第六章 立体几何初步（28题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记·巧练（北师大版2019必修第二册）

第六章 立体几何初步 知识归纳与题型突破（28题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1.空间几何体的定义、分类及相关概念 1．空间几何体的定义 概念 定义 空间几何体 空间中的物体，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体 2.空间几何体的分类及相关概念 分类 定义 图形及表示 相关概念 空间几何体 多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体 面：围成多面体的各个多边形 棱：两个面的公共边 顶点：棱与棱的公共点 旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体 轴：形成旋转体所绕的定直线 知识点2.棱柱的结构特征 1．棱柱的定义、图形及相关概念 定义 图形及表示 相关概念 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 如图可记作： 棱柱ABCDEF－ A′B′C′D′E′F′ 底面：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 2.棱柱的分类及特殊棱柱 (1)按底面多边形的边数，可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱． (3)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱． (4)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱． (5)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱． [注意]　一些特殊的四棱柱，它们之间的关系如下： 知识点3.棱锥的结构特征 1．棱锥的定义、图形及相关概念 定义 图形及表示 相关概念 棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 如图可记作：棱锥S－ABCD 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 2.棱锥的分类及特殊的棱锥 (1)按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥…… (2)正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥． 知识点四　棱台的结构特征 1．棱台的定义、图形及相关概念 定义 图形及表示 相关概念 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台 如图可记作： 棱台ABCD－ A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面 的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 2.棱台的分类 (1)依据：由几棱锥截得． (2)举例：三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)…… 知识点4.圆柱、圆锥和圆台的结构特征 1．圆柱的定义、图形及表示 定义 图形 表示 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.棱柱和圆柱统称为柱体 圆柱O′O 2.圆锥的定义、图形及表示 定义 图形 表示 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，棱锥与圆锥统称为锥体 圆锥SO 3.圆台的定义、图形及表示 定义 图形 表示 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，棱台与圆台统称为台体 圆台O′O 知识点5.球的结构特征 定义 图形 表示 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的球心；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 球O 知识点6.简单组合体 1．概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱体、锥体、台体、球等结构特征的物体组合而成． 2．基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体． 知识点一　用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 知识7.空间几何体直观图的画法 (1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴． (2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面． (3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变． (4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线． 知识点8.棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和 表面积 棱柱 S棱柱表＝S棱柱侧＋2S底 棱锥 S棱锥表＝S棱锥侧＋S底 棱台 S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底 知识点9.棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 棱柱 V棱柱＝Sh(S为底面面积，h为高) 棱锥 V棱锥＝Sh(S为底面面积，h为高) 棱台 V棱台＝h(S′＋＋S)(S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高) 知识点10.圆柱、圆锥、圆台的表面积 1．圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱(底面半径为r，母线长为l) 圆锥(底面半径为r，母线长为l) 圆台(上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l) 侧面展开图 底面面积 S底＝πr2 S底＝πr2 S上底＝πr′2， S下底＝πr2 侧面面积 S侧＝2πrl S侧＝πrl S侧＝πl(r′＋r) 表面积 S表＝2πr(r＋l) S表＝πr(r＋l) S表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系 S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl． 知识点11.圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 圆柱 V圆柱＝πr2h(r为底面半径，h是高) 圆锥 V圆锥＝πr2h(r为底面半径，h是高) 圆台 V圆台＝πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分别为上、下底面半径，h是高) 知识点12.柱体、锥体、台体的体积公式 V柱体＝Sh(S为底面积，h为柱体高)； V锥体＝Sh(S为底面积，h为锥体高)； V台体＝(S′＋＋S)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体高)． 当S′＝S时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当S′＝0时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式． 知识点13.球的表面积和体积 1．球的表面积 如果球的半径为R，那么它的表面积S球＝4πR2． 2．球的体积 如果球的半径为R，那么它的体积V球＝πR3． 知识点14.平面的概念及表示 (1)概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是向四周无限延展的． (2)平面的画法：①常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．如图1. ②在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些．如图2. (3)表示法：常用希腊字母α，β，γ等来表示；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图1中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD． 知识点15.点、线、面之间的关系 文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达 点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A∉l 点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A∉α 直线l在平面α内 l⊂α 直线l在平面α外 l⊄α 平面α，β相交于l α∩β＝l 知识点16.平面的基本性质 基本事实 内容 图形 符号 作用 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 用来确定一个平面 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 用来证明直线在平面内 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 用来证明空间的点共线和线共点 推论 内容 图形 符号 作用 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 A∉BC⇒存在唯一的平面α，使A∈α，BC⊂α 用来确定一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 a∩b＝P⇒存在唯一的平面α，使a⊂α，b⊂α 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 a∥b⇒存在唯一的平面α，使a⊂α，b⊂α 知识点17.空间中直线与直线的位置关系 1．空间两条直线的位置关系有且只有三种 2．异面直线的画法 知识点18.空间中直线与平面的位置关系 位置关系 公共点 符号表示 图形表示 直线在平面内 无数个 a⊂α 直线在平面外 直线与平面相交 1个 a∩α＝A 直线与平面平行 0个 a∥α 知识点19.空间中平面与平面的位置关系 1．位置关系：有且只有两种： (1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有一条公共直线． 2．符号表示：两个平面α，β平行，记为α∥β；两个平面α，β相交于直线l，记为α∩β＝l． 3．图示：两个平面α，β平行，如图①所示；两个平面α，β相交于直线l，如图②所示． 知识点20.基本事实4(平行线的传递性) (1)文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行． (2)符号语言：a∥b，b∥c⇒a∥c． [提示]　求证两条直线平行，还可以证明在同一平面内，这两条直线无公共点． 定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 对于∠BAC和∠B′A′C′，AC∥A′C′，AB∥A′B′⇒∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180° 图形语言 知识点21.直线与平面平行的判定定理 1．文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行． 2．符号语言：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α. 3．图形语言：如图所示． 4．作用：证明直线与平面平行． 知识点22.直线与平面平行的性质定理 1．文字语言：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行． 2．符号语言：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b． 3．图形语言：如图所示． 4．作用：证明或判断线线平行． 知识点23.平面与平面平行的判定定理 1．文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． 2．符号语言：⇒β∥α. 3．