清单03 整式的乘法（12个考点梳理+18题型解读）（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材冀教版

清单03 整式的乘法（12个考点梳理+18题型解读） 清单01同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝a m+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 清单02 幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 清单03同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 清单04 单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 清单05 单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 清单06多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 清单07 完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 清单08 完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 清单09 平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 清单10平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 清单11零指数幂 零指数幂：a0＝1（a≠0） 由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0） 注意：00≠1． 清单12 负整数指数幂 负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数） 注意：①a≠0； ②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误． ③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． ④在混合运算中，始终要注意运算的顺序． 【考点题型一】同底数幂相乘（） 【例1】（24-25七年级下·河北唐山·期中）已知，则（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1-1】（22-23七年级下·河北张家口·期中）计算： ． 【变式1-2】（22-23七年级下·河北唐山·期中）【阅读理解】阅读下列内容，观察分析，回答问题： Ⅰ．； Ⅱ．； Ⅲ．． 【概括总结】通过以上分析，填空： （m、n为正整数）． （1）在上述分析过程中：①所在括号中填______，②所在括号中填______． 【应用与拓展】 计算： （2）_________； （3）_________； （4）如果x是不等于1的正数，且，求n的值． 【考点题型二】幂的乘方运算（） 【例2】（24-25八年级上·河北保定·期末）下列运算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ． 【变式2-2】（24-25七年级下·河北承德·期中）计算 (1)解二元一次方程组： (2)计算： 【考点题型三】幂的乘方的逆用（） 【例3】（2025·河北保定·一模）对于非零的两个有理数a，b定义一种新运算，规定．若，则的值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．16 【变式3-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，则 （填“”“”或“”号） 【变式3-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，（m，n是正整数）．求： (1)； (2)． 【考点题型四】积的乘方运算（） 【例4】（24-25七年级下·河北张家口·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25七年级下·全国·单元测试） ， ． 【变式4-2】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）计算： (1)； (2) 【考点题型五】同底数幂的除法运算（） 【例5】（24-25七年级下·河北承德·期中）若“○”代表一种运算，计算的结果是．则“○”中的运算符号为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期末） 【变式5-2】（24-25七年级下·河北唐山·期中）已知，． (1)求代数式的值； (2)若，写出，，之间的关系式并说明理由． 【考点题型六】零指数幂（） 【例6】（24-25七年级下·河北邢台·期中）计算的结果是（   ） A． B．1 C．2025 D．2026 【变式6-1】（23-24七年级下·河北邢台·期中）计算： ． 【变式6-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点题型七】负整数指数幂（） 【例7】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）计算的结果是（   ） A． B． C．8 D． 【变式7-1】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）若，，则 ． 【变式7-2】（24-25七年级下·河北唐山·期中）已知关于，的方程组 (1)求该方程组的解； (2)利用（1）求得的结果，计算的值． 【考点题型八】计算单项式乘单项式（） 【例8】（22-23七年级下·河北邯郸·阶段练习）计算：（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则为．例如．按照这种运算规定，计算 ． 【变式8-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【考点题型九】计算单项式乘多项式及求值（） 【例9】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）若规定，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24七年级下·全国·课后作业）由 可以得到单项式乘多项式的法则： 单项式与多项式相乘，先用 乘 ，再把所得的积 ． 【变式9-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列计算是否正确？如有错误，请改正． (1)；_______ (2)；_______ (3)；_______ (4)．_______ 【考点题型十】计算多项式乘多项式（） 【例10】（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）已知，则（    ） A． B．1 C．2 D．0 【变式10-1】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： ． 【变式10-2】（22-23七年级下·河北邯郸·阶段练习）小明在计算“”时，由于马虎，将数m前的“+”抄成“-”，得到的结果为，其结果中的常数项被覆盖． (1)求m的值及被覆盖的数； (2)求原式正确的计算结果． 