精品解析：2025年浙江省台州市温岭市中考二模数学试卷

温岭市2025年初中学业水平模拟考试试题 数 学 亲爱的考生： 欢迎参加考试！请你认真审题，仔细答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题． 4．本次考试不得使用计算器，请耐心解答，祝你成功！ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数比较大小，熟练掌握两个负数比较大小绝对值越大，其值越小是解题的关键．根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小绝对值越大，其值越小逐项比较即可． 【详解】解：A、因为，，，所以，故A正确； B、因为，，，所以，故B错误； C、因为，故C错误； D、因为，故D错误； 故选：A． 2. 三个大小一样的正方体按如图摆放，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据俯视图共有层，第一层有个正方形，第二层有个正方形，即可得出答案． 【详解】解：它的俯视图共有层，第一层有个正方形，第二层有个正方形，如图： ， 故选：C． 3. 航空母舰是现代海军不可或缺的利器，也是一个国家综合国力的象征，我国第四艘航空母舰即将下水，满载排水量约为110000吨．将数据110000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法等知识点，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 利用合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法等运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，不是同类项无法合并，该选项错误，故不符合题意； B、，该选项正确，故符合题意； C、，该选项错误，故不符合题意； D、，该选项错误，故不符合题意； 故选：B． 5. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 下周二不带雨伞出门，被雨淋湿了身体 B. 篮球运动员投篮一次，投中篮框 C. 过一点能作出一条直线与已知直线平行 D. 将实心铁球放入水中，铁球下沉 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】解：．下周二不带雨伞出门，被雨淋湿了身体是随机事件，故该选项不符合题意； ．篮球运动员投篮一次，投中篮框是随机事件，故该选项不符合题意； ．过一点能作出一条直线与已知直线平行是随机事件，故该选项不符合题意； ．将实心铁球放入水中，铁球下沉是必然事件，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，将 绕点 逆时针旋转得到 ，若于点 ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．由旋转可得：，由垂直可得 ，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：由旋转可得：， 于点 ， ， ， 故选：C． 7. 为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】表示出第二批面粉的采购量，根据“每千克面粉价格提高了0.4元”这一等量关系即可列方程． 【详解】设第一批面粉采购量为x千克，则设第二批面粉采购量为千克，根据题意，得 故选：A 【点睛】本题考查列方程解决实际问题，找出题中的等量关系列出方程是解题的关键． 8. 如图，大正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形 组成，，较短直角边与较长直角边和为5，则正方形的面积为（ ） A. 5 B. C. 10 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．设直角三角形较短直角边为，较长直角边为，由题意得，求得①，由，求得②，据此求解即可． 【详解】解：设直角三角形较短直角边为，较长直角边为， 由题意得，即①， ， ∵， ∴， ∴， ∴②， 得， ∴， ∴正方形的面积为， 故选：D． 9. 点，，在反比例函数的图象上，，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的解析式可知，反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，再根据、、之间的大小关系判断、、的大小关系． 【详解】解：反比例函数中， 反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大， A选项：若，当、，则，故A选项错误； B选项：若，当、，则，故B选项错误； C选项：若，当、，则，得到，故C选项错误； D选项：若， ， ， ，故D选项正确． 故选：D． 10. 如图，四边形，，，连结对角线，若要求出四边形的面积，只需要知道（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质、等腰直角三角形的性质，延长到点E，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，， 与 的面积相等，则可得出答案． 【详解】解：延长到点E，使，连接， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∴， ∴要求出四边形的面积，只需要知道 的长， 故选：A． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解： ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的步骤．