000元，支出2500元，这是两个具有相反意义的量。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】①百分数（又叫作百分率或百分比）与分数的意义截然不同。百分数表示一个数是另一个数的百分之几，它只能表示两数之间的倍比关系，不能表示具体的量，因此，百分数后面不能带单位名称，分数后面可以带单位名称； ②立体图形的所有面的面积之和叫作表面积； ③商店有时降价出售商品，叫作打折扣销售，俗称“打折”，几折就表示十分之几，也就是百分之几十，如：打九折出售，就是按原价的90%出售，八五折就是原价的85%； ④正负数主要用来表示具有相反意义的两种量，如果规定其中一个为正，那么相反的量就用负表示，收入可以表示为“﹢”，那么支出可以表示为“﹣”，据此解答。 【完整解答】①分析可知，0.6米不能改写成60%米，所以题目说法错误； ②圆锥属于立体图形，那么圆锥有表面积，所以题目说法错误； ③分析可知，商品打七五折销售，“七五折”表示现价是原价的75%，所以题目说法正确； ④收入可以用“﹢”表示，支出可以用“﹣”表示，收入4000元（﹢4000）和支出2500元（﹣2500）是两个具有相反意义的量，所以题目说法正确。 综上所述，说法正确的有③④，一共2个。 故答案为：B 15．（2024·河南漯河·小升初真题）下列说法正确的是（    ）。 A．在﹣1和﹣5之间只有3个负数。 B．比4小的数只有0、1、2、3。 C．自然数中除0外都是整数。 D．早晨气温是﹣1℃，升高1℃后是0℃。 【答案】D 【思路引导】A．两个负数之间不仅有负整数也有负小数； B．比4小的数不仅有整数，还有小数； C．根据整数的认识解答； D．根据对温度的认识解答。 【完整解答】A．在﹣1和﹣5之间有无数个负数，原题说法错误； B．比4小的数有无数个，原题说法错误； C．0和正整数统称为自然数，整数包括正整数、0和负整数，所以说0也是整数，即自然数都是整数，原题说法错误； D．在温度计中0℃在﹣1℃的上面一格，所以早晨气温是﹣1℃，升高1℃后是0℃。原题说法正确。 故答案为：D 考点讲练06：整数的四则混合运算 16．（2024·河南郑州·小升初真题）一艘轮船发生漏水事故。当漏进水600桶时，两部抽水机开始排水，甲机每分钟能排水20桶，乙机每分钟能排水16桶，经50分钟刚好将水全部排完。每分钟漏进的水有( )桶。 【答案】24 【思路引导】甲机和乙机每分钟排水桶数的和×排水时间＝排水总桶数，排水总桶数－600桶＝开始排水后又漏进的桶数，又漏进的桶数÷排水时间＝每分钟漏进的桶数，据此列式计算。 【完整解答】[（20＋16）×50－600]÷50 ＝[36×50－600]÷50 ＝[1800－600]÷50 ＝1200÷50 ＝24（桶） 每分钟漏进的水有24桶。 【考点点拨】可以看作工程问题，根据工作效率、工作时间和工作总量之间的关系来理解。 17．（2023·四川成都·小升初真题）如果3月恰好有四个星期日，那么3月1号不可能是（    ）。 A．星期五 B．星期四 C．星期三 D．星期二 【答案】A 【思路引导】1个星期是7天，所以一个月以7天为一组进行循环，所以3月有31天，用31÷7即可求出3月份有4个星期，还多3天。如果3月恰好有四个星期日，那么多出的3天不可能是星期日，也就是前3天不可能包含星期日，也就是3月1号只能从星期一、二、三、四开始。 【完整解答】1周有7天， 31÷7＝4（周）……3（天） 前3天不可能包含星期日，也就是3月1号只能从星期一、二、三、四开始，所以不可能是星期五、星期六、星期日。 故答案为：A 【考点点拨】本题主要考查了日历的结构及余数的意义，能够熟练的运用到实际问题中。 18．（2024·河南郑州·小升初真题）邢家豆腐的“豆痕传统制作技艺”在2014年入选中国第四批国家级非物质文化进产代表性项目名录。这意味着邢家豆腐不仅是一种美味的食品，还承载着丰富的文化价值，是中国传统文化的重要组成部分。邢家豆腐豆腐的单价是12元/千克，奶奶买了14千克准备带回去分给亲朋好友，买这些豆腐一共要花了多少钱？ 下面是淘淘计算“14×12＝？”想到的三种算法： 方法①应用的运算律是（    ），方法②应用的运算律是（    ），方法③中箭头所指表示的是（    ）。 【答案】168元； 乘法结合律；乘法分配律；140 【思路引导】根据总价＝单价×数量，代入数据计算即可。 ①14×12 ＝14×（4×3） ＝（14×4）×3 ＝56×3 ＝168 根据a×b×c＝a×（b×c），利用乘法的结合律。 ②14×12 ＝14×（10＋2） ＝14×10＋14×2 ＝140＋28 ＝168 利用了乘法的分配律，a×（b＋c）＝a×b＋a×c ③14×10＝140 【完整解答】14×12＝168（元） 答：买这些豆腐一共要花了168元。 则方法①应用的运算律是乘法结合律，方法②应用的运算律是乘法分配律，方法③中箭头所指表示的是140。 考点讲练07：小数的四则混合运算 19．（2024·四川内江·小升初真题）某市为了鼓励市民节约用水，用分段收费方式，自来水的收费标准如表： 每月用水量 15m3及以下 15～25m3部分 25m3以上部分 收费标准 2.40元/m3 3.60元/m3 7.20元/m3 已知小红家七月份的水费为86.4元，她家七月份用水量为多少立方米？ 【答案】27立方米 【思路引导】先确定小红家七月份的水费86.4元是在哪段收费的，根据“总价＝单价×数量”，求出第一段15立方米的费用为2.4×15＝36（元），第二段15～25立方米部分的费用为3.6×（25－15）＝36（元），这两段的费用一共是36＋36＝72（元）；86.4元＞72元，由此确定小红家七月份的用水量超过25立方米，用七月份的水费减去前两段的费用，即是第三段的费用，单价7.2元，根据“总价÷单价＝数量”，求出这部分的用水量；最后把这三段的用水量相加，即是小红家七月份的用水量。 【完整解答】2.4×15＝36（元） 3.6×（25－15） ＝3.6×10 ＝36（元） 36＋36＝72（元） 86.4－72＝14.4（元） 14.4÷7.2＝2（立方米） 一共：25＋2＝27（立方米） 答：小红家七月份用水量为27立方米。 【考点点拨】本题考查分段计费问题，弄清楚每段的临界点和每段的收费标准，然后根据单价、数量、总价之间的关系列式计算。 20．（2024·四川绵阳·小升初真题）计算。 9.8＋99.8＋999.8＋9999.8＋99999.8                      【答案】111109； 885 【思路引导】（1）将9.8写成10减去0.2，99.8写成100减去0.2，999.8写成1000减去0.2，以此类推。再根据同级运算，带符号交换数的位置。再根据减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c）计算即可； （2）将除法写成乘法形式，再根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，计算即可； （3）将写成1减去，写成1减去，以此类推改写算式。再根据同级运算，带符号交换数的位置，将加法放在一起，减法放在一起，再根据减法的性质计算。括号内，再根据＝1－，＝－，＝－等的规律变形，再计算； （4）根据加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），将分母相同的加数结合在一起先计算，再计算连加； （5），那么可根据乘法分配律将提出来，同理，可提出，可提出，可提出。再根据乘法分配律将（1＋＋＋）提出来，再计算。 【完整解答】9.8＋99.8＋999.8＋9999.8＋99999.8 ＝（10－0.2）＋（100－0.2）＋（1000－0.2）＋（10000－0.2）＋（100000－0.2） ＝10＋100＋1000＋10000＋100000－0.2－0.2－0.2－0.2－0.2 ＝111110－（0.2＋0.2＋0.2＋0.2＋0.2） ＝111110－1 ＝111109 （＋＋）÷ ＝（＋＋）× ＝×＋×＋× ＝＋＋ ＝＋＋ ＝ ＝1－＋1－＋1－＋1－＋1－＋1－＋1－＋1－＋1－ ＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1－－－－－－－－－ ＝9－（＋＋＋＋＋＋＋＋） ＝9－（1－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－） ＝9－（1－） ＝9－ ＝ ＝＋（＋）＋（＋＋）＋（＋＋＋）＋…＋（＋＋＋…＋） ＝＋1＋＋2＋…＋ ＝＋＋＋＋…＋ ＝ ＝ ＝885 ＝×（1＋＋＋）－×（1＋＋＋）＋×（1＋＋＋）－×（1＋＋＋） ＝（1＋＋＋）×（－＋－） ＝（＋＋＋）×（－＋－） ＝× ＝ 【考点点拨】本题考查了简便计算。需熟练运用乘法分配律、加法结合律、减法的性质，并能结合分数加减法的相关规律进行计算。 21．（2024·浙江湖州·小升初真题）一辆货车从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地。已知甲乙两地的路程是330千米，货车在途中停留半小时。两车离甲地的路程与时间关系如图所示。轿车比货车早几小时到达乙地？ 【答案】1.2小时 【思路引导】通过观察统计图可知，货车在（3－0.5）小时内行驶了150千米，根据速度＝路程÷时间，可以先求出货车的速度，同时可以计算出货车行驶90千米所用的时间即a的值是1.5小时。 那么轿车在（3－1.5）小时内行驶150千米，根据速度＝路程÷时间，可以求出轿车的速度。 最后再根据时间＝路程÷速度，分别求出货车、轿车到达乙地各用多少小时，并根据求一个数比另一个少多少，用减法解答。 【完整解答】货车速度：150÷（3－0.5） ＝150÷2.5 ＝60（千米/时） a：90÷60＝1.5（小时） 轿车速度：150÷（3－1.5） ＝150÷1.5 ＝100（千米/时） 330÷60＝5.5（小时） 330÷100＝3.3（小时） 5.5＋0.5－3.3－1.5 ＝6－3.3－1.5 ＝1.2（小时） 答：轿车比货车早1.2小时到达乙地。 【考点点拨】此题考查的是在理解掌握复式折线统计图的特点及作用的基础上，根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。 考点讲练08：分数的四则运算 22．（2024·河南郑州·小升初真题）有两包糖，每包糖内装有奶糖、水果糖和巧克力糖。已知：①第一包糖的块数是第二包的；②在第一包糖中，奶糖占25%，在第二包糖中，水果糖占50%；③巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占的百分比的2倍。当两包糖合在一起时，巧克力糖占28%，那么水果糖所占的百分比是多少？ 【答案】44% 【思路引导】已知第一包糖的粒数是第二包糖的，那么第一包糖数量与第二包糖数量的比为2∶3，把两包糖的总数看作2＋3＝5份，所以第一包糖占总数的，第二包糖占总数的1－＝；因为巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占百分比的2倍，设巧克力糖在第二包糖中所占百分比为x，那么在第一包糖中所占百分比为2x，第一包糖中巧克力糖占总数的比为2x×，第二包糖中巧克力糖占总数的比为x×，所以第一包糖中巧克力糖占总数的比与第二包糖中巧克力糖占总数的比为（2x×）∶（x×）＝4∶3；又因为两包糖合在一起时，巧克力糖占28%，即0.28，所以第一包糖中巧古力糖占总数的比为0.28×＝0.16，也就是16%；已知第一包糖中巧克力糖占总数的比为16%，第一包糖占总数的，那么巧克力糖在第一包糖中所占的百分比16%÷＝0.4＝40%，把第一包糖看作单位“1”，那么水果糖在第一包糖中所占的百分比为100%－25%－40%＝35%；求两包糖合在一起时水果糖所占的百分比，第一包糖占总数的，其中水果糖占35%，所以第一包糖中的水果占总数的35%×，第二包糖占总数的，其中水果糖占50%，所以第二包糖中的水果糖中的水果占总数的50%×，据此把第一包糖中的水果占总数的分率加上第二包糖中的水果糖中的水果占总数的分率相加即可解答。 【完整解答】已知第一包糖的粒数是第二包糖的，2＋3＝5份，所以第一包糖占总数的，第二包糖占总数的1－＝； 设巧克力糖在第二包糖中所占百分比为x。 （2x×）∶（x×） ＝x∶x ＝∶ ＝（×5）∶（×5） ＝4∶3 28%× ＝0.28× ＝0.16 ＝16% 16%÷＝0.16×＝0.4＝40% （1－25%－40%）×＋50%× ＝（75%－40%）×＋30% ＝35%×＋30% ＝14%＋30% ＝44% 答：水果糖所占的百分比是44%。 【考点点拨】根据分数与比的关系，分数与百分数的关系、分数除法、分数乘法的意义求出第一包糖中的水果占总数的分率和第二包糖中的水果糖中的水果占总数的分率是解题的关键。 23．（2024·河南郑州·小升初真题）A、B两地相距2400米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，两人在途中某处相遇后，甲又继续行进18分钟到达B地，乙又继续行进50分钟到达A地，请问：甲比乙每分钟多走多少米？ 【答案】20米 【思路引导】根据题意，设甲、乙从出发到相遇花了分钟。因为甲分钟走的路程与乙花50分钟走的路程相同，甲18分钟走的路程与乙花分钟走的路程相同，根据路程相同时，速度与时间成反比，所以甲、乙的速度比是50∶和∶18，据此列出比例方程，并求出两人的相遇时间。 已知A、B两地相距2400米，甲、乙从出发到相遇用了30分钟，根据速度和＝总路程÷相遇时间，求出甲、乙的速度之和。 由前面可知甲、乙的速度比是50∶30＝5∶3，即甲、乙的速度分别占甲乙速度和的、，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出甲、乙的速度，再相减，即可求出甲比乙每分钟多走的米数。 【完整解答】解：设甲、乙从出发到相遇花了分钟。 50∶＝∶18 2＝50×18 2＝900 ＝30 甲、乙的速度和：2400÷30＝80（米/分） 甲、乙的速度比是50∶30＝5∶3； 甲的速度： 80× ＝80× ＝50（米/分） 乙的速度： 80× ＝80× ＝30（米/分） 甲比乙每分钟多走：50－30＝20（米） 答：甲比乙每分钟多走20米。 【考点点拨】先利用路程相同时，速度与时间成反比，得出甲、乙的速度比，列出比例方程，求出相遇时间；然后根据速度、时间、路程之间的关系，求出两人的速度和；再根据按比分配的解题方法，把比转化成分数，根据分数乘法的意义分别求出甲、乙的速度是解题的关键。 24．（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）计算。 （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】（1）；（2）9.25；（3）；（4）；（5）253764 【思路引导】（1）左边小括号的加法和右边小括号同时运算，再算左边中括号里的乘法，然后算中括号里的减法，最后算括号外的除法； （2）先计算小括号的除法和乘法，再算小括号里的减法，然后计算中括号的加法，最后计算括号外的除法； （3）先同时算分子、分母的乘法和除法，再同时算分子、分母的加法和减法，最后算乘法即可； （4）先算小括号的减法，再算中括号的乘法和除法，然后算中括号里减法，而后算括号外的乘法和除法，最后算括号外的加法； （5）先计算小括号的结果，得算式：，再改写为：。从1＋2＋3＋4＋5＋6＝（1＋6）＋（2＋5）＋（3＋4）＝7＋7＋7＝7×3＝21可知，连续的自然数相加，第一个数和最后一个数相加＝第二个数和倒数第二个数相加＝第三个数和倒数第三个数相加……，每两个数为一组，则一共有（自然数的个数÷2）组。由此即可知道公式： 连续的自然数相加的和＝（第一个数＋最后一个数）×（加数的个数÷2）。据此简便计算即可。 【完整解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝× ＝× ＝× =÷× ＝×× ＝ （4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （5） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ = ＝253764 【点评】本题考查了分数的简算运算方法，能够明确算式的运算顺序，运用算式呈现的规律是解决本题关键。 