图形语言：如图所示． 4．作用：证明两个平面平行． 知识点24.平面与平面平行的性质定理 1．文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． 2．符号语言：若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b. 3．图形语言：如图所示． 4．作用：证明或判断线线平行． [注意]　(1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面，即⇒a∥β(可用来证明线面平行)． (2)夹在两平行平面间的平行线段相等(反过来不成立)． (3)平行于同一平面的两个平面平行(平面平行的传递性)，即⇒α∥γ(用于证明面面平行)． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． 知识25.空间中两条直线的位置关系 1．空间两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线和异面直线． 2．分类 (1)从有无公共点的角度来看，可分为两类 直线 (2)从是否共面的角度来看，可分为两类 直线 知识点26.直线与直线垂直 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b． 当两条直线a，b相互平行时，我们规定它们所成的角为0°．所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°． 知识点27.直线与平面垂直的定义及画法 1．定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α．直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足． 2．画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．如图所示． 3．过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． 知识点28.直线与平面垂直的判定定理 1．文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． 2．符号语言：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α. 3．图形语言：如图所示． [提示]　直线和平面垂直的判定方法 (1)利用线面垂直的定义． (2)利用线面垂直的判定定理． (3)利用下面两个结论： ①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β. 知识点29.直线与平面所成的角的定义 1．定义：一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 2．图形：如图所示． 3．规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°．直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°． 知识点30.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行； ②作平行线 知识点31.线面距离、平行平面间的距离 1．一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 2．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． [提示]　求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)． (2)转移法(找过点与面平行的线或面)． (3)等体积法(三棱锥变换顶点，属间接求法)． 知识点32.二面角的概念 1．定义及有关概念 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)相关概念：这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． (3)图形：如图所示． (4)记法：二面角α－AB－β或P－AB－Q或α－l－β或P－l－Q. 2．二面角的平面角 (1)定义：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角． (2)大小及范围：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°． [提示]　二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的． 知识点33.两个平面互相垂直的定义及判定 定理 1．两个平面互相垂直的定义 (1)一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)图形：如图所示． (3)表示：平面α与β垂直，记作α⊥β． 2．两平面垂直的判定定理 (1)文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． (2)符号语言：若a⊂α，a⊥β，则α⊥β． (3)作用：证两平面垂直． [提示]　有助于判断面面垂直的结论 (1)m∥n，m⊥α，n⊂β⇒α⊥β. (2)m⊥α，n⊥β，m⊥n⇒α⊥β. (3)α∥β，γ⊥α⇒γ⊥β. 知识点　平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 ⇒a⊥β 图形语言 作用 ①面面垂直⇒线面垂直； ②作面的垂线 [提示]　平面与平面垂直的其他性质与结论(1)α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β⇒b⊂α. (2)α⊥β ，γ∥β ⇒γ⊥α. (3)α⊥β，b⊥β ⇒b∥α或b⊂α. (4)α∩β ＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ. (5)α⊥β，α∩β＝l，β⊥γ，β∩γ＝m，γ⊥α，γ∩α＝n⇒l⊥m，m⊥n，l⊥n. 03 题型归纳 题型1. 空间两条直线位置关系的判断 例1　已知a，b，c是三条直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线，那么a与c有怎样的位置关系？并画图说明． 【解析】　直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面．如图(1)(2)(3)． 【感悟提升】　判定两条直线是异面直线的方法 (1)定义法：由定义判断两条直线不可能在同一平面内． (2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)． 巩固训练：如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系： (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________； (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________； (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________； (4)直线AB与直线B1C的位置关系是________． 【答案】(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面 【解析】首先看两直线是否有交点，判断是否是相交，然后在没有交点的两直线中判断这两直线是否在一个平面内，如果不在，那么两直线异面． 本题中直线A1B与直线D1C都在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以(1)应该填“平行”；直线D1D与直线D1C相交于点D1，所以(3)应该填“相交”；点A1，B，B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面，所以(2)(4)都应该填“异面”． 题型2.文字语言、图形语言、符号语言的相互转化 例2.根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系． (1)点P与直线AB； (2)点C与直线AB； (3)点M与平面AC； (4)点A1与平面AC； (5)直线AB与直线BC； (6)直线AB与平面AC； (7)平面A1B与平面AC. 【解析】　(1)P∈AB. (2)C∉AB. (3)M∈平面AC. (4)A1∉平面AC. (5)AB∩BC＝B. (6)AB⊂平面AC. (7)平面A1B∩平面AC＝AB. 【感悟提升】　三种语言的转换方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示，再用符号语言表示． (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别． 巩固训练1.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上． ①A∉α，a⊂α：________； ②α∩β＝a，P∉α且P∉β：________； ③a⊄α，a∩α＝A：________； ④α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：________． 【答案】①C　②D　③A　④B 巩固训练2.根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形． ①A∈α，B∉α；②l⊂α，m∩α＝A，A∉l；③P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α. 【解析】①点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①. ②直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②. ③直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③. 题型3.点、线共面问题 例3已知直线b∥c，且直线a与b，c都相交，求证：直线a，b，c共面． [证明]　∵b∥c，∴不妨设b，c共面于平面α， 设a∩b＝A，a∩c＝B，∴A∈a，B∈a，A∈b，B∈c， 又b⊂α，∴A∈α，同理B∈α，∴a⊂α，∴直线a，b，c共面． 巩固训练：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内． 证明：证法一(纳入法)： ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α. 又B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线l1，l2，l3在同一平面内． 证法二(重合法)： ∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内． ∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内． 【感悟提升】　证明多线共面的两种方法 题型4.点共线问题 例4如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O. 求证：B，D，O三点共线． [证明]　因为E∈AB，H∈AD，所以E∈平面ABD，H∈平面ABD，所以EH⊂平面ABD. 同理FG⊂平面BCD. 因为EH∩FG＝O，所以O∈平面ABD， O∈平面BCD，即O为平面ABD与平面BCD的公共点， 又平面ABD∩平面BCD＝BD， 所以O∈BD，即B，D，O三点共线． 巩固训练：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线． 证明：∵MN∩EF＝Q，∴Q∈MN，Q∈EF， 又M∈CD，N∈AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴M，N∈平面ABCD， ∴MN⊂平面ABCD，∴Q∈平面ABCD. 同理，可得EF⊂平面ADD1A1. ∴Q∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD， ∴Q∈AD，即D，A，Q三点共线． 【感悟提升】　点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是基本事实3.此类问题的证明常用以下两种方法： (1)首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3知这些点都在这两个平面的交线上； (2)选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上． 题型5.线共点问题 例5.