找到公因式，提取公因式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 _________． 【答案】4 【解析】 【分析】一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：根据题意得， 解得m=4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，理解并熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键． 13. 一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是红球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 由题意及概率公式用红球的个数除以总球数进行求解． 【详解】 有2个红球和5个白球， 从袋中摸出一个球是红球的概率为：， 故答案为：． 14. 如图， ， ，点O在上，以点O为圆心为半径的与 相切于点D，连结 ，若，则的度数为______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题主要查了切线的性质，全等三角形的判定和性质．连接，根据切线的性质可得，可证明，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图， 连接， ∵与 相切， ∴， 在 和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 15. 如图，在 中，为 边上的中线， ，E为 上任意一点，，若 最小值为2时，则 的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短以及等边三角形的性质的性质，解题的关键是根据垂线段最短确定 取最小值时的位置，再利用等边三角形的性质的性质求解 的长度． 利用垂线段最短的性质确定 取最小值时的位置，根据已知条件推出三角形的角度关系，进而得出是等边三角形，利用等边三角形的性质求出 的长度． 【详解】解：根据垂线段最短可知，当时， 的值最小，已知 最小值为2，即此时． ， ． 又 ， ． 为边上的中点， ，又 ， ， 则是等边三角形， ， ， ， ， 在中，， ． ， ， 又 ， ． 故答案为：4． 16. 在矩形 中，E为的中点，将沿着翻折，得到，连接并延长与相交于点F，与 相交于点H．若点F恰好为的中点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长和相交于点N，连接和，则，，结合矩形的性质得 ，即可证明，有，进一步得，根据等腰三角形的性质证明，则判定，即可得到，有，结合平行线的性质得到即可． 【详解】解：延长和相交于点N，连接和，如图， 则，， ∵四边形 为矩形， ∴ ， ∴， ∵点F恰好为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质、直角三角形的判定，以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉矩形的性质和三角形的性质． 三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及特殊角的三角函数值，负整数指数幂，掌握运算法则是解题的关键． 分别计算负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，再进行加减计算． 【详解】解：原式, ． 18. 解方程组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：， 得： ③， 得：，解得： ， 把 代入②得 ， 所以． 19. 综合与实践 聪聪学习解直角三角形知识后，对光的折射进行了综合性的学习，查阅资料了解到，光从空气进入H液体，会发生折射，折射率，表示入射角，表示折射角． 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，测得水槽高度，一束光线从A点按固定方向投射到底部的B点形成光斑，测得． 第二步：向水槽注入H液体，液体高度时，此时光斑因光线折射向左移动至点D，测得．（其中O为入射点，直线为法线， 为入射光线，为折射光线） 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求 的长； （2）求H液体的折射率n． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得，则 ，由相似三角形的性质计算即可得解； （2）由题意得，则，由勾股定理可得，得出，由矩形的性质可得，，求出，由勾股定理可得，从而可得，即可得解． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴ ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：由题意得：， ∴ 在 中，， ∴， ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 20. 随着科技发展，的诞生为我们的生活带来很多的便利，相关人员对“”软件开展了使用满意度测评，并从中抽取20份数据并进行整理、描述和分析，评分用表示，分为以下四个等级：不满意（），比较满意（），满意（），非常满意（），下面给出20份数据的扇形统计图和“满意”等级的具体数据：86，88，87，89，86，88，89，90． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：①“满意”评分的数据中，中位数为______，②______； （2）本次调查中，有240名用户对软件进行了评分，估计其中对“”非常满意的用户总人数． 