专题03 整式的乘法 （必刷50题19种题型专项训练）（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材冀教版

专题03 整式的乘法 （必刷50题19种题型专项训练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 同底数幂相乘 （高频） 题型二 幂的乘方运算（难点） 题型三 积的乘方运算 题型四 同底数幂的除法运算（重点） 题型五 零指数幂 （难点） 题型六 负整数指数幂 （高频） 题型七 计算单项式乘单项式（高频） 题型八 计算单项式乘多项式及求值 题型九 计算多项式乘多项式 （高频） 题型十 多项式乘多项式与图形面积 （重点） 题型十一 （x+p）（x+q）型多项式乘法 （易错） 题型十二 运用平方差公式进行运算 （高频） 题型十三 平方差公式与几何图形（重点） 题型十四 运用完全平方公式进行运算（难点） 题型十 五 完全平方公式在几何图形中的应用 题型十六 多项式乘法中的规律性问题 （易错） 题型十七 用科学记数法表示绝对值大于1的数（高频） 题型十八 用科学记数法表示绝对值小于1的数 题型十九 将用科学记数法表示的数变回原数 题型一 同底数幂相乘 1．（24-25七年级下·河北唐山·期中）计算得，则“”表示的运算符号为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查整式的运算，先分别计算这两个单项式的和差积与商，然后根据计算结果进行判断即可．解题关键是熟练掌握同底数幂乘除法则和合并同类项法则． 【详解】解：∵， ∴“”内应填的运算符号为：． 故选：C． 2．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘 【分析】本题考查了合并同类项以及同底数幂的乘法，掌握相关运算法则是解答本题的关键，分别根据合并同类项法则以及同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：，， ， 故选：C 题型二 幂的乘方运算 3．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）某细菌每经过1小时就会由1个分裂成个，经过5小时，1个细菌分裂成（　　）个． A．5 B． C． D． 【答案】C 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方运算的应用，理解题意，掌握幂的乘方法则是关键；由题意知，经5个小时，1个细菌分裂成5个个细菌，即可得解． 【详解】解：由题意得：（个）； 故选：C． 4．（24-25七年级下·河北唐山·期中）若（，为正整数），下列判断正确的是（   ） A．一定为偶数 B．一定为偶数 C．，一定都为奇数 D．，一定都为偶数 【答案】B 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方运算，熟记运算法则是解题关键． 根据积的乘方，幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴一定为偶数， 故选：B． 5．（24-25七年级下·河北保定·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、合并同类项、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）先算积的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可； （2）先算幂的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三 积的乘方运算 6．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）下列运算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、有理数幂的概念理解、同底数幂相乘 【分析】本题考查了幂的运算，涉及有理数幂的概念，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等知识，根据这些运算进行即可． 【详解】解：；；； ； 故选：D． 7．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）计算 (1)解方程组： (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】积的乘方运算、加减消元法、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法、幂的运算，熟练掌握加减消元法、代入消元法和幂的运算规则是解题的关键． （1）用加减消元法消去x，求出y，再代入求出x，可得答案． （2）用加减消元法消去y，求出x，再代入求出y，可得答案． （3）根据积的乘方，同底数幂的乘法先计算，最后合并同类项即可； （4）根据幂的乘方，同底数幂的乘法先计算，最后合并同类项即可； 【详解】（1）， 由得，，即， 解得， 将代入式得，， 故方程组的解为：. （2） 由得, 即， 解得， 将代入式得，， 故方程组的解为：. （3） （4） 题型四 同底数幂的除法运算 8．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、合并同类项、积的乘方运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，除法，幂的乘方，积的乘方及合并同类项，熟练掌握幂运算法则及合并同类项得法则是解题的关键．根据幂运算法则及合并同类项法则，即可判断答案． 【详解】解：A、，所以A选项错误，不符合题意； B、，所以B选项正确，符合题意； C、，所以C选项错误，不符合题意； D、，所以D选项错误，不符合题意； 故选：B． 9．（22-23七年级下·河北保定·期末），则 ． 【答案】6 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】根据同底数幂的除法进行求解即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法是解题的关键． 10．（24-25七年级下·河北沧州·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、幂的乘方的逆用、加减消元法 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，解二元一次方程组，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先把原式变形为，再根据同底数幂乘法计算法则得到，据此可得答案； （2）先由已知条件得到，进而得到，再根据（1）所求建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ， ， ； （2）解：， ， ， ． ∴， 解得， ． 题型五 零指数幂 11．