第17讲 计算体积容积(讲义)---2025小升初数学热点考点通关宝典

第 1 页 共 16 页 第 17 讲 计算体积容积 1、长方体和正方体的体积 ........................................................2 2、圆柱的体积 ..................................................................5 3、圆锥的体积 ..................................................................7 4、组合图形的体积 .............................................................10 5、探索某些实物体积的测量方法 .................................................13 热点考点 考查频率 考点难度 长方体和正方体的体积 ★★★ ★★ 圆柱的体积 ★★★ ★★ 圆锥的体积 ★★ ★★ 组合图形的体积 ★★★ ★★★ 探索某些实物体积的测量方 法 ★★ ★★★ 【考情分析】体积与容积计算是小升初数学重要考查内容，在试卷中占比约 10- 考点目录 热点透析 考情透析 第 2 页 共 16 页 15%，主要分布在填空题、选择题和实际应用题中。该知识点是小学阶段立体 几何的核心内容，也是衔接初中几何学习的关键基础。 长方体和正方体的体积 长方体体积公式：V=abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V=a3．（a表示棱长） 例 1： 例 1求下面各图形的体积． 【分析】（1）根据长方体的体积=长×宽×高，代入数据解答即可； （2）根据正方体的体积=边长×边长×边长，代入数据解答即可． 【解答】解：（1）长方体体积：6×4×5 =24×5 =120（立方厘米） 答：长方体的体积是 120立方厘米． （2）8×8×8 =64×8 =512（立方毫米） 答：正方体的体积是 512立方毫米． 热点突破 1 关键知识 典型例题 第 3 页 共 16 页 【点评】此题主要考查了长方体和正方体的体积公式的应用． 例 2（2025春•凉州区校级期中）计算下列图形的体积。 【答案】（1）100立方厘米； （2）848立方分米。 【分析】（1）根据长方体的体积公式：V=Sh,把数据代入公式解答。 （2）根据正方体的体积公式：V=a3，长方体的体积公式：V=abh,把数据代入公式求出正方体 与长方体的体积和即可。 【解答】解：（1）25×4=100（立方厘米） 答：这个长方体的体积是 100立方厘米。 （2）2×2×2+15×8×7 =4×2+120×7 =8+840 =848（立方分米） 答：这个组合图形的体积是 848立方分米。 【点评】此题主要考查长方体、正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【跟踪训练 1】（2024秋•金水区期末）一个长方体形状的玻璃鱼缸，从里面量长 7分米，宽 4分米，高 6分米。向鱼缸内注水，当鱼缸内的水高第 1次出现正方形面时，鱼缸内有水 （　　）升。 A．112 B．144 C．168 【跟踪训练 2】（2025春•霞山区校级期中）有一块棱长是 10厘米的实心正方体铁块，要把 它熔化后做成一个实心长方体，已知实心长方体的长是 25厘米，宽是 10厘米，则这个实心 长方体的高是（　　）厘米。 跟踪训练 第 4 页 共 16 页 A．4 B．6 C．7 D．8 【跟踪训练 3】（2025春•银川期中）如图正方体容器的体积是 ______cm3，将这个容器装满 水，然后把这些水倒入一个从里面量长 60cm、宽 25cm、高 30cm的空的长方体容器里，长方 体容器里的水深 ______cm。 【跟踪训练 4】（2024秋•鼓楼区期末）一个装满牛奶的长方体牛奶盒，长 6厘米，宽 5厘 米，高 12厘米。乐乐倒出一些牛奶后，盒中空出的部分如图所示，乐乐倒出了 ______毫升 牛奶。 【跟踪训练 5】（2025春•银川期中）依依往一个长是 12厘米，宽是 10厘米，高是 9厘米， 水深 7.5厘米的长方体容器中投入一块棱长是 5厘米的正方体石块，此时的水是否会溢出？ 请计算说明。 【跟踪训练 6】（2024秋•天宁区期末）如图，把一张正方形铁皮沿虚线折叠，围成一个长方 体的侧面。给这个长方体配一个底面，这个长方体的容积是多少毫升？ 第 5 页 共 16 页 圆柱的体积 若一个圆柱底面半径为 r，高为 h，则圆柱的体积为 V=πr2h 例 1： 例 1（2023•巴南区）计算如图物体的体积（π取 3.14）。 【答案】502.4立方米。 【分析】根据圆柱的体积=底面积×高计算即可。 【解答】解：3.14×（8÷2）2×10 热点突破 2 关键知识 典型例题 第 6 页 共 16 页 =3.14×16×10 =50.24×10 =502.4（立方米） 答：图形的体积是 502.4立方米。 【点评】本题考查的是圆柱体积计算公式的运用，熟记公式是解答本题的关键。 例 2（2024•连云港模拟）计算如图的体积。 【答案】1318.8立方分米。 【分析】先运用圆环的面积公式求出这个空心圆柱的底面积，再运用圆柱的体积公式计算即 可解答。 【解答】解：10÷2=5（分米） 4÷2=2（分米） 3.14×（52-22）×20 =3.14×（25-4）×20 =3.14×21×20 =65.94×20 =1318.8（立方分米） 答：这个空心圆柱的体积是 1318.8立方分米。 【点评】此题考查圆环的面积公式与圆柱的体积公式的灵活应用。 【跟踪训练 1】（2025春•石家庄期中）把一个棱长为 4cm的正方体木块削成最大的圆柱，圆 柱的体积是（　　）cm3。 A．50.24 B．100.48 C．64 D．25.12 【跟踪训练 2】（2025春•梁溪区期中）数学思想方法是数学的灵魂。转化思想作为重要的数 跟踪训练 第 7 页 共 16 页 学思想方法之一，在我们的学习生活中，它无处不在。一个瓶子里装有一些水（如图），根 据图中标出的数据，可得瓶中水的体积占瓶子容积的（　　） A． 7 9 B． 4 5 C． 7 10 D． 7 8 【跟踪训练 3】（2025春•榕城区期中）把一个长 5厘米，宽 3厘米的长方形硬纸板的长边粘 在小棍上，快速转动起来形成 ______，转动起来所形成图形的体积是 ______立方厘米。 【跟踪训练 4】（2025春•白云区期中）一个圆柱形状的橡皮泥，体积 6.28cm3。如果把它重 新捏成一个底面积是 3.14cm2的圆柱体，高是 ______。 【跟踪训练 5】（2025春•莱西市期中）将一个棱长 4厘米的正方体削成一个体积最大的圆柱 体，求削去部分的体积是多少立方厘米？ 【跟踪训练 6】（2025春•裕华区期中）计算如图图形的体积。（单位：cm） 圆锥的体积 圆锥体积= 1 3 ×底面积×高，用字母表示： 热点突破 3 关键知识 第 8 页 共 16 页 V= 1 3 Sh= 1 3 πr2h，（S表示底面积，h表示高） 例 1： 例 1（2024•无锡模拟）求体积。 典型例题 第 9 页 共 16 页 【答案】314立方厘米。 【分析】圆锥的体积=底面积×高× 1 3 ，据此计算即可。 【解答】解：3.14×5×5×12× 1 3 =3.14×100 =314（立方厘米） 答：圆锥的体积是 314立方厘米。 【点评】掌握圆锥的体积公式是解题的关键。 例 2（2024•邻水县）求如图三角形绕轴 AB旋转一周所形成的几何体的体积。 【答案】50.24立方厘米。 【分析】根据图可知：绕轴 AB旋转一周所形成的几何体是一个圆锥体，圆锥的底面半径是 4 厘米，高是 3厘米，进而根据：圆锥的体积= 1 3 πr2h,由此解答即可。 【解答】解： 1 3 ×3.14×42×3 =3.14×16 =50.24（立方厘米） 答：围成的几何体的体积是 50.24立方厘米。 【点评】灵活掌握圆锥的体积计算公式，是解答此题的关键。 【跟踪训练 1】（2025春•安丘市期中）一个圆锥形零件的体积是 5.1立方分米，高是 1.7分 米，底面积是（　　）平方分米。 A．3 B．6 C．9 D．28.26 跟踪训练 第 10 页 共 16 页 【跟踪训练 2】（2025春•海淀区期中）圆柱和圆锥底面半径的比是 1：3，高的比也是 1： 3，那么圆柱和圆锥体积的比是（　　） A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9 【跟踪训练 3】（2025春•泉州期中）淘气有一个近似圆锥形的玩具（如图），如果用一个长 方体盒子包装玩具，这个盒子的容积至少是 ______cm3。 【跟踪训练 4】（2025春•芝罘区期中）一个直角三角形的两条直角边分别是 3厘米和 4厘 米．以 4厘米的直角边为轴旋转 1周，所得到的立体图形是______，它的体积是______立方 厘米． 【跟踪训练 5】（2025春•蓝田县期中）一个装有水的圆柱形容器，从里面量底面直径是 12 分米，高是 8分米，水深 7分米，现将一个底面积是 62.8平方分米的圆锥完全沉入水中，溢 出了 3.14升水。这个圆锥的高是多少分米？ 【跟踪训练 6】（2025春•下陆区校级期中）一辆大卡车的长方体车厢从里面量长是 6.28 米，宽是 2米，高是 1米，里面装满沙子（跟车厢的高度平齐）。把沙子倒在地上能形成一 个底面半径是 2米的近似的圆锥形沙堆，这个沙堆的高是多少米？ 组合图形的体积 可以先把组合图形分解成独立的图形，然后相加减去重叠部分的体积． 热点突破 4 关键知识 典型例题 第 11 页 共 16 页 例 1： 例 1（2024春•西秀区校级期中）如图：求这个物体的体积。 【答案】432。 【分析】根据“长方体体积公式：V=abh（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示 高）”，分别计算出两个长方体的体积后相加求和即可解答本题。 