专题03 四边形（考点串讲，8考点+6专项+4易错）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版）

八年级数学下学期·期末复习大串讲 专题03 四边形 （8考点+6专项+4易错） 沪教版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 八大常考点：知识梳理+针对训练 六大专项突破 四大易错易混经典例题+针对训练 精选5道期末真题对应考点练 多边形的性质 内角和 n 边形内角和为 . 外角和 任意多边形的外角和为 。 (n－2)·180° 360° 知识点一：多边形有关概念 正多边形 定义 各个角________，各条边________的多边形叫正多边形 对称性 正多边形都是________对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形 相等 相等 轴 两条对角线互相垂直平分 且相等，每条对角线平分 一组对角. 平行 四边形 矩 形 菱 形 正方形 边 对边平行 且相等 . 对边平行 且相等. 对边平行， 四条边 都相等. 角 对角相等. 四个角 都是直角. 对角相等. 四个角 都是直角. 对 角 线 两条对角线互相平分. 两条对角线互相平分且相等. 两条对角线互相垂直平分， 每条对角线平分一组对角. 对称性 中心对称. 轴对称， 中心对称. 轴对称， 中心对称. 轴对称， 中心对称. 对边平行， 四条边 都相等. 知识点二：平行四边形 1、梯形：是指一组对边 而另一组对边 的四边形；或指一组对边 且 的四边形。 2、特殊的梯形有： 、 。 3、梯形的中位线：连接梯形两腰的 的线段。梯形中位线的长度等于 。 4、三角形 中位线：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半. 平行 不平行 平行 不相等 等腰梯形 直角梯形 中点 两底和的一半 知识点三：梯形 5.等腰梯形的性质与判定： 边的关系 角的关系 对角线 对称性 性质 两底 2.两腰 同一底上的两个角 2.不在同一底上的角 两条对角线 对称图形。 判定 两腰 的梯形 同一底上的两个 角 的梯形 两条对角线 的梯形 相等 平行 相等 互补 相等 轴 相等 相等 相等 6.解决梯形问题的基本思路和方法： 通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为平行四边形和三角形的问题来解决。 常画的辅助线有以下几种： B A D C E 作一腰平行线 B A D C E F 作高线 E B A D C 延长两腰 B C D A O E 作对角线的平行线 向量：既有大小、又有方向的量. 几何表示： 有向线段 A B 符号语言： ， 模： ， 位置向量 自由向量 相等向量 相反向量 平行向量 向量的模型——位移 从始点A出发到终点B的过程中的位移为 . 位移由运动过程中的始点和终点确定，而与运动的路径无关. 知识点四：平面向量 一、向量加法的运算（作图）法则： 二、向量减法的运算（作图）法则： 1、三角形法则，（起点和终点重合） 2、多边形形法则（首尾依次相连接） 1、三角形法则（共起点，尾相连） 3、平行四边形法则（共起点，做平行四边形） 2、平行四边形法则（共起点，做平行四边形） 以共起点为起点的对角线向量，就是a，b的和向量； 与被减向量共终点的对角线向量，就是a，b的差向量。 平面向量的加减 1.[2024云南] 一个七边形的内角和等于( ) B A. B. C. D. 针对训练 考点1： 多边形的有关概念 2.一个多边形所有内角与外角的和为 ，则这个多边形的边数是___. 8 10 考点2：平行四边形的性质与判定 3． 在▱ABCD中，∠B＋∠D＝100°，则∠A等于( ) A． 50° B． 130° C． 100° D． 65° 4． 如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则AB的长为( ) A． 5 B． 6 C． 10 D． 11 A B 5． 如图，在▱ABCD中，AC＝6，E是AD上一点，△DCE的周长是▱ABCD的周长的一半，且EC＝4，连接EO，则EO的长为( ) A． 3 B． 5 C． 2 D． D 6． 如图，a∥b，点A，B分别在直线a，b上，∠1＝45°，点C在直线b上，且∠BAC＝105°．若a，b之间的距离为3，则线段AC的长度为　 　．  　6　 7． 在四边形ABCD中，已知∠A＋∠B＝180°，请添加一个条件： 　 　，使得四边形ABCD为平行四边形．(写出一个即可)  　AD＝BC(答案不唯一)　 8． (2023·镇江)如图，B是AC的中点，点D，E在AC同侧，且AE＝BD，BE＝CD． (1)求证：△ABE≌△BCD； (2)连接DE，求证：四边形BCDE是平行四边形． 证明：(1)∵B是AC的中点，∴AB＝BC． 在△ABE和△BCD中，∴△ABE≌△BCD(SSS)． (2)∵△ABE≌△BCD，∴∠ABE＝∠BCD．∴BE∥CD． 又∵BE＝CD，∴四边形BCDE是平行四边形． 9． 如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． (1)BE与CD有怎样的数量关系？请说明理由； (2)若BF恰好平分∠ABE，连接AC，DE，求证：四边形ACED是平行四边形． (1)解：BE＝CD． 理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD．∴∠DAE＝∠BEA． ∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE． ∴∠BEA＝∠BAE．∴BE＝AB．