19.2.2 菱形的判定-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级下册数学同步训练方案(华东师大版)

(A.S.A.); 14.60* 【解析】连结AC.CE.CP..·四边形ABCD是菱形 (2)解:当AB=BD时,四边形BNDM是矩形,理由如下: .BD垂直平分AC..AP=CP.LC=120'.LABC= 由(1)可知.△ABM△CDN..AM=CN.·'AD=BC.. 60*..△ABC和△ACD都是等边三角形.又:点E为 DM=BN.·:DM/BN.:四边形BNDM是平行四边形.又 AD的中点..CE1AD.·PA+PE=CP+PE>CE :当C. AB=BD.BM平分 ABD..BM1AD.. BMD=90*, P.E三点共线时,PA+PE的值最小,等于CE的长,此时 .平行四边形BNDV是矩形. $$ $P=DP$' ADP= AP=30$. APB=6 0$$ 12.(1)证明::CE平分乙ACB.CF平分乙ACD.:.乙ACE= 15.(1)证明:连结AC.·BD.AC是菱形ABCD的对角线。. LECB.LACF= FCD.':MN//BC ' NEC=LECB BD垂直平分AC..AE=FC: LMFC= FCD NEC=LACE, MFC=LACF'. (2)解:点F是线段BC的中点.理由::四边形ABCD是 EO=CO.FO=CO.:0E=OF: 菱形。:AB=CB.又:乙ABC=60*.△ABC是等边三角 (2)解:'LACE=乙BCE,乙ACF=乙FCD.LACE+ 形 :AE=EC..LEAC=乙ECA.乙EAC+乙ECA= 乙BCE+ ACF+ FCD=180*: 乙ACE+ ACF=90* LCEF, CEF=60*:. 乙EAC= 2_CEF=30.又: 即乙ECF=90°CE=12$CF=5 :EF=12^+5=13. 由(1)得0C-OE=OF.: .0C-EF=6.5; BAF= BAC- EAC=30*= EAC.AF是等边三角 形ABC的角平分线..BF=CF..点F是线段BC的中 (3)解:当点0在边AC上运动到AC中点时,四边形 点. AECF是矩形 理由:当0为AC的中点时,AO=CO.:EO=F0.:四边 形AECF是平行四边形.乙ECF=90*.:平行四边形 1 1 AFCF是矩形 19.2 菱形 600(cm2). 1 萎形的性质 两条对角线乘积的一半 2.2 对角线 3.B 1. = 【拓展提高】连结BD.过点A作AN1BD于点N.过点C 4.C 【解析】:四边形ABCD是菱形,.AD/BC...乙BAD +乙ABC=180$' BAD=130* ABC=50* CBD$ (cm”). 一条对角线与另一条对角线两个端点到这条对角线的 -BD-4.AC1BD.:在Rt△AOB 中,由勾股定理,得 距离之和的积的一半 2 萎形的判定 AB=5.:菱形的周长为4×5=20.故选A 1.B 6.D 2.40【解析】:四边形ABCD为矩形.:OA=0C.0B=0D 7.C【解析】:·四边形ABCD是菱形.:.LBAC=LDAC,AB 且 AC=BD=20.: 0A=0B=OC=OD--AC=10.·: CE/ =AD.AC1BD.无法得出AC=BD.故选C 8.解:(1)DE1AB于点E.且E为AB的中点.AD=BD BD.DE//AC。:.四边形0CED为平行四边形.OD=0C :四边形ABCD是菱形.:.AD=BA..AB=AD=BD. .四边形0CED为菱形.:.0D=DE=EC=0C=10. .菱 △ABD是等边三角形.:.乙DAB=60o; 形OCFD的周长=OD+DE+FC+OC=40 (2)·BD=2.△ABD是等边三角形.:.D0=1.AD=2. 3. 四条边都相等的四边形是菱形 四边形ABCD是菱形。AC1BD.2AOD=90.A0= AD-D0=/3.:AC=23 9.B $ $ 8 {*$$ ABE= AEB=36*$,同理:$ BAF= BCA=36*$$$$ 【归纳总结】(1)萎形的面积=对角线乘积的一半=底x . FAE=108+*-36*=72°$:AFE=180*-72*-36^*= 高:(2)菱形的对角线把菱形分成了四个全等的直角三角 $ *°$.'