【考点题型十一】多项式乘多项式与图形面积（） 【例11】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，边长为，的长方形，它的周长为面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知长方形可以按图所示方式分成九个部分，在a，b变化的过程中，下列说法中，正确的有 （填序号）． ①图中存在三个部分的周长之和恰好等于长方形的周长； ②长方形的长宽之比可能为； ③当长方形为正方形时，九个部分都为正方形； ④当长方形的周长为60时，它的面积可能为100． 【变式11-2】（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）如图，某学校有一块长为米，宽为米的长方形地块，其中有两条宽为b米的通道，该校计划将除通道外其余部分进行绿化． (1)用含有a，b的式子表示阴影部分绿化的总面积．（结果写成最简形式） (2)若，，请你计算出阴影部分绿化的总面积． 【考点题型十二】（x+p）（x+q）型多项式乘法（） 【例12】（22-23七年级下·河北承德·期末）若，则m，n的值分别是（    ） A．4， B．，4 C．，18 D．4，7 【变式12-1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则的值是 ． 【变式12-2】（22-23七年级下·河北沧州·期中）先计算下列各式，再观察，最后解答后面问题： __________； __________； __________； __________； （1）根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来，则__________； （2）试用你写的公式，直接写出下列两式的结果 ①__________； ②__________； （3）在计算时，甲把错看成了6，得到结果是：；乙错把看成了，得到结果：．依据上述发现的规律，直接写出__________，__________． 【考点题型十三】运用平方差公式进行运算（） 【例13】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）下列各式不能用平方差公式的是（） A． B． B． C． D． 【变式13-1】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）若，，则 ．（填，或） 【变式13-2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）计算： (1)； (2)； (3)（用简便方法计算）； (4)； 【考点题型十四】平方差公式与几何图形（） 【例14】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）下面给出的三幅图都是将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，其中不能验证平方差公式的是（    ） A．①② B．②③ C．② D．③ 【变式14-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）从一个边长为a的大正方形纸板中挖出一个边长为b的小正方形，将其裁成四个相同的梯形（如图①），然后拼成一个平行四边形（如图②）． （1）图①中阴影部分的面积为 ； （2）图②的面积可以表示为 ； （3）这验证了平方差公式： ． 【变式14-2】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）如图，将两个长方形用不同方式拼成图1和图2两个图形．    (1)若图1中的阴影部分面积为，则图2中的阴影部分面积为________（用含字母a，b的代数式表示）； (2)由（1）你可以得到的等式是________； (3)根据你所得到的等式解决下面的问题： ①若，，则________； ②计算：． ③解方程： 【考点题型十五】运用完全平方公式进行运算（） 【例15】（23-24七年级下·河北保定·期中）下列运算正确的是（        ） A． B． C． D． 【变式15-1】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）若，，则的值为 ． 【变式15-2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题： 请观察以下算式：①；②；③；…… (1)请你写出第④个符合上述规律的算式___________； (2)验证规律：设两个连续奇数为（其中为正整数），请验证它们的平方差是8的倍数； (3)拓展延伸：命题“两个连续偶数的平方差是8的倍数”是___________命题．（填“真”或“假”） 【考点题型十六】完全平方公式在几何图形中的应用（） 【例16】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形铺而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y （ 其中）表示小矩形的长与宽，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式16-1】（24-25七年级下·河北保定·期中）如图，有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形的面积之和为 ． 【变式16-2】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）对于一个图形，利用两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．例如，由图1可以得到等式． (1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，从中得到等式：____________________； (2)利用（1）中的结论解决以下问题：已知，，求的值； 【考点题型十七】用科学记数法表示绝对值大于1的数（） 【例17】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）春节档电影《哪吒2之魔童闹海》截至3月9日，票房超14860000000，14860000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式17-1】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）用科学记数法表示为 ． 【变式17-2】（七年级下·河北邢台·期中）世界上最轻的昆虫是一种卵蜂，其质量为0.000005克． (1)用科学记数法表示数据0.000005； (2)一个鸡蛋的质量大约为50克，若m只卵蜂的质量与这个鸡蛋的质量相等，请用科学记数法表示m． 【考点题型十八】用科学记数法表示绝对值小于1的数（） 【例18】（2025·河北保定·一模）如图，有标记为①、②、③、④的4个圆，在每个圆中分别填写一个有理数，且后一个圆中所填的数是前一个圆中所填数的，若圆①中所填的数是，则圆④中所填写的数是（　　） A． B． C． D． 【变式18-1】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期中）用科学记数法表示0.00000025是 ． 【变式18-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)0.0000000003425． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 整式的乘法（12个考点梳理+18题型解读） 清单01同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝a m+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 清单02 幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 清单03同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 清单04 单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 清单05 单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 清单06多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 清单07 完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 清单08 完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 清单09 平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 清单10平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 清单11零指数幂 零指数幂：a0＝1（a≠0） 由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0） 注意：00≠1． 清单12 负整数指数幂 负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数） 注意：①a≠0； ②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误． ③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． ④在混合运算中，始终要注意运算的顺序． 【考点题型一】同底数幂相乘（） 【例1】（24-25七年级下·河北唐山·期中）已知，则（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，掌握是解题的关键． 根据题意可得，再变形为，再由同底数幂的乘法即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1-1】（22-23七年级下·河北张家口·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘 【分析】根据同底数幂乘法法则及合并同类项法则直接计算即可得到答案； 【详解】解：原式， 故答案为：； 【点睛】本题考查同底数幂乘法法则及合并同类项法则，解题的关键是熟练掌握． 【变式1-2】（22-23七年级下·河北唐山·期中）【阅读理解】阅读下列内容，观察分析，回答问题： Ⅰ．； Ⅱ．； Ⅲ．． 【概括总结】通过以上分析，填空： （m、n为正整数）． （1）在上述分析过程中：①所在括号中填______，②所在括号中填______． 【应用与拓展】 计算： （2）_________； （3）_________； （4）如果x是不等于1的正数，且，求n的值． 【答案】【概括总结】（1）①； ②【应用与拓展】（2）；（3）；（4）8 【知识点】同底数幂相乘 【分析】（1）根据总结的规律计算即可； （2）根据总结的规律计算即可； （3）根据总结的规律计算即可； （4）根据总结的规律得到，解方程求解即可． 【详解】（1）∵ 故答案为：，． （2）； 故答案为：； （3） 故答案为：； （4）∵，且x是不等于1的正数， ∴，解得， ∴n的值为8． 【点睛】此题考查了同底数幂的乘法运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法运算法则． 【考点题型二】幂的乘方运算（） 【例2】（24-25八年级上·河北保定·期末）下列运算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方．根据运算法则逐一判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式2-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】1 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键．幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n为正整数）．根据幂的乘方法则化简后得出即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 解得． 故答案为：1． 【变式2-2】（24-25七年级下·河北承德·期中）计算 (1)解二元一次方程组： (2)计算： 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方运算、加减消元法、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，幂的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可； （2）先计算积的乘方和幂的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： 整理得 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： ． 【考点题型三】幂的乘方的逆用（） 【例3】（2025·河北保定·一模）对于非零的两个有理数a，b定义一种新运算，规定．若，则的值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．16 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，新定义，根据新定义结合幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法法则得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，则 （填“”“”或“”号） 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用、有理数大小比较 【分析】本题主要考查了逆用幂的乘方，熟练掌握幂的乘方运算法则，是解题的关键．逆用幂的乘方得出，，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴ ∴． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，（m，n是正整数）．求： (1)； (2)． 【答案】(1)256 (2)68 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的运算的逆运算及同底数幂的乘法的逆运算，解题关键是熟练运用幂的运算的逆运算法则进行求解． （1）利用同底数幂相乘的逆运算，幂的乘方的逆运算计算即可； （2）利用幂乘方的逆运算计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）． 【考点题型四】积的乘方运算（） 【例4】（24-25七年级下·河北张家口·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、合并同类项、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方以及积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算出各项的结果，再进行判断即可． 【详解】解：A．，计算正确，符合题意； B．，故原选项错误，不符合题意； C．，故原选项错误，不符合题意； D．