∴BE＝CD． (2)证明：由(1)知BE＝AB，∠DAF＝∠CEF， 又∵BF平分∠ABE，∴AF＝EF． 在△ADF和△ECF中， ∴△ADF≌△ECF(ASA)．∴DF＝CF． 又∵AF＝EF，∴四边形ACED是平行四边形． 9． 如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． (1)BE与CD有怎样的数量关系？请说明理由； (2)若BF恰好平分∠ABE，连接AC，DE，求证：四边形ACED是平行四边形． 考点3：三角形的中位线 10． 如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点．若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为( ) A． 45°　 B． 50°　 C． 60°　 D． 65° D 11． 如图，已知△ABC为等腰三角形，AB＝AC，D，E，F分别为△ABC各边中点，下列说法错误的是( ) A． DE＝DF B． EF＝BC C． S△DEF＝S△ABC D． AD⊥EF C 考点4：矩形的性质与判定 12． 下列说法不正确的是( ) A． 有一个角为直角的平行四边形是矩形 B． 有三个角为直角的四边形是矩形 C． 对角线相等的平行四边形是矩形 D． 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 13． 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝4 cm，则AB＝　 　cm，矩形ABCD的面积为　 　cm2．  　2　 D 4 14． 如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，∠BAD的平分线交BC于点E，则DE＝　 　．  15． 如图，请添加一个条件使▱ABCD成为矩形，这个条件可以是 　 　．(写出一个即可)  2 AC＝BD(答案不唯一) 16． 如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM＝CM＝5，有以下三个选项：①M为AD的中点；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4，请从中选择一个合适的选项作为条件，使▱ABCD为矩形． (1)你选择的条件是　 　(填序号)，并证明▱ABCD为矩形；  (2)若AM＝3，求矩形ABCD的面积． 　①或②　 (1)证明：以条件②为例．∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC．∴∠A＋∠D＝180°． 在△ABM和△DCM中， ∴△ABM≌△DCM(SAS)．∴∠A＝∠D＝90°．∴▱ABCD为矩形． 16． 如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM＝CM＝5，有以下三个选项：①M为AD的中点；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4，请从中选择一个合适的选项作为条件，使▱ABCD为矩形． (1)你选择的条件是　 　(填序号)，并证明▱ABCD为矩形；  (2)若AM＝3，求矩形ABCD的面积． 　①或②　 (2)解：由(1)知△ABM≌△DCM，∴DM＝AM＝3． ∴AD＝6．∵∠A＝90°，BM＝5， ∴AB＝＝4． ∴矩形ABCD的面积为AD·AB＝6×4＝24． 17． 如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF． (1)求证：四边形BFDE是矩形； (2)若∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，AD＝4，求DC的长． (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB． ∵CF＝AE，∴DF＝BE． ∴四边形BFDE是平行四边形． 又∵DE⊥AB，∴四边形BFDE是矩形． 17． 如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF． (1)求证：四边形BFDE是矩形； (2)若∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，AD＝4，求DC的长． (2)解：∵∠DAB＝60°，AD＝4，DE⊥AB， ∴∠ADE＝30°．∴AE＝AD＝2． ∵AB∥DC，∴∠DFA＝∠BAF． ∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF． ∴∠DFA＝∠DAF．∴DF＝DA＝4． 又∵CF＝AE＝2，∴DC＝DF＋CF＝6． 考点5：菱形的性质与判定 18． (2024·通辽)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是( ) A． ∠BAC＝∠BCA　 B． ∠ABD＝∠CBD C． OA2＋OB2＝AD2 D． AD2＋OA2＝OD2 D 19． 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AC＝5，则菱形ABCD的周长是( ) A． 10 B． 15 C． 20 D． 30 C 20． 菱形ABCD的周长为24 cm，其中一条对角线的长为8 cm，则菱形ABCD的面积为( ) A． 8 cm2 B． 16 cm2 C． 32 cm2 D． 48 cm2 21． (2023·齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD中，已知AD＝BC，AC⊥BD于点O，请添加一个条件：　 　，使四边形ABCD为菱形．