.AE=EF.同理BC=CF. FF=CF=DE=CD.'四 形。 边形CDEF为菱形. 10. A 【解析】在菱形ABCD中.AC=12.BD=16.:B0= 5.菱形 6.解:赞成小洁的说法,补充一个条件为0A=0C,证明如 下:·OA=OC.0B=OD.:四边形ABCD是平行四边形. ·AC1BD..平行四边形ABCD是菱形. 7.C 【解析】A.四条边相等的四边形是菱形;B.有一组对 边平行且相等的四边形是平行四边形,邻边相等的平行 故选A. 四边形是菱形:D.两组对边平行的四边形是平行四边形, 11.D 邻边相等的平行四边形是菱形,故选C 12.C 【解析】连结BD交AC于点0.:AC=6.:.OA=0C= 8.C 2-4C=3. S$c -ACxBD=24.. BD=8.. 0B= 【解后反思】本题考查作图,菱形的判定和性质等知识,解 题的关键是熟练掌握菱形的判定方法,通过作图痕迹得 $D=4.:在菱形中AC1 BD.乙AOB=90*,:AB= 出信息,进而作出判断. A*+OB{=5...菱形ABCD的周长=4AB=20.故选 9.AB=BC(答案不唯一) C. 10. 45 13.(-5.4) 【解析】:A(-2.0)B(3.0)..AB=5.0B=3. .四边形ABCD是菱形.:.BC=CD=AB=5. BOC= 90”.0C=BC-0B=4..C(0,4)..·点D在第二 象限,CD/x轴,且CD=5.:D(-5,4). 11.(1)证明::四边形ABCD是矩形.:.A0=C0.AD/BC. 追梦之旅·ZBH·八年级数学下 第18页 不OAE=4OCF. :EF 1AC CAOF=LCOF=90 乙BAD=90*.AB=AD.·△ABE是等边三角形.. 乙BAE (乙OAE=乙0CF =乙AEB=6 O$AB=AE $ DAE=30*$AD=AE AED$$ 在△AEO和△CFO中. A0=CO ,△AEO =乙ADE2乙AED+30*=180*. AED=75*. BED (乙AOE=乙COF =/AFD+/AFB=135*。 △CFO(A.$. A.).:0E=0F:A0=CO..四边形 10.C 【解析】:四边形ABCD是正方形。乙DBC=不BDC AECF是平行四边形.··EF1AC.:四边形AECF是菱 =45*..·正方形ABCD的边长为6.:BC+CD=12.四 形; 边形EFCG是矩形.. LEFB=LEGD=90*. △BEF与 (2)解:设AF=x.则BF=4-x.在Rt△ABF中,由勾股定 △DEG是等腰直角三角形.:BF=EF.EG=DG..矩形 25 理可得:AF^*②}=AB^{}+Br^{},即x2}=(4-x)}}+3},解得x= EFCG的周长是:EF+FC+CG+FG=BF+FC+CG+DG=BC 8 +CD=12.故选C. 11.C 【解析】连结BN、BM,MB交AC于点N.此时DN+MN 最小.四边形ABCD是正方形,..B、D关于AC对称,. 12.解:(1)12 【解析】:PD/AC.PE/AB..乙DPB=乙C. DN=BN.:DN+MN=BN+NM=BM.当B、N.M在一条直线 乙EPC=乙B,四边形ADPE是平行四边形.AB=AC.. 上时.DN+MN最小.在Rt△BMC中.:乙BCM=90*.BC= B= C. B= DPB.. DB=DP:.AD+DP=AD+$$$$ 16$CM=CD-DM=12.:BM=BC*}+CM=20.故选C DB=AB。:乎行四边形ADPE的周长是2(AD+DP)= 12.(1)证明::AB=AC.AD1BC. AD平分乙BAC. 乙ADC 2AB-12: (2)当点P运动到BC中点时,四边形ADPE是菱形.理 由如下:连结AP.:PD//AC.PE/AB.:四边形ADPE是 外角平分线.:乙CAN= 平行四边形.AB=AC.P为BC的中点。乙PAD= 2 -乙CAM..._CAN+乙DAC= LPAE.':PE//AB.. LPAD=LAPE. LPAE=LAPE. :.EA=EP.:.四边形ADPE是菱形; 一乙BAC= (3)点P运动到乙BAC的平分线上时,四边形ADPE是 2 乙DAN=90”.'CE IAN.. LAEC=90* .. AEC= 2、 菱形.