，故原选项错误，不符合题意； 故选：A． 【变式4-1】（24-25七年级下·全国·单元测试） ， ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，积的乘方，熟练掌握同底数幂乘法和积的乘方运算法则，是解题的关键．根据同底数幂乘法和积的乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】解：，． 故答案为：；． 【变式4-2】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，根据各自的运算法计算即可． （1）先计算幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，最后合并同类项即可． （2）先利用积的乘法的逆运算计算，然后再计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【考点题型五】同底数幂的除法运算（） 【例5】（24-25七年级下·河北承德·期中）若“○”代表一种运算，计算的结果是．则“○”中的运算符号为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，负整数指数幂，合并同类项，把四个选项中的运算符号分别代入圆圈中，计算出对应的结果即可得到答案． 【详解】解：，，，， 故选：B． 【变式5-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期末） 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25七年级下·河北唐山·期中）已知，． (1)求代数式的值； (2)若，写出，，之间的关系式并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、幂的乘方的逆用、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方逆运算，解题的关键是掌握运算法则的正用和逆用． （1）根据已知条件，利用同底数幂的除法以及幂的乘方法则变形，即可求解； （2）根据得到，利用幂的乘方法则变形，可得，从而得到． 【详解】（1）解：∵， ； （2）解：关系为：， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【考点题型六】零指数幂（） 【例6】（24-25七年级下·河北邢台·期中）计算的结果是（   ） A． B．1 C．2025 D．2026 【答案】B 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查了零次幂的知识，任何非零数的0次幂都等于1，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据零次幂的定义，进行作答，即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 【变式6-1】（23-24七年级下·河北邢台·期中）计算： ． 【答案】/ 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂．熟练掌握零指数幂，负整数指数幂是解题的关键． 分别计算零指数幂，负整数指数幂，然后进行减法运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式6-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)5 (2) (3) (4) 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的计算，掌握运算法则是解题的关键． 根据零指数幂的运算法则，任何非零数的零次幂都等于1，任何非零数的负整数幂都等于这个数的正整数次幂的倒数，依次计算即可． （1）根据零指数幂的运算法则，幂运算运算法则进行计算即可； （2）根据非零数的负整数幂运算法则进行运算即可； （3）根据零指数幂的运算法则，非零数的负整数幂运算法则进行运算即可； （4）根据零指数幂的运算法则，非零数的负整数幂运算法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【考点题型七】负整数指数幂（） 【例7】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）计算的结果是（   ） A． B． C．8 D． 【答案】B 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂的计算，即，其中，且p为正整数；掌握计算法则是关键；根据计算法则计算即可． 【详解】解：； 故选：B． 【变式7-1】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）若，，则 ． 【答案】1 【知识点】负整数指数幂、有理数乘方逆运算 【分析】本题考查了乘方和负整数指数幂的意义，先根据，求出x，y的值，然后代入计算即可． 【详解】解；∵，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：1． 【变式7-2】（24-25七年级下·河北唐山·期中）已知关于，的方程组 (1)求该方程组的解； (2)利用（1）求得的结果，计算的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】负整数指数幂、加减消元法 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握加减消元法和负整数指数幂的运算法则． （1）得，再利用加减消元法进行求解即可； （2）利用负整数指数幂的运算法则进行求解即可． 【详解】（1）解： 得， 得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴原二元一次方程组的解为； （2）解：将代入得， ， ∴的值为． 【考点题型八】计算单项式乘单项式（） 【例8】（22-23七年级下·河北邯郸·阶段练习）计算：（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】本题考查了单项式乘单项式的运算法则，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． 【变式8-1】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则为．例如．按照这种运算规定，计算 ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键．根据二阶行列式的运算法则求解即可； 【详解】解：根据题意可得： ， 故答案为：． 【变式8-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算单项式乘单项式、单项式乘多项式的应用、积的乘方运算 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的计算，积的乘方计算，单项式乘以单项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以多项式，单项式乘以单项式，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【考点题型九】计算单项式乘多项式及求值（） 【例9】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）若规定，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】根据定义新运算的规则，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：； 故选A． 