冀教七下期末真题百题大通关（53题基础版：二元一次方程组、相交线与平行线、整式的乘法、因式分解、三角形、不等式） 2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（冀教版2024）

冀教七下期末真题百题大通关（100题53题型）（基础版） 题型一 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型二 积的乘方运算 题型三 垂线段最短 题型四 根据平行线判定与性质证明 题型五 同底数幂的除法运算 题型六 计算单项式乘多项式及求值 题型七 计算单项式乘单项式 题型八 求不等式组的解集 题型九 不等式的性质 题型十 幂的乘方运算 题型十一 运用完全平方公式进行运算 题型十二 有理数的乘方运算 题型十三 加减消元法 题型十四 零指数幂 题型十五 三角形的外角的定义及性质 题型十六 三角形内角和定理的应用 题型十七 根据平行线的性质求角的度数 题型十八 提公因式法分解因式 题型十九 角平分线的有关计算 题型二十 合并同类项 题型二十一 在数轴上表示不等式的解集 题型二十二 两直线平行同旁内角互补 题型二十三 负整数指数幂 题型二十四 方案问题(二元一次方程组的应用) 题型二十五 举例说明假（真）命题 题型二十六 由不等式组解集的情况求参数 题型二十七 二元一次方程的解 题型二十八 因式分解的应用 题型二十九 综合提公因式和公式法分解因式 题型三十 完全平方公式在几何图形中的应用 题型三十一 两直线平行同位角相等 题型三十二 一元一次不等式组的其他应用 题型三十三 垂线的定义理解 题型三十四 整式的加减运算 题型三十五 求一元一次不等式组的整数解 题型三十六 求一元一次不等式的解集 题型三十七 求不等式组的解集 题型三十八 在数轴上表示不等式的解集 题型三十九 计算多项式乘多项式 题型四十 内错角相等两直线平行 题型四十一 方案问题(二元一次方程组的应用) 题型四十二 销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 题型四十三 计算单项式乘多项式及求值 题型四十四 负整数指数幂 题型四十五 其他问题(二元一次方程组的应用) 题型四十六 多项式乘多项式与图形面积 题型四十七 已知字母的值 ，求代数式的值 题型四十八 三角形内角和定理的证明 题型四十九 其他问题(一元一次方程的应用) 题型五十 根据平行线判定与性质证明 题型五十一 数字类规律探索 题型五十二 二元一次方程的解 题型五十三 角平分线的有关计算 一、单选题 1．据人民日报报道，吉林省计划在2023年落实粮食播种面积90000000亩以上，比去年增加3230000亩的目标．其中3230000这个数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是2030000000年用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．苏州是全国最大工业城市之一，2022年苏州工业总产值大约为万元，数据用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 5．如图，点P是直线l外一点，且，点C是垂足．点A，B，D在直线l上，下列线段中最短的是（    ）    A． B． C． D． 6．2024年河南省政府工作报告中指出，到2025年累计培育专精特新企业5000家，规上工业企业发展到30000家、实现数字化转型全覆盖．数据“30000”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 7．如图，直线被直线所截，．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 8．“五一”小长假期间，大连市共接待海内外游客825100余人次，数字825100用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 9．下列各式计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．计算结果正确的是(    ) A． B． C． D． 11．为加快中心城市建设，市政府拟建多个城市休闲文化广场或公园，已知某正方形公园的边长为，其面积用科学记数法表示为，则n为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 12．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 13．不等式组的解集为（    ） A． B． C． D．无解 14．如果，那么下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 15．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 16．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 17．下列各式计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 18．方程组的解是（    ） A． B． C． D． 19．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 20．如图，已知，点在线段上（不与点，点重合），连接．若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 21．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点C落在外的点处，若，则的度数为（ 　　） A． B． C． D． 22．下列式子运算正确的是（　　） A．x5÷x5＝0 B．x2•x3＝x6 C．（2x）2＝4x2 D．（x3）4＝x7 23．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 24．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其几何示意图，其中，都与地面平行，，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 25．已知三个实数a，b，c满足，且，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 26．若，，则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 27．如图，在中，和的平分线相交于点O，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 28．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则（　　）    A． B． C． D． 29．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 30．下列等式一定成立的是（    ） A．2m2+3m4=5m6 B．(m3)2=m6 C．m2·m3=m6 D．m6÷m3＝m2 31．不等式组的解集在数轴上表示正确的（　　） A．     B．   C．   D．   32．如图，，，，，则的度数为（    ） A．110° B．120° C．130° D．140° 33．如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（    ） A．80° B．76° C．66° D．56° 34．下面的计算正确的是（    ） A． B． C． D． 35．为了庆祝中国共青团100周年诞辰，某校将举办“激情五月，青春心向党”为主题的演讲比赛活动，计划用80元钱购买甲、乙两种水晶奖杯作为奖品(两种都买) 已知甲种奖杯每个8元，乙种奖杯每个12元，则购买水晶奖杯的方案共有(      ) A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 36．要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 37．下列运算：①；②；③；④；正确的是（    ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 38．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．新冠状病毒传染性非常强，多是通过飞沫，接触，还有气溶胶传播。所以一定要做好个人防护，尽量少外出，更不要聚集，佩戴医用外科口罩是非常有效的个人防护。为了个人防护，小红用40元钱买了A，B两种型号的医用外科口罩（两种型号都买），A型每包6元，B型每包4元，在40元全部用尽的情况下，有几种购买方案（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 二、填空题 40．我国已建成全球规模最大的光纤和移动宽带网络，截至年底，光缆线路总长度达到千米，其中数用科学记数法可表示为 ． 41．若，，则 ． 42．分解因式的结果是 ． 43．分解因式： . 44．因式分解： ． 45．计算： 46．如图，长方形的周长为16，分别以长方形的一条长和一条宽为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为18，则长方形的面积是 ． 47．在中，，点D在线段上，过点D作的垂线交直线于F，交直线于E，则为 度． 48．如图，已知，，，则的度数为 ． 49．如图，用40m长的篱笆围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，若，则的取值范围为 ．    50．如图消防云梯，其示意图如图1所示，其由救援台AB、延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD、支撑EF构成，在作业过程中，救授台AB、车身GH及地面MN三者始终保持水平平行，为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整．如图2，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且，则这时展角∠ABC＝ °． 51．如果一个四位数满足，，那么称这个四位数为“国庆数”．将“国庆数”的千位数字与十位数字对调后，再将百位数字去掉，得到一个三位数记为，记．例如：四位数，∵，∴不是“国庆数”；又如：四位数，∵，，∴是“国庆数”，．若是最大的“国庆数”，则 ；对于“国庆数”，若能被整除，记，当取得最大值时，最小的“国庆数”为 ． 三、解答题 52．解不等式组：并求此不等式组的整数解． 53．解不等式： 54．解不等式组 请结合解题过程，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为 ． 55．解不等式组 请结合解题过程，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______________； (2)解不等式②，得____________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式组的解集为___________________． 56．解不等式组： 57．解不等式：． 58．解不等式组，并写出它的所有正整数解． 59．解不等式组， 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式的解集为______． 60．解不等式组： 61．解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为 ． 62．若，求，的值． 63．解不等式组：并写出它的最小整数解． 64．已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F．    (1)求证：DEAC； (2)若∠DEF＝40°，∠B＝35°，求∠BAC的度数． 65．已知，小明想证明其内角和为，请在图中作出一种辅助线的作法（写出作法）． 66．解方程组：． 67．为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元． (1)购进A、B两种纪念品每件各需多少钱？ (2)若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进12件，那么该商店有哪些进货方案？ 68． 解不等式组： 69．解不等式组 70．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集是 ． 71．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用元从农户处购进，两种水果共进行销售，其中种水果收购单价元，种水果收购单价元；求，两种水果各购进多少千克？ 72．先化简，再求值：，其中． 73．解不等式组：，并求出所有整数解． 74．（1）计算： （2）解不等式：． 75．解不等式组，并把解集表示在数轴上． 76．解不等式组． 77．在长为米的书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚厘米，每本语文书厚厘米． (1)若数学书和语文书共本恰好摆满该书架，问数学书和语文书各有多少本？ (2)若书架上已摆放了本数学书，那么最多还可以摆多少本语文书？ 78．解不等式组，并写出它的所有整数解． 79．综合与实践 如图1，有A型，B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张． (1)用1张A型卡片，2张B型卡片，3张C型卡片拼成一个长方形，如图2，用两种方法计算这个长方形面积，可以得到一个等式，请你写出该等式： ． (2)选取1张A型卡片，8张C型卡片， 张B型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a，b的式子表示为 ． (3)如图3，正方形边长分别为m，n，已知，，求阴影部分的面积． 80．解不等式组． 81．某商店购进A、B两种品牌的工具，若购进A种工具10件，B种工具20件，共需要280元；若购进A种工具15件，B种工具10件，共需要220元 (1)求该商店购进A、B两种品牌的工具每件各需要多少元？ (2)若该商店准备购进A、B两种品牌的工具共60件，且总预算费用不超过550元，那么该商店最多可购进B种品牌的工具多少件？ 82．已知，满足，求的值． 83．为创建“美丽乡村”，某村计划购买甲、乙两种树苗共棵，对本村道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵元，乙种树苗每棵元． (1)若购买两种树苗的总金额为元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？ (2)若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，则至少应购买甲种树苗多少棵？ 84．三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种证明方法． 已知：如图， ． 求证：． 证明：作的延长线，在外部，以为一边，作． 所以，（内错角相等，两直线平行）． 所以，（ ）． 因为，，，组成一个平角， 所以，（平角的定义）， 所以，（ ）． (1)请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整； (2)该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法． 85．北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需800元． (1)求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？ (2)某团队计划用不超过1880元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个，求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？ 86．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，超市第一周卖出3台A种型号和4台B种型号电风扇销售额为1200元，第二周卖出5台A种型号和6台B种型号电风扇销售额为1900元（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）： (1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于7480元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1860元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 87．2024年哈尔滨冰雪旅游火爆全国，吸引了大量游客前来旅游．振华纪念品经销店要购进A、B两种工艺品，若购进A种工艺品2件和B种工艺品3件共需68元，若购进A种工艺品3件和B种工艺品1件共需60元． (1)求A、B两种工艺品每件的进价分别为多少元？ (2)若A种工艺品售价为21元，B种工艺品售价为19元，该经销店准备购进A、B两种工艺品共40件，这两种工艺品全部售出后总获利不低于216元，那么该经销店最多可以购进A种工艺品多少件？ 88．填空并完成推理过程． 如图，E点为上的点，B点为上的点， ，试说明∶． 证明∶∵ (已知) (对顶角相等) ∴ (             ） ∴__________（                                ） ∴ (                                 ） 又∵ (已知) ∴ (等量代换) ∴ (                                ） 89．解不等式，并求出该不等式的所有非负整数解． 90．我国宋代数学家杨辉（13世纪）写了一本书《详解九章算法》，书中记载了一个用数字排成的三角形，这个三角形数阵图是北宋贾宪（约11世纪上半叶）首创的“开方作法本源图”，后人称之为贾宪三角或杨辉三角．（图1） 杨辉三角实际是二项式乘方展开式的系数表（图2），观察图2右侧的系数表，你发现了什么规律？用你发现的规律回答下列问题： (1)多项式展开式的第三项系数是_____________． (2)请写出的展开式：______________． (3)已知多项式，当时，求该多项式的值． 91．我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨：因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元． (1)求两次购买龙眼各是多少吨？ (2)公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？ 92．解不等式组：． 93．2022年，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要去某菜苗基地采购A，B两种菜苗开展种植活动．若购买30捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需380元；若购买50捆A种菜苗和30捆B种菜苗共需740元． (1)求菜苗基地A种菜苗和B种菜苗每捆的单价； (2)学校决定用828元去菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最多可购买多少捆A种菜苗？ 94．解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 95．青少年近视已经成为困扰我国中小学生的严重问题，根据《儿童青少年学习用品近视防控卫生要求》中对学生用品——护目灯的光照度、色温、蓝光、频闪等参数都有明确的合格要求，某企业生产的A，B两种型号的护目灯均符合要求．已知出售1件A型号和3件B型号护目灯共收入1100元，出售2件A型号和5件B型号护目灯共收入1900元． (1)求A型号和B型号每件护目灯的售价； (2)若出售A，B两种型号（均有销售，且总件数不超过13件）共收入3000元，则出售A，B两种型号的护目灯各几件？ 96．解不等式组：． 97．解不等式组： 98．解不等式：． 99．母亲节前夕，某店主从厂家购进，两种礼盒，已知，两种礼盒的单价比为，单价和为元． (1)求，两种礼盒的单价分别是多少元？ (2)该店主购进这两种礼盒恰好用去元，且购进种礼盒最多个，种礼盒的数量不超过种礼盒数量的倍，共有几种进货方案？ 100．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A十∠B=∠C十∠D． (1)如图1，在“对顶三角形”△AOB与△OOD中，∠AOB=70°，则∠C十∠D= °． (2)如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C=60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 冀教七下期末真题百题大通关（100题53题型）（基础版） 题型一 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型二 积的乘方运算 题型三 垂线段最短 题型四 根据平行线判定与性质证明 题型五 同底数幂的除法运算 题型六 计算单项式乘多项式及求值 题型七 计算单项式乘单项式 题型八 求不等式组的解集 题型九 不等式的性质 题型十 幂的乘方运算 题型十一 运用完全平方公式进行运算 题型十二 有理数的乘方运算 题型十三 加减消元法 题型十四 零指数幂 题型十五 三角形的外角的定义及性质 题型十六 三角形内角和定理的应用 题型十七 根据平行线的性质求角的度数 题型十八 提公因式法分解因式 题型十九 角平分线的有关计算 题型二十 合并同类项 题型二十一 在数轴上表示不等式的解集 题型二十二 两直线平行同旁内角互补 题型二十三 负整数指数幂 题型二十四 方案问题(二元一次方程组的应用) 题型二十五 举例说明假（真）命题 题型二十六 由不等式组解集的情况求参数 题型二十七 二元一次方程的解 题型二十八 因式分解的应用 题型二十九 综合提公因式和公式法分解因式 题型三十 完全平方公式在几何图形中的应用 题型三十一 两直线平行同位角相等 题型三十二 一元一次不等式组的其他应用 题型三十三 垂线的定义理解 题型三十四 整式的加减运算 题型三十五 求一元一次不等式组的整数解 题型三十六 求一元一次不等式的解集 题型三十七 求不等式组的解集 题型三十八 在数轴上表示不等式的解集 题型三十九 计算多项式乘多项式 题型四十 内错角相等两直线平行 题型四十一 方案问题(二元一次方程组的应用) 题型四十二 销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 题型四十三 计算单项式乘多项式及求值 题型四十四 负整数指数幂 题型四十五 其他问题(二元一次方程组的应用) 题型四十六 多项式乘多项式与图形面积 题型四十七 已知字母的值 ，求代数式的值 题型四十八 三角形内角和定理的证明 题型四十九 其他问题(一元一次方程的应用) 题型五十 根据平行线判定与性质证明 题型五十一 数字类规律探索 题型五十二 二元一次方程的解 题型五十三 角平分线的有关计算 一、单选题 1．据人民日报报道，吉林省计划在2023年落实粮食播种面积90000000亩以上，比去年增加3230000亩的目标．其中3230000这个数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：3230000这个数用科学记数法表示为． 故选：C 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算、合并同类项、幂的乘方运算 【分析】根据合并同类项，可判断A，根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可判断B，根据幂的乘方底数不变指数相乘，可判断C，根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可判断D． 【详解】解：A、与不是同类项不能合并，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键． 3．2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是2030000000年用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：； 故选：B 4．苏州是全国最大工业城市之一，2022年苏州工业总产值大约为万元，数据用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：, 故选B． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 5．如图，点P是直线l外一点，且，点C是垂足．点A，B，D在直线l上，下列线段中最短的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂线段最短 【分析】根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短的公理求解． 【详解】根据公理“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短”，，所以最短； 故选C． 【点睛】本题考查基本公理“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短”，理解公理是解题的关键． 6．2024年河南省政府工作报告中指出，到2025年累计培育专精特新企业5000家，规上工业企业发展到30000家、实现数字化转型全覆盖．数据“30000”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故选：C． 7．如图，直线被直线所截，．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了垂直的判定，平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 根据可得，，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，故A正确； ∴，故B正确； ∵， ∴，故C正确， ∴D错误， 故选：D ． 8．“五一”小长假期间，大连市共接待海内外游客825100余人次，数字825100用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：D 9．下列各式计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂的除法运算、运用完全平方公式进行运算、合并同类项、同底数幂相乘 【分析】通过合并同类项、幂的运算、完全平方公式，计算出每个选项的结果，对比正误． 【详解】解：A项，，所以原选项正确； B项，，所以原选项错误； C项，，原选项正确； D项，，所以原选项正确； 故选：B． 【点睛】此题考查了合并同类项、幂的运算、完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及合并同类项法则是解本题的关键． 10．计算结果正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】根据单项式乘多项式的乘法法则解决此题． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】本题主要考查单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键． 11．为加快中心城市建设，市政府拟建多个城市休闲文化广场或公园，已知某正方形公园的边长为，其面积用科学记数法表示为，则n为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【知识点】积的乘方运算、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】根据正方形的面积公式求出面积，然后利用科学记数法表示即可求解． 【详解】解：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，掌握其形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同是关键． 12．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算单项式乘单项式、合并同类项 【分析】此题主要考查了合并同类项以及单项式的乘除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用合并同类项法则以及单项式的乘除法则分别判断得出答案． 【详解】解：A、和不是同类项，无法合并，故此选项错误； B、和不是同类项，无法合并，故此选项错误； C、，故此选项正确； D、，故此选项错误； 故选：C． 13．不等式组的解集为（    ） A． B． C． D．无解 【答案】B 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查求一元一次不等式组的解集，分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可 【详解】解： 解不等式①，得，； 解不等式②，得，， 所以，不等式组的解集为：， 故选：B 14．如果，那么下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、不等式的两边都加6，则，故成立，符合题意； B、不等式的两边都乘以，则，故不成立，不合题意； C、不等式的两边都乘以，则，故不成立，不合题意； D、不等式的两边都减，则，故不成立，不合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 15．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算、积的乘方、幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算等知识．根据同底数幂的乘法运算法则、积的乘方、幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则分析判断即可． 【详解】解：A．，故本不符合题意； B．，故本符合题意； C．，运算正确，符合题意； D．，运算正确，符合题意； 故选：B． 16．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算、合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方运算 【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂乘法和完全平方公式的计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，故正确，符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂乘法和完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键． 17．下列各式计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘、有理数的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法、除法，有理数的乘方，根据运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，所以本项错误； B、，所以本项错误； C、，所以本项正确； D、，所以本项错误； 故选：C． 18．方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】加减消元法 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：， 得，， ， 把代入①得，， 解得，， ∴方程组的解为：， 故选：C 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法和加减消元法． 19．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘、运用完全平方公式进行运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】根据零次幂、负整数指数幂与正整数指数幂，同底数幂的乘法底数不变指数相加，完全平方公式，可得答案． 【详解】解：A．，故选项正确，符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：A 【点睛】本题考查了零次幂、负整数指数幂，同底数幂的乘法，完全平方公式，熟记法则并根据法则计算是解题关键． 20．如图，已知，点在线段上（不与点，点重合），连接．若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数 【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键． 21．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点C落在外的点处，若，则的度数为（ 　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，折叠的性质，三角形的外角，根据三角形内角和定理，易得；设与交于点，根据三角形的外角易得，，则的度数可求． 【详解】解：∵，， ， 由折叠的性质可得：， 如图，设与交于点， 由三角形的外角可得：，， 则． 故选：D． 22．下列式子运算正确的是（　　） A．x5÷x5＝0 B．x2•x3＝x6 C．（2x）2＝4x2 D．（x3）4＝x7 【答案】C 【知识点】同底数幂的除法运算、同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】利用同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、x5÷x5＝1，故此选项不符合题意； B、x2•x3＝x5，故此选项不符合题意； C、（2x）2＝4x2，故此选项符合题意； D、（x3）4＝x12，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 23．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、积的乘方运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式、同底数幂的乘除法，积的乘方，解题的关键是掌握相关运算的法则．根据完全平方公式、同底数幂的乘除法，积的乘方的运算法则一一求解判断即可． 【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意； B、，故选项正确，符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 24．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其几何示意图，其中，都与地面平行，，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、平行公理推论的应用 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：∵，都与地面平行， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 25．已知三个实数a，b，c满足，且，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，因式分解，根据已知条件，结合各选项中的条件，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴；故选项A正确，不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理，得：， ∴；故选项B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故选项C正确，不符合题意； 若，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故选项D错误，符合题意； 故选D． 26．若，，则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的基本性质进行判断即可． 【详解】A选项：已知，，当时，，故A选项的不等式不一定成立； B选项：若，，此时，但，故B选项的不等式不一定成立； C选项：∵，， ∴，， ∴． 故C选项的不等式一定成立； D选项：若，，，则，故D选项的不等式不一定成立． 故选：C 27．如图，在中，和的平分线相交于点O，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、与角平分线有关的三角形内角和问题、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】设，利用角平分线的性质得，再根据得，所以求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∵OB，OC平分和， ∴，即，解之得：， 故选：A． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，解一元一次方程，解题的关键是找出等量关系进行求解． 28．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】过顶点作直线支撑平台，直线l将分成两个角即、，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过顶点作直线支撑平台，    ∵工作篮底部与支撑平台平行、直线支撑平台， ∴直线支撑平台工作篮底部， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 29．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】积的乘方运算、运用完全平方公式进行运算、合并同类项、幂的乘方运算 【分析】根据合并同类项，幂的乘方，单项式乘单项式以及完全平方公式计算即可得到答案． 【详解】解：A、原式，不符合题意； B、原式，不符合题意； C、原式，符合题意； D、原式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方公式、单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方，掌握有关的运算法则是解题关键． 30．下列等式一定成立的是（    ） A．2m2+3m4=5m6 B．(m3)2=m6 C．m2·m3=m6 D．m6÷m3＝m2 【答案】B 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】直接运用合并同类项、幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除法运算分别化简各选项，进而选择答案． 【详解】解：A. 2m2与3m4不是同类项，不能合并，故A球符合题意； B. (m3)2=m6计算正确，故选项B符合题意； C. m2·m3=m5计算错误，故选项C不符合题意； D. m6÷m3＝m3计算错误，故选项D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方运算以及同底数幂的乘除运算等知识，熟练掌握运算法则是解答本题关键． 31．不等式组的解集在数轴上表示正确的（　　） A．     B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 在数轴上表示不等式组的解集为    故选：B． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式组的方法． 32．如图，，，，，则的度数为（    ） A．110° B．120° C．130° D．140° 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、两直线平行同旁内角互补、两直线平行同位角相等 【分析】如图所示，延长交延长线于点，首先根据三角形外角定理求出，然后根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】如图所示，延长交延长线于点， ， ， ， ， ， ，即， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形外角定理，解题的关键是熟记平行线的性质及三角形外角定理，并能构造辅助线求解． 33．如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（    ） A．80° B．76° C．66° D．56° 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，合理作出辅助线是解题的关键． 分别延长，交，于点，，过点作，则，利用三角形的内角和运算出和的度数后，通过平行线的性质即可得出结果． 【详解】分别延长，交，于点，，过点作，则，如图所示： ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 34．下面的计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、负整数指数幂 【分析】此题考查了同底数幂的除法、积的乘方、负整数指数幂等知识，根据相应的运算法则计算后即可得到答案． 【详解】解：A．与不是同类项，不能进行计算，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项准确，符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 35．为了庆祝中国共青团100周年诞辰，某校将举办“激情五月，青春心向党”为主题的演讲比赛活动，计划用80元钱购买甲、乙两种水晶奖杯作为奖品(两种都买) 已知甲种奖杯每个8元，乙种奖杯每个12元，则购买水晶奖杯的方案共有(      ) A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式的整数解、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设购买甲种奖杯x个，乙种奖杯y个，利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出共有3种购买方案． 【详解】设购买甲种奖杯x个，乙种奖杯y个， 依题意得：8x+12y=80， ∴． 又∵x，y均为正整数， ∴． ∴，且y为偶数 ∴或或， ∴共有3种购买方案． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 36．要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】根据有理数的大小比较法则判断即可． 【详解】解：当，时，，而， ∴命题“若，则”是假命题， 故选：D． 【点睛】本题考查的是命题的知识，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 37．下列运算：①；②；③；④；正确的是（    ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、同底数幂相乘、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查幂的运算，根据同底数幂的乘除法、积的乘方运算法则计算后判断即可． 【详解】①，计算正确； ②，计算错误； ③，计算正确； ④，计算正确； ∴正确的是①③④， 故选：D． 38．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据题意得到必定有整数解0，再根据恰有3个整数解分类讨论，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围． 【详解】解： 解不等式①得，解不等式②得， 由于不等式组有解，则，必定有整数解0， ∵， ∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0． 若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解； 若三个整数解为0，1，2，则； 解得． 故选：B 【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．难度较大，理解题意，根据已知条件得到必定有整数解0，再分类讨论是解题关键． 39．新冠状病毒传染性非常强，多是通过飞沫，接触，还有气溶胶传播。所以一定要做好个人防护，尽量少外出，更不要聚集，佩戴医用外科口罩是非常有效的个人防护。为了个人防护，小红用40元钱买了A，B两种型号的医用外科口罩（两种型号都买），A型每包6元，B型每包4元，在40元全部用尽的情况下，有几种购买方案（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【知识点】二元一次方程的解 【分析】解：小红用40元钱买了A型号口罩x包，B两种型号的医用外科口罩y包，根据小红用40元钱买了A，B两种型号的医用外科口罩（两种型号都买）列出二元一次方程，根据A，B两种型号的医用外科口罩都买得到x的取值范围，从而求出二元一次方程的正整数解即可． 【详解】解：小红用40元钱买了A型号口罩x包，B两种型号的医用外科口罩y包，由题意可得： ， 解得 ， ，A，B两种型号的医用外科口罩都买， ， 所有购买方案为 ， ， ， 有3种购买方案， 故选B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的正整数解，根据题目中的等量关系列出方程是解题的关键． 二、填空题 40．我国已建成全球规模最大的光纤和移动宽带网络，截至年底，光缆线路总长度达到千米，其中数用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法．绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：用科学记数法可表示为． 故答案为： 41．若，，则 ． 【答案】5 【知识点】平方差公式分解因式、因式分解的应用 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故答案为：5． 42．分解因式的结果是 ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 【详解】解：， 故答案为：． 43．分解因式： . 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【详解】解： 故答案为： ． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 44．因式分解： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】先找出的公因式，再利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的方法提公因式法，找出各项的公因式是解题的关键． 45．计算： 【答案】 【知识点】零指数幂、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了零次幂以及乘方运算，先化简零次幂，以及运算乘方，再进行减法运算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为： 46．如图，长方形的周长为16，分别以长方形的一条长和一条宽为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为18，则长方形的面积是 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．记长方形的长为，宽为，根据题意，可得，，利用完全平方公式求出的值即可． 【详解】解：记长方形的长为，宽为， 由题知，，，即， ， 即， ，解得， 长方形的面积是． 故答案为：． 47．在中，，点D在线段上，过点D作的垂线交直线于F，交直线于E，则为 度． 【答案】30或150 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】分两种情况：①点E在线段的延长线上；②点E在线段上；根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求解． 【详解】①点E在线段的延长线上，如图，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角，且， ∴； ②点E在线段上，如图，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴． 故答案为：30或150． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是分析清楚点E的位置． 48．如图，已知，，，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】两直线平行同位角相等、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，三角形外角的定义和性质，由平行线的性质得出，再根据三角形外角的定义和性质得出的度数． 【详解】解：记与的交点为点F， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 49．如图，用40m长的篱笆围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，若，则的取值范围为 ．    【答案】 【知识点】列代数式、一元一次不等式组的其他应用 【分析】根据题意可得，从而表示出，再由即可得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， ， 解得：， 的取值范围为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． 50．如图消防云梯，其示意图如图1所示，其由救援台AB、延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD、支撑EF构成，在作业过程中，救授台AB、车身GH及地面MN三者始终保持水平平行，为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整．如图2，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且，则这时展角∠ABC＝ °． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、垂线的定义理解 【分析】延长BC、FE交于P，过P作PQ∥AB，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：延长BC、FE交于P，过P作PQ∥AB，由题意，PQ∥AB∥GH， ∴∠QPF=∠EFH=69°，∠ABC+∠BPQ=180°， ∵BC⊥EF， ∴∠BPF=90°， ∴∠BPQ=90°－∠QPF=90°－69°=21°， ∴∠ABC=180°－∠BPQ=180°－21°=159°， 故答案为：159． 【点睛】本题考查平行线的性质、垂直定义，理解题意，添加辅助线，利用平行线的性质解决实际问题是解答的关键． 51．如果一个四位数满足，，那么称这个四位数为“国庆数”．将“国庆数”的千位数字与十位数字对调后，再将百位数字去掉，得到一个三位数记为，记．例如：四位数，∵，∴不是“国庆数”；又如：四位数，∵，，∴是“国庆数”，．若是最大的“国庆数”，则 ；对于“国庆数”，若能被整除，记，当取得最大值时，最小的“国庆数”为 ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算、已知式子的值，求代数式的值、不等式的性质、二元一次方程的解 【分析】本题考查整式的加减，二元一次方程的解，不等式的性质，代数式求值，熟练根据题意正确列出式子，并利用不等式性质确定范围是解题的关键．先利用定义得出，，然后计算出；若是最大的“国庆数”，结合，，则要尽可能大，且要尽可能大，即可得；利用，则要使能被整除，只需能被整除即可，结合，，得出可以为或或，且每种情况都有解，再利用，求出最大的，此时，再结合要使最小，则应尽可能小，即可求解． 【详解】解：∵一个四位数满足，， ∴，，且，，，，且、、、为整数， ∴， 由题意得， ∴， ∴； 若是最大的“国庆数”， 则要尽可能大， 则，， 且要尽可能大， 则，， 则此时， 则； ∵， ∴要使能被整除，只需能被整除即可， ∵，， ∴， ∴可以为或或，且每种情况都有解， ∵， 当时，； 当时，； 当时，； ∴要使取得最大值，则， ∴， 要使最小，则应尽可能小， 结合，，，可得最小为， 则，，， ∴当取得最大值时，最小的“国庆数”为， 故答案为：；． 三、解答题 52．解不等式组：并求此不等式组的整数解． 【答案】，整数解为：，，，， 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出的整数解即可． 【详解】解：， 解不等式得； 解不等式得； 所以不等式组的解集为：， 所以不等式组的整数解为：，，，，． 【点睛】本题考查一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解． 53．解不等式： 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】不等式去分母，去括号，移项，合并，把系数化为1，即可求出解集． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 54．解不等式组 请结合解题过程，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为 ． 【答案】(1) (2) (3)见详解 (4) 【知识点】求不等式组的解集 【分析】（1）移项即可求解； （2）两边同时加2，再同时除以3即可得解； （3）结合（1）和（2）的结果，在数轴上画出两个不等式的解； （4）根据（3）中结果依据“同大取大、同小取小、大小小大中间找”找到解集． 【详解】（1）由，解得； 故答案为：； （2）由，解得； 故答案为：； （3）根据（1）、（2）结果作图如下： （4）根据（3）所画解集图形，结合“大小小大中间找”的方法，可知x的取值范围为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解不等式组的知识，结合数轴和图形给出了找不等式组解集的方法，在数轴上作图时，-1处需要用空心点标注，2处需要用实心点标注． 55．解不等式组 请结合解题过程，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______________； (2)解不等式②，得____________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式组的解集为___________________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． 【详解】（1）解不等式①，得； 故答案为：； （2）解不等式②，得； 故答案为：； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    （4）原不等式组的解集为∶， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 56．解不等式组： 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】 解：解不等式①得， 解不等式②得，， 则不等式组的解集为﹣1≤x＜5． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 57．解不等式：． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】去分母，移项，合并同类项，系数化为1可得出答案． 【详解】解：， 去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 58．解不等式组，并写出它的所有正整数解． 【答案】；1，2，3． 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集是解题的关键． 先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有正整数解有1，2，3． 59．解不等式组， 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式的解集为______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查解不等式组，分别解出不等式①和②，再把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解： （2） （3）不等式①和②的解集在数轴上表示    （4）原不等式的解集为： 故答案为：． 60．解不等式组： 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】分别对求出两个不等式的解集，然后根据“大小小大取中间”确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得： 解不等式，得： 则故此不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集． 61．解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为 ． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 (4) 【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】（1）移项，合并得出不等式的解集； （2）移项、合并、系数化为1得出不等式解集； （3）根据不等式在数轴上的表示方法表示出两个解集即可； （4）根据公共部分确定不等式组的解集即可 【详解】（1）解不等式①，得； 故答案为：x>-2 （2）解不等式②，得； 故答案为：x≥3 （3）不等式组的解集在数轴上表示出来为： （4）原不等式组的解集为． 故答案为：x≥3 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解决本题的关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 62．若，求，的值． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查多项式乘以多项式，先利用多项式乘多项式的法则进行计算，再根据恒等式，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 63．解不等式组：并写出它的最小整数解． 【答案】；最小整数解为： 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：.， ∴不等式组的解集为：， 最小整数解为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键． 64．已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F．    (1)求证：DEAC； (2)若∠DEF＝40°，∠B＝35°，求∠BAC的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、内错角相等两直线平行 【分析】（1）只需要证明∠EDA=∠CAD，即可证明DEAC； （2）利用三角形内角和定理求出∠EDF=50°，进而求出∠BED=95°，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵∠EAD=∠EDA， ∴∠EDA=∠CAD， ∴； （2）解：∵EF⊥BD， ∴∠EFD=90°， ∴∠EDF=180°-∠DEF-∠EFD=50°， ∴∠BED=180°-∠B-∠BDE=95°， ∵， ∴∠BAC=∠BED=95°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． 65．已知，小明想证明其内角和为，请在图中作出一种辅助线的作法（写出作法）． 【答案】见解析；作法见解析 【知识点】三角形内角和定理的证明、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，利用平行线的性质把三个内角平移到一个顶点处构成一个平角是解题的关键．可过三角形的一个顶点作另一边的平行线，把三个内角转移到该顶点处构成平角，证得结论． 【详解】解：作法：过点A作的平行线，即；    则，（两直线平行，内错角相等）， （平角的定义）， （等量代换）． 即的内角和为． 66．解方程组：． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键．用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为． 67．为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元． (1)购进A、B两种纪念品每件各需多少钱？ (2)若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进12件，那么该商店有哪些进货方案？ 【答案】(1)购进A种纪念品每件需要150元，购进B种纪念品每件需要100元； (2)该商店共有四种进货方案；方案1，购进A种纪念品12件，B纪念品22件；方案2，购进A种纪念品14件，B纪念品19件；方案3，购进A种纪念品16件，B纪念品16件；方案4，购进A种纪念品18件，B纪念品13件． 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要y元，根据“若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A种纪念品a件，B纪念品b件，正好用完4000元，根据总价=单价×数量结合（1）的结论，即可得出关于a、b的二元一次方程，再由a、b均为不小于12的正整数，即可找出各进货方案． 【详解】（1）解：设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要y元， 根据题意得：， 解得：． 答：购进A种纪念品每件需要150元，购进B种纪念品每件需要100元； （2）解：设购进A种纪念品a件，B纪念品b件，正好用完4000元， 根据题意得：， 化简得：，即． ∵a、b均为不小于12的正整数， ∴当时，；当时，；当时，；当时，． 答：该商店共有四种进货方案；方案1，购进A种纪念品12件，B纪念品22件；方案2，购进A种纪念品14件，B纪念品19件；方案3，购进A种纪念品16件，B纪念品16件；方案4，购进A种纪念品18件，B纪念品13件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据总价=单价×数量，列出关于a、b的二元一次方程． 68．解不等式组： 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】先分别解不等式组中两个不等式，然后找出公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解： 整理得； 去分母得 整理得； 故原不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法是解题关键． 69．解不等式组 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 70．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集是 ． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】（1）根据一元一次不等式的解法求解即可； （2）根据一元一次不等式的解法求解即可； （3）将（1）（2）中解集表示在数轴上即可，注意端点是实心还是空心； （4）根据数轴得出原不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 故答案为：； （2）解不等式②，得， 故答案为：； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示如图： （4）由数轴知，原不等式组的解集为：， 故答案为： 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法并正确求解是解答的关键． 71．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用元从农户处购进，两种水果共进行销售，其中种水果收购单价元，种水果收购单价元；求，两种水果各购进多少千克？ 【答案】种水果购进千克，种水果购进千克 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设种水果购进千克，种水果购进千克，根据该合作社用元从农户处购进，两种水果共进行销售，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设种水果购进千克，种水果购进千克， 根据题意得：， 解得：， 答：种水果购进千克，种水果购进千克． 72．先化简，再求值：，其中． 【答案】8 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题主要考查整式的混合运算，单项式乘以多项式，化简求值，先根据单项式乘以多项式的法则将括号去掉，然后再进行合并同类项，最后将a的值代入化简后的式子得出答案． 【详解】解：原式， 当时，原式． 73．解不等式组：，并求出所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，整数解为，0，1，2 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、求不等式组的解集 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可作答． 【详解】 解：解不等式①得，， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为， 整数解为，0，1，2． 【点睛】本题考查了求解不等式组的知识，掌握不等式的基本求解方法是解答本题的关键． 74．（1）计算： （2）解不等式：． 【答案】（1）3；（2） 【知识点】负整数指数幂、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查负整数指数幂，解一元一次不等式，正确计算是解题的关键： （1）根据负整数指数幂、算术平方根计算即可； （2）根据解一元一次不等式的方法计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）解不等式：． 解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 75．解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】，图见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次方程组、运用数轴表示不等式组的解集，先把每个不等式的解集解出来，再运用数轴表示不等式组的解集，即可作答． 【详解】解：解不等式①，得：， 解不等式②，得： ， 原不等式组的解集为， 其解集在数轴上表示如下： 76．解不等式组． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为． 77．在长为米的书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚厘米，每本语文书厚厘米． (1)若数学书和语文书共本恰好摆满该书架，问数学书和语文书各有多少本？ (2)若书架上已摆放了本数学书，那么最多还可以摆多少本语文书？ 【答案】(1)数学书有本，语文书有本； (2)最多还可以摆本语文书． 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式的实际应用，解题关键是正确理解题意并得出二元一次方程组及一元一次不等式． （1）设书架上数学书有本，语文书有本，由题意得出二元一次方程组后求解即可； （2）设再摆本语文书，列出不等式后求解即可． 【详解】（1）解：设书架上数学书有本，语文书有本， 由题意得：， 解得， 答：数学书有本，语文书有本． （2）解：设再摆本语文书， 根据题意得：， 解得：， 答：最多还可以摆本语文书． 78．解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】；不等式组所有的整数解为：－1，0，1 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； 所以，不等式组的解集为：． 该不等式组所有的整数解为：－1，0，1． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 79．综合与实践 如图1，有A型，B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张． (1)用1张A型卡片，2张B型卡片，3张C型卡片拼成一个长方形，如图2，用两种方法计算这个长方形面积，可以得到一个等式，请你写出该等式： ． (2)选取1张A型卡片，8张C型卡片， 张B型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a，b的式子表示为 ． (3)如图3，正方形边长分别为m，n，已知，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2) (3)． 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用 【分析】考查完全平方公式的几何意义， 用不同方法表示同一个图形的面积是常用的方法． （1）用两种方法表示图2的面积， 即可得出等式； （2）由拼图可得 是完全平方式, 则即从而得出答案； （3）表示阴影部分的面积， 化成，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：方法1，长方形的面积为 ， 方法2， 图2中六部分的面积和为：， 因此有 ． （2）(2)由面积拼图可知， ∴要16张B型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长为． （3）解：由图形面积之间的关系可得， ∵，， ∴原式 ． 80．解不等式组． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解不等式组，根据不等式的解集确定不等组的解集成为解题的关键． 先分别求得各不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为：． 81．某商店购进A、B两种品牌的工具，若购进A种工具10件，B种工具20件，共需要280元；若购进A种工具15件，B种工具10件，共需要220元 (1)求该商店购进A、B两种品牌的工具每件各需要多少元？ (2)若该商店准备购进A、B两种品牌的工具共60件，且总预算费用不超过550元，那么该商店最多可购进B种品牌的工具多少件？ 【答案】(1)8元，10元 (2)35件 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组和不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． （1）设该商店购进A、B两种品牌的工具每件各需要x元、y元，根据购进A种工具10件，B种工具20件，共需要280元；若购进A种工具15件，B种工具10件，共需要220元，列方程组求解； （2）设该商店可购进B种品牌的工具m件，根据该商店准备购进A、B两种品牌的工具共60件，且总预算费用不超过550元，列出不等式，然后求出即可． 【详解】（1）解：设该商店购进A、B两种品牌的工具每件各需要x元、y元． ， 解得， 答：该商店购进A、B两种品牌的工具每件各需要8元、10元． （2）该商店可购进B种品牌的工具m件． ， 解得， 答：该商店最多可购进B种品牌的工具35件． 82．已知，满足，求的值． 【答案】6 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】先化简原式，再将题中已知的等式进行变形，配出两个平方式，利用平方的非负性求出两个字母的值，再代入原式中求解即可． 【详解】解： = = =， ∵， ∴， ∴， ∴， 原式= = =． 【点睛】本题考查了代数式的化简求值，涉及到了多项式乘以多项式的运算、平方差公式和完全平方公式，解题关键是利用完全平方公式进行配方求出两个字母的值． 83．为创建“美丽乡村”，某村计划购买甲、乙两种树苗共棵，对本村道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵元，乙种树苗每棵元． (1)若购买两种树苗的总金额为元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？ (2)若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，则至少应购买甲种树苗多少棵？ 【答案】(1)购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵； (2)至少应购买甲种树苗棵． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意列方程组和不等式是解题的关键． （1）设购买甲种树苗棵，购买乙种树苗棵，根据题意列二元一次方程组解决问题； （2）设应购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，根据题意中的不等关系“购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额”列一元一次不等式解决问题． 【详解】（1）解：设购买甲种树苗棵，购买乙种树苗棵 由题意，得，解得：， 答：购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵； （2）解：设应购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵， 由题意，得，解得：． 答：至少应购买甲种树苗棵． 84．三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种证明方法． 已知：如图， ． 求证：． 证明：作的延长线，在外部，以为一边，作． 所以，（内错角相等，两直线平行）． 所以，（ ）． 因为，，，组成一个平角， 所以，（平角的定义）， 所以，（ ）． (1)请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整； (2)该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法． 【答案】(1)、、是的三个内角；两直线平行，同位角相等；等量代换 (2)见解析 【知识点】三角形内角和定理的证明 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质： （1）在外部，以为一边，作．根据平行线的判定与性质及平角定义求解即可； （2）过点A作，根据平行线的性质°，由此证明即可． 【详解】（1）解：已知：如图，、、是的三个内角． 求证：． 证明：如图，作的延长线，在外部，以为一边，作． 所以，（内错角相等，两直线平行）． 所以，（两直线平行，同位角相等）． 因为，组成一个平角， 所以，（平角的定义）， 所以，（等量代换）． （2）证明：如图，过点A作， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． （两直线平行，同旁内角互补）． 即． ∴． 85．北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需800元． (1)求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？ (2)某团队计划用不超过1880元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个，求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？ 【答案】(1)甲种型号的单价是50元，乙种型号的单价是30元 (2)19 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据题意，设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是元，根据“购买甲、乙两种型号各10个共需800元”的等量关系列出一元一次方程，解出方程即可得出答案； （2）根据题意，设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”个，根据“计划用不超过1880元”列出不等式，即可得出答案． 【详解】（1）设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是元． 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：甲种型号的单价是50元，乙种型号的单价是30元． （2）设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”个． 根据题意，得：， 解得：， ∴a最大值是19， 答：最多可购买甲种型号的“冰墩墩”19个． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系和不等关系是本题的关键． 86．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，超市第一周卖出3台A种型号和4台B种型号电风扇销售额为1200元，第二周卖出5台A种型号和6台B种型号电风扇销售额为1900元（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）： (1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于7480元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1860元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为元，元； (2)A种型号的电风扇最多能采购台； (3)能，采购A种型号的电风扇台，B种型号的电风扇台， 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并正确列方程和不等式是解题关键． （1）设A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为元，元，根据“卖出3台A种型号和4台B种型号电风扇销售额为1200元，卖出5台A种型号和6台B种型号电风扇销售额为1900元”列方程组求解即可； （2）设A种型号的电风扇采购台，则B种型号的电风扇采购台，根据“不多于7480元的金额采购”列一元一次不等式求解即可； （3）根据“利润销售收入进货成本”列一元一次不等式，求出的取值范围，再结合（2）的结果确定的取值即可． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为元，元， 由题意得：，解得：， 答：A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为元，元； （2）解：设A种型号的电风扇采购台，则B种型号的电风扇采购台， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号的电风扇最多能采购台； （3）解：由题意得：， 解得：， 由（2）可知，，且为正整数， 的取值为， 台， 即采购A种型号的电风扇台，B种型号的电风扇台，能实现利润超过1860元的目标． 87．2024年哈尔滨冰雪旅游火爆全国，吸引了大量游客前来旅游．振华纪念品经销店要购进A、B两种工艺品，若购进A种工艺品2件和B种工艺品3件共需68元，若购进A种工艺品3件和B种工艺品1件共需60元． (1)求A、B两种工艺品每件的进价分别为多少元？ (2)若A种工艺品售价为21元，B种工艺品售价为19元，该经销店准备购进A、B两种工艺品共40件，这两种工艺品全部售出后总获利不低于216元，那么该经销店最多可以购进A种工艺品多少件？ 【答案】(1)A种工艺品每件的进价为16元，B种工艺品每件的进价为12元 (2)32件 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式． （）设种工艺品每件的进价为元，种工艺品每件的进价为元，列出方程组，然后求解即可； （）根据题意和（）中的结果，可以列出相应的不等式，然后求解即可； 【详解】（1）解：设种工艺品每件的进价为元，种工艺品每件的进价为元， 由题意可得：， 解得， 答：种工艺品每件的进价为元，种工艺品每件的进价为元； （2）解：设购进A种工艺品x件，则购进B种工艺品 件，由题意可得：，解得， ∵为整数， ∴的最大值为， 答：该经销店最多可以购进种工艺品件． 88．填空并完成推理过程． 如图，E点为上的点，B点为上的点， ，试说明∶． 证明∶∵ (已知) (对顶角相等) ∴ (             ） ∴__________（                                ） ∴ (                                 ） 又∵ (已知) ∴ (等量代换) ∴ (                                ） 【答案】等量代换，，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，内错角相等，两直线平行． 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】先证明，然后根据平行线的性质，以及已知条件证明∠D=∠ABD，根据同位角相等，两直线平行即可证得． 【详解】解：∵，（已知） （对顶角相等） ∴，（等量代换） ∴，（ 同位角相等，两直线平行） ∴，（ 两直线平行，同位角相等） 又∵，（已知） ∴，（ 等量代换） ∴（ 内错角相等，两直线平行） 【点睛】解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 89．解不等式，并求出该不等式的所有非负整数解． 【答案】，非负整数解有0，1 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．先去括号，再移项、合并同类项，将未知数的系数化为1，得，即可求得所有的非负整数解． 【详解】解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 所以该不等式的所有非负整数解有0，1． 90．我国宋代数学家杨辉（13世纪）写了一本书《详解九章算法》，书中记载了一个用数字排成的三角形，这个三角形数阵图是北宋贾宪（约11世纪上半叶）首创的“开方作法本源图”，后人称之为贾宪三角或杨辉三角．（图1） 杨辉三角实际是二项式乘方展开式的系数表（图2），观察图2右侧的系数表，你发现了什么规律？用你发现的规律回答下列问题： (1)多项式展开式的第三项系数是_____________． (2)请写出的展开式：______________． (3)已知多项式，当时，求该多项式的值． 【答案】(1)10； (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查对题干“杨辉三角”规律的理解，以及规律的运用，解题的关键是找出展开式的各项系数规律并灵活运用． （1）根据“杨辉三角”规律写出多项式的展开式，即可得到展开式中的第三项； （2）根据“杨辉三角”规律得到多项式展开式； （3）根据“杨辉三角”规律得到为的展开式，即可解题． 【详解】（1）解：由题可得：多项式的展开式各系数依次为1，5，10，5，1， 多项式的展开式中第三项系数是10． 故答案为：； （2）解：由题意可得：． 故答案为：； （3）解： ， 当时，原式． 91．我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨：因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元． (1)求两次购买龙眼各是多少吨？ (2)公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？ 【答案】(1)第一次购买了7吨龙眼，第二次购买了14吨龙眼 (2)至少要把15吨龙眼加工成桂圆肉 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设第一次购买龙眼x吨，第二次购买龙眼y吨，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）设将a吨龙眼加工成桂圆肉，则（21-a）吨龙眼加工成龙眼干，则总的销售额为：，则根据题意有不等式，解该不等式即可求解． 【详解】（1）设第一次购买龙眼x吨，第二次购买龙眼y吨， 根据题意有： ，解得：， 即第一次购买龙眼7吨，第二次购买龙眼14吨； （2）设将a吨龙眼加工成桂圆肉，则（21-a）吨龙眼加工成龙眼干， 则总的销售额为：， 则根据题意有：， 解得：， 即至少要把15吨龙眼加工成桂圆肉． 【点睛】本题考查了二元一次方程组即一元一次不等式的应用，明确题意列出二元一次方程组即一元一次不等式是解答本题的关键． 92．解不等式组：． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了求不等式组解集，掌握确定不等式组解集的方法是解题的关键． 先分别求出各不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以该不等式组的解集为：． 93．2022年，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要去某菜苗基地采购A，B两种菜苗开展种植活动．若购买30捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需380元；若购买50捆A种菜苗和30捆B种菜苗共需740元． (1)求菜苗基地A种菜苗和B种菜苗每捆的单价； (2)学校决定用828元去菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最多可购买多少捆A种菜苗？ 【答案】(1)菜苗基地A种菜苗每捆的单价为10元，B种菜苗每捆的单价为8元 (2)本次购买最多可购买60捆A种菜苗 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设菜苗基地A种菜苗每捆的单价为x元，B种菜苗每捆的单价为y元，根据“购买30捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需380元；购买50捆A种菜苗和30捆B种菜苗共需740元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设本次可购买捆A种菜苗，则可购买捆B种菜苗，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设菜苗基地A种菜苗每捆的单价为x元，B种菜苗每捆的单价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：菜苗基地A种菜苗每捆的单价为10元，B种菜苗每捆的单价为8元； （2）解：设本次可购买捆A种菜苗，则可购买捆B种菜苗， 根据题意得：， 解得：， ∴的最大值为， 答：本次购买最多可购买捆A种菜苗． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 94．解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．先去分母，然后移项，合并同类项，最后系数化为1，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以19，得， 把不等式的解集在数轴上表示出来如下： 95．青少年近视已经成为困扰我国中小学生的严重问题，根据《儿童青少年学习用品近视防控卫生要求》中对学生用品——护目灯的光照度、色温、蓝光、频闪等参数都有明确的合格要求，某企业生产的A，B两种型号的护目灯均符合要求．已知出售1件A型号和3件B型号护目灯共收入1100元，出售2件A型号和5件B型号护目灯共收入1900元． (1)求A型号和B型号每件护目灯的售价； (2)若出售A，B两种型号（均有销售，且总件数不超过13件）共收入3000元，则出售A，B两种型号的护目灯各几件？ 【答案】(1)A型号的售价200元，B型号的售价300元 (2)出售A型号3件，B型号8件或A型号出售6件，B型号出售6件或A型号出售9件，B型号出售4件 【知识点】二元一次方程的解、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、列一元一次不等式 【分析】本题考查二元一次方程（组）的实际应用， （1）设A型号的护目灯的售价x元，B型号的护目灯的售价y元，根据出售1件A型号的护目灯和3件B型号的护目灯共收入1100元，出售2件A型号的护目灯和5件B型号的护目灯共收入1900元，列出方程组进行求解即可； （2）设出售A型号的护目灯a件，则出售B型号的护目灯b件，根据题意列出二元一次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设A型号的售价x元，B型号的售价y元，由题意得 ， 解得， 答：A型号的售价200元，B型号的售价300元； （2）解：设出售A型号a件，则出售B型号b件， 由题意得，化简得， ∵a，b为正整数，且， ∴或或， 答：出售A型号3件，B型号8件或A型号出售6件，B型号出售6件或A型号出售9件，B型号出售4件． 96．解不等式组：． 【答案】不等式组无解 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组无解． 97．解不等式组： 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】首先解每一个不等式，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：原不等式组为 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握和运用解一元一次不等式组的步骤是解决本题的关键． 98．解不等式：． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，掌握不等式的解法是解题关键．依次去分母、去括号、移项合并、系数化1，即可解不等式． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：． 99．母亲节前夕，某店主从厂家购进，两种礼盒，已知，两种礼盒的单价比为，单价和为元． (1)求，两种礼盒的单价分别是多少元？ (2)该店主购进这两种礼盒恰好用去元，且购进种礼盒最多个，种礼盒的数量不超过种礼盒数量的倍，共有几种进货方案？ 【答案】(1)种礼盒单价为元，B种礼盒单价为元 (2)共有三种送货方案 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，二元一次不等式组的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程． （2）根据各数量之间的关系，列出，从而根据题意正确列出二元一次不等式组，分析即可． 【详解】（1）解：设种礼盒单价为元，B种礼盒单价为元， 依据题意：得， 解得． 则，． 答：种礼盒单价为元，B种礼盒单价为元． （2）设购进种礼盒个，种礼盒个， 依据题意，得， 整理，得， 即． ∵， ∴， 解得：， ∵，是整数， ∴的值为，，，的值为，，， 综上可知，共有三种送货方案． 100．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A十∠B=∠C十∠D． (1)如图1，在“对顶三角形”△AOB与△OOD中，∠AOB=70°，则∠C十∠D= °． (2)如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C=60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数． 【答案】(1)110 (2)27° 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）由对顶三角形可得∠A+∠B=∠C+∠D，再根据三角形内角和定理即可得到答案； （2）根据角平分线的性质可得∠1=∠2，∠3=∠4，根据三角形内角和定理可得到∠BAC+∠ABC=180°∠C=180°60°=120°，进而得到∠1+∠3=60°，由图知△ABF与△DEF为对顶三角形得出∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60°，由题意知∠ADE比∠BED大6°，联立方程组即可解得答案． 【详解】（1）解：由对顶三角形可得∠A+∠B=∠C+∠D， 在△AOB中，∠A+∠B=180°∠AOB=180°70°=110°， ∴∠C+∠D=110°； （2）∵AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， 又∵∠C=60°， ∴∠BAC+∠ABC=180°∠C=180°60°=120°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=120°， ∴2∠1+2∠3=120°， ∴∠1+∠3=60°， 由图知△ABF与△DEF为对顶三角形， ∴∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60°①， 又∵∠ADE比∠BED大6°， ∴∠ADE∠BED=6°②， 联立①②得， 解得：， ∴∠BED=27°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，利用对顶三角形的性质解答是解此题的关键. 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$