【答案】（1）①88，② （2）48 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，中位数，所占百分比，利用样本频数估计总体频数等知识点，解题的关键是熟练掌握以上概念和公式． （1）利用中位数的概念可得出中位数，利用占比公式即可得出所占百分比； （2）利用样本频数估计总体频数公式求解即可． 【小问1详解】 解：该“满意”组数据中共有8个数据，按照从小到大的顺序排列后，中位数取第4位和第5位的平均数， ∴中位数为， 根据题意得，“满意”组的所占百分比为 ， ∴“非常满意”组所占的百分比为， ∴， 故答案为：①88，②； 【小问2详解】 解：“非常满意”的用户总人数为： （人）， 所以，用样本估计总体，对“”非常满意的用户人数约为48人． 21. 如图，点P是平分线上的一点，点M是射线上的一点（异于点B），连结MP， 在射线B上用尺规作图的方法找一点N，使 ．下面有两种作图方法． 方法1：以B为圆心，为半径作弧，交射线 与N，连结，则 ． 方法2：以P为圆心，为半径作弧，交射线 与N，连结，则 ． （1）请选择你认为正确的方法作出图形，并证明； （2）直接写出当 的大小满足什么条件时，两种方法都正确． 【答案】（1） 解：方法一正确， 画图如图所示 证明：由作图可得 ， ∵平分， ∴ ， 在 和 中 ， ∴； （2） 或 【解析】 【分析】该题考查了尺规作图，全等三角形的判定． （1）方法一正确，根据题意画图即可；根据即可证明全等； （2）当以P为圆心，为半径作弧，与射线 的交点N只有一个，即当 或 时，两种方法都正确； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当 或 时，两种方法都正确． 理由：当 时， ，的长即为点P到的距离， 按照方法2作图，的长即为点P到的距离， ， 射线上有且只有一个点N符合，则 ； 当 时， ， 此时按照方法2作图， ， 射线上有且只有一个点N符合， 则 ． 22. 为了解某品牌新能源汽车的充电情况，经测试，在用快速充电桩或普通充电桩对该电动车充电时，其电量y（单位：）与充电时间x（单位；h）的函数图象如图所示，其中折线表示用快速充电桩充电时与x的函数关系；线段表示用普通充电桩充电时与x的函数关系．根据相关信息，回答下列问题： （1）用快速充电桩充电时，电池电量从充到需______小时． （2）求关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． （3）车主小叶发现电池剩余电量为，于是开始充电，先用普通充电桩充电，后改为快速充电桩充电到，先后充电总共用时，求a的值． 【答案】（1） （2）函数解析式为 （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式． （1）根据函数图象即可求出答案； （2）用待定系数法求出x的函数解析式即可； （3）方法1：由题意得分段函数向右平移，使C点至，即B点至，平移后的段与变于F点，分别求出、、 的解析式，令，即可得解； 方法2：由于普通充电桩充电1小时达不到，所以普通充电桩充电a小时后只能电量小于，求得段充电速度，根据先后充电总共用时，可得关于a的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，用快速充电桩充电时，电池电量从充到需要小时， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设函数解析式为 ，将，代入解析式， 得， 解得， 因此函数解析式为； 【小问3详解】 解：方法1：由题意得分段函数向右平移，使C点至，即B点至，平移后的段与变于F点， 的解析式为， 的函数解析式为， 的函数解析式为， 令， 解得； 方法2：由于普通充电桩充电1小时达不到，所以普通充电桩充电a小时后只能电量小于， 段充电速度， 由题意得， 解得． 23. 已知抛物线 （b，c为常数），经过点，． （1）①求b，c的关系式； ②求的最大值； （2）已知点，是抛物线 上的两点，且对于任意的实数t，不等式恒成立．若时，求t的取值范围． 【答案】（1）①；②的最大值为9； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①直接把代入 ，整理得；②把代入，故，则，即可作答． （2）先得出抛物线 上的开口向上，因为对于任何的t，恒成立，所以得点 为抛物线的顶点，对称轴为直线 ，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：①依题意，把代入 ， 得， ∴， ②由（1）得：， ∴， 把代入， 得 ∴， ∴的最大值为9 【小问2详解】 解：∵抛物线 上的 ， ∴开口向上， ∵对于任何的t，恒成立， 故点必为抛物线的最低点，即点 为抛物线的顶点， ∴对称轴为直线 ， ∴当时，y随着x的增大而减小，当 时，y随着x的增大而增大 ∵，点，是抛物线 上的两点， ∴ ∴， ∴． 24. 如图， ， ， ．过点 的直线与以为直径的相交于点 ，（点 在直径上方），与直径交于点 ．连接 ． （1）如图，若 ，点 与圆心重合，求的长； （2）如图，已知 平分 ． ①求证： ； ②若 ，求的长． 【答案】（1）； （2）①证明：在上取点 ，使 ， ∵ ， ∴， ∵是的直径， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ∴ ； ② 【解析】 【分析】（）利用勾股定理求出 即可求解； （）①在上取点 ，使 ，可证，得 ，进而得 ，即可得 ，即可求证；②连接 ，由角平分线的性质可得，即得 ，设 ，则 ，可得 ， ，由 可得 ，即得 ， ，在中，利用勾股定理可得，得到，即可得，，再由 求出 即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ，为直径， ∴， ∵ ， ∴， ∴； 【小问2详解】 ① 略 ②解：连接 ， ∵ 平分 ， ∴点 到 和的距离相等， ∵ ， ∴， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵是的直径， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ， ∴ ， ∴， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 温岭市2025年初中学业水平模拟考试试题 数 学 亲爱的考生： 欢迎参加考试！