（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）已知与是同类项，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】零指数幂、同类项的判断 【分析】此题考查了同类项的概念和零指数幂，根据同类项的概念可求，的值，从而求出代数式的值，解题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：（）所含字母相同；（）相同字母的指数相同． 【详解】∵与是同类项， ∴，，解得，， ∴， 故选：． 12．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）规定三角“”表示，方框“”表示．例如：，根据这个规定的值是（　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、多个有理数的乘法运算 【分析】此题考查了新定义运算，有理数的乘法，零指数幂和负整数指数幂运算， 根据题目所给新定义的运算顺序和运算法则列出式子，然后根据有理数的乘法，零指数幂和负整数指数幂法则求解即可． 【详解】解：由题意得， ． 故选：B． 13．（22-23七年级下·河北承德·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】先计算零指数幂和负整数指数幂，再算加减即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的意义，以及有理数的加减法，非零数的负整数指数幂等于这个数的正整数次幂的倒数；非零数的零次幂等于1． 题型六 负整数指数幂 14．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】根据积的乘方、零指数幂、同底数幂的乘法法则及负整数指数幂进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，故符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查积的乘方、零指数幂、同底数幂的乘法法则及负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 15．（22-23七年级下·河北邯郸·阶段练习）的值为 ． 【答案】/0.5 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】直接运用零指数幂和负整数指数幂运算法则计算出结果后再进行乘法运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 16．（23-24七年级下·河北张家口·期中）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了负整数指数幂和含乘方的有理数混合计算，先计算负整数指数幂，再计算乘方，接着计算乘法，最后计算减法即可． 【详解】解：原式 ． 题型七 计算单项式乘单项式 17．（2024·河北·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算、合并同类项、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法依次对各选项逐一分析判断即可．解题的关键是掌握整式运算的相关法则． 【详解】解：A．，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 18．（24-25七年级下·河北石家庄·期中） ． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的有关运算．先计算积的乘方，再根据单项式乘单项式法则：系数与系数相乘，同底数幂相乘，进行计算，最后合并即可． 【详解】解： 故答案为：． 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中． 【答案】；19 【知识点】积的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值、计算单项式乘单项式 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．根据积的乘方和单项式乘单项式运算法则进行计算，然后代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把代入得： 原式． 题型八 计算单项式乘多项式及求值 20．（24-25七年级·河北沧州·阶段练习）把代数式变形为所运用的根据是（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和分配律 【答案】C 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题主要考查了整式的运算，是单项式与多项式相乘，可以根据乘法分配律进行计算． 【详解】解：把代数式变形为所运用的根据是分配律， 故选：C． 21．（23-24七年级下·全国·课后作业）填空： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】（1）原式利用单项式乘以多项式法则进行计算即可． （2）原式利用单项式乘以多项式法则进行计算即可． （3）原式利用单项式乘以多项式法则进行计算即可． 本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：（1）． （2）． （3）． 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的运算，整式的加减运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）由单项式乘以多项式法则计算即可； （2）由单项式乘以多项式法则计算即可； （3）先进行单项式乘以多项式，再进行整式的加减计算； （4）先进行单项式乘以多项式，再进行整式的加减计算，最后再计算单项式乘以多项式． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 题型九 计算多项式乘多项式 23．（22-23七年级下·河北沧州·期中）若与的乘积中不含的一次项，则的值为（    ） A．6 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】根据题意，计算多项式乘以多项式，根据一次项的系数为0，即可求解． 【详解】解：中不含一次项 ∴ 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 24．（24-25七年级下·全国·课后作业）填空题： （1） ； （2） ； （3）（ ） ． 【答案】 1 4 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 故答案为：；；1；4． 25．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）解答下列各题． (1)因式分解：． (2)计算： 【答案】(1) (2) 【知识点】计算多项式乘多项式、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解及整式的混合运算，正确掌握运算法则是解题的关键： （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式； （2）根据多项式乘以多项式法则及单项式乘以多项式法则去括号，再合并同类项即可 【详解】（1）解： （2）原式 题型十 多项式乘多项式与图形面积 26．