第19章 专项9-10 矩形、菱形，正方形的综合应用&与正方形有关的常考模型-【勤径学升】2024-2025学年八年级下册数学同步练测（华东师大版）

八年级数学·华师版（下册） 专项9 矩形、菱形、正方形的综合应用 [客案P46] 类型①菱形与矩形的综合应用 类型⑥矩形与正方形的综合应用 ①如图，在矩形ABCD中.，O为AC的中点，直线EF3已知正方形ABCD的边长为a,两条对角线AC、 经过点O,并且与AB交于点E,与DC交于点F, BD相交于点O,P是AB所在直线上任意一点， ∠DFE=∠BFE. 过点P分别作直线AC、BD的垂线PE、PF,垂足 (1)求证：四边形DEBF是菱形： 分别为E、F. (2)若AD=2,AB=4,求线段EF的长 (1)如图①，当点P在线段AB上时，PE+PF的 值是否为定值？如果是，请求出它的值：如 果不是，请加以说明： (2)如图②，当点P在线段AB的延长线上时，求 PE-PF的值 1题图 3题图① 3题图② 类型②菱形与正方形的综合应用 2如图，已知正方形ABCD的边长为3，菱形EFGH 的三个顶点E、G、H分别在正方形的边AB、CD、 DA上，AH=1,连结CF (1)当DG=1时，求证：菱形EFGH为正方形： (2)设DG=x(0≤x≤√6)，求△FCG的面积（用 含x的代数式表示)： 2题图 74g 见此图标跟抖音/縱信扫码领取配套资源稳步是升成绩 第19章矩形、菱形与正方形 专项10 与正方形有关的常考模型 [客案P46] 类型①十字模型 类型②半角模型 ①如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC、④如图，点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD CD上，且BE=CF.连结AE、BF,AE与BF交于 上，∠MAN=45°，点E在CB的延长线上，连结 点G.下列结论错误的是 AE,BE=DN.若CM=3,CN=4,则EM的长是 1题图 B A.AE=BF B.∠DAE=∠BFC 4题图 C.∠AEB+∠BFC=9O°D.AE⊥BF 5如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC、 2如图，在边长为10的正方形ABCD中，E、F分别 CD上，且∠EAF=45°，分别连结EF、BD,BD与 是AD、CD边上的点，连结AF、BE,且AF⊥BE AF,AE分别相交于点M、N. 若AE=4,求CF的长 (1)求证：EF=BE+DF.为了证明“EF=BE+ DF”,小明延长CB至点G,使BG=DF,连结 AG,请画出辅助线并按小明的思路写出证明 过程： (2)若正方形ABCD的边长为6，BE=2,求DF 的长 2题图 B E 5题图 3如图，在边长为1的正方形ABCD中，E,F分别 是AD,CD边上的点，且AE=DF,CE与AF相交 于点G,求AF+CE的最小值 3题图 见此图标服抖音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 5 八年级数学·华师版（下册） ⑥（南阳期*）已知正方形ABCD,点E,F分别是 类型③手拉手模型 边AB,BC上的动点 ⑦（深圳南山区二模）正方形ABCD中，AC为对角 (1)如图①，点E、F分别是边AB,BC的中点，证 线，点P在线段AC上运动，以PD为边作正方形 明：DE=DF: DPFE,连结CE. (2)如图②，若正方形ABCD的边长为1，△BEF 【初步探究】 的周长为2，证明：∠EDF=45 (1)如图①，则AP与CE的数量关系是 ,AP与CE的位置关系为 【探索发现】 6题图1D 6邀图2 (2)点P在线段AC及其延长线上运动时，如图 ①、②，探究线段CD、PC和CE三者之间的 数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图③，连结AE,若AB=√2，AE=√29，求 四边形DCPE的面积 7题网① 7题图2 7题网③ 766 见此图标跟抖音/縱信扫码领取配套资源稳步是升成绩八年级数学·华师版（下册） 专项9矩形、菱形、正方形的综合应用 ∠HEA=∠FGIM. 1.(1)证明：四边形ABCD是矩形 在△AHE和△MFG中， ∠A=∠GMF=90°， .DC∥AB,DC=AB, EH GF, ,∠OAE=∠OCF .△AHE≌△MFG(A.A.S.),∴.FM=HA=1. 即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距 OA=OC,∠AOE=∠COF, 离始终为定值1， ∴.