19.2 2. 菱形的判定-【勤径学升】2024-2025学年八年级下册数学同步练测（华东师大版）

八年级数学·华师版（下册） 2.菱形的判定 《基础巩固练： [答案P42] 细腰鸟⑨有一组邻边相等的平行四边形是菱形/ 5如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,E ①（信阳三模）下列选项中能使口ABCD成为菱形 是CD上一点，BE交AC于F,连结DF. 的是 ( (I)证明：∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE; A.AB=CD B.AB=BC (2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形 C.∠BAD=90° D.AC=BD 2(淮安中考)如图，在口ABCD中，点E、F分别在 AD、BC上，且BE平分∠ABC,EF∥AB. 5题图 求证：四边形ABFE是菱形 2题图 细瞑点③对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, 且OA=OC,OB=OD.若要使四边形ABCD为菱 形，则可以添加的条件是 () A.∠AOB=609 B.AC⊥BD C.AC=BD D.AB⊥BC 7(四川遂宁中考)如图，在口ABCD中，对角线AC 与BD相交于点O,过点O的直线EF与BA、DC 的延长线分别交于点E、F: (1)求证：AE=CF; (2)请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱 知暝点②四边都相等的四边形是菱形 形，并说明理由. 3用折纸、剪切的方法得到一个菱形，最少要剪 ()刀（设一条线段剪一刀） A.1 B.2 C.3 D.4 4在数学活动课上，老师和同学判断教室中的瓷 砖是否为菱形，下面是某小组拟定的4种方案， 7题图 其中不正确的是 ( A.测量两条对角线是否分别平分两组内角 B.测量四个内角是否相等 C.测量两条对角线是否互相垂直且平分 D.测量四条边是否相等 70 见此图标酮抖音/微信扫码领取配套资稳步提升成绩 第19章矩形、菱形与正方形 《能力提升练 [答案P43] )下列命题正确的是 (）6如图，等腰△ABC中，AB=AC,D为BC上一点， A.对角线相等的四边形是菱形 连结AD,在线段AD上任取一点P(点A除外)， B.对角线互相垂直的四边形是菱形 过点P作EF∥AB,分别交AC、BC于点E和点 C.对角线相等的平行四边形是菱形 F,Q为AB上一点，连结PQ、EQ,AD⊥EQ, D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 AO=OP. 2如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交 (1)求证：①四边形AEPQ为菱形； AB于E,DF∥AB交AC于F,若AE=4cm,那么 ②EQ=FB; 四边形AEDF的周长为 (2)当点P在什么位置时，E0=FD? A.10 cm B.16cm C.20 cm D.22 cm (3)当点P在什么位置时，菱形AEPQ的面积为 四边形EFBQ面积的三分之一？ 2题图 3题图 6题图 3如图，在△ABC中，AD⊥BC于D,E、F分别是 AB、AC边的中点，连结DE、EF、FD,当△ABC满 足条件时，四边形AEDF是菱形 ④如图，O为矩形ABCD的对角线的交点，过O作 EF⊥AC分别交AD、BC于点F、E,若AB=2cm, ⊙题型变式 讲本37客案P43 BC=4cm,求四边形AECF的面积 (题型2变式)如图，在平行四边形ABCD中，对 角线AC、BD相交于点O.过点O作OE∥BC,交 AB于点E,E恰好为AB中点，且OE=OA,过点 E作EF∥AC,交BC于点F,且AC=BC. 4题图 (1)求证：四边形0OEFC是菱形； (2)若AB=2,S题形oBc=1,求BC的长. 5如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AC平分 ∠DAB,AB=2CD,E为AB的中点，连结CE. 1题图 (1)求证：四边形AECD为菱形； (2)若∠D=120°，DC=1,求△ABC的面积 5题图 见此图标服科音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩八年级数学·华师版（下册） 4?〔解析]根据题意知，回边形ABEF为芝程， 2.菱形的判定 【基础巩围练】 AB=BE=2,∠F=∠ABE=30°，又：·∠EBC= 1.B 15°，.∠ABC=45°，△ABC为等腰直角三角形，可 2.证明：：四边形ABCD是平行四边形， 求AC=c=l5am=7X1x1=号 1 ∴AD∥BC. 又：EF∥AB.四边形ABFE是平行四边形. 5.(1)证明：DE∥AB,EF∥BC, BE平分∠ABC.∴.∠ABE=∠FBE. ∴.四边形BDEF是平行四边形. :AD∥BC,∴.∠AEB=∠FBE, .∠ABE=∠AEB,AB=AE, AB=BC,D,E、F分别是BC ACAB边上的中点， 平行四边形ABFE是菱形. ∴N=AB=2C=D, 3.A 4.B[解析]A,测量两条对角线是否分别平分两组内 ∴.口BDEF是菱形 角，能判定菱形，故选项A不符合题意：B.测量四个 (2)解：，AB=12cm,F为AB的中点， 内角是否相等，能判定矩形，不能判定菱形，故选项B ∴.BF=6cm. 符合题意；C.测量两条对角线是否互相垂直且平分， .菱形BDEF的周长为4×6=24(cm). 能判定菱形，故选项C不符合题意：D.测量四条边是 6.(1)解：四边形ABCD是菱形， 否相等，能判定菱形，故选项D不符合题意 AB =AD. ∴.AB=BC=CD=AD=5. 5.证明：(1)在△ABC和△ADC中， BC=DC, AC 1BD,OB =OD,OA=OC=3, LAC =AC. ∴.0B=√AB-0A=4. .△ABC≌△ADC(S.S.S.), ∴.BD=20B=8. ∠BAC=∠DAC. AD∥CE,DE∥AC AB =AD. 在△ABF和△ADF中， ∠BAF=∠DAF, ∴，四边形ACED是平行四边形. AF =AF, ∴.CE=AD=5,DE=AC=6, ∴.△ABF≌△ADFS.A.S.),∴.∠AFB=∠AFD. :.CANDE BD+BC+CE+DE :∠AFB=∠CFE,∴.∠AFD=∠CFE. =8+5+5+6=24. (2):AB∥CD,∴.∠BAC=∠ACD. (2)证明：，AD∥BC 又：∠BMC=∠DAC, .∠0BP=∠ODQ,∠OPB=∠OQD. ∴∠CAD=∠ACD. 又0B=0D, .AD =CD. AB =AD,CB CD, .△BOP≌△DOQ, ∴.AB=CB=CD=AD, .BP DQ. ∴，四边形ABCD是菱形. 题型变式 6.B[解析].OA=OC,OB=OD,∴.四边形ABCD为 1.解：(1)四边形ABCD是菱形， 平行四边形.由∠AOB=60°，不能得出四边形ABCD 是菱形，∴，选项A不符合题意：AC⊥BD,四边形 ∴.AC⊥BD,BD平分∠ABC. ABCD是菱形，选项B符合题意；AC=BD,,四 ∠ABC=60°，.△ABC是等边三角形. 边形ABCD是矩形，∴，选项C不符合题意：AB⊥ 菱形ABCD的周长是8cm,AB=2cm, BC,∴四边形ABCD是矩形，∴选项D不符合题意. 01=24C=1cm 故远B 7.(1)证明：，~四边形ABCD是平行四边形， .OB=√/AB-OA=3cm, .OA=OC,BE∥DF,∴∠E=∠F .'AC =20A =2 cm,BD =20B=2/3 cm. r∠E=∠F, (2)5wm=号4C·D=7×2×25 在△AOE和△COF中，∠AOE=∠COF. LOA =OC. 2、3(cm2). ,△AOE≌△COF(A.A.S.),.AE=CF ·42· 参考答案及解析 (2)解：当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形.理由如 下：如答图，连结BFDE. S=号cAC=号x1x5= 6.(1)证明：①EF∥AB,∠EPO=∠QAO. 在△EOP和△QOA中， rLEP0=∠QAO, P0=A0. L∠EOP=∠QOA. .△EOP≌△Q0A(A.S.A.), .EP =QA, 7题容图 ∴，四边形AEPQ为平行四边形 ·四边形ABCD是平行四边形.∴.OB=OD AP⊥EQ, △AOE≌△COF,∴.OE=OF, .平行四边形AEPQ为菱形 ∴，四边形BFDE是平行四边形 ②由①知，四边形AEPQ为菱形. 又，EF⊥BD,∴.四边形BFDE是菱形. ∴，AD平分∠BAC. 【能力提升练】 又.AB=AC.AD⊥BC 1.D .AD 1EQ, 2.B[解析]由题意可证得△ADE是等腰三角形，则 EQ∥BC 四边形AEDF是菱形. 又，EF∥AB. 3.AB=AC[解析]要AE=AF,因E、F分别是AB、AC ,四边形EFBQ为平行四边形 的中点，故要AB=AC ∴，EQ=FB. 4.解：：四边形ABCD是矩形， (2)解：当点P为EF的中点时，E0=FD, ∴.OA=OC,∠FAC=∠ECA. 由(1)得，∠EOP=∠FDP=90° 又：∠AOF=∠COE, 当点P为EF的中点时，EP=FP .△AOF≌△COE, 在△EOP和△FDP中， ∴OF=OE,即EF与AC互相垂直平分， r∠EOP=∠FDP, .四边形AECF为菱形， ∠EPO=∠FPD .AE EC. LEP=FP. 设AE=xcm,则CE=xcm,BE=(4-x）cm .△EOP≌△FDP(A.A.S.), 在Rt△ABE中，AE=AB+BE, .EO FD. 即x2=2+(4-x)2,解得x=2.5 (3)解：点P为EF靠近点E的三等分点时， .S菱粒=CE·AB=2.5×2=5(cm2). 即四边形AECF的面积为5cm, S装BW=35年行得的5网， 5.(1)证明：：E为AB的中点， 如答图，过点E作EN⊥AB于点N, .AB=2AE=2BE. AB =2CD. 当EP=EF时， ∴.CD=AE. 又：AE∥CD, 则Sm=D,N=BF:EN=号 5行边形 ∴.四边形AECD是平行四边形. .AC平分∠DAB. ∴.∠DAC=∠EAC AB∥CD, .∠DCA=∠EAC ..∠DCA=∠DAC 6题客图 .AD =CD. 题型变式 ·.平行四边形AECD是菱形 1.(1)证明：OE∥BC,EF∥AC, (2)解：四边形AECD是菱形，∠D=120°，DC=1, ∴.四边形OEFC是平行四边形. ∴.AD=DC=CE=AE=1.∠AEC=∠D=I20° 四边形ABCD是平行四边形， .AE =CE =BE =1,ZCEB=60. .∠CAE=∠ACE=30°，△CEB是等边三角形. .BE=BC=EC=1.∠B=60 .∠ACB=90 :0E=0M=24C,4c=BC,30E=0C. ·AC=5 ,四边形OEFC是菱形. ·43. 八年级数学·华师版（下册） (2)解：连结CE,如容图 6.D[解析]A.四个角都相等的四边形是矩形，故错误： E为AB中点，∴，AE=BE B.四条边都相等的四边形是菱形，故错误： AC=BC,∴.CE⊥AB, C.对角线相等的平行四边形是矩形，故错误： ∴Sam=25g=号4B×0E=2 D.对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，故选D. 7.D[解析]，四边形ABCD是平行四边形，∴当AB AB=2,.CE=2,BE=1 =BC或AC⊥BD时，四边形ABCD为菱形，故A、B .BC=√BE+CE=√T+2=5 正确：当∠ABC=90°时，四边形ABCD为矩形，故C 正确：当AC=BD时，四边形ABCD为矩形，故D不 正确，故选D. 8.①②[解析]由a得到两组对边分别相等的四边 形是平行四边形，添加c即一组邻边相等的平行四 1题容图 边形是菱形，再添加山即一个角是直角的菱形是正 19.3正方形 方形，故①正确；由b得到一组对边平行且相等的 【基础巩圈练】 四边形是平行四边形，添加即有一个角是直角的 1.D[解析]四边形OBCD是正方形， 平行四边形是矩形，再添加c即一组邻边相等的矩 .OB=BC=CD=OD,∠CD0=∠CB0=90°. 0、D两点的坐标分别是(0,0).(0,6)， 形是正方形，故②正确：由a得到两组对边分别相 ∴.0D=6,0B=BC=CD=6,∴.C(6,6).故选D. 等的四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平 2.C[解析]四边形ABCD是正方形， 行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加c .AD=DC=AB,∠ADB=∠EDC=459 即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四 DE =AB,.'.AD=DE =CD, 边形是正方形，故③不正确，综上所述，能得到正方 ∴.∠DAE=∠AED,∠DEC=∠DCE, 形的是①②. ÷∠AED=LCED=180°-45 9.(1)证明：DE∥AB,DF∥AC 2 -=67.5°， ,.四边形AFDE是平行四边形 ,∠AEC=67.5°+67.5°=135°.故选C. AD平分∠BAC,∴.∠FAD=∠EAD. 3.C[解析]：四边形ABCD是正方形，∠DBC= ·DE∥AB,,∠EDA=∠FAD ∠BCA=45°.BP=BC,.∠BCP=∠BPC=67.5°， ·∠EDA=∠EAD .∠ACP=∠BCP-∠BCA=67.5°-45°=22.5°. ∴.AE=DE.四边形AFDE是菱形 4.9[解析]：四边形ABCD是正方形，∠ED0= ∠BAC=90°， LFCO.ACLRD.OD-R.OG-AC.AC-BD. .四边形AFDE是正方形 ∠D0C=∠COF+∠D0F=90°，OD=0C.OE (2)解：，四边形AFDE是正方形， ⊥OF,∴.∠E0F=∠DOE+∠D0F=90°，.∠DOE ,AF=DF=DE=AE,∠AED=90°， =∠COF,∴△ODE≌△OCF,.图中阴影部分的面 ∴.AE2+DE=AD 积=Sam=子>：A0=6图中阴影本分 AD=2,,AE=DE=1(舍负)， .四边形AFDE的面积为1×1=1. 的面积为}×6=9 【能力捉升练】 5.证明：：四边形ABCD是正方形， 1.B[解析]正方形的性质有：四条边相等，对角线互 ∴.BC=CD,∠BCD=90 相垂直平分且相等，菱形的性质有：四条边相等，对 :CE⊥BG,DF⊥CE 角线互相垂直平分，因此正方形具有而菱形不一定 .∠BEC=∠DFC=90°， 具有的性质是对角线相等.故选B. ∠BCE+∠CBE=9O°=∠BCE+∠DCF, 2.C[解析]在正方形ABCD中，AB=AD,∠BAD= ∴，∠CBE=∠DCF 90°，在等边△ABE中，AB=AE,∠BAE=∠AEB= 在△CBE和△DCF中， 60°，在△ADE中，AD=AE,∠DAE=∠BAD+∠BAE ,∠CBE=∠DCF, =90°+60°=150°， ∠BEC=∠CFD,∴，△CBE≌△DCF(A.A.S.), BC CD. 4LAED=2×(180°-150)=15， .BE CF,CE DF ∴.∠BED=∠AEB-∠AED=60°-15°=45 .DF CE =CF EF=BE +EF. 故选C ·44·