（22-23七年级下·河北保定·期末）有足够多张如图所示的A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片，若要拼一个长为、宽为的大长方形，则需要C类卡片的张数为（   ）    A．8 B．10 C．11 D．13 【答案】D 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】计算，结果中项的系数即为需要C类卡片的张数． 【详解】解：∵， ∴需要C类卡片13张， 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的乘法，解题的关键是理解结果中，项的系数即为需要C类卡片的张数． 27．（23-24七年级下·全国·单元测试）光伏电池板可以将太阳光能转化为电能，在相同光照条件下，电池板面积越大，输出的电能越大．若将一块长、宽的长方形光伏电池板的长增加，宽减少，则它的面积将 （填“增加”或“减少”） ． 【答案】 减少 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了整式的乘法的应用，根据题意将原来的面积减去变化后的面积，即可求解． 【详解】解：∵ ∵ ∴ ∴它的面积将减少． 故答案为：减少，． 28．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）有甲、乙两块长方形草地，其长和宽的数据如图所示，其面积分别为，． (1)填空：______． (2)若一个正方形花园的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和． ①设该正方形的花园边长为m，请用含a的代数式表示m． ②设该正方形的花园面积为，当时，求的值． 【答案】(1)2 (2)①；②225 【知识点】整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的加减运算，代数式求值，解题的关键是： （1）根据长方形面积公式列出算式，去括号合并即可； （2）①根据一个正方形花园的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和列出等式，继而求出m值；②将代入计算即可． 【详解】（1）解： ． 故答案为2． （2）①根据题意得， 解得． ②当时，． 答，的值是225． 题型十一 （x+p）（x+q）型多项式乘法 29．（23-24七年级·河北石家庄·期末）若和是的因式，则p为（   ） A． B． C．8 D．2 【答案】D 【知识点】计算多项式乘多项式、（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】主要考查因式分解与多项式相乘是互逆运算，注意正确计算多项式的乘法，然后系数对应相等．把多项式相乘展开，再根据对应项系数相等求解即可． 【详解】解： 即 故选：D 30．（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则a的值为 ，b的值为 ． 【答案】 5 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：5；． 31．（23-24七年级下·全国·课后作业）定义：对于依次排列的多项式（，，，是常数），当它们满足，且为常数时，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．如对于多项式，因为，所以，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． (1)已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子． (2)若a，b，c，d是一组平衡数，，请写出一组b，c的值， (3)当a，b，c，d之间满足什么数量关系时，它们是一组平衡数？请说明理由． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3)当时，a，b，c，d是一组平衡数 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键在于观察两个展开式中各项之间的关系，通过观察，我们会发现，． （1）直接根据定义计算的值； （2）根据定义表示平衡数的平衡因子，令一次项的系数为，代入可得结论； （3）根据（2）可得，，，之间满足的数量关系式． 【详解】（1）解： （2）由题意，得 ， 因为，，是常数，所以，即，所以，的值可以是．（答案不唯一，满足即可） （3）， ，，，都是常数，所以当时，是常数，即当时，，，，是一组平衡数 题型十二 运用平方差公式进行运算 32．（23-24七年级下·河北张家口·期中）用简便方法计算时，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，把原式化为，从而可得答案． 【详解】解：， 故选B 33．（24-25七年级下·河北张家口·期中）（1）计算：． （2）用整式的乘法公式计算：． 【答案】（1）；（2）9800 【知识点】运用平方差公式进行运算、负整数指数幂、零指数幂 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、平方差公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先计算零指数幂、负整数指数幂，再计算除法即可得解； （2） 平方差公式计算即可得解． 【详解】解：（1）； （2）． 题型十三 平方差公式与几何图形 34．（七年级下·河北石家庄·期中）如图1，将长为，宽为的长方形沿虚线剪去一个宽为2的小长方形（阴影部分），得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形．这两个图能解释下列哪个等式（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】利用变形前后两个图形的面积相等，建立等式即可． 【详解】解：如图1，图形的面积为（x+2）（x-2）； 如图2，图形的面积为x（x-2）+2×（x-2）==， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了图形与平方差公式，熟练掌握图形变形前后的面积相等是解题的关键． 35．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，阴影部分是边长为的大正方形中减去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列三种割、拼方法，其中能够验证平方差公式的是图 ． 【答案】①②③ 【知识点】平方差公式与几何图形 【解析】略 36．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是一块边长为的正方形草坪，东西方向需要加长，南北方向需要缩短．改造后的草坪面积与原来相等吗？若不相等，其面积发生了什么变化？ 【答案】改造后的草坪面积与原来不相等，面积减小了 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别求出改造前后草坪的面积即可得到结论． 