专题08 第六章 立体几何初步（14考点清单，知识导图+17个考点清单&题型解读）（期末复习知识清单）高一数学下学期北师大版

清单08 第六章 立体几何初步 （14个考点梳理+17题型解读+提升训练） 清单01 基本立体图形 （1）棱柱的定义 定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 （2）棱台的定义 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台 清单02 平面图形中的直观图 水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法） （1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或） （2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段. （3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半. （4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图. 清单03 多面积表面积和体积 1、计算多面体每个面的面积之和 棱柱的表面积： 棱锥的表面积： 棱台的表面积： 2、体积 （1）棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即. （2）棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即. （3）棱台的体积：(,分别为上下底面面积，为台体的高) 清单04 旋转体的表面积和体积 1、圆柱、圆锥、圆台表面积： （1）. （2）圆锥的表面积： （3）圆台的表面积： 2、圆柱、圆锥、圆台的体积 （1）圆柱的体积： （2）圆锥的体积： （3）圆台的体积： 清单05 平行关系 ①平面外一条直线与平面一条直线平行，那么该直线与此平面平行 ②直线与平面平行，直线与交线平行 ③一个平面内两条相交直线都与另一平面平行，那么这两个平面平行 ④两个平面平行，一个平面内任意一条直线与另一平面平行 ⑤两个平行平面同时与第三个平面相交，这两条交线平行 清单06 垂直关系 ①一条直线与一个平面内两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ②一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于平面内所有直线 ③一条直线垂直于一个平面，则经过该直线的平面垂直于另一平面 ④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线，垂直于另一平面 清单07 异面直线所成角 通过平移一条（或2条），使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角 清单08 直线与平面所成角 （1）定义法（如右图）：具体操作方法： ①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线； ②连接斜足与垂足； ③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角. （2）等体积法求垂线段法 ①利用等体积法求垂线段的长； ② 清单09 二面角 1、定义法 在二面角的棱上任取一点（通常都是取特殊点，如中点，端点），过该点在两个半平面内作二面角棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角. 2、三垂线法 三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直. 具体操作步骤（如图在三棱锥中）求二面角： ①第一垂：过点向平面引垂线（一般是找+证，证明） ②第二垂：在平面中，过点作,垂足为 ③第三垂：连接（解答题需证明） 3、射影面积法（） 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（）求出二面角的大小. 清单10 内切球等体积法 例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下： 即：， 可求出. 清单11 内切球独立截面法 定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。 定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。 清单12 外接球补形法 ①墙角模型（三条线两个垂直） 题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图） ②对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 清单13 单面定球心法 步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）； ②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上； ③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径. 清单14 双面定球心法 如图：在三棱锥中： ①选定底面，定外接圆圆心 ②选定面，定外接圆圆心 ③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心. 【考点题型一】基本立体图形（） 【例1】（23-24高一下·江西·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台 C．棱柱中至少有两个面完全相同 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 【变式1-1】.（24-25高三·江西上饶·阶段练习）用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【变式1-2】.（多选）（24-25高一下·陕西安康·期中）下列命题中为真命题的有（    ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．用一个平面去截圆锥﹐圆锥底面和截面之间的部分为圆台 C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱 D．球体是旋转体的一种类型 【变式1-3】.（多选）（24-25高一下·安徽·期中）下列选项中说法正确的是（    ） A．以直角梯形的腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 B．以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将该三角形旋转所得的旋转体是圆锥 C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D．有两个面平行且是相似的矩形，其他各个面都是梯形的多面体是四棱台 【变式1-4】.（23-24高一下·北京大兴·期中）给出下列命题： ① 一个棱柱至少5个面； ② 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③ 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形； ④ 所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ⑤ 有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台. 其中，所有正确命题的序号是 ． 【考点题型二】立体图形中的最短距离问题（） 【例2】（23-24高一下·山东聊城·阶段练习）如图，在长方体中，是线段上异于的一点，则的最小值为 . 【变式2-1】.（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图所示，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，沿棱柱表面，从到的最短路径长为（    ）    A． B． C．3 D． 【变式2-2】.（23-24高一下·吉林四平·阶段练习）如图正三棱柱的底面边长为，高为2，一只蚂蚁要从顶点沿三棱柱的表面爬到顶点，若侧面紧贴墙面（不能通行），则爬行的最短路程是 ．    【变式2-3】.（2025·重庆·模拟预测）已知圆锥的高为，底面直径的长为，那么从点A出发沿该圆锥的表面到点B的最短路径长为 ． 【变式2-4】.（23-24高一下·安徽·期中）（1）如图1，底面半径为1cm，高为3cm的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱，由点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路线长（π取3）； （2）如图2，在长方体中，M是CC1的中点，，，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点M，求蚂蚁爬行的最短路线长. 【考点题型三】立体几何中的截面问题（） 【例3】（2024·江西·模拟预测）已知在长方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，则平面截长方体所得的截面形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式3-1】.（2024·江西上饶·一模）在正方体中，，为棱的四等分点（靠近点），为棱的四等分点（靠近点），过点，，作该正方体的截面，则该截面的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】.（25-26高二上·上海·单元测试）在正方体中，P、Q、R分别是棱BC、、的中点，过P、Q、R三点的平面与正方体表面的交线围成的封闭图形的形状是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式3-3】.（河北省NT20名校联合体2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题）如图，在边长为3的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面的周长为 . 【变式3-4】.（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）如图，正方体的棱长为6，为的中点，为的中点，过点的平面截正方体所得的截面周长为 ．    【考点题型四】平面几何图形的直观图（） 【例4】（24-25高三上·江西·阶段练习）已知在斜二测画法下的直观图(其中A与对应，B与对应)为下图所示的，其中，，则的面积为 ；以该为底面的三棱锥中，，，则三棱锥的外接球半径为 . 【变式4-1】.（23-24高一下·江西·阶段练习）如图，在直角梯形中，，，，，，用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图为四边形，则四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-2】.（23-24高一下·江西抚州·期末）四边形直观图为如图矩形，其中，，则四边形的周长为（    ）    A．8 B．10 C．12 D．16 【变式4-3】.（24-25高一下·湖南常德·期中）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（   ） A． B．2 C．3 D． 【变式4-4】.（23-24高二上·江西九江·开学考试）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为 ． 【考点题型五】多面体表面积和体积（） 【例5】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知正四棱台上底面边长为2cm，侧棱和下底面边长都是4cm，则它的体积为 . 【变式5-1】.（2025·江西·模拟预测）在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（    ） A．2 B． C． D． 【变式5-2】.（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，点为侧棱上的动点．当最小时，三棱锥的体积为（    ） A．1 B． C． D． 【变式5-3】.（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知某正四棱锥的高为3，体积为64，则该正四棱锥的侧面积为（    ） A．48 B．64 C．80 D．144 【变式5-4】.（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）如图，是正四棱锥，是正方体，其中，，则该几何体的表面积 ； 【考点题型六】旋转体表面积和体积（） 【例6】（23-24高三下·江西鹰潭·阶段练习）已知圆台的上、下底面的周长分别为，，母线长为，则该圆台的体积为 . 【变式6-1】（24-25高三上·安徽·开学考试）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6，圆柱和圆锥的高均为4，则该陀螺的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】.（2022·江苏连云港·二模）如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】.（23-24高三上·辽宁·期中）如图，在圆锥PO中，用一个平行于底面的平面去截圆锥PO，可得一个圆锥和一个圆台，若圆锥的体积是圆锥PO体积的，则圆锥与圆台的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】.（23-24高三上·江西吉安·期中）已知球O的表面积为100，某个高为6的圆柱的上下底面圆周都在此球面上，则此圆柱的体积为 ． 【考点题型七】直线与平面平行（） 【例7】（23-24高一下·北京东城·期中）如图，在正方体中，E是的中点. (1)求证：平面； (2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的表面积． 【变式7-1】.