【解答】解：12×5×6+6×3×4 =360+72 =432 答：这个物体的体积是 432。 【点评】本题考查了长方体体积计算。 例 2（2024春•丹江口市期中）求如图这个零件的体积。（单位：cm） 【答案】7822.5cm3。 【分析】依据题意结合图示可知，图形的体积等于长方体的体积减去圆柱体积的一半，由此 解答本题。 【解答】解：20×30×15-3.14×52×30÷2 =9000-1177.5 =7822.5（cm3） 答：图形的体积是 7822.5cm3。 第 12 页 共 16 页 【点评】本题考查的是组合图形的体积的应用。 【跟踪训练 1】（2025春•龙岗区期中）一年一度的科技节正如火如荼的进行中，如图是乐乐 参加比赛制作的火箭模型，其体积是（　　） A．125.6cm3 B．100.48cm3 C．150.72cm3 D．200.96cm3 【跟踪训练 2】（2023春•广西期末）计算下面立体图形的体积（单位：厘米），下列列式正 确的是（　　） A．20×6×12 B．20×6×12-6×6×6 C．20×6×12+6×6×6 【跟踪训练 3】（2024•怀化）如图，梯形 ABCD以 AB为轴旋转一周得到了一个几何体，已知 AB=3分米，BC=AB，CD=5分米，那么这个几何体的体积是 ______立方分米。 【跟踪训练 4】（2024•鹿城区）商店出售一种摆件，长度如图所示（单位：cm）。用这样的 两个完全一样的摆件可以拼成一个 ______体。这个摆件的体积是 ______cm3。 【跟踪训练 5】（2024春•崇明区期末）如图，计算组合体的体积（单位：厘米）。 跟踪训练 第 13 页 共 16 页 【跟踪训练 6】（2025春•市北区期末）求下面图形的体积。 探索某些实物体积的测量方法 1．用排水法来测量不规则物体的体积．在有刻度的量杯里装上水，记下水的体积，把不规 则的物体放入杯中，记下此时的体积，求出两次体积的差，就求出了不规则物体的体积， 最后再将容积单位换算成体积单位． 2．通过测多个相同物体的体积，然后除以数量得到每个物体的体积． 例 1： 例 1、下面是小明为测量西红柿的体积所做的实验，请计算出这个西红柿的体积。（单位： 厘米） 【答案】90立方厘米。 【分析】首先根据图意，求出放入西红柿后水面上升的高度，然后利用底面积乘上升的高度 即可解答。 热点突破 5 关键知识 典型例题 第 14 页 共 16 页 【解答】解：6-5=1（厘米） 15×6×1=90（立方厘米） 答：这个西红柿的体积是 90立方厘米。 【点评】此题主要考查某些实物体积的测量方法。 例 2、求图中大、小圆球的体积． 【分析】观察图形可知，放入一个大球和一个小圆球后，溢出 44-24=20毫升水，即一个大球 和一个小圆球的体积和相当于 20毫升水的体积，20毫升=20立方厘米，根据图二可得，一个 小球的体积是 24-20=4立方厘米，那么一个大球的体积是 20-4=16立方厘米． 【解答】解：24毫升=24立方厘米，44毫升=44立方厘米 44-24=20（立方厘米） 24-20=4（立方厘米） 20-4=16（立方厘米） 答：大圆球的体积是 16立方厘米、小圆球的体积是 4立方厘米． 【点评】解答此题的关键是求出一个小圆球的体积是多少． 【跟踪训练 1】（2025春•永昌县期末）玲玲家有一个长方体鱼缸。从里面量，长是 60厘 米，宽是 15厘米，里面盛有水，水里养有一条鱼，此时水面高度是 20厘米，如果把这条鱼 捞出来，水面将下降到 18厘米。这条鱼的体积是（　　）立方厘米。 A．5400 B．1800 C．16200 D．18000 【跟踪训练 2】（2025春•安溪县期中）仔细观察，下列算式能计算出西红柿体积的是 （　　） 跟踪训练 第 15 页 共 16 页 A．10×10×（12-2）-10×10×8.5 B．10×10×（12-2）-10×10×（12-8.5） C．10×10×（12-2）-10×10×2 D．10×10×12-10×10×（12-8.5） 【跟踪训练 3】（2025春•成都期中）一个棱长为 2dm的正方体容器中装有一些水，放入一块 体积是 2.4dm3的石块后（石块完全浸没在水中，如图），水面上升了 ______dm。 【跟踪训练 4】（2025春•怀宁县期末）根据以下测量过程，推测图中大圆球的体积是 ______。 【跟踪训练 5】（2024春•荔湾区期末）玲玲为了比较苹果和芒果的体积做了如图实验。（玻 璃的厚度不计，图中单位：cm） 谁的体积大？大了多少立方厘米？ 【跟踪训练 6】（2024•江山市）在一节数学课上，3名同学准备测量 1颗钢珠的体积。（π 取 3.14） 测量步骤如下： 第一步：奇思准备了一个圆柱形玻璃杯，从里面测量出它的底面直径是 8cm,高是 20cm； 第 16 页 共 16 页 第二步：如图①，妙想往玻璃杯里注入一些水，并测得水的高度与水面离杯口的距离之比是 3：2； 第三步：如图②，淘气把 20颗同样大小的钢珠完全浸没在水中，并测得此时水的高度与水面 离杯口的距离之比是 3：1。 （1）求出图①水的高度。 （2）计算出每颗钢珠的体积。 第17讲 计算体积容积 强化训练 一．选择题（共10小题） 1．把4张边长是12cm的正方形硬纸，各剪去4个大小一样的正方形（如图，单位：cm），做成无盖的纸盒。纸盒容积最大的是（　　） A． B． C． D． 2．一个斜着放置的圆柱形容器（如图）最多可以容纳60mL的水，涂色部分表示已有的水，这些水的体积是（　　） A．25mL B．30mL C．35mL D．50mL 3．一个长方体形状的玻璃鱼缸，从里面量长7分米，宽4分米，高6分米。向鱼缸内注水，当鱼缸内的水高第1次出现正方形面时，鱼缸内有水（　　）升。 A．112 B．144 C．168 4．淘气用摆小正方体的方法测量一个长方体容器的容积，每个小正方体棱长为1厘米，如图所示，这个长方体容器的容积可能是（　　）立方厘米。 A．20 B．23 C．28 D．30 5．一个圆柱形零件，沿直径平均分成两块切下（如图），横截面是边长为4cm的正方形。圆柱形零件的体积是（　　）cm3。（用含π的式子表示最简结果） A．4π B．16π C．32π D．64π 6．玲玲家有一个长方体鱼缸。从里面量，长是60厘米，宽是15厘米，里面盛有水，水里养有一条鱼，此时水面高度是20厘米，如果把这条鱼捞出来，水面将下降到18厘米。这条鱼的体积是（　　）立方厘米。 A．5400 B．1800 C．16200 D．18000 7．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，如果圆锥的体积是32立方厘米，那么削去部分的体积是（　　）立方厘米。 A．96 B．64 C．32 D．16 8．如图，一个长方体被挖掉了一小块，下面说法完全正确的是（　　） A．体积减少，表面积也减少 B．体积不变，表面积增加 C．体积减少，表面积不变 D．体积不变，表面积也不变 9．一个长方体容器的底面是正方形，容器中的水面高1dm,如果放入6个体积一样的玩具球后（玩具球完全浸没在水中且水未溢出），水面升高3cm,要求一个玩具球的体积，只需要知道（　　）即可。 A．6个玩具球的质量 B．长方体容器的表面积 C．长方体容器的底面周长 D．长方体容器的高 10．爸爸带乐乐和天天一起去海边捡贝壳，乐乐捡到一个海螺，天天捡到一个海星，他们想要比一比谁的体积大，于是他们做了如图的实验，体积较大的是（　　） A．海螺 B．海星 C．一样大 D．无法比较 二．填空题（共5小题） 11．如果一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是40cm3，则圆锥的体积是______cm3，圆柱的体积是______cm3． 12．一个圆锥的底面半径扩大3倍，高不变，体积扩大 ______倍；若高也扩大2倍，体积扩大 ______倍。 13．如图中，每个小正方体的棱长都是10厘米，则大长方体的容积是 ______dm3；如果要把大长方体填满，需要再补 ______个这样的小正方体。 14．一个圆柱容器的底面直径为10cm,高为20cm,一个圆锥容器的底面直径也为10cm。小西先用这个圆柱装满水，再将水倒入圆锥并灌满，结果如图所示。这个圆锥容器高______cm。 15．如图是我国古代的一种计量时间的仪器——沙漏（又称沙钟）。它的上、下两部分是两个完全相同的圆锥，其中一个装满细沙，单个圆锥的高为9m。漏口每秒漏出细沙0.05立方厘米，漏完全部细沙用时30分钟。这个沙漏的底面积是 ______平方厘米。 三．计算题（共3小题） 16．计算下面图形的体积。 17．求如图这个零件的体积。（单位：cm） 18．2024年4月24日是中国航天日。李磊制作了一个火箭模型（如图）。计算出它的体积。 ​ 四．应用题（共5小题） 19．一个高3分米，底面直径20厘米的圆柱形水桶里装满水，水中放着一个底面直径为12厘米，高为15厘米的铁质圆锥体，当把这个铁质圆锥体取出后，水面会下降多少厘米？（取圆锥体过程中溢出的水忽略不计） 20．一块长方形铁皮（如图），从四个角各剪去边长5cm的正方形，然后焊接成一个无盖盒子。这个盒子的容积是多少升？（原铁皮长30cm,宽20cm） 21．阿尔贝罗贝洛是意大利普利亚大区巴里省的一个小城，城内的圆顶石屋建筑世界知名，1996年被联合国教科文组织列为世界文化遗产。如图是一个圆顶石屋的星顶，它的内部空间是7.065m3，它的高是多少米？ 22．晓玉将石块放入盛有水的长方体容器中，利用排水法求石块的体积。已知长方体容器长2分米，宽1.5分米，水深1分米。石块完全浸入水中，水深变为1.4分米，求石块体积。 23．如图，一个长方体的密封玻璃容器（玻璃厚度忽略不计）长6分米，宽3分米，高4分米，平放时水深2分米。 （1）水与玻璃接触面积是多少平方分米？ （2）如果把这个密封容器向右翻转竖起来平放，这时水深多少分米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 计算体积容积 考点目录 1、长方体和正方体的体积 2 2、圆柱的体积 5 3、圆锥的体积 7 4、组合图形的体积 10 5、探索某些实物体积的测量方法 13 热点透析 考情透析 热点考点 考查频率 考点难度 长方体和正方体的体积 ★★★ ★★ 圆柱的体积 ★★★ ★★ 圆锥的体积 ★★ ★★ 组合图形的体积 ★★★ ★★★ 探索某些实物体积的测量方法 ★★ ★★★ 【考情分析】体积与容积计算是小升初数学重要考查内容，在试卷中占比约10-15%，主要分布在填空题、选择题和实际应用题中。该知识点是小学阶段立体几何的核心内容，也是衔接初中几何学习的关键基础。 热点突破1 关键知识 长方体和正方体的体积 长方体体积公式：V=abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V=a3．（a表示棱长） 典型例题 例1： 例1求下面各图形的体积． 【分析】（1）根据长方体的体积=长×宽×高，代入数据解答即可； （2）根据正方体的体积=边长×边长×边长，代入数据解答即可． 【解答】解：（1）长方体体积：6×4×5 =24×5 =120（立方厘米） 答：长方体的体积是120立方厘米． （2）8×8×8 =64×8 =512（立方毫米） 答：正方体的体积是512立方毫米． 【点评】此题主要考查了长方体和正方体的体积公式的应用． 例2（2025春•凉州区校级期中）计算下列图形的体积。 【答案】（1）100立方厘米； （2）848立方分米。 【分析】（1）根据长方体的体积公式：V=Sh,把数据代入公式解答。 （2）根据正方体的体积公式：V=a3，长方体的体积公式：V=abh,把数据代入公式求出正方体与长方体的体积和即可。 【解答】解：（1）25×4=100（立方厘米） 答：这个长方体的体积是100立方厘米。 （2）2×2×2+15×8×7 =4×2+120×7 =8+840 =848（立方分米） 答：这个组合图形的体积是848立方分米。 【点评】此题主要考查长方体、正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024秋•金水区期末）一个长方体形状的玻璃鱼缸，从里面量长7分米，宽4分米，高6分米。向鱼缸内注水，当鱼缸内的水高第1次出现正方形面时，鱼缸内有水（　　）升。 A．112 B．144 C．168 【跟踪训练2】（2025春•霞山区校级期中）有一块棱长是10厘米的实心正方体铁块，要把它熔化后做成一个实心长方体，已知实心长方体的长是25厘米，宽是10厘米，则这个实心长方体的高是（　　）厘米。 A．4 B．6 C．7 D．8 【跟踪训练3】（2025春•银川期中）如图正方体容器的体积是 ______cm3，将这个容器装满水，然后把这些水倒入一个从里面量长60cm、宽25cm、高30cm的空的长方体容器里，长方体容器里的水深 ______cm。 【跟踪训练4】（2024秋•鼓楼区期末）一个装满牛奶的长方体牛奶盒，长6厘米，宽5厘米，高12厘米。乐乐倒出一些牛奶后，盒中空出的部分如图所示，乐乐倒出了 ______毫升牛奶。 【跟踪训练5】（2025春•银川期中）依依往一个长是12厘米，宽是10厘米，高是9厘米，水深7.5厘米的长方体容器中投入一块棱长是5厘米的正方体石块，此时的水是否会溢出？请计算说明。 【跟踪训练6】（2024秋•天宁区期末）如图，把一张正方形铁皮沿虚线折叠，围成一个长方体的侧面。给这个长方体配一个底面，这个长方体的容积是多少毫升？ 热点突破2 关键知识 圆柱的体积 若一个圆柱底面半径为r，高为h，则圆柱的体积为V=πr2h 典型例题 例1： 例1（2023•巴南区）计算如图物体的体积（π取3.14）。 【答案】502.4立方米。 【分析】根据圆柱的体积=底面积×高计算即可。 【解答】解：3.14×（8÷2）2×10 =3.14×16×10 =50.24×10 =502.4（立方米） 答：图形的体积是502.4立方米。 【点评】本题考查的是圆柱体积计算公式的运用，熟记公式是解答本题的关键。 例2（2024•连云港模拟）计算如图的体积。 【答案】1318.8立方分米。 【分析】先运用圆环的面积公式求出这个空心圆柱的底面积，再运用圆柱的体积公式计算即可解答。 【解答】解：10÷2=5（分米） 4÷2=2（分米） 3.14×（52-22）×20 =3.14×（25-4）×20 =3.14×21×20 =65.94×20 =1318.8（立方分米） 答：这个空心圆柱的体积是1318.8立方分米。 【点评】此题考查圆环的面积公式与圆柱的体积公式的灵活应用。 跟踪训练 【跟踪训练1】（2025春•石家庄期中）把一个棱长为4cm的正方体木块削成最大的圆柱，圆柱的体积是（　　）cm3。 A．50.24 B．100.48 C．64 D．25.12 【跟踪训练2】（2025春•梁溪区期中）数学思想方法是数学的灵魂。转化思想作为重要的数学思想方法之一，在我们的学习生活中，它无处不在。一个瓶子里装有一些水（如图），根据图中标出的数据，可得瓶中水的体积占瓶子容积的（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练3】（2025春•榕城区期中）把一个长5厘米，宽3厘米的长方形硬纸板的长边粘在小棍上，快速转动起来形成 ______，转动起来所形成图形的体积是 ______立方厘米。 【跟踪训练4】（2025春•白云区期中）一个圆柱形状的橡皮泥，体积6.28cm3。如果把它重新捏成一个底面积是3.14cm2的圆柱体，高是 ______。 【跟踪训练5】（2025春•莱西市期中）将一个棱长4厘米的正方体削成一个体积最大的圆柱体，求削去部分的体积是多少立方厘米？ 【跟踪训练6】（2025春•裕华区期中）计算如图图形的体积。（单位：cm） 热点突破3 关键知识 圆锥的体积 圆锥体积=×底面积×高，用字母表示： V=Sh=πr2h，（S表示底面积，h表示高） 典型例题 例1： 例1（2024•无锡模拟）求体积。 【答案】314立方厘米。 【分析】圆锥的体积=底面积×高×，据此计算即可。 【解答】解：3.14×5×5×12× =3.14×100 =314（立方厘米） 答：圆锥的体积是314立方厘米。 【点评】掌握圆锥的体积公式是解题的关键。 例2（2024•邻水县）求如图三角形绕轴AB旋转一周所形成的几何体的体积。 【答案】50.24立方厘米。 【分析】根据图可知：绕轴AB旋转一周所形成的几何体是一个圆锥体，圆锥的底面半径是4厘米，高是3厘米，进而根据：圆锥的体积=πr2h,由此解答即可。 【解答】解：×3.14×42×3 =3.14×16 =50.24（立方厘米） 答：围成的几何体的体积是50.24立方厘米。 【点评】灵活掌握圆锥的体积计算公式，是解答此题的关键。 跟踪训练 【跟踪训练1】（2025春•安丘市期中）一个圆锥形零件的体积是5.1立方分米，高是1.7分米，底面积是（　　）平方分米。 A．3 B．6 C．9 D．28.26 【跟踪训练2】（2025春•海淀区期中）圆柱和圆锥底面半径的比是1：3，高的比也是1：3，那么圆柱和圆锥体积的比是（　　） A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9 【跟踪训练3】（2025春•泉州期中）淘气有一个近似圆锥形的玩具（如图），如果用一个长方体盒子包装玩具，这个盒子的容积至少是 ______cm3。 【跟踪训练4】（2025春•芝罘区期中）一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米．以4厘米的直角边为轴旋转1周，所得到的立体图形是______，它的体积是______立方厘米． 【跟踪训练5】（2025春•蓝田县期中）一个装有水的圆柱形容器，从里面量底面直径是12分米，高是8分米，水深7分米，现将一个底面积是62.8平方分米的圆锥完全沉入水中，溢出了3.14升水。这个圆锥的高是多少分米？ 【跟踪训练6】（2025春•下陆区校级期中）一辆大卡车的长方体车厢从里面量长是6.28米，宽是2米，高是1米，里面装满沙子（跟车厢的高度平齐）。把沙子倒在地上能形成一个底面半径是2米的近似的圆锥形沙堆，这个沙堆的高是多少米？ 热点突破4 关键知识 组合图形的体积 可以先把组合图形分解成独立的图形，然后相加减去重叠部分的体积． 典型例题 例1： 例1（2024春•西秀区校级期中）如图：求这个物体的体积。 【答案】432。 【分析】根据“长方体体积公式：V=abh（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）”，分别计算出两个长方体的体积后相加求和即可解答本题。 【解答】解：12×5×6+6×3×4 =360+72 =432 答：这个物体的体积是432。 【点评】本题考查了长方体体积计算。 例2（2024春•丹江口市期中）求如图这个零件的体积。（单位：cm） 【答案】7822.5cm3。 【分析】依据题意结合图示可知，图形的体积等于长方体的体积减去圆柱体积的一半，由此解答本题。 【解答】解：20×30×15-3.14×52×30÷2 =9000-1177.5 =7822.5（cm3） 答：图形的体积是7822.5cm3。 【点评】本题考查的是组合图形的体积的应用。 跟踪训练 【跟踪训练1】（2025春•龙岗区期中）一年一度的科技节正如火如荼的进行中，如图是乐乐参加比赛制作的火箭模型，其体积是（　　） ​ A．125.6cm3 B．100.48cm3 C．150.72cm3 D．200.96cm3 【跟踪训练2】（2023春•广西期末）计算下面立体图形的体积（单位：厘米），下列列式正确的是（　　） ​ A．20×6×12 B．20×6×12-6×6×6 C．20×6×12+6×6×6   【跟踪训练3】（2024•怀化）如图，梯形ABCD以AB为轴旋转一周得到了一个几何体，已知AB=3分米，BC=AB，CD=5分米，那么这个几何体的体积是 ______立方分米。 