【详解】解：原来草坪面积为， 改造后的草坪面积为， ∴改造后的草坪面积与原来不相等，面积减小了． 题型十四 运用完全平方公式进行运算 37．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、合并同类项、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式，积的乘方，同底数幂的乘法和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．根据运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选：C． 38．（七年级下·河北邯郸·期末）若，，则 ， ． 【答案】 9 5 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】把，代入，，再计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ； 故答案为：9，5 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，熟记完全平方公式是解本题的关键． 39．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）下面是琪琪化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． 解：      第一步 ·      第二步 (1)琪琪的化简过程从第___________步开始出现错误； (2)请对原整式进行化简，并求当时原整式的值． 【答案】(1)一 (2)， 【知识点】运用完全平方公式进行运算、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了整式乘法运算，完全平方公式，求代数式的值； （1）根据单项式乘多项式法则、完全平方公式、去括号及合并同类项法则进行检查即可作出判断； （2）由单项式乘多项式法则、完全平方公式展开，再去括号、合并同类项即可，最后代值计算． 【详解】（1）解：检查知，在第一步去括号时，没有变号，导致错误； 故答案为：一； （2）解：       ； 当时，原式． 题型十 五 完全平方公式在几何图形中的应用 40．（七年级下·河北石家庄·期中）如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则正图乙的边长为（    ） A．7 B．8 C．5.6 D．10 【答案】B 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】设正方形Ａ的边长是，正方形的边长是，根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，列出等式求得图乙的面积，最后求得图乙的边长． 【详解】解：设正方形Ａ的边长是，正方形的边长是， 由题可得图甲中阴影部分的面积是， 图乙中阴影部分的面积是， 图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和， ，， 图乙面积为： ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和列出等式是解题的关键． 41．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）如图，将长方形的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为56，面积之和为58，则长方形的面积为 ． 【答案】10 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】设，，由题中周长和面积的关系，得关于x和y的二元二次方程组，根据完全平方公式及方程之间的关系，可得答案． 【详解】解：解：设，，由题意得： 化简得： 将①两边平方再减去②得：， ，即长方形的面积为10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了完全平方公式在几何问题中的应用，根据题意正确列方程组并运用完全平方公式化简是解题的关键． 42．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，已知两个长方形和如图放置，已知，，且，．延长交于点，表示的面积，表示的面积． (1)________，________；（用含、的代数式表示） (2)已知，． ①求； ②现有一个边长为的正方形，面积为，且，直接写出整数的最大值． 【答案】(1)， (2)①34；②5 【知识点】列代数式、完全平方公式在几何图形中的应用、整式乘法混合运算 【分析】本题考查了整式的运算和完全平方公式的几何背景，掌握相应的定义是关键． （1）根据题图、线段的和差关系，先用a、b表示出，再利用三角形的面积公式和整式的运算法则得结论； （2）①利用完全公式的变形计算得结论；②先得到n与的关系，再确定n的整数最大值． 【详解】（1）解：，且， ， ， ， 故答案为：，； （2）①，， ； ②边长为的正方形，面积为， ， ，， ， 满足条件的整数的最大值为5． 题型十六 多项式乘法中的规律性问题 43．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”计算的展开式中第三项的系数为（　　） A．22 B．28 C．36 D．56 【答案】C 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解题的关键． 根据图形中的规律不难发现的第三项系数为，据此即可求出的展开式中第三项的系数． 【详解】解：找规律发现的第三项系数为； 的第三项系数为； 的第三项系数为； …… ∴不难发现的第三项系数为， ∴第三项系数为， 故选：C． 44．（23-24七年级下·河北保定·期末）从简单情况入手，观察猜想，发现规律，运用规律解决问题，这是常见的研究数学问题的思路． 问题解决： （1）填空： ________ ________ 猜想： ________ 总结结论： （2）填空：当n为正整数时，________．利用这个结论，请你解决下面的问题：求的值． 【答案】（1）；；；（2）； 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）多项式乘以多项式的法则计算得到结果，归纳总结得到规律即可； （2）由（1）得出一般性规律，将变形为，计算即可得解． 【详解】解：（1） ， ， 猜想： ； （2）当n为正整数时，， ∴的值为． 题型十七 用科学记数法表示绝对值大于1的数 45．（23-24七年级下·河北唐山·期末）计算，结果用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解： ． 故选：C． 46．（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）已知，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、积的乘方运算、用科学记数法表示绝对值大于1的数、同底数幂的除法运算 【分析】将，代入求值，利用积的乘方法则及同底数幂的除法法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，科学记数法，积的乘方，同底数幂的除法等知识点，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 题型十八 用科学记数法表示绝对值小于1的数 47．