考点讲练09：百分数的四则混合运算 25．（2024·河南周口·小升初真题）某市两超市在元旦期间分别推出如下促销方式： 甲超市：全场均按八八折优惠； 乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元优惠10%，超过500元的部分打八折；已知两家超市相同商品的标价都一样。 （1）当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？ （2）某顾客在乙超市购物实付款482元，试问该顾客的选择划算吗？请说明理由。 【答案】（1）甲超市352元；乙超市360元 （2）不划算 【思路引导】（1）当一次性购物总额是400元时，甲、乙超市的实付款： 甲超市：全场均按八八折优惠；把原价看作单位“1”，现价是原价的88%，单位“1”已知，用原价乘88%，求出在甲超市购买的实付款。 乙超市：因为200元＜400元＜500元，所以打九折优惠；把原价看作单位“1”，现价是原价的90%，单位“1”已知，用原价乘90%，求出在乙超市购买的实付款。 （2）先根据在乙超市购物实付款482元，判断商品的原价是否超过500元；假设购物原价是500元，打九折优惠，计算出购物实付款为500×90%＝450（元）；但在乙超市购物实付款482元，482元＞450元，所以该顾客购物原价超过500元；确定该顾客在乙超市购物的优惠为：超过500元时，其中的500元优惠10%，超过500元的部分打八折； 设该顾客原购物总金额为元，分两部分优惠：其中500元优惠10%，即这部分实付为500×（1－10%）元；“超过500元的部分打八折”，即这部分实付为（原购物总金额－500）×80%，两部分实付金额相加等于482元，据此列出方程，并求解，求出该顾客在乙超市原购物总金额； 甲超市：全场均按八八折优惠；根据百分数乘法的意义，用原购物总金额乘88%，即可求出该顾客在甲超市的实付款； 比较两家超市的实付款，得出该顾客在乙超市购买的选择是否划算。 【完整解答】（1）一次性购物总额是400元时： 甲超市实付款： 400×88% ＝400×0.88 ＝352（元） 乙超市实付款： 400×90% ＝400×0.9 ＝360（元） 答：甲超市实付款是352元，乙超市实付款是360元。 （2）500×90% ＝500×0.9 ＝450（元） 在乙超市购物实付款482元，482＞450，所以该顾客购物实际金额超过500元。 解：设该顾客原购物总金额为元。 500×（1－10%）＋（－500）×80%＝482 500×0.9＋（－500）×0.8＝482 450＋0.8－400＝482 50＋0.8＝482 0.8＝482－50 0.8＝432 ＝432÷0.8 ＝540 若顾客在甲超市购物，则实际付款金额为： 540×88% ＝540×0.88 ＝475.2（元） 475.2元＜482元 答：该顾客的选择不划算。 【考点点拨】本题考查折扣问题，根据原价、现价、折扣之间的关系，得出两家超市一次性购物总额是400元时的实付款。；先判断在乙超市的实付款482元的购物总额是否超过500元，才能找到在乙超市购买时对应的优惠条件，据此计算出购物总额，进而求出在甲超市购买的实付款，进行比较即可。 26．（2024·湖南株洲·小升初真题）小明用黑白两色的小三角形绘制了一个三角图案，前四行已给出。 （1）前四行中黑色小三角形所占的比例是__________%。 （2）如果小明要画出第五行，请问在第五行中黑色小三角形所占的比例是__________%。 （3）如果小明要画出更多行，他认为无论画多少行，整个大三角形中，黑色小三角形所占的比例都不会超过50%。你支持他的说法吗，为什么？ 【答案】（1）62.5 （2）55.6 （3）不支持；理由见详解 【思路引导】（1）前四行中，黑色小三角形共有10个，白色小三角形共有6个。求黑色小三角形所占的比例用黑色小三角形个数除以黑、白三角总个数，结果用百分数表示。 （2）根据三角形的排列规律可知，第几行就有几个黑色三角形，白色三角形个数比黑色三角形个数少1，据此规律可知第五行中黑色三角形有5个，白色三角形有4个，两种三角形共有9个，据此解答。 （3）根据三角形的排列规律可知，第行有黑色三角形个，有白色三角形个，那么整个大三角形中黑色三角形总共是个，白色三角形总共是个，据此计算出黑色小三角形占所有三角形个数的百分比，再与50%比较，据此解答。 【完整解答】（1）10÷（10＋6）×100% ＝10÷16×100% ＝0.625×100% ＝62.5% 故前四行中黑色小三角形所占的比例是62.5%。 （2）5÷（5＋4）×100% ＝5÷9×100% ≈0.556×100% ＝55.6% 故第五行中黑色小三角形所占的比例是55.6%。 （3）黑色三角形： 黑、白三角形： 黑色三角形在整个三角形中的占比： 因为，分子上加上1，那么无论取什么值，都大于（50%）。所以无论画多少行，整个大三角形中黑色小三角形所占的比例都大于50%，故不支持小明的说法。 【考点点拨】本题考查了图形中三角形的排列规律及百分比的计算方法，难点是含有字母算式的计算及化简。 27．（2024·山东聊城·小升初真题）我国民间常用生姜、红糖和水煎服以防感冒（俗称“姜汤”）。小明妈妈一般把生姜、红糖和水按2∶5∶75的质量比配好后，煎20分钟左右，做成姜汤，分给全家四口人喝。这天，小明妈妈准备了40克生姜。 （1）她需要准备红糖多少克？ （2）小明家有一个容量为2升的壶，用来煎这天的姜汤，壶够大吗？（1升水的质量为1千克） （3）根据经验，妈妈估计姜汤煎好后蒸发掉的水量在60%左右，这天煎好后的姜汤大约有多少克？ 【答案】（1）100克 （2）壶够大 （3）740克 【思路引导】（1）已知生姜、红糖和水按2∶5∶75的质量比配成姜汤，即生姜占2份，红糖占5份，水占75份；用生姜的质量除以生姜的份数，求出一份数，再用一份数乘红糖的份数，即是红糖的质量。 （2）把姜汤的质量看作单位“1”，由生姜、红糖和水的质量比是2∶5∶75，可知生姜的质量占姜汤质量的，单位“1”未知，用生姜的质量除以，求出姜汤的质量，再根据进率“1千克＝1000克”以及1升水的质量为1千克，得出姜汤的体积，与壶的容量进行比较，得出壶是否够大。 （3）由生姜、红糖和水按2∶5∶75的质量比配成姜汤，用生姜的质量除以2，求出一份数，再用一份数乘75，求出原来的水量； 把原来的水量看作单位“1”，蒸发掉的水量占原来水量的60%，则还剩下的水量占原来水量的（1－60%），单位“1”已知，用原来的水量乘60%，求出剩下的水量，再加上生姜、红糖的质量，即是煎好后的姜汤的质量。 【完整解答】（1）40÷2×5 ＝20×5 ＝100（克） 答：她需要准备红糖100克。 （2）40÷ ＝40÷ ＝40×41 ＝1640（克） 1640克＝1.64千克 1.64÷1＝1.64升 2升＞1.64升 答：壶够大。 （3）40÷2×75 ＝20×75 ＝1500（克） 1500×（1－60%） ＝1500×（1－0.6） ＝1500×0.4 ＝600（克） 600＋40＋100＝740（克） 答：这天煎好后的姜汤大约有740克。 【考点点拨】（1）本题考查比的应用，把比转化成份数，求出一份数是解题的关键。 （2）把比转化成分数，得出生姜的质量占姜汤质量的几分之几，再根据分数除法的意义解答。 （3）根据比的应用求出原来的水量，再根据百分数乘法的意义求出还剩下的水量是解题的关键。 考点讲练10：运算定律与简便运算 28．（2024·四川绵阳·小升初真题）计算下列各题（写由必要的计算过程）。 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）50；（2）；（3）；（4） 【思路引导】（1）先将小数化为分数，然后根据乘法分配律，将算式变为，再计算括号里面的结果，然后计算括号外面的乘法，最后计算括号外面的加法； （2）根据带分数的意义，将每个带分数拆分为整数部分和真分数部分，然后根据带符号搬家，将算式变为，再将接近1的分数进行凑整，变为，去掉括号，再根据带符号搬家，将算式变为；将每个分数的分母进行拆分，变为，根据，将算式变为，然后带符号搬家，再根据算式加上一个数，再减去一个数，原来的算式不变，据此解答。 （3）根据，将算式变为，然后根据乘法分配律，将算式变为，再根据算式加上一个数，再减去一个数，原来的算式不变，将算式变为，按运算顺序，先计算小括号里面的减法，再计算中括号里面的乘法，最后计算中括号外面的乘法。 （4）先将算式变为，然后将除法部分的算式变为，减去相同的数用乘法表示，也就是，据此计算出除法部分为，可知前半部分可以抵消，除法部分变为；而算式的乘法部分，根据乘法分配律，可知，据此整个算式变为，括号的部分可以相互抵消，所以结果为。 【完整解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【考点点拨】本题考查了复杂的分数四则混合运算，掌握相应的解题技巧和方法是解答本题的关键，注意灵活应用。 29．（2024·四川绵阳·小升初真题）计算。 1998×（－）＋11×（－）－2009×（＋）＋3 【答案】0 【思路引导】运用乘法分配律，原式＝－＋－－－＋3，再运用“带符号搬家”的方法，把分母相同的分数放在一起，最后用“添括号”的方法把同分母分数相加减进行简算。 添括号方法：如果括号前面是加号，括号里面不变号；如果括号前面是减号，括号里面的加号要变成减号，减号要变成加号。 【完整解答】1998×（－）＋11×（－）－2009×（＋）＋3 ＝－＋－－－＋3 ＝3－＋－－－＋ ＝3－（－）－（＋）－（－） ＝3－1－1－1 ＝0 【考点点拨】运用乘法分配律去掉括号，再根据“带着符号搬家”和“添括号”的方法，把分母相同的分数相加减是解题的关键。 30．（2023·全国·小升初模拟）计算。      【答案】1；9； 【思路引导】，先把把带分数化成假分数，用算式表示分子和分母，即，之后把假分数的分子用乘法分配律，变为，然后计算出括号里面的加法；再根据计算分数除法的计算方法，除以一个数相当于乘这个数的倒数，将算式变为，然后将2020和分母的2020用约分消去，最后算加法即可； ，把4.44化成分数，带分数化假分数，再根据分数除法的计算方法，除以一个数相当于乘这个数的倒数，即原式变为，之后再根据乘法分配律即可简便运算； ，从第二个分数开始，每个分数的分母可以拆分成2个数相乘，而分子是这2个数的和，据此将分数变为，然后将括号去掉进行简算即可。 【完整解答】 ＝ 考点讲练11：倍的运算 31．（2024·河南开封·小升初真题）如图，有两张相同的长方形纸，分别以3cm的边为高和9cm的边为高围成一个圆柱，前者的体积是后者的( )倍。 【答案】3 【思路引导】圆柱的底面周长除以圆周率再除以2，可求出底面半径。根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，分别求出以3cm的边为高、9cm的边为底面周长和9cm的边为高、3cm的边为底面周长的圆柱的体积，再根据求一个数是另一个数的几倍，用除法解答。 【完整解答】π×（9÷π÷2）2×3 ＝π×（）2×3 ＝π××3 ＝（cm3） π×（3÷π÷2）2×9 ＝π×（）2×9 ＝π××9 ＝（cm3） ÷＝×＝3 所以，前者的体积是后者的3倍。 32．（2024·吉林长春·小升初真题）桃子的单价是a元，比苹果单价的2倍少5元，苹果的单价是（    ）元。 A．2a－5 B．（a－5）×2 C．（a＋5）÷2 D．（a＋5）×2 【答案】C 【思路引导】由题意可知，苹果单价的2倍是元，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数用除法计算，据此解答。 【完整解答】据分析可知，桃子的单价是a元，比苹果单价的2倍少5元，苹果的单价是元。 故答案为：C 33．（2024·四川绵阳·小升初真题）把一段圆柱形的木料削成一个体积最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥体积的（    ）。 A． B．3倍 C． D．2倍 【答案】D 【思路引导】把一段圆柱形的木料削成一个体积最大的圆锥，这个圆锥和圆柱等底等高，体积是圆柱体积的。把圆柱体积看作单位“1”，削去部分的体积是圆柱体积的1－＝。求一个数是另一个数的几分之几或几倍，用除法计算，据此用÷即可解答。 【完整解答】（1－）÷ ＝×3 ＝2 把一段圆柱形的木料削成一个体积最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥体积的2倍。 故答案为：D 考点讲练12：字母表示数 34．（2024·陕西西安·小升初真题）若用an表示n2的个位数字。 例如：a1表示12的个位数字，即a1＝1；a2表示22的个位数字，即a2＝4；a3表示32的个位数字，即a3＝9；a4表示42的个位数字，即a4＝6；… 则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2011＋a2012＋a2013＝( )。 【答案】9059 【思路引导】由于12＝1、22＝4、32＝9、42＝16、52＝25、62＝36、72＝49、82＝64、92＝81、102＝100、112＝121…每10个数组成一个周期，个位数字成1、4、9、6、5、6、9、4、1、0周期出现，确定周期后，用总量除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数格周期多n个，也就是余数是n，那么结果为下一个周期里的第n个。据此先求出一个周期的数字和，以及周期数，一个周期的数字和×周期数＋余下的几个数＝这组数据的和。 【完整解答】根据分析，个位数按照1，4，9，6，5，6，9，4，1，0，…进行变化，每10个数重复一次。 1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1＋0＝45 2013÷10＝201（组）……3（个） a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2011＋a2012＋a2013 ＝1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1＋0…＋1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1＋0＋1＋4＋9 ＝45×201＋（1＋4＋9） ＝9045＋14 ＝9059 a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2011＋a2012＋a2013＝9059。 【考点点拨】解决本题的关键是理解an表示n2的个位数字，确定周期。 35．（2024·四川绵阳·小升初真题）一个两位数，将它的十位和个位数字对调，得到的数比原来的数大27，这样的两位数最大的是( )。 【答案】69 【思路引导】设原数的十位上是A，个位上是B，则原数为10A＋B，个位和十位数字对调后的数为10B＋A。A、B≥1，则10B＋A－（10A＋B）＝9B－9A＝9（B－A）。根据题意，9（B－A）＝27，则B－A＝3，即原来个位上的数比十位上的数大3。这样的数有：14、25、36、47、58、69这6个，其中最大的两位数是69。 【完整解答】设原数的十位上是A，个位上是B。 10B＋A－（10A＋B） ＝10B＋A－10A－B ＝9B－9A ＝9（B－A） ＝27 由此可得：B－A＝3，这样的两位数有14、25、36、47、58、69，其中最大的是69。 【考点点拨】用含有字母的式子分别表示原数和新数，从而通过化简得到个位和十位上数字的关系是解题的关键。 36．（2024·四川成都·小升初真题）（比较大小）（）是一个真分数，下面各分数中最大的一个是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据分数的基本性质：分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。