专题04 概率初步（考点串讲，5考点+2新考向+2易错）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版）

八年级数学下学期·期末复习大串讲 专题04 概率初步 （5考点+2新考向+2易错） 沪教版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点：知识梳理+针对训练 二大新考向 二大易错易混经典例题+针对训练 精选3道期末真题对应考点练 事件 随机事件 确定性事件 用列举法求概率 用频率估计概率 树状图法 列表法 不可能事件 必然事件 概率的概念 知识结构 事件 确定事件 随机事件 必然事件 不可能事件 　1.在一定条件下必然发生的事件，叫做必然事件； 　2.在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件； 　3.在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件. 知识梳理 知识点一：确定事件和随机事件 1.概率： 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）. 0 1 事件发生的可能性越来越大 事件发生的可能性越来越小 不可能事件 必然事件 概率的值 2.判断几个概率的大小关系 知识点二：事件的概率 1.①当实验的所有结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们用大量重复试验中随机事件发生的稳定频率来估计概率. ②频率与概率的关系：两者都能定量地反映随机事件可能性的大小，但频率具有随机性，概率是自身固有的性质，不具有随机性. 知识点三：随机事件的概率的求法 2.概率的计算公式： 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，那么出现每一种结果的概率都是 . 如果事件A包括其中的m种可能的结果，那么事件A发生的概率 P(A)= + +…+ n 1 n 1 n 1 m个 = n m 当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现的结果数目较多时,为了不重不漏的列出所有可能的结果,通常采用列表法. 一个因素所包含的可能情况 另一个因素所包含的可能情况 两个因素所组合的所有可能情况,即n 在所有可能情况n中,再找到满足条件的事件的个数m,最后代入公式计算. 列表法中表格构造特点: 当一次试验中涉及3个因素或更多的因素时,怎么办? 3.列表法 当一次试验中涉及2个因素或更多的因素时, 为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用“树状图”. 树形图的画法: 一个试验 第一个因数 第二个 第三个 如一个试验中涉及2个或3个因数,第一个因数中有2种可能情况;第二个因数中有3种可能的情况;第三个因数中有2种可能的情况. A B 1 2 3 1 2 3 a b a b a b a b a b a b n=2×3×2=12 4.树状图法 考点1：确定性事件和随机事件 【例1】（2023·武汉）掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的 是（　 　） A. 点数的和为1 B. 点数的和为6 C. 点数的和大于12 D. 点数的和小于13 B 针对训练 【对点训练】 1. （2023·徐州）下列事件中的必然事件是（　 　） A. 地球绕着太阳转 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 天空出现三个太阳 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 A 考点2：概率公式 【例2】（2023·苏州）如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（　 　） C 【对点训练】 2. （2023·连云港）如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点 P ，则点 P 落在阴影部分的概率为 （　 　） B 考点3：用频率估计概率 【例3】（2023·扬州改编）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果 如下表： 每批粒数 n 50 100 500 1 000 1 500 2 000 3 000 发芽的频数 m 44 92 463 928 1 396 1 866 2 794 发芽的频率 （精确到0.001） 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931 这种绿豆发芽的概率的估计值为 . （精确到0.01） 0.93　 【对点训练】 3. （2023·兰州改编）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的试验，整理的试验 数据如下表： 累计抛掷次数 200 500 1 000 2 000 3 000 5 000 盖面朝上次数 106 264 527 1 056 1 587 2 650 盖面朝上频率 0.530 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530 ①通过上述试验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均 匀的； ②第2 000次试验的结果一定是“盖面朝上”； ③随着试验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53. 其中正确的是 . （填序号） ①③　 下面有三个推断： 考点4：用列举法求概率 【例4】（2023·大庆）新高考“3＋1＋2”选科模式是指除语文、数 学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科， 在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科. 