专题06 第四章 三角恒等变换（7考点清单，知识导图+11个考点清单&题型解读）（期末复习知识清单）高一数学下学期北师大版

清单06 第四章 三角恒等变换 （7个考点梳理+11题型解读+提升训练） 清单01 同角三角函数的基本关系 1、平方关系： 2、商数关系:（，） 清单02 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 清单03两角和与差的正弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 清单04 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 清单05 二倍角正弦余弦公式 ① ②； ； ③ 清单06 半角公式 ① ② ③ 清单07 辅助角公式 (其中) 【考点题型一】，，知一求二（） 【例1】（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知弦（切）求切（弦） 【分析】由题意设，结合平方关系求出即可得解. 【详解】因为为第二象限角，，所以设， 所以，解得，所以. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知为第四象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据同角三角函数的关系求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 因为为第四象限角，所以. 故选：A. 【变式1-2】.（24-25高一下·上海长宁·期中）已知是第四象限角，且，则 ． 【答案】/-0.8 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据所在的象限，及平方关系计算即可. 【详解】因为是第四象限角，且， 所以， 故答案为：. 【变式1-3】.（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知是第四象限角，且 ，那么的值为 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】由平方关系求得正弦，再由商的关系即可求解. 【详解】因为是第四象限角，所以， 由，可得：， 所以， 所以， 故答案为： 【变式1-4】（24-25高一下·上海·阶段练习）已知是第四象限角，，则 . 【答案】/ 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】因为是第四象限角，， 所以，则. 故答案为： 【考点题型二】已知,求关于和的齐次式的值（） 【例2】（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）将其次式的分子分母同时除以，转化为的式子计算求解即可； （2）利用诱导公式化简转化为其二次式分子分母同时除以，转化为的式子计算求解即可. 【详解】（1）． （2） ． 【变式2-1】.（24-25高一下·陕西安康·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】由题意可求得，进而根据可求值. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D. 【变式2-2】.（24-25高一下·广东茂名·期中）已知，那么（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】根据题意结合齐次化问题分析求解. 【详解】因为，解得. 故选：B. 【变式2-3】.（24-25高一下·辽宁·阶段练习）已知，则 ． 【答案】/ 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】将分母中的1化为，然后分子分母同时除以，整理得到一个关于的式子，代入数值求解即可得出答案. 【详解】由已知可知. 则. 代入可得， . 故答案为：. 【变式2-4】.（24-25高一下·江西上饶·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据同角三角函数的关系进行齐次转化求值即可； （2）先利用诱导公式化简已知式，再根据同角三角函数的平方关系进行齐次转化求值即可. 【详解】（1）由题意得； （2） ． 【考点题型三】利用,与之间的关系求值（） 【例3】（多选）（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得关于，的方程，结合同角三角函数的关系，完全平方公式，平方差公式，逐项判断即可. 【详解】对于A，由，是方程的两根，则， ，即，解得， 此时，符合题意，因此，A错误； 对于B，由，，得，， ，B正确； 对于C，由选项B及已知得，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BD 【变式3-1】.（23-24高一上·四川成都·期末）若，且是方程的两实根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】根据同角平方和的关系即可结合韦达定理求解. 【详解】由于是方程的两实根，所以， 又，所以， 故， 由于，，所以，故，因此，所以， 故选：D 【变式3-2】.（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】C 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】将 两边平方，可得，计算进而可求解. 【详解】将 两边平方，得， 即，所以， 所以 故选：. 【变式3-3】.（24-25高一下·四川乐山·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】将已知等式平方后结合同角的三角函数关系可得. 【详解】， 即. 故答案为：. 【变式3-4】.