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，有4个小圆，自左向右分别标记为，在每个小圆中分别填写一个有理数，且后一个小圆中填写的数是前一个小圆中填写的数的，若第①个小圆中填写的数是，则第④个小圆中所填写的数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多个有理数的乘法运算、用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了有理数的乘法、科学记数法，先求出第④个小圆种所填写的数，再利用科学记数法表示即可，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：第④个小圆种所填写的数为， 故选：D． 48．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期中）成人体内成熟的红细胞的平均直径一般为m，可以用科学记数法表示为 m． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故答案为． 题型十九 将用科学记数法表示的数变回原数 49．（23-24七年级下·河北承德·期中）嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行大约需要．数据用科学记数法表示为，则被遮住的0的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查了用科学记数法表示的数还原成原数．把数据写成原数，就是把8的小数点向右移动5位． 【详解】解：把数据中8后的小数点向左移动5位就可以得到，原数中小数点后“0”的个数为4，其中有1个数未被遮住． 所以，被遮住的0的个数为（个） 故选：C． 50．（2024·河北石家庄·二模）一个整数8150…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为 个． 【答案】8/八 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题主要考查科学记数法与原数的转化，将科学记数法表示的数转化为原数，即可求出0的个数． 【详解】解：， 原数中有8个0， 故答案为：8． $$专题03 整式的乘法 （必刷50题19种题型专项训练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 同底数幂相乘 （高频） 题型二 幂的乘方运算（难点） 题型三 积的乘方运算 题型四 同底数幂的除法运算（重点） 题型五 零指数幂 （难点） 题型六 负整数指数幂 （高频） 题型七 计算单项式乘单项式（高频） 题型八 计算单项式乘多项式及求值 题型九 计算多项式乘多项式 （高频） 题型十 多项式乘多项式与图形面积 （重点） 题型十一 （x+p）（x+q）型多项式乘法 （易错） 题型十二 运用平方差公式进行运算 （高频） 题型十三 平方差公式与几何图形（重点） 题型十四 运用完全平方公式进行运算（难点） 题型十 五 完全平方公式在几何图形中的应用 题型十六 多项式乘法中的规律性问题 （易错） 题型十七 用科学记数法表示绝对值大于1的数（高频） 题型十八 用科学记数法表示绝对值小于1的数 题型十九 将用科学记数法表示的数变回原数 题型一 同底数幂相乘 1．（24-25七年级下·河北唐山·期中）计算得，则“”表示的运算符号为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）计算：（   ） A． B． C． D． 题型二 幂的乘方运算 3．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）某细菌每经过1小时就会由1个分裂成个，经过5小时，1个细菌分裂成（　　）个． A．5 B． C． D． 4．（24-25七年级下·河北唐山·期中）若（，为正整数），下列判断正确的是（   ） A．一定为偶数 B．一定为偶数 C．，一定都为奇数 D．，一定都为偶数 5．（24-25七年级下·河北保定·期中）计算 (1)； (2)． 题型三 积的乘方运算 6．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）下列运算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）计算 (1)解方程组： (2) (3) (4) 题型四 同底数幂的除法运算 8．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（22-23七年级下·河北保定·期末），则 ． 10．（24-25七年级下·河北沧州·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 题型五 零指数幂 11．（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）已知与是同类项，则等于（   ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）规定三角“”表示，方框“”表示．例如：，根据这个规定的值是（　　） A． B． C．1 D． 13．（22-23七年级下·河北承德·期末）计算： ． 题型六 负整数指数幂 14．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（22-23七年级下·河北邯郸·阶段练习）的值为 ． 16．（23-24七年级下·河北张家口·期中）计算：． 题型七 计算单项式乘单项式 17．（2024·河北·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级下·河北石家庄·期中） ． 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中． 题型八 计算单项式乘多项式及求值 20．（24-25七年级·河北沧州·阶段练习）把代数式变形为所运用的根据是（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和分配律 21．（23-24七年级下·全国·课后作业）填空： （1） ； （2） ； （3） ． 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型九 计算多项式乘多项式 23．（22-23七年级下·河北沧州·期中）若与的乘积中不含的一次项，则的值为（    ） A．6 B． C．2 D． 24．（24-25七年级下·全国·课后作业）填空题： （1） ； （2） ； （3）（ ） ． 25．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）解答下列各题． (1)因式分解：． (2)计算： 题型十 多项式乘多项式与图形面积 26．（22-23七年级下·河北保定·期末）有足够多张如图所示的A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片，若要拼一个长为、宽为的大长方形，则需要C类卡片的张数为（   ）    A．8 B．10 C．11 D．13 27．（23-24七年级下·全国·单元测试）光伏电池板可以将太阳光能转化为电能，在相同光照条件下，电池板面积越大，输出的电能越大．若将一块长、宽的长方形光伏电池板的长增加，宽减少，则它的面积将 （填“增加”或“减少”） ． 28．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）有甲、乙两块长方形草地，其长和宽的数据如图所示，其面积分别为，． (1)填空：______． (2)若一个正方形花园的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和． ①设该正方形的花园边长为m，请用含a的代数式表示m． ②设该正方形的花园面积为，当时，求的值． 题型十一 （x+p）（x+q）型多项式乘法 29．（23-24七年级·河北石家庄·期末）若和是的因式，则p为（   ） A． B． C．8 D．2 30．（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则a的值为 ，b的值为 ． 31．（23-24七年级下·全国·课后作业）定义：对于依次排列的多项式（，，，是常数），当它们满足，且为常数时，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．如对于多项式，因为，所以，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． (1)已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子． (2)若a，b，c，d是一组平衡数，，请写出一组b，c的值， (3)当a，b，c，d之间满足什么数量关系时，它们是一组平衡数？请说明理由． 题型十二 运用平方差公式进行运算 32．（23-24七年级下·河北张家口·期中）用简便方法计算时，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 33．（24-25七年级下·河北张家口·期中）（1）计算：． （2）用整式的乘法公式计算：． 题型十三 平方差公式与几何图形 34．（七年级下·河北石家庄·期中）如图1，将长为，宽为的长方形沿虚线剪去一个宽为2的小长方形（阴影部分），得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形．这两个图能解释下列哪个等式（    ） A． B． C． D． 35．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，阴影部分是边长为的大正方形中减去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列三种割、拼方法，其中能够验证平方差公式的是图 ． 36．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是一块边长为的正方形草坪，东西方向需要加长，南北方向需要缩短．改造后的草坪面积与原来相等吗？若不相等，其面积发生了什么变化？ 题型十四 运用完全平方公式进行运算 37．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 38．（七年级下·河北邯郸·期末）若，，则 ， ． 39．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）下面是琪琪化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． 解：      第一步 ·      第二步 (1)琪琪的化简过程从第___________步开始出现错误； (2)请对原整式进行化简，并求当时原整式的值． 题型十 五 完全平方公式在几何图形中的应用 40．（七年级下·河北石家庄·期中）如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则正图乙的边长为（    ） A．7 B．8 C．5.6 D．10 41．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）如图，将长方形的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为56，面积之和为58，则长方形的面积为 ． 42．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，已知两个长方形和如图放置，已知，，且，．延长交于点，表示的面积，表示的面积． (1)________，________；（用含、的代数式表示） (2)已知，． ①求； ②现有一个边长为的正方形，面积为，且，直接写出整数的最大值． 题型十六 多项式乘法中的规律性问题 43．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”计算的展开式中第三项的系数为（　　） A．22 B．28 C．36 D．56 44．（23-24七年级下·河北保定·期末）从简单情况入手，观察猜想，发现规律，运用规律解决问题，这是常见的研究数学问题的思路． 问题解决： （1）填空： ________ ________ 猜想： ________ 总结结论： （2）填空：当n为正整数时，________．利用这个结论，请你解决下面的问题：求的值． 题型十七 用科学记数法表示绝对值大于1的数 45．（23-24七年级下·河北唐山·期末）计算，结果用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 46．（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）已知，，则的值为 ． 题型十八 用科学记数法表示绝对值小于1的数 47．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，有4个小圆，自左向右分别标记为，在每个小圆中分别填写一个有理数，且后一个小圆中填写的数是前一个小圆中填写的数的，若第①个小圆中填写的数是，则第④个小圆中所填写的数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 48．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期中）成人体内成熟的红细胞的平均直径一般为m，可以用科学记数法表示为 m． 题型十九 将用科学记数法表示的数变回原数 49．（23-24七年级下·河北承德·期中）嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行大约需要．数据用科学记数法表示为，则被遮住的0的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 50．（2024·河北石家庄·二模）一个整数8150…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为 个． $$