△AOE≌△COF, ,AE=CF,∴.BE=DF ∴.Saes= .四边形DEBF是平行四边形， 又：∠DFE=∠BFE,∠DFE=∠FEB, ∠BFE=∠BEF,∴，BE=BF, ,四边形DEBF是菱形. (2)解：如答图，过点F作FH⊥AB于H.设DF=BF B 2题答图 =x, 3.解：(1)PE+PF的值是定值. 在Rt△BCF中，∠BCF=90°，BC=AD=2, ,四边形ABCD为正方形，且边长为a, CF=4-x, .AC⊥BD,BD=2a,∠PBF=45°，∠AOB=90 六=2+(4-)只x= PF⊥BD,PE⊥AC,∴.∠PF0=∠PEO=90°， 2 ∴.∠EOF=∠PF0=∠PE0=90°， .CF- .DF=5 ,.四边形PFOE为矩形.∴，PE=OF ∠PBF=45°，∴.∠BPF=90°-∠PBF=45°， ,∠FHB=∠HBC=∠BCF=90, .PF=BF. :四边形BCFH是矩形， F=m:号H=BC=2 PE+P=0F+BF=0B=BD=号a (2)由(1)可知，∠AB0=45°，∠EOF=∠PE0= E=F多 ∠PF0=90°， .四边形PFOE为矩形.∴.PE=OF ,EH=1, 又.∠PBF=∠AB0=45°， .EF=EH +FH =5. ∠FPB=90°-∠PBF=45°，∴.PF=BF. SPE-PF=OF-BF=OB=号a 专项10与正方形有关的常考模型 E 1.C[解析]在正方形ABCD中， 1题答图 ∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC. 2.(1)证明：当DG=1时，DG=AH=1. tAB=BC, ·四边形EFGH为菱形，∴，EH=HG. 在△ABE与△BCF中，{∠ABE=∠BCF, 在R△AHE和R△DGH中，AH=DG. [EH HG. BE CF, ∴.△ABE≌△BCF(S.A.S.),∴.AE=BF,∠AEB= Rt△AHE≌Rt△DGH(H.L.), ∠BFC,∠BAE=∠CBF.,·∠DAE+∠BAE=9O°， ∴.∠AHE=∠DGH. ∠BFC+∠CBF=9O°，∴.∠DAE=∠BFC,∠CBF+ 又，∠DGH+∠DIG=90°. ∠AEB=90°，.∴.∠BCE=90°，.AE⊥BF,故A、B、D ,六∠AHE+∠DHG=90°，∴，∠GHE=90°， 正确，C错误 ∴，菱形EFGH为正方形. 2.解：四边形ABCD为正方形， (2)解：如答图，过点F作FM⊥DC交DC所在直线 .AB=AD=CD=10.∠BAE=∠ADF=90°， 于M,连结GE.AB∥CD,∴∠AEG=∠MGE. ·∠DAF+∠AFD=90 HE∥GF,∴.∠HEG=∠FGE, AF⊥BE, ∠HEA=∠FGM. .∠DAF+∠BEA=90°， ·46· 参考答案及解析 .∠BEA=∠AFD. 5.(1)证明：画出辅助线如答图. r∠BEA=∠AFD, 在△ABE和△DAF中，{∠BAE=∠ADF, LAB DA, .△ABE≌△DAF(A.A.S.), .AE DF=4, B .CF CD -DF =6. 5题答图 3.解：如答图①.连结BE :四边形ABCD为正方形， :四边形ABCD是正方形， ∴，AB=AD,∠BMD=∠ADF=∠ABE=∠ABG ∴.AD=AB,∠BAD=∠ADC=90. =90°， BA =AD. AB =AD. 在△ABE和△DAF中，∠BAE=∠ADF. 在△ABG和△ADF中 ∠ABG=∠ADF, LAE DF, BG =DF, △ABE≌△DAF(S.A.S.), △ABG≌△ADF(S.A.S.), .BE =AF. :.AF+CE的最小值等于BE+CE的最小值 ∴∠DAF=∠BAG,AF=AG, 如答图②，作点B关于AD的对称点H,连结CH,CH ∴∠GAE=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90 与AD的交点即为所求的E点 -450=45°=∠EAF 根据对称性可知BE=HE, rAF =AG, ∴，BE+CE=CH. 在△AEF和△AEG中， ∠FAE=∠GAE. 在Rt△CBH中，BH=2,BC=1, LAE=AE, .CH=2+1下=5 .△AEF≌△AEG(S.A.S.),∴.EF=EG. ,AF+CE的最小值为5. EG=BE+BG,∴，EF=BE+DF (2)解：BC=6.BE=2,∴.EC=4 由(I)得EF=BE+DF=2+DF 在Rt△CEF中，EF=CE+CF .(2+DF)2=43+(6-DF)2,解得DF=3. 6.证明：(1)：四边形ABCD是正方形， .∠A=∠C=90°，AD=CD=AB=BC 3题答图① 3题答图② 4.5[解析]：四边形ABCD是正方形，∠ABC= E、F分别是边AB,BC的中点，∴，AE=CF ∠D=∠BAD=∠C=90°，AB=AD,·,∠ABE=90 AD CD, AB AD, 在△ADE和△CDF中， ∠A=∠C, 在△ABE与△ADN中 ∠ABE=∠D,.△ABE≌ LAE=CF, LBE DN, ∴.△ADE≌△CDF(S.A.S.）,∴.DE=DF △ADN(S.A.S.),AE=AN,∠BAE=∠DAN (2)如答图，延长BC至G,使CG=AE. ∠MAN=45°，∴.∠BAM+∠DAN=45°，.∠BAE :四边形ABCD是正方形， +∠BAM=45°，∴.∠EAM=∠NAM. AE =AN, ∴.∠A=∠BCD=∠ADC=90°， 在△EAM和△NAM中， ∠EAM=∠NAM, AD CD =AB=BC=1, LAM=AM. .BE+AE+BF +CF=BE +CG+BF+CF=2, ∴.△EAM≌△NAM(S.A.S.),∴EM=NM.在 即BE+BF+FG=2. Rt△CMN中，CM=3,CN=4..MN=√CM+CW △BEF的周长为2， =5,∴.EM=5. .BE BF +EF=2,..EF FG. 47. 八年级数学·华师版（下册） ∠DCG=180°-∠BCD=90°， ∴.∠ADC+∠CDP=∠PDE+∠COP. ∴.∠DCG=∠A 即∠ADP=∠CDE. CD=AD. rAD=CD. 在△DCG和△DAE中，∠DCG=∠A, 在△ADP和△CDE中， ∠ADP=∠CDE. CG=AE. DP DE. ,△DCG≌△DAE(S.A.S.), .△ADP≌△CDE(S.A.S.),∴.AP=CE, .DG=DE,∠CDG=∠ADE. .CE-PC=AP-PC=AC=2CD. ∠ADE+∠EDC=90°， (3)由(2)知△ADP≌△CDE, .∠CDG+∠EDC=90°， ∴.∠DCE=∠DAP=45°. ∴∠EDG=90°. .∴.∠ACE=∠ACD+∠DCE=90. DE =DG. .AB=2,..CD=AB=2,..AC=2, 在△DEF和△DGF中，EF=GF, DFDF. .CE=√AE-AC=√/（√29）2-2=5. ∴.△DEF≌△DGF(S.S.S.),∴.∠EDF=∠GDF. .AP=CE=5,..PC=AP-AC=5-2=3, ,∠EDG=90°，∴.∠EDF=∠FDG=45 .PE=CE+PC=√5+3=/34， .DE=DP=、17 如答图，连结BD,交AC于0易知D0=AC=1, Sam=DB·0p=号x(,T)=-号m= 6题答图 7.解：(1)AP=CEAP⊥CE [解析]四边形ABCD是正方形，AD=DC, 173 ∠ACD=∠DAC=45°，∠ADC=90°.：四边形 .S边80m=S&POE+S△m=2 3=10. DPFE是正方形，∴DP=DE,∠PDE=90°.：∠ADP +∠PDC=90°，∠CDE+∠PDC=90°，∴.∠ADP= AD=CD, ∠CDE.在△ADP和△CDE中 ∠ADP=∠CDE, DP =DE. △ADP≌△CDE(S.A.S.),∴.AP=CE,∠DAC= 7题答图 ∠DCE=45°，∴.∠ACE=∠ACD+∠DCE=90°. 专项11特殊平行四边形中的图形变换 .AP⊥CE. 1.B (2)当点P在线段AC上运动时，PC+CE=2CD:当 2.C[解析]连结BD、AC.:四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD,AC平分∠BAD.:∠BAD=120°， 点P在线段AC的延长线上运动时，CE-PC=2CD. ∴，∠BAC=60°，∴.△ABC为等边三角形，AB=AC= 理由如下： 当点P在线段AC上运动时，由(1)可得AP=CE, BCA0=4C=号x2=1.由勾股定理，得B0= .PC+CE=PC+AP=AC=2CD. D0=5,.BD=25.,点A沿EF折叠与点0重 .PC+CE=2CD. 合，.EF⊥AC,EF平分AO.易证四边形AEOF为菱 当点P在线段AC的延长线上运动时， 形，OF∥AB,'AC⊥BD,EF∥BD,四边形 ,四边形ABCD是正方形， ∴，AD=DC,∠ACD=∠DAC=45°，∠ADC=90. EFOB为平行四边形，BF=B0=BD=宁× 四边形DPFE是正方形..DP=DE,∠PDE=90, 23=3.故选C. ·48·