（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，求下列各式的值. (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）（2）先应用诱导公式化简条件，再利用与关系求目标函数式的值. 【详解】（1）由题设，则， 所以； （2）由，又， 所以，则. 【考点题型四】给定角或者三角函数值，求三角函数值（） 【例4】（24-25高一下·江苏·期中）已知，，则 ． 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的正弦公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】先根据的范围求出的范围，再利用三角函数的平方关系求出的值，最后结合二倍角公式和诱导公式求出的值. 【详解】已知，则，所以. 又因为，所以. 根据三角函数平方关系，可得： 可得： 因为，所以. 再根据二倍角公式，可得： ① 又因为 ② 联立①②求解，因为，所以，. 由①得，代入②可得： 设（），则，两边同时乘以得： ，解得或，即或. 由于，则可以再缩小，因此. 因此.由于， 而 ， ， 则. 故答案为：. 【变式4-1】.（浙江省浙南名校2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】给值求值型问题、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的余弦公式、诱导公式五、六 【分析】利用同角三角函数的基本关系式以及诱导公式、二倍角公式，计算求解. 【详解】解法一：因为，所以. 因为， 所以. 解法二：令，则，， 所以. 故选：D. 【变式4-2】.（2025·黑龙江大庆·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】诱导公式二、三、四、二倍角的余弦公式 【分析】由诱导公式以及余弦函数的二倍角公式，可得答案. 【详解】 . 故选：A. 【变式4-3】.（24-25高二下·湖南长沙·期中）已知，则 . 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】变形后用余弦二倍角公式进行求解. 【详解】. 故答案为： 【变式4-4】.（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）（1）已知，在第三象限，求，的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1），；（2）. 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正、余弦齐次式的计算、已知弦（切）求切（弦） 【分析】（1）利用同角公式求解. （2）利用齐次法计算得解. 【详解】（1）由在第三象限，得，而， 所以，. （2）由，得. 【考点题型五】给定三角函数值，求角（） 【例5】（23-24高一下·江西赣州·阶段练习）已知，，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】给值求角型问题、已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】借助角所在象限，利用同角三角函数基本关系与两角和的余弦公式计算即可得. 【详解】由，，则， ， ， 则， 故. 故选：A. 【变式5-1】.（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知，是方程的两根，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、给值求角型问题 【分析】由题意得出韦达定理，利用和角的正切公式求出的值，结合角的范围确定的值即可. 【详解】由题意，， 则， 因，则，故. 故选：C. 【变式5-2】.．（24-25高一下·四川绵阳·期中）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求角型问题、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】先根据角的范围和题设条件求出与的值，再由和角的余弦公式求出，即可求得. 【详解】由可得， 因，则， 又，则， 因， 则， 故 ， 因，故. 故选：B. 【变式5-3】.（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，，，，则的值为 . 【答案】 【知识点】给值求角型问题 【分析】由条件可得，从而得到的值，再由的范围，即可得到结果. 【详解】因为，，则， 所以， 则， 且，，， 则. 故答案为： 【变式5-4】.（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知，，且，. (1)的值； (2)的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的余弦公式、给值求角型问题、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）先根据求出，利用齐次化求值的处理方法转化为即可求解； （2）结合（1）的结果，先缩小的范围，得到的范围，然后分别算出，的值进一步缩小的范围，然后结合其正弦值得出答案. 【详解】（1）根据两角差的正切公式，，解得， （2）注意到，则，，于是， 结合（1）结果，则， ，则，由可知. 于是， ， 故是第一象限角， ，，则， 于是 【考点题型六】逆用两角和差公式（） 【例6】（24-25高一下·江西上饶·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】逆用两角差的正切公式，即可求得答案. 【详解】． 故选：A. 【变式6-1】.（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、诱导公式二、三、四 【分析】根据两角差的余弦公式求解． 【详解】， 故选：B． 【变式6-2】.