（23-24高一下·北京丰台·期末）如图，在三棱锥中，分别是线段的中点. (1)求证：平面； (2)过直线作平面，若平面与直线交于点，直线平面，求证：是线段的中点. 【变式7-2】.（2024高三·全国·专题练习）如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点.求证：平面； 【变式7-3】.（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，平面，点是的中点，点在线段上且，为三角形的重心.求证：平面 【变式7-4】.（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，侧面为正方形.点为的中点，点为AB的中点.证明：平面.    【考点题型八】平面与平面平行（） 【例8】（24-25高一下·福建三明·期中）如图，正三棱柱中，分别是棱的中点. (1)判断直线与直线，直线与平面的位置关系；（判断即可，不必说明理由） (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 【变式8-1】.（24-25高一下·福建厦门·期中）在四棱锥中，底面为平行四边形，为底面中心，，分别为，的中点，为等腰直角三角形，且. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若，分别为，的中点，点在线段上，且，若平面平面，求实数. 【变式8-2】.（24-25高一下·浙江·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，点分别是线段的中点．    (1)求证：平面； (2)若是线段的中点，证明：平面平面． 【变式8-3】.（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在四棱锥中，，，，设，，分别为，，的中点， (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【变式8-4】.（24-25高一下·全国·课后作业）在正四棱台中，，，，E，F分别是AD，AB的中点．证明：平面平面． 【考点题型九】直线与平面垂直（） 【例9】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中点，． 求证：； 【变式9-1】.（2025高三·全国·专题练习）如图，在直角梯形中，，，是上一点，，，，将沿着翻折，使运动到点处，得到四棱锥.证明：. 【变式9-2】.（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱台中，底面四边形为菱形，，平面．证明：． 【变式9-3】.（2025高三·全国·专题练习）如图，是圆的直径，平面面，且．求证：平面； 【变式9-4】（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，，点M，N分别在，上，且，．求证：平面； 【考点题型十】平面与平面垂直（） 【例10】（2025高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且．证明：平面平面； 【变式10-1】.（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，且底面是菱形．求证：平面平面． 【变式10-2】.（2024高三·全国·专题练习）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，.证明：平面平面；    【变式10-3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．证明：平面平面. 【考点题型十一】线线垂直证明（） 【例11】（2025高一·全国·专题练习）如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)若平面交于点．求证：． 【变式11-1】.（24-25高一下·陕西西安·期中）如图，正方体. (1)证明：； (2)若分别为中点，证明：三线共点. 【变式11-2】.（24-25高二下·甘肃酒泉·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点为线段的中点. 求证： (1) (2)平面 【变式11-3】.（2025高三·全国·专题练习）正四面体的三条棱是圆锥的三条母线，点在圆锥的底面内，过且与圆锥底面垂直的平面与圆锥侧面交于（不同于）.求证：平面. 【变式11-4】（24-25高二上·山东泰安·期中）如图，在三棱锥中，，，M在线段上，且，N为的中点.    (1)证明：； (2)求异面直线，所成角的余弦值. 【考点题型十二】空间几何体的体积（点到平面的距离）（） 【例12】（23-24高一下·内蒙古·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形．，分别为的中点，且． (1)证明：． (2)若，求点到平面的距离． 【变式12-1】.（2024高三下·江西新余·专题练习）在斜三棱柱中，二面角与二面角的大小均为，该三棱柱的所有棱长均为2，则到平面的距离为： . 【变式12-2】.（23-24高二上·山东聊城·阶段练习）已知三棱锥中，，平面，，则到平面的距离为 . 【变式12-3】.（23-24高一下·河南周口·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，，点E，F分别是线段，的中点. (1)证明：平面； (2)求点C到平面的距离. 【变式12-4】（2024·全国·模拟预测）如图，在多面体中，四边形和四边形是全等的直角梯形，且这两个梯形所在的平面相互垂直，其中，.      (1)证明：平面； (2)若，求点F到平面的距离. 【考点题型十三】异面直线所成角（） 【例13】（23-24高一下·安徽六安·期中）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】.（23-24高二上·北京房山·期末）在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成的角大小等于（ ） A．60° B．45° C．30° D．90° 【变式13-2】.（23-24高三上·湖北·开学考试）在直三棱柱中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【变式13-3】.（23-24高一下·江西·期末）在四面体ABCD中，，AD与BC所成的角为60°，若E，F分别为棱AC，BD的中点，则线段EF的长等于 . 【变式13-4】（23-24高三上·江西萍乡·期中）如图，在正四棱台中，分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)若，且正四棱台的侧面积为9，其内切球半径为，为的中心，求异面直线与所成角的余弦值. 【考点题型十四】直线与平面所成角（） 【例14】（2024·广西·三模）如图，在四棱锥底面，． (1)证明：平面平面; (2)求与平面所成角的正弦值． 【变式14-1】.（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）如图，在四棱锥中平面ABCD，E为PD的中点，，，．    (1)求证：平面平面 (2)求直线EC与平面PAC所成角的正弦值． 【变式14-2】.（23-24高一下·江西抚州·期末）如图，在圆锥中，已知，的直径，点是的中点，点为的中点． (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值． 【变式14-3】.（23-24高一下·江西九江·期末）如图，在三棱锥中，为的中点，是边长为1的等边三角形，. (1)证明：平面； (2)若与平面所成的角为，求三棱锥的体积. 【变式14-4】（2024·浙江宁波·二模）在菱形中，，以为轴将菱形翻折到菱形，使得平面平面，点为边的中点，连接. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【考点题型十五】二面角（） 【例15】（2025·江西·二模）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，，且. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【变式15-1】.（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）如图，在正四棱锥中，底面边长为2，高为4． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求二面角的余弦值． 【变式15-2】.（2025·福建厦门·一模）如图，在三棱柱中，，，．    (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值． 【变式15-3】.（2025·广东·一模）如图，在四棱锥中，平面，，，. (1)证明：； (2)若四棱锥的外接球的表面积为，求二面角的余弦值. 【变式15-4】（24-25高三上·江西萍乡·期中）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点． (1)证明：，，，四点共面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 【考点题型十六】空间几何体内切球（） 【例16】（2024·湖南郴州·三模）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为 . 【变式16-1】.（2025·四川德阳·三模）六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 【变式16-2】.（24-25高一下·浙江·期中）已知圆台的一个底面面积为，且有半径为的内切球，则该圆台体积为 ． 【变式16-4】（23-24高一下·重庆沙坪坝·期末）若圆台的上、下底面圆半径分别为1、2，、分别为圆台上下底面圆心.若该圆台存在内切球，则该圆台的体积为 . 【考点题型十七】空间几何体外接球（） 【例17】（2025·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式17-1】.（2024·黑龙江·二模）已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式17-2】.（2025·安徽·一模）已知顶点为的圆锥的外接球为球为底面圆的一条直径，是母线的中点，为底面圆的中心，为线段的中点，若是边长为2的正三角形，则球的表面积为 ，与该圆锥底面所成角的正切值为 . 【变式17-3】.（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知球是正四面体的外接球，则球与四面体的体积比为 . 【变式17-4】（2024·四川·模拟预测）在平面四边形中，，将沿折起，使点到达，且，则四面体的外接球的体积为 ．    提升训练 一、单选题 1．（24-25高二上·江西景德镇·期末）圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是（    ） A．1 B． C． D．2 2．（24-25高二上·江西景德镇·期末）“景德镇大碗”，正式名称为景德镇昌南里文化艺术中心，其设计灵感来源于宋代湖田窑影青斗笠碗，造型庄重典雅，象征着“万瓷之母”.大碗高，底部直径，口部直径.若将其视为圆台，请估计该“世界第一大碗”的容积（单位：）是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）圆台上､下底面半径分别是1，2，高为，这个圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川南充·一模）已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江西·一模）如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）    A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江西上饶·期末）如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干；现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好是中截面（即平面经过边、的中点）则图1中容器水面的高度是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江西九江·一模）在棱长为的正方体中，点在正方体内（包含边界）运动．若直线与所成角为，则动点所围成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·湖南岳阳·期中）如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在x′轴上，与x′轴垂直，且，则的面积为（    ） A．2 B． C．4 D． 二、多选题 9．（2025·江西南昌·一模）如图，平行六面体的体积为6，点P为线段上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有（   ） A．三棱锥 B．三棱锥 C．三棱锥 D．三棱锥 10．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知是空间两条不同的直线，是空间两个不重合的平面，下列命题不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 11．（2025·江西景德镇·模拟预测）若圆台上、下底面的半径分别为1，2，侧面积为，则圆台的体积为 ． 12．（24-25高二上·吉林长春·期中）如图，在空间四边形中，，平面平面，且，则与平面所成角的正弦值是 ．    四、解答题 13．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，点D是AB的中点． (1)求证：平面； (2)若底面ABC为边长为2的正三角形，，求三棱锥体积． 14．（23-24高一下·四川凉山·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点. (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的正弦值. 15．