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，P，Q分别是棱A1B1，A1C1上的点，且四边形BCQP为梯形．求证：直线AA1，BP，CQ相交于一点． [证明]　∵四边形BCQP为梯形， ∴直线BP，CQ相交，设交点为R， 则R∈BP，R∈CQ. 又BP⊂平面AA1B1B，CQ⊂平面AA1C1C， ∴R∈平面AA1B1B，且R∈平面AA1C1C， ∴R在平面AA1B1B与平面AA1C1C的交线AA1上， 即R∈AA1， ∴直线AA1，BP，CQ相交于一点． 【感悟提升】　证明线共点问题的步骤 证明三线共点的思路是：先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这个点，把问题归结为证明点在直线上的问题． 巩固训练：已知三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，且直线a和b不平行．求证：a，b，c三条直线必过同一点． 证明：∵γ∩α＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ. 又直线a和b不平行， ∴直线a，b必相交． 设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b. ∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α. 又α∩β＝c，∴P∈c，即直线c经过点P， ∴a，b，c三条直线必过同一点． 题型6.直线与平面的位置关系 例6.若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是(　　) A．直线与平面平行 B．直线与平面相交 C．直线上至少有一个点在平面内 D．直线上有无数多个点都在平面外 【解析】　对于A，若直线与平面相交，此时除交点外，其余点都在平面外，A错误；对于B，C，若直线与平面平行，则所有点都在平面外，B，C错误；对于D，直线无论与平面相交还是平行，都有无数个点在平面外，D正确．故选D. 【答案】D 巩固训练1.下列说法中，正确的个数是(　　) ①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交； ②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交； ③经过两条异面直线中的一条直线，有且仅有一个平面与另一条直线平行； ④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】①正确；如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内所有过交点的直线都相交，故②正确；③正确；④错误，直线还可能与平面相交．由此可知，①②③正确．故选D. 巩固训练2.如图，三棱台ABC－A′B′C′的一条侧棱AA′所在的直线与平面BCC′B′的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 【解析】　因为几何体为棱台，所以三条侧棱AA′，BB′，CC′的延长线交于一点，记为P，则直线AA′与平面BCC′B′相交于点P，且直线AA′在平面BCC′B′外．故选A. 【答案】A 【感悟提升】　直线与平面位置关系的判断方法 (1)空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行． (2)在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断． 题型7.基本事实4的应用 例7.如图所示，E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形． [证明]　设Q是DD1的中点，连接EQ，C1Q，如图． ∵E是AA1的中点，Q是DD1的中点， ∴EQ綊A1D1. 又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1， ∴EQ綊B1C1， ∴四边形EQC1B1为平行四边形， ∴B1E綊C1Q. 又Q，F分别是DD1，C1C的中点， ∴QD綊C1F， ∴四边形C1QDF为平行四边形， ∴C1Q綊DF，∴B1E綊DF， ∴四边形B1EDF为平行四边形． 巩固训练:如图，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形EBFD1是菱形． 证明：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取棱BB1的中点G，连接C1G，EG. 因为E，G分别为棱AA1，BB1的中点，所以EG綊A1B1. 又A1B1綊C1D1，所以EG綊C1D1， 从而四边形EGC1D1为平行四边形， 所以D1E綊C1G. 因为F，G分别为棱CC1，BB1的中点， 所以C1F綊BG， 从而四边形BGC1F为平行四边形， 所以BF綊C1G. 又D1E綊C1G，所以D1E綊BF， 从而四边形EBFD1为平行四边形． 不妨设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a， 易知BE＝BF＝a， 故平行四边形EBFD1是菱形． 【感悟提升】　证明空间中两条直线平行的方法 (1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明． (2)利用基本事实4即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b. 题型8.平面与平面的位置关系 例8.已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是(　　) A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对 【解析】　如图，可能会出现以下两种情况： 【答案】C 巩固训练：(多选)以下四个命题中，正确的是(　　) A．在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行 B．在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行 C．平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行 D．平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交 【答案】CD 【解析】当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行于另一个平面，所以A，B错误． 【感悟提升】　平面与平面位置关系的判断方法 (1)平面与平面的位置关系有两种：平行和相交．相交的判断主要是以基本事实3为依据找出一个交点，平面与平面平行的主要特点是没有公共点． (2)牢牢抓住其特征和定义，把文字语言或符号语言转化，结合空间想象全方位、多角度思考，特别是特殊情况，要学会举反例否定． 题型9.垂直关系的相互转化 例题9：若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　) A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ 【答案】C 【解析】由线面平行、垂直的有关知识可排除A，B，D；对于C，因为m∥α，过m作平面γ交α于m′，则m′∥m，由于m⊥β，故m′⊥β，又m′⊂α，则α⊥β，所以C正确． 巩固训练: 已知m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题： ①若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β； ②若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m； ③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β. 其中正确的命题是(　　) A．①② B．③ C．②③ D．①②③ 【解析】　对于①，依据线面垂直的判定定理，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，才能得到该直线与此平面垂直，而n只与β内的一条直线m垂直，不能得到n⊥β，故①不正确；对于②，如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，平面DCC′D′⊥平面ABCD，平面ABC′D′与平面DCC′D′的交线为C′D′，与平面ABCD的交线为AB，但C′D′∥AB，故②不正确；对于③，由于m⊥α，m⊥n，则n在平面α内或n∥α.若n在平面α内，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，过n作平面与α交于直线l，则n∥l，由n⊥β得l⊥β，从而α⊥β，故③正确．故选B. 【答案】B 【感悟提升】　空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的．它们之间的转化关系如下： 题型10.平面与平面平行的判定 例10:已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1E. [证明]　如图所示，取BB1的中点G，连接EG，GC1， 则有EG綊A1B1. 又A1B1綊C1D1， ∴EG綊C1D1， ∴四边形EGC1D1为平行四边形， ∴D1E綊GC1. 又BG綊C1F， ∴四边形BGC1F为平行四边形， ∴BF∥GC1，∴BF∥D1E. ∵BF⊄平面B1D1E，D1E⊂平面B1D1E， ∴BF∥平面B1D1E. 又BD∥B1D1，BD⊄平面B1D1E，B1D1⊂平面B1D1E， ∴BD∥平面B1D1E. 又BD∩BF＝B，BD，BF⊂平面BDF， ∴平面BDF∥平面B1D1E. 巩固训练:如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点， 求证：(1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 证明：(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点， 所以GH是△A1B1C1的中位线， 所以GH∥B1C1. 又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC， 所以B，C，H，G四点共面． (2)因为E，F分别是AB，AC的中点， 所以EF∥BC. 因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， 所以EF∥平面BCHG. 因为A1G∥EB，A1G＝EB， 所以四边形A1EBG是平行四边形， 所以A1E∥GB. 因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， 所以A1E∥平面BCHG. 因为A1E∩EF＝E， 所以平面EFA1∥平面BCHG. 【感悟提升】　平面与平面平行的判定方法 (1)定义法：两个平面没有公共点． (2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面． (3)利用线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β. (4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 题型11.平面与平面平行性质定理的应用 例题11.如图，已知AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，M，N分别为AB，CD的中点．求证：MN∥α. 证明：若AB，CD在同一平面内，则平面ABDC与α，β的交线分别为BD，AC. ∵α∥β，∴AC∥BD. ∵M，N分别为AB，CD的中点，∴MN∥BD. 又BD⊂α，MN⊄α，∴MN∥α. 若AB，CD异面，如图，过A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED. ∵AE∥CD，∴AE，CD确定平面AEDC，且与α，β的交线分别为ED，AC. ∵α∥β，∴ED∥AC. 又P，N分别为AE，CD的中点， ∴PN∥ED，又PN⊄α，ED⊂α，∴PN∥α， 同理可证MP∥BE，MP⊄α，BE⊂α， ∴MP∥α， 又MP∩PN＝P，∴平面MPN∥α， 又MN⊂平面MPN，∴MN∥α. 巩固训练：如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，过AB的截面与上底面交于PQ，且点P在棱A1C1上，点Q在棱B1C1上．证明：PQ∥A1B1. [证明]　因为正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1， 平面ABC∩平面ABQP＝AB，平面ABQP∩平面A1B1C1＝PQ，所以AB∥PQ， 又因为正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A1为平行四边形，故有AB∥A1B1，所以PQ∥A1B1. 