【跟踪训练4】（2024•鹿城区）商店出售一种摆件，长度如图所示（单位：cm）。用这样的两个完全一样的摆件可以拼成一个 ______体。这个摆件的体积是 ______cm3。 【跟踪训练5】（2024春•崇明区期末）如图，计算组合体的体积（单位：厘米）。 【跟踪训练6】（2025春•市北区期末）求下面图形的体积。 热点突破5 关键知识 探索某些实物体积的测量方法 1．用排水法来测量不规则物体的体积．在有刻度的量杯里装上水，记下水的体积，把不规则的物体放入杯中，记下此时的体积，求出两次体积的差，就求出了不规则物体的体积，最后再将容积单位换算成体积单位． 2．通过测多个相同物体的体积，然后除以数量得到每个物体的体积． 典型例题 例1： 例1、下面是小明为测量西红柿的体积所做的实验，请计算出这个西红柿的体积。（单位：厘米） 【答案】90立方厘米。 【分析】首先根据图意，求出放入西红柿后水面上升的高度，然后利用底面积乘上升的高度即可解答。 【解答】解：6-5=1（厘米） 15×6×1=90（立方厘米） 答：这个西红柿的体积是90立方厘米。 【点评】此题主要考查某些实物体积的测量方法。 例2、求图中大、小圆球的体积． 【分析】观察图形可知，放入一个大球和一个小圆球后，溢出44-24=20毫升水，即一个大球和一个小圆球的体积和相当于20毫升水的体积，20毫升=20立方厘米，根据图二可得，一个小球的体积是24-20=4立方厘米，那么一个大球的体积是20-4=16立方厘米． 【解答】解：24毫升=24立方厘米，44毫升=44立方厘米 44-24=20（立方厘米） 24-20=4（立方厘米） 20-4=16（立方厘米） 答：大圆球的体积是16立方厘米、小圆球的体积是4立方厘米． 【点评】解答此题的关键是求出一个小圆球的体积是多少． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2025春•永昌县期末）玲玲家有一个长方体鱼缸。从里面量，长是60厘米，宽是15厘米，里面盛有水，水里养有一条鱼，此时水面高度是20厘米，如果把这条鱼捞出来，水面将下降到18厘米。这条鱼的体积是（　　）立方厘米。 A．5400 B．1800 C．16200 D．18000 【跟踪训练2】（2025春•安溪县期中）仔细观察，下列算式能计算出西红柿体积的是（　　） A．10×10×（12-2）-10×10×8.5 B．10×10×（12-2）-10×10×（12-8.5） C．10×10×（12-2）-10×10×2 D．10×10×12-10×10×（12-8.5） 【跟踪训练3】（2025春•成都期中）一个棱长为2dm的正方体容器中装有一些水，放入一块体积是2.4dm3的石块后（石块完全浸没在水中，如图），水面上升了 ______dm。 【跟踪训练4】（2025春•怀宁县期末）根据以下测量过程，推测图中大圆球的体积是 ______。 【跟踪训练5】（2024春•荔湾区期末）玲玲为了比较苹果和芒果的体积做了如图实验。（玻璃的厚度不计，图中单位：cm） 谁的体积大？大了多少立方厘米？ 【跟踪训练6】（2024•江山市）在一节数学课上，3名同学准备测量1颗钢珠的体积。（π取3.14） 测量步骤如下： 第一步：奇思准备了一个圆柱形玻璃杯，从里面测量出它的底面直径是8cm,高是20cm； 第二步：如图①，妙想往玻璃杯里注入一些水，并测得水的高度与水面离杯口的距离之比是3：2； 第三步：如图②，淘气把20颗同样大小的钢珠完全浸没在水中，并测得此时水的高度与水面离杯口的距离之比是3：1。 （1）求出图①水的高度。 （2）计算出每颗钢珠的体积。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 计算体积容积 考点目录 1、长方体和正方体的体积 2 2、圆柱的体积 7 3、圆锥的体积 11 4、组合图形的体积 16 5、探索某些实物体积的测量方法 21 热点透析 考情透析 热点考点 考查频率 考点难度 长方体和正方体的体积 ★★★ ★★ 圆柱的体积 ★★★ ★★ 圆锥的体积 ★★ ★★ 组合图形的体积 ★★★ ★★★ 探索某些实物体积的测量方法 ★★ ★★★ 【考情分析】体积与容积计算是小升初数学重要考查内容，在试卷中占比约10-15%，主要分布在填空题、选择题和实际应用题中。该知识点是小学阶段立体几何的核心内容，也是衔接初中几何学习的关键基础。 热点突破1 关键知识 长方体和正方体的体积 长方体体积公式：V=abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V=a3．（a表示棱长） 典型例题 例1： 例1求下面各图形的体积． 【分析】（1）根据长方体的体积=长×宽×高，代入数据解答即可； （2）根据正方体的体积=边长×边长×边长，代入数据解答即可． 【解答】解：（1）长方体体积：6×4×5 =24×5 =120（立方厘米） 答：长方体的体积是120立方厘米． （2）8×8×8 =64×8 =512（立方毫米） 答：正方体的体积是512立方毫米． 【点评】此题主要考查了长方体和正方体的体积公式的应用． 例2（2025春•凉州区校级期中）计算下列图形的体积。 【答案】（1）100立方厘米； （2）848立方分米。 【分析】（1）根据长方体的体积公式：V=Sh,把数据代入公式解答。 （2）根据正方体的体积公式：V=a3，长方体的体积公式：V=abh,把数据代入公式求出正方体与长方体的体积和即可。 【解答】解：（1）25×4=100（立方厘米） 答：这个长方体的体积是100立方厘米。 （2）2×2×2+15×8×7 =4×2+120×7 =8+840 =848（立方分米） 答：这个组合图形的体积是848立方分米。 【点评】此题主要考查长方体、正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024秋•金水区期末）一个长方体形状的玻璃鱼缸，从里面量长7分米，宽4分米，高6分米。向鱼缸内注水，当鱼缸内的水高第1次出现正方形面时，鱼缸内有水（　　）升。 A．112 B．144 C．168 【答案】A 【分析】根据题意可知，当鱼缸内的水面高等于长方体鱼缸的宽（4分米）时，第1次出现正方形面，根据长方体的体积公式：V=abh,把数据代入公式解答。 【解答】解：7×4×4 =28×4 =112（立方分米） 112立方分米=112升 答：鱼缸内有水112升。 故选：A。 【跟踪训练2】（2025春•霞山区校级期中）有一块棱长是10厘米的实心正方体铁块，要把它熔化后做成一个实心长方体，已知实心长方体的长是25厘米，宽是10厘米，则这个实心长方体的高是（　　）厘米。 A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据题意，把一个实心正方体铁块熔化后做成一个实心长方体，那么铁块的体积不变；根据正方体的体积公式V=a3，求出铁块儿的体积； 已知实心长方体的长和宽，根据长方体的高h=V÷a÷b,代入数据计算，即可求出长方体的高。 【解答】解：铁块的体积： 10×10×10=1000（立方厘米） 长方体的高： 1000÷25÷10 =40÷10 =4（厘米） 答：这个实心长方体的高是4厘米。 故选：A。 【跟踪训练3】（2025春•银川期中）如图正方体容器的体积是 ______cm3，将这个容器装满水，然后把这些水倒入一个从里面量长60cm、宽25cm、高30cm的空的长方体容器里，长方体容器里的水深 ______cm。 【答案】27000；18。 【分析】根据正方体体积=棱长×棱长×棱长，即可求出正方体容器的体积；水深相当于长方体的高，根据长方体的高=体积÷底面积，求出水深。 【解答】解：30×30×30=27000（cm3） 27000÷（60×25） =27000÷1500 =18（cm） 答：正方体容器的体积是27000cm3，长方体容器里的水深18cm。 故答案为：27000；18。 【跟踪训练4】（2024秋•鼓楼区期末）一个装满牛奶的长方体牛奶盒，长6厘米，宽5厘米，高12厘米。乐乐倒出一些牛奶后，盒中空出的部分如图所示，乐乐倒出了 ______毫升牛奶。 【答案】90。 【分析】由题意可知，因为牛奶盒倾斜放置时，无牛奶部分的高是6厘米，所以倒出牛奶的体积相当于长6厘米、宽5厘米、高6厘米的长方体体积的一半，根据长方体体积公式：V=abh解答即可。 【解答】解：6×5×6÷2 =30×6÷2 =180÷2 =90（立方厘米） 90立方厘米=90毫升 答：乐乐倒出了90毫升牛奶。 故答案为：90。 【跟踪训练5】（2025春•银川期中）依依往一个长是12厘米，宽是10厘米，高是9厘米，水深7.5厘米的长方体容器中投入一块棱长是5厘米的正方体石块，此时的水是否会溢出？请计算说明。 【答案】不会溢出。 【分析】长方体容器中无水部分可以看作一个长方体，该长方体的长是12厘米，宽是10厘米，高是（9-7.5）厘米，利用“长方体的体积=长×宽×高”求出无水部分的体积，再根据“正方体的体积=棱长×棱长×棱长”求出正方体石块的体积，最后比较大小，即可求得。 【解答】解：12×10×（9-7.5） =12×10×1.5 =120×1.5 =180（立方厘米） 5×5×5=125（立方厘米） 125＜180，所以水不会溢出。 答：水不会溢出。 【跟踪训练6】（2024秋•天宁区期末）如图，把一张正方形铁皮沿虚线折叠，围成一个长方体的侧面。给这个长方体配一个底面，这个长方体的容积是多少毫升？ 【答案】864毫升。 【分析】通过观察图形可知，这个长方体的底面周长和高都是24厘米，根据正方形的周长公式：C=4a,那么a=C÷4，据此求出底面边长，再根据长方体的体积（容积）公式：V=abh,把数据代入公式解答。 【解答】解：24÷4=6（厘米） 6×6×24 =36×24 =864（立方厘米） 864立方厘米=864毫升 答：这个长方体的容积是864毫升。 