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，，点在底面ABC的射影为BC的中点O，M为的中点. (1)求证：平面； (2)设点P为底面ABC内（包括边界）的动点，且平面，若点P的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积. 16．（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）如图，三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，是棱的中点． (1)求异面直线和所成的角； (2)证明：平面平面． (3)求三棱锥的体积． 17．（24-25高二上·江西抚州·阶段练习）如图，在四棱锥中，，侧面平面． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若直线与平面所成角的正切值为，求三棱锥的体积． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单08 第六章 立体几何初步 （14个考点梳理+17题型解读+提升训练） 清单01 基本立体图形 （1）棱柱的定义 定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 （2）棱台的定义 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台 清单02 平面图形中的直观图 水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法） （1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或） （2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段. （3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半. （4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图. 清单03 多面积表面积和体积 1、计算多面体每个面的面积之和 棱柱的表面积： 棱锥的表面积： 棱台的表面积： 2、体积 （1）棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即. （2）棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即. （3）棱台的体积：(,分别为上下底面面积，为台体的高) 清单04 旋转体的表面积和体积 1、圆柱、圆锥、圆台表面积： （1）. （2）圆锥的表面积： （3）圆台的表面积： 2、圆柱、圆锥、圆台的体积 （1）圆柱的体积： （2）圆锥的体积： （3）圆台的体积： 清单05 平行关系 ①平面外一条直线与平面一条直线平行，那么该直线与此平面平行 ②直线与平面平行，直线与交线平行 ③一个平面内两条相交直线都与另一平面平行，那么这两个平面平行 ④两个平面平行，一个平面内任意一条直线与另一平面平行 ⑤两个平行平面同时与第三个平面相交，这两条交线平行 清单06 垂直关系 ①一条直线与一个平面内两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ②一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于平面内所有直线 ③一条直线垂直于一个平面，则经过该直线的平面垂直于另一平面 ④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线，垂直于另一平面 清单07 异面直线所成角 通过平移一条（或2条），使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角 清单08 直线与平面所成角 （1）定义法（如右图）：具体操作方法： ①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线； ②连接斜足与垂足； ③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角. （2）等体积法求垂线段法 ①利用等体积法求垂线段的长； ② 清单09 二面角 1、定义法 在二面角的棱上任取一点（通常都是取特殊点，如中点，端点），过该点在两个半平面内作二面角棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角. 2、三垂线法 三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直. 具体操作步骤（如图在三棱锥中）求二面角： ①第一垂：过点向平面引垂线（一般是找+证，证明） ②第二垂：在平面中，过点作,垂足为 ③第三垂：连接（解答题需证明） 3、射影面积法（） 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（）求出二面角的大小. 清单10 内切球等体积法 例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下： 即：， 可求出. 清单11 内切球独立截面法 定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。 定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。 清单12 外接球补形法 ①墙角模型（三条线两个垂直） 题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图） ②对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 清单13 单面定球心法 步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）； ②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上； ③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径. 清单14 双面定球心法 如图：在三棱锥中： ①选定底面，定外接圆圆心 ②选定面，定外接圆圆心 ③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心. 【考点题型一】基本立体图形（） 【例1】（23-24高一下·江西·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台 C．棱柱中至少有两个面完全相同 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 【答案】C 【知识点】圆台的结构特征辨析、棱柱的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类 【分析】根据简单几何体的定义以及结构特征去判断即可. 【详解】对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，故A错误； 对于B，两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台， 还要满足各侧棱的延长线交于一点，如图，各侧棱的延长线不交于一点，该几何体不是棱台，故B错误； 对于C，根据棱柱的特征知，棱柱的两个底面一定是全等的， 故棱柱中至少有两个面完全相同，故C正确； 对于D，用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台，故D错误. 故选：C. 【变式1-1】.（24-25高三·江西上饶·阶段练习）用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【知识点】判断正方体的截面形状 【分析】用平面去截正方体时最多和六个面相交得六边形. 【详解】 如图，用平面去截正方体时最多和六个面相交得六边形， 因此截面的形状可能有：三角形、四边形、五边形、六边形， 不可能为七边形， 故选:D. 【变式1-2】.（多选）（24-25高一下·陕西安康·期中）下列命题中为真命题的有（    ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．用一个平面去截圆锥﹐圆锥底面和截面之间的部分为圆台 C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱 D．球体是旋转体的一种类型 【答案】AD 【知识点】圆台的结构特征辨析、棱柱的结构特征和分类、圆柱的结构特征辨析、球的结构特征辨析 【分析】根据常见空间几何体的特征可判断. 【详解】选项A：圆柱的侧面展开图是一个矩形，A正确； 选项B：当截面与圆锥底面不平行时，圆锥底面和截面之间的部分不是圆台，故B错误； 选项C：有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体不一定是棱柱，如下图，故C错误； 选项D：球体是旋转体的一种类型，D正确， 故选：AD 【变式1-3】.（多选）（24-25高一下·安徽·期中）下列选项中说法正确的是（    ） A．以直角梯形的腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 B．以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将该三角形旋转所得的旋转体是圆锥 C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D．有两个面平行且是相似的矩形，其他各个面都是梯形的多面体是四棱台 【答案】BC 【知识点】圆台的结构特征辨析、圆锥的结构特征辨析、棱台的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类 【分析】根据空间几何体的几何特征逐项判断即可. 【详解】对于A，以直角梯形不垂直于底边的腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体不是圆台，故A 错误； 对于B，等腰三角形底边上的中线与底边垂直，由圆锥的特征易知B正确； 对于C，棱锥的侧面都为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥，故C正确； 对于D，如图所示，四边形和是相似的矩形， 但显然该几何体不是四棱台，故D错误. 故选：BC. 【变式1-4】.（23-24高一下·北京大兴·期中）给出下列命题： ① 一个棱柱至少5个面； ② 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③ 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形； ④ 所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ⑤ 有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台. 其中，所有正确命题的序号是 ． 【答案】①③ 【知识点】棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、棱柱的结构特征和分类 【分析】根据简单几何体的结构特征，逐项判断，即可得出结果. 【详解】根据棱柱的特征可得，一个棱柱的底面至少有三条边，所以至少有5个面；即①正确； 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥侧棱长不一定相等， 如图，三棱锥中，都是等腰三角形，， 是等边三角形，，故三棱锥不是正三棱锥，故②不正确； 由平行六面体的概念和性质，可知：平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形；即③正确； ④所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体，底面不一定是正方形，故④错误； ⑤有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台， 根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点。有两个面平行且相似， 其他各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故⑤错误. 故答案为：①③. 【考点题型二】立体图形中的最短距离问题（） 【例2】（23-24高一下·山东聊城·阶段练习）如图，在长方体中，是线段上异于的一点，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、棱柱的展开图及最短距离问题、诱导公式五、六 【分析】将侧面沿着旋转至与平面在同一平面上，则的最小值为，解三角形求出即可. 【详解】将侧面沿着旋转至与平面在同一平面上，连接，如图所示： 由长方体结构特征，易得，由， ， 所以， 由， 故答案为：. 【变式2-1】.（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图所示，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，沿棱柱表面，从到的最短路径长为（    ）    A． B． C．3 D． 【答案】C 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】分析可得沿棱柱的表面从E到F可能经过棱，，，再分别展开直观图求解即可. 【详解】若从到经过棱则沿棱展开如图， 过作于，则，， 故.      若从到经过棱，则沿棱展开如图，，， 则.      若从到经过棱，则沿棱展开如图，因为，， 所以， ，，则.      若从到经过棱，则沿棱展开如图，由题意，为等腰直角三角形， 四边形为正方形，故为等腰直角三角形，故四边形为直角梯形. 又，，故.      故沿棱柱的表面从到的最短路径长度为. 故选：C 【变式2-2】.（23-24高一下·吉林四平·阶段练习）如图正三棱柱的底面边长为，高为2，一只蚂蚁要从顶点沿三棱柱的表面爬到顶点，若侧面紧贴墙面（不能通行），则爬行的最短路程是 ．    