【感悟提升】　应用平面与平面平行性质定理的基本步骤 题型12.棱柱、棱锥、棱台的表面积 例12.已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积． 【解析】　∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5， ∴各侧面都是全等的正三角形． ∴S侧＝4S△SAB＝4×SA×SBsin60°＝4××52×＝25， S表＝S侧＋S底＝25＋25＝25(＋1)． 巩固训练1.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　) A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 【答案】A 【解析】因为底面边长为a，侧面都是等腰直角三角形，所以斜高为，故S侧＝3×a×＝a2，而S底＝a2，故S表＝a2. 巩固训练2.已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积． 【解析】　如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，过B1作B1F⊥BC，垂足为F， 在Rt△B1FB中，BF＝×(8－4)＝2，B1B＝8， 故B1F＝＝2， 所以S梯形BB1C1C＝×(8＋4)×2＝12， 故四棱台的侧面积S侧＝4×12＝48， 所以四棱台的表面积S表＝48＋4×4＋8×8＝80＋48. 【感悟提升】　 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积求法 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和． (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和． 2．求解棱锥的表面积时，注意棱锥的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱长，并注意由它们组成的直角三角形的应用． 3．求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱长，并注意两个直角梯形的应用：(1)高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形；(2)高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形． 题型13.棱柱、棱锥、棱台的体积 例13.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，如果AB＝3，AC＝1，AA1＝2，那么直三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 [解析]　因为AB⊥AC，所以S△ABC＝AB·AC＝×3×1＝，所以直三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC·AA1＝×2＝3.故选B. 巩固训练1.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________． 答案：28 解析：由于＝，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6，解法一：所以原正四棱锥的体积为×(4×4)×6＝32，截去的正四棱锥的体积为×(2×2)×3＝4，所以棱台的体积为32－4＝28.解法二：故棱台的高为3，所以棱台的体积为×3×(16＋4＋)＝28. 巩固训练2.正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积为780 cm2，求其体积． 【解析】正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高． 设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形． ∵S侧＝4××(10＋20)×EE1＝780(cm2)， ∴EE1＝13 cm. 在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝A1B1＝5 cm，OE＝AB＝10 cm， ∴O1O＝＝12(cm)． 故该正四棱台的体积为V＝×12×(102＋202＋10×20)＝2800(cm3)． 【感悟提升】　求几何体体积的常用方法 题型14.与球有关的切、接问题 例14.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为(　　) A．4∶3 B．3∶1 C．3∶2 D．9∶4 【解析】　画出轴截面如图所示，设球的半径为r，则OD＝r，PO＝2r，∠PDO＝90°，∴∠CPB＝30°.又∠PCB＝90°，∴CB＝PC＝r，PB＝2r，∴圆锥的侧面积S1＝π×r×2r＝6πr2，球的表面积S2＝4πr2，∴S1∶S2＝3∶2. 【答案】C 巩固训练：设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为(　　) A．3πa3 B．πa3 C．2πa3 D．2πa3 【解析】　作出图形的轴截面如图所示，点O即为该球的球心，线段AB即为长方体底面的对角线，长度为＝a，线段BC即为长方体的高，长度为a，线段AC即为长方体的体对角线，长度为＝a，则球的半径R＝＝a，所以球的体积V＝πR3＝πa3. 【答案】B 【感悟提升】　 1．正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝(a为正方体的棱长)，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)． 2．长方体、正方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，过球心作长方体的体对角线，则球的半径为r2＝，如图(2)．当a＝b＝c即几何体为正方体时，可得正方体外接球的半径为a. 题型15.圆柱、圆锥、圆台的表面积 例15.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　) A．12π B．12π C．8π D．10π 【解析】　因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2π×()2＋2π××2＝12π.故选B. 巩固训练1.已知某圆锥的底面半径为8，高为6，则该圆锥的表面积为________． 【解析】　由题意，得该圆锥的母线长l＝＝10，所以该圆锥的侧面积为π×8×10＝80π，底面积为π×82＝64π，所以该圆锥的表面积为80π＋64π＝144π. 【答案】　144π 巩固训练2.已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，5，高为4，则这个圆台的表面积为________． 【解析】　因为圆台的上、下底面半径分别为2，5，高为4，所以母线长为＝5，所以圆台的表面积为π×22＋π×52＋π×(2＋5)×5＝64π. 【答案】64π 【感悟提升】　圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解，基本步骤如下： (1)得到空间几何体的平面展开图． (2)依次求出各个平面图形的面积． (3)将各个平面图形的面积相加． 题型16.圆柱、圆锥、圆台侧面展开图的应用 例16.如图所示，已知圆柱的高为80 cm，底面半径为10 cm，轴截面上有P，Q两点，且PA＝40 cm，B1Q＝30 cm，若一只蚂蚁沿着侧面从点P爬到点Q，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？ 【解析】　将圆柱侧面沿母线AA1展开，得如图所示矩形． 在矩形AA′A′1A1中， A1B1＝·2πr＝πr＝10π(cm)． 过点Q作QS⊥AA1于点S， 在Rt△PQS中，PS＝80－40－30＝10(cm)， QS＝A1B1＝10π cm. ∴PQ＝＝10(cm)． 即蚂蚁爬过的最短路径长是10 cm. 【感悟提升】　求圆柱、圆锥、圆台侧面上两点间最短距离都要转化到侧面展开图中，“化曲为直”是求几何体表面上两点间最短距离的好方法． 巩固训练:国庆节期间，要在一圆锥形建筑物上挂一宣传标语，经测量得圆锥的母线长为3米，高为2米，如图所示．为了美观需要，在底面圆周上找一点M拴系彩绸的一端，沿圆锥的侧面绕一周挂彩绸，彩绸的另一端仍回到原处M，则彩绸最短要多少米？ 【解析】把圆锥的侧面沿过点M的母线剪开，并铺平得扇形MOM1，如图所示． 易知彩绸的最短长度即为线段MM1的长度，由母线长为3米，高为2米，得底面半径为1米，所以＝2π×1＝2π，扇形的圆心角为＝，所以MM1＝3米，即彩绸最短要3米． 题型17.简单组合体的结构特征 例17.　描述下图几何体的结构特征． 【解析】　图(1)中的几何体是由一个四棱柱和一个四棱锥拼接而成的简单组合体． 图(2)中的几何体是在一个圆台中挖去一个圆锥后得到的简单组合体． 图(3)中的几何体是在一个圆柱中挖去一个三棱柱后得到的简单组合体． 图(4)中的几何体是由两个同底的四棱锥拼接而成的简单组合体． 巩固训练:观察如图几何体，并分析它们是由哪些基本几何体组成的． 【解析】图(1)中的几何体是由一个圆柱挖去一个圆台形成的．图(2)中的几何体是由一个球、一个四棱柱和一个四棱台组合而成的． 【感悟提升】　判断组合体构成的方法 (1)判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体． (2)组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的．要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证． 题型18.空间几何体的展开图问题 例18.下图是三个几何体的展开图，请问各是什么几何体？ 【解析】　由几何体的展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把展开图还原为原几何体，如图所示． 所以(1)为五棱柱，(2)为五棱锥，(3)为三棱台． 【感悟提升】　空间几何体的展开图 (1)解答空间几何体的展开图问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力． (2)若给出多面体画其展开图，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面． (3)若是给出表面展开图，则按上述过程逆推． 巩固训练1.根据下图所给的平面图形，画出立体图． 【解析】将各平面图折起来的空间图形如下图所示． 巩固训练2.已知正三棱柱ABC－A′B′C′的各棱长均为2，P是线段BC′的中点，求沿正三棱柱的表面从点A′到点P的路程的最小值． 【解析】正三棱柱ABC－A′B′C′如图①所示． 当按照图②所示展开时，过P作PH⊥A′C′于H，可知PH＝1，A′H＝3，由勾股定理可得A′P＝＝；当按照图③所示展开时，连接A′P交B′C′于点O，可知OP＝1，A′O＝，所以A′P＝＋1.因为＋1<，所以点A′到点P的路程的最小值为＋1. 题型19.旋转体的概念 例19.给出下列命题： ①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ④用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】　①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④用平行于圆锥底面的平面截圆锥，才可得到一个圆锥和一个圆台．故四个命题均不正确． 【答案】A 巩固训练:一个有30°角的直角三角尺绕其各条边所在直线旋转一周所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么几何体？旋转360°又得到什么几何体？ 【解析】如图(1)和(2)所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥；如图(3)所示，绕其斜边所在直线旋转一周围成的几何体是两个同底相对的圆锥；如图(4)所示，绕其斜边上的高所在直线旋转180°围成的几何体是两个半圆锥，旋转360°围成的几何体是两个同轴、等高、底面半径不同的圆锥． 【感悟提升】　判断旋转体形状的解题策略 圆柱、圆锥、圆台和球都是由平面图形绕着某条轴旋转而成的，平面图形不同，得到的旋转体也不同，即使是同一平面图形，所选轴不同，得到的旋转体也不一样． 判断旋转体，要抓住定义，分清哪条线是轴，什么图形，怎样旋转，旋转后形成什么样的几何体． 题型21旋转体的计算问题 例21.