热点突破2 关键知识 圆柱的体积 若一个圆柱底面半径为r，高为h，则圆柱的体积为V=πr2h 典型例题 例1： 例1（2023•巴南区）计算如图物体的体积（π取3.14）。 【答案】502.4立方米。 【分析】根据圆柱的体积=底面积×高计算即可。 【解答】解：3.14×（8÷2）2×10 =3.14×16×10 =50.24×10 =502.4（立方米） 答：图形的体积是502.4立方米。 【点评】本题考查的是圆柱体积计算公式的运用，熟记公式是解答本题的关键。 例2（2024•连云港模拟）计算如图的体积。 【答案】1318.8立方分米。 【分析】先运用圆环的面积公式求出这个空心圆柱的底面积，再运用圆柱的体积公式计算即可解答。 【解答】解：10÷2=5（分米） 4÷2=2（分米） 3.14×（52-22）×20 =3.14×（25-4）×20 =3.14×21×20 =65.94×20 =1318.8（立方分米） 答：这个空心圆柱的体积是1318.8立方分米。 【点评】此题考查圆环的面积公式与圆柱的体积公式的灵活应用。 跟踪训练 【跟踪训练1】（2025春•石家庄期中）把一个棱长为4cm的正方体木块削成最大的圆柱，圆柱的体积是（　　）cm3。 A．50.24 B．100.48 C．64 D．25.12 【答案】A 【分析】此类问题首先要确定削成的圆柱的底面直径和高，根据正方体内最大圆柱的特点可得：这个最大圆柱的底面直径是4厘米，高是4厘米，利用圆柱的体积公式V=πr2h即可解决问题。 【解答】解：4÷2=2（厘米） 3.14×22×4 =3.14×4×4 =50.24（立方厘米） 答：这个圆柱体的体积是50.24立方厘米。 故选：A。 【跟踪训练2】（2025春•梁溪区期中）数学思想方法是数学的灵魂。转化思想作为重要的数学思想方法之一，在我们的学习生活中，它无处不在。一个瓶子里装有一些水（如图），根据图中标出的数据，可得瓶中水的体积占瓶子容积的（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图可知，瓶子的底面积是相同的，由于瓶子的容积=水的体积+空白部分的体积，可以设瓶子的底面积为S，根据圆柱的体积=底面积×高，则水的体积是：14S，瓶子的容积是：14S+（20-16）S=14S+4S=18S，根据一个数是另一个数的几分之几，用14S÷18S，据此即可解答。 【解答】解：由分析可知：设瓶子的底面积为S。 14S+（20-16）S =14S+4S =18S 14S÷18S= 答：可得瓶中水的体积占瓶子容积的。 故选：A。 【跟踪训练3】（2025春•榕城区期中）把一个长5厘米，宽3厘米的长方形硬纸板的长边粘在小棍上，快速转动起来形成 ______，转动起来所形成图形的体积是 ______立方厘米。 【答案】圆柱；141.3。 【分析】根据圆柱的体积=底面积×高，解答此题即可。 【解答】解：3.14×3×3×5=141.3（立方厘米） 答：快速转动起来形成圆柱，转动起来所形成图形的体积是141.3立方厘米。 故答案为：圆柱；141.3。 【跟踪训练4】（2025春•白云区期中）一个圆柱形状的橡皮泥，体积6.28cm3。如果把它重新捏成一个底面积是3.14cm2的圆柱体，高是 ______。 【答案】2cm。 【分析】圆柱体积=底面积×高，那么圆柱的高=体积÷底面积，代入数据计算即可。 【解答】解：6.28÷3.14=2（cm） 答：高是2cm。 故答案为：2cm。 【跟踪训练5】（2025春•莱西市期中）将一个棱长4厘米的正方体削成一个体积最大的圆柱体，求削去部分的体积是多少立方厘米？ 【答案】13.76立方厘米。 【分析】用正方体的体积减去圆柱的体积即可。 【解答】解：4÷2=2（厘米） 4×4×4-3.14×2×2×4 =64-50.24 =13.76（立方厘米） 答：削去部分的体积是13.76立方厘米。 【跟踪训练6】（2025春•裕华区期中）计算如图图形的体积。（单位：cm） 【答案】6280cm3。 【分析】把柱体从中间切开，翻转后两个柱体拼一起，即拼成一个底面直径是20，高是[（15+25）÷2]的圆柱，然后根据“圆柱体积=πr2h”求出拼切后的圆柱体积即为柱体的体积。 【解答】解：3.14×（20÷2）2×（15+25）÷2 =3.14×100×40÷2 =3.14×2000 =6280（cm3） 答：图形的体积是6280cm3。 热点突破3 关键知识 圆锥的体积 圆锥体积=×底面积×高，用字母表示： V=Sh=πr2h，（S表示底面积，h表示高） 典型例题 例1： 例1（2024•无锡模拟）求体积。 【答案】314立方厘米。 【分析】圆锥的体积=底面积×高×，据此计算即可。 【解答】解：3.14×5×5×12× =3.14×100 =314（立方厘米） 答：圆锥的体积是314立方厘米。 【点评】掌握圆锥的体积公式是解题的关键。 例2（2024•邻水县）求如图三角形绕轴AB旋转一周所形成的几何体的体积。 【答案】50.24立方厘米。 【分析】根据图可知：绕轴AB旋转一周所形成的几何体是一个圆锥体，圆锥的底面半径是4厘米，高是3厘米，进而根据：圆锥的体积=πr2h,由此解答即可。 【解答】解：×3.14×42×3 =3.14×16 =50.24（立方厘米） 答：围成的几何体的体积是50.24立方厘米。 【点评】灵活掌握圆锥的体积计算公式，是解答此题的关键。 跟踪训练 【跟踪训练1】（2025春•安丘市期中）一个圆锥形零件的体积是5.1立方分米，高是1.7分米，底面积是（　　）平方分米。 A．3 B．6 C．9 D．28.26 【答案】C 【分析】根据圆锥的体积公式“V=Sh”可知：S=3V÷h,据此代入数据计算即可。 【解答】解：5.1×3÷1.7 =15.3÷1.7 =9（平方分米） 答：底面积是9平方分米。 故选：C。 【跟踪训练2】（2025春•海淀区期中）圆柱和圆锥底面半径的比是1：3，高的比也是1：3，那么圆柱和圆锥体积的比是（　　） A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9 【答案】D 【分析】根据已知条件得，圆柱和圆锥底面半径的比是1：3，设圆锥的底面半径为3，圆柱的底面半径为1，由圆柱的高与圆锥高的比是1：3，设圆柱的高为1，圆锥的高为3，利用它们的体积公式分别计算出它们的体积，再求它们的体积的比。 【解答】解：设圆锥的底面半径为3，圆柱的底面半径为1，圆柱的高为1，圆锥的高为3。 （π×12×1）：（×π×32×3） =（π×1×1）：（×π×9×3） =π：9π =1：9 答：圆柱和圆锥体积的比是1：9。 故选：D。 【跟踪训练3】（2025春•泉州期中）淘气有一个近似圆锥形的玩具（如图），如果用一个长方体盒子包装玩具，这个盒子的容积至少是 ______cm3。 【答案】360。 【分析】这个长方体的长和宽是6厘米，高是10厘米，利用长方体的体积公式计算即可。 【解答】解：6×6×10=360（立方厘米） 答：这个盒子的容积至少是360立方厘米。 故答案为：360。 【跟踪训练4】（2025春•芝罘区期中）一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米．以4厘米的直角边为轴旋转1周，所得到的立体图形是______，它的体积是______立方厘米． 【分析】根据题意可知，以直径三角形的一条直角边（4厘米）为锥旋转一周得到一个底面半径是3厘米，高是4厘米的圆锥，根据圆锥的体积公式：V=πr2h,把数据代入公式解答． 【解答】解：×3.14×32×4 =3.14×9×4 =37.68（立方厘米） 答：得到的立体图形是圆锥，它的体积是37.68立方厘米． 故答案为：圆锥、37.68． 【跟踪训练5】（2025春•蓝田县期中）一个装有水的圆柱形容器，从里面量底面直径是12分米，高是8分米，水深7分米，现将一个底面积是62.8平方分米的圆锥完全沉入水中，溢出了3.14升水。这个圆锥的高是多少分米？ 【答案】5.55分米。 【分析】圆锥的体积=底面直径是12分米，高是8分米，水深（8-7）分米水的体积+溢出水的体积；再运用圆锥的体积×3÷底面积即可得到高是多少。 【解答】解：3.14升=3.14立方分米 3.14×（12÷2）2×（8-7）+3.14 =3.14×36+3.14 =116.18（立方分米） 116.18×3÷62.8 =348.54÷62.8 =5.55（分米） 答：这个圆锥的高是5.55分米。 【跟踪训练6】（2025春•下陆区校级期中）一辆大卡车的长方体车厢从里面量长是6.28米，宽是2米，高是1米，里面装满沙子（跟车厢的高度平齐）。把沙子倒在地上能形成一个底面半径是2米的近似的圆锥形沙堆，这个沙堆的高是多少米？ 【答案】3米。 【分析】根据长方体体积=长×宽×高，求出沙子的体积，再根据圆锥的高=体积×3÷底面积，求出沙堆的高。 【解答】解：6.28×2×1 =12.56×1 =12.56（立方米） 12.56×3÷（3.14×22） =12.56×3÷（3.14×4） =12.56×3÷12.56 =3（米） 答：这个沙堆的高是3米。 热点突破4 关键知识 组合图形的体积 可以先把组合图形分解成独立的图形，然后相加减去重叠部分的体积． 典型例题 例1： 例1（2024春•西秀区校级期中）如图：求这个物体的体积。 【答案】432。 【分析】根据“长方体体积公式：V=abh（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）”，分别计算出两个长方体的体积后相加求和即可解答本题。 【解答】解：12×5×6+6×3×4 =360+72 =432 答：这个物体的体积是432。 【点评】本题考查了长方体体积计算。 例2（2024春•丹江口市期中）求如图这个零件的体积。（单位：cm） 【答案】7822.5cm3。 【分析】依据题意结合图示可知，图形的体积等于长方体的体积减去圆柱体积的一半，由此解答本题。 