专题05 概率（考点串讲）(考点聚焦+题型突破+易错剖析+猜题押题）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（湘教版2019必修第二册）

高一（24-25学年）数学必修2期末考点大串讲 串讲05 概率（5考点&8题型） 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点、明确复习目标 八大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 精选期末真题对应考点练 01考点透视 题型剖析 题型一　必然事件、不可能事件与随机事件的判断 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型二　事件关系的判断 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型三　古典概型的计算 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型四　频率与概率 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型五　事件独立性的判断 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型六　相互独立事件概率 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型七　方程思想在相互独立事件概率中的应用 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型八　概率的基本性质 技巧点拨 举一反三 03易错易混 易错点1　使用概率加法公式忽略成立条件致错 03易错易混 易错点2　求古典概型的概率基本事件重复或遗漏致错 03易错易混 易错点3　对条件概率概念理解不透致错 针对训练 04押题预测 D B D B C 谢谢观看！ 例1、下列四个事件： ①明天上海的天气有时有雨；②东边日出西边日落；③鸡蛋里挑骨头；④守株待兔． 其中必然事件有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解析】由题意可知，①明天上海的天气有时有雨为随机事件； ②东边日出西边日落为必然事件； ③鸡蛋里挑骨头为不可能事件； ④守株待兔为随机事件， 故必然事件有1个， 故选：B （判断事件类型的步骤） 要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的， 第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事 件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件． 【变式】已知集合A是集合B的真子集，则下列关于非空集合A，B的四个命题： ①若任取，则是必然事件； ②若任取，则是不可能事件； ③若任取，则是随机事件； ④若任取，则是必然事件． 其中正确的命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】因为集合A是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是 集合A中的元素，作出其韦恩图如图： 对于①：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取，则是必然事件，故①正确； 对于②：任取，则是随机事件，故②不正确； 对于③：因为集合A是集合B的真子集， 集合B中存在元素不是集合A中的元素，集合B中也存在集合A中的元素， 所以任取，则是随机事件，故③正确； 对于④：因为集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素， 任取，则是必然事件，故④正确；所以①③④正确，正确的命题有3个．故选：C． 例2、从2名男生和2名女生中任选2人参加社区活动，那么互斥而不对立的两个事件是（　　） A．“恰有1名男生”与“全是男生” B．“至少有1名男生”与“全是女生” C．“至少有1名男生”与“全是男生” D．“至少有1名男生”与“至少有1名女生” 【解析】对于A，“恰有1名男生”与“全是男生”不能同时发生，但不一定必有其一发生，所以是互斥而不对立事件； 对于B，“至少有1名男生”与“全是女生”是对立事件； 对于C，“至少有1名男生”与“全是男生”能同时发生，所以不是互斥事件； 对于D，“至少有1名男生”与“至少有1名女生” 能同时发生，所以不是互斥事件； 故选：A. （事件关系的判断方法） （1） 两个事件是互斥事件还是对立事件，要根据互斥事件与对立事件的定义来判断，互斥事件是在任何 一次试验中不能同时发生的两个事件，对立事件除要求两个事件互斥外，还要求在一次试验中必有一个事件发生． （2）对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件． 【变式】一个射手进行射击，记事件“脱靶”，“中靶”，“中靶环数大于4”，则在上述事件中， 互斥而不对立的事件是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．以上都不对 【解析】射手进行射击时，事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”， 事件与不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件与是互斥且对立，A错误； 事件与不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件与是互斥不对立，B正确，D错误； 事件与可以同时发生，即事件与不互斥不对立，C不是. 故选：B 例3、 在公元前100年左右，我国古代数学著作《周髀算经》中有这样的表述：“髀者股也，正晷者勾也. ”并且指出：“若求斜至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得斜至日”，这就 是我们熟知的勾股定理，勾股数组是指满足的正整数组.现将一枚质地均匀的骰子抛掷 三次，则三次向上的点数恰好组成勾股数组的概率是_____________. 【解析】将一枚质地均匀的骰子抛掷三次，基本事件总数为， 三次向上的点数恰好组成勾股数组包含的基本事件为：， 所以三次向上的点数恰好组成勾股数组的概率是， 故答案为： 1、（求古典概型的一般步骤） （1）明确实验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母/数字/数组等）表示实验的可能结果（可借助图表）； （2）根据实际问题情景判断样本点的等可能性； （3）计算样本点总个数及事件包含的样本点个数，求出事件A的概率． 2、（“有放回”与“无放回”的区别） “有放回”是指抽取物体时，每一次抽取之后，都将被抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的 总数是一样的． “无放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，被抽取的物体放到一边，并不放回到原处，这样，前后两次抽取时， 后一次被抽取的物体的总数较前一次被抽取的物体总数少；这两种情况下基本事件总数是不同的． 【变式】从4名男同学、2名女同学中选出3人构成一组． (1)该活动包含了多少个基本事件？ (2)抽出男同学比女同学多的概率是多少？ 【解析】（1）4名男同学分别记为，2名女同学分别记为，选出的3人构成的一组记为， 表示一个基本事件，从4名男同学、2名女同学中选出3人的不同结果为： ， ，共20个， 所以该活动包含了20个基本事件. （2）由（1）知，抽出的男同学比女同学多的事件包含的基本事件有： ，，共16个， 所以抽出男同学比女同学多的概率. 