（23-24高一下·江西·期中） （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用两角和的余弦公式求解即可. 【详解】. 故选：B 【变式6-3】.（2025·江西·一模）化简（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】诱导公式五、六、逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用两角和的正切公式结合诱导公式化简原式，求出结果即可. 【详解】由两角和的正切公式得 由诱导公式得， 则原式可化为，故D正确. 故选：D. 【变式6-4】.（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用正切的和角公式，逆用即可求出结果. 【详解】 . 故选：B. 【考点题型七】三角函数综合（选填）（） 【例7】（多选）（24-25高一下·江西上饶·期中）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．当取得最大值时， D．当取得最大值时， 【答案】ABD 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式 【分析】现根据两角和的正弦公式和辅助角公式可得，，，进而根据正弦型函数的性质可得. 【详解】由题意得， ， 其中，， 故的最小正周期为，值域为，故A，B正确； 当取得最大值时，， ， ，故C错误，D正确， 故选：ABD 【变式7-1】.（2025·江西鹰潭·二模）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】由同角的三角函数关系结合已知建立方程，解出的正余弦，再由两角和的正弦公式求解即可. 【详解】，即， 整理可得， 因为，，所以， 所以. 故选：A 【变式7-2】.（2025·江西南昌·二模）已知、终边不重合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二倍角的正切公式、和差化积公式 【分析】由，代入已知等式，利用两角和、差的正弦、余弦公式化简得出的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值. 【详解】因为，所以， 即 ， ， 所以，， 因为、的终边不重合，则，则， 所以，则，所以， 因此，. 故选：D. 【变式7-3】.（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数，则其最大值与最小值之差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求cosx(型)函数的值域、辅助角公式 【分析】化简函数的解析式，利用正弦函数、余弦函数的基本性质可求出的最大值和最小值，即可得解. 【详解】因为， 当时，即当时， ，即， 此时，； 当时，即当时， ，则， 此时，， 所以，函数的值域为，即，， 因此，函数最大值与最小值之差为. 故选：C. 【变式7-4】（2025·江西·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】由题意，利用两角和与差的正弦公式可求得，再利用二倍角公式即可求得. 【详解】因为， 则，即， 所以， 则. 故选：B. 【考点题型八】三角函数综合（解答）（） 【例8】（24-25高三上·山西·阶段练习）已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数. (1)若，求的值域； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）通过三角函数恒等变换化简 ，然后根据平移和偶函数的性质求解得； （2）根据解得，然后结合公式求解； 【详解】（1） ， 设将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为， 则， 由题意得为偶函数，所以， 解得， 又，所以，所以. 当时，， 所以， 所以，即的值域为. （2）因为， 所以，即， 所以，即， 又， 所以. 所以. 【变式8-1】.（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知角为第三象限角，且 (1)求的值； (2)化简求值：. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式、已知弦（切）求切（弦） 【分析】（1）根据平方关系和商数关系求出，，代入即可; （2）利用诱导公式化简即可得出答案. 【详解】（1）由题得，又角为第三象限角， 解得，，所以原式； （2）原式. 【变式8-2】.（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数的最小值为. (1)求的值； (2)求在上的单调递增区间； (3)若，，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）根据题意，化简得到，由的最小值为，列出方程，即可求解； （2）由，可得，结合正弦函数的性质，列出不等式，即可求解； （3）由，求得，进而得到，结合正弦的倍角公式，得到，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 因为函数的最小值为，可得，解得. （2）解：由（1）知：， 因为，可得， 令和，解得和， 所以函数在上的单调递增区间为. （3）解：由（1）知，， 因为，可得，所以， 又因为，可得， 因为，可得，所以， 则. 【变式8-3】.（23-24高一下·江西新余·阶段练习）已知函数. (1)求关于x的不等式的解集； (2)若函数在区间上的值域为，求值域. 【答案】(1) (2) 【知识点】解正弦不等式、求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、二倍角的余弦公式 【分析】（1）利用两角差的正弦以及二倍角公式化简可得，再由三角函数图象性质解不等式可得结论； （2）根据函数在区间上的值域为可得，再由正弦函数性质可得值域为. 