【答案】 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】利用正三棱柱侧面展开图，结合两点间的最短距离是线段来求解即可． 【详解】正三棱柱的侧面部分展开图如图所示，    图1，连接与交于点，则爬行的最短路程时沿着爬行， 此时， 图2，连接，过作AB的垂线交于点，则， 则，所以， ∵，∴爬行的最短路程是. 故答案为：. 【变式2-3】.（2025·重庆·模拟预测）已知圆锥的高为，底面直径的长为，那么从点A出发沿该圆锥的表面到点B的最短路径长为 ． 【答案】 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】根据已知求出圆锥底面周长和母线长，进而得到侧面展开图的圆心角，即可求最小值. 【详解】由题设，圆锥底面周长为，母线长为，故侧面展开图圆心角为， 将圆锥沿过点的母线展开，得到如下图示半径为6的半圆，且为圆弧的中点， 从到有两种方式，一种方式从圆锥体侧面，一种方式从圆锥的底面， 若沿侧面，如上图，从点A出发到点B的最短路径长； 若沿底面，此时最短路径长为直径长度； 综上，从点A出发沿该圆锥的表面到点B的最短路径长. 故答案为： 【变式2-4】.（23-24高一下·安徽·期中）（1）如图1，底面半径为1cm，高为3cm的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱，由点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路线长（π取3）； （2）如图2，在长方体中，M是CC1的中点，，，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点M，求蚂蚁爬行的最短路线长. 【答案】（1）；（2） 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】（1）根据题意，把圆柱侧面沿过点A的母线剪开，然后展开成为矩形，由此分析可得答案； （2）根据题意，沿长方体的一条棱剪开，分3种情况讨论，求出AM的值，比较可得答案. 【详解】解：（1）根据题意，把圆柱的侧面沿过点A的母线剪开，然后展开成为矩形，如图所示， 连接AB，则AB就是为蚂蚁爬行的最短距离， 因为， 所以 ， 所以蚂蚁爬行的最短路线长为； （2）根据题意，沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法， ①如图1，以DC为轴展开， 此时， ②如图2.以BC为轴展开， 此时，， ③如图3、以 BB1为轴展开， 此时， 综上，蚂蚁爬行的最短路线长为 . 【考点题型三】立体几何中的截面问题（） 【例3】（2024·江西·模拟预测）已知在长方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，则平面截长方体所得的截面形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【知识点】判断正方体的截面形状 【分析】连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点， 过点作交于点，连接，即可得到截面图形，从而得解. 【详解】如图连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点， 过点作交于点，连接， 则五边形即为平面截该长方体所得的截面多边形. 其中因为，，， 所以，则，所以， 又，所以，所以， 则， 显然，则，所以. 故选：C 【变式3-1】.（2024·江西上饶·一模）在正方体中，，为棱的四等分点（靠近点），为棱的四等分点（靠近点），过点，，作该正方体的截面，则该截面的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正棱柱及其有关计算、判断正方体的截面形状 【分析】根据正方体的特征，作出过点，，的该正方体的截面，计算相关线段的长，即可求得答案. 【详解】设为的三等分点，靠近B点，连接,并延长交延长线于P， 设为的三等分点，靠近点，连接,并延长交延长线于Q， 则∽，由于，故, 同理求得,故两点重合，则, 故，而，故, 同理可得,即四边形为平行四边形， 连接,则五边形即为过点，，所作的正方体的截面， 由题意可知 故该截面的周长是 ， 故选：C 【变式3-2】.（25-26高二上·上海·单元测试）在正方体中，P、Q、R分别是棱BC、、的中点，过P、Q、R三点的平面与正方体表面的交线围成的封闭图形的形状是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【知识点】判断正方体的截面形状 【分析】利用平面的性质作出过P、Q、R三点的截面，从而可判断其形状. 【详解】如图，延长交的延长线于点，连接交于点，连接， 因为P、Q、R分别是棱BC、、的中点，所以为的中点， 延长交的延长线于点，延长交的延长线于点， 则， 连接交于点，交于点, 连接，则六边形为过P、Q、R三点的平面与正方体表面的交线围成的封闭图形. 故选：D 【变式3-3】.（河北省NT20名校联合体2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题）如图，在边长为3的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面的周长为 . 【答案】 【知识点】判断正方体的截面形状 【分析】根据题意在正方体中找到截面，算出各边长再求周长即可. 【详解】在正方体中，设直线与直线，分别交于，，连接，分别与，交于点，，连接，，则五边形是过、、的正方体的截面. 由为中点，为中点，得， ，则，同理. ，即，，同理，. ，，， 所以截面的周长为. 故答案为：. 【变式3-4】.（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）如图，正方体的棱长为6，为的中点，为的中点，过点的平面截正方体所得的截面周长为 ．    【答案】/ 【知识点】判断正方体的截面形状、棱柱及其有关计算 【分析】根据正方体的几何结构特征，得到过点的平面截正方体所得的截面为五边形，结合正方体的棱长，且为的中点，为的中点，进而求得截面的周长. 【详解】如图所示，延长交于点，延长交于点， 连接交与点，连接交于点，分别连接， 则过点的平面截正方体所得的截面为五边形， 因为正方体的棱长，且为的中点，为的中点， 可得，所以, 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以截面的周长为. 故答案为：.    【考点题型四】平面几何图形的直观图（） 【例4】（24-25高三上·江西·阶段练习）已知在斜二测画法下的直观图(其中A与对应，B与对应)为下图所示的，其中，，则的面积为 ；以该为底面的三棱锥中，，，则三棱锥的外接球半径为 . 【答案】 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、多面体与球体内切外接问题、余弦定理解三角形 【分析】根据斜二测画法得到中，对应的高为，求出面积，并得到为等边三角形，并作出辅助线，得到三棱锥外接球的球心，由余弦定理得到，并求出外接球的半径. 【详解】由斜二测画法原理可知中，，边上的高， 所以； 由勾股定理得，故为等边三角形， 由得是边长为2的等边三角形. 设D，E分别为，的外心，的中点为F， 连接，，过点D，E分别作平面、平面的垂线， 设两垂线交于点O，则点O为该三棱锥外接球的球心， 连接，，则 为外接球的半径， 依题意，且，， 由余弦定理得， 所以，由E为的外心， 所以，， 因为，，， 所以， 所以，所以， 所以， 即外接球的半径. 故答案为：， 【点睛】方法点睛：几何体外接球问题，通常要找到几何体的一个特殊平面，利用正弦定理或几何性质找到其外心，求出外接圆的半径，进而找到球心的位置，根据半径相等列出方程，求出半径，再求解外接球表面积或体积. 【变式4-1】.（23-24高一下·江西·阶段练习）如图，在直角梯形中，，，，，，用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图为四边形，则四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】斜二测法画平面图形的直观图、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据题意可得直观图，进而可得面积. 【详解】用斜二测画法画出的水平放置的直角梯形的直观图如图所示， 可知四边形是梯形，，，，且， 过点作于点，由，故， 所以. 故选：C. 【变式4-2】.（23-24高一下·江西抚州·期末）四边形直观图为如图矩形，其中，，则四边形的周长为（    ）    A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二侧画法结合题意将直观图还原为原四边形，再求出其边长即可得答案 【详解】由题意可得四边形为平行四边形，如图所示，设交轴于点，则 ， 所以 所以四边形的周长为， 故选：C    【变式4-3】.（24-25高一下·湖南常德·期中）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】运用斜二测画法得到原图，再用梯形面积公式计算即可. 【详解】如图，作平面直角坐标系，使A与O重合，在x轴上，且，在轴上，且， 过作，且，连接，则直角梯形为原平面图形，其面积为． 故选：C. 【变式4-4】.（23-24高二上·江西九江·开学考试）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为 ． 【答案】 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据题意，由斜二测画法还原该平面图形的原图，分析可得答案． 【详解】根据题意，还原该平面图形的原图，如图：    易得该平面图形是直角梯形，其高为． 故答案为：． 【考点题型五】多面体表面积和体积（） 【例5】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知正四棱台上底面边长为2cm，侧棱和下底面边长都是4cm，则它的体积为 . 【答案】 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】求出正四棱台的高，根据棱台体积公式，即可求得答案. 【详解】由题意知正四棱台上底面边长为2cm，侧棱和下底面边长都是4cm， 如图：设四棱台上下底面中心为，连接， 结合正四棱台性质可知四边形为直角梯形， 且，故， 即棱台的高为，故正四棱台的体积为， 故答案为： 【变式5-1】.（2025·江西·模拟预测）在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、棱柱的结构特征和分类 【分析】应用锥体体积及柱体体积公式结合图形特征计算求解即可. 【详解】设三棱柱的体积为，因为侧棱上各有一动点， 满足，所以四边形与四边形的面积相等， 故四棱锥的体积等于三棱柱的体积的，即， 则几何体的体积等于， 故过的截面将三棱柱分成上，下两个部分的体积之比为或. 故选：A. 【变式5-2】.（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，点为侧棱上的动点．当最小时，三棱锥的体积为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】锥体体积的有关计算、棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】如图，将直三棱柱展开成矩形，连结交于，此时最小，则，利用等体积法和棱锥的体积公式计算即可求解. 【详解】将直三棱柱展开成矩形， 如下图，连接，交于，此时最小， ∵，则，而， 由且都在面，则面， 又，则面，即面， 点为侧棱上的动点，当最小时，即，得， 又为直角三角形，此时三棱锥的体积为： . 故选：C 【变式5-3】.（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知某正四棱锥的高为3，体积为64，则该正四棱锥的侧面积为（    ） A．48 B．64 C．80 D．144 【答案】C 【知识点】棱锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】由正四棱锥的体积和高，求出底面边长，再求出正四棱锥的斜高，可求侧面积. 【详解】设该正四棱锥的底面边长为a，则，解得. 设该正四棱锥的斜高为，则， 所以该正四棱锥的侧面积为. 故选：C 【变式5-4】.（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）如图，是正四棱锥，是正方体，其中，，则该几何体的表面积 ； 【答案】/ 【知识点】求组合多面体的表面积、棱柱表面积的有关计算、棱锥表面积的有关计算 【分析】先计算正四棱锥的斜高，即可求得几何体的表面积. 【详解】题意得正四棱锥的斜高， 故几何体表面积为. 故答案为：. 【考点题型六】旋转体表面积和体积（） 【例6】（23-24高三下·江西鹰潭·阶段练习）已知圆台的上、下底面的周长分别为，，母线长为，则该圆台的体积为 . 【答案】/ 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】根据圆台的体积公式代入求解即可. 【详解】因为圆台的上､下底面的周长分别为，，母线长为， 所以该圆台的上､下底面的半径分别，， 如图所示： 即，，，所以， 所以直角梯形的高，故圆台的高为， 则圆台的体积. 故答案为： 【变式6-1】（24-25高三上·安徽·开学考试）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6，圆柱和圆锥的高均为4，则该陀螺的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆锥表面积的有关计算、圆柱表面积的有关计算、求组合多面体的表面积 【分析】分析该陀螺的表面结构，结合圆柱、圆锥的侧面积公式运算求解. 【详解】由题意可知：该陀螺的表面有：底面圆面、圆柱的侧面和圆锥的侧面， 且圆锥的母线长为， 所以该陀螺的表面积为. 故选：C. 【变式6-2】.（2022·江苏连云港·二模）如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】先计算出上、下底面的半径和面积，再求出圆台的高，按照圆台体积公式计算即可. 【详解】 如图，设上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为， 则，，解得，， 又，， 设上底面面积为，下底面面积为， 所以圆台的体积. 