专题04 立体几何初步（考点串讲）(考点聚焦+题型突破+易错剖析+猜题押题）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（湘教版2019必修第二册）

高一（24-25学年）数学必修2期中末大串讲 串讲04 立体几何初步 （5考点&9题型 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点、明确复习目标 九大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 精选期末真题对应考点练 01考点透视 题型剖析 题型一　简单几何体的组合体 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型二　简单几何体的表面展开与折叠问题 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型三　与直观图还原有关的计算问题 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型四　棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型五　圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型六　球的表面积与体积 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型七　几何体的直观图画法 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型八　简单几何体的结构特征 技巧点拨 举一反三 题型剖析 　　 题型九　基本图形位置关系 例9、平面上有三个不共线点到平面距离相等，则平面与平面的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．相交或平行 【解析】如图1，若α // β，则平面α上任一点到平面β距离相等，故平面α上一定存在三个不共线点到平面β距离相等； 如图2，若α与β相交，则平面α上一定存在位于异侧的三个不共线点到平面β距离相等； 故平面α与平面β的位置关系是相交或平行. 故选：D. 【方法技巧与总结】 1、判定两直线异面的常用方法 （1）定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内； （2）排除法（反证法）：排除两直线共面（平行或相交）的情况 2、直线与平面位置关系的解题思路 解决此类问题首先要搞清楚直线与平面各种位置关系的特征，利用其 定义作出判断，要有画图意识，并借助空间想象能力进行细致的分析． 3、平面与平面位置关系的解题思路 判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义、要有 画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断． 常借助长方体模型进行判断． 技巧点拨 举一反三 【变式】已知平面，直线，则直线a，b的位置关系为（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面 【解析】平面α//β，直线a⊂α，b⊂β 如图在正方体 中，令平面ABCD=α，平面 ， 当 时，显然有a//b， 当 时，显然有a与b异面， 所以直线a，b的位置关系为平行或异面， 故选：D 03易错易混 易错点1　误用垂直性质定理致错 03易错易混 易错点2　判断线面、线线位置关系考虑不全致错 03易错易混 易错点3　分析问题不全面致错 针对训练 04押题预测 B A C A C 谢谢观看！ 例1、将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（    ） A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆台、一个圆柱 C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥 【解析】设等腰梯形，较长的底边为， 则绕着底边旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥， 轴截面如图， 故选：D 解决简单几何体的判定问题，需要对简单几何体的有关结构特征熟练掌握， 如侧棱与底面的关系，底面、侧面的形状、截面形状等， 同时还要会计算棱柱、棱锥、棱台的顶点数、棱数及面数． 【变式】如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（    ） A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥 C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台 【解析】螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，则挖去的部分是圆柱， 选项C表述准确. 故选：C 例2、 如图，在正三棱柱中，AB＝2，＝2，D，F分别是棱AB，的中点， E为棱AC上的动点，则DEF周长的最小值为_____． 【解析】由正三棱柱，可得底面ABC，∴AB，AC． 在RtADF中，DF＝＝2．把底面ABC展开与侧面在同一个平面，如图所示， 只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值． 在ADF中，∠DAF＝60°+90°＝150°，由余弦定理可得：DF＝＝． ∴DEF周长的最小值＝+2．故答案为：+2． 【方法技巧与总结】 （1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量； （2）立体几何中距离的最值一般处理方式： ①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值； ②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值． 【变式】在直三棱柱中，，，，E是棱上的一点， 则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】【解析】由题意得， 将三棱柱的侧面展开如图所示，当三点共线时，的周长的最小， 此时， 即的周长的最小值为， 故选：C 例3、如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴， 轴，，则（    ） A．的长度大于的长度B．的面积为4C．的面积为2D． 【解析】由图象知：，，，为的中点 所以，A错误；的面积，B正确；因为，， 所以的上的高，的面积，C错误， ，所以，D错误.故选：B 由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半， 同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点． （1）直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的sin45°＝倍． （2）S直观图＝S原图． 由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换． 【变式】如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，， 则原图形的面积是（    ） A． B．12 C．12 D．24 【解析】由斜二测画法可知， 所以，所以，所以,故选：A 例4、若正三棱锥的底面边长等于，三条侧棱两两垂直，则它的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为正三棱锥的底面边长等于，三条侧棱两两垂直， 所以三棱锥的侧棱长为， 则它的侧面积为. 故选：A. 1、多面体的表面积转化为各面面积之和． 2、解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路： 一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决． 1、常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面， 只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 2、求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、 轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算． 【变式】已知斜三棱柱的一个侧面的面积为10，该侧面与其相对侧棱的距离为3，则此斜三棱柱的体积为（    ） A．30 B．15 C．10 D．60 【解析】如图，两个斜三棱柱组成一个四棱柱，以斜三棱柱的一个侧面为四棱柱的底面，面积为， 高，四棱柱的体积，则此斜三棱柱的体积为. 故选：B. 例5、等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积为（　　） A． B．或 C． D．或 【解析】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为，高为， 母线就是直角三角形的斜边， 故所形成的几何体的表面积； 如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高， 两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，即母线长是， 故所形成的几何体的表面积， 综上所述，所形成几何体的表面积是或.