(写出一个即可)  　AD∥BC(答案不唯一)　 B 22． 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，延长ED至点F，使DF＝DE，连接AE，AF，CF． (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)若BE＝1，CE＝4，求EF的长． (1)证明：∵D是AC的中点， ∴AD＝CD． 又∵DF＝DE， ∴四边形AECF是平行四边形． 又∵DE⊥AC， ∴四边形AECF是菱形． (2)解：∵四边形AECF是菱形， ∴AE＝CE＝4． ∵BE＝1，∴BC＝5． 在Rt△ABE中，由勾股定理，得 AB＝． 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC＝＝2． ∵S菱形AECF＝EF·AC＝CE·AB， ∴EF×2＝4×． ∴EF＝2． 23． 如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD交于点M，与BD交于点O，与BC交于点N，连接BM，DN． (1)求证：四边形BMDN是菱形； (2)若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的面积． (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥CB．∴∠ODM＝∠OBN． ∵MN垂直平分BD，∴OD＝OB，DM＝BM，BN＝DN． 在△ODM和△OBN中， ∴△ODM≌△OBN(ASA)． ∴DM＝BN． ∴DM＝BM＝BN＝DN． ∴四边形BMDN是菱形． 23． 如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD交于点M，与BD交于点O，与BC交于点N，连接BM，DN． (1)求证：四边形BMDN是菱形； (2)若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的面积． (2)解：∵∠A＝90°，AB＝4，AD＝8，∴AM＝8－DM． 由(1)知DM＝BM，在Rt△BAM中，AB2＋AM2＝BM2， 即42＋(8－DM)2＝DM2．解得DM＝5． ∵AB⊥DM，∴S菱形BMDN＝DM·AB＝5×4＝20． ∴菱形BMDN的面积为20． 考点6：正方形的性质与判定 24． 下列条件中能判断一个四边形是正方形的是( ) A． 对角线互相垂直且相等 B． 一组对边平行且相等，有一个内角为90° C． 对角线平分每一组对角 D． 四边相等且有一个角是直角 D 25． 如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，连接BE，AC交于点G，则∠AGE的度数为( ) A． 15° B． 45°　 C． 60° D． 90° C 26． 如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A(－2，0)，B(1.5，－2)，则点D的坐标为　 　．  　(0，3.5)　 27． 如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G． (1)求证：四边形OGCF是正方形； (2)若∠BAC＝60°，AC＝4，求正方形OGCF的边长． (1)证明：如图，过点O作OH⊥AB于点H． ∵OF⊥AC，OG⊥BC，∴∠OFC＝∠OGC＝90°． 又∵∠C＝90°，∴四边形OGCF是矩形． ∵AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的平分线，OF⊥AC，OG⊥BC，OH⊥AB，∴OF＝OG＝OH． ∴四边形OGCF是正方形． (2)解：在Rt△ABC中，∠BAC＝60°， ∴∠ABC＝90°－∠BAC＝30°． ∴AB＝2AC＝2×4＝8． ∴BC＝＝4． 由(1)知OH＝OF，在Rt△AOH和Rt△AOF中， ∴Rt△AOH≌Rt△AOF(HL)． ∴AH＝AF． 同理可得，Rt△BOH≌Rt△BOG(HL)． ∴BH＝BG． 设正方形OGCF的边长为x， 则AH＝AF＝4－x，BH＝BG＝4－x．∵AH＋BH＝AB， ∴4－x＋4－x＝8． 解得x＝2－2．∴正方形OGCF的边长为2－2． 28． 如图，在四边形ABFC中，CF∥AB，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E． (1)求证：四边形BECF是菱形； (2)当∠A为多少度时，四边形BECF是正方形？请说明理由； (3)在(2)的条件下，若AC＝4，求四边形ABFC的面积． (1)证明：∵EF垂直平分BC， ∴BF＝CF，BE＝CE． ∴∠FCB＝∠FBC． ∵CF∥AB，∴∠FCB＝∠CBE． ∴∠FBC＝∠CBE． 又∵BD＝BD，∠FDB＝∠EDB＝90°， ∴△FDB≌△EDB(ASA)． ∴BF＝BE． ∴BF＝CF＝BE＝CE． ∴四边形BECF是菱形． (2)解：当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形． 理由如下： ∵四边形BECF是菱形，要使得四边形BECF是正方形，则∠CEB＝90°． 又∵BE＝CE， ∴△BCE是等腰直角三角形，即∠CBE＝45°． ∵∠ACB＝90°，∴∠A＝45°． ∴当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形． (3)解：由(2)知，四边形BECF是正方形，△ACE是等腰直角三角形， ∵AC＝4，∴CE2＋AE2＝42，即2CE2＝16． 