故选：B. 【变式6-3】.（23-24高三上·辽宁·期中）如图，在圆锥PO中，用一个平行于底面的平面去截圆锥PO，可得一个圆锥和一个圆台，若圆锥的体积是圆锥PO体积的，则圆锥与圆台的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】根据体积之比可得半径之比，即可根据圆锥和圆台的侧面积的公式即可求解. 【详解】设圆锥的底面圆半径分别为，它们的母线长分别为. 因为，所以.从而， 即，.所以· 故选：D 【变式6-4】.（23-24高三上·江西吉安·期中）已知球O的表面积为100，某个高为6的圆柱的上下底面圆周都在此球面上，则此圆柱的体积为 ． 【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据圆柱与球的结构特征以及球的表面积公式可得，进而可求圆柱的体积. 【详解】设球的半径为，圆柱的底面半径为， 由题意可得，解得， 所以圆柱的体积为. 故答案为：. 【考点题型七】直线与平面平行（） 【例7】（23-24高一下·北京东城·期中）如图，在正方体中，E是的中点. (1)求证：平面； (2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】棱锥表面积的有关计算、证明线面平行 【分析】（1）先证明，再运用线面平行的判定定理证明即可. （2）运用正方体性质，结合勾股定理求出涉及边长，再用余弦定理和面积公式求出各个面的面积，即可得到表面积. 【详解】（1）证明：因为在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）如图所示，连接，正方体的棱长为1. 根据正方体性质，得，. ． 在中，用余弦定理，得到， 则， 则. 同理可以求得，且． 则三棱锥的表面积为. 【变式7-1】.（23-24高一下·北京丰台·期末）如图，在三棱锥中，分别是线段的中点. (1)求证：平面； (2)过直线作平面，若平面与直线交于点，直线平面，求证：是线段的中点. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【知识点】证明线面平行、线面平行的性质 【分析】（1）利用中位线定理得到线线平行，结合线面平行判定定理证明线面平行即可. （2）利用给定条件得到线线平行，结合中位线定理证明中点即可. 【详解】（1）因为分别是线段的中点， 所以是的中位线，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）依题意知，平面平面， 因为直线平面，平面， 所以，因为F是线段中点， 所以是线段的中点. 【变式7-2】.（2024高三·全国·专题练习）如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点.求证：平面； 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面平行 【分析】由题意证得，再由线面平行的判定定理证明即可. 【详解】取中点D，连接DN、， 因为D、N分别为、，所以且， 因为与平行且相等，M为中点， 所以与平行且相等， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【变式7-3】.（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，平面，点是的中点，点在线段上且，为三角形的重心.求证：平面 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面平行 【分析】根据重心性质以及线段比可知是的重心，再利用线段比例关系以及线面平行判定定理可得结论. 【详解】连接交于点，由重心性质可得是的中点， 又点是的中点，点在线段上且，可知是的重心； 连接，可知点在上，如下图所示： 由重心性质可得，，所以； 又平面，平面， 所以平面 【变式7-4】.（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，侧面为正方形.点为的中点，点为AB的中点.证明：平面.    【答案】证明见解析 【知识点】证明线面平行 【分析】连接，，根据菱形的性质可得点为的中点，从而得到，即可得证. 【详解】连接，，如图所示：    因为为菱形，点为的中点， 所以，且点为的中点， 又点为中点，所以， 而平面，平面， 所以平面. 【考点题型八】平面与平面平行（） 【例8】（24-25高一下·福建三明·期中）如图，正三棱柱中，分别是棱的中点. (1)判断直线与直线，直线与平面的位置关系；（判断即可，不必说明理由） (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)直线与直线是异面直线，直线与平面相交 (2)证明见解析 (3)存在，点为棱的中点，证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、异面直线的判定、判断图形中的线面关系 【分析】（1）由空间中的线面位置关系，即可判断； （2）取的中点为，连接，即可证明为平行四边形，再由线面平行的判定定理，即可证明； （3）根据题意，由线面平行的判定定理分别证明平面，平面，再由面面平行的判定定理，即可证明. 【详解】（1）直线与直线是异面直线；直线与平面相交. 理由如下：因平面,平面, 平面, 故直线与直线是异面直线； 又因平面，因点是的中点，, 故相交，设交点为,则点平面， 又点平面，故直线与平面相交. （2） 取的中点为，连接 ∵是棱的中点， ∴且 ∵点是棱的中点，                                                                                                                ∴且                                                                                                                  ∴且 ∴四边形是平行四边形 ∴. 且平面，平面， 所以平面. （3） 当点为棱的中点时，平面平面，                                                                证明：∵分别是棱的中点， ∴，∵ ，∴ ， ∵平面，平面，∴平面， ∵分别是棱的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵，平面， ∴平面平面. 【变式8-1】.（24-25高一下·福建厦门·期中）在四棱锥中，底面为平行四边形，为底面中心，，分别为，的中点，为等腰直角三角形，且. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若，分别为，的中点，点在线段上，且，若平面平面，求实数. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行、面面平行证明线线平行 【分析】（1）由三角形中位线及线面平行的判定定理进行证明； （2）通过转化得异面直线与所成角即为与夹角，由余弦定理求解即可； （3）连接，由面面平行的性质定理及平行线的性质即可得到结果. 【详解】（1）连接，则为中点，又点为中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）由（1）得，异面直线与所成角即为与夹角， 在等腰直角三角形中，设，则，，， 在中，由余弦定理得，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （3）连接，如图所示， 因为为的中点，为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 则，即，所以. 【变式8-2】.（24-25高一下·浙江·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，点分别是线段的中点．    (1)求证：平面； (2)若是线段的中点，证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明面面平行 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明； （2）利用面面平行的判定定理证明. 【详解】（1）证明：由四边形为正方形可知， 连接必与相交于中点，故， 面平面， 面．    （2）由点分别为中点可得：， 面平面平面， 又由（1）可知，平面， 且，平面, 故平面平面． 【变式8-3】.（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在四棱锥中，，，，设，，分别为，，的中点， (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明面面平行 【分析】（1）由图形的几何关系证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得； （2）结合（1）再利用线面平行的判定定理证明平面，然后由面面平行的判定定理可得. 【详解】（1）在四棱锥中，连接，由，分别为，的中点，得， 而，，则，四边形为平行四边形， 因此，而平面，平面，所以平面． （2）由是中点，而为中点，则， 又平面，平面，于是平面， 由（1）知，，而平面，平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面． 【变式8-4】.（24-25高一下·全国·课后作业）在正四棱台中，，，，E，F分别是AD，AB的中点．证明：平面平面． 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明面面平行 【分析】结合正四棱台的几何特征，根据面面平行的判定定理，即可证明结论. 【详解】连接，AC，分别交，EF，BD于M，N，P，连接MN，． 由题意知，．平面，平面， 平面．又，，． 又E，F分别是AD，AB的中点，，则， ．． 又，．四边形为平行四边形．． 平面，平面，平面． ，，平面，平面平面． 【考点题型九】直线与平面垂直（） 【例9】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中点，． 求证：； 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据已知条件利用线面垂直的判定定理先证平面，再利用线面垂直的性质定理即可得到. 【详解】 连接,∵平面，平面，∴． 又底面为正方形，∴． 又，且，平面，∴平面， ∵平面，∴． 【变式9-1】.（2025高三·全国·专题练习）如图，在直角梯形中，，，是上一点，，，，将沿着翻折，使运动到点处，得到四棱锥.证明：. 【答案】证明见解析 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】由线面垂直的判定定理可证得平面，再由线面垂直的性质定理即可证得. 【详解】依题意得，， 因为，，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为菱形， 如图，取的中点，连接，， 由，得，， 又，且，平面，所以平面， 因为平面，所以. 【变式9-2】.（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱台中，底面四边形为菱形，，平面．证明：． 【答案】证明见解析 【知识点】线面垂直证明线线垂直 【分析】连接，，分别证明，，从而知平面，再由线面垂直的性质定理，即可得证． 【详解】 在四棱台中，延长后必交于一点， 故四点共面，因为平面，平面，故， 连接，因为底面四边形为菱形，故， 平面，故平面， 因为平面，所以． 【变式9-3】.（2025高三·全国·专题练习）如图，是圆的直径，平面面，且．求证：平面； 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】根据面面垂直的性质可得面，结合圆的直径的性质即可证明平面. 【详解】因为平面面，且.，平面面，平面， 所以面，又因为平面， 所以，又因为是圆的直径，所以， 因为平面， 所以平面； 【变式9-4】（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，，点M，N分别在，上，且，．求证：平面； 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】利用线面垂直的判定定理、性质定理得出，菱形是正方形得出，再由线面垂直的判定定理、性质定理可得答案. 【详解】如图，连接，，∵，且， ，∴， 又因为直三棱柱，所以，所以四边形是菱形， 又面，平面ABC，故， 所以菱形是正方形，∴． ∵，，，面， ∴平面，∵平面，∴， 又∵，平面，∴平面．    【考点题型十】平面与平面垂直（） 【例10】（2025高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且．证明：平面平面； 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直 【分析】由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面； 【详解】因为底面，平面，所以， 又，，、平面，所以平面， 而平面，所以平面平面． 【变式10-1】.（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，且底面是菱形．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直 【分析】证明和，根据面面垂直的判定定理即可证明结论. 【详解】连接交于点，连接．因为四边形是菱形， 所以，且为的中点． 因为，所以． 又因为，平面，且，所以平面． 而平面，所以平面平面． 【变式10-2】.（2024高三·全国·专题练习）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，.证明：平面平面；    【答案】证明见解析 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、圆锥的结构特征辨析 【分析】利用线面垂直的性质与判定定理依次证得平面，平面，再利用面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】如图，连接并延长，交于点.    