例4、 （1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜， 一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明． （2） 若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙 胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明． 【解析】（1）抛掷两枚质地均匀的硬币，所有情况有：{（正正），（正反），（反正），（反反）}． 记事件A，B分别为“甲胜”，“乙胜”，则， 这个游戏公平的． （2） 拋掷三枚质地均匀的硬币，所以有情况有：{（正正正），（正正反），（正反正），（正反反）， （反正正），（反正反），（反反正），（反反反）}．记事件A，B分别为“甲胜”，“乙胜”， 则，．这个游戏不公平． 1、（1）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． （2）频率本身是随机的，在试验前不能确定． （3）概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关． 2、在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大． 3、用随机数模拟法求事件概率的方法 在使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果． （1）试验的基本结果是等可能时，基本事件的总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件． （2）研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数 4、(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重 复试验中事件A发生的频率的近似值． (2)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是 局限于某一次试验或某一个具体的事件． 【变式】某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如下表（没有罚球）： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C， 用频率估计概率的方法，得到的下述结论中不正确的是（    ） A．P(A)=0.55 B．P(B)=0.18 C．P(C)=0.27 D．P(B＋C)=0.55 【解析】依题意，， ， 所以D选项结论不正确. 故选：D 例5、已知，，，则事件与的关系是（    ） A．与互斥不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又独立 【解析】由可得， 因为，则与不互斥，不对立， 由可得， 因为，所以与相互独立 故选：C 两个事件是否相互独立的判断 （1）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （2）公式法：若，则事件A，B为相互独立事件． 【变式】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球， 甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取 出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 【解析】 ， 故选：B 例6、已知一个人血型为型的概率分别是．任意抽取一人，求下列事情的概率： (1)抽出人为或型血； (2)抽出人不是型血． 【解析】（1）由题意可得： （抽出人为或型血）（抽出人为型血）（抽出人为型血）. （2）由题意可得： （抽出人不是型血）（抽出人是型血）. 1、（1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②求出每个事件的概率，再求积． （2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的． 2、求较复杂事件的概率的一般步骤如下 （1）列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示． （2）理清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的），列出关系式． （3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算． （4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件 的概率． 【变式】甲､乙进行射击比赛，两人轮流朝一个靶射击，若击中靶心得分，击中靶心以外的区域得分，两人得分 之和大于或等于分即结束比赛，且规定最后射击的人获胜，假设他们每次击中靶心的概率均为且不会脱靶，经 过抽签，甲先射击. （1）求甲需要射击三次的概率. （2）比赛结束时两人得分之差最大为多少？求这个最大值发生的概率. （3）求乙获胜的概率. 【解析】（1）甲需要射击三次，则两人前四次射击均只得分，所以甲需要射击三次的概率为. （2）比赛结束时，两人得分之差最大为分，他们得分情况为：甲，乙，甲， 所以这个最大值发生的概率为. （3）根据他们轮流射击的得分，分四种情况： 甲，乙，概率为；甲，乙，甲，乙，概率为； 前三次射击中有一次分，两次分，概率为； 前五次射击均得分，概率为.所以乙获胜的概率为. 例7、 设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同， 则事件A发生的概率是（    ） A． B． C． D． 【解析】由题设条件可得, , 又 , 解得. 所以 . 故选：A. 对于相互独立事件中的概率问题，可先从问题的数量关系入手，根据概率的定义、 公式等构造方程（组），通过解方程（组）解决问题，提升数学抽象素养． 【变式】设两个独立事件A和B同时不发生的概率是p,A发生B不发生与A不发生B发生的概率相同, 则事件A发生的概率为（ ） A． B． C． D． 【解析】根据题意设事件A发生的概率为a，事件B发生的概率为b， 则有 由②知，代入①得. 故选：C. 例8、 掷一枚骰子，下列事件：A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”， E=“点数是3倍数”.求： (1)A∩B，BC及相应的概率 (2)A∪B，B+C及相应的概率； (3)记为事件H的对立事件，求及相应的概率. 【解析】（1）由题可知，，，， ∴，，，，∴A∩B=，BC={2}，所求概率为， . （2）A∪B={1，2，3，4，5，6}，B+C={1，2，4，6}，所求概率为， . （3）={1，2}；=BC={2}；=A∪C={1，2，3，5}；={1，2，4，5}. 所求概率为；；；. （概率性质公式） （1）运用概率加法公式解题的步骤 ①确定诸事件彼此互斥； ②先求诸事件分别发生的概率，再求其和． （2）求复杂事件的概率通常有两种方法 一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的并； 二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率． 【变式】有3个两两互斥的事件A，B，C，已知事件是必然事件，事件A发生的概率是事件B 发生的概率的2倍，事件C发生的概率比事件B发生的概率大0.2.分别求事件A，B，C发生的概率. 【解析】设，则，. 由题意知，解得. 所以，，. $$