解得CE＝AE＝2． ∴S四边形ABFC＝S正方形BECF＋S△ACE ＝CE2＋AE·CE ＝(2)2＋×(2)2 ＝12． 29.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F分别是AD、BC的中点，如果AB=2，EF=3，那么CD= ____ ． 【解析】解：在梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F分别是AD、BC的中点， ∴EF是梯形ABCD的中位线， ∴EF= (AB+CD)， ∴CD=2EF-AB=6-2=4． 故答案为：4． 4 考点7：梯形 41 30.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=90°，AB=AC，对角线AC与BD相交于点O，且BD=BC，那么∠AOB= ____ 度． 【解析】解：如图，作AF⊥BC于F，DE⊥BC于E， 在Rt△ABC中， ∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴BC= AB，AF= AB，∴AF= BC． 又∵DE=AF，∴DE= BC= BD，∴ = ， ∴∠1=30°，∴∠BOC=180°-30°-45°=105°， ∴∠AOB=180°-∠BOC=180°-105°=75°， 故答案为：75． 75 42 解：由题意得：∠BDE=45o， ∴△BDE是等腰直角三角形． 过点A作AG⊥BC于点G． 可得四边形AGED为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）． ∴AD=GE=2． 可得△ABG≌△DCE． ∴BG=CE=3． ∴BE=5． 45° 45° 2 8 ┌ ┌ G 2 3 3 F E D C B A 31.已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC＝45°，将等腰梯形ABCD沿着折痕EF翻折，使点B与点D重合，折痕EF交边BC于E，边AB于F．若AD＝2，BC＝8． 求：BE的长． 32.下列等式中不正确的是( ____ ) A. B.-(- )= C.( + )+ = +( + ) D. +(- )= - 【解析】解：A、 ，符合题意； B、-(- )= ，不符合题意； C、( + )+ = +( + )，不符合题意； A D、 +(- )= - ，不符合题意． 故选：A． 考点8：平面向量 44 33.如图，已知在△ABC中，点D是边AC的中点，设 ，用向量 、 表示向量 =　　． 【解析】解：∵点D是边AC的中点， ∴ ， 又∵ ， ∴ =- ， 故答案为：- ． 45 判定平行四边形的五种常用方法 专项突破一 46 方法一 利用两组对边分别平行判定平行四边形 1.如图，在中，，分别为，上的点，且 ，连 接，，，，与相交于点，与相交于点 . 求证：四边形 为平行四边形. 证明： 四边形 是平行四边形， , . , 四边形为平行四边形. . ,即 , 四边形为平行四边形. . 四边形 为平行四边形. 47 方法二 利用两组对边分别相等判定平行四边形 2.如图，在四边形中，， ， 点在上，点在上，， 与对角线 相交于点.求证：是 的中点. 证明：连接， .， ， 四边形是平行四边形. . ，,即 . 又， 四边形 是平行四边形. ，即是 的中点. 48 3.如图，已知，， 都是等边三角形.求证：四边形 是平行四边形. 证明：，, 都是等边三角形， ，，， . , 即 . . 同理可证, . 四边形 是平行四边形. 49 方法三 利用一组对边平行且相等判定平行四边形 4.如图，在中，点， 分别是边 ，的中点，求证： . 证明： 四边形 是平行四边形， ， . 点,分别是边，的中点， 易得 ， 四边形是平行四边形， . 50 5. 如图，点， 分别在 的边，上， ， ，连接， .求证：四边形 是平行四边形. 证明： 四边形 是平行四边形， ， . ，， . 又， 四边形 是平行四边形. 51 方法四 利用两组对角分别相等判定平行四边形 6. 如图，在中，平分，交于点 ， 平分，交于点，那么四边形 是平行四边形吗？请说 明理由. 解：四边形 是平行四边形. 理由： 四边形 是平行四边形， ， . 平分，平分 , ， . . , , 四边形 是平行四边形. 52 7.如图，在中， ，点，分别在， 的延长 线上，且， . （1）求证：四边形 是平行四边形； 证明： 四边形 是平行四边形， ， . , . 又， ， ， 是等边三角形. ， . . 四边形 是平行四边形. 53 （2）若去掉已知条件的“ ”，上述结论还成立吗？若成立， 请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 解：上述结论还成立.证明如下： 四边形 是平行四边形， ，，， . . ，，， . . 又，， . ， .，， 即 . 四边形 是平行四边形. 54 方法五 利用对角线互相平分判定平行四边形 8.如图①，在中，点是对角线的中点，过点，与 ， 分别相交于点，，过点，与，分别相交于点， ，连 接，，， . 55 （1）求证：四边形 是平行四边形； 证明： 四边形 是平行四边形， . 是的中点， . 在和中， . 同理可得， 四边形 是平行四边形. 56 （2）如图②，若， ，在不添加任何辅助线的情况下， 请直接写出图②中与四边形 面积相等的所有平行四边形 （四边形 除外）. 解：与四边形面积相等的平行四边形有, , , . 57 三角形中位线的构造方法 专项突破二 58 类型一 已知双中点（连接两中点或第三边） 1.[2024·济宁期末] 如图，在四边形中，点，分别是边 ， 的中点，，，， ，则 的 度数为( ) B A. B. C. D. 59 2.