专题1.5 基本不等式及其应用（七类重难点题型精练）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点题型】精练（新教材新高考）

专题1.5 基本不等式 目录●重难点题型分布 序号 题型 重难点题型1 基本不等式及其应用 重难点题型2 “直接法”求最值 重难点题型3 “配凑法”求最值 重难点题型4 “1”的代换求最值 重难点题型5 齐次化求最值 重难点题型6 与、平方和、有关问题的最值 重难点题型7 其它综合问题 重难点题型1 基本不等式及其应用 1．（2023·河北衡水·一模）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江·二模）数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如下图，点为半圆上一点，，垂足为，记，则由可以直接证明的三角函数公式是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三上·浙江）如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立 D．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立 4．（2023·上海奉贤·二模）已知两个正数，的几何平均值为1，则的最小值为 ． 5．（2017·天津河东·二模）已知，，且，则的最小值是 ． 重难点题型2 “直接法”求最值 1．（24-25高一上·云南昭通·期中）若正实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 3．（2025·广东汕头·模拟预测）已知，为和的等差中项，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·福建漳州·模拟预测）（多选题）已知正实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽淮北·二模）若实数和的等差中项为1，则的最小值为 . 6．（24-25高三上·江西萍乡·期中）已知正数满足，则的最小值为 . 7．（2023·河北·高三学业考试）若，，且，则的最大值为______． 重难点题型3 “配凑法”求最值 1．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．6 2．（2025·辽宁·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 3．（2025·四川德阳·二模）若，则函数的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．（2025·河北石家庄·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·重庆·模拟预测）若，且，则的最小值为 ． 6．（2025·福建·模拟预测）已知，则的最小值为 . 重难点题型4 “1”的代换求最值 1．（2025·河北·三模）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．9 2．（2025·山东济南·二模）若随机变量，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 3．（2025·广西·三模）在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东日照·一模）点在直线上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．（2025·重庆·模拟预测）若，且，则的最小值为 ． 6．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知，，，则的最小值为 ． 7．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）中，为边的中点，为中线上的一点（不包含端点），且，则的最小值为 . 8．（21-22高一下·河北邢台·阶段练习）已知向量，若，则的最小值为 ． 重难点题型5 齐次化求最值 1．（2025·河南·模拟预测）若，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 2．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川德阳·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是 ． 5．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知，且，则的最小值是 . 6．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知，，且，则的最大值为 . 重难点题型6 与、平方和、有关问题的最值 1．（2024·四川攀枝花·一模）（多选题）已知实数，且满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·模拟预测）（多选题）已知，均为正数且，则下列不等式正确的有（     ） A． B． C． D． 3．（2025·江西上饶·二模）（多选题）若正实数满足，则（   ） A．的最大值是 B．的最小值是9 C．的最大值是 D．的最小值是 4．（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）若实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型7 其它综合问题 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 2．（2023·江西·二模）实数，，满足：，则的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北秦皇岛·三模）设，则的最大值为 . 4．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知，，且，若的最小值为3，则 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 基本不等式 目录●重难点题型分布 序号 题型 重难点题型1 基本不等式及其应用 重难点题型2 “直接法”求最值 重难点题型3 “配凑法”求最值 重难点题型4 “1”的代换求最值 重难点题型5 齐次化求最值 重难点题型6 与、平方和、有关问题的最值 重难点题型7 其它综合问题 重难点题型1 基本不等式及其应用 1．（2023·河北衡水·一模）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【分析】利用数形结合计算出，再在中，利用勾股定理得，再由，可得结论． 【详解】设，可得圆的半径为， 又由， 在中，可得， 因为，所以，当且仅当时取等号． 故选：D. 2．（2023·浙江·二模）数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如下图，点为半圆上一点，，垂足为，记，则由可以直接证明的三角函数公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】半角公式 【分析】根据直角三角形中的定义写出，用表示出，然后分析可得． 【详解】由已知，，则， 又，，，， 即，， 所以. 故选：B． 3．（22-23高三上·浙江）如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立 D．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【分析】可将直角三角形的两直角边长度取作，，斜边为，可得外围的正方形的面积为，也就是，四个阴影面积之和刚好为，可得对任意正实数和，有，即可得出． 【详解】可将直角三角形的两直角边长度取作，，斜边为， 则外围的正方形的面积为，也就是，四个阴影面积之和刚好为， 对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立． 故选：． 【点睛】本题考查了基本不等式的性质、正方形的面积计算公式，考查了推理能力，属于基础题． 