一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求： (1)圆台的高； (2)截得此圆台的圆锥的母线长． 【解析】　(1)如图，圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，由已知可得圆台的上底面半径O1A＝2 cm， 下底面半径OB＝5 cm， 又母线长AB＝12 cm， 所以圆台的高为AM＝＝3(cm)． (2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l， 则由△SAO1∽△SBO，可得＝， 解得l＝20(cm)． 故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. 【感悟提升】　旋转体中的计算问题及截面性质 (1)圆柱、圆锥和圆台中的计算问题，一要结合它们的形成过程，分辨清轴、母线及底面半径与旋转前平面图形相关量的关系；二要切实体现轴截面的作用．解题时，可把轴截面从旋转体中分离出来，用平面图形的计算解决立体问题． (2)球中的计算应注意一个重要的直角三角形，设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，则R2＝d2＋r2. (3)用平行于底面的平面去截柱体、锥体、台体等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组求解． 巩固训练:已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M. (1)若OA＝1，求圆M的面积； (2)若圆M的面积为3π，求OA. 【解析】(1)若OA＝1，则OM＝， 故圆M的半径 r＝＝＝， 所以圆M的面积S＝πr2＝. (2)因为圆M的面积为3π， 所以圆M的半径R＝， 则OA2＝＋3，所以OA2＝3， 解得OA2＝4，所以OA＝2. 题型21.平面图形的直观图的画法 例21.画水平放置的正五边形的直观图． 【解析】　(1)建立如图①所示的直角坐标系xOy，再建立如图②所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°. (2)在图①中作BG⊥x轴于点G，EH⊥x轴于点H，在坐标系x′O′y′中作O′H′＝OH，O′G′＝OG，O′A′＝OA，O′F′＝OF. 过F′作C′D′∥x′轴且C′D′＝CD，C′F′＝F′D′. (3)在平面x′O′y′中，过G′作G′B′∥y′轴，且G′B′＝GB，过H′作H′E′∥y′轴，且H′E′＝HE.连接A′B′，B′C′，D′E′，E′A′，擦去辅助线，得五边形A′B′C′D′E′为正五边形ABCDE的直观图，如图③. 巩固训练:用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图． 【解析】(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，BC边上的高线AO所在的直线为y轴． (2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°. 在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝OA＝ cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为边长为4 cm的正三角形ABC的直观图，如图②所示． 【感悟提升】　画平面图形直观图的技巧 (1)要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中确定直角坐标系，然后在此基础上画出水平放置的平面坐标系． (2)画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将此点转到与轴平行的线段上来确定． 题型22.空间几何体的直观图的画法 例22.画出底面是正方形，侧棱长均相等的四棱锥的直观图． 【解析】　画法：(1)画轴．画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°. (2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD，如图①. (3)画顶点．在z轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高，如图②. (4)成图．连接PA，PB，PC，PD，如图③，擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图如图④. 【感悟提升】　画空间几何体的直观图应遵循的原则 (1)对于一些常见简单几何体(柱体、锥体、台体、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快、较准确地画出． (2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向． (3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，平行性与长度都与原来保持一致． (4)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，然后画出竖轴．此题也可以把点A，B，C，D放在坐标轴上，画法实质是各顶点的确定． 巩固训练:已知几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图． 【解析】(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画圆台的两底面．利用椭圆模板，画出底面⊙O，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中OO′的长度，过点O′作平行于轴Ox的轴O′x′，平行于轴Oy的轴O′y′，类似底面⊙O的作法作出上底面⊙O′. (3)画圆锥的顶点．在O′z上截取O′P，使O′P等于三视图中O′P的长度． (4)成图．连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图所表示的几何体的直观图，如图②. 题型23.直观图还原平面图形及有关计算问题 例23.已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　) A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 【解析】　如图①②所示的实际图形和直观图， 由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a， 在图②中作C′D′⊥A′B′于点D′， 则C′D′＝O′C′＝a， 所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2. 【答案】D 巩固训练1.如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，其中A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′∥x′轴，则原四边形ABCD的面积是(　　) A．14 B．10 C．28 D．14 【答案】C 【解析】如图，将直观图还原为平面图．∵A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′∥x′轴，A′B′≠C′D′，∴原图形是一个直角梯形．又D′C′＝2，A′B′＝5，A′D′＝4，∴原直角梯形的上、下底及高分别是2，5，8，故其面积为S＝×(2＋5)×8＝28. 巩固训练2.如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形△ABC的斜二测直观图，其中C′A′＝2，B′D′∥y′轴且B′D′＝1.5. ①将其恢复成原图形； ②求原平面图形△ABC的面积． 【解析】　①画法：(ⅰ)画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′. (ⅱ)在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′. (ⅲ)连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′的原图形，如下图． ②∵B′D′∥y′轴，∴BD⊥AC. 又B′D′＝1.5且A′C′＝2， ∴BD＝3，AC＝2. ∴S△ABC＝BD·AC＝×3×2＝3. [结论探究]　若设原平面图形的面积为S，则其直观图的面积S′为多少？ 【解析】设原图形的高为h，则直观图的高为h. 又平行于x轴的线段长度不变，故S′＝S. 【感悟提升】　 1．直观图还原平面图形的策略 还原的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为斜二测直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可． 2．若一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直＝S 题型24.组合体的表面积与体积 例24.一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：米)，浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土(钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米)? 【解析】　将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体． S底＝0.6×1.1－×(0.5＋0.3)×0.3＝0.54(平方米)， V＝S底·h＝0.54×24.8≈13.39(立方米)． 故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土． 巩固训练:如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥A1－ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1－DBC的表面积． 【解析】由题图可知，△A1BD是边长为a的等边三角形，其面积为a2，故所求几何体A1B1C1D1－DBC的表面积S＝S△A1BD＋3S△DBC＋3S正方形A1B1C1D1＝a2＋3××a2＋3a2＝a2. 【感悟提升】　求组合体的表面积与体积的方法 求组合体的表面积或体积的问题，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减． 题型25.圆柱、圆锥、圆台的体积 例题25.小明和同学们要参加学校的话剧表演活动，他们要用一张边长为16 cm的正方形蓝色纸片做一顶小小的圆锥形装饰帽子，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形，并用这个扇形围成了一个圆锥，如图所示，其中PO为该圆锥的高，那么这个圆锥的体积是(　　) A． cm3 B．20π cm3 C． cm3 D． cm3 【解析】　设所围成圆锥的底面半径为r，高为h，则×2π×16＝2πr，则r＝4 cm，则圆锥的高h＝＝4(cm)，圆锥的体积为πr2h＝×42×4π＝(cm3)．故选A. 【答案】A 巩固训练：若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是(　　) A．1∶1 B．1∶2 C．∶2 D．3∶4 【答案】D 【解析】设圆柱、圆锥的高都为h，底面半径分别为r，R，则有·2Rh＝2rh，所以R＝2r，所以V圆锥＝πR2h＝πr2h，V圆柱＝πr2h，故V圆柱∶V圆锥＝3∶4. 题型26.组合体的表面积与体积 例26.　如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥BC，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积． 【解析】　如题图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°， ∴CD＝＝2a，AB＝CDsin60°＝a. ∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a. ∴DO＝DD′＝a. 由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥． 由上述计算知，圆柱的母线长为a，底面半径为2a，圆锥的母线长为2a，底面半径为a. ∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·a＝4πa2， 圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2， 圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2， 圆锥的底面积S4＝πa2. ∴组合体上底面面积S5＝S3－S4＝3πa2. ∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4＋9)πa2. 