专题02 代数方程（考点串讲，4考点+4技巧+5易错）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版）

八年级数学下学期·期末复习大串讲 专题02 代数方程 （4考点+4技巧+5易错） 沪教版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理+针对训练 四大技巧点拨 五大易错易混经典例题 精选5道期末真题对应考点练 代数方程 整式方程 有理方程 无理方程 列方程（组）解应用题 分式方程 一元方程 多元方程组 二元一次方程组 一次方程 高次方程 二次方程 二元二次方程组 知识结构 化归思想与方法 特殊的 高次方程 低次方程 原方程的根 换元 因式分解 分式方程 整式方程 检验 原方程的根 去分母 换元 求解 求解 舍去增根 无理方程 有理方程 检验 原方程的根 去根号 求解 舍去增根 由两个二元二次方程组成的方程组 含一次方程的 二元二次方程组 回代求出另一 个未知数的值 原方程组的解 因式分解 代入消元求出一个未知数的值 特殊的二元二次方程组 知识结构 1.含字母系数的一元一次方程ax=b 定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的含字母系数的方程； 求解步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1； 注意：系数化为1时视情况讨论！ 2．含字母系数的一元二次方程ax2=m 定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的含有字母系数的方程； 解法：因式分解法，开平方法；配方法，公式法；当用含字母系数的式子去乘或除方程两边时，要讨论. 知识梳理 知识点一：整式方程 3.一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式；   一元n次方程与一元高次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n；其中n大于2的方程称为一元高次方程. 4.二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零. 一般形式为： 1.可化为一元二次方程的分式方程 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解； 解分式方程的一般步骤：①方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验，是否有增根. 2.增根产生的原因： 在解分式方程或无理方程时，将方程转化成整式方程或有理方程时，扩大了未知数的取值范围，从而产生了增根 3.如何检验是否增根 将解分式方程转化成整式方程的根代入最简公分母，若使最简公分母为零的根为原方程的增根，否则为原方程的根 将解无理方程转化成有理方程的根代入原方程的左右两边，若使方程左右两边的值不相等的根为增根，否则为方程的根 知识点二：分式方程 1.无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式；无理方程也叫根式方程. 2.无理方程、有理方程、代数方程三者之关系 有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程； 代数方程：有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程. 知识点三：无理方程 3.无理方程的解法 （1）基本思路：解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解； （2）一般步骤： 1.二元二次方程 2.二元二次方程组 知识点四：二元二次方程组与列方程（组）解应用题 3.二元二次方程组的解法 (1)解二元二次方程组的基本思想：是消元和降次. (2)题型一：解方程组 即方程组由一个二元一次方程和一个 二元二次方程组成的方程组.