【解答】解：20×30×15-3.14×52×30÷2 =9000-1177.5 =7822.5（cm3） 答：图形的体积是7822.5cm3。 【点评】本题考查的是组合图形的体积的应用。 跟踪训练 【跟踪训练1】（2025春•龙岗区期中）一年一度的科技节正如火如荼的进行中，如图是乐乐参加比赛制作的火箭模型，其体积是（　　） ​ A．125.6cm3 B．100.48cm3 C．150.72cm3 D．200.96cm3 【答案】B 【分析】根据圆柱的体积公式：V=πr2h,圆锥的体积公式：V=πr2h,把数据代入公式求出它们的体积和即可。 【解答】解：3.14×（4÷2）2×6+×3.14×（4÷2）2×（12-6） =3.14×4×6+×3.14×4×6 =75.36+25.12 =100.48（立方厘米） 答：体积是100.48立方厘米。 故选：B。 【跟踪训练2】（2023春•广西期末）计算下面立体图形的体积（单位：厘米），下列列式正确的是（　　） ​ A．20×6×12 B．20×6×12-6×6×6 C．20×6×12+6×6×6   【答案】B 【分析】根据长方体的体积公式：V=abh,正方体的体积公式：V=a3，把数据代入公式求出长方体与正方体的体积差即可。 【解答】解：20×6×12-6×6×6 =1440-216 =1224（立方厘米） 答：它的体积是1224立方厘米。 故选：B。 【跟踪训练3】（2024•怀化）如图，梯形ABCD以AB为轴旋转一周得到了一个几何体，已知AB=3分米，BC=AB，CD=5分米，那么这个几何体的体积是 ______立方分米。 【答案】122.46。 【分析】依据题意结合图示可知，这个几何体的体积=底边半径是3分米，高是5分米的圆柱的体积-底边半径是3分米，高是（5-3）分米的圆锥的体积，由此列式计算即可。 【解答】解：3.14×3×3×5-3.14×3×3×（5-3）÷3 =141.3-18.84 =122.46（立方分米） 答：这个几何体是122.46立方分米。 故答案为：122.46。 【跟踪训练4】（2024•鹿城区）商店出售一种摆件，长度如图所示（单位：cm）。用这样的两个完全一样的摆件可以拼成一个 ______体。这个摆件的体积是 ______cm3。 【答案】圆柱；6280。 【分析】用这样的两个完全一样的摆件可以拼成一个圆柱体，这个圆柱体的底面直径是20厘米，高是（15+25）厘米，根据圆柱体积=底面积×高，求出体积后再除以2即可求出摆件的体积。 【解答】解：用这样的两个完全一样的摆件可以拼成一个圆柱体， 20÷2=10（厘米） 15+25=40（厘米） 10×10×3.14×40 =314×40 =12560（立方厘米） 12560÷2=6280（立方厘米） 答：用这样的两个完全一样的摆件可以拼成一个圆柱体；这个摆件的体积是6280cm3。 故答案为：圆柱；6280。 【跟踪训练5】（2024春•崇明区期末）如图，计算组合体的体积（单位：厘米）。 【答案】2520立方厘米。 【分析】组合体的体积可以用两个长方体体积的和计算，利用长方体体积公式：V=abh计算即可。 【解答】解：20×15×6+（20-4-4）×15×4 =1800+720 =2520（立方厘米） 答：组合体的体积是2520立方厘米。 【跟踪训练6】（2025春•市北区期末）求下面图形的体积。 【答案】536.94cm3。 【分析】根据圆锥和圆柱的体积公式，分别求出中间圆柱体和左、右边圆锥的体积，再相加即可。 【解答】解：3.14×（6÷2）2×6÷3×2+3.14×（6÷2）2×15 =3.14×9×6÷3×2+3.14×9×15 =113.04+423.9 =536.94（cm3） 答：图形的体积是536.94cm3。 热点突破5 关键知识 探索某些实物体积的测量方法 1．用排水法来测量不规则物体的体积．在有刻度的量杯里装上水，记下水的体积，把不规则的物体放入杯中，记下此时的体积，求出两次体积的差，就求出了不规则物体的体积，最后再将容积单位换算成体积单位． 2．通过测多个相同物体的体积，然后除以数量得到每个物体的体积． 典型例题 例1： 例1、下面是小明为测量西红柿的体积所做的实验，请计算出这个西红柿的体积。（单位：厘米） 【答案】90立方厘米。 【分析】首先根据图意，求出放入西红柿后水面上升的高度，然后利用底面积乘上升的高度即可解答。 【解答】解：6-5=1（厘米） 15×6×1=90（立方厘米） 答：这个西红柿的体积是90立方厘米。 【点评】此题主要考查某些实物体积的测量方法。 例2、求图中大、小圆球的体积． 【分析】观察图形可知，放入一个大球和一个小圆球后，溢出44-24=20毫升水，即一个大球和一个小圆球的体积和相当于20毫升水的体积，20毫升=20立方厘米，根据图二可得，一个小球的体积是24-20=4立方厘米，那么一个大球的体积是20-4=16立方厘米． 【解答】解：24毫升=24立方厘米，44毫升=44立方厘米 44-24=20（立方厘米） 24-20=4（立方厘米） 20-4=16（立方厘米） 答：大圆球的体积是16立方厘米、小圆球的体积是4立方厘米． 【点评】解答此题的关键是求出一个小圆球的体积是多少． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2025春•永昌县期末）玲玲家有一个长方体鱼缸。从里面量，长是60厘米，宽是15厘米，里面盛有水，水里养有一条鱼，此时水面高度是20厘米，如果把这条鱼捞出来，水面将下降到18厘米。这条鱼的体积是（　　）立方厘米。 A．5400 B．1800 C．16200 D．18000 【答案】B 【分析】根据题意可知，当把这条鱼从鱼缸中捞出后，下降部分水的体积就等于这条鱼的体积，根据长方体的体积公式：V=abh,把数据代入公式解答。 【解答】解：60×15×（20-18） =900×2 =1800（立方厘米） 答：这条鱼的体积是1800立方厘米。 故选：B。 【跟踪训练2】（2025春•安溪县期中）仔细观察，下列算式能计算出西红柿体积的是（　　） A．10×10×（12-2）-10×10×8.5 B．10×10×（12-2）-10×10×（12-8.5） C．10×10×（12-2）-10×10×2 D．10×10×12-10×10×（12-8.5） 【答案】A 【分析】利用排水法求不规则物体（西红柿）体积，西红柿体积等于放入西红柿后水和西红柿总体积减去原来水的体积。需要先根据图中数据确定相关高度，再结合长方体体积公式计算。长方体容器底面积为（10×10）平方厘米，原来水高8.5厘米，放入西红柿后水面高度为（12-2）厘米。根据“长方体体积公式V=Sh（S是底面积，h是高）”，计算水和西红柿的总体积以及原来水的体积；西红柿体积=放入西红柿后水和西红柿总体积-原来水的体积，据此解答。 【解答】解：确定相关体积计算数据；长方体容器底面积为（10×10）平方厘米， 原来水高8.5厘米，放入西红柿后水面高度为12-2=10（厘米）， 放入西红柿后水和西红柿总体积：根据长方体体积公式V=Sh（S是底面积，h是高）， 总体积为10×10×（12-2）立方厘米， 原来水的体积：10×10×8.5立方厘米， 计算西红柿体积： 西红柿体积=放入西红柿后水和西红柿总体积-原来水的体积， 即10×10×（12-2）-10×10×8.5 所以A选项正确。 故选：A。 【跟踪训练3】（2025春•成都期中）一个棱长为2dm的正方体容器中装有一些水，放入一块体积是2.4dm3的石块后（石块完全浸没在水中，如图），水面上升了 ______dm。 【答案】0.6。 【分析】根据用“排水法”测量实物体积的方法，水上升的体积等于石块的体积，结合长方体的体积公式V=abh解答即可。 【解答】解：2.4÷（2×2） =2.4÷4 =0.6（分米） 答：水面上升了0.6分米。 故答案为：0.6。 【跟踪训练4】（2025春•怀宁县期末）根据以下测量过程，推测图中大圆球的体积是 ______。 【答案】6立方厘米。 【分析】根据题意可知：原来1个大圆球+2个小圆球=10mL，后来1个大圆球+5个小圆球=16mL，那么（5-2）个小圆球的体积=（16-10）mL，据此解答即可。 【解答】解：（16-10）÷（5-2） =6÷3 =2（mL） 10-2×2 =10-4 =6（mL） 6mL=6立方厘米 答：大圆球的体积是6立方厘米。 故答案为：6立方厘米。 【跟踪训练5】（2024春•荔湾区期末）玲玲为了比较苹果和芒果的体积做了如图实验。（玻璃的厚度不计，图中单位：cm） 谁的体积大？大了多少立方厘米？ 【答案】芒果体积大，100立方厘米。 【分析】根据用“排水法”测量实物体积的方法，结合长方体的体积公式V=abh,分别求出苹果和芒果体积，结合题意解答即可。 【解答】解：20×10×（10.9-10） =200×0.9 =180（立方厘米） 20×10×（12.3-10.9） =200×1.4 =280（立方厘米） 280-180=100（厘米） 答：芒果体积大，大了100立方厘米。 【跟踪训练6】（2024•江山市）在一节数学课上，3名同学准备测量1颗钢珠的体积。（π取3.14） 测量步骤如下： 第一步：奇思准备了一个圆柱形玻璃杯，从里面测量出它的底面直径是8cm,高是20cm； 第二步：如图①，妙想往玻璃杯里注入一些水，并测得水的高度与水面离杯口的距离之比是3：2； 第三步：如图②，淘气把20颗同样大小的钢珠完全浸没在水中，并测得此时水的高度与水面离杯口的距离之比是3：1。 （1）求出图①水的高度。 （2）计算出每颗钢珠的体积。 【答案】（1）12厘米； （2）7.536立方厘米。 【分析】（1）根据水的高度与水面离杯口距离的比例关系和杯子高度求出水的高度。 （2）先求出放入钢珠后水上升的高度，再根据圆柱体积公式求出20颗钢珠总体积，进而求出每颗钢珠体积。 【解答】解：（1）水的高度与水面离杯口的距离之比是3：2，那么水的高度占杯子高度的比例为； 20× =20× =12（厘米） 答：求出图①水的高度是12厘米。 （2）放入20颗钢珠后，水的高度与水面离杯口的距离之比是3：1，此时水的高度占杯子高度的比例为。