如图，在中，是上的一点，,,, 分别是,,, 的中点. 求证：, 互相平分. 证明：连接，， . ,,,分别是,,, 的中点， ,,即 , 四边形 为平行四边形. ,为 的对角线, , 互相平分. 60 类型二 已知单中点（取另一边的中点并连接两中点） 3.如图，在四边形中， 为对角线， ，，，分别是边， 的 中点，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 61 [解析] 点拨：如图，取的中点，连接 ， ， ，分别为， 的中点， 是的中位线， ， 同理可得 ， 在中， ， 即 ， 当点在上时，， . 62 4.如图，在中，,于点，是 的中点， 延长交于点，则 ___. 4 （第4题） 63 [解析] 点拨：取的中点，连接,过点作，交 的延 长线于点 . ，,是 的中点. 又是 的中点， 是的中位线， . 又， 四边形 是平行四边形， . 为的中点，, . 易证, , . 64 5.如图，在中，是的中点，是的中点，交于点 ， 若，则 __. （第5题） 65 [解析] 点拨：取的中点,连接, . 是的中点,是 的中点， 是的中位线., . 四边形是平行四边形，, . ， . 是的中点, . 四边形 是平行四边形. . ,是的中点,. . 66 6.[2024·杭州一模] 如图，在中，，， ， ，分别为边，上的点，，分别为 ，AB的中点.若 ，则 的长为____. 67 [解析] 点拨：如图，连接，取的中点 ， 连接， ， 在中，,, ， , , , . ,分别为， 的中点， 是 的中位线， , 68 , , ,同理可得, , , , . 类型三 已知角平分线+垂直（延长相关线段） （第7题） 7.如图，在中， ， 平分 ，，垂足为，点为 的中点， 连接，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 70 [解析] 点拨：延长与相交于点 ， ，平分 ， . ， . 又, . , , . . 为的中点， , 是的中位线， ， . 71 （第8题） 8.[2024·合肥期末] 如图，在中，, 分别是,的平分线， 于点 ，于点，连接 的周长 为30，，则 的长是( ) D A.15 B.9 C.6 D.3 [解析] 点拨：的周长为30， , . 72 如图,延长，，分别交于点， ， 为的平分线， , 易得， . 为的平分线， , 易得, , . ,,为 的中位 线， . 73 中点四边形 专项突破三 74 类型一 一般四边形的中点四边形是平行四边形 1.如图，在四边形中，,,,分别是, , , 的中点. （1）求证：四边形 是平行四边形； 证明：,,,分别是，,, 的中点， ,,, ， ,, 四边形 是平行四边形. （2）若,则 ___. 4 75 类型二 对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形 2.[2024· 温州鹿城区月考] 如图，在四边形中，对角线， 互相垂直，点，，，分别是边,,, 的中点，依次连接这 四个中点得到四边形 . 76 （1）求证：四边形 是矩形； 证明：设,交于点，,交于点 ， 点，分别是边， 的中点， , ， 同理:,，, , 四边形 是平行四边形. ， ， 易得 ， 四边形 是矩形. （2）若,，则四边形 的周长为____. 16 77 类型三 对角线相等的四边形的中点四边形是菱形 3.[2024· 荆州期末] 顺次连接下列四边形各边中点所构成的四边形中， 为菱形的是( ) B ①平行四边形；②矩形；③菱形；④对角线相等的四边形；⑤对角线互 相垂直的四边形. A.①④ B.②④ C.②⑤ D.③⑤ 78 类型四 对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形 4.[2024· 秦皇岛期末] 阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图①，我们把一个四边形的四边 中点，，，依次连接起来得到的四边形 是平行四边形吗？ 小敏在思考问题时，有如下思路：连接 . 79 结合小敏的思路作答： （1）若只改变图①中四边形的形状（如图②），则四边形 还是平行四边形吗？请说明理由. 参考小敏思考问题的方法，解决以下问题： 解：四边形 还是平行四边形. 理由：连接 . ，分别是边， 的中点， ， . 同理得， ， ，， 四边形 是平行四边形. 80 （2）如图②，在（1）的条件下，若连接，，当与 满足什 么关系时，四边形 是正方形？直接写出结论. 解：结论：当且时，四边形 是正方形. 81 正方形的几个常考模型 专项突破四 82 模型一 十字架模型 【模型分析】 模型图 _________________________________________________________________________________ 模型归纳 在正方形中，图①： ；图②： ；图③： 83 1.如图①，在正方形中，点为边上一点，连接，点 在边 上运动. （1）如图②，当点和点重合时，过点作的垂线，垂足为点 ， 交直线于点.请直接写出与 的数量关系：__________； 84 （2）如图③，过点作的垂线，垂足为点，交直线于点 ，试 证明（1）中的结论仍成立. 证明：如图，过点作于点，交于点 . ， . 四边形是正方形， . 四边形是平行四边形. . 四边形 是正方形， ， . . 85 ， ，， . 在和中， . .又， . 模型二 中心直角模型 【模型分析】 模型图 ______________________________________________________________________________ 模型归纳 在正方形中，对角线,交于点，若 为直 角，则，， 是等腰 直角三角形， 87 2.