方法：代入消元法； 代入消元法一般步骤：①将方程组中二元一次方程的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②将这个未知数所表示的代数式代入二元二次方程中，得到关于另一个未知数的一元二次方程；③解这个一元二次方程；④将求得的两个解分别代入二元一次方程，求相应的另一个未知数的值；⑤把相应的两组解写出来，即是原方程组的解. (3)题型二：解方程组 （其中一个方程可以分解为两个一次因 式积等于零的形式）方法：因式分解法； 解法：把原方程组化为两个分别由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，然后分别求解. 4.列方程（组）解应用题 1.方程x3+8=0的根是 ______ ． 【解析】解：(法1)方程可变形为x3=-8， 因为(-2)3=-8，所以方程的解为x=-2． 故答案为：x=-2 (法2)方程可变形为x3=-8，所以x= =-2． 故答案为：x=-2 x=-2 考点1： 二项方程 2.方程x4-16=0的根是 ____ ． 【解析】解：∵x4-16=0， ∴(x2+4)(x+2)(x-2)=0，∴x=±2 ∴方程x4-16=0的根是±2， 故答案为±2． ±2 13 3.解方程组： ． 【解析】解： ， 由①得：(x-y)2=1③， 由②得：x=5-2y④， 把④代入③得：(5-2y-y)2=1， 整理得：5-3y=±1，解得：y1=2，y2= ， 把y1=2代入④得：x1=1； 把y2= 代入④得：x2= ； 即方程组的解为： ， 考点2： 二元二次方程组 14 4.解方程组： ． 【解析】解： ， 由①，得(x-y)(x-2y)=0， 即x-y=0或x-2y=0， 把这两个方程与②组成方程组得： ， ， 解得： ， ， 故方程组的解为： ， ． 15 5.解方程： 【解析】解：原方程两边同时平方得：3x+4=x2， 整理得：x2-3x-4=0， 因式分解得：(x+1)(x-4)=0， 解得：x1=-1，x2=4， ∵3x+4≥0且x≥0， ∴x≥0， 则x=-1应舍去， 故原方程的解为：x=4． 考点3： 无理方程 16 6.解方程： - =1 【解析】解：两边平方得：2x-4+x+5-2 =1， 即3x=2 ， 再两边平方得：9x2=4(2x2+6x-20)，即x2-24x+80=0， 解得：x1=4，x2=20， 经检验x=4和x=20都是无理方程的解． 17 7.甲乙两队要限期完成某工程，甲队独做提前2天完成，乙队独做要延期5天，现在两队合作3天后余下的由乙队独做，正好如期完工，设工程期限为x天，那么可列方程为( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：设工作总量为1，工程期限为x天， C 考点4： 分式方程及其应用 那么甲工程队的工作效率为 ，乙工程队的工作效率为 ． 根据题意，所列方程为 ， 化简得 ． 故选：C． 18 8.已知关于x的方程 有增根，那么k=　　． 【解析】解： ， 去分母得：1=k(x+2)， 由分式方程有增根，得到x2-4=0，即x=±2， 把x=2代入整式方程1=k(x+2)，解得 ． 把x=-2代入整式方程1=k(x+2)，无解． 故答案为： ． 19 9.解方程： ． 【解析】解：去分母得：(x+2)2-16=x-2， 整理得：x2+4x+4-16=x-2，即x2+3x-10=0， 分解因式得：(x-2)(x+5)=0， 解得：x=2或x=-5， 检验：当x=2时，(x+2)(x-2)=0， 当x=-5时，(x+2)(x-2)≠0， ∴x=2是增根，分式方程的解为x=-5． 20 10.近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲、乙两人计划分别缴纳养老保险金12万元和8万元，虽然甲计划每年比乙计划每年多缴纳养老保险金0.1万元，但是甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，已知甲、乙两人计划缴纳养老保险金的年数都不超过20年，求甲计划每年缴纳养老保险金多少万元？ 【解析】解：设甲计划每年缴纳养老保险金x万元，则乙计划每年缴纳养老保险金(x-0.1)万元， 根据题意得： - =4， 整理得：10x2-11x+3=0， 解得：x1=0.5，x2=0.6， 经检验，x1=0.5，x2=0.6均为所列方程的解，x1=0.5不符合题意，舍去，x2=0.6符合题意． 答：甲计划每年缴纳养老保险金0.6万元． 21 11.A、B两地相距360千米，一辆汽车准备从A地开往B地，但由于任务紧急，现在实际行驶的速度每小时比原计划快20千米，所以提前3小时到达B地．求汽车原计划的速度． 