所以选项A、C的分数与原分数相等。假设真分数是，分别写出选项B、D的分数，并比较大小（分子除以分母化成小数，从高位到低位比较每个数位的数字大小），据此解答。 【完整解答】根据分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，所以；假设真分数是，，；因为，所以，最大的分数是。 故答案为：D 【考点点拨】本题考查分数的基本性质，及比较分数的大小。 考点讲练13：方程的解与解方程 37．（2024·浙江宁波·小升初真题）下面不能用方程来表示的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据分数的意义；两个三角形高相等时，小三角形是大三角形的几分之几，则小三角形的面积就是大三角形面积的几分之几；等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的；逐项分析各个选项中的数量关系即可得出答案。 【完整解答】A.一个小格为x平方米，总面积是80平方米，可得x＋x＝80； B．小三角形的底是大三角形底的，高相等，则小三角形面积＝x，梯形的面积＝大三角形的面积＋小三角形的面积，即x＋x＝80； C．等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，即圆锥体积是x，所以x＋x＝80； D：一个小格是x，则x＋x＝80； 故答案为：A 38．（2014·全国·小升初真题）方程一定是等式，等式不一定是方程。( ) 【答案】√ 【思路引导】含有未知数的等式叫做方程；含有等号的式子叫做等式；据此判断。 【完整解答】如：x＋6＝9，是方程，也是等式； 2＋5＝7，是等式，不是方程； 所以方程一定是等式，等式不一定是方程。原题说法正确。 故答案为：√ 39．（2024·四川成都·小升初真题）下面每组概念都是我们学过的重要知识，其中有（    ）组概念可以用下面的图形来准确表示它们间的关系。 ①奇数和偶数                ②平行四边形和长方形 ③平行和相交                ④等式和方程 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】①是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数； ②在四边形中，两组对边都平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是长方形，长方形是特殊的平行四边形； ③同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线； ④表示等号左右两边相等的式子是等式，含有未知数的等式叫做方程；据此解答。 【完整解答】①奇数不包含偶数，偶数也不包含奇数，不符合题意； ②长方形是特殊的平行四边形，符合题意； ③在同一平面内，只有两种位置关系，不是相交就是平行，不符合题意； ④等式不一定是方程，方程一定是等式，符合题意； 所以其中有2组概念可以用下面的图形来准确表示它们间的关系。 故答案为：B 考点讲练14：比 40．（2024·河北保定·小升初真题）如果3x＝6y，那么。( ) 【答案】× 【思路引导】根据等式的性质2，等式两边同时除以3，化为：x＝2y；比例的基本性质：在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，根据比例的基本性质的逆运算，即可解答。 【完整解答】3x＝6y 3x÷3＝6y÷3 x＝2y x∶y＝2∶1 如果3x＝6y，那么x∶y＝2∶1。 原题干说法错误。 故答案为：× 41．（2024·江西吉安·小升初真题）如图所示，把△ABC的边CB延长到点D，请说明∠1＋∠2＝∠4。 。 【答案】说明：∠1、∠2与∠3的和是180°，∠3与∠4的和也是180°，那么∠1、∠2的和等于∠4。 【思路引导】根据三角形的内角和是180°，∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠CBD是平角也是180°，∠3＋∠4＝180°，通过等量代换把∠3替换后，再应用等式性质证明∠1、∠2、∠4之间的关系，据此解答。 【完整解答】因为∠1、∠2、∠3是△ABC的三个内角 所以∠1＋∠2＋∠3＝180°（1） 因为∠CBD＝180° 所以∠3＋∠4＝180°（2） 由（2）变形得∠3＝180°－∠4（3） 把（3）代入（1）∠1＋∠2＋（180°－∠4）＝180° ∠1＋∠2＋180°－∠4＝180° ∠1＋∠2＋180°－∠4－180°＝180°－180° ∠1＋∠2－∠4＝0 ∠1＋∠2－∠4＋∠4＝0＋∠4 ∠1＋∠2＝∠4 说明：∠1、∠2与∠3的和是180°，∠3与∠4的和也是180°，那么∠1、∠2的和等于∠4。 42．（2022·河北邢台·小升初真题）若x＝y，则x－1.6＝y－16。( ) 【答案】× 【思路引导】根据等式的两边同时乘或除以同一个数不为0的数，等式仍然成立；等式的两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；判断即可。 【完整解答】若x＝y，则x＝y，式子x－1.6与式子y－16减去的数不相等，所以结果不相等； 故答案为：× 【考点点拨】此题考查了等式性质的运用，关键是保持等式两边相等。 考点讲练15：比例 43．（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）解方程。 （1） （2）（7.6×35%＋6.5×0.76）∶＝1∶2 【答案】（1）＝； （2）＝15.2 【完整解答】（1）等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式；根据等式的性质，方程两端同时乘6，去分母；再利用乘法的分配律，将括号去掉，然后将等式的两边的整理，有的可以利用乘法的分配律合并，得出5＋3＝12－6，再根据等式的基本性质，先两边同时减去3，交换等号两边式子的位置，再同时减去5，然后两边同时加上9，最后根据等式的性质2，将等式的两边同时除以7即可； （2）先运用乘法分配律将可以算的先算出；在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质；根据比例的性质对比例进行改写，最后根据等式的性质解方程。 【解答】（1） 解： 2（2－1）（＋5）＝6（2－1） 4－25＝12－6 5＋3＝12－6 5＋3－3＝12－6－3 5＝12－9 12－9－5＝5－5 7－9＝0 7－9＋9＝0＋9 7＝9 7÷7＝9÷7 ＝ （2）（7.6×35%＋6.5×0.76）∶＝1∶2 解：（7.6×0.35＋6.5×0.76）∶＝1∶2 （0.76×3.5＋6.5×0.76）∶＝1∶2 [0.76×（3.5＋6.5）]∶＝1∶2 [0.76×10]∶＝1∶2 7.6∶＝1∶2 ＝7.6×2 ＝15.2 【考点点拨】掌握乘法分配律，以及等式的性质，还有比例的基本性质，是解答本题的关键。 44．（2024·四川绵阳·小升初真题）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地。两车行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象解决以下问题： （1）慢车的速度为（    ）km/h，快车的速度为（    ）km/h。 （2）求当x为多少时，两车之间的距离为500km？ 【答案】（1）80；120； （2）当x为1.1或6.25时，两车之间的距离为500km。 【思路引导】（1）设慢车的速度为akm/h，快车的速度为bkm/h，根据，结合题意得：3.6×（a＋b）＝720，（9－3.6）×a＝3.6×b，解方程即可。 （2）两车行驶过程中有2次两车之间的距离是500km，相遇前：（80＋120）x＝720－500，解方程即可；相遇后：点C（6，480），慢车再行驶20km两车之间的距离为500km，计算慢车行驶20km需要的时间，再加上6即可得解。 【完整解答】（1）解：设慢车的速度为akm/h，快车的速度为bkm/h。 （9－3.6）×a＝3.6×b 把代入关系式3.6×（a＋b）＝720 慢车的速度为80km/h，快车的速度为120km/h。 （2）相遇前：（80＋120）x＝720－500 解： 相遇后：因为点C（6，480），慢车再行驶20千米两车之间的距离为500千米。 20÷80＝0.25（时） x＝6＋0.25＝6.25（时） 答：当x为1.1或6.25时，两车之间的距离为500km。 【考点点拨】根据题意找出关系式，有两个未知数的，要先替换为一个未知数，解方程；相遇前两车有一次距离500km；相遇后两车又有一次距离500km；还要注意，快车已到乙地，两车距离不到500km，慢车还得再行20km。 45．（2024·全国·小升初模拟）解方程。            【答案】； 【思路引导】先应用乘法分配律把计算出来，方程两边再同时加减73.5，化简后得到方程，对化简后的方程两边再同时加12后除以6，可以解出未知数； 把和分别看作整体，方程两边同时加和，化简后含和的项分别在等号两边，再逆用分配律，分别提出和进行化简后，方程两边同时乘6去掉分母后，运用等式的性质解方程。 【完整解答】 解： 解： 考点讲练16：比例的应用 46．（2024·广东深圳·小升初真题）正六边形的边长为4厘米，六个圆形的圆心分别在六边形的顶点上。如果小圆的半径为1厘米，求浅灰色部分与深灰色部分面积之比。 【答案】1∶2 【思路引导】正六边形的内角和是720度，相当于两个圆的内角和，所以浅灰色部分的面积＝一个小圆的面积＋一个大圆的面积；那么外面深灰色部分面积＝2个小圆的面积＋2个大圆的面积；即外面深灰色部分面积＝2×（一个小圆的面积＋一个大圆的面积）；所以面积比是1∶2；据此解答即可。 【完整解答】根据分析可得： 浅灰色部分的面积＝一个小圆的面积＋一个大圆的面积 深灰色部分面积＝2个小圆的面积＋2个大圆的面积＝2×（一个小圆的面积＋一个大圆的面积）＝2×浅灰色部分的面积； 所以浅灰色部分与深灰色部分面积之比是1∶2。 【考点点拨】在求不规则图形面积时，往往利用割补结合：观察图形，把图形分割，再进行移补，形成一个容易求得的图形进行解答。 47．（2024·湖北荆州·小升初真题）猎犬发现离它15米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子？ 【答案】90米 【思路引导】由“猎犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步a米；由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同一时间，猎犬跑2a米，兔子可跑a×3＝a米；从而可知猎犬与兔子的速度比是2a∶a ＝6∶5，在同一时间里，路程比就是速度比6∶5，当猎狗追上兔子时，它们运动距离相差6－5＝1倍，正好是相差15米，从而求出1倍的，再乘以6就是猎犬追上兔子的距离，据此解答即可。 【完整解答】设猎犬每步a米，则兔子每步a米 （2×a）∶（a×3） ＝2a∶a ＝6∶5 15÷（6－5）×6 ＝15×6 ＝90（米） 答：猎犬至少跑90米才能追上兔子。 【考点点拨】解答此题的关键是求出猎狗和兔子的速度之比，再根据在同一时间里，速度比就是路程比，求出其路程比。 48．（2024·山西吕梁·小升初真题）某班一次集会，请假人数和出席人数的比是1∶9，中途又有1人请假离开，这时请假人数和出席人数的比是3∶22，这个班一共多少人？ 【答案】50人 【思路引导】根据题意可知，这个班的总人数不变。已知请假人数和出席人数的比是1∶9，即请假人数占总人数的；中途又有1人请假离开，这时请假人数和出席人数的比是3∶22，即现在请假人数占总人数的；那么中途请假离开的1人占总人数的（－），把这个班的总人数看作单位“1”，单位“1”未知，用中途请假离开的人数除以（－），求出这个班的总人数。 【完整解答】1÷（－） ＝1÷（－） ＝1÷（－） ＝1÷ ＝1×50 ＝50（人） 答：这个班一共50人。 【考点点拨】明白全班的总人数不变，把总人数看作单位“1”，把比转化成分数，得出中途离开的人数占总人数几分之几，再根据分数除法的意义解答。 考点讲练17：典型应用题 49．（2023·四川·小升初真题）盒子里有黑、白两种棋子，先放入一些白棋子，这样使得盒子中黑、白棋子的比是2∶5，然后又放入一些黑棋子，这样使得盒子中的黑、白棋子的比是3∶5。如果放入的黑棋子和白棋子的数量比是3∶7，那么原来盒子中黑、白棋子的数量之比是（    ）。 A．6∶5 B．5∶6 C．4∶3 D．3∶4 【答案】D 【思路引导】设原来有黑棋子x个，白棋子y个。先放入一些白棋子，这样使得盒子中黑、白棋子的比是2∶5，黑棋子没有发生改变，则现在的白棋子是黑棋子的，则白棋子有个，则放进白棋子的数量＝现在白棋子的数量－原来白棋子的数量＝个。然后又放入一些黑棋子，这样使得盒子中的黑、白棋子的比是3∶5，白棋子的数量没有发生改变，现在黑棋子的数量是白棋子的，则现在黑棋子的数量为个，那么放进去的黑棋子的数量＝现在黑棋子的数量－原来黑棋子的数量＝个。根据放入的黑棋子和白棋子的数量比是3∶7列出比例，再根据比例的基本性质化简比例得出，根据比例的基本性子，x∶y＝3∶4。 【完整解答】设：原来有黑棋子x个，白棋子y个。 x∶y＝3∶4 原来盒子中黑、白棋子的数量之比是3∶4 故答案为：D 50．（2024·全国·小升初模拟）某校五、六年级学生参加数学能力大赛，五年级参加人数是六年级参加人数的，结果五年级获奖人数与六年级获奖人数比是3∶4，两个年级各有120名同学没有获奖，两个年级参赛的学生一共有多少人？ 【答案】1080人 【思路引导】假设六年级参赛的学生有x人，已知五年级参加人数是六年级参加人数的，把六年级参加人数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，可知五年级参赛的学生有x人，已知两个年级各有120名同学没有获奖，则六年级获奖人数有（x－120）人，五年级获奖人数有（x－120）人，根据比的意义，可知（x－120）∶（x－120）＝3∶4，然后解出比例，进而求出五年级参赛的学生人数，然后将两个年级的人数相加即可。 【完整解答】解：设六年级参赛的学生有x人，五年级参赛的学生有x人。 （x－120）∶（x－120）＝3∶4 4×（x－120）＝3×（x－120） x－480＝3x－360 x＝3x－360＋480 x＝3x＋120 x－3x＝120 x＝120 x＝120÷ x＝120×5 x＝600 600×＝480（人） 480＋600＝1080（人） 答：两个年级参赛的学生一共有1080人。 【考点点拨】本题可列方程解决问题，找到相应的数量关系以及掌握解比例的方法是解答本题的关键。 51．（2021六年级下·全国·竞赛）已知甲车速度为每小时90千米，乙车速度为每小时60千米，甲乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，在途经C地时乙车比甲车早到10分钟；第二天甲乙分别从B，A两地出发同时返回原来出发地，在途经C地时甲车比乙车早到1个半小时，那么AB距离是多少？ 【答案】240千米 【解析】第一次，当乙到达C点时，设乙走过的路程是x，可以表示出此时甲走过的路程，以及甲距离C点的距离，可以表示出AC的距离；第一次，当甲到达C点时，甲走过的距离仍为x，可以表示出乙此时走过的距离，以及乙距离C点的距离，可以表示出AC的距离，根据AC的距离相等列方程求解。 【完整解答】解：设BC的距离是x千米； 10分钟＝小时 （千米） 答：AB距离是240千米。 【考点点拨】本题考查的是比例行程问题，当时间一定时，路程比与速度比相同。 52．（2024·浙江宁波·小升初真题）王师傅做了一个底面积为240平方厘米的铁质圆锥零件，为了防止生锈，把它缓缓放入一个长方体油漆缸中，并完全浸没。由于操作不当，油漆缸底部受损开裂，一段时间后开始渗漏，直至油漆全部漏完。油漆高度随时间变化如图所示： （1）圆锥零件浸入油漆缸（    ）分钟后开始渗漏。 （2）求铁质圆锥的高度是多少厘米？ （3）油漆平均每分钟漏掉多少立方厘米？ 【答案】（1）10 （2）15厘米 （3）300立方厘米 【思路引导】（1）从液面高度与时间的关系图中可知，9：00开始往长方体油漆缸里放入圆锥零件，9：00～9：05，液面高度上升；9：05～9：10，液面高度不变；9：10～9：30，液面高度下降。 由此可知，9：10液面开始渗漏，用开始渗漏的时刻减去放入圆锥零件的时刻，即可求出圆锥零件浸入油漆缸几分钟后开始渗漏。 （2）把一个铁质圆锥零件完全浸没在长方体油漆缸中，液面高度由15厘米上升到18厘米，上升了（18－15）厘米；液面上升部分的体积就是这个圆锥零件的体积； 先根据长方体的体积＝长×宽×高，求出液面上升部分的体积，即圆锥零件的体积； 再根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷S，据此求出圆锥零件的高度。 （3）从图中可知，9：10油漆开始渗漏，9：30油漆全部漏完，用时20分钟； 长方体油漆缸长20厘米、宽20厘米、液面高15厘米，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出油漆的体积； 用油漆的体积除以渗漏的时间，即可求出油漆平均每分钟漏掉的体积。 【完整解答】（1）9时10分－9时＝10（分钟） 圆锥零件浸入油漆缸（10）分钟后开始渗漏。 （2）液面上升部分的体积： 20×20×（18－15） ＝20×20×3 ＝1200（立方厘米） 圆锥的高： 1200×3÷240 ＝3600÷240 ＝15（厘米） 答：铁质圆锥的高度是15厘米。 （3）9时30分－9时10分＝20（分钟） 20×20×15 ＝400×15 ＝6000（立方厘米） 6000÷20＝300（立方厘米） 答：油漆平均每分钟漏掉300立方厘米。 【考点点拨】从液面高度与时间的关系图中获取信息，如：放入圆锥零件后液面上升的高，每段时间液面的变化情况等；灵活运用长方体的体积公式、圆锥的体积公式是解题的关键。 53．（2024·湖南岳阳·小升初真题）现在是上午9点整，再过____分钟，分针与时针在一条直线上，而且指向相反。（    ） A．16 B．15 C．15 D．16 【答案】A 【思路引导】上午9点整，时针和分针成90度，时针与分针第一次反向成一条直线就是时针与分针经过了180度；时针一分钟走0.5度，分针一分钟走6度，分针比时针每分钟多走（6－0.5）度，先180度减去90度求出分针需要经过的度数，再用分针需要经过的度数除以分针比时针每分钟多走的度数，计算即可解答。 【完整解答】360÷60＝6（度） 360÷（12×60） ＝360÷720 ＝0.5（度） （180－90）÷（6－0.5） ＝90÷5.5 ＝90× ＝16（分钟） 所以现在是上午9点整，再过16分钟，分针与时针在一条直线上，而且指向相反。 故答案为：A 【考点点拨】本题主要考查了时针与分针的位置的应用，掌握分针比时针每分钟多走（6－0.5）度是解题的关键。 54．（2024·全国·小升初模拟）3时15分，时钟的时针与分针的夹角是( )度。 【答案】7.5 【思路引导】3点整时，时针和分针相差90度，已知时针每分钟走0.5度，分钟每分钟走6度，根据速度差×追及时间＝追及路程， 用15×（6－0.5）即可求出分针追上的路程，再用原来相差的路程90度减去分针追上的路程，即可求出时针和分针相距的路程。 【完整解答】15×（6－0.5） ＝15×5.5 ＝82.5（度） 90－82.5＝7.5（度） 3时15分，时钟的时针与分针的夹角是7.5度。 【考点点拨】本题考查了时间与钟面，此类问题应结合图形，利用钟面追及问题的知识解答。 55．（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）某校四年级原有2个班，现在要重新编为3个班，将原一班的与原二班的组成新一班，将原一班的与原二班的组成新二班，余下的30人组成新三班，如果新一班的人数比新二班的人数多10%，那么原一班有多少人？ 【答案】48人 【思路引导】由题意可知，原一班和原二班出去的人数都占本班人数的（＋），那么新三班的30人占原来两个班总人数的（1－－），把原来两个班的总人数看作单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义求出原来两个班的总人数； 然后用原来两个班的总人数减去新三班的30人，求出新一班和新二班的人数之和； 已知新一班的人数比新二班的人数多10%，把新二班的人数看作单位“1”，则新一班的人数是新二班的（1＋10%），那么新一班和新二班的人数和占新二班的（1＋1＋10%）；单位“1”未知，用新一班和新二班的人数之和除以（1＋1＋10%），求出新二班的人数； 再用新一班和新二班的人数和减去新二班的人数，求出新一班的人数； 已知原一班的与原二班的组成新一班，那么新一班与新二班的人数差占原一班与原二班人数差的（－），把原一班与原二班的人数差看作单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义求出原来两个班的人数差； 最后根据和差问题的计算方法，用原来两个班的人数和加上原来两个班的人数差，再除以2，求出原来一班的人数即可。 【完整解答】原来两个班的总人数： 30÷（1－－） ＝30÷（1－－） ＝30÷ ＝30× ＝72（人） 新一班和新二班的人数之和：72－30＝42（人） 新二班的人数： 42÷（1＋1＋10%） ＝42÷（1＋1＋0.1） ＝42÷2.1 ＝20（人） 新一班的人数：42－20＝22（人） 原一班与原二班人数之差： （22－20）÷（－） ＝2÷ ＝2×12 ＝24（人） 原一班人数： （72＋24）÷2 ＝96÷2 ＝48（人） 答：原一班有48人。 【考点点拨】本题考查分数、百分数除法的应用，抓住总人数不变，理清复杂的数量关系，根据条件中的数量关系和逻辑关系，逐步解答。 56．（2024·全国·小升初模拟）李师傅、王师傅合作制造一批零件，如果王师傅中途休息5天，合作17天后可以完成；如果李师傅中途休息5天，合作18天后可以完成。李师傅、王师傅单独完成这项工程各需要多少天？ 【答案】李师傅单独完成这项工程需要25天，王师傅单独完成这项工程需要37.5天 【思路引导】把工作总量看作单位“1”，通过题意可知，李师傅单独做5天，两人合作（17－5）天可以完成工作总量，王师傅单独做5天，两人合作（18－5）天可以完成工作总量；所以两人合作（17－5＋18－5＋5）天可以完成2份工作总量；根据工作总量÷工作时间＝工作效率和，用2÷（17－5＋18－5＋5）即可求出两人的工作效率和；据此用两人的工作效率和×（17－5）即可求出两人合作（17－5）天完成的工作量，然后用1－两人合作（17－5）天完成的工作量即可求出李师傅单独做5天的工作量，再除以5即可求出李师傅的工作效率；然后用两人的工作效率和减去李师傅的工作效率即可求出王师傅的工作效率。最后根据工作时间＝工作总量÷工作效率，分别求出李师傅、王师傅单独完成这项工程各需要的天数。 【完整解答】2÷（17－5＋18－5＋5） ＝2÷30 ＝ ×（17－5） ＝×12 ＝ 李师傅：（1－）÷5 ＝÷5 ＝× ＝ 1÷ ＝1×25 ＝25（天） 王师傅：－＝ 1÷ ＝1× ＝37.5（天） 答：李师傅单独完成这项工程需要25天，王师傅单独完成这项工程需要37.5天。 【考点点拨】本题主要考查了工程问题，掌握相应的数量关系式是解答本题的关键。 57．（2024·四川绵阳·小升初真题）一列货车从甲地开往乙地，如果按原速度行驶，将不能准时到达乙地，如果把车速提高，可以比原定时间早一小时到达；如果以原速度行驶206千米后，再将速度提高，则可提前40分钟到达，那么甲乙两地间的距离是多少千米？ 【答案】463.5千米 【思路引导】将原速度看作单位“1”，把车速提高，速度变为原来的1＋＝，因为速度×时间＝路程，因此用的时间变为原来的，将原定时间看作单位“1”，现在的时间比原来少了（1－），早到达的时间÷对应分率＝原定时间，据此可以求出原定时间是6小时。 设原来的车速是每小时千米，则总路程是6千米，原速度行驶路程÷原速度＝行驶206千米用的时间，总路程－原速度行驶路程＝剩余路程，此时速度提高，此时速度为每小时千米，剩余路程÷提速后的速度＝剩余路程用的时间，根据行驶206千米用的时间＋剩余路程用的时间＝原定时间－提前的时间，列出方程求出x的值，是原速度。原速度×原时间＝甲乙两地间的距离。 【完整解答】把车速提高，速度变为原来的：1＋＝ 用的时间变为原来的： 原来行驶的时间是： 1÷（1－） ＝1÷ ＝1×6 ＝6（小时） 40分钟＝小时 解：设原来的车速是每小时千米。 77.25×6＝463.5（千米） 答：甲乙两地间的距离是463.5千米。 【考点点拨】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 考点讲练18：图形的拼组 58．（2024·河南郑州·小升初真题）如图，甲、乙两人沿着边长为70米的正方形，按逆时针的方向行走，甲从A以65米/分的速度行走，乙从B以72米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时，是在正方形的边 （AB、BC、CD或DA）上。 【答案】DA 【思路引导】设乙第一次追上甲用了x分钟，则有乙行走的路程等于甲行走的路程加上70×3，根据其相等关系列方程得72x＝65x＋70×3，根据，再用甲行走的总路程除以正方形的周长，所得的余数再与AB，AB与BC的和，AB、BC与CD的和比较即可得解。 【完整解答】解：设乙第一次追上甲用了x分钟。 72x＝65x＋70×3 72x－65x＝65x＋210－65x 7x＝210 7x÷7＝210÷7 x＝30 65×30＝1950（米） （米） 1950÷280＝6（圈）……270（米） AB的距离是70米，AB与BC的和是（米），AB、BC与CD的和是（米） 所以，乙第一次追上甲是在DA边上。 【考点点拨】根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，求出乙第一次追上甲两人所用的时间，因为两人围绕正方形走了多圈，再按照周期问题找到两人相遇的位置即可。 59．（2024·河南郑州·小升初真题）在去伏羲山的路上，他们看到了一块平行四边形的玫瑰花田。 （1）观察如图，请你简要写出平行四边形面积计算公式产生的过程。 在数学学习中，经常运用“转化”思想变未知为已知。请你应用转化的思想解决下列问题。 （2）在学习三角形的内角和时，可把三角形折成长方形，三个内角就拼成了一个（    ）角。我们也可以用这种方法推导三角形的面积计算公式。将折成的长方形与原来的三角形比较，长是底的一半，宽是（        ），面积是（        ），这样通过求出长方形的面积就可以得到三角形的面积。如果折成的长方形的面积是12平方厘米，则原来三角形的面积是（      ）。 （3）伏羲山悬崖酒店准备新建一个游泳池，泳池长25米，宽11米，由分道线分成5个泳道（如图a）。游泳池底部有一定的倾斜度，使游泳池由1.2米深的浅水区自然过渡到1.6米深的深水区（如图b）。 淘淘根据平行四边形、三角形、梯形、圆形的面积计算公式及圆柱、圆锥的体积计算公式推导方法，设计了一个计算游泳池容积的研究模型，（如图c示意图）。 ①说一说他是怎么研究的？ ②根据这个研究模型，试着算一算这个游泳池的容积是多少？ ③至少要购进多少米的分道线，才能保证5个泳道的分道？（只列式，不计算） 【答案】（1）见详解 （2）平；高的一半；三角形面积的一半；24平方厘米 （3）①见详解 ②385立方米 ③25×（5－1） 【思路引导】（1）如图，把平行四边形沿高剪下一个小直角三角形，然后平移到右边，把平行四边形转化成长方形。这两个图形的面积相等，找出平行四边形的底、高与长方形的长、宽的关系，根据长方形的面积公式推导出平行四边形的面积。 （2）如图，把三角形折成长方形，三个内角拼成了一个平角，将折成的长方形与原来的三角形比较，找出长方形的长、宽与三角形的底、高的关系，进而得出长方形的面积与三角形面积的关系，求出原来三角形的面积。 （3）①从图c可以看出，淘淘把两个完全一样的游泳池模型叠放一起，让两个斜面重合，拼成一个长25米，宽11米，高（1.2＋1.6）米的长方体模型，那么游泳池的容积等于这个长方体模型容积的一半。 ②根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出长方体模型的容积，再除以2，即是这个游泳池的容积。 ③因为有5个泳道，所以需要（5－1）条分道线，每条分道线的长度与游泳池的长相等，据此列式。 【完整解答】（1）把平行四边形转化成长方形，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，利用长方形的面积＝长×宽可知，平行四边形的面积＝底×高。 （2）12×2＝24（平方厘米） 在学习三角形的内角和时，可把三角形折成长方形，三个内角就拼成了一个（平）角。我们也可以用这种方法推导三角形的面积计算公式。将折成的长方形与原来的三角形比较，长是底的一半，宽是（高的一半），面积是（三角形面积的一半），这样通过求出长方形的面积就可以得到三角形的面积。如果折成的长方形的面积是12平方厘米，则原来三角形的面积是（24平方厘米）。 （3）①把两个完全一样的游泳池模型拼成一个长是25米，宽是11米，高是（1.2＋1.6）米的长方体模型，那么游泳池的容积等于这个长方体模型容积的一半。 ②25×11×（1.2＋1.6）÷2 ＝25×11×2.8÷2 ＝385（立方米） 答：这个游泳池的容积385立方米。 ③25×（5－1） ＝25×4 ＝100（米） 答：至少要购进25×（5－1）米的分道线，才能保证5个泳道的分道。 【考点点拨】本题考查转化思想在数学中的应用，明白转化过程中，转化后的平面图形面积与原平面图形面积相等，进而推导出原平面图形的面积公式。利用转化思想把不规则的立体图形转化成规则立体图形，通过学过的立体图形的体积公式求出不规则立体图形的体积。 60．（2024·浙江宁波·小升初真题）如图，三角形AOC和三角形BOD形状相同，大小不同，在数学上把这样的两个三角形叫作“相似三角形”。已知AC∶BD＝1∶2，OC∶OD＝1∶2，OA∶OB＝1∶2，三角形AOC和三角形BOD的面积比是（    ）。 A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶8 【答案】C 【思路引导】根据题意，三角形AOC和三角形BOD是相似三角形，三条边的比AC∶BD＝OC∶OD＝OA∶OB＝1∶2，由此得出：相似三角形对应线段的比相等。 如下图，先分别作三角形AOC的边AC和三角形BOD的边BD上的高OE和OF；然后根据“相似三角形”的意义得出三角形AOE和三角形BOF是相似三角形，由此得出两个三角形高OE与OF的比等于边OA与OB的比；再根据比的意义以及三角形的面积＝底×高÷2，求出三角形AOC和三角形BOD的面积，并得出它们的面积之比。 【完整解答】如图： 过O点作三角形AOC的边AC上的高OE，过O点作三角形BOD的边BD上的高OF； 三角形AOE和三角形BOF形状相同，大小不同，是相似三角形； 因为OA∶OB＝1∶2，所以OE∶OF＝1∶2； 由AC∶BD＝1∶2，可以设AC是1，BD是2； 由OE∶OF＝1∶2，可以设OE是1，OF是2； （AC×OE÷2）∶（BD×OF÷2） ＝（1×1÷2）∶（2×2÷2） ＝1∶4 三角形AOC和三角形BOD的面积比是1∶4。 故答案为：C 【考点点拨】从题目的已知信息中明白“相似三角形”三条边的比的关系，由此求出相似三角形高的比，再利用三角形的面积公式以及比的意义求出相似三角形的面积之比。 考点讲练19：立体图形的表面积和体积 61．（2024·浙江宁波·小升初真题）（如图）一个圆锥和圆柱拼接成透明模具，小仑装了一些水，正放时水的高度是6厘米，倒放时无水部分高14厘米，这个模具的容积是多少毫升？ 【答案】1004.8毫升 【思路引导】根据题意可知，模具的容积、水的体积不变，则正放时空白部分的容积与倒放时空白部分的容积相等，所以模具的容积＝正放时水的体积＋倒放时无水部分的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求出模具的容积。注意单位的换算：1立方厘米＝1毫升。 【完整解答】3.14×（8÷2）2×6＋3.14×（8÷2）2×14 ＝3.14×42×6＋3.14×42×14 ＝3.14×16×6＋3.14×16×14 ＝3.14×16×（6＋14） ＝3.14×16×20 ＝1004.8（立方厘米） 1004.8立方厘米＝1004.8毫升 答：这个模具的容积是1004.8毫升。 【考点点拨】理解正放和倒放时水的体积是不变的，也就是容器中空的部分体积是一样的，利用转化思想将其转化成圆柱进行计算。 62．（2024·四川内江·小升初真题）把一个圆柱沿底面直径竖直切成四块（如图①），表面积增加了48平方厘米；平行于底面切成三块（如图②），表面积增加了50.24平方厘米；削成一个最大的圆锥（如图③），体积减少了多少立方厘米？ 【答案】25.12立方厘米 【思路引导】根据图②的切分方法可知，增加的表面积是4个圆柱的底面的面积，先用增加的表面积除以4，求出圆柱的底面积，再根据圆的面积公式S＝πr2，求出半径的平方即r2的值，进而推导出圆的半径； 根据图①的切分方法可知，增加的表面积是以圆柱的高的长度为长，底面半径的长度为宽的8个长方形的面积，先用增加的表面积除以8，再除以半径，即可求出圆柱的高； 把这个圆柱削成一个最大的圆锥，则圆柱和圆锥等底等高，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，求出圆柱和圆锥的体积，再相减，即是减少的体积。 【完整解答】底面积：50.24÷4＝12.56（平方厘米） 半径的平方：12.56÷3.14＝4（平方厘米） 因为4＝2×2，所以圆的半径是2厘米； 圆柱的高：48÷8÷2＝3（厘米） 减少的体积： 3.14×22×3－×3.14×22×3 ＝3.14×4×3－×3.14×4×3 ＝37.68－12.56 ＝25.12（立方厘米） 答：体积减小了25.12立方厘米。 【考点点拨】掌握圆柱切割的特点，明确表面积增加的是哪些面的面积，以此为突破口，利用公式求出圆柱的底面半径和高，再根据等底等高的圆柱、圆锥的体积关系求解。 63．（2024·福建莆田·小升初真题）2000多年前，古希腊国王让人做了一顶纯金的皇冠，但他怀疑皇冠被掺了铜，所以请数学家阿基米德来帮忙。阿基米德用“排水法”来鉴别皇冠的真伪：金子的密度约为19克/立方厘米，铜的密度约为9克/立方厘米，在质量相同的情况下金子的体积比较小；如果掺了铜后，密度减小，体积增大，排出的水就多了。阿基米德做了如下的实验：第一步，称出这顶皇冠的质量是950克；第二步，把这顶皇冠浸没在装满水的容器中，测量出排出的水有70毫升。（提示：密度＝质量÷体积） （1）这顶皇冠是否被掺了铜？请计算说明理由。 （2）如果有掺铜，请你算出皇冠被掺了多少克铜？ 【答案】（1）被掺了铜；计算说明见详解 （2）342克 【思路引导】（1）先通过排水法求出皇冠的体积，再计算假设皇冠是纯金时的体积，与实际体积比较判断是否掺铜。如果假设皇冠是纯金时的体积小于实际体积，说明皇冠被掺了铜。 （2）设皇冠被掺了x克铜，则金的质量为（950－x）克。根据体积关系列方程求解，即铜的体积加上金的体积等于实际皇冠的体积。铜的体积为x÷9，金的体积为（950－x）÷19，实际皇冠体积为70立方厘米，据此列出方程为：（950－x）÷19＋x÷9＝70，计算出结果即可。 【完整解答】（1）950÷19＝50（立方厘米） 50立方厘米＝50毫升 因为50毫升＜70毫升，所以这顶皇冠被掺了铜。 （2）解：设皇冠被掺了x克铜，则金的质量为（950－x）÷19 （950－x）÷19＋x÷9＝70 9×（950－x）＋19×x ＝ 70×171 8550－9x＋19x ＝ 11970 8550－10x－8550＝11970－8550 10x＝3420 x＝342 答：皇冠被掺了342克铜。 【考点点拨】本题涉及了密度、质量、体积三者的关系，在列方程时，需要理解皇冠由纯金和铜两部分组成，同时运用三者的数量关系，有一定难度。 64．（2024·四川成都·小升初真题）把一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体滑虚线切成两个立体图形，下图中（    ）的切法增加的表面积最小。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】不论是哪一种切法，都是增加两个长方形的面，比较长方形的面积大小，即可确定哪一种切法增加的表面积最小。 【完整解答】A．增加两个长方形的面，长方形的长是8厘米，宽是6厘米，（平方厘米）； B．增加两个长方形的面，长方形的长是8厘米，宽是4厘米，（平方厘米）； C．增加两个长方形的面，长方形的长是6厘米，宽是4厘米，（平方厘米）； D．增加两个长方形的面，长方形的长大于8厘米，宽是6厘米，增加的面积大于96平方厘米； 表面积增加最少的是增加48平方厘米，故答案选：C。 【考点点拨】本题考查的是立体几何的切割问题，每切一刀，都会增加两个面。 65．（2024·河南三门峡·小升初真题）如下图所示，赵磊把一个底面直径是4dm，高为3dm的圆柱分割成大小完全相等的两部分，则（    ）。（圆周率取3） A．方法一表面积增加的多 B．方法二表面积增加的多 C．两种方法表面积增加的一样多 D．无法确定 【答案】C 【思路引导】圆柱的表面积＝2个底面面积＋侧面面积，把圆柱按照平行于高的方向切割（方法一），增加两个长方形面积，长方形的长是底面直径，宽是圆柱的高。把圆柱按照平行于底面的方向切割（方法二），增加两个底面面积。根据S长方形＝ab，S圆＝πr2解答。 【完整解答】方法一表面积增加： 4×3×2 ＝12×2 ＝24（dm2） 方法二表面积增加： 3×（4÷2）2×2 ＝3×22×2 ＝3×4×2 ＝24（dm2） 所以两种方法增加的表面积一样多。 故答案为：C 66．（2024·河南三门峡·小升初真题）如图所示，赵磊把一个底面直径是4dm，高为3dm的圆柱分割成大小完全相等的两部分，则（    ）（圆周率取3）。 A．方法一表面积增加的多 B．方法二表面积增加的多 C．两种方法表面积增加的一样多 D．无法确定 【答案】C 【思路引导】圆柱的表面积＝2个底面面积＋侧面面积，把圆柱沿着底面直径切割（方法一），增加两个长方形面积，长方形的长是底面直径，宽是圆柱的高；把圆柱按照平行于底面的方向切割（方法二），增加两个底面面积。根据长方形的面积＝ab，圆的面积＝解答即可。 【完整解答】方法一表面积增加： 4×3×2 ＝12×2 ＝24（dm2） 方法二表面积增加： 3×（4÷2）2×2 ＝3×22×2 ＝3×4×2 ＝24（dm2） 所以两种方法增加的表面积一样多。 故答案为：C 考点讲练20：图形与变换 67．（2019·河南安阳·小升初真题）请按要求画图。 （1）以三角形的边为底，再画出一个和三角形面积相等的三角形。 （2）画出把三角形绕点A逆时针旋转90°后的图形。 （3）画出把三角形按2∶1放大后的图形。 【答案】 【思路引导】（1）要先数出原三角形底和高分别为几个单位长度，算出三角形的面积，再确定所画的新三角形的底和高。 （2）可以把三角形分为两部分，两部分分别在两个矩形里，按要求将两个矩形逆时针旋转90°，再描出三角形的轮廓即可。 （3）将底和高的长度分别乘2，就是放大后图形的底和高。 【完整解答】（1）原三角形底AB为4个单位长度，高为2个单位长度，面积就为4×2÷2＝4，则要画的三角形面积也为4，那就画成与原三角形同底等高的三角形即可。 （2）可以观察到，三角形有一小部分在一个正方形里，并且有一条边为正方形的对角线，如果将这个正方形逆时针旋转90°，则旋转后的正方形的对角线与原对角线垂直，这样就画出了边AC，至于底AB逆时针旋转90°后，由水平位置转到竖直位置，现在AB、AC两条边均已确定，只要将BC两点连成一条线段就行了。 （3）4×2＝8，2×2＝4，则新画的三角形底为8、高为4，并且形状与原三角形相同，按这个标准画就行。 【考点点拨】在这三个作图中，（2）逆时针旋转有些难度，因为这是一个钝角三角形，如果是直角三角形还好画一些，所以我们才将三角形连同所在的矩形一同旋转，这样便于观察，难度也就降低了。 68．（2024·河南驻马店·小升初真题）（1）过顶点B作三角形的高，标出垂足O。 （2）若三角形的∠A＝52°，则三角形的顶点A在顶点C的（    ）偏（    ）（    ）°方向上。 （3）画出三角形绕点B顺时针方向旋转90°后的图形；点C旋转后的位置可用数对（    ）表示。 【答案】（1）图见详解 （2）南；西；38 （3）图见详解；（8，3） 【思路引导】（1）根据三角形高的意义，在三角形ABC中，从顶点B向它的对边AC画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，由此作图即可； （2）已知三角形的内角和是180°，那么直角三角形中两个锐角的度数之和是90°，减去已知的一个锐角，即可求出另一个锐角的度数； 以顶点C为观测点，以图上的“上北下南，左西右东”为准，结合方向、角度确定顶点A与顶点C的位置关系。 （3）根据旋转的特征，将三角形绕点B顺时针方向旋转90°，点B位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。 用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此用数对表示点C旋转后的位置。 【完整解答】（1）过顶点B作三角形的高，标出垂足O，如下图。 （2）∠C＝90°－52°＝38° 三角形的顶点A在顶点C的南偏西38°（或西偏南52°）方向上。 （3）画三角形绕点B顺时针方向旋转90°后的图形，如下图。 点C旋转后的位置可用数对（8，3）表示。 如下图所示： 69．（2024·重庆垫江·小升初真题）根据要求画一画，算一算。 （1）把①号图形按的比例放大画在方格中。 （2）画出②号三角形绕A点逆时针旋转后的图形。 （3）算出②号三角形中线段在旋转过程中所扫过的面积。 【答案】（1）（2）见详解；（3）12.56cm2 【思路引导】（1）把①号图形按照3∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的3倍；先计算出三角形①的底边和对应的高放大到原来的3倍后的长度，再依次连接，据此作图。 （2）作旋转后的图形步骤：以A点为旋转中心，找出构成三角形的关键点，分别作出各关键点绕A点逆时针旋转90°的对应点，顺次连接旋转后的关键点即可。 （3）三角形ABC在旋转过程中，线段AB所扫过的面积相当于一个以AB边为半径的圆的面积，根据圆的面积＝πr2，代入相应数值计算，据此解答。 【完整解答】（1）①号图形的底边：2×3＝6（cm） 底边上的高：2×3＝6（cm） （1）（2）如图所示： （3）AB＝4cm （cm2） 因此②号三角形中线段在旋转过程中所扫过的面积为12.56cm2。 考点讲练21：位置与方向 70．（2024·重庆垫江·小升初真题）下图是小刚家周边的示意图，请根据要求填一填，画一画。 （1）少年宫在小刚家北偏东（    ）度方向上处。 （2）图书馆在少年宫北方处，请用“·”标出相应的位置。 （3）周末，小刚以每小时的速度，8：00从家出发经少年宫去图书馆学习，到达图书馆的时刻是（    ）。 【答案】（1）60 （2）见详解 （3）8：15 【思路引导】（1）先确定观测点，再根据上北下南，左西右东确定方向和角度。 （2）观测点在少年宫，根据上北下南，左西右东确定方向，再根据图上1cm表示实际300m，用900除以300，得到图上距离，据此画图。 （3）由题意可知，要走的路程是，把路程的单位转化为km，根据，代入数据求出时间，再加8：00，即可求出到达图书馆的时刻。 【完整解答】（1）由图可知，少年宫在小刚家北偏东60度方向上处。 （2）（cm） 画图如下： （3） （小时）＝15（分） 8：00＋15分＝8：15 周末，小刚以每小时的速度，8：00从家出发经少年宫去图书馆学习，到达图书馆的时刻是8：15。 71．（2024·河南三门峡·小升初真题）如图方格图是阳光小学的一块空地，现在要进行改建，请你按要求进行设计。 （1）长方形是原来的劳动教育实践基地，现在要将它按2∶1放大，且位置改在空地的东北角，请画出放大后的劳动教育实践基地。 （2）要在空地上建一个三角形月季花园，三个顶点的位置分别是A（0，3）、B（0，0）、C（4，0），请画出这个月季花园。 （3）要在空地的西北角建一块平行四边形草坪，面积是三角形月季花园的2倍，请画出这块草坪。 （4）EF是一条主水管，要在点D处安装一个水龙头，需要从点D处接一条分水管与主水管EF连通，怎样接最节省水管，请画出来。 【答案】（1）见详解； （2）见详解； （3）见详解； （4）见详解 【思路引导】（1）把“长方形按2∶1放大”即长方形的长和宽都扩大到原来的2倍，再根据“上北下南，左西右东”的方位辨别方法可知：空地的东北角即在空地的右上角，据此画图即可； （2）用数对表示位置：第一个数表示列数，第二个数表示行数，据此分别找出A、B、C各点，再顺次连接各点即可； （3）先根据三角形的面积＝底×高÷2求出三角形的面积，再乘2即可求出平行四边形的面积，再根据“上北下南，左西右东”的方位辨别方法可知：空地的西北角即在空地的左上角，最后结合平行四边形的面积＝底×高在空地的左上角画出这个平行四边形即可； （4）从直线外一点到直线上的所有连线中，垂线段最短，据此从点D到直线EF作垂线段即可。 【完整解答】（1）3×2＝6（格） 2×2＝4（格） （2）月季花园的位置如图所示。 （3）4×3÷2 ＝12÷2 ＝6 6×2＝12 12＝4×3 草坪的位置如图所示。（画法不唯一） （4）作图如下： 72．（2024·河南郑州·小升初真题）看图选择。 (1)淘淘一家准备先去新密市伏羲山游玩。爸爸使用高德地图查阅导航之后，告诉淘淘：“伏羲山在我家南偏西60°的方向上，距离我家50km。”（如图）根据以上信息请帮淘淘选择表示伏羲山位置是（    ）。 A．①号点位 B．②号点位 C．③号点位 D．④号点位 (2)在如图中，淘淘测量了一下，自己家到④号点位的图上距离是2cm，这幅图的比例尺是（    ）。 A．1∶25 B．1∶50 C．1∶2500000 D．1∶5000000 【答案】(1)B (2)C 【思路引导】（1）将方向和距离结合起来描述位置时，要注意三个要素：一是观测点，二是方向，三是距离。看图可知，②号点位在淘淘家西偏南30°，南和西之间的夹角是90°，西偏南也可以说成南偏西，角度＝90°－西偏南的角度。 （2）图上距离∶实际距离＝比例尺，据此写出图上距离与实际距离的比，化简即可。 【完整解答】（1）90°－30°＝60°，②号点位在淘淘家南偏西60°的方向上，距离淘淘家50km。 故答案为：B （2）2cm∶50km＝2cm∶5000000cm＝（2÷2）∶（5000000÷2）＝1∶2500000 这幅图的比例尺是1∶2500000。 故答案为：C 考点讲练22：测量 73．（2024·河南信阳·小升初真题）一个圆柱形鱼缸，底面直径是6分米，高是35厘米，把一个底面半径为20厘米的圆锥放入鱼缸中，圆锥全部进入水中后，鱼缸中的水面升高了2厘米，这个圆锥的高是多少？（π取3.14） 【答案】13.5厘米 【思路引导】根据题意，把圆锥完全浸没进有水的圆柱形容器中，水面上升了2厘米，那么水上升部分的体积等于这个圆锥的体积； 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水上升部分的体积，也就是圆锥的体积； 根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积；再根据圆锥的体积公式V＝Sh，可知圆锥的高h＝3V÷S，代入数据计算，求出圆锥的高。 【完整解答】6分米＝60厘米 圆锥的体积（水上升部分的体积）： 3.14×（60÷2）2×2 ＝3.14×302×2 ＝3.14×900×2 ＝5652（立方厘米） 圆锥的底面积： 3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（平方厘米） 圆锥的高： 5652×3÷1256 ＝16956÷1256 ＝13.5（厘米） 答：这个圆锥的高是13.5厘米。 74．（2024·河南安阳·小升初真题）公园里的一棵百年雪松，由于天气干旱，开始枯萎，需要输液。如图①所示，输液瓶内液面高度是10厘米，液体是250毫升。绿化师傅给雪松设置了平均每分钟5毫升的输液速度，10分钟后，空的部分高度是6厘米，如图②所示。 ① ② （1）这个输液瓶的底面积是多少平方厘米？ （2）这个输液瓶的容积是多少毫升？ 【答案】（1）25平方厘米 （2）350毫升 【思路引导】（1）从图①可知，输液瓶内液面高度和液体的体积，根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆柱的底面积S＝V÷h，求出这个输液瓶的底面积。注意单位的换算：1毫升＝1立方厘米。 （2）先用绿化师傅设置的输液速度乘10，求出10分钟输出液体的体积，再用原来液体的体积减去输出液体的体积，求出瓶内剩余液体的体积； 图②中空白部分的高度是6厘米，根据圆柱的容积公式V＝Sh，求出图②中空白部分的容积； 则这个输液瓶的容积＝剩余液体的体积＋倒置时空白部分的容积，据此解答。 【完整解答】（1）250毫升＝250立方厘米 250÷10＝25（平方厘米） 答：这个输液瓶的底面积是25平方厘米。 （2）5毫升＝5立方厘米 250－5×10＋25×6 ＝250－50＋150 ＝350（立方厘米） 350立方厘米＝350毫升 答：这个输液瓶的容积是350毫升。 75．（2024·河北石家庄·小升初真题）在括号里填上合适的单位。 小强家一个月用水的质量大约是12( )。小强是个篮球迷，他平常打球的篮球架高28( )，用的篮球质量大约是650( )。五一假期他们一家人去旅游，乘高铁到北京，高铁每小时大约行驶260( )。 【答案】 吨/t 分米/dm 克/g 千米/km 【思路引导】面包车的质量大约是1吨，一扎的长度大约是1分米，曲别针的质量大约是1克，公交车行驶2站的距离大约是1千米，据此根据质量和长度单位的认识，以及生活经验进行填空。 【完整解答】小强家一个月用水的质量大约是12吨。小强是个篮球迷，他平常打球的篮球架高28分米，用的篮球质量大约是650克。五一假期他们一家人去旅游，乘高铁到北京，高铁每小时大约行驶260千米。 76．（2014四年级·全国·课后作业）如图1，某容器由A、B、C三个长方体组成，其中A、B、C的底面积分别为25平方厘米，10平方厘米和5平方厘米，C的容积是容器容积的（容器各面的厚度忽略不计），现在以速度V（单位：立方厘米每秒）均匀地向容器注水，直到注满为止。图2表示注水全过程中容器的水面高度（依次注满A、B、C）（单位：厘米）与注水时间t（单位：秒）的关系。 （1）在注水过程中，注满A所用的时间是________秒，再注满B又用了________秒；     （2）注水的速度是每秒多少立方厘米？   （3）容器的高度是多少厘米？ 【答案】（1）10；8 （2）10立方厘米/秒 （3）24厘米 【思路引导】（1）A、B、C三个长方体的底面积不同，水面上升的速度也不同，注A时水面上升速度最慢，注B时次之，注C时最快，线段的倾斜度越大，表示上升速度越慢，据此填空。 （2）每秒注入的水是一定的，设A的高是hAcm，B的高是hBcm，水流速度是vcm/s，结合折线统计图，长方体A的底面积×它的高＝水流速度×10；长方体A的底面积×它的高＋长方体B的底面积×它的高＝水流速度×18，长方体A的高＋长方体B的高＝12，据此列方程解答。 （3）设C的高是hCcm，根据题意长方体C的底面积×高＝三个长方体的总容积× ，据此列方程解答。 【完整解答】（1）在注水过程中，注满A所用的时间是10秒，再注满B又用了8秒。 （2）解：设A的高是hAcm，B的高是hBcm，水流速度是vcm/s。 解得 答：水流速度是10厘米/秒。 （3）解：设C的高是hCcm。 5×hC＝（5×hC＋25×4＋10×8）× 解得hC＝12 12＋12＝24（厘米） 答：容器的高度是24厘米。 【考点点拨】此题考查长方体体积与折线统计图的综合应用，根据题目中的条件以及统计图中的信息，认真分析其中的数量关系，列方程解答即可。 考点讲练23：统计 77．（2016·全国·小升初真题）某班级一次考试的平均分数是70分，其中 的同学及格，他们的平均分是80分，不及格的同学的平均分是 分。 【答案】40 【完整解答】假设总人数是x人 （70x－80×x）÷[（1－）x] ＝10x÷x ＝40（分） 78．（2024·四川成都·小升初真题）四个不同的整数由小到大排列，平均数是13.75，三个大数的平均数是15，三个小数的平均数是12，如果第三个数是偶数，那它是 【答案】14 【完整解答】略 考点讲练24：概率 79．（2022·四川绵阳·小升初真题）在一个盒子中有除颜色外均相同的10个红球，8个绿球和一些黑球，从里面拿出一个球，拿出绿球的可能性小于，那么至少有( )个黑球。 【答案】7 【思路引导】假设摸出绿球的可能性等于，即盒子中球的总个数的是绿球的个数，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出盒子中球的总个数，然后减去盒子中红球和绿球的个数，即为盒子中黑球的个数；因为拿出绿球的可能性小于，所以用求出的黑球个数加1即可。 【完整解答】（个） （个） （个） 即，要使拿出绿球的可能性小于，那么至少有7个黑球。 【考点点拨】解答本题的关键在于理解：当摸出绿球的可能性等于时黑球的个数加1即为所求黑球的最小个数。 80．（2024·河南南阳·小升初真题）纸箱里放有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其他规格都一样），从中摸一个球，摸出的( )球的可能性最大；要想保证从中摸到不同颜色的两个球，至少需要摸( )次。 红球 3个 黄球 4个 蓝球 5个 【答案】 蓝 6 【思路引导】（1）根据可能性大小的判断方法，比较纸箱里红、黄、蓝三种颜色球的数量，数量最多的，摸到的可能性就最大。 （2）考虑最不利原则的情况，先把数量最多的蓝球都摸出，此时再任意摸出1个球，一定会出现不同颜色的两个球。 【完整解答】（1）因为5＞4＞3，蓝球的数量最多，所以从中摸一个球，摸出的蓝球的可能性最大。 （2）5＋1＝6（次） 从中摸一个球，摸出的（蓝）球的可能性最大；要想保证从中摸到不同颜色的两个球，至少需要摸（6）次。 81．（2024·辽宁·小升初模拟）年的6月5日是“世界环境日”，胜利小学的“环保小卫士”对全校师生开展了以“垃圾分类，你我同行”为主题的问卷调查，他们将所有调查结果绘制成了统计图。下面说法正确的是（    ）。 A．对垃圾分类知识“不了解”的人数占总人数的。 B．对垃圾分类知识“非常了解”的人比“了解一些”的人数多。 C．若“不是很清楚”的人数有88人，则参加本次问卷总人数有400人。 D．如果再随机做一份问卷，某同学一定会回答“了解一些”。 【答案】C 【思路引导】A．把总人数看作单位“1”，用1减去“非常了解”、“了解一些”、“不是很清楚”的人数占总人数的百分比，就是“不了解”的人数占总人数的百分比； B．观察统计图可知，“了解一些”占45%，“非常了解”占28%，比较两个百分比大小，即可解答； C．把总人数看作单位“1”，“不是很清楚”的人数占总人数的22%，对应的是88人，求单位“1”，用88÷22%解答，再进行比较，即可解答； D．判断事件发生的可能性有几种情况：可能、不可能、一定，要结合生活实际，做出正确判断。 【完整解答】A．1－28%－45%－22% ＝72%－45%－22% ＝37%－22% ＝15% 对垃圾分类知识“不了解”的人数占总人数占总调查人数的15%，应小于。原题干说法错误。 B．45%＞28%，对垃圾分类知识“非常了解”的人比“了解一些”的人数少。原题干说法错误。 C．88÷22%＝400（人） 以若“不是很清楚”的人数有88人，则参加本次问卷总人数有400人。原题干说法正确。 D．如果再随机做一份问卷，某同学不一定会回答“了解一些”。原题干说法错误。 每年的6月5日是“世界环境日”，胜利小学的“环保小卫士”对全校师生开展了以“垃圾分类，你我同行”为主题的问卷调查，他们将所有调查结果绘制成了统计图。下面说法正确的是若“不是很清楚”的人数有88人，则参加本次问卷总人数有400人。 故答案为：C 考点讲练25：算式的规律 82．（2024·河南南阳·小升初真题）观察右边算式的规律：22－12＝2＋1，32－22＝3＋2，42－32＝4＋3，52－42＝5＋4，… (1)用含有字母n的式子表示规律：( )。 (2)用规律进行计算：202－192＋182－172＋162－152＋…＋22－12＝( )。 【答案】(1)n2－（n－1）2＝2n－1 (2)210 【思路引导】观察算式，发现规律，相邻两个自然数（0除外）的平方差等于这两个数的和，据此规律写出用字母n表示的式子，并用规律计算出算式的结果。 【完整解答】（1）n2－（n－1）2 ＝n＋n－1 ＝2n－1 所以用含有字母n的式子表示规律：n2－（n－1）2＝2n－1。 （2）202－192＋182－172＋162－152＋……＋22－12 ＝20＋19＋18＋17＋16＋15＋14＋13＋12＋11＋10＋9＋8＋4＋6＋5＋4＋3＋2＋1 ＝（20＋1）×20÷2 ＝21×10 ＝210 【考点点拨】本题考查找规律，观察算式，找到算式的规律，应用发现的规律解决问题是解题的关键。 83．（2024·浙江湖州·小升初真题）某快递公司在甲地和乙地之间共设有21个服务驿站（包括甲站、乙站）。一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要先卸下前面每站发往该站的货包各1个，再装上该站发往后面每站的货包各1个。在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是几个？ 【答案】110个 【思路引导】由题意可得，21个服务驿站，每站的货包各1个，起点即甲站不装货包，所以快递货车由甲站出发时装有20个货包，到第2站时先卸下1个，还剩下19个货包，再装上发往后面每站的货包共19个，所以第2站车上装有（19×2）个货包；据此得出每个站点的货包数量： 第1站：20×1 第2站：19×2 第3站：18×3 …… 第10站：11×10 第11站：10×11 第12站：9×12 …… 第19站：2×19 第20站：1×20 照此规律，从第12站开始货包数量逐渐减少，据此得出货包数量最多的个数。 【完整解答】11×10＝110（个） 答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是110个。 【考点点拨】找出每个站点装载货包数量的规律是解题的关键。 84．（2024·河北石家庄·小升初真题）观察下列式子：，，，…请计算＝( )。 【答案】/0.9 【思路引导】观察给出的分解方法，找出规律，将所求的算式中的每一个加数分解成两个分数的差的形式，然后进行计算即可得解。 【完整解答】 考点讲练26：数字排列的规律 85．（2024·浙江金华·小升初真题）找规律填数。 （1）1，2，3，5，8，（    ），21，（    ）。 （2），，，，，，，。 【答案】（1）13；34； （2）； 【思路引导】（1）1＋2＝3，2＋3＝5，3＋5＝8，……，所以，这一组数的规律是从第三个数开始，每个数是前两个数之和； （2），，，，……，所以，这一组数的规律是每个分数的大小相等，从第二个数开始，每个数是有前一个数的分子和分母同时乘2得到的；据此解答。 【完整解答】（1）1＋2＝3，2＋3＝5，3＋5＝8，5＋8＝13，8＋13＝21；13＋21＝34； 所以，1，2，3，5，8，（13），21，（34）。 （2），，，，， ； 所以，，，，，，，，。 86．（2024·河南郑州·小升初真题）奇奇是编程爱好者，他利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表：那么，当输入数据8时，输出的数据是( )。 输入 1 2 3 4 5 … 输出 … 【答案】 【思路引导】根据题意可知，输入第几个数据时，输出的分子就是输入数字×2，分母是输入数字×2＋1，据此求出当输入数据8时，输出的数据。 【完整解答】分子：8×2＝16 分母：8×2＋1＝16＋1＝17 当输入数据8时，输出的数据是。 奇奇是编程爱好者，他利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表：那么，当输入数据8时，输出的数据是。 87．（2024·全国·小升初模拟）在一张足够长的纸条上从左到右依次写下1～2014这些自然数，然后从左到右每隔三位加一个逗号：123，456，789，101，112，131，…，则第102个逗号前的那个三位数是第（    ）个三位数。 A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】D 【思路引导】每三个数分在一起，则102个逗号前面有102个数字，就有306个数。306个数里面去掉一的9个，两位数有90个，就是有180个数字，这189个数字恰好能分成63组三位数。则剩下的117个数字里面就是从第一个三位数开始的，每三个为一组，能分成39组，正好就是第39个三位数。 【完整解答】（个） ＝ ＝ ＝117（个） 117÷3＝39（个） 第102个逗号前的那个三位数是第39个三位数。 故答案为：D 考点讲练27：图形的变化规律 88．（2024·云南西双版纳·小升初真题）如图是用圆点拼成的点阵图形，根据圆点的变化规律，第n个图形中圆点有( )个。 【答案】4n－3 【思路引导】第1个图形中圆点有1个，1＝1×4－3； 第2个图形中圆点有5个，5＝2×4－3； 第3个图形中圆点有9个，9＝3×4－3； 第4个图形中圆点有13个，13＝4×4－3 规律：第n个图形中圆点有（4n－3）个；按此规律解答。 【完整解答】由分析可得：如图是用圆点拼成的点阵图形，根据圆点的变化规律，第n个图形中圆点有（4n－3）个。 89．（2024·四川成都·小升初真题）认真观察下面这组图，第一幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，…… 按照上面的规律，第n幅图的点数为（    ）。 A．4n－3 B．4n＋3 C．6n－2 D．6n＋4 【答案】A 【思路引导】观察图形，第1幅图的点数为：1＋4×0＝1； 第2幅图的点数为：1＋4×1＝5； 第3幅图的点数为：1＋4×2＝9； 第4幅图的点数为：1＋4×3＝13； …… 照这个规律，第n幅图点数应为：1＋4（n－1）＝4n－3。 【完整解答】按照上面的规律，第n幅图的点数为（4n－3）。 故答案为：A 90．（2023六年级下·浙江·专题练习）如图1所示，搭建单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图2、图3的方式串起来搭建。如果想串起来搭建顶帐篷，那么需要( )根钢管。 【答案】 【思路引导】搭建单顶帐篷需要17根钢管，往后每增加一顶帐篷，增加11根钢管，据此规律解答即可。 【完整解答】搭1顶帐篷，需要17根钢管，即； 搭2顶帐篷，需要28根钢管，即； 搭3顶帐篷，需要39根钢管，即； 搭顶帐篷，需要的钢管根数为：。 【考点点拨】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多搭1顶帐篷就多需11根钢管是解题的关键。 91．（2023·四川成都·小升初真题）电影票有10元、15元和20元三种票价，班长用了500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（    ）。 A．20张 B．15张 C．10张 D．5张 【答案】C 【思路引导】假设10元的买了x张，15元的买了y张，20元的买了z张，班长用了500元买了30张电影票，则10x＋15y＋20z＝500，共买了30张，也就是x＋y＋z＝30，则y＝30－x－z，把y＝30－x－z代入到10x＋15y＋20z＝500中可得：z－x＝10。 【完整解答】设这三种票分别买x、y、z张。 x＋y＋z＝30，则y＝30－x－z 10x＋15y＋20z＝500 将y＝30－x－z带入10x＋15y＋20z＝500中 10x＋15×（30－x－z）＋20z＝500 10x＋450－15x－15z＋20z＝500 5z－5x＋450＝500 5z－5x＝500－450 5z－5x＝50 5×（z－x）＝50 z－x＝50÷5 z－x＝10 故答案为：C 考点讲练28：数学竞赛问题 92．（2024·四川成都·小升初真题）有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高线的三等分处开两个排水孔和，已知两孔的排水速度相同且保持不变，现在从水箱上面匀速注水，如果打开孔，关闭孔，那么经过20分钟可将水箱注满，如果关闭孔，打开孔，则需要22分钟才能将水箱注满，那么两孔都打开，经过( )分钟才能将水箱注满。 【答案】26 【思路引导】本题需要注意侧高线的不同位置上的两个排水孔起作用的阶段不同，只有当水上升到其高度后排水孔才开始排水，在此之前则是不排水的。 【完整解答】解：设单开进水管注满水箱的所需进水时间为分钟，同时开一个进水管与一个出水孔注满水箱的所需的进水时间为分钟； 解得：， 以水箱的看作“1”，则进水速度为，出水速度为； 所以灌满水箱最上层的需要： （分钟） 那么总共需要（分钟） 【考点点拨】本题考查的是工程问题中的注水问题，合理设未知数是列方程组求解问题的关键。 93．（2024·四川成都·小升初真题）下列各题要写出主要计算过程。 （1）      （2） （3）      （4） （5）      （6） 【答案】（1）；（2）752；（3）100；（4）；（5）1001；（6） 【思路引导】（1）观察分数的分母，发现分母可以利用乘法的分配律可以将式子转化成，再利用平方差公式为：，则。最后分子分母进行化简，将好约分的约分。 （2）利用乘法的交换律将式子化简成，再利用乘法分配律计算。 （3）将小数转化为带分数，发现可以利用乘法的分配律。将括号里面的带分数转化成整数和分数相加，再同分母的分数相加再计算。 （4）对式子进行整理，发现可以转化成，将括号去掉后整数和整数相加，分数和分数相加。根据公式可以简便计算。 （5）同分母相加，分母不变，分子相加。分子相加过后发现是连续的自然数相加，是一组等差数列，等差数列的求和为（第一个数＋最后一个数）×项数÷2。 （6）观察式子发现，越往后就是一组等差数列，等差数列的求和方式为（第一个数＋最后一个数）×项数÷2。将式子进行整理后发现规律。、、 【完整解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （5） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （6） ＝ ＝ ＝ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年小升初数学必刷考点分类压轴真题培优练（尖子生考前冲刺版） 专项训练06 高频易错题 (28个重点考点讲练 共93题） 试题编写说明 同学你好，该份检测卷优选2024年全国各地名校真题，模拟题。重点强化小升初高频考察点，提升解题技能，优选常考易错题型。该份检测卷非常适合考前冲刺拔尖使用。题目整体难度偏上，适合成绩中上及拔尖的学生。按照考点划分，方便自我学习批改，检测学习能力。解析版思路清晰，理解全面，进一步优化解题过程，梳理考察点。相信你在2025年小升初正式考试中考出满意成绩！ 考点讲练01：整数的认识 2 考点讲练02：小数的认识 3 考点讲练03：分数的认识 3 考点讲练04：百分数的认识 3 考点讲练05：正负数的认识 4 考点讲练06：整数的四则混合运算 4 考点讲练07：小数的四则混合运算 5 考点讲练08：分数的四则运算 7 考点讲练09：百分数的四则混合运算 8 考点讲练10：运算定律与简便运算 9 考点讲练11：倍的运算 10 考点讲练12：字母表示数 11 考点讲练13：方程的解与解方程 11 考点讲练14：比 12 考点讲练15：比例 12 考点讲练16：比例的应用 13 考点讲练17：典型应用题 14 考点讲练18：图形的拼组 16 考点讲练19：立体图形的表面积和体积 18 考点讲练20：图形与变换 20 考点讲练21：位置与方向 21 考点讲练22：测量 23 考点讲练23：统计 24 考点讲练24：概率 25 考点讲练25：算式的规律 25 考点讲练26：数字排列的规律 26 考点讲练27：图形的变化规律 26 考点讲练28：数学竞赛问题 27 考点讲练01：整数的认识 1．（2024·重庆永川·小升初真题）在等式中，其中、、代表不同的偶数，则。( ) 2．（2024·广东深圳·小升初真题）现有365张大小相同的纸卡，上面分别印着整数1～365，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出365周围的部分。 （1）在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，在这些空格上打“×”。 （2）在其他位置填上与365相邻的数字。 3．（2024·河北石家庄·小升初真题）两个数的最大公因数是9，最小公倍数是180，如果其中一个数是36，则另一个数是( )。 考点讲练02：小数的认识 4．（2022·山东济南·小升初真题）中国国家大剧院占地总面积为118900平方米，综合投资额达2688000000元。118900用“万”作单位记作( )，2688000000省略亿位后面的尾数是( )。 5．（2024·河南郑州·小升初真题）扑尔敏是一种治疗过敏的药品。成人一次口服4mg，一日3次；儿童一日0.25mg/kg，分3～4次口服。读六年级的小兰体重30kg，她每次最多可以服用 mg。她爸爸一天可以服用 mg。 6．（2024·河南平顶山·小升初真题）小马虎同学在计算一道题时，得到的结果是一个两位小数，在书写结果时却把小数点丢掉了，这样所得的结果就比正确的结果多123.75，正确的结果是 。 考点讲练03：分数的认识 7． （2024·四川绵阳·小升初真题）在下午3：00与4：00之间，求分针与时针成60度角的时间。 8． （2024·四川成都·小升初真题）水果店购进一批水果，卖了几天后，卖掉的和剩下的比是1∶3，再卖30千克后，卖掉的就占购进总量的，水果店共购进多少千克水果？ 9．（2024·四川成都·小升初真题）的值的整数部分为( )。 考点讲练04：百分数的认识 10．（2024·四川成都·小升初真题）观察下图，阴影部分面积与空白部分面积的最简整数比是( )，阴影部分面积占整个图形面积的( )%。 11．（2024·河南郑州·小升初真题）伏議山大峡谷环境优美，鲜花盛开。有好多珍稀鸟类。淘淘想到之前看书时的了解到的信息：“我国湿地鸟类资源丰富，在亚洲濒危鸟类中，中国湿地内占54%。”针对这条信息，下面说法中正确的是（    ）。 A．把亚洲濒危鸟类总种数平均分成100份，我国湿地内濒危鸟类的种数超过半份。 B．若亚洲濒危鸟类有10000种，则我国湿地内濒危鸟类有54种。 C．我国湿地内濒危鸟类种数与亚洲濒危鸟类总种数的比为31∶57。 D．我国湿地濒危鸟类的种数一定很多，可能超过50种。 12．（2024·河南漯河·小升初真题）9÷( )＝＝( )∶20＝( )%＝( )（填小数）。 考点讲练05：正负数的认识 13．（2024·河南周口·小升初真题）某天中午气温为6℃，傍晚的气温比中午降低了8℃，则傍晚时的气温为（    ）。 A．2℃ B．14℃ C．﹣2℃ 14．（2024·河南三门峡·小升初真题）下面说法正确的有（    ）个。 ①0.6米可以改写成60%米。 ②我们没学圆锥表面积是因为它没有表面。 ③商品打七五折销售，“七五折”表示现价是原价的75%。 ④张旭家每月收入4000元，支出2500元，这是两个具有相反意义的量。 A．1 B．2 C．3 D．4 15．（2024·河南漯河·小升初真题）下列说法正确的是（    ）。 A．在﹣1和﹣5之间只有3个负数。 B．比4小的数只有0、1、2、3。 C．自然数中除0外都是整数。 D．早晨气温是﹣1℃，升高1℃后是0℃。 考点讲练06：整数的四则混合运算 16．（2024·河南郑州·小升初真题）一艘轮船发生漏水事故。当漏进水600桶时，两部抽水机开始排水，甲机每分钟能排水20桶，乙机每分钟能排水16桶，经50分钟刚好将水全部排完。每分钟漏进的水有( )桶。 17．（2023·四川成都·小升初真题）如果3月恰好有四个星期日，那么3月1号不可能是（    ）。 A．星期五 B．星期四 C．星期三 D．星期二 18．（2024·河南郑州·小升初真题）邢家豆腐的“豆痕传统制作技艺”在2014年入选中国第四批国家级非物质文化进产代表性项目名录。这意味着邢家豆腐不仅是一种美味的食品，还承载着丰富的文化价值，是中国传统文化的重要组成部分。邢家豆腐豆腐的单价是12元/千克，奶奶买了14千克准备带回去分给亲朋好友，买这些豆腐一共要花了多少钱？ 下面是淘淘计算“14×12＝？”想到的三种算法： 方法①应用的运算律是（    ），方法②应用的运算律是（    ），方法③中箭头所指表示的是（    ）。 考点讲练07：小数的四则混合运算 19．（2024·四川内江·小升初真题）某市为了鼓励市民节约用水，用分段收费方式，自来水的收费标准如表： 每月用水量 15m3及以下 15～25m3部分 25m3以上部分 收费标准 2.40元/m3 3.60元/m3 7.20元/m3 已知小红家七月份的水费为86.4元，她家七月份用水量为多少立方米？ 20．（2024·四川绵阳·小升初真题）计算。 9.8＋99.8＋999.8＋9999.8＋99999.8        21．（2024·浙江湖州·小升初真题）一辆货车从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地。已知甲乙两地的路程是330千米，货车在途中停留半小时。两车离甲地的路程与时间关系如图所示。轿车比货车早几小时到达乙地？ 考点讲练08：分数的四则运算 22． （2024·河南郑州·小升初真题）有两包糖，每包糖内装有奶糖、水果糖和巧克力糖。已知：①第一包糖的块数是第二包的；②在第一包糖中，奶糖占25%，在第二包糖中，水果糖占50%；③巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占的百分比的2倍。当两包糖合在一起时，巧克力糖占28%，那么水果糖所占的百分比是多少？ 23． （2024·河南郑州·小升初真题）A、B两地相距2400米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，两人在途中某处相遇后，甲又继续行进18分钟到达B地，乙又继续行进50分钟到达A地，请问：甲比乙每分钟多走多少米？ 24．（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）计算。 （1） （2） （3） （4） （4） 考点讲练09：百分数的四则混合运算 25．（2024·河南周口·小升初真题）某市两超市在元旦期间分别推出如下促销方式： 甲超市：全场均按八八折优惠； 乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元优惠10%，超过500元的部分打八折；已知两家超市相同商品的标价都一样。 （1）当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？ （2）某顾客在乙超市购物实付款482元，试问该顾客的选择划算吗？请说明理由。 26．（2024·湖南株洲·小升初真题）小明用黑白两色的小三角形绘制了一个三角图案，前四行已给出。 （1）前四行中黑色小三角形所占的比例是__________%。 （2）如果小明要画出第五行，请问在第五行中黑色小三角形所占的比例是__________%。 （3）如果小明要画出更多行，他认为无论画多少行，整个大三角形中，黑色小三角形所占的比例都不会超过50%。你支持他的说法吗，为什么？ 27．（2024·山东聊城·小升初真题）我国民间常用生姜、红糖和水煎服以防感冒（俗称“姜汤”）。小明妈妈一般把生姜、红糖和水按2∶5∶75的质量比配好后，煎20分钟左右，做成姜汤，分给全家四口人喝。这天，小明妈妈准备了40克生姜。 （1）她需要准备红糖多少克？ （2）小明家有一个容量为2升的壶，用来煎这天的姜汤，壶够大吗？（1升水的质量为1千克） （3）根据经验，妈妈估计姜汤煎好后蒸发掉的水量在60%左右，这天煎好后的姜汤大约有多少克？ 考点讲练10：运算定律与简便运算 28．（2024·四川绵阳·小升初真题）计算下列各题（写由必要的计算过程）。 （1） （2） （3） （5） 29．（2024·四川绵阳·小升初真题）计算。 1998×（－）＋11×（－）－2009×（＋）＋3 30．（2023·全国·小升初模拟）计算。      考点讲练11：倍的运算 31．（2024·河南开封·小升初真题）如图，有两张相同的长方形纸，分别以3cm的边为高和9cm的边为高围成一个圆柱，前者的体积是后者的( )倍。 32．（2024·吉林长春·小升初真题）桃子的单价是a元，比苹果单价的2倍少5元，苹果的单价是（    ）元。 A．2a－5 B．（a－5）×2 C．（a＋5）÷2 D．（a＋5）×2 33．（2024·四川绵阳·小升初真题）把一段圆柱形的木料削成一个体积最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥体积的（    ）。 A． B．3倍 C． D．2倍 考点讲练12：字母表示数 34．（2024·陕西西安·小升初真题）若用an表示n2的个位数字。 例如：a1表示12的个位数字，即a1＝1；a2表示22的个位数字，即a2＝4；a3表示32的个位数字，即a3＝9；a4表示42的个位数字，即a4＝6；… 则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2011＋a2012＋a2013＝( )。 35．（2024·四川绵阳·小升初真题）一个两位数，将它的十位和个位数字对调，得到的数比原来的数大27，这样的两位数最大的是( )。 36．（2024·四川成都·小升初真题）（比较大小）（）是一个真分数，下面各分数中最大的一个是（    ）。 A． B． C． D． 考点讲练13：方程的解与解方程 37．（2024·浙江宁波·小升初真题）下面不能用方程来表示的是（    ）。 A． B． C． D． 38．（2014·全国·小升初真题）方程一定是等式，等式不一定是方程。( ) 39．（2024·四川成都·小升初真题）下面每组概念都是我们学过的重要知识，其中有（    ）组概念可以用下面的图形来准确表示它们间的关系。 ①奇数和偶数                ②平行四边形和长方形 ③平行和相交                ④等式和方程 A．1 B．2 C．3 D．4 考点讲练14：比 40．（2024·河北保定·小升初真题）如果3x＝6y，那么。( )（判断对错） 41．（2024·江西吉安·小升初真题）如图所示，把△ABC的边CB延长到点D，请说明∠1＋∠2＝∠4。 。 42．（2022·河北邢台·小升初真题）若x＝y，则x－1.6＝y－16。( )（判断对错） 考点讲练15：比例 43．（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）解方程。 （1） （2）（7.6×35%＋6.5×0.76）∶＝1∶2 44．（2024·四川绵阳·小升初真题）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地。两车行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象解决以下问题： （1）慢车的速度为（    ）km/h，快车的速度为（    ）km/h。 （2）求当x为多少时，两车之间的距离为500km？ 45．（2024·全国·小升初模拟）解方程。            考点讲练16：比例的应用 46．（2024·广东深圳·小升初真题）正六边形的边长为4厘米，六个圆形的圆心分别在六边形的顶点上。如果小圆的半径为1厘米，求浅灰色部分与深灰色部分面积之比。 47．