因为为外接圆的圆心，为正三角形，所以，即， 在圆锥中，易知平面，因为平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面，所以， 因为，所以， 又因为，平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面. 【变式10-3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【知识点】证明面面垂直、求二面角 【分析】先利用全等三角形的判定与性质得出，取的中点，作出的平面角后利用条件及勾股定理，逆定理判定即可. 【详解】由题意知，所以可得,从而， 又为直角三角形，所以， 取的中点，连接，，则，， 又由于是正三角形， 故，所以为二面角的平面角． 在中，， 又，所以， 故，所以平面平面． 【考点题型十一】线线垂直证明（） 【例11】（2025高一·全国·专题练习）如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)若平面交于点．求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）易证平面，得到，再由平面．得到，进而可求证； （2）由条件得到平面．再结合（1）得到，进而得到平面．即可求证. 【详解】（1）因为平面，平面，所以． 因为为矩形，所以， 而，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 又，，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 又，，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． （2）因为平面，平面，所以． 又，，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 又由（1）有平面，平面，所以， 而，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 【变式11-1】.（24-25高一下·陕西西安·期中）如图，正方体. (1)证明：； (2)若分别为中点，证明：三线共点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】线面垂直证明线线垂直、空间中的线共点问题 【分析】（1）分别证明，，再根据线面垂直的判定定理证明平面，从而得结论； （2）证明四边形为梯形，设，再证明，即可得到三线共点． 【详解】（1）连接， 在正方体中， 可得平面，， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以； （2）因为分别为 所以，又， 所以，而，可得四边形为梯形， 设，则， 平面，所以平面，同理平面， 又平面平面，所以， 即三线共点． 【变式11-2】.（24-25高二下·甘肃酒泉·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点为线段的中点. 求证： (1) (2)平面 【答案】(1)证明见解析; (2)证明见解析. 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直 【分析】(1)根据正方体的性质，可得到，，利用线面垂直的判定定理得平面，从而得到； (2)由题知四边形为平行四边形，故，由线面平行的判定定理即可证明. 【详解】（1）在正方体中，平面，而平面， 所以， 又正方形中，，平面， 所以平面， 而平面，所以. （2）在正方体中,， 所以四边形为平行四边形，故， 又平面，平面， 所以平面. 【变式11-3】.（2025高三·全国·专题练习）正四面体的三条棱是圆锥的三条母线，点在圆锥的底面内，过且与圆锥底面垂直的平面与圆锥侧面交于（不同于）.求证：平面. 【答案】证明见解析 【知识点】面面垂直证线面垂直、证明线面垂直 【分析】先根据面面垂直与线面垂直，等边三角形的性质以及线面垂直的性质，可得线线垂直，最后根据线面垂直的判定定理进行证明即可. 【详解】平面平面平面，平面， 平面，且. 又平面， 为正三角形，为中心，，， 平面平面，平面， 平面. 【变式11-4】（24-25高二上·山东泰安·期中）如图，在三棱锥中，，，M在线段上，且，N为的中点.    (1)证明：； (2)求异面直线，所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求异面直线所成的角 【分析】（1）易知平面，进而可求证； （2）取取的靠近点的三等分点，得到异面直线，所成的角为或其补角，再由余弦定理即可求解. 【详解】（1）证明：连接，如图，   ，N为的中点. ，， 又平面，，平面， 由平面，所以； （2）取的靠近点的三等分点，连接，如图，    则，异面直线，所成的角为或其补角， 由题意，，， ， 所以， 又，, 所以， 则在中，， 即异面直线，所成角的余弦值为. 【考点题型十二】空间几何体的体积（点到平面的距离）（） 【例12】（23-24高一下·内蒙古·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形．，分别为的中点，且． (1)证明：． (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求点面距离 【分析】（1）连接，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而得证； （2）先求得，进而求得，利用等体积法可求得点到平面的距离. 【详解】（1）连接． 因为底面是菱形，分别为的中点， 所以，，所以． 又，，所以平面． 因为平面，所以． （2）因为，是的中点，所以． 又，，所以平面． 由题意得是边长为2的等边三角形，且为的中点， 所以， 又，所以． 在中，可得，， 所以． 设点到平面的距离为，则． 因为，所以，解得． 所以点到平面的距离为. 【变式12-1】.（2024高三下·江西新余·专题练习）在斜三棱柱中，二面角与二面角的大小均为，该三棱柱的所有棱长均为2，则到平面的距离为： . 【答案】 【知识点】证明线面垂直、锥体体积的有关计算、棱柱的结构特征和分类、求点面距离 【分析】找出在平面上的投影后结合题意与几何对称性可计算出，再借助等体积法计算可得点到平面的距离，结合平面即可得到平面的距离. 【详解】取为中点，由已知二面角及几何对称性，易知在平面上的投影为， 连接，则底面，过作， 由平面，则，又、平面， 且都在面内，则平面， 又平面，故，则， 设，则，， 由，，又， 所以，则， 所以，，则， 设到平面的距离为， 由三棱柱性质可知平面，故到平面的距离也为， 由，即，解得. 故答案为：. 【变式12-2】.（23-24高二上·山东聊城·阶段练习）已知三棱锥中，，平面，，则到平面的距离为 . 【答案】/ 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求点面距离、锥体体积的有关计算 【分析】根据给定条件，利用等体积法求出到平面的距离. 【详解】三棱锥中，，平面，而平面， 则，，又，则， 因此等腰底边上的高，， ，令到平面的距离为，由， 得，即，解得， 所以到平面的距离为. 故答案为： 【变式12-3】.（23-24高一下·河南周口·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，，点E，F分别是线段，的中点. (1)证明：平面； (2)求点C到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、求点面距离、证明线面垂直 【分析】（1）由余弦定理和勾股定理可，然后利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）取中点，先利用线面垂直的判定定理证明平面，把点C到平面的距离转化为点到平面的距离，利用等体积法求解即可. 【详解】（1）∵，，，∴， 又为等边三角形，∴， 在中，由余弦定理得， 解得，∴，即． ∵，，平面，∴平面. （2）取中点，连接，∵为等边三角形，∴， 又由（1）可知平面，平面，∴， 又∵，且平面，∴平面. ∵为的中点，∴点到平面的距离等于点到平面的距离． 在中，可知，在中，可知， ∵是的中位线，∴， 可得的面积 设点到平面的距离为，则三棱锥的体积， 又的面积， 点E到平面的距离为， ∴三棱锥的体积. 由，得，即点到平面的距离为. 【变式12-4】（2024·全国·模拟预测）如图，在多面体中，四边形和四边形是全等的直角梯形，且这两个梯形所在的平面相互垂直，其中，.      (1)证明：平面； (2)若，求点F到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、求点面距离、锥体体积的有关计算、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证得平面，进而利用线面垂直的判定定理即可得解； （2）利用等体积法即可得解. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 又，即，且平面，所以平面. 又平面，故. 又，即，且，平面， 所以平面. （2）因为，，， 所以. 因为四边形ABCE与四边形CDEF是全等的直角梯形， 所以. 设点F到平面的距离为h， 因为，所以，所以. 由（1）得，平面BCD，又平面BCD，所以. 由（1）得平面CDEF，又平面CDEF， 所以，所以. 所以，，， 所以，所以点F到平面BDE的距离为. 【考点题型十三】异面直线所成角（） 【例13】（23-24高一下·安徽六安·期中）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、求异面直线所成的角 【分析】根据题中条件连接，取的中点，连接,，作出异面直线所成的角，利用余弦定理求解即可. 【详解】连接，取的中点，连接,， 由题意知，，则异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 【变式13-1】.（23-24高二上·北京房山·期末）在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成的角大小等于（ ） A．60° B．45° C．30° D．90° 【答案】A 【知识点】棱柱的结构特征和分类、求异面直线所成的角 【分析】取的中点，连接，根据异面直线所成角的定义找到异面直线与所成角，再由正方体的结构特征及已知求大小. 【详解】取的中点，连接， 因为分别为，，，的中点， 所以，所以，故为异面直线与所成的角， 在正方体中，由分别为，，的中点， 则，即为等边三角形，所以， 即异面直线与所成的角大小等于. 故选：A 【变式13-2】.（23-24高三上·湖北·开学考试）在直三棱柱中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】设，取的中点，连接，则可得为异面直线与所成的角或补角，然后在中求解即可. 【详解】设，取的中点，连接，则 因为分别为的中点，所以∥，， 因为∥，，所以∥，， 所以四边形为平行四边形，所以∥， 所以为异面直线与所成的角或补角. 因为分别为的中点， 所以， 所以. 故选：D    【变式13-3】.（23-24高一下·江西·期末）在四面体ABCD中，，AD与BC所成的角为60°，若E，F分别为棱AC，BD的中点，则线段EF的长等于 . 【答案】1或 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】设G为CD中点，分别连接EG，FG，构造新的根据余弦定理可得到EF的长. 【详解】设G为CD中点，分别连接EG，FG，则EG是的中位线， 可得，                           同理可得， 因为AD与BC所成的角为60° 所以等于60°或120°， 当 在中根据余弦定理得， 当同理可得 故答案为：1或 【变式13-4】（23-24高三上·江西萍乡·期中）如图，在正四棱台中，分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)若，且正四棱台的侧面积为9，其内切球半径为，为的中心，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面垂直证线面垂直、证明线面平行、证明面面平行、求异面直线所成的角 【分析】（1）根据中位线定理，结合线面平行判定定理以及面面平行判定定理，利用面面平行的性质，可得答案； （2）根据题意，结合正四棱台的几何性质，求得各棱长，利用线线角的定义，可得答案. 【详解】（1）取中点，连接，如下图：    在梯形中，分别为的中点，则，同理可得， 因为平面，平面，所以平面，同理可得平面， 因为，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面； （2）连接，则，连接, 在平面中，作交于， 在平面中，作交于，连接，如下图：    因为，则，且，所以为平行四边形， 则，且，所以为异面直线与所成角或其补角， 同理可得：为平行四边形，则， 在正四棱台中，易知对角面底面， 因为平面平面，且，平面， 所以平面，由内切球的半径为，则， 在等腰梯形中，且，易知，同理可得， 在中，，则， 设正方形的边长为，则正方形的边长为，， 由正四棱台的侧面积为，则等腰梯形的面积， 因为平面，平面，所以， 在，，可得， 则，解得， 所以，，，，则， 在中，，则， 所以在中，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【考点题型十四】直线与平面所成角（） 【例14】（2024·广西·三模）如图，在四棱锥底面，． (1)证明：平面平面; (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明面面垂直、求线面角 【分析】（1）计算，，根据勾股定理得到，再证明平面，得到答案. （2）作，垂直为，连接 ，确定为与平面所成的角，计算，得到答案. 【详解】（1），，，则，． 中，， 故，故， 又因为底面，底面，所以， 又因为，平面，平面， 底面，故平面平面， 另解：平面，平面，故， 过做的垂线，垂足为，连接，则， ，，， 在中，，，即， 又， 平面，故平面， 平面，故平面平面， （2）作，垂直为，连接 ， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，故为与平面所成的角， 中，，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【变式14-1】.（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）如图，在四棱锥中平面ABCD，E为PD的中点，，，．    (1)求证：平面平面 (2)求直线EC与平面PAC所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解； (2). 【知识点】求线面角、证明面面垂直 【分析】（1）将问题转化为证明平面，利用已知，结合勾股定理即可得证； （2）利用（1）中结论判断线面角，结合直角三角形性质将所求转化为即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 由题知，，，所以，又 由余弦定理得， 所以，， 即，因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）由（1）知，在平面内的射影为，所以在平面内的射影也为， 故直线EC与平面PAC所成角即为. 因为，所以， 所以，又因为E为PD的中点，所以， 所以，所以. 【变式14-2】.（23-24高一下·江西抚州·期末）如图，在圆锥中，已知，的直径，点是的中点，点为的中点． (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、求线面角 【分析】（1）根据题意，连接，证得和，证得平面，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面平面； （2）连接并延长，与与平行的直线交于点，可得，进而得到面，得出直线与平面的夹角即为，在直角中，即可求解. 【详解】（1）证明：连接，因为，为的中点，所以． 又因为底面，底面，所以， 因为，且面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2）解：连接并延长，与过点且与平行的直线交于点，可得， 由（1）知平面，所以面， 所以直线与平面的夹角即为， 又由，， 在直角中，可得， 即直线与平面的夹角的正弦值为. 【变式14-3】.（23-24高一下·江西九江·期末）如图，在三棱锥中，为的中点，是边长为1的等边三角形，. (1)证明：平面； (2)若与平面所成的角为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由线面角的大小求长度、面面垂直证线面垂直、证明线面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】（1）利用已知得出，再由线面垂直的判定定理可得答案； （2）取的中点，由面面垂直的性质定理得出即为与平面所成的角，求出，再求三棱锥的体积. 【详解】（1）是边长为1的等边三角形， 为的中点，， ，， ， 又平面平面； （2）由（1）知平面，且平面， 平面平面， 取的中点，连接， ，平面平面， 面， 即为与平面所成的角，， 为的中位线，， 在中，， 故三棱锥的体积为 . 【变式14-4】（2024·浙江宁波·二模）在菱形中，，以为轴将菱形翻折到菱形，使得平面平面，点为边的中点，连接. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法、求线面角 【分析】（1）利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而根据线面平行的性质可证得结论； （2）根据点、线、面的位置关系，利用等体积转化求解到平面的距离，从而转化求解直线与平面所成角得正弦值. 【详解】（1）平面平面平面. 同理可得平面. 又平面，平面平面. 平面平面. （2：取中点，则是平行四边形，所以. 从而与平面所成角即为与平面所成角，设为. 过作交于，过作交于， 过作交于. 因为平面平面，平面平面， 又平面， 所以平面，又平面， 所以，又，平面， 从而平面，因为平面， 所以，又，平面， 从而平面. 所以的长即为到平面的距离. 由，可得. 又，所以到平面的距离设为即为到平面的距离，即. 又，可得. 在中，，所以，得. 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【考点题型十五】二面角（） 【例15】（2025·江西·二模）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，，且. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明面面垂直、求二面角 【分析】（1）利用余弦定理求出，即可得到，从而得到平面，再由平行四边形的性质得到平面，即可得证； （2）设，首先证明平面，作交于点，作，交于点，连接，即可得到即为平面与平面夹角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）因为是平行四边形，所以， 又，，， 所以，解得（负值已舍去）， 所以，即，所以， 又，即，又，平面， 所以平面， 又是平行四边形，所以，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）因为，设，则为的中点， 连接，则， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 在平面中，作交于点， 而平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 作，交于点，连接， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面，又平面， 所以，所以即为平面与平面夹角， 又， 在中，由等面积法可得， 所以，则， 所以，所以平面与平面夹角的余弦值为. 【变式15-1】.（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）如图，在正四棱锥中，底面边长为2，高为4． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求二面角、求线面角 【分析】（1）连接，取中点，利用正四棱锥的结构特征及线面角的定义求出线面角的正切值. （2）作出二面角的平面角，利用几何法求出二面角的大小. 【详解】（1）在正四棱锥中，连接，取中点，连接 则为正方形的中心，平面，是直线与平面所成的角， 由，得，而， 在中，， 即直线与平面所成角的正切值为； （2）在中，过作于，连接， 由≌，得，而， 则≌，，即， 因此是二面角的平面角，， ，， ，在中，，， 即二面角的余弦值为. 【变式15-2】.（2025·福建厦门·一模）如图，在三棱柱中，，，．    (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【知识点】证明面面垂直、面面角的向量求法、求二面角 【分析】（1）法1：取中点，先证平面，再根据面面垂直的判定定理判定平面平面； 法2：设为在底面的射影，证明点恰为斜边的中点，得平面，再证面面垂直. （2）法1：根据（1）的结果建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦； 法2：根据二面角的平面角的概念构造平面与平面夹角的平面角，利用直角三角形的边角关系求角的余弦值. 【详解】（1）方法1：取的中点，连接，，      因为，所以，且， 因为，，为的中点，所以， 所以，所以， 因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 方法2：设为在底面的射影，则平面， 因为，所以 射影为底面的外心，又为直角三角形，所以恰为斜边的中点， 因为平面，所以平面平面． （2）由（1）可知，平面，所以与平面所成角即为，所以， 因为，所以，所以，， 因为，为的中点，所以， 如图，过作的平行线，因为，所以， 过作，垂足为， 因为平面平面，所以， 又，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以平面与平面的夹角即为， 易知，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【变式15-3】.（2025·广东·一模）如图，在四棱锥中，平面，，，. (1)证明：； (2)若四棱锥的外接球的表面积为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求二面角、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）由线面垂直的性质证明线线平行，先证平面即可. （2）先确定四棱锥的外接球的球心，即可得的长，过作于，所以为二面角的平面角，求解即可. 【详解】（1）取AB的中点，连接，则由题意知为正三角形， 所以， 由等腰梯形知，设，则，， 故，即得，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）由于， 又，为等边三角形， ， 即为四边形外接圆的圆心，且半径， 过作平面的垂线，则， 在平面内作的垂直平分线交与点， 则，即为四棱锥的外接球的球心， 且半径，则， ，则， 过作于，平面， 所以平面，又平面， 则，所以为二面角的平面角， ， 所以二面角的平面角的余弦值为. 【变式15-4】（24-25高三上·江西萍乡·期中）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点． (1)证明：，，，四点共面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】空间中的点（线）共面问题、求二面角 【分析】（1）根据条件证明出线线平行，即可得到四点共面； （2）延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接，，，根据面面角的定义找到是平面与平面的夹角，然后直接求解该夹角的正弦值即可. 【详解】（1）如图，取的中点，连接，， 则， 在正方体中，，， 所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以，所以，，，四点共面． （2）如图，延长交的延长线于点， 延长交的延长线于点， 连接，，，则点在上． 不妨设正方体的棱长为， 则，，，， 所以是的中点， 所以，， 所以是平面与平面的夹角． 因为平面平面， 所以，所以． 【考点题型十六】空间几何体内切球（） 【例16】（2024·湖南郴州·三模）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为 . 【答案】/ 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】由等体积法求得内切球半径，再根据比例求得球的半径，则问题可解． 【详解】如图所示： 依题意得 ， 底面的外接圆半径为， 点到平面的距离为 ， 所以 ， 所以 设球的半径为，所以 则，得 设球的半径为，则，又 得 所以球的表面积为 故答案为：. 【变式16-1】.（2025·四川德阳·三模）六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】根据正八面体的结构特征可得外接球的半径，利用等积法可得内切球半径，进而利用球的表面积公式即可求得. 【详解】如图正八面体，连接和交于点， 因为，，所以，， 又平面，平面，， 所以平面， 设正八面体的外接球的半径为，内切球半径为， 假设正八面体的棱长为， 则，，， ，， 因，则，且为正八面体的中心， 则点到平面的距离为内切球半径， 因为，即， 即，所以， 所以. 故选：C. 【变式16-2】.（24-25高一下·浙江·期中）已知圆台的一个底面面积为，且有半径为的内切球，则该圆台体积为 ． 【答案】/ 【知识点】台体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】作出圆台的轴截面，依题意可得圆台的高，又，，，设，利用勾股定理求出，再由圆台的体积公式计算可得. 【详解】因为圆台的一个底面面积为，则该底面圆的半径，不妨令其为上底面， 如图为该几何体的轴截面，其中圆为等腰梯形的内切圆， 设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底分别切于点，，球的半径， 则圆台的高，又，，， 设，则，所以，解得， 所以圆台的体积. 故答案为： 【变式16-4】（23-24高一下·重庆沙坪坝·期末）若圆台的上、下底面圆半径分别为1、2，、分别为圆台上下底面圆心.若该圆台存在内切球，则该圆台的体积为 . 【答案】 【知识点】多面体与球体内切外接问题、台体体积的有关计算 【分析】作出圆台的轴截面，然后根据题意可求出圆台的母线长，从而可求出圆的高，进而可求出圆台的体积. 【详解】圆台的轴截面如图所示，设内切球的球心为，内切球与母线切于点，则 ， 所以， 过点作于，则， 所以， 所以圆台的体积为 ， 故答案为： 【考点题型十七】空间几何体外接球（） 【例17】（2025·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】棱台的结构特征和分类、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据正四棱台的性质找到其外接球的球心，然后设球心为，点距离下底面的高度为. 根据题意列出方程，求解即可. 【详解】由题意可知，正四棱台外接球的球心在其上、下底面正方形的对角线的中点的连线上，如图所示，设球心为，点距离下底面的高度为. 因为，，，又上、下底面均为正方形，所以，. 设棱台的外接球的半径为，根据勾股定理可得，解得， 则，所以正四棱台的外接球表面积为. 故选：D. 【变式17-1】.（2024·黑龙江·二模）已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】设正方形中心为，取中点，连接、、，由正四棱锥的性质可知，，平面，则为二面角的平面角，设正方形的边长为，利用锐角三角函数求出，即可求出，，再设球心为，则球心在直线上，设球的半径为，利用勾股定理求出，最后再由球的表面积公式计算可得. 【详解】设正方形中心为，取中点，连接、、， 则，，平面， 所以为二面角的平面角，即， 设正方形的边长为，则， 又，，所以， 即，解得（负值已舍去）， 则，，设球心为，则球心在直线上，设球的半径为， 则，解得， 所以外接球的表面积. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是确定二面角的平面角，利用锐角三角函数求出底面边长与高，再由正四棱锥的性质确定球心在上. 【变式17-2】.（2025·安徽·一模）已知顶点为的圆锥的外接球为球为底面圆的一条直径，是母线的中点，为底面圆的中心，为线段的中点，若是边长为2的正三角形，则球的表面积为 ，与该圆锥底面所成角的正切值为 . 