则此时水的高度为： 20× =20× =15（厘米） 15-12=3（厘米） 8÷2=4（厘米） 3.14×42×3 =3.14×16×3 =150.72（立方厘米） 150.72÷20=7.536（立方厘米） 答：每颗钢珠的体积是7.536立方厘米。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 计算体积容积 强化训练 一．选择题（共10小题） 1．把4张边长是12cm的正方形硬纸，各剪去4个大小一样的正方形（如图，单位：cm），做成无盖的纸盒。纸盒容积最大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方体的体积（容积）公式：V=abh,把数据代入公式分别求出4个纸盒的容积，然后进行比较即可。 【解答】解：A、（12-1×2）2×1 =（12-2）2×1 =100×1 =100（立方厘米） B、（12-2×2）2×2 =（12-4）2×2 =64×2 =128（立方厘米） C、（12-3×2）2×3 =（12-6）2×3 =36×3 =108（立方厘米） D、（12-4×2）2×4 =（12-8）2×4 =16×4 =64（立方厘米） 128＞108＞100＞64 所以容积最大的是B。 故选：B。 2．一个斜着放置的圆柱形容器（如图）最多可以容纳60mL的水，涂色部分表示已有的水，这些水的体积是（　　） A．25mL B．30mL C．35mL D．50mL 【答案】C 【分析】根据图意可以求出一格是60÷6=10（毫升），用60毫升减去10毫升，再除以2，求出满5格的体积的一半，再加上10毫升即可求出水的体积。 【解答】解：60÷6=10（毫升） 60-10=50（毫升） 50÷2-10 =25+10 =35（毫升） 故选：C。 3．一个长方体形状的玻璃鱼缸，从里面量长7分米，宽4分米，高6分米。向鱼缸内注水，当鱼缸内的水高第1次出现正方形面时，鱼缸内有水（　　）升。 A．112 B．144 C．168 【答案】A 【分析】根据题意可知，当鱼缸内的水面高等于长方体鱼缸的宽（4分米）时，第1次出现正方形面，根据长方体的体积公式：V=abh,把数据代入公式解答。 【解答】解：7×4×4 =28×4 =112（立方分米） 112立方分米=112升 答：鱼缸内有水112升。 故选：A。 4．淘气用摆小正方体的方法测量一个长方体容器的容积，每个小正方体棱长为1厘米，如图所示，这个长方体容器的容积可能是（　　）立方厘米。 A．20 B．23 C．28 D．30 【答案】A 【分析】通过观察图中小正方体的摆放来确定长方体容器的长、宽、高。从图中可以看出，沿长方体容器的长摆放了5个小正方体，因为每个小正方体棱长为1厘米，所以长方体容器的长是5厘米；沿宽摆放了2个小正方体，那么宽是2厘米；沿高摆放了2个小正方体，高就是2厘米。根据“长方体体积（容积）=长×宽×高”计算出长方体容器的容积。 【解答】解：5×2×2 =10×2 =20（立方厘米） 答：这个长方体容器的体积是20立方厘米。 故选：A。 5．一个圆柱形零件，沿直径平均分成两块切下（如图），横截面是边长为4cm的正方形。圆柱形零件的体积是（　　）cm3。（用含π的式子表示最简结果） A．4π B．16π C．32π D．64π 【答案】B 【分析】根据题意可知，圆柱的高是4cm,底面直径也是4cm,再根据圆柱的体积公式：V=（d÷2）2×πh,计算结果保留π即可。 【解答】解：（4÷2）2×π×4=16π（cm3） 答：圆柱形零件的体积是16πcm3。 故选：B。 6．玲玲家有一个长方体鱼缸。从里面量，长是60厘米，宽是15厘米，里面盛有水，水里养有一条鱼，此时水面高度是20厘米，如果把这条鱼捞出来，水面将下降到18厘米。这条鱼的体积是（　　）立方厘米。 A．5400 B．1800 C．16200 D．18000 【答案】B 【分析】根据题意可知，当把这条鱼从鱼缸中捞出后，下降部分水的体积就等于这条鱼的体积，根据长方体的体积公式：V=abh,把数据代入公式解答。 【解答】解：60×15×（20-18） =900×2 =1800（立方厘米） 答：这条鱼的体积是1800立方厘米。 故选：B。 7．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，如果圆锥的体积是32立方厘米，那么削去部分的体积是（　　）立方厘米。 A．96 B．64 C．32 D．16 【答案】B 【分析】等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍；因为把圆柱削成最大的圆锥，这个圆锥与圆柱等底等高，已知圆锥体积是32立方厘米，那么圆柱体积是圆锥体积的3倍，用32×3列式求出圆柱的体积，再用圆柱的体积减去圆锥的体积就是削去部分的体积。 【解答】解：32×3-32 =96-32 =64（立方厘米） 答：削去部分的体积是64立方厘米。 故选：B。 8．如图，一个长方体被挖掉了一小块，下面说法完全正确的是（　　） A．体积减少，表面积也减少 B．体积不变，表面积增加 C．体积减少，表面积不变 D．体积不变，表面积也不变 【答案】C 【分析】通过观察图形可知，在长方体的顶点上的小正方体原来外露3个面，从长方体的顶点上挖掉一个小正方体后，又外露与原来相同的3个面，所以剩下图形的表面积不变，体积变小了。据此解答即可。 【解答】解：在长方体的顶点上的小正方体原来外露3个面，从长方体的顶点上挖掉一个小正方体后，又外露与原来相同的3个面，所以剩下图形的表面积不变，体积变小了。 故选：C。 9．一个长方体容器的底面是正方形，容器中的水面高1dm,如果放入6个体积一样的玩具球后（玩具球完全浸没在水中且水未溢出），水面升高3cm,要求一个玩具球的体积，只需要知道（　　）即可。 A．6个玩具球的质量 B．长方体容器的表面积 C．长方体容器的底面周长 D．长方体容器的高 【答案】C 【分析】由题意可知，6个玩具球的体积之和等于上升的水的体积，上升的水可看成与容器同底，高是3cm的长方体，根据长方体的体积=长×宽×高，求水的体积还要求长与宽，又因容器的底面积是正方形，则长与宽相等，即底面正方形的边长，根据正方形的周长=边长×4，知道正方形的周长，用周长除以4，即可得边长，就可求水的体积，再用水的体积除以6即可得一个玩具球的体积。据此解答。 【解答】解：分析可知，要求一个玩具球的体积，只需要知道长方体容器的底面周长即可。 故选：C。 10．爸爸带乐乐和天天一起去海边捡贝壳，乐乐捡到一个海螺，天天捡到一个海星，他们想要比一比谁的体积大，于是他们做了如图的实验，体积较大的是（　　） A．海螺 B．海星 C．一样大 D．无法比较 【答案】A 【分析】根据用“排水法”测量实物体积的方法，放入的实物的体积等于容器内水上升的体积，因为容器的底面积相同，所以水上升高的体积大。 【解答】解：9.8-6=3.8 13.5-9.8=3.7 答：体积较大的是海螺。 故选：A。 二．填空题（共5小题） 11．如果一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是40cm3，则圆锥的体积是______cm3，圆柱的体积是______cm3． 【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，那么，等底等高的圆柱与圆锥的体积和相当于圆锥体积的（3+1）倍，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法求出圆锥的体积，进而求出圆柱的体积．据此解答． 【解答】解：40÷（3+1） =40÷4 =10（cm3） 10×3=30（cm3） 答：圆锥的体积是10cm3，圆柱的体积是30cm3． 故答案为：10，30． 12．一个圆锥的底面半径扩大3倍，高不变，体积扩大 ______倍；若高也扩大2倍，体积扩大 ______倍。 【答案】9；18。 【分析】圆锥体积：V=πr2h,据此分析即可解答。 【解答】解：圆锥体积=πr2h,h不变，r扩大到原来的3倍，则体积扩大到原来的3×3=9倍； 若h也扩大到原来的2倍，则体积扩大到原来的3×3×2=18倍。 故答案为：9；18。 13．如图中，每个小正方体的棱长都是10厘米，则大长方体的容积是 ______dm3；如果要把大长方体填满，需要再补 ______个这样的小正方体。 【答案】36；28。 【分析】根据图示可知，大长方体可以容纳小正方体的个数为（4×3×3）个，用小正方体个数乘一个小正方体体积即可求出大长方体容积；数一数，数出大长方体里面现有的小正方体个数，再用大长方体可以容纳小正方体的个数减去现有的个数即可。 【解答】解：4×3×3×103 =36×1000 =36000（立方厘米） 36000立方厘米=36立方分米 4×3×3-8=28（个） 答：每个小正方体的棱长都是10厘米，则大长方体的容积是36dm3；如果要把大长方体填满，需要再补28个这样的小正方体。 故答案为：36；28。 14．一个圆柱容器的底面直径为10cm,高为20cm,一个圆锥容器的底面直径也为10cm。小西先用这个圆柱装满水，再将水倒入圆锥并灌满，结果如图所示。这个圆锥容器高______cm。 【答案】60。 【分析】圆柱的体积等于圆锥的体积，利用“圆柱的体积=底面积×高”，“圆锥的体积=底面积×高÷3”，结合题中数据计算即可。 【解答】解：π×50×50×20÷（π×5×5÷3） =500π÷25π×3 =60（厘米） 答：这个圆锥容器高60厘米。 故答案为：60。 15．如图是我国古代的一种计量时间的仪器——沙漏（又称沙钟）。它的上、下两部分是两个完全相同的圆锥，其中一个装满细沙，单个圆锥的高为9m。漏口每秒漏出细沙0.05立方厘米，漏完全部细沙用时30分钟。这个沙漏的底面积是 ______平方厘米。 【答案】30。 【分析】根据圆锥的体积×3÷高=底面积，解答此题即可。 