如图，已知四边形是正方形，对角线，相交于，设 ， 分别是，上的点，若 ，，求四边形 的面积. 88 解： 四边形是正方形，，是对角线， ， ， ， ， . 又 ， 易得 . 在和中， ， . . 89 模型三 外角平分线模型 【模型分析】 模型图 ___________________________________________________________________________________________________ 模型归纳 方法：在上截取 . 点在正方形的边上运动，若 ， 平 分，则，， 90 3.如图①，四边形是正方形，点是边的中点， ， 且交正方形外角的平分线于点.求证：.（提示：取 的 中点，连接 .） （1）请思考，提示中添加辅助线的意图是得到条件：_________； 91 （2）如图②，若点是边上任意一点（不与， 重合），其他条件 不变.求证： . 证明：在边上截取，连接 . 四边形 是正方形， ， . ，， 是等腰直角三角形， 92 ， . 平分正方形的一个外角， , , . ， . ， ， ， . 93 模型四 半角模型 【模型分析】 模型图 ________________________________________________________________________ 模型归纳 方法：旋转到 的位置. 在正方形中，若 ，则 ， 平分，平分 ， ，， 94 4.如图，在正方形中，点，分别在， 上， 连接，，， .若 ，则 等于( ) A A. B. C. D. 95 5.如图，在边长为6的正方形 内作 ，交 于点，交于点 ，连接，将绕点顺时针 旋转 得到.若，求 的长. 解：由题意得 ,,, . 四边形是正方形， , 又 , , , . 在和中， , . 96 设，则, . . ,, . ，,解得,即 . 5.如图，在边长为6的正方形 内作 ，交 于点，交于点 ，连接，将绕点顺时针 旋转 得到.若，求 的长. 特殊平行四边形的折叠问题 专项突破五 98 类型一 矩形的折叠 （第1题） 1.如图，在矩形中，点在边 上，将矩 形沿直线折叠，点恰好落在边 上的 点处.若,,则 的长是( ) C A.7 B.8 C.9 D.10 99 （第2题） 2.[2024· 青岛一模] 如图，在矩形纸片 中，，，将纸片折叠，使点 与点 重合，折痕为，点的对应点为点 ，连接 ，则图中阴影部分的面积是( ) D A.5 B.3 C. D. 100 （第3题） 3.[2024· 石家庄长安区一模] 如图，在矩形 中，点，，分别在边，， 上，将矩形分别沿，， 折叠，使点 ，恰好都落在点处，点落在点 处.有以 下结论： Ⅰ：若点落在上，则 ； Ⅱ：若点与点重合，则 . 下列判断正确的是( ) C A.Ⅰ，Ⅱ都正确 B.Ⅰ，Ⅱ都不正确 C.只有Ⅰ正确 D.只有Ⅱ正确 101 4.[2024· 威海] 将一张矩形纸片（四边形 ）按如图所示的方式对 折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处， 交 于点.若，，，则 __. （第4题） 102 [解析] 点拨：四边形 是矩形， . . 在中， . 由折叠得， ， ， , ， . 又， ， 103 ， . 易知， ， ， ， 设，则 ， 在中， ， 即，解得，即 . 5.[2024· 湖州南浔区二模] 数学兴趣小组在对一张矩形纸片进行折叠的 时候发现了很多有趣的数学问题，他们决定对折叠中产生的一系列问题 进行研究探索.已知矩形纸片的边长， ，折 痕始终经过点 . 105 折法一 折法二 ___________________________ _____________________________ 如图①，点在 上运动，将矩 形沿着 向上折叠，使得 点恰好落在对角线上的点 处 如图②，当点运动到点 处时，将 矩形沿着对角线 向上折 叠，使得点落在点处，交 于点 请根据以上信息，完成下列问题： （1）折法一中 的长为______. 106 （2）请根据折法二完成下列任务： ①任务一：求证： 是等腰三角形； ②任务二：计算 的长度. [答案] ①证明： 四边形 是矩形， ， . 由折叠得， ， ， 是等腰三角形. 107 ②解： 四边形 是矩形， ， . 由折叠得， . 又， . 设，则 ， 在中， ， 即，解得， . 108 类型二 菱形的折叠 6.如图，把菱形沿折叠，使 点落在 上的点处，若 ，则 的大小 为( ) A A. B. C. D. 109 7.如图，有一张菱形纸片， ，折叠 该纸片，使得点,均与点重合，折痕分别为 ， .设两条折痕的延长线交于点 .求证：四边形 是菱形. 证明: 四边形 是菱形， ,，, . 由折叠可知, , , . . 又 , ， , , , 110 四边形 是平行四边形. , . 又 , ， ， , 四边形 是菱形. 类型三 正方形的折叠 8.甲、乙两人各用一张正方形的纸片（如图①）折出一个 的 角，两人做法如下： 112 甲：如图②，将纸片沿对角线折叠，使点落在点处，则 . 乙：如图③，将纸片沿，折叠，分别使点，落在对角线 上 的点处，则 . 对于两人的做法，下列判断正确的是( ) A A.甲、乙都对 B.甲对，乙错 C.甲错，乙对 D.甲、乙都错 113 9.[2024· 无锡期中] 如图，在正方形中，，点在 上， 且，将沿折叠，得到，延长交于点 ， 连接，则 ___. 6 114 [解析] 点拨：在正方形中， ， ， 由折叠可知，， ， ， . 又 ， ， . ，,， . 设，则， . ， ， ，即 . 115 10.如图①，将正方形纸片 对折， 使得边与 重合，展开铺平，折痕 为.然后将正方形纸片沿着过点 的直 线折叠，此时点恰好落在折痕 上的 点处，展开铺平，折痕为,设 与 交于点，连接 ，如图②. （1）若正方形的边长为6，求 的长； 解:由折叠可知， . ， . 116 （2）求证：四边形 是菱形. 