【点睛】本题考查定义新运算，单项式乘多项式．理解并掌握规定的新运算法则，是解题的关键． 【变式9-1】（23-24七年级下·全国·课后作业）由 可以得到单项式乘多项式的法则： 单项式与多项式相乘，先用 乘 ，再把所得的积 ． 【答案】 乘法分配律 单项式 多项式的每一项 相加 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】运用单项式乘多项式的计算法则进行求解． 此题考查了单项式乘多项式计算法则的理解能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 【详解】解：由题意得，乘法分配律可以得到单项式乘多项式的法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 【变式9-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列计算是否正确？如有错误，请改正． (1)；_______ (2)；_______ (3)；_______ (4)．_______ 【答案】(1)×， (2)×， (3)×， (4)×， 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，解题关键是熟练掌握整式乘法运算法则． （1）根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可； （3）根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可； （4）根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：计算错误；正确结果为：； （2）解：计算错误；正确结果为：； （3）解：计算错误；正确结果为：； （4）解：计算错误；正确结果为：． 【考点题型十】计算多项式乘多项式（） 【例10】（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）已知，则（    ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】A 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的运算法则化简得出，对应相等求出的值，即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， 故选：A． 【变式10-1】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查整式的乘法，根据多项式乘多项式的运算进行运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式10-2】（22-23七年级下·河北邯郸·阶段练习）小明在计算“”时，由于马虎，将数m前的“+”抄成“-”，得到的结果为，其结果中的常数项被覆盖． (1)求m的值及被覆盖的数； (2)求原式正确的计算结果． 【答案】(1)； (2) 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】（1）根据题意可得可列方程，求出m的值即可； （2）由（1）知，代入计算即可求正确的结果． 【详解】（1） 由题可得： 解得：； ∴； （2）由（1）知， ∴． 【点睛】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，准确计算是解题的关键． 【考点题型十一】多项式乘多项式与图形面积（） 【例11】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，边长为，的长方形，它的周长为面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了整式混合运算的运用，由题意可得，，再代入展开后的结果中计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， 故选：． 【变式11-1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知长方形可以按图所示方式分成九个部分，在a，b变化的过程中，下列说法中，正确的有 （填序号）． ①图中存在三个部分的周长之和恰好等于长方形的周长； ②长方形的长宽之比可能为； ③当长方形为正方形时，九个部分都为正方形； ④当长方形的周长为60时，它的面积可能为100． 【答案】①③ 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，多项式乘多项式等知识，注意数形结合；由图知，九个部分中有四个正方形，有五个长为b，宽为a的长方形，每个长方形的周长为，则三个这样的长方形周长为，再计算出大长方形的周长即可判断①；根据大长方形的两边，若长宽之比可能为，则可推出a或b的值，从而可判断②；当长方形为正方形时，可得a与b的关系，从而判断③；根据当长方形周长为60，得，计算出长方形的面积，根据面积即可判断④，最后可作出判断． 【详解】解：由图知，九个部分中有四个正方形，有五个长为b，宽为a的长方形， 所以每个长方形的周长为， 所以三个这样的长方形周长为； 而由图知大长方形的一边为，另一边为，则其周长为， 即图中存在三个部分的周长之和恰好等于长方形的周长； 故①正确； 若，则； 若，则； 即或时，长方形的长宽之比为，否则不成立； 故②错误； 当长方形为正方形时，即， 则有，从而九个部分都为正方形； 故③正确； 根据当长方形周长为60时，即， 得， 长方形的面积为 ， 由于均为正数，则， 即大长方形面积不可能为100； 故④错误； 综上，正确的有①③． 故答案为：①③． 【变式11-2】（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）如图，某学校有一块长为米，宽为米的长方形地块，其中有两条宽为b米的通道，该校计划将除通道外其余部分进行绿化． (1)用含有a，b的式子表示阴影部分绿化的总面积．（结果写成最简形式） (2)若，，请你计算出阴影部分绿化的总面积． 【答案】(1) (2)78平方米 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了列代数式及求代数式的值，正确表示去掉路宽后的长方形的长与宽是关键． （1）长方形地块的长与宽分别减小b米后的长方形面积就是要绿化的总面积，最后化简即可； （2）把a与b的值代入（1）中化简后的代数式中，求值即可． 【详解】（1）解：绿化总面积 ． （2）当，时， 原式． 答：绿化的总面积为78平方米． 【考点题型十二】（x+p）（x+q）型多项式乘法（） 【例12】（22-23七年级下·河北承德·期末）若，则m，n的值分别是（    ） A．4， B．，4 C．，18 D．4，7 【答案】D 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】根据多项式乘以多项式展开，比较对应项，根据对应项相等计算即可． 【详解】∵， ∴ ， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查了整式的乘法，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键． 【变式12-1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则的值是 ． 【答案】16 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出a与b的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ，，， ，， ， 故答案为：16． 【变式12-2】（22-23七年级下·河北沧州·期中）先计算下列各式，再观察，最后解答后面问题： __________； __________； __________； __________； （1）根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来，则__________； （2）试用你写的公式，直接写出下列两式的结果 ①__________； ②__________； （3）在计算时，甲把错看成了6，得到结果是：；乙错把看成了，得到结果：．依据上述发现的规律，直接写出__________，__________． 【答案】；；；；（1）；（2）①，②；（3）； 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】根据多项式乘以多项式进行计算即可求解； （1）根据规律写出公式，即可求解； （2）根据公式计算即可求解； （3）根据题意，计算，求得的值，计算进而求得的值，即可求解． 【详解】解：； ； ； ； 故答案为：；；；； （1） 故答案为：． （2）①， 故答案为：． ②， 故答案为：． （3）依题意， ∴， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【考点题型十三】运用平方差公式进行运算（） 【例13】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）下列各式不能用平方差公式的是（） A． B． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键．利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可得到答案． 【详解】A．，故选项不符合题意； B．，故选项符合题意； C．，故选项不符合题意； D．，故选项不符合题意； 故选：B． 【变式13-1】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）若，，则 ．（填，或） 【答案】 【知识点】有理数大小比较、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的变形运算，有理数的大小比较，由平方差公式得，再利用作差法比较即可求解，掌握平方差公式的运用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式13-2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）计算： (1)； (2)； (3)（用简便方法计算）； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、运用平方差公式进行运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算即可； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以多项式即可； （3）把原式化为，再利用平方差公式计算即可； （4）先计算负整数指数幂，乘方运算，零次幂，绝对值，再合并即可. 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，单项式乘以多项式，平方差公式的应用，零次幂，负整数指数幂的含义，掌握相应的运算法则是解本题的关键. 【考点题型十四】平方差公式与几何图形（） 【例14】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）下面给出的三幅图都是将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，其中不能验证平方差公式的是（    ） A．①② B．②③ C．② D．③ 【答案】D 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】分别对各个图形中的阴影面积用不同方法表示出来，即可得到等式，则可对各个选项是否可以验证平方差公式作出判断． 【详解】解：图①中，阴影部分面积相等，左边图形的阴影部分的面积，右边图形阴影部分的面积， ， ①可以验证平方差公式． 图②中，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积，右边图形阴影部分的面积， ， ②可以验证平方差公式． 图③中，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积，右边图形阴影部分的面积， 显然不是平方差公式， 故③不可以验证平方差公式． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，数形结合并熟练掌握相关几何图形的面积计算方法是解题的关键． 【变式14-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）从一个边长为a的大正方形纸板中挖出一个边长为b的小正方形，将其裁成四个相同的梯形（如图①），然后拼成一个平行四边形（如图②）． （1）图①中阴影部分的面积为 ； （2）图②的面积可以表示为 ； （3）这验证了平方差公式： ． 【答案】 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的证明，图①中阴影部分的面积可以表示为大正方形的面积与小正方形面积的差；图②中平行四边形的底为，高为，面积等于；由此可解． 【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积为； （2）图②的面积可以表示为； （3）这验证了平方差公式：． 【变式14-2】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）如图，将两个长方形用不同方式拼成图1和图2两个图形．    (1)若图1中的阴影部分面积为，则图2中的阴影部分面积为________（用含字母a，b的代数式表示）； (2)由（1）你可以得到的等式是________； (3)根据你所得到的等式解决下面的问题： ①若，，则________； ②计算：． ③解方程： 【答案】(1) (2) (3)①；②；③ 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】（1）根据图2，用代数式表示其长、宽，利用面积公式可得答案； （2）由图1、图2的面积相等可得答案； （3）①利用（2）的结论，即平方差公式进行计算即可； ②利用平方差公式进行简便计算即可； ③利用平方差公式进行变形，再解方程即可． 【详解】（1）解：（1）图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 故答案为：； （2）（2）由图1、图2中阴影部分的面积相等得：， 故答案为：； （3）①∵，即， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； ② ； ③， ， ， ∴． 【点睛】本题考查平方差公式的几何背景和平方差公式的灵活运用，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 【考点题型十五】运用完全平方公式进行运算（） 【例15】（23-24七年级下·河北保定·期中）下列运算正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了幂的乘方、完全平方公式、单项式与单项式相除、合并同类项，掌握每一种运算法则的正确应用是解题关键． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； 故选：C． 