【解答】解：0.05×30×60×3÷9 =270÷9 =30（平方厘米） 答：这个沙漏的底面积是30平方厘米。 故答案为：30。 三．计算题（共3小题） 16．计算下面图形的体积。 【答案】（1）1130.4cm3；（2）1406.72cm3 【分析】（1）圆柱的底面半径是6cm,高是10cm,根据圆柱的体积=π×半径的平方×高，代入数据计算即可； （2）圆锥的底面直径是16cm,则半径是16÷2=8（cm），高是21cm,根据圆锥的体积=×π×半径的平方×高，代入数据计算即可。 【解答】解：（1）3.14×62×10 =3.14×36×10 =113.04×10 =1130.4（cm3） （2）×3.14×（16÷2）2×21 =×3.14×82×21 =×3.14×64×21 =×21×3.14×64 =7×3.14×64 =21.98×64 =1406.72（cm3） 17．求如图这个零件的体积。（单位：cm） 【答案】7822.5cm3。 【分析】依据题意结合图示可知，图形的体积等于长方体的体积减去圆柱体积的一半，由此解答本题。 【解答】解：20×30×15-3.14×52×30÷2 =9000-1177.5 =7822.5（cm3） 答：图形的体积是7822.5cm3。 18．2024年4月24日是中国航天日。李磊制作了一个火箭模型（如图）。计算出它的体积。 ​ 【答案】90432立方厘米。 【分析】根据火箭模型可知，火箭模型是由一个圆柱和一个圆锥组成的，分别根据圆柱的体积=底面积×高，圆锥的体积=×底面积×高，求出圆柱和圆锥的体积，再相加，即可求出火箭模型的体积。 【解答】解：40÷2=20（厘米） 3.14×202×60+×3.14×202×36 =75360+15072 =90432（立方厘米） 答：它的体积是90432立方厘米。 四．应用题（共5小题） 19．一个高3分米，底面直径20厘米的圆柱形水桶里装满水，水中放着一个底面直径为12厘米，高为15厘米的铁质圆锥体，当把这个铁质圆锥体取出后，水面会下降多少厘米？（取圆锥体过程中溢出的水忽略不计） 【答案】1.8厘米。 【分析】根据题意可知，当把这个铁质圆锥体取出后，溢出水的体积就等于这个圆锥体铁块的体积，根据圆锥的体积公式：V=πr2h,圆柱的体积公式：V=Sh,那么h=V÷S，把数据代入公式解答。 【解答】解：×3.14×（12÷2）2×15÷[3.14×（20÷2）2] =×3.14×36×15÷[3.14×100] =565.2÷314 =1.8（厘米） 答：水面会下降1.8厘米。 20．一块长方形铁皮（如图），从四个角各剪去边长5cm的正方形，然后焊接成一个无盖盒子。这个盒子的容积是多少升？（原铁皮长30cm,宽20cm） 【答案】1升。 【分析】这个长方体的长是（30-5×2）厘米，宽是（20-5×2）厘米，高是5厘米，利用长方体的体积公式计算即可。 【解答】解：（30-5×2）×（20-5×2）×5 =20×10×5 =1000（立方厘米） 1000立方厘米=1升 答：这个盒子的容积是1升。 21．阿尔贝罗贝洛是意大利普利亚大区巴里省的一个小城，城内的圆顶石屋建筑世界知名，1996年被联合国教科文组织列为世界文化遗产。如图是一个圆顶石屋的星顶，它的内部空间是7.065m3，它的高是多少米？ 【答案】3米。 【分析】根据圆锥的体积公式：，所以h=V×3÷（πr2），代入数据计算即可。 【解答】解：3÷2=1.5（米） 7.065×3÷（3.14×1.52） =21.195÷7.065 =3（米） 答：它的高是3米。 22．晓玉将石块放入盛有水的长方体容器中，利用排水法求石块的体积。已知长方体容器长2分米，宽1.5分米，水深1分米。石块完全浸入水中，水深变为1.4分米，求石块体积。 【答案】1.2立方分米。 【分析】根据不规则物体体积的测量方法，把这块石头放入有水的长方体容器内，上升部分水的体积就等于这块石头的体积，根据长方体的体积公式：V=abh,把数据代入公式解答。 【解答】解：2×1.5×（1.4-1） =3×0.4 =1.2（立方分米） 答：石块的体积是1.2立方分米。 23．如图，一个长方体的密封玻璃容器（玻璃厚度忽略不计）长6分米，宽3分米，高4分米，平放时水深2分米。 （1）水与玻璃接触面积是多少平方分米？ （2）如果把这个密封容器向右翻转竖起来平放，这时水深多少分米？ 【答案】（1）54平方分米。 （2）3分米。 【分析】根据长方体的表面积和体积公式来分别求解水与玻璃的接触面积以及容器翻转后水的深度。 （1）平放时，水与玻璃接触的部分为底面以及四周的侧面，可分别计算各部分面积再求和。 （2）先根据长方体体积公式求出水的体积，由于容器翻转前后水的体积不变，再根据翻转后容器的底面积求出此时水的深度。 【解答】解：（1）6×3=18（平方分米） 2×（6×2） =2×12 =24（平方分米） 18+24+12=54（平方分米） 答；水与玻璃接触面积是54平方分米。 （2）6×3×2=36（立方分米） 4×3=12（平方分米） 36÷12=3（分米） 答：这时水深3分米。 学科网（北京）股份有限公司 $$第 17 讲 计算体积容积 强化训练 一．选择题（共 10 小题） 1．把 4张边长是 12cm的正方形硬纸，各剪去 4个大小一样的正方形（如图，单 位：cm），做成无盖的纸盒。纸盒容积最大的是（　　） A． B． C． D． 2．一个斜着放置的圆柱形容器（如图）最多可以容纳 60mL的水，涂色部分表示已 有的水，这些水的体积是（　　） A．25mL B．30mL C．35mL D．50mL 3．一个长方体形状的玻璃鱼缸，从里面量长 7分米，宽 4分米，高 6分米。向鱼 缸内注水，当鱼缸内的水高第 1次出现正方形面时，鱼缸内有水（　　）升。 A．112 B．144 C．168 4．淘气用摆小正方体的方法测量一个长方体容器的容积，每个小正方体棱长为 1 厘米，如图所示，这个长方体容器的容积可能是（　　）立方厘米。 A．20 B．23 C．28 D．30 5．一个圆柱形零件，沿直径平均分成两块切下（如图），横截面是边长为 4cm的 正方形。圆柱形零件的体积是（　　）cm3。（用含π的式子表示最简结果） A．4π B．16π C．32π D．64π 6．玲玲家有一个长方体鱼缸。从里面量，长是 60厘米，宽是 15厘米，里面盛有 水，水里养有一条鱼，此时水面高度是 20厘米，如果把这条鱼捞出来，水面将下 降到 18厘米。这条鱼的体积是（　　）立方厘米。 A．5400 B．1800 C．16200 D．18000 7．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，如果圆锥的体积是 32立方厘米，那么削去部 分的体积是（　　）立方厘米。 A．96 B．64 C．32 D．16 8．如图，一个长方体被挖掉了一小块，下面说法完全正确的是（　　） A．体积减少，表面积也减少 B．体积不变，表面积增加 C．体积减少，表面积不变 D．体积不变，表面积也不变 9．一个长方体容器的底面是正方形，容器中的水面高 1dm,如果放入 6个体积一样 的玩具球后（玩具球完全浸没在水中且水未溢出），水面升高 3cm,要求一个玩具 球的体积，只需要知道（　　）即可。 A．6个玩具球的质量 B．长方体容器的表面积 C．长方体容器的底面周长 D．长方体容器的高 10．爸爸带乐乐和天天一起去海边捡贝壳，乐乐捡到一个海螺，天天捡到一个海 星，他们想要比一比谁的体积大，于是他们做了如图的实验，体积较大的是 （　　） A．海螺 B．海星 C．一样大 D．无法比较 二．填空题（共 5 小题） 11．如果一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是 40cm3，则圆锥的体积 是______cm3，圆柱的体积是______cm3． 12．一个圆锥的底面半径扩大 3倍，高不变，体积扩大 ______倍；若高也扩大 2 倍，体积扩大 ______倍。 13．如图中，每个小正方体的棱长都是 10厘米，则大长方体的容积是 ______dm3；如果要把大长方体填满，需要再补 ______个这样的小正方体。 14．一个圆柱容器的底面直径为 10cm,高为 20cm,一个圆锥容器的底面直径也为 10cm。小西先用这个圆柱装满水，再将水倒入圆锥并灌满，结果如图所示。这个圆 锥容器高______cm。 15．如图是我国古代的一种计量时间的仪器——沙漏（又称沙钟）。它的上、下两 部分是两个完全相同的圆锥，其中一个装满细沙，单个圆锥的高为 9m。漏口每秒 漏出细沙 0.05立方厘米，漏完全部细沙用时 30分钟。这个沙漏的底面积是 ______平方厘米。 三．计算题（共 3 小题） 16．计算下面图形的体积。 17．求如图这个零件的体积。（单位：cm） 18．2024年 4月 24日是中国航天日。李磊制作了一个火箭模型（如图）。计算出 它的体积。 四．应用题（共 5 小题） 19．一个高 3分米，底面直径 20厘米的圆柱形水桶里装满水，水中放着一个底面 直径为 12厘米，高为 15厘米的铁质圆锥体，当把这个铁质圆锥体取出后，水面会 下降多少厘米？（取圆锥体过程中溢出的水忽略不计） 20．一块长方形铁皮（如图），从四个角各剪去边长 5cm的正方形，然后焊接成一 个无盖盒子。这个盒子的容积是多少升？（原铁皮长 30cm,宽 20cm） 21．阿尔贝罗贝洛是意大利普利亚大区巴里省的一个小城，城内的圆顶石屋建筑世 界知名，1996年被联合国教科文组织列为世界文化遗产。如图是一个圆顶石屋的 星顶，它的内部空间是 7.065m3，它的高是多少米？ 22．晓玉将石块放入盛有水的长方体容器中，利用排水法求石块的体积。已知长方 体容器长 2分米，宽 1.5分米，水深 1分米。石块完全浸入水中，水深变为 1.4分 米，求石块体积。 23．如图，一个长方体的密封玻璃容器（玻璃厚度忽略不计）长 6分米，宽 3分 米，高 4分米，平放时水深 2分米。 （1）水与玻璃接触面积是多少平方分米？ （2）如果把这个密封容器向右翻转竖起来平放，这时水深多少分米？