4．（2023·上海奉贤·二模）已知两个正数，的几何平均值为1，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的内容及辨析 【分析】由几何平均值的定义得到，利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意得，即，故，当且仅当时，等号成立， 故答案为：2 5．（2017·天津河东·二模）已知，，且，则的最小值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本（均值）不等式求最值、基本不等式（均值定理） 【详解】因为，所以，即，所以，应填答案． 点睛：本题旨在考查基本不等式的灵活运用，求解时先运用基本不等式，即，进而得到，从而获得答案．运用基本不等式的三个条件是“正”＼“定”＼“等”缺一不可，这是运用基本不等式的前提． 重难点题型2 “直接法”求最值 1．（24-25高一上·云南昭通·期中）若正实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】利用基本不等式将方程化成，取求解关于的一元二次不等式即得. 【详解】正实数满足，又，则，当且仅当时取等号， 设则，代入整理可得，解得或， 因，故，故当时，取得最小值为2. 故选：B. 2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】条件等式求最值、解不含参数的一元二次不等式 【分析】利用基本不等式转化为一元二次不等式即可求解． 【详解】由题意可知，当时等号成立， 即， 令，则 解得或舍 即， 当且仅当时，等号成立． 故选：C. 3．（2025·广东汕头·模拟预测）已知，为和的等差中项，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】等差中项的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】根据条件得到，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】由题知，得到， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选：D. 4．（2025·福建漳州·模拟预测）（多选题）已知正实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】对于A，由基本不等式建立不等式，可得其正误；对于B，由等量关系可得函数解析式，根据二次函数的性质，可得其正误；对于C，利用基本不等式隐藏“1”的妙用，可得其正误；对于D，由等量关系可得函数解析式，利用基本不等式，可得其正误. 【详解】对于A，，当且仅当，等号成立，则，故A正确； 对于B，由，则，由，则， 所以，故B错误； 对于C，，当且仅当，等号成立，故C正确； 对于D，由B易知，当且仅当，等号成立，则，故D正确. 故选：ACD. 5．（2025·安徽淮北·二模）若实数和的等差中项为1，则的最小值为 . 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】等差中项的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】利用等差中项性质，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】若实数和的等差中项为1，则， ，即， 即，当且仅当取等号. 故 的最小值为2. 故答案为：2. 6．（24-25高三上·江西萍乡·期中）已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】12 【难度】0.94 【知识点】条件等式求最值 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为12. 故答案为：12. 7．（2023·河北·高三学业考试）若，，且，则的最大值为______． 【答案】 【解析】由题知，，，且 因为， 所以， 所以，即， 当且仅当，即时，取等号， 故答案为： 重难点题型3 “配凑法”求最值 1．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3. 故选：A 2．（2025·辽宁·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】变形应用基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 又， 当且仅当，即时等号成立. 故选：A. 3．（2025·四川德阳·二模）若，则函数的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当即时等号成立. 故选：C. 4．（2025·河北石家庄·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式来求得正确答案. 【详解】， ， 当且仅当时等号成立 故选：D 5．（2025·重庆·模拟预测）若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用已知条件构造，利用乘“1”法及基本不等式计算可得； 【详解】由，可知，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 6．（2025·福建·模拟预测）已知，则的最小值为 . 【答案】9 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】先设，再用基本不等式即可求得结果. 【详解】设， 则． （当且仅当,即时，即取“＝”） 故答案为：9 重难点题型4 “1”的代换求最值 1．（2025·河北·三模）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．9 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求出最小值. 【详解】由，得， 当且仅当时取等号得出最小值4， 故选：C. 2．（2025·山东济南·二模）若随机变量，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】由正态分布的对称性有，再应用“1”的代换和基本不等式求目标式的最小值. 【详解】由题设，则， 当且仅当时取等号，即的最小值为1. 故选：C 3．（2025·广西·三模）在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等差中项的应用、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由已知可得，再根据，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项， 所以，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：. 4．（2025·山东日照·一模）点在直线上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由题意求得，再利用常值代换法和基本不等式即可求得最小值. 【详解】因为点在直线上，可得. 则 因，则，当且仅当时等号成立. 即当时，取得最小值为. 故选：C. 5．（2025·重庆·模拟预测）若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用已知条件构造，利用乘“1”法及基本不等式计算可得； 【详解】由，可知，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 6．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知，，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用代换1法,结合基本不等式求最小值即可. 【详解】由题意得， 当且仅当时，即时取等号. 故答案为：. 7．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）中，为边的中点，为中线上的一点（不包含端点），且，则的最小值为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、平面向量共线定理的推论 【分析】根据题意可知，然后根据三点共线得出，再通过基本不等式求解即可. 【详解】如下图所示： 因为，为边的中点，所以， 又三点共线，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 因此的最小值为. 故答案为：. 8．（21-22高一下·河北邢台·阶段练习）已知向量，若，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量平行的坐标表示得，利用常数代换和基本不等式可得. 【详解】因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 重难点题型5 齐次化求最值 1．（2025·河南·模拟预测）若，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值 【分析】对目标式合理变形，再利用基本不等式求解即可． 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 2．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】设令，故，，变形得到，由基本不等式“1”的代换求出的最小值，从而得到答案. 【详解】正数，，满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 故选：D 3．（2024·四川德阳·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】结合条件可得，展开等式右侧，结合基本不等式求其最小值即可. 【详解】因为，所以， 所以 所以， 又，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当，，时等号成立， 所以的最小值为， 故选：A. 4．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是 ． 【答案】/0.25 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】方法一，利用换元法，然后根据基本不等式“1”的妙用求解.方法二，直接根据基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】方法一 设，，则， ， ， 当且仅当，，即，时取等号， ． 方法二，， ， 当且仅当，时取等号，． 故答案为： 5．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知，且，则的最小值是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值 【分析】利用代换1法来，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设，由对应系数相等得， 解得 所以，整理得， 即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 6．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知，，且，则的最大值为 . 【答案】/0.125 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】由已知条件，可变形为，利用基本不等式求出的最小值，可得的最大值. 【详解】已知，，且， 则， ， 当且仅当，即时等号成立， 则有，，所以的最大值为. 故答案为：. 重难点题型6 与、平方和、有关问题的最值 1．（2024·四川攀枝花·一模）（多选题）已知实数，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、由已知条件判断所给不等式是否正确、由基本不等式比较大小 【分析】根据不等式的性质，以及基本不等式，即可判断选项. 【详解】A.由条件可知，，则，故A正确； B.，当且仅当时等号成立，故B正确； C. ，当时等号成立，故C错误； D.因为，，故D正确. 故选：ABD 2．（2025·安徽·模拟预测）（多选题）已知，均为正数且，则下列不等式正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、由已知条件判断所给不等式是否正确、基本不等式求和的最小值 【分析】先根据原式化简得，则ABC选项可直接判断；由对数的运算性质结合基本不等式即可判断D. 【详解】由， 因为，均为正数，所以，，故A错误； 由上知，，所以，，所以，故B正确； ，，所以，故C错误； ， 当且仅当，时，等号成立，故D正确. 故选：BD. 3．（2025·江西上饶·二模）（多选题）若正实数满足，则（   ） A．的最大值是 B．的最小值是9 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式求积的最大值判断AC；利用“1”的妙用求出最小值判断B；消元利用二次函数求出最小值判断D. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，则， 当且仅当时取等号，D错误. 故选：ABC 4．（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）若实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】, 当时，，当且仅当或时等号成立，得， 当时，，当且仅当或时等号成立，得， 当时，由可得或 综合可得，故C正确，D错误； ， 当时，，故A错误，B正确； 故选：BC. 重难点题型7 其它综合问题 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求积的最大值、条件等式求最值 【分析】对进行变形，结合，运用基本不等式计算即可. 【详解】, 由于， 当且仅当，即取等号. 则. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键是对进行变形，然后结合进行配凑放缩，即可求出最值. 2．（2023·江西·二模）实数，，满足：，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】高次不等式、条件等式求最值 【分析】用立方和公式和完全平方公式将用与表示，再分离出，使用基本不等式求解即可. 【详解】∵，∴， ∴，∴， ∴， ∵，，令，则 易知与均不为且符号相同，∴，解得或. （此时，可通过验证时，满足题意，，结合选项确定选项D正确.） 又∵，，，， ∴由基本不等式，，当且仅当时，等号成立， ∴， 又∵， ∴，（当时，）， ∴解得，即，当且仅当时，等号成立. ∴综上所述，的取值范围是. 故选：D. 【点睛】易错点睛：本题若忽视中的与同号，直接使用基本不等式求解，就容易错解，而优先考虑与同号，并结合选项进行特值验证，则可以很轻松的选出正确选项. 3．（2024·河北秦皇岛·三模）设，则的最大值为 . 【答案】2 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本（均值）不等式的应用 【分析】设，利用基本不等式得到，再将右式配凑成的倍数，从而得解. 【详解】设，则，， 当且仅当，时，等号成立， 故. 令，解得，， 所以，当，时，等号成立. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用基本不等式，配凑出一个定值出来，从而得解. 4．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知，，且，若的最小值为3，则 . 【答案】8 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意整理可得，利用基本不等式可得，结合题意可得，运算求解即可. 【详解】因为，则， 又因为 ， 当且仅当，即时，等号成立. 即，由题意可知：，解得. 故答案为：8. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是根据整理可得，结合基本不等式运算求解即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$