【解析】解：设汽车原计划的速度为x千米/时，则汽车实际行驶的速度为(x+20)千米/时， 根据题意得： - =3， 整理得：x2+20x-2400=0， 解得：x1=40，x2=-60， 经检验，x1=40，x2=-60均为所列方程的解，x1=40符合题意，x2=-60不符合题意，舍去． 答：汽车原计划的速度为40千米/时． 22 题型1：直接换元 例题1 解方程： 技巧点拨 题型2：倒数换元 例题2 解方程： 题型3：配方换元 例题3 解方程： 所以，原方程的根是 例题4 解方程组： 题型4：换元法解分式方程组 分析： 观察方程组中所含的分式，它们的分母是或联想“换元”的方法，如果把看作两个不同的“整体”，分别用代替，即设= ，转化为二元一次方程组进行求解. 【解析】解：设 =a, =b, ∴原方程化为： ， 解得： ， ∴ =1， =2， 29 ∴ ， 解得： ， 经检验： 是原方程组的解． 30 1.下列各题下列各题解方程的过程错在哪里？ （1）解关于x的方程： bx2+1=2(b≠0) 解：bx2=1 x2= — ∴x=± b 1 需要讨论 易混易错 （2）解方程： x+1 2x —— － — 1 x =2 甲同学：方程左右两边同乘以 x(x+1)得 2 x²－x－1= 2 x= 3 检验：当x= 3时，x(x+1) ≠0 ∴原方程的根为x= 3 常数也要乘以公分母 注意变号 乙同学：方程左右两边同乘以 x(x+1)得 2x²－x＋1＝2x(x＋1) 2x2＋x－1=0 解得x1= — ，x2=－1 1 2 经检验：x=－1是增根，舍去 ∴原方程的根为 x= — 2 1 2.下列各题解方程的过程错在哪里？ （3）解方程： 解：原方程可化为 方程两边同乘以3x(x-1)得 3x－(x－1)=x 解得x= ﹣1 检验：当x=﹣1时，3x(x﹣1) ≠0 ∴原方程的根为x=﹣1 代入原方程的最简公分母进行检验 3.下列各题解方程的过程错在哪里？ （4）解方程： 解：原方程化为 方程左右两边同时平方得 x2－5x + 6 = 2 x2－5x＋4=0 ∴x1=1，x2=4 (x－1)(x－4)=0 ∴原方程的根为x1=1，x2=4 (x－2)(x－3) 2 = 检验：当 时，原方程左边=右边 x1=1，x2=4 要代入原无理方程进行检验 4.下列各题解方程的过程错在哪里？ （5）解方程组： 5x2－y2=11 2x－y=1 ① ② 解：由②得y=2x－1③ 将③代入①得5x2－(2x－1)2=11 即x2＋4x－12=0 解得x1=2，x2=﹣6 把x=2代入①得y=±3 把x=﹣6代入①得y=±13 ∴原方程组的解为 x1=2 y1=3 x2=2 y2=﹣3 x1=﹣6 y1=13 x1=﹣6 y1=﹣13 回代二元一次方程求另一个未知数 5.下列各题解方程的过程错在哪里？ 1.(2023春·浦东新区校级期末)下列方程中，有实数根的方程是( ____ ) A.2x4+1=0 B.x3+1=0 C. +3=0 D. = 【解析】解：A、整理得：x4=- ，故次方程无解； B、整理得x3=-1，解得：x=-1，符合题意； C、整理得 =-3，无解，不符合题意； D、去分母后得x=1，代入最简公分母x-1=0，故次方程无实数根， 故选：B． B 押题预测 36 2.(2023春·长宁区期末)方程x3-27=0的根是 _____ ． 【解析】解：x3-27=0， x3=27， x= =3， 故答案为：x=3． x=3 37 3.(2023春·长宁区校级期末)解方程组： ． 【解析】解： ， 由①，得(x-y)(x-2y)=0， 即x-y=0或x-2y=0， 把这两个方程与②组成方程组得： ， ， 解得： ， ，故方程组的解为： ， 38 4.(2023春·浦东新区校级期末)解方程： - =1 【解析】解： = +1 x+2=x+2 +1 1=2 ， 经检验，x= 是原方程的解． 39 5.(2023春·徐汇区期末）某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加20%作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价． 【解析】解：设每盒茶叶的进价为x元． 50×x(1+20%)+(x-5)×( -50)-2400=350． 解得：x=40或x=-30， 经检验：x=40或x=-30都是原方程的解，但x=-30不合题意，应舍去． 答：每盒茶叶的进价为40元． 40 $$