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积． V柱＝S3h＝4πa2·a＝4πa3. V锥＝S4h＝·πa2·a＝πa3. ∴V＝V柱－V锥＝4πa3－πa3＝πa3. 巩固训练:若直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的倍，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5＋)π，求这个旋转体的体积． 【解析】如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，∠B＝45°，绕AB边所在直线旋转一周后形成由一个圆柱和一个圆锥组合而成的几何体．过点C作CE⊥AB于点E，设CD＝x，AB＝x， 则AD＝CE＝BE＝AB－CD＝，BC＝x. S表＝S圆柱底＋S圆柱侧＋S圆锥侧 ＝π·AD2＋2π·AD·CD＋π·CE·BC ＝π·＋2π··x＋π··x ＝πx2. 根据题设，得πx2＝(5＋)π，则x＝2. 所以旋转体的体积V＝π·AD2·CD＋π·CE2·BE＝π×12×2＋×12×1＝. 【感悟提升】　求组合体的表面积与体积的方法 (1)求解几何体的体积与表面积时还经常用割补法．补法是指把不规则的(或复杂的)几何体延伸或补成规则的(或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形；割法是把不规则的(或复杂的)几何体切割成规则的(或简单的)几何体． (2)解答本题时易出现忘加圆锥侧面积或忘减去圆锥底面积的错误，导致这种错误的原因是对表面积的概念掌握不牢． 题型27.球的表面积与体积 例27.(1)已知球的直径为6 cm，求它的表面积和体积． 【解析】　∵球的直径为6 cm， ∴球的半径R＝3 cm. ∴S球＝4πR2＝36π(cm2)，V球＝πR3＝36π(cm3)． (2)已知球的表面积为64π，求它的体积． 【解析】　∵S球＝4πR2＝64π，即R＝4， ∴V球＝πR3＝π×43＝. 【感悟提升】　求球的体积与表面积的方法 (1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解． (2)半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了． 巩固训练1.已知球的体积为，求它的表面积． 【解析】　∵V球＝πR3＝， ∴R3＝125，R＝5.∴S球＝4πR2＝100π. 巩固训练2.已知球的大圆周长为16π cm，求这个球的表面积． 【解析】设球的半径为R cm， 由题意可知2πR＝16π，解得R＝8， 则S球＝4πR2＝256π(cm2)． 题型28.球的截面问题 例28.一平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　) A.π B．4π C．4π D．6π 【解析】　如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝，O′M＝1，∴OM＝＝，即球的半径为，∴V＝π×()3＝4π. 【答案】B 【感悟提升】　球的截面的性质 (1)球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题． (2)用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质： ①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d＝. 巩固训练1.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为(　　) A． cm3 B． cm3 C． cm3 D． cm3 【答案】A 【解析】如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，∴V球＝π×53＝(cm3)． 巩固训练2.球的表面积为400π，一个截面的面积为64π，则球心到截面的距离为________． 【答案】6 【解析】如图，由已知条件知球的半径R＝10，截面圆的半径r＝8，所以球心到截面的距离h＝＝6. 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 立体几何初步 知识归纳与题型突破（28题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1.空间几何体的定义、分类及相关概念 1．空间几何体的定义 概念 定义 空间几何体 空间中的物体，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体 2.空间几何体的分类及相关概念 分类 定义 图形及表示 相关概念 空间几何体 多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体 面：围成多面体的各个多边形 棱：两个面的公共边 顶点：棱与棱的公共点 旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体 轴：形成旋转体所绕的定直线 知识点2.棱柱的结构特征 1．棱柱的定义、图形及相关概念 定义 图形及表示 相关概念 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 如图可记作： 棱柱ABCDEF－ A′B′C′D′E′F′ 底面：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 2.棱柱的分类及特殊棱柱 (1)按底面多边形的边数，可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱． (3)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱． (4)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱． (5)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱． [注意]　一些特殊的四棱柱，它们之间的关系如下： 知识点3.棱锥的结构特征 1．棱锥的定义、图形及相关概念 定义 图形及表示 相关概念 棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 如图可记作：棱锥S－ABCD 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 2.棱锥的分类及特殊的棱锥 (1)按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥…… (2)正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥． 知识点四　棱台的结构特征 1．棱台的定义、图形及相关概念 定义 图形及表示 相关概念 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台 如图可记作： 棱台ABCD－ A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面 的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 2.棱台的分类 (1)依据：由几棱锥截得． (2)举例：三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)…… 知识点4.圆柱、圆锥和圆台的结构特征 1．圆柱的定义、图形及表示 定义 图形 表示 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.棱柱和圆柱统称为柱体 圆柱O′O 2.圆锥的定义、图形及表示 定义 图形 表示 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，棱锥与圆锥统称为锥体 圆锥SO 3.圆台的定义、图形及表示 定义 图形 表示 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，棱台与圆台统称为台体 圆台O′O 知识点5.球的结构特征 定义 图形 表示 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的球心；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 球O 知识点6.简单组合体 1．概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱体、锥体、台体、球等结构特征的物体组合而成． 2．基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体． 知识点一　用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 知识7.空间几何体直观图的画法 (1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴． (2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面． (3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变． (4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线． 知识点8.棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和 表面积 棱柱 S棱柱表＝S棱柱侧＋2S底 棱锥 S棱锥表＝S棱锥侧＋S底 棱台 S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底 知识点9.棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 棱柱 V棱柱＝Sh(S为底面面积，h为高) 棱锥 V棱锥＝Sh(S为底面面积，h为高) 棱台 V棱台＝h(S′＋＋S)(S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高) 知识点10.圆柱、圆锥、圆台的表面积 1．圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱(底面半径为r，母线长为l) 圆锥(底面半径为r，母线长为l) 圆台(上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l) 侧面展开图 底面面积 S底＝πr2 S底＝πr2 S上底＝πr′2， S下底＝πr2 侧面面积 S侧＝2πrl S侧＝πrl S侧＝πl(r′＋r) 表面积 S表＝2πr(r＋l) S表＝πr(r＋l) S表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系 S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl． 知识点11.圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 圆柱 V圆柱＝πr2h(r为底面半径，h是高) 圆锥 V圆锥＝πr2h(r为底面半径，h是高) 圆台 V圆台＝πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分别为上、下底面半径，h是高) 知识点12.柱体、锥体、台体的体积公式 V柱体＝Sh(S为底面积，h为柱体高)； V锥体＝Sh(S为底面积，h为锥体高)； V台体＝(S′＋＋S)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体高)． 当S′＝S时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当S′＝0时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式． 知识点13.球的表面积和体积 1．球的表面积 如果球的半径为R，那么它的表面积S球＝4πR2． 2．球的体积 如果球的半径为R，那么它的体积V球＝πR3． 知识点14.平面的概念及表示 (1)概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是向四周无限延展的． (2)平面的画法：①常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．如图1. ②在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些．如图2. (3)表示法：常用希腊字母α，β，γ等来表示；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图1中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD． 知识点15.点、线、面之间的关系 文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达 点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A∉l 点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A∉α 直线l在平面α内 l⊂α 直线l在平面α外 l⊄α 平面α，β相交于l α∩β＝l 知识点16.平面的基本性质 基本事实 内容 图形 符号 作用 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 用来确定一个平面 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 用来证明直线在平面内 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 用来证明空间的点共线和线共点 推论 内容 图形 符号 作用 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 A∉BC⇒存在唯一的平面α，使A∈α，BC⊂α 用来确定一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 a∩b＝P⇒存在唯一的平面α，使a⊂α，b⊂α 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 a∥b⇒存在唯一的平面α，使a⊂α，b⊂α 知识点17.空间中直线与直线的位置关系 1．空间两条直线的位置关系有且只有三种 2．异面直线的画法 知识点18.空间中直线与平面的位置关系 位置关系 公共点 符号表示 图形表示 直线在平面内 无数个 a⊂α 直线在平面外 直线与平面相交 1个 a∩α＝A 直线与平面平行 0个 a∥α 知识点19.空间中平面与平面的位置关系 1．位置关系：有且只有两种： (1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有一条公共直线． 2．符号表示：两个平面α，β平行，记为α∥β；两个平面α，β相交于直线l，记为α∩β＝l． 3．图示：两个平面α，β平行，如图①所示；两个平面α，β相交于直线l，如图②所示． 知识点20.基本事实4(平行线的传递性) (1)文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行． (2)符号语言：a∥b，b∥c⇒a∥c． [提示]　求证两条直线平行，还可以证明在同一平面内，这两条直线无公共点． 定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 对于∠BAC和∠B′A′C′，AC∥A′C′，AB∥A′B′⇒∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180° 图形语言 知识点21.直线与平面平行的判定定理 1．文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行． 2．符号语言：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α. 3．图形语言：如图所示． 4．作用：证明直线与平面平行． 知识点22.直线与平面平行的性质定理 1．文字语言：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行． 2．符号语言：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b． 3．图形语言：如图所示． 4．作用：证明或判断线线平行． 知识点23.平面与平面平行的判定定理 1．文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． 2．符号语言：⇒β∥α. 3．图形语言：如图所示． 4．作用：证明两个平面平行． 知识点24.平面与平面平行的性质定理 1．文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． 2．符号语言：若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b. 3．图形语言：如图所示． 4．作用：证明或判断线线平行． [注意]　(1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面，即⇒a∥β(可用来证明线面平行)． (2)夹在两平行平面间的平行线段相等(反过来不成立)． (3)平行于同一平面的两个平面平行(平面平行的传递性)，即⇒α∥γ(用于证明面面平行)． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． 知识25.空间中两条直线的位置关系 1．空间两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线和异面直线． 2．分类 (1)从有无公共点的角度来看，可分为两类 直线 (2)从是否共面的角度来看，可分为两类 直线 知识点26.直线与直线垂直 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b． 当两条直线a，b相互平行时，我们规定它们所成的角为0°．所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°． 知识点27.直线与平面垂直的定义及画法 1．定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α．直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足． 2．画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．如图所示． 3．过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． 知识点28.直线与平面垂直的判定定理 1．文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． 2．符号语言：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α. 3．图形语言：如图所示． [提示]　直线和平面垂直的判定方法 (1)利用线面垂直的定义． (2)利用线面垂直的判定定理． (3)利用下面两个结论： ①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β. 知识点29.直线与平面所成的角的定义 1．定义：一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 2．图形：如图所示． 3．规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°．直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°． 知识点30.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行； ②作平行线 知识点31.线面距离、平行平面间的距离 1．一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 2．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． [提示]　求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)． (2)转移法(找过点与面平行的线或面)． (3)等体积法(三棱锥变换顶点，属间接求法)． 知识点32.二面角的概念 1．定义及有关概念 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)相关概念：这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． (3)图形：如图所示． (4)记法：二面角α－AB－β或P－AB－Q或α－l－β或P－l－Q. 2．二面角的平面角 (1)定义：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角． (2)大小及范围：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°． [提示]　二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的． 知识点33.两个平面互相垂直的定义及判定 定理 1．两个平面互相垂直的定义 (1)一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)图形：如图所示． (3)表示：平面α与β垂直，记作α⊥β． 2．两平面垂直的判定定理 (1)文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． (2)符号语言：若a⊂α，a⊥β，则α⊥β． (3)作用：证两平面垂直． [提示]　有助于判断面面垂直的结论 (1)m∥n，m⊥α，n⊂β⇒α⊥β. (2)m⊥α，n⊥β，m⊥n⇒α⊥β. (3)α∥β，γ⊥α⇒γ⊥β. 知识点　平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 ⇒a⊥β 图形语言 作用 ①面面垂直⇒线面垂直； ②作面的垂线 [提示]　平面与平面垂直的其他性质与结论(1)α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β⇒b⊂α. (2)α⊥β ，γ∥β ⇒γ⊥α. (3)α⊥β，b⊥β ⇒b∥α或b⊂α. (4)α∩β ＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ. (5)α⊥β，α∩β＝l，β⊥γ，β∩γ＝m，γ⊥α，γ∩α＝n⇒l⊥m，m⊥n，l⊥n. 03 题型归纳 题型1. 空间两条直线位置关系的判断 例1　已知a，b，c是三条直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线，那么a与c有怎样的位置关系？并画图说明． 巩固训练：如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系： (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________； (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________； (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________； (4)直线AB与直线B1C的位置关系是________． 题型2.文字语言、图形语言、符号语言的相互转化 例2.根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系． (1)点P与直线AB； (2)点C与直线AB； (3)点M与平面AC； (4)点A1与平面AC； (5)直线AB与直线BC； (6)直线AB与平面AC； (7)平面A1B与平面AC. 巩固训练1.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上． ①A∉α，a⊂α：________； ②α∩β＝a，P∉α且P∉β：________； ③a⊄α，a∩α＝A：________； ④α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：________． 题型3.点、线共面问题 例3已知直线b∥c，且直线a与b，c都相交，求证：直线a，b，c共面． 巩固训练：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内． 题型4.点共线问题 例4如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O. 求证：B，D，O三点共线． 巩固训练：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线． 题型5.线共点问题 例5.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，P，Q分别是棱A1B1，A1C1上的点，且四边形BCQP为梯形．