证明:由折叠可得, , . . . 又 , 四边形 是平行四边形. 又, 四边形 是菱形. 117 特殊平行四边形的动态问题 专项突破六 118 类型一 矩形中的动态问题 1.如图，在矩形中，，，， 是对角线上的两个动点，分别从， 同时出发 相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为 秒，其中 . （1）若，分别是， 的中点，则四边形 四边形一定是平行四边形 一定是怎样的四边形（， 相遇时除外）？ 答：_____________________________； 119 （2）在（1）的条件下，若四边形为矩形，求 的值. 解：连接，由题意易得， ， 四边形是平行四边形. . ， . 120 ①如图①，当四边形 是矩形 时， ， ， ， ； ②如图②，当四边形 是矩形 时， ， ， ， . 综上，当四边形为矩形时，或 . 121 类型二 菱形中的动态问题 2.如图，在菱形中， ，，点，分别为 ， 上的动点， ，点从点向点 运动的过程中， 的长度( ) D A.逐渐增加 B.先减小再增加 C.恒等于9 D.恒等于6 122 [解析] 点拨：连接 ， 四边形 是菱形， ， ， ， 是等边三角形， ， . ， ， ， 又, ， ， . ， . 123 类型三 正方形中的动态问题 3.如图，在边长为3的正方形 中，是线段 上的一个动点，连 接，以为边作正方形 （点在边 所在直线的上方）， 连接 . （1）如图①，当点与点重合时， 的长为_____； 124 （2）如图②，当点与点重合时，嘉嘉说：“此时 .”淇淇说： “此时正方形的面积与正方形的面积的比为 .”请选 择其中一人的说法进行证明. 解：选择嘉嘉的说法.证明： 四边形， 都是正方形， , , , ， . ， ， ，即 . 选择淇淇的说法.证明：易得, , ， . （选择一种进行证明即可） 125 易错点1.因混淆判定定理致错 【例1】下列说法正确的是 (　　) A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D.四个角相等的四边形是矩形 易混易错 错解：A或B或C. 错解分析：因混淆四边形的判定定理导致误解，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A错误，不符合题意；四条边都相等的四边形是菱形，故B错误，不符合题意；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C错误，不符合题意；四个角相等的四边形是矩形，故D正确，符合题意. 正解：D. 【针对训练】下列命题，其中是真命题的是( ) A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B.有一个角是直角的四边形是矩形 C.对角线互相垂直的矩形是正方形 D.对角线互相平分的四边形是菱形 C 易错点2.对平行四边形的判定定理不理解 【例2】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，试着再添加一个条件： 　　　　　，使四边形ABCD为平行四边形.  错解：∠3＝∠4或AB＝CD. 错解分析：由题意可知，四边形已经有一组对边平行，所以只要这组对边相等或另一组对边平行即可.而错解中由∠3＝∠4推出的还是已知的AD∥BC，所以添加的这个条件是无效的.相反，添加∠1＝∠2是可行的，因为由∠1＝∠2可推出AB∥CD，此时利用两组对边分别平行的判定定理即可.错解中的AB＝CD也不行，等腰梯形就是一个反例. 正解： ∠1＝∠2或AB∥CD等. 【针对训练】已知四边形ABCD是平行四边形，M，N分别是直线AD，BC上的点(不与点A，B，C，D重合).请在图中画出你设计的图形，并添加一个适当的条件：　 　(写出一个即可)，使得点M，N与▱ABCD的两个顶点组成的四边形是一个平行四边形，并说明理由.  AM＝CN(答案不唯一)　 解：如图，添加AM＝CN. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC. ∴AD－AM＝BC－CN，即DM＝BN. 又∵DM∥BN， ∴四边形MBND是平行四边形. 易错点3.因缺少分类讨论致错 【例3】在▱ABCD中，∠DAB的平分线交直线CD于点E，且DE＝5，CE＝3，则▱ABCD的周长为　　　　.  错解：26. 错解分析：本题错误原因是只考虑了当点E在线段DC上的情况，忽略了点E在线段DC的延长线上的情况. 正解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC. ∴∠BAE＝∠DEA. ∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE. ∴∠DAE＝∠DEA. ∴AD＝DE＝5. 当点E在线段DC上时，如图①， 此时▱ABCD的周长为2(AD＋CD)＝2(DE＋DE＋CE)＝2×(5＋5＋3)＝26； 当点E在DC的延长线上时，如图②， 此时▱ABCD的周长为2(AD＋CD)＝2(DE＋DE－CE)＝2×(5＋5－3)＝14. 综上所述，▱ABCD的周长为26或14. 故答案为：26或14. 【针对训练】在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，求BC的长. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝6， ∴CD＝AB＝6，BC＝AD，AD∥BC. ∴∠AFB＝∠CBF. ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF. ∴∠AFB＝∠ABF. ∴AF＝AB＝6. 同理可得，DE＝DC＝6. 