某同学从 4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为 ​. 【对点训练】 4. （2023·菏泽）用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两 位数，其中是偶数的概率为 ​. 考点5：用树状图法求概率 【例5】（2023·扬州）扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源. 某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从A，B，C三个景点中随机选择一个景点游览. （1）甲选择A景点的概率为 ​； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择C 景点的概率. 解：画树状图如图 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人中至少有一人 选择C景点的结果有5种， 【对点训练】 5. （2023·无锡）为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A. 宜兴竹海；B. 宜兴善卷洞；C. 阖闾城遗址博物馆；D. 锡惠公园. 抽奖规则如下： 搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票. （1）小明获得一次抽奖机会，他恰好抽到景区A门票的概率是 ​； （2）小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率. 解：画树状图如图 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他恰好抽 到景区A和景区B门票的结果有2种， （1）如图①，在一定时间段内， A ， B 之间电流能够正常通过的概率为 ​； 针对训练 考向1：跨学科综合 （2）如图②，求在一定时间段内， C ， D 之间电流能够正常通过的概率. 2. （跨学科与化学融合）在日常生活中，存在大量的物理变化与化学变化.如图，把4种生活现象写在无差别不透明卡片的正面，并背面朝上，从中随机抽取2张卡片，求抽中的2张卡片内容都属于物理变化的概率. 解：画树状图如图 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽中的2张卡片内容都属于物理变化的结果有2种，即（A，C）和（C，A）， 答图Z25－3－4 3. （概率与传统文化）欧阳修在《卖油翁》中写道：“乃取一葫芦置 于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖 油的技艺之高超.如图Z25－3－3，若铜钱半径为2 cm，中间有边长为 1 cm的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则 油恰好落入孔中的概率是 ​. 4. （概率与传统文化）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成.某同学利用七巧板拼成的正方形做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，如图所示，那么小球最终停留在阴影区域上的概率是 ​. 考向2：综合与实践 1. 【问题初试】 （1）如图①，这是一个可以自由转动的转盘，指针的位置 固定，转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域和橙色区域的概率 分别是多少？ 解：根据题意，可将转盘均分成6份， 如图（答案不唯一） 答图Z25－4－1 【拓展运用】 （3）在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平 均分为10份，1份红色，2份黄色，3份绿色，其余为白色.顾客每消费 200元可转动1次，转盘停止时，指针对准红、黄、绿区域，分别获得奖 金100元、50元、30元，求转动1次获奖金的概率. 易错点1.求事件发生的概率出错 【例1】 大双、小双的妈妈抢购到一张演唱会的门票，兄弟俩都想去， 于是小双提出用标有数字且除数字外无其他差别的小球设计一种游戏确 定谁得到门票.小双设计的方案如下：口袋中放着分别标有数字1，2，3 的三个小球，且已搅匀，大双、小双各蒙上眼睛有放回地摸1次，大双 摸到偶数就记2分，摸到奇数记0分；小双摸到奇数就记1分，摸到偶数 记0分，积分多的就得到门票.若积分相同，则重复第二次.小双设计的 游戏方案是否公平？ 错解：∵ P （大双摸到偶数）＝ P （小双摸到奇数）， ∴小双设计的游戏方案公平. 易混易错 1. 现有四张不透明且质地相同的数字卡片，卡片正面分别写有数字1， 1，3，4，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上. （1）随机抽取一张卡片，恰好得到数字1的概率为 ​； （2）班级图书角新加一本《西游记》，嘉嘉和淇淇都想看，张红用以上四张卡片设计了游戏：随机抽取一张卡片，记下数字后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张记下数字，将抽取的第一张、第二张卡片上的数字相加. 若两数之和为奇数，则嘉嘉先看；若两数之和为偶数，则淇淇先看.但嘉嘉却认为这个游戏设计得不公平，请你画树状图求出嘉嘉先看《西游记》的概率，再判断嘉嘉的说法是否正确. 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两数之和为奇数的结果有6种，两数之和为偶数的结果有6种， ∴这个游戏设计公平. ∴嘉嘉的说法不正确. 解：画树状图如图 易错点2.用频率估计概率出错 【例2】小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均 匀的正方体）试验，他们共做了60次试验，试验的结果如下表： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 7 9 6 8 20 10 （1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率； （2）小颖说：“根据试验结果，得一次试验中出现5点朝上的概率最 大”；小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100 次.”小颖和小红的说法正确吗？为什么？ 错解分析：未理清频率与概率的关系，事件的发生具有随机性，事件发 生的频率也是变化的，而概率是不变的，当试验次数足够大时，频率会 趋近于概率. 2. 在学习“概率”内容时，九（5）班的腾飞学习小组做了投掷质地均 匀的正方体骰子的试验，他们共做了120次试验，试验的结果如下表： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 20 16 18 22 30 14 （1）计算“1点朝上”的频率是 ​； （3）甲、乙两位同学各投掷一枚骰子，用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为4的倍数的概率. 解：列表如下. 甲 乙 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 1.（2023春·普陀区校级期末)将只有颜色不同的3个白球、2个黑球放在一个不透明的布袋中．下列四个选项，不正确的是( ____ ) A.摸到白球比摸到黑球的可能性大 B.摸到白球和黑球的可能性相等 C.摸到红球是确定事件 D.摸到黑球或白球是确定事件 【解析】解：A．由白球的数量比黑球多知摸到白球比摸到黑球的可能性大，此选项正确，不符合题意； B．摸到白球比摸到黑球的可能性大，此选项错误，符合题意； C．摸到红球是不可能事件，属于确定性事件，此选项正确，不符合题意； D．摸到黑球或白球是必然事件，属于确定性事件，此选项正确，不符合题意． 故选：B． B 押题预测 37 2.(2023春·浦东新区校级期末)一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于4的概率是　　． 【解析】解：∵在这6种情况中，掷的点数大于4的有2种结果， ∴掷的点数大于4的概率为 = ， 故答案为： ． 38 3.2022春·长宁区校级期末)将分别标有数字1、2、3的3个质地和大小完全相同的小球装在一个不透明的口袋中． (1)若从口袋中随机摸出一个球，其标号为奇数的概率为多少？ (2)若从口袋中随机摸出一个球，放回口袋中搅匀后再随机摸出一个球，试求所摸出的两个球上数字之和等于4的概率(用树状图或列表法求解)． 【解析】解：(1)P(标号为奇数)= ； (2)列表如下： 1 2 3 1 (1，1) (1，2) (1，3) 2 (2，1) (2，2) (2，3) 3 (3，1) (3，2) (3，3) 共有9种等可能的结果，其中所摸出的两个球上数字之和等于4(记为事件A)的有3种， 所以，P(A)= ． 39 A. B. C. D. A. B. C. D. 　 　 　 ∴甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率为 . 　 ∴他恰好抽到景区A和景区B门票的概率为 ＝ . 1. （跨学科与物理融合）已知电流在一定时间段内正常通过电子元 件 的概率是 . （提示：在一次试验中，每个电子元件的状态有两种 可能：通电、断开，并且这两种状态的可能性相等） 　 解：画树状图如答图Z25－3－3. 由树状图可知，共有4种等可能的结果， C ， D 之间两个元件中至少有一个元件通电时电流就能 正常通过，则 C ， D 之间的电流能正常通过的 结果有3种， ∴ C ， D 之间电流能正常通过的概率为 . ∴抽中的2张卡片内容都属于物理变化的概率为 ＝ . 　 　 解： P （蓝色区域）＝ ＝ ， P （橙色区域）＝ ＝ . 【类比设计】 （2）在元旦晚会上，班长想设计这样一个摇奖转盘：自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针落在红色区域（三等奖）的概率为 ，指针落在白色区域（二等奖）的概率为 ，指针落在黄色区域（一等奖）的概率为 .请你帮忙在图②中设计； 则红色占6× ＝3（份）；白色占6× ＝2（份）；黄色占6× ＝1（份）. 解：P （获奖金）＝ ＝ . 错解分析：不能从“摸到偶数”“摸到奇数”的角度考虑，因为“摸到 偶数”“摸到奇数”的积分不一样，应从积分多少的角度来判断. 正解：小双设计的游戏方案不公平.可能出现的所有结果画树状图如图 Z25－1－1. 由树状图可知，共有9种等可能的结果， 其中小双积分多的结果有4种， 大双积分多的结果有3种， ∴ P （大双得到门票）＝ ＝ ，P （小双得到门票）＝ . ∵ ＜ ，∴小双设计的游戏方案不公平. 　 ∴ P （嘉嘉先看《西游记》）＝ ＝ ， P （淇淇先看《西游记》）＝ ＝ . ∵ ＝ ， 错解：（1）“3点朝上”出现的频率是 ＝ ，“5点朝上”出现的频 率是 ＝ . （2）∵“5点朝上”的频率最大， ∴出现5点朝上的概率最大， ∴小颖的说法正确. ∵60次试验中有10次6点朝上， ∴投掷600次，出现6点朝上的次数正好是100次. ∴小红的说法正确. 正解：（1）“3点朝上”出现的频率是 ＝ ，“5点朝上”出现的频 率是 ＝ . （2）小颖的说法错误.这是因为“5点朝上”的频率最大并不能说明“5 点朝上”这一事件发生的概率最大.只有当试验次数足够大时，该事件 发生的频率才稳定在事件发生的概率附近. 小红的说法错误.因为事件发生具有随机性，故出现6点朝上的次数不一 定是100次. 　 （2）在小组交流讨论时，小明说：“根据试验结果，估计投掷正方体 骰子得到5点朝上的概率是 ”，小明的说法正确吗？为什么？ 解：小明的说法不正确. 理由如下： 因为5点朝上的频率为 ，不能说明5点朝上这一事件发生的概率就是 ，只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率才稳定在事件发生 的概率附近，才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率. 由表可知，共有36种等可能的结果，其中两枚骰子朝上的点数之和为4 的倍数的结果有9种， ∴两枚骰子朝上的点数之和为4的倍数的概率为 ＝ . $$