微专题 含参分类讨论函数的单调性常见题型做题策略讲义-2025届高三数学二轮复习

含参分类讨论函数的单调性常见题型做题策略 单位：修水县第四中学 教师：霍训会 指导教师：廖道勉 1、 考情分析 1、 函数与导数一直是高考中的热点与难点,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题,这是因为单调性是解决后续问题的关键,可以说函数单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用。函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高考中的难点。 2、考察形式上多以解答题出现，通常以一次函数型、二次函数型参数讨论的方式来考察 如2024年新高考一卷，同样有涉及含参函数单调性的题目。它往往把函数单调性和其他知识，像不等式、函数极值等结合起来考，比如让你先讨论函数单调性，再根据单调性去求解不等式或者确定极值情况。这就要求我们不仅要会分析函数单调性，还要能灵活运用它去解决其他问题。 3、这类题目难度基本稳定在中等偏上，所以要多做训练，以熟练掌握不同类型含参函数的讨论方法。 2、 知识梳理 1. 分类讨论思想研究函数的单调性 讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主．讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类： (1)最高次幂的系数是否为0，即“是不是”； (2)导函数是否有变号零点，即“有没有”； (3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”； (4)导函数的变号零点之间的大小关系，即“大不大”． 牢记：十二字方针“是不是，有没有，在不在，大不大”． 2.具体常见分类讨论类型及方法 （1） 一次型函数 （2）二次型函数 此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路： (1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数．如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论； (2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果x1，x2都在定义域内，则讨论个零点x1，x2的大小；如果二次三项式不能因式分解，需要用求根公式，需讨论判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论； 三、典例精析 （一）一次型 1．已知函数，求函数的单调区间。 【详解】解：, 当时，恒成立，所以在上单调递增， 当时，令即解得， 令即解得， 所以在单调递增，单调递减。 2．（2023年•新高考I）已知函数，，讨论的单调性。 【详解】解：定义域为，且， 当时恒成立，所以在上单调递减， 当时，令解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上可得：当时在上单调递堿； 当时在上单调递减，在上单调递增． （二） 二次型（可因式分解型） 3．（可因式分解型）已知函数．求函数的单调区间。 【分析】求得有两个根“和”，再分、和三种情况分析函数的单调性即可. 【详解】（2）因为， 令，得或 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 当时，因为，当且仅当时，， 所以在区间上单调递增． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增。 综上所述， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 4．(不可因式分解型）已知函数． 讨论的单调性； 【分析】首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调 【详解】由函数的解析式可得：， 导函数的判别式， 当时，在R上单调递增， 当时，的解为：， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 综上可得：当时，在R上单调递增， 当时，在，上 单调递增，在上单调递减. （三）二次求导型 -mx 6．已知函数f（x）=2lnx+1． 设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性． 【分析】对函数求导，把导函数的分子构成一个新函数 ，再求导得到，根据的正负，判断 的单调性，进而确定的正负性，最后求出函数的单调性. 【详解】解：且 因此，设 ， 则有， 当时，，所以， 单调递减，因此有，即 ，所以单调递减； 当时，，所以， 单调递增，因此有，即 ，所以单调递减， 所以函数在区间和 上单调递减，没有递增区间。 四、反思小结 1、本节课通过不太复杂的含参数函数的单调性问题的探究，充分调动学生思维，以较少的运算量，较多的思维量完成本课题的教学任务，让学生掌握导数解决函数单调性相关问题的方法。通过不断改变设问，让学生全方位了解高考命题角度、概念的理解和应用，逐步引导学生对问题的观察、思考、比较、猜想和探究，帮助学生经历数学概念和方法的形成、发展过程，形成正确的数学学习观。 2、倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，课后练习让学生独立思考之后通过投影、板书形式展示解题成果，锻炼了学生表达能力，展示讲解的过程能同时暴露学生思维过程及书写是否规范，期间发现学生多种思考角度，及时给予指正表扬，激发学生思考积极性。 3、典例精析第4题的让人耳目一新，通过观察函数结构特点，采取符号只与求导函数中的一小部分有关，回避了复杂的求导式子分类讨论。而且具有有普适性。 4、学生对多项式函数掌握情况较好，对超越函数心存畏惧，需加强指导。 五、课后练习 1．已知函数，讨论的单调性； 【分析】 将原函数求导，就参数进行分类讨论导函数的符号，即得函数的单调性； 【详解】解：的定义域, 若则在上单调递增； 若当时，则单调递减，时，则单调递增. 综上：当时，在上单调递增，无减区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增。 2．【2017年新课标1理科21】已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x．讨论f（x）的单调性； 【详解】解：由f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求导， 当a＝0时，， ∴当x∈R，f（x）单调递减， 令，解得： 当，解得：， 当，解得：x＜ ∴x∈（﹣∞，）时，f（x）单调递减，x∈（，+∞）单调递增； 当a＜0时，＝2a（ex）（ex﹣ ）＜0，恒成立， ∴当x∈R，f（x）单调递减， 综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数， 当a＞0时，f（x）在（﹣∞，）是减函数，在（，+∞）是增函数； 3．已知是函数的一个极值点，其中. 求的单调区间 【分析】=,当时，有，当变化时，判断两边的符号，从而可得结论. 【详解】解：， 当时，有，当变化时，与的变化如下表： x 1 0 0 调调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 因此当时，在，上单调递减，在上单调递增，所以函数的递减区间为，，递增区间为. 4．已知函数. 讨论函数的单调性；. 【解析】解：定义域为， . 令，① ， 当时，，， 即且不恒为零，故单调递增区间为，， 当时，，方程①两根为，， 由于， . 故， 因此当时，，单调递增， ，，单调递减， ，，单调递减， ，，单调递增， 综上，当时，在单调递增，单调递增， 当时，在单调递增， ，单调递减； 在单调递增. 故f(x)的增区间为（-1,0），减区间为（0，+∞） 学科网（北京）股份有限公司 $$