【答案】 / 【知识点】圆锥中截面的有关计算、球的表面积的有关计算、证明线面垂直、求线面角 【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，，，根据已知得，进而求出外接球的半径，即可得球的表面积，应用几何法求线面角的正切值. 【详解】取的中点，连接，取的中点，连接，，.    因为是边长为2的正三角形，所以， 所以 设球的半径为，由，得， 故球的表面积为. 易知圆锥底面，则是与该圆锥底面所成的角， 所以与该圆锥底面所成角的正切值为. 故答案为：， 【变式17-3】.（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知球是正四面体的外接球，则球与四面体的体积比为 . 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】正四面体中，顶点在底面的射影为，球心在上，设正四面体的棱长为，求出四面体的高及体积，设外接球半径为，利用勾股定理求出及体积，做比值可得答案. 【详解】如图，正四面体中，顶点在底面的射影为，球心在上， 设正四面体的棱长为，可得， 则正四面体高， 设外接球半径为，在直角三角形中，， 即，解得， 所以球的体积， 又四面体的体积， 所以球与四面体的体积比为. 故答案为： 【变式17-4】（2024·四川·模拟预测）在平面四边形中，，将沿折起，使点到达，且，则四面体的外接球的体积为 ．    【答案】 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先求几何体的边长取的中点，，即可得出外接球的半径，进而得出外接球的体积. 【详解】由题意知，， 由勾股定理可知，，， 所以， 取的中点，所以， 所以四面体的外接球在斜边的中点处， 四面体的外接球的半径， 外接球的体积． 故答案为：. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二上·江西景德镇·期末）圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】圆锥的结构特征辨析、圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】根据给定条件，求出圆锥母线，进而求出圆锥的高. 【详解】由圆锥的底面半径为1，得侧面展开图半圆弧长为，因此该半圆半径为2， 即圆锥的母线长为2，所以圆锥的高为. 故选：C 2．（24-25高二上·江西景德镇·期末）“景德镇大碗”，正式名称为景德镇昌南里文化艺术中心，其设计灵感来源于宋代湖田窑影青斗笠碗，造型庄重典雅，象征着“万瓷之母”.大碗高，底部直径，口部直径.若将其视为圆台，请估计该“世界第一大碗”的容积（单位：）是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】根据给定条件，利用圆台的体积公式计算得解. 【详解】依题意，所求容积为（）. 故选：A 3．（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）圆台上､下底面半径分别是1，2，高为，这个圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】直接代入圆台的体积公式计算即可. 【详解】由题意有：， 所以 故选：D. 4．（2024·四川南充·一模）已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】运用圆锥侧面积、表面积、体积公式计算即可. 【详解】设底面半径为，高为，母线为，如图所示， 则圆锥的体积，所以，即， 又，即， 所以，则，解得， 所以圆锥的表面积为. 故选：B. 5．（2025·江西·一模）如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 【分析】根据正方体的性质可得平面与平面平行，利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 然后作平行线找到点的位置，利用三角形相似即可求出的值. 【详解】    在正方体中，根据正方体的性质可得平面与平面平行， 利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 所以过点作直线的平行线与延长线交于一点， 此交点即为平面与棱所在直线交点，连接，如图所示. 所以四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：. 6．（24-25高二上·江西上饶·期末）如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干；现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好是中截面（即平面经过边、的中点）则图1中容器水面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】根据三棱柱的体积公式，可得答案. 【详解】设的中点分别为，如下图： 易知，则，由为的中点，则，可得， 设三棱柱与三棱柱的体积分别为，则， 设水的体积为，则， 在图1中，设水形成的三棱柱的高为，则，解得. 故选：D. 7．（2025·江西九江·一模）在棱长为的正方体中，点在正方体内（包含边界）运动．若直线与所成角为，则动点所围成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】扇形面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、立体几何中的轨迹问题 【分析】根据直线与所成角为，得直线与直线所成角为，动点所围成的图形是圆锥侧面的四分之一，根据圆锥的表面积公式求出即可. 【详解】解：如图，在正方体中，，直线与所成角为， 即直线与直线所成角为，故动点所围成的图形是：高为，底面半径为1， 母线长为2的圆锥侧面的四分之一．即动点所围成的图形的面积为， 故选：B． 8．（23-24高一下·湖南岳阳·期中）如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在x′轴上，与x′轴垂直，且，则的面积为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】利用斜二测画法的定义通过的长确定OA，OB的长，再求出的面积. 【详解】∵在轴上，在轴上， ∴在x轴上，在y轴上， ，，如图， ∴. 故选：B. 二、多选题 9．（2025·江西南昌·一模）如图，平行六面体的体积为6，点P为线段上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有（   ） A．三棱锥 B．三棱锥 C．三棱锥 D．三棱锥 【答案】ACD 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行 【分析】根据线面平行的性质，将动点到面的距离转换成定点到面的距离，利用等体积法依次求解即可. 【详解】记平行六面体的体积为， 对于A，由平行六面体的性质，平面故点到平面的距离等于点到平面的距离，故,故A正确； 对于B,因为，底面面积固定，点在线段上位置不同，高不同，故体积不为定值，故B错误； 对于C，因为平面平面故平面 点到平面的距离等于点到平面的距离， 故，故C正确； 对于D，因为平面平面故平面 点到平面的距离等于点到平面的距离， 故，故D正确； 故选：ACD. 10．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知是空间两条不同的直线，是空间两个不重合的平面，下列命题不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【知识点】判断线面平行、面面平行证明线线平行、面面垂直证线面垂直 【分析】根据线面位置关系判断即可. 【详解】选项A：若，则平行或异面，故A符合题意； 选项B：若，则，故B不符合题意； 选项C：若，则或，故C符合题意； 选项D：若则，又，故，故D不符合题意， 故选：AC 三、填空题 11．（2025·江西景德镇·模拟预测）若圆台上、下底面的半径分别为1，2，侧面积为，则圆台的体积为 ． 【答案】 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】根据题意，由圆台的侧面积公式可得圆台的母线，从而可得圆台的高，再由圆台的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设圆台的母线为，高为， 由题意可得，解得， 则圆台的高为， 所以圆台的体积为. 故答案为： 12．（24-25高二上·吉林长春·期中）如图，在空间四边形中，，平面平面，且，则与平面所成角的正弦值是 ．    【答案】/ 【知识点】求线面角 【分析】利用等体积法求得到平面的距离，从而求得与平面所成角的正弦值. 【详解】设是的中点，连接，由于， 所以，由于平面平面，且交线为， 平面，所以平面，由于平面，所以， 设，而， 所以，所以， 三角形的面积为， 设到平面的距离为， 则，即， 所以与平面所成角的正弦值是. 故答案为：    四、解答题 13．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，点D是AB的中点． (1)求证：平面； (2)若底面ABC为边长为2的正三角形，，求三棱锥体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、证明线面垂直 【分析】（1）连接交于点，连接，只要证明即可； （2）求出面，得到是棱锥的高，利用棱锥的体积公式解答即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 四边形是矩形， 为的中点，又是的中点， ，又平面平面, 平面； （2）是的中点， ， 又平面平面, 平面, 平面, 则是三棱锥的高, 又 . 14．（23-24高一下·四川凉山·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点. (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、求二面角、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而根据线线垂直即可求证； （2）根据面面垂直的性质可得为平面与面所成二面角的平面角，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】（1）因为是正三角形，且是的中点.，所以， 又底面 是正方形，所以 ， 又因为平面平面， 且平面平面，平面，所以平面， 又因为平面 ，所以平面， 所以平面. （2）如图，取的中点的中点，连接， 因为是正三角形，所以 又因为平面平面，且平面平面 ，平面， 所以平面 ，平面，故， 由题意可知平面，故平面 平面故， 故为平面与面所成二面角的平面角， 设 ， 则， ， 所以 . 综上所述：侧面与底面所成二面角的正弦值为. 15．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，，点在底面ABC的射影为BC的中点O，M为的中点. (1)求证：平面； (2)设点P为底面ABC内（包括边界）的动点，且平面，若点P的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】棱柱表面积的有关计算、证明面面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）连接，可证平面，根据平行关系可得，进而可得结果. （2）根据面面平行分析可知：点P的轨迹为线段，结合题中的长度关系运算求解. 【详解】（1）在三棱柱中，连接， 由，M为的中点，得， 又平面，且平面，则，， 由，平面，得平面， 在中，分别为的中点，则，， 而，，则，， 即四边形为平行四边形，则， 所以平面. （2）连接， 由（1）可知：，且平面，平面，则平面， 在平行四边形中，分别为的中点，则，， 四边形为平行四边形，，且平面，平面， 于是平面，且，平面，所以平面平面， 且平面平面，则点P的轨迹为线段，即， 由，，为的中点，得， ，且为矩形，则， 在中，，则边上的高， 可得， 所以三棱柱的侧面积. 16．（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）如图，三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，是棱的中点． (1)求异面直线和所成的角； (2)证明：平面平面． (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】锥体体积的有关计算、求异面直线所成的角、证明面面垂直 【分析】（1）由题设易知和所成角即为和所成角，根据直三棱柱的性质及相关边的数量关系有是等腰直角三角形，即知和所成角的大小. （2）利用线面垂直的判定有面，再由线面垂直的性质及判定可得面，最后根据面面垂直的判定即可证平面平面． （3）由即可求解. 【详解】（1）由题设知：，则和所成角即为和所成角，又侧棱垂直底面， ∴，又，是棱的中点， ∴是等腰直角三角形．即． 所以，异面直线和所成的角为． （2）由题设知：，，， ∴面．又面， ∴，又， ∴，即，又，都在平面内， ∴面，而面， ∴面面． （3） 由（2）知，面． 所以, 所以三棱锥的体积为. 17．（24-25高二上·江西抚州·阶段练习）如图，在四棱锥中，，侧面平面． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若直线与平面所成角的正切值为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解； (3)2. 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）取的中点M，连接，由得到，再根据侧面平面得到平面，得到 ；进而结合条件即可证得平面. （2）由（1）易得，由可得，从而，进而证得平面. （3）由（1）易得为直线与平面所成的角, ,易得，根据棱锥的体积公式即可求得解. 【详解】（1）证明：在△中，取的中点M，连接， 因为，所以， 因为侧面平面，且侧面平面，平面 所以平面， 因为平面，所以， 又，，平面，所以平面. （2）由（1）知平面，又平面，所以， 在△中，因为，所以， 所以， 在同一平面中，因为，，所以， 因为平面，平面，所以平面. （3）由（1）知平面，连接，则为直线与平面所成的角. 在Rt△中，，所以, 在Rt△中，，所以，解得. 故三棱锥的体积. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$