连结AP·PD//AC.PE//AB.:.四边形ADPE是平 行四边形.AP平分乙BAC.乙BAP=乙CAPAB/ 乙ADC=乙DAN=90*.:四边形ADCE为矩形 EP BAP=LAPE.LCAP=LAPE.AE=EP.. (2)解:当△ABC满足乙BAC=90*时,四边形ADCE是一 平行四边形ADPE是菱形. 个正方形.证明:AB=AC.乙BAC=90*.乙ACB=乙B 19.3 正方形 =45.AD1BC.LDAC=45* LACB= DAC 1.B DC=AD.由(1)得四边形ADCE为矩形。:.四边形ADCE 2.D 【解析】解法一:四边形ABCD是正方形,:AB= 为正方形. BC,乙ABC=90*.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB^{}+ 13.解:(1)BE=DG BE1.DG B$^{}=AC^{},即2AB{}=4.AB^{}=2.即正方形ABCD的面积$ (2)(1)的结论仍然成立,理由如下:设BE交AD于点 是2cm.解法二::四边形ABCD是正方形,AC=2cm.. 0.交DG于交点N.2:四边形ABCD和四边形AEFG是 正方形。AE=AG,AB=AD,乙BAD=ZEAG=90* 乙BAE = 乙DAG, 在 △ABE 和 △ADG 中. (AB-AD 选D. LBAE=LDAG.. △ABE△ADG(S.A. S.).:BE= 3.C 【解析】在正方形ABCD中,AC平分乙BAD,:乙BAE AE-AG 180*-45。 =45°.'AB=AE:. 乙ABE=乙AEB= -=6750 $ G ABE= ADG.'乙ABE+ AOB=90$ 乙AOB= LDON. 乙ADG+LAOB=乙ADG+LDON=90*. 又 AEB+ BEC=180*' BEC=180*-67.5*= 乙 DNO=90*.: BE1 DG: 112.5*.故选C. (3)7 3 【解析】当点E在线段AB上时,BE有最小 4.C 5.(1)证明:·四边形ABCD是正方形,:.乙D=乙B=90* 值,为AB-AE=5-2=3.当点E在线段BA的延长线上 时,BE有最大值,为AB+AE=5+2=7. AD=AB=BC=CD.又··E.F分别为DC.BC的中点.:.DE 专题 与正方形有关的常考模型 (AD=AB. 1.解:(1)AE=DF =BF.在△ADE和△ABF中. 乙D=乙B=90*. △ADE IDE=BF. (2)过点E作EM1BC于点M,则可证得四边形ABME为 矩形.则AB=EM,在正方形ABCD中,AB=BC.:EM= △ABF(S.A.S.). BC : EM 1. BC . LMEF+LEFM=9O” ·BG 1. EF (2)解:由题意,得 B= D= C=90*.AD=AB=BC=C$ =4 DE=CE=BF=CF=2.. Sr=Suc-S△Aor-S a 乙CBG+LEFM=90*..乙CBG=LMEF.在△BCG 和 (_CBG=乙MFF △EMF中, BC=EM ..△BCG△EMF I乙C=乙EMF=90* 6.D 7.B (A.S.A.)...BG=EF: 8.证明::菱形ABCD的对角线AC.BD相交于点0.:.AC (3)连结MN :M.N关于EF对称. MN1.EF.过点E $B$D OB=OD :OE=OF=OB OE=OF=OB=0D $ 作EH1.BC于点H. 过点M作MG1CD于点 G.则FB1 四边形BFDE是平行四边形,BD=EF。:.平行四边形 MG.由(2)同理可得△EHF△MGN(A.S.A.).:.NG= BFDE是矩形.又:BD1EF。.四边形BFDE是正方形. $HF .AE=2.BF=$ 'NG=HF=$-2=3.又' GC=MB=$$$$ 9.C【解析】:四边形ABCD为正方形。:.AB=AD.乙BAD 1.:NC=NG+CG-4. =90:△ABE是等边三角形:AB=AE.乙BAE=乙AEB 2.(1)证明::四边形ABCD是正方形.:.AB=BC.乙B= =6 6 *.AD=AE ' DAE= BAD+ BAE=150* 乙BCD=乙DCG=90$取AB的中点M,连结EM.