请你认真审题，仔细答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题． 4．本次考试不得使用计算器，请耐心解答，祝你成功！ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 6 2. 三个大小一样的正方体按如图摆放，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 航空母舰是现代海军不可或缺的利器，也是一个国家综合国力的象征，我国第四艘航空母舰即将下水，满载排水量约为110000吨．将数据110000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 下周二不带雨伞出门，被雨淋湿了身体 B. 篮球运动员投篮一次，投中篮框 C. 过一点能作出一条直线与已知直线平行 D. 将实心铁球放入水中，铁球下沉 6. 如图，将 绕点 逆时针旋转得到 ，若于点 ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，大正方形 由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形 组成，，较短直角边与较长直角边和为5，则正方形 的面积为（ ） A. 5 B. C. 10 D. 13 9. 点，，在反比例函数的图象上，，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，四边形 ，，，连结对角线，若要求出四边形 的面积，只需要知道（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解： ______． 12. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 _________． 13. 一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是红球的概率为______． 14. 如图， ， ，点O在 上，以点O为圆心为半径的 与 相切于点D，连结 ，若，则的度数为______． 15. 如图，在 中， 为 边上的中线， ，E为 上任意一点，，若 最小值为2时，则 的长为______． 16. 在矩形 中，E为的中点，将沿着翻折，得到，连接并延长与相交于点F，与 相交于点H．若点F恰好为的中点，则的值为______． 三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分） 17. 计算：． 18. 解方程组 19. 综合与实践 聪聪学习解直角三角形知识后，对光的折射进行了综合性的学习，查阅资料了解到，光从空气进入H液体，会发生折射，折射率，表示入射角，表示折射角． 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，测得水槽高度，一束光线从A点按固定方向投射到底部的B点形成光斑，测得． 第二步：向水槽注入H液体，液体高度时，此时光斑因光线折射向左移动至点D，测得．（其中O为入射点，直线为法线， 为入射光线， 为折射光线） 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求 的长； （2）求H液体的折射率n． 20. 随着科技发展，的诞生为我们的生活带来很多的便利，相关人员对“”软件开展了使用满意度测评，并从中抽取20份数据并进行整理、描述和分析，评分用表示，分为以下四个等级：不满意（），比较满意（），满意（），非常满意（），下面给出20份数据的扇形统计图和“满意”等级的具体数据：86，88，87，89，86，88，89，90． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：①“满意”评分的数据中，中位数为______，②______； （2）本次调查中，有240名用户对软件进行了评分，估计其中对“”非常满意的用户总人数． 21. 如图，点P是平分线上的一点，点M是射线 上的一点（异于点B），连结MP， 在射线B上用尺规作图的方法找一点N，使 ．下面有两种作图方法． 方法1：以B为圆心，为半径作弧，交射线 与N，连结，则 ． 方法2：以P为圆心，为半径作弧，交射线 与N，连结，则 ． （1）请选择你认为正确的方法作出图形，并证明； （2）直接写出当 的大小满足什么条件时，两种方法都正确． 22. 为了解某品牌新能源汽车的充电情况，经测试，在用快速充电桩或普通充电桩对该电动车充电时，其电量y（单位：）与充电时间x（单位；h）的函数图象如图所示，其中折线表示用快速充电桩充电时与x的函数关系；线段 表示用普通充电桩充电时与x的函数关系．根据相关信息，回答下列问题： （1）用快速充电桩充电时，电池电量从充到需______小时． （2）求关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． （3）车主小叶发现电池剩余电量为，于是开始充电，先用普通充电桩充电，后改为快速充电桩充电到，先后充电总共用时，求a的值． 23. 已知抛物线 （b，c为常数），经过点，． （1）①求b，c的关系式； ②求的最大值； （2）已知点，是抛物线 上的两点，且对于任意的实数t，不等式恒成立．若时，求t的取值范围． 24. 如图， ， ， ．过点 的直线与以 为直径的 相交于点 ，（点 在直径 上方），与直径 交于点 ．连接 ． （1）如图，若 ，点 与圆心 重合，求 的长； （2）如图，已知 平分 ． ①求证： ； ②若 ，求 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $