专题1.4 等式与不等式的性质（五类重难点题型精练）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点题型】精练（新教材新高考）

专题1.4 等式与不等式的性质 目录●重难点题型分布 序号 题型 重难点题型1 不等式性质的应用 重难点题型2 比较数（或式）的大小与比较法证明不等式 重难点题型3 已知不等式的关系，求目标式的取值范围 重难点题型4 糖水不等式及其应用 重难点题型5 不等式的综合问题 重难点题型1 不等式性质的应用 1．（2025·四川绵阳·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件. 2．（2025·全国·模拟预测）已知，为实数，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·重庆·模拟预测）设 为均不为零的实数，且 ，则（     ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·北京·期中）若，，为非零实数，且，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·山西·阶段练习）（多选题）设，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025高三·全国·专题练习）（多选题）若，则（   ） A． B． C． D． 重难点题型2 比较数（或式）的大小与比较法证明不等式 1．（2025·云南昆明·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（2019·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2020高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）（多选题）若，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·河北·开学考试）（多选题）已知则下列不等式中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 重难点题型3 已知不等式的关系，求目标式的取值范围 1．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·山东·阶段练习）下列选项说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25高一上·云南德宏·期末）（多选题）若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 重难点题型4 糖水不等式及其应用 1．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建莆田·期末）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）(多选题)生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（    ） A．若，，则与的大小关系随m的变化而变化 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则一定有 4．（2024高三·全国·专题练习）糖水不等式：成立的实数是有条件限制的，使糖水不等式：不成立的的值可以是 .（只需填满足题意的一个值即可） 重难点题型5 不等式的综合问题 1．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知实数满足，，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 等式与不等式的性质 目录●重难点题型分布 序号 题型 重难点题型1 不等式性质的应用 重难点题型2 比较数（或式）的大小与比较法证明不等式 重难点题型3 已知不等式的关系，求目标式的取值范围 重难点题型4 糖水不等式及其应用 重难点题型5 不等式的综合问题 重难点题型1 不等式性质的应用 1．（2025·四川绵阳·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】结合不等式的基本性质及充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，满足，但不满足； 当时，，则. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（2025·全国·模拟预测）已知，为实数，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、由不等式的性质证明不等式 【分析】利用举反例的方法及不等式的性质，结合必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】因为，为实数，当，时，满足，但是， 所以若则是假命题； 而由，当时，得； 当时，得，所以由得， 所以若则是真命题； 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3．（2025·重庆·模拟预测）设 为均不为零的实数，且 ，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、绝对值三角不等式 【分析】对A，B，根据题意可得，当时易判断；对C，根据条件结合绝对值三角不等式求解判断；对D，举反例说明. 【详解】因为为均不为零的实数，且， 所以， 对于A，由，当时，得，故A错误； 对于B，由，当时，得，故B错误； 对于C，因为，所以，即，故C正确； 对于D，举反例，如，满足条件，但，故D错误. 故选：C. 4．（24-25高一上·北京·期中）若，，为非零实数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】举反例说明ABD是错误的，根据不等式的性质判断C的真假. 【详解】令，，则，， 因为此时，故A不成立； ，故B不成立； ，故D不成立； 根据不等式的基本性质：，，故C成立. 故选：C 5．（24-25高三下·山西·阶段练习）（多选题）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】利用不等式性质推理，结合特殊值法验证，逐个判断正误即可. 【详解】因为，，故，所以，故A正确； 不妨取，，则，故B错误； 因为，，所以，即，即，故C正确； 不妨取，，则，故D错误． 故选：AC. 6．（2025高三·全国·专题练习）（多选题）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】由不等式的性质逐项判断即可； 【详解】对于A，取，则，A错误； 对B，由，则，则有，故B正确； 对C，由，则，则 即，等价于， 等价于，等价于，即C正确； 对D，由，则， ，即等价于， 由，即等价于，等价于，即，成立，故D正确． 故选：BCD 重难点题型2 比较数（或式）的大小与比较法证明不等式 1．（2025·云南昆明·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】根据题意，由原式可得，然后由作差法分别比较与，与的大小关系，即可得到结果. 【详解】由，且可得，即， 则， 又，即，化简可得， 即，其中， 所以，即，所以， 所以，所以， 又，所以， 综上所述，. 故选：A 2．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C. 【详解】对A：若，，则有，， 此时，故A错误； 对B：若，，则有，， 此时，故B错误； 对C：， 由，故，，，故， 即，故C正确； 对D：若，，则，， 此时，故D错误. 故选：C. 3．（2019·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】作商法比较代数式的大小 【分析】根据作商法比较大小，即可得出结果. 【详解】因为实数，，满足，，， 所以， ∴； 又， ∴； ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查作商法比较大小，属于基础题型. 4．（2020高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】作商法比较代数式的大小 【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题. 5．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）（多选题）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法，适当放缩比较、和、的大小，得到、、的大小关系即可求解. 【详解】，，， ， 所以， ， 所以，所以， 所以B、C、D正确，A错误. 故选：BCD 6．（24-25高三下·河北·开学考试）（多选题）已知则下列不等式中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法比较数的大小可判断AC；由已知可得，可判断B；利用基本不等式可求得，可判断D. 【详解】当时故A错误； 当时，，故B正确； 当时故C错误； ，故D正确. 故选：BD. 重难点题型3 已知不等式的关系，求目标式的取值范围 1．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】易得，再结合已知可得，由，得，即可比较，利用作差法即可比较，即可得解. 【详解】由，得， 因为，当且仅当时取等号， 所以， 因为，所以， 当时，，此时，， 这与矛盾，所以， 由，得， 所以，当且仅当时取等号， 由A选项知，当时，不符题意， 所以， 由，可得， 因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 由，得， 则， 因为，， 所以， 又因为，所以，所以， 综上所述，. 故选：A. 2．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质以及代入特殊值可求得结果. 【详解】对于A，令，则，故选项A错误； 对于B，因为，则，故选项B正确； 对于C，因为，则，故选项C错误； 对于D，因为，则，所以，故选项D错误； 故选：B 3．（24-25高三上·山东·阶段练习）下列选项说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】利用不等式的性质，结合特例法逐一判断即可. 【详解】对于A，反例，，则，故A错误； 对于B，反例，即，而，故B错误； 对于C，若，则，所以，故C错误； 对于D，，，则，所以，即，故D正确. 故选：D. 4．（24-25高一上·云南德宏·期末）（多选题）若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】根据不等式的性质即可判断ABC；利用作差法即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以，故B正确； 对于C，由A选项知，，， 所以，故C错误； 对于D，， 因为，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 重难点题型4 糖水不等式及其应用 1．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】糖水变甜，表示糖的浓度变大，即. 【详解】这一事实表示为一个不等式为． 证明：， 又，， ，即， 即. 故选： 2．（24-25高一上·福建莆田·期末）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据给定的信息，利用不等式的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，，，则，B错误. 对于C，由，得，C正确； 对于D，，D错误； 故选：C 3．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）(多选题)生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（    ） A．若，，则与的大小关系随m的变化而变化 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则一定有 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】由作差法可判断ABC，由不等式的性质可判断D 【详解】对于A，，， ，，故A错误， 对于B，，， ，，故B正确， 对于C，，， ，， ， ，故C正确， 对于D，，， ，， ，故D正确， 故选：BCD 4．（2024高三·全国·专题练习）糖水不等式：成立的实数是有条件限制的，使糖水不等式：不成立的的值可以是 .（只需填满足题意的一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】解不等式得出不等式成立的取值范围即可. 【详解】由，得，即，解得或， 则当或时，不等式成立， 所以不成立的的值可以是（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一） 重难点题型5 不等式的综合问题 1．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知实数满足，，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由对数函数的单调性解不等式、由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】对于A，B，设，利用比值代换可判断A，B的正误，对于C，D，同样设，利用比值代换可判断它们的正误. 【详解】对于A，B，若有一个为零，则它们都为零，此时A，B均成立； 若，设，则且即， 故，则，否则，这显然不成立，故，， 当时，因，即，A错误； 当时，因， 故，故B错误； 对于C，D，设，则且，则， 即，则，否则，这显然不成立， 故，则 故， 当时，，因，故，故C不成立， 而， 设，则， 当时，；当时，， 故在上单调递减，在上为单调递增， 故， 又，则，故D成立. 故选：D. 【点睛】思路点睛：对于与指数或对数有关的多变量不等式关系的讨论问题，可结合方程的形式选择合适的比值代换，从而把前者转化为一元不等式问题来处理，后者可结合导数来讨论. 2．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值、作差法比较代数式的大小 【分析】根据二倍角公式将变形，，作差，结合三角函数的性质即可判断大小；判断和，和的大小，可作差后构造函数，通过求导判断函数的单调性即可判断大小. 【详解】因为，，， 所以， 所以， ， 构造函数，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，又， 所以，即， ， 构造函数，， 则， 所以函数在上单调递增，所以， 所以，即， 综上，. 故选：. 【点睛】关键点点睛：比较大小可通过作差法，然后结合题意构造函数，通过求导判断函数的单调性求解. 3．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】通过比较的大小，可比较的大小，由于，则，构造函数，利用导数求出其最小值，从而可比较的大小，进而可得答案. 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以， 令，则 ， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以， 所以当时，， 所以，所以， 所以，所以， 综上. 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查比较大小，考查导数的应用，解题的关键是对变形，然后构造函数，利用导数判断其单调性求出最值，然后比较大小，考查计算能力和转化思想，属于较难题. 4．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、利用不等式求值或取值范围 【分析】由题意可得，利用换元法可将原式变形再利用基本不等式即可求得结果. 【详解】由可得，且 因此， 令，则； 又； 当且仅当时，即时，等号成立； 此时的最小值为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将未知数个数减少，并合理变形利用基本不等式求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$