·点E 180*-1500 LADE=LAED- =15*. BED=60-15*= 是边 BC的中点..AM=BM=EC=BE.. BME= BEM$ 2 =45*.乙AME=135.CF平分LDCG.乙DCF= 45*.故选C. FCG=45*. LECF=135*,LAME= ECF . 【变式】135。 【解析】:四边形ABCD是正方形,: 乙AEF=90*'乙AEB+ CEF=90”。又''LAEB+ MAE 追梦之旅·ZBH·八年级数学下 第19页第19厚矩形、菱形与正方形 河南专版 2 菱形的判定 追梦基础全练夯实基础熟练掌握 知识点③菱形的判定定理2 知识点①利用菱形的定义判定 5.(3分)在平面直角坐标系中，四边形ABCD的 1.(3分)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD 顶点坐标分别是A(-3,0),B(0,2),C(3,0), 相交于O,且互相平分，添加下列条件，能判定 D（0,-2),则四边形ABCD的形 四边形ABCD为菱形的是( 状是 A.OA=OC B.AB=AD 6.学习情境·问题讨论(7分)（浙江中考）小惠 C.AC=BD D.∠BAD=∠ABC 自编一题：如图，在四边形ABCD中，对角线 AC,BD交于点O,AC⊥BD,OB=OD,求证：四 边形ABCD是菱形，并将自己的证明过程与同 学小洁交流. 第1题图 第2题图 小惠： 小洁： 2.(3分)如图.矩形ABCD的对角线AC,BD相 证明：.AC⊥BD,OB=OD, 这个题目还缺 交于点O,DE∥AC,CE∥BD.若AC=20,则四 ∴.AC垂直平分BD, 少条件，需要 边形OCED的周长是 ∴.AB=AD,CB=CD, 补充一个条件 知识点②菱形的判定定理1 ,四边形ABCD是菱形 才能证明， 3.[教材P114试一试变 若赞同小惠的证法，请在第一个方框内画 式](3分)如图，在 “V”;若赞成小洁的说法，请你补充一个条 ∠MON的两边上分别截O 件，并证明. 取OA,OB,使OA=OB:再分别以点A,B为圆 心，OA长为半径作弧，两弧交于点C:再连结 AC,BC,AB,OC.能直接判定四边形AOBC是 菱形的依据是 4.(6分)如图，正五边形ABCDE的两条对角线 19 AC,BE相交于点F.求证：四边形CDEF为 菱形 易错点对菱形的判定方法掌握不透致错 7.生产劳动情境·加工零件(3分)张师傅应客 户要求加工4个菱形零件，在交付客户之前， 张师傅需要对4个零件进行检测.根据零件的 检测结果，图中有可能不合格的零件 71 河南专版 ZBH·八年级数学下册 是( (2)若AB=3,BC=4,求菱形AECF的周长. 2cm 2cm 2命 A.60 B.460 2cm 2cm 2cm 2e0 2cm20 C.70 D.460 60 2cm 2cm 2cm 追梦提升纸冲刺高分拓展中考 8.(3分)（许昌二模）根据以下尺规作图痕迹， 在一个平行四边形内作出的四边形ABCD中， 无法确定是菱形的是( 追梦素养练全国视野新题探究 12.[教材P118习题3题变式](10分)如图1， 9.新趋势·开放性试题(3分)如图，四边形AB △ABC为等腰三角形，AB=AC=6,P点是底 CD的对角线互相垂直且OB=OD.请你添加 边BC上的一个动点.PD∥AC,PE∥AB. 一个适当的条件 使四边形ABCD成 (1)四边形ADPE的周长为 为菱形.（只需添加一个即可） (2)点P运动到什么位置时，四边形ADPE 是菱形，请说明理由： (3)如果ABC不是等腰三角形（图2）其他条 件不变，点P运动到什么位置时，四边形 ADPE是菱形，并说明理由 第 第9题图 第10题图 19 10.[教材P115练习1题变式](3分)将一个长 为15cm,宽为12cm的矩形纸片从下向上， 从左到右对折两次后，得到如图所示的矩 形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪 下，再打开，得到的四边形ABCD的面积 图1 图2 为 11.(8分)（新野期末）如图，在矩形ABCD中， 对角线AC和BD相交于点O,过点O作EF ⊥AC,交AD于点E,交BC于点F,连结 AF、CE. (1)求证：四边形AECF是菱形： 72 不在