【变式15-1】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）若，，则的值为 ． 【答案】9 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．根据完全平方公式：，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：9． 【变式15-2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题： 请观察以下算式：①；②；③；…… (1)请你写出第④个符合上述规律的算式___________； (2)验证规律：设两个连续奇数为（其中为正整数），请验证它们的平方差是8的倍数； (3)拓展延伸：命题“两个连续偶数的平方差是8的倍数”是___________命题．（填“真”或“假”） 【答案】(1) (2)见解析 (3)假 【知识点】运用完全平方公式进行运算、数字类规律探索、判断命题真假 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，规律探索问题； （1）根据前三个式子的规律即可写出第四个式子的规律； （2）对于，利用完全平方公式展开，再合并同类项即可； （3）设两个连续偶数为，计算，根据结果即可判断真假． 【详解】（1）解：由前三个式子知，第四个式子为：； 故答案为：； （2）解： ； 而是8的倍数，则是8的倍数， 即两个连续奇数的平方差是8的倍数； （3）解：设两个连续偶数为， 则， 而是奇数，故不是8的倍数， 即命题：两个连续偶数的平方差是8的倍数是假命题； 故答案为：假． 【考点题型十六】完全平方公式在几何图形中的应用（） 【例16】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形铺而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y （ 其中）表示小矩形的长与宽，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据题意可知：，，进而可得出，，四个矩形的面积为，再根据完全平方公式即可得出． 【详解】解：根据题意可知：，， ∴，，四个矩形的面积为， ∴ 故选项A，B，D正确， ∵， ∴， 故C错误， 故选：C 【变式16-1】（24-25七年级下·河北保定·期中）如图，有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形的面积之和为 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系． 设正方形的边长分别为，，根据题意得到，，，求出，即可得到答案． 【详解】解：设正方形的边长分别为， 根据题意得，， ，， ， 故答案为：． 【变式16-2】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）对于一个图形，利用两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．例如，由图1可以得到等式． (1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，从中得到等式：____________________； (2)利用（1）中的结论解决以下问题：已知，，求的值； 【答案】(1)； (2)． 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全公式的几何意义，掌握完全公式的几何意义是解题的关键． （1）根据正方形面积的不同求解方法即可得出答案； （2）把，代入（1）中的等式计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得，正方形的面积表示为， 也可以表示为：， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴ ． 【考点题型十七】用科学记数法表示绝对值大于1的数（） 【例17】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）春节档电影《哪吒2之魔童闹海》截至3月9日，票房超14860000000，14860000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值大于的数，理解表示方法 “一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1．”是解题的关键．根据科学记数法表示方法求解即可． 【详解】解：； 故选：B 【变式17-1】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式17-2】（七年级下·河北邢台·期中）世界上最轻的昆虫是一种卵蜂，其质量为0.000005克． (1)用科学记数法表示数据0.000005； (2)一个鸡蛋的质量大约为50克，若m只卵蜂的质量与这个鸡蛋的质量相等，请用科学记数法表示m． 【答案】(1) (2) 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、用科学记数法表示绝对值小于1的数、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定； （2）根据题意列方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：0.000005用科学记数法表示为0.000005=5×10-6； （2）解：设m只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等，根据题意，得 0.000005m=50， 解得m=10000000=1×107， 答：1×107只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数．解题的关键是能够正确的用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【考点题型十八】用科学记数法表示绝对值小于1的数（） 【例18】（2025·河北保定·一模）如图，有标记为①、②、③、④的4个圆，在每个圆中分别填写一个有理数，且后一个圆中所填的数是前一个圆中所填数的，若圆①中所填的数是，则圆④中所填写的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查科学记数法和有理数乘法的知识，解题的关键是掌握科学记数法的定义：把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式，，n为整数． 【详解】根据题意，圆④中所填写的数， 故选：D． 【变式18-1】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期中）用科学记数法表示0.00000025是 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解： 故答案为：． 【变式18-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)0.0000000003425． 【答案】(1) (2) 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的表示方法． （1）利用科学记数法的表示方法将原数写成的形式，a是大于等于1小于10的数． （2）利用科学记数法的表示方法将原数写成的形式，a是大于等于1小于10的数． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$