（2024·湖北荆州·小升初真题）猎犬发现离它15米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子？ 48．（2024·山西吕梁·小升初真题）某班一次集会，请 假人数和出席人数的比是1∶9，中途又有1人请假离开，这时请假人数和出席人数的比是3∶22，这个班一共多少人？ 考点讲练17：典型应用题 49．（2023·四川·小升初真题）盒子里有黑、白两种棋子，先放入一些白棋子，这样使得盒子中黑、白棋子的比是2∶5，然后又放入一些黑棋子，这样使得盒子中的黑、白棋子的比是3∶5。如果放入的黑棋子和白棋子的数量比是3∶7，那么原来盒子中黑、白棋子的数量之比是（    ）。 A．6∶5 B．5∶6 C．4∶3 D．3∶4 50． （2024·全国·小升初模拟）某校五、六年级学生参加数学能力大赛，五年级参加人数是六年级参加人数的，结果五年级获奖人数与六年级获奖人数比是3∶4，两个年级各有120名同学没有获奖，两个年级参赛的学生一共有多少人？ 51． （2021六年级下·全国·竞赛）已知甲车速度为每小时90千米，乙车速度为每小时60千米，甲乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，在途经C地时乙车比甲车早到10分钟；第二天甲乙分别从B，A两地出发同时返回原来出发地，在途经C地时甲车比乙车早到1个半小时，那么AB距离是多少？ 52．（2024·浙江宁波·小升初真题）王师傅做了一个底面积为240平方厘米的铁质圆锥零件，为了防止生锈，把它缓缓放入一个长方体油漆缸中，并完全浸没。由于操作不当，油漆缸底部受损开裂，一段时间后开始渗漏，直至油漆全部漏完。油漆高度随时间变化如图所示： （1）圆锥零件浸入油漆缸（    ）分钟后开始渗漏。 （2）求铁质圆锥的高度是多少厘米？ （3）油漆平均每分钟漏掉多少立方厘米？ 53．（2024·湖南岳阳·小升初真题）现在是上午9点整，再过____分钟，分针与时针在一条直线上，而且指向相反。（    ） A．16 B．15 C．15 D．16 54．（2024·全国·小升初模拟）3时15分，时钟的时针与分针的夹角是( )度。 55．（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）某校四年级原有2个班，现在要重新编为3个班，将原一班的与原二班的组成新一班，将原一班的与原二班的组成新二班，余下的30人组成新三班，如果新一班的人数比新二班的人数多10%，那么原一班有多少人？ 56． （2024·全国·小升初模拟）李师傅、王师傅合作制造一批零件，如果王师傅中途休息5天，合作17天后可以完成；如果李师傅中途休息5天，合作18天后可以完成。李师傅、王师傅单独完成这项工程各需要多少天？ 57． （2024·四川绵阳·小升初真题）一列货车从甲地开往乙地，如果按原速度行驶，将不能准时到达乙地，如果把车速提高，可以比原定时间早一小时到达；如果以原速度行驶206千米后，再将速度提高，则可提前40分钟到达，那么甲乙两地间的距离是多少千米？ 考点讲练18：图形的拼组 58．（2024·河南郑州·小升初真题）如图，甲、乙两人沿着边长为70米的正方形，按逆时针的方向行走，甲从A以65米/分的速度行走，乙从B以72米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时，是在正方形的边 （AB、BC、CD或DA）上。 59．（2024·河南郑州·小升初真题）在去伏羲山的路上，他们看到了一块平行四边形的玫瑰花田。 （1）观察如图，请你简要写出平行四边形面积计算公式产生的过程。 在数学学习中，经常运用“转化”思想变未知为已知。请你应用转化的思想解决下列问题。 （2）在学习三角形的内角和时，可把三角形折成长方形，三个内角就拼成了一个（    ）角。我们也可以用这种方法推导三角形的面积计算公式。将折成的长方形与原来的三角形比较，长是底的一半，宽是（        ），面积是（        ），这样通过求出长方形的面积就可以得到三角形的面积。如果折成的长方形的面积是12平方厘米，则原来三角形的面积是（      ）。 （3）伏羲山悬崖酒店准备新建一个游泳池，泳池长25米，宽11米，由分道线分成5个泳道（如图a）。游泳池底部有一定的倾斜度，使游泳池由1.2米深的浅水区自然过渡到1.6米深的深水区（如图b）。 淘淘根据平行四边形、三角形、梯形、圆形的面积计算公式及圆柱、圆锥的体积计算公式推导方法，设计了一个计算游泳池容积的研究模型，（如图c示意图）。 ①说一说他是怎么研究的？ ②根据这个研究模型，试着算一算这个游泳池的容积是多少？ ③至少要购进多少米的分道线，才能保证5个泳道的分道？（只列式，不计算） 60．（2024·浙江宁波·小升初真题）如图，三角形AOC和三角形BOD形状相同，大小不同，在数学上把这样的两个三角形叫作“相似三角形”。已知AC∶BD＝1∶2，OC∶OD＝1∶2，OA∶OB＝1∶2，三角形AOC和三角形BOD的面积比是（    ）。 A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶8 考点讲练19：立体图形的表面积和体积 61．（2024·浙江宁波·小升初真题）（如图）一个圆锥和圆柱拼接成透明模具，小仑装了一些水，正放时水的高度是6厘米，倒放时无水部分高14厘米，这个模具的容积是多少毫升？ 62．（2024·四川内江·小升初真题）把一个圆柱沿底面直径竖直切成四块（如图①），表面积增加了48平方厘米；平行于底面切成三块（如图②），表面积增加了50.24平方厘米；削成一个最大的圆锥（如图③），体积减少了多少立方厘米？ 63．（2024·福建莆田·小升初真题）2000多年前，古希腊国王让人做了一顶纯金的皇冠，但他怀疑皇冠被掺了铜，所以请数学家阿基米德来帮忙。阿基米德用“排水法”来鉴别皇冠的真伪：金子的密度约为19克/立方厘米，铜的密度约为9克/立方厘米，在质量相同的情况下金子的体积比较小；如果掺了铜后，密度减小，体积增大，排出的水就多了。阿基米德做了如下的实验：第一步，称出这顶皇冠的质量是950克；第二步，把这顶皇冠浸没在装满水的容器中，测量出排出的水有70毫升。（提示：密度＝质量÷体积） （1）这顶皇冠是否被掺了铜？请计算说明理由。 （2）如果有掺铜，请你算出皇冠被掺了多少克铜？ 64．（2024·四川成都·小升初真题）把一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体滑虚线切成两个立体图形，下图中（    ）的切法增加的表面积最小。 A． B． C． D． 65．（2024·河南三门峡·小升初真题）如下图所示，赵磊把一个底面直径是4dm，高为3dm的圆柱分割成大小完全相等的两部分，则（    ）。（圆周率取3） A．方法一表面积增加的多 B．方法二表面积增加的多 C．两种方法表面积增加的一样多 D．无法确定 66．（2024·河南三门峡·小升初真题）如图所示，赵磊把一个底面直径是4dm，高为3dm的圆柱分割成大小完全相等的两部分，则（    ）（圆周率取3）。 A．方法一表面积增加的多 B．方法二表面积增加的多 C．两种方法表面积增加的一样多 D．无法确定 考点讲练20：图形与变换 67．（2019·河南安阳·小升初真题）请按要求画图。 （1）以三角形的边为底，再画出一个和三角形面积相等的三角形。 （2）画出把三角形绕点A逆时针旋转90°后的图形。 （3）画出把三角形按2∶1放大后的图形。 68．（2024·河南驻马店·小升初真题）（1）过顶点B作三角形的高，标出垂足O。 （2）若三角形的∠A＝52°，则三角形的顶点A在顶点C的（    ）偏（    ）（    ）°方向上。 （3）画出三角形绕点B顺时针方向旋转90°后的图形；点C旋转后的位置可用数对（    ）表示。 69．（2024·重庆垫江·小升初真题）根据要求画一画，算一算。 （1）把①号图形按的比例放大画在方格中。 （2）画出②号三角形绕A点逆时针旋转后的图形。 （3）算出②号三角形中线段在旋转过程中所扫过的面积。 考点讲练21：位置与方向 70．（2024·重庆垫江·小升初真题）下图是小刚家周边的示意图，请根据要求填一填，画一画。 （1）少年宫在小刚家北偏东（    ）度方向上处。 （2）图书馆在少年宫北方处，请用“·”标出相应的位置。 （3）周末，小刚以每小时的速度，8：00从家出发经少年宫去图书馆学习，到达图书馆的时刻是（    ）。 71．（2024·河南三门峡·小升初真题）如图方格图是阳光小学的一块空地，现在要进行改建，请你按要求进行设计。 （1）长方形是原来的劳动教育实践基地，现在要将它按2∶1放大，且位置改在空地的东北角，请画出放大后的劳动教育实践基地。 （2）要在空地上建一个三角形月季花园，三个顶点的位置分别是A（0，3）、B（0，0）、C（4，0），请画出这个月季花园。 （3）要在空地的西北角建一块平行四边形草坪，面积是三角形月季花园的2倍，请画出这块草坪。 （4）EF是一条主水管，要在点D处安装一个水龙头，需要从点D处接一条分水管与主水管EF连通，怎样接最节省水管，请画出来。 72．（2024·河南郑州·小升初真题）看图选择。 (1)淘淘一家准备先去新密市伏羲山游玩。爸爸使用高德地图查阅导航之后，告诉淘淘：“伏羲山在我家南偏西60°的方向上，距离我家50km。”（如图）根据以上信息请帮淘淘选择表示伏羲山位置是（    ）。 A．①号点位 B．②号点位 C．③号点位 D．④号点位 (2)在如图中，淘淘测量了一下，自己家到④号点位的图上距离是2cm，这幅图的比例尺是（    ）。 A．1∶25 B．1∶50 C．1∶2500000 D．1∶5000000 考点讲练22：测量 73．（2024·河南信阳·小升初真题）一个圆柱形鱼缸，底面直径是6分米，高是35厘米，把一个底面半径为20厘米的圆锥放入鱼缸中，圆锥全部进入水中后，鱼缸中的水面升高了2厘米，这个圆锥的高是多少？（π取3.14） 74．（2024·河南安阳·小升初真题）公园里的一棵百年雪松，由于天气干旱，开始枯萎，需要输液。如图①所示，输液瓶内液面高度是10厘米，液体是250毫升。绿化师傅给雪松设置了平均每分钟5毫升的输液速度，10分钟后，空的部分高度是6厘米，如图②所示。 ① ② （1）这个输液瓶的底面积是多少平方厘米？ （2）这个输液瓶的容积是多少毫升？ 75．（2024·河北石家庄·小升初真题）在括号里填上合适的单位。 小强家一个月用水的质量大约是12( )。小强是个篮球迷，他平常打球的篮球架高28( )，用的篮球质量大约是650( )。五一假期他们一家人去旅游，乘高铁到北京，高铁每小时大约行驶260( )。 76．（2014四年级·全国·课后作业）如图1，某容器由A、B、C三个长方体组成，其中A、B、C的底面积分别为25平方厘米，10平方厘米和5平方厘米，C的容积是容器容积的（容器各面的厚度忽略不计），现在以速度V（单位：立方厘米每秒）均匀地向容器注水，直到注满为止。图2表示注水全过程中容器的水面高度（依次注满A、B、C）（单位：厘米）与注水时间t（单位：秒）的关系。 （1）在注水过程中，注满A所用的时间是________秒，再注满B又用了________秒；     （2）注水的速度是每秒多少立方厘米？   （3）容器的高度是多少厘米？ 考点讲练23：统计 77．（2016·全国·小升初真题）某班级一次考试的平均分数是70分，其中 的同学及格，他们的平均分是80分，不及格的同学的平均分是 分。 78．（2024·四川成都·小升初真题）四个不同的整数由小到大排列，平均数是13.75，三个大数的平均数是15，三个小数的平均数是12，如果第三个数是偶数，那它是 考点讲练24：概率 79．（2022·四川绵阳·小升初真题）在一个盒子中有除颜色外均相同的10个红球，8个绿球和一些黑球，从里面拿出一个球，拿出绿球的可能性小于，那么至少有( )个黑球。 80．（2024·河南南阳·小升初真题）纸箱里放有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其他规格都一样），从中摸一个球，摸出的( )球的可能性最大；要想保证从中摸到不同颜色的两个球，至少需要摸( )次。 红球 3个 黄球 4个 蓝球 5个 81．（2024·辽宁·小升初模拟）年的6月5日是“世界环境日”，胜利小学的“环保小卫士”对全校师生开展了以“垃圾分类，你我同行”为主题的问卷调查，他们将所有调查结果绘制成了统计图。下面说法正确的是（    ）。 A．对垃圾分类知识“不了解”的人数占总人数的。 B．对垃圾分类知识“非常了解”的人比“了解一些”的人数多。 C．若“不是很清楚”的人数有88人，则参加本次问卷总人数有400人。 D．如果再随机做一份问卷，某同学一定会回答“了解一些”。 考点讲练25：算式的规律 82．（2024·河南南阳·小升初真题）观察右边算式的规律：22－12＝2＋1，32－22＝3＋2，42－32＝4＋3，52－42＝5＋4，… (1)用含有字母n的式子表示规律：( )。 (2)用规律进行计算：202－192＋182－172＋162－152＋…＋22－12＝( )。 83．（2024·浙江湖州·小升初真题）某快递公司在甲地和乙地之间共设有21个服务驿站（包括甲站、乙站）。一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要先卸下前面每站发往该站的货包各1个，再装上该站发往后面每站的货包各1个。在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是几个？ 84．（2024·河北石家庄·小升初真题）观察下列式子：，，，…请计算＝( )。 85．（2024·浙江金华·小升初真题）找规律填数。 （1）1，2，3，5，8，（    ），21，（    ）。 （2），，，，，，，。 考点讲练26：数字排列的规律 86．（2024·河南郑州·小升初真题）奇奇是编程爱好者，他利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表：那么，当输入数据8时，输出的数据是( )。 输入 1 2 3 4 5 … 输出 … 87．（2024·全国·小升初模拟）在一张足够长的纸条上从左到右依次写下1～2014这些自然数，然后从左到右每隔三位加一个逗号：123，456，789，101，112，131，…，则第102个逗号前的那个三位数是第（    ）个三位数。 A．36 B．37 C．38 D．39 考点讲练27：图形的变化规律 88．（2024·云南西双版纳·小升初真题）如图是用圆点拼成的点阵图形，根据圆点的变化规律，第n个图形中圆点有( )个。 89．（2024·四川成都·小升初真题）认真观察下面这组图，第一幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，…… 按照上面的规律，第n幅图的点数为（    ）。 A．4n－3 B．4n＋3 C．6n－2 D．6n＋4 90．（2023六年级下·浙江·专题练习）如图1所示，搭建单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图2、图3的方式串起来搭建。如果想串起来搭建顶帐篷，那么需要( )根钢管。 考点讲练28：数学竞赛问题 91．（2023·四川成都·小升初真题）电影票有10元、15元和20元三种票价，班长用了500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（    ）。 A．20张 B．15张 C．10张 D．5张 92．（2024·四川成都·小升初真题）有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高线的三等分处开两个排水孔和，已知两孔的排水速度相同且保持不变，现在从水箱上面匀速注水，如果打开孔，关闭孔，那么经过20分钟可将水箱注满，如果关闭孔，打开孔，则需要22分钟才能将水箱注满，那么两孔都打开，经过( )分钟才能将水箱注满。 93．（2024·四川成都·小升初真题）下列各题要写出主要计算过程。 （1）      （2） （3）       （4） （4）       （6） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$