故选：B. （求旋转体表面积注意事项） 旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥． （求几何体积的常用方法） （1）公式法：直接代入公式求解． （2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可． （3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等． （4）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 【变式】《本草纲目》中记有麦门冬这一种药物，书中所提麦门冬，别名麦冬、寸冬等，临床可用于治疗肺燥 干咳、津伤口渴、喉痹咽病、阴虚劳嗽等．一个麦门冬可近似看作底面拼接在一起的两个圆锥，如图所示， 则该麦门冬的体积约为______． 【解析】由题意可知麦门冬的体积为两个底面直径为2，高为4的圆锥的体积之和， 故该麦门冬的体积， 故答案为：. 例6、已知四面体的棱长都等于2，那么它的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【解析】如图，正四面体棱长为2，平面于，则是中心， ，平面，平面， 则， 设外接球球心为，则在，则为外接半径， 由得，解得， 所以其外接球的表面积为，故选：C． 1、正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面 2、球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝， 3、长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径， 若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝， 4、正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a． 5、正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝a． 6、有关球的截面问题常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决． 【变式】正八面体是每个面都是正三角形的八面体．如图所示，若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【解析】以内切球的球心为顶点、正八面体的八个面为底面，可将正八面体分为8个全等的正三棱锥， 设内切球的半径为，则， 且正四棱锥的高为图中，易得，即： 解得：，所以，内切球的表面积为. 故选：C． 例7、用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图． 【解析】根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形． ①画出水平放置的长、宽分别是8 cm、6 cm的矩形ABCD的直观图． ②作Az垂直于AB，在Az轴上截取． 分别过点B、C、D作，，，且． ③连接、、、，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得长方体的直观图，如图2所示． 【方法技巧与总结】（画空间几何体的直观图的注意事项） （1） 首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′， 且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直． （2）作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变． （3）平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半． （4）平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变． 【变式】已知直三棱柱，的底面是等腰直角三角形，且，侧棱．在给定的坐标系中， 用斜二测画法画出该三棱柱的直观图．（不要求写出画法，但要标上字母，并保留作图痕迹） 【解析】如图所示． 例8、以下说法正确的是（    ） ①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体． A．①②④⑥ B．②③④⑤ C．①②③⑥ D．①②⑤⑥ 【解析】①棱柱的两个底面平行且侧棱两两相互平行，故侧面是平行四边形，故正确； ②平行六面体是各面都为平行四边形的六面体，而长方体是各面都为矩形的平行六面体，故正确； ③直棱柱是侧棱与底面垂直的棱柱，显然长方体的侧棱与底面都垂直，故为直棱柱，故正确； ④底面是正多边形且各侧面为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥，故错误； ⑤底面为长方形的直四棱柱是长方体，故错误； ⑥四棱柱、五棱锥均有六个面，都是六面体，正确. 故选：C 【方法技巧与总结】 在解答关于空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义判断，这就要求熟悉各种空间 几何体的概念的内涵和外延，切忌只凭图形主观臆断．　 【变式】有下列四种叙述： ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台； ④棱台的侧棱延长后必交于一点. 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3 【解析】对于①：当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，①错； 对于②③：如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，②③错； 对于④：棱台结构特征知：侧棱延长后必交于一点，④正确. 故选：B 1．已知两个平面垂直，下列命题： ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；　 ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题个数是(　　) A．3　　　　 B．2 C．1 D．0 ． 【错解】如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①AD1⊂平面AA1D1D，BD⊂平面ABCD，AD1与BD是异面直线，成角60°，①错误；②正确． 对于③，AD1⊂平面AA1D1D，AD1不垂直于平面ABCD； 对于④，过平面AA1D1D内点D1，作D1C. ∵AD⊥平面D1DCC1，D1C⊂平面D1DCC1，∴AD⊥D1C.故正确，故选B. 【错因】“一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“过一个平面内任意一点作交线的垂线”，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在已知平面内． 【正解】对于④，过平面AA1D1D内点D1，作D1C.∵AD⊥平面D1DCC1，D1C⊂平面D1DCC1， ∴AD⊥D1C.但D1C不垂直于平面ABCD，故④错误，故选C. 2．若直线a与平面 内无数条直线平行，则a与 的位置关系是________． 【解析】【错解】a∥ 【错因】没考虑a⊂α的情况。 【正解】由直线与平面平行的判定定理知，a可能平行于 ，也可能在 内，故答案为a∥ 或a⊂ 3.圆柱的侧面展开图是边长分别为6π和4π的矩形，则圆柱的体积是________． 【错解】设圆柱的底面半径为r，高为h，则体积V＝πr2h，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2πr＝6π，,h＝4π)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(r＝3，,h＝4π))所以V＝36π2. 【错因】错解中只考虑了6π为底面周长的情况，而4π也有可能为底面周长。 【正解】设圆柱的底面半径为r，高为h，则体积V＝πr2h，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2πr＝6π，,h＝4π))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2πr＝4π，,h＝6π，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(r＝3，,h＝4π))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(r＝2，,h＝6π.))所以V＝36π2或24π2. 1．长方体的长、宽、高分别为3、2、1,从 到 沿长方体的表面的最短距离为________． 【解析】【错解】根据题意,将长方体展开，如图所示， 由图可知线段 的长为最短距离， 有勾股定理得 ， 【错因】长方体展开应有三种可能，错解中只考虑了一种， 【正解】根据题意,将长方体按照三种不同方式展开,如下图所示: 结合长方体的三种展开图,求得 的长分别是 ,所以最小值是 . 1．（2025·高一·课时练习）长方体中，，，则此长方体的对角线长是（    ） A．2 B． C． D． 2．（2025·全国·高一专题练习）如图，圆锥的母线长为，底面圆的半径为，若一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则其爬行的最短路线长为，则圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高一单元测试）已知是边长为3的等边三角形，其顶点都在球O的球面上，若球O的体积为，则球心O到平面ABC的距离为（    ） A． B． C．1 D． 4．（2025·全国·高一专题练习）用与球心距离为的平面去截球，截面面积为，则球的体积为（　　） A． B． C． D． 5．（2025春·全国·高一专题练习）用斜二测画法画△ABC的直观图为如图所示的△，其中，，则△ABC的面积为（    ） A．1 B．2 C． D． $$