求证：直线AA1，BP，CQ相交于一点． 巩固训练：已知三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，且直线a和b不平行．求证：a，b，c三条直线必过同一点． 题型6.直线与平面的位置关系 例6.若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是(　　) A．直线与平面平行 B．直线与平面相交 C．直线上至少有一个点在平面内 D．直线上有无数多个点都在平面外 巩固训练1.下列说法中，正确的个数是(　　) ①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交； ②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交； ③经过两条异面直线中的一条直线，有且仅有一个平面与另一条直线平行； ④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行． A．0 B．1 C．2 D．3 巩固训练2.如图，三棱台ABC－A′B′C′的一条侧棱AA′所在的直线与平面BCC′B′的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 题型7.基本事实4的应用 例7.如图所示，E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形． 巩固训练:如图，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形EBFD1是菱形． 题型8.平面与平面的位置关系 例8.已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是(　　) A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对 【解析】　如图，可能会出现以下两种情况： 【答案】C 巩固训练：(多选)以下四个命题中，正确的是(　　) A．在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行 B．在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行 C．平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行 D．平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交 题型9.垂直关系的相互转化 例题9：若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　) A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ 巩固训练: 已知m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题： ①若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β； ②若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m； ③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β. 其中正确的命题是(　　) A．①② B．③ C．②③ D．①②③ 题型10.平面与平面平行的判定 例10:已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1E. 巩固训练:如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点， 求证：(1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 题型11.平面与平面平行性质定理的应用 例题11.如图，已知AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，M，N分别为AB，CD的中点．求证：MN∥α. 巩固训练：如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，过AB的截面与上底面交于PQ，且点P在棱A1C1上，点Q在棱B1C1上．证明：PQ∥A1B1. 题型12.棱柱、棱锥、棱台的表面积 例12.已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积． 巩固训练1.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　) A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 巩固训练2.已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积． 题型13.棱柱、棱锥、棱台的体积 例13.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，如果AB＝3，AC＝1，AA1＝2，那么直三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 巩固训练1.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________． 巩固训练2.正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积为780 cm2，求其体积． 题型14.与球有关的切、接问题 例14.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为(　　) A．4∶3 B．3∶1 C．3∶2 D．9∶4 巩固训练：设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为(　　) A．3πa3 B．πa3 C．2πa3 D．2πa3 题型15.圆柱、圆锥、圆台的表面积 例15.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　) A．12π B．12π C．8π D．10π 巩固训练1.已知某圆锥的底面半径为8，高为6，则该圆锥的表面积为________． 巩固训练2.已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，5，高为4，则这个圆台的表面积为________． 题型16.圆柱、圆锥、圆台侧面展开图的应用 例16.如图所示，已知圆柱的高为80 cm，底面半径为10 cm，轴截面上有P，Q两点，且PA＝40 cm，B1Q＝30 cm，若一只蚂蚁沿着侧面从点P爬到点Q，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？ 巩固训练:国庆节期间，要在一圆锥形建筑物上挂一宣传标语，经测量得圆锥的母线长为3米，高为2米，如图所示．为了美观需要，在底面圆周上找一点M拴系彩绸的一端，沿圆锥的侧面绕一周挂彩绸，彩绸的另一端仍回到原处M，则彩绸最短要多少米？ 题型17.简单组合体的结构特征 例17.　描述下图几何体的结构特征． 巩固训练:观察如图几何体，并分析它们是由哪些基本几何体组成的． 题型18.空间几何体的展开图问题 例18.下图是三个几何体的展开图，请问各是什么几何体？ 巩固训练1.根据下图所给的平面图形，画出立体图． 巩固训练2.已知正三棱柱ABC－A′B′C′的各棱长均为2，P是线段BC′的中点，求沿正三棱柱的表面从点A′到点P的路程的最小值． 题型19.旋转体的概念 例19.给出下列命题： ①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ④用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 巩固训练:一个有30°角的直角三角尺绕其各条边所在直线旋转一周所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么几何体？旋转360°又得到什么几何体？ 题型21旋转体的计算问题 例21.一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求： (1)圆台的高； (2)截得此圆台的圆锥的母线长． 巩固训练:已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M. (1)若OA＝1，求圆M的面积； (2)若圆M的面积为3π，求OA. 题型21.平面图形的直观图的画法 例21.画水平放置的正五边形的直观图． 巩固训练:用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图． 题型22.空间几何体的直观图的画法 例22.画出底面是正方形，侧棱长均相等的四棱锥的直观图． 巩固训练:已知几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图． 题型23.直观图还原平面图形及有关计算问题 例23.已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　) A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 巩固训练1.如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，其中A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′∥x′轴，则原四边形ABCD的面积是(　　) A．14 B．10 C．28 D．14 巩固训练2.如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形△ABC的斜二测直观图，其中C′A′＝2，B′D′∥y′轴且B′D′＝1.5. ①将其恢复成原图形； ②求原平面图形△ABC的面积． 题型24.组合体的表面积与体积 例24.一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：米)，浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土(钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米)? 巩固训练:如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥A1－ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1－DBC的表面积． 题型25.圆柱、圆锥、圆台的体积 例题25.小明和同学们要参加学校的话剧表演活动，他们要用一张边长为16 cm的正方形蓝色纸片做一顶小小的圆锥形装饰帽子，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形，并用这个扇形围成了一个圆锥，如图所示，其中PO为该圆锥的高，那么这个圆锥的体积是(　　) A． cm3 B．20π cm3 C． cm3 D． cm3 巩固训练：若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是(　　) A．1∶1 B．1∶2 C．∶2 D．3∶4 题型26.组合体的表面积与体积 例26.　如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥BC，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积． 巩固训练:若直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的倍，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5＋)π，求这个旋转体的体积． 题型27.球的表面积与体积 例27.(1)已知球的直径为6 cm，求它的表面积和体积． (2)已知球的表面积为64π，求它的体积． 巩固训练1.已知球的体积为，求它的表面积． 巩固训练2.已知球的大圆周长为16π cm，求这个球的表面积． 题型28.球的截面问题 例28.一平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　) A.π B．4π C．4π D．6π 巩固训练1.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为(　　) A． cm3 B． cm3 C． cm3 D． cm3 巩固训练2.球的表面积为400π，一个截面的面积为64π，则球心到截面的距离为________． 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$