当点E在点F左侧时，如答图D18－1－2①. ∵EF＝2， ∴AE＝AF－EF＝6－2＝4. ∴BC＝AD＝AE＋DE＝4＋6＝10； 当点E在点F右侧时，如答图D18－1－2②. ∵EF＝2， ∴AE＝AF＋EF＝6＋2＝8. ∴BC＝AD＝AE＋DE＝8＋6＝14. 综上所述，BC的长为10或14. 答图D18－1－2 易错点4.因逻辑不严谨致错 【例4】如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，OE⊥AD于点E，OF⊥BC于点F.求证：OE＝OF. 错解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC. ∵OE⊥AD，OF⊥BC，∴∠AEO＝∠CFO＝90°. 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF(AAS). ∴OE＝OF. 错解分析：因为题中未明确指出点E，O，F在同一条直线上，因此不能肯定∠AOE与∠COF是对顶角.若用到这个条件，必须先验证，才可以用. 正解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AD∥BC. ∴∠EAO＝∠FCO. ∵OE⊥AD，OF⊥BC， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°. 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF(AAS). ∴OE＝OF. 【针对训练】如图，在▱ABCD中，E是边AB的中点，延长DE交CB的延长线于点F. (1)求证：△ADE≌△BFE； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. ∴∠A＝∠EBF. ∵E是AB的中点，∴AE＝BE. 在△ADE和△BFE中， ∴△ADE≌△BFE(ASA). 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. ∵DE⊥AB，∴DE⊥CD. ∴∠CDF＝90°. ∵DE＝AB，∴DE＝DC. ∴△DCE是等腰直角三角形. ∴∠DEC＝∠DCE＝45°. ∴∠FEC＝135°. (2)若DE⊥AB且DE＝AB，连接EC，求∠FEC的度数. 1.(2023春·黄浦区期末 )已知向量 、 满足| |=| |，则( ____ ) A. = B. =- C. ∥ D.以上都有可能 【解析】解：若向量 、 满足| |=| |， 可得： = ，或 =- ，或 ∥ ， 故选：D． D 押题预测 141 2.(2023春·浦东新区校级期末)一个正多边形的每一个内角都是140°，则这个正多边形的边数是 ____ 【解析】解：180°-140°=40°， 360°÷40°=9． 故答案为：九． 九 142 3.(2023春·杨浦区期末)已知菱形的周长为40，一条对角线长为12，则这个菱形的面积是 ____ ． 【解析】解：因为周长是40，所以边长是10． 如图所示：AB=10，AC=12． 根据菱形的性质，AC⊥BD，AO=6， ∴BO=8，BD=16． ∴面积S= AC×BD=12×16× =96． 故答案为96． 96 143 4.(2023春·浦东新区校级期末)如图，已知矩形ABCD的对角线交于点O，点E、F和G分别平分线段AB、OD和OA． (1)求证：四边形OFGE是平行四边形． (2)猜想：当∠ABD= ____ °时四边形OFGE是菱形，并证明． 【解析】(1)证明：∵矩形ABCD的对角线交于点O，∴OD=OB=OA， 又∵点E、F和G分别平分线段AB、OD和OA， ∴OE为△ABD的中位线，FG为△AOD的中位线， ∴ ，OE∥AD，FG∥AD， ，∴OE∥FG，OE=FG， ∴四边形OFGE是平行四边形； (2)解：由(1)知，四边形OFGE是平行四边形，当四边形OFGE是菱形时， 则OF=FG，∴OD=AD，∴△AOD为等边三角形， ∴∠ADB=60°，∴∠ABD=30°， ∴当∠ABD=30°时，四边形OFGE是菱形． 故答案为：30． 30 144 5.(2023春·黄浦区期末)已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，点G、H分别在边AB、CD上，且AG=CH． (1)求证：△AGE≌△CHF； (2)若∠AEG+∠BFG=90°，求证：四边形EGFH是矩形． 【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，AD=BC，AB=CD， ∵点E、F分别是AD、BC的中点， ∴AE= AD，CF= BC，∴AE=DE=BF=CF， 在△AGE与△CHF中， ， ∴△AGE≌△CHF(SAS)； 145 (2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D，AD=BC，AB=CD， ∵点E、F分别是AD、BC的中点， ∴DE= AD，BF= BC，∴DE=BF， ∵AG=CH，∴AB-AG=CD-CH，即BG=DH， ∴△BFG≌△DEH(SAS)；∴FG=EH， 由(1)知△AGE≌△CHF，∴EG=FH，∠AEG=∠CFH， ∴四边形EGFH是平行四边形， ∵∠AEG+∠BFG=90°，∴∠CFH+∠BFG=90°， ∴∠GFH=90°，∴四边形EGFH是矩形． 5.(2023春·黄浦区期末)已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，点G、H分别在边AB、CD上，且AG=CH． (1)求证：△AGE≌△CHF； (2)若∠AEG+∠BFG=90°，求证：四边形EGFH是矩形． 146 $$