【详解】（1）由二倍角公式可得 ， 由可得，解得； 利用三角函数图象性质可得， 解得， 所以不等式的解集为. （2）若函数在区间上的值域为，可知； 易知，因此， 可得， 所以，显然， 因此，可得， 即值域为. 【变式8-4】.（23-24高三下·北京·开学考试）已知函数，. (1)求的最小值； (2)设，求的取值范围， 【答案】(1) (2) 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、求含sinx（型）的二次式的最值、求含cosx的二次式的最值 【分析】（1）根据列方程，解方程得到，然后利用换元法求最小值即可； （2）利用诱导公式和和差公式化简得到，然后利用同角三角函数基本公式和换元法求范围即可. 【详解】（1），解得， 所以， 令，则，， 则函数在上单调递增，上单调递减， 所以当，即时，取得最小值，最小值为. （2） ， 令，则，， ， 所以当时，即取得最小值，为； 当时，即取得最大值，为， 所以的范围为. 【考点题型九】三角函数中的恒（能）成立问题（） 【例9】（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. (1)设函数，试求函数的相伴特征向量的坐标； (2)记向量的相伴函数为. （I）当且时，求的值； （II）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（I）   （II） 【知识点】三角恒等变换的化简问题、函数不等式恒成立问题、给值求值型问题 【分析】（1）利用两角差的正弦公式及两角和的余弦公式化简函数解析式，再结合函数的相伴特征向量的定义即可求解； （2）（I）根据题意先求得函数的解析式，结合已知条件求得的值，进而求得的值，通过配角的方法并结合两角差的正弦公式即可求解； （II）通过诱导公式化简原式，通过分类讨论的正负，通过参变分离法转化为最值问题即可求解. 【详解】（1）， ∴由题可知：函数的相伴特征向量的坐标. （2）由题可知：向量的相伴函数. （I），，即. ，，. ； （II）当时，不等式可化为，即恒成立. ，. 当，即时，，恒成立，. ，，； 当，即时，，，不等式恒成立； 当，即时，，恒成立，. ，，. 综上，实数的取值范围为.. 【点睛】恒成立问题多参变分离后转化为最值问题，通过分类讨论等方法快速求出参数范围. 【变式9-1】.（24-25高一上·江西·阶段练习）已知函数，对，有 (1)求的值及的单调递增区间； (2)在中，已知，求角； (3)将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若，，求实数的取值范围． 【答案】(1)，单调递增区间为， (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式、已知三角函数值求角、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）将利用诱导公式化简，根据求出的值，再利用整体法求出单调增区间即可； （2）由求解即可； （3）根据平移和伸缩变换得到，令，则，即利用换元法转化为，，求出在上的最小值，得到不等式，求解即可. 【详解】（1）， 对，有，故， 所以，，解得，， 因为，所以， 则，令，， 解得，， 所以的单调递增区间为，； （2）， 因为，所以， 故，解得； （3）将图象上的所有点，向右平移个单位后， 得到， 再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到， 因为，， 即，， 所以. 令， 因为，所以，所以， 则， 则， 故，， 因为，当时，取得最小值，最小值为， 所以，解得或， 故实数的取值范围为. 【变式9-2】.（23-24高一下·江西九江·阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为； (2) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期、函数不等式恒成立问题、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，公式法求最小正周期，整体代入法求单调递增区间； （2）求在上的值域，依题意有且，代入可求实数的取值范围. 【详解】（1）， 则的最小正周期， 由，解得， 所以的单调递增区间为； （2）时，，， 若在上恒成立，则在上恒成立， 有且，即，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式9-3】.（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知向量，设函数. (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)若在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)最小正周期为；增区间为，； (2) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、数量积的坐标表示、三角恒等变换的化简问题、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）利用向量坐标运算法则及三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性，得出结论. （2）利用正弦函数的定义域和值域，求得的范围，利用方程有解建立方程，即可求得的范围. 【详解】（1）由题可得 ， 所以函数的最小正周期； 因为函数的单调增区间为，， 所以，，解得，， 所以函数的单调增区间为，； （2）由（1）可知，在区间上，， 则，所以. 若在区间上有解，则，解得或， 所以实数的取值范围. 【变式9-4】.（23-24高三上·重庆永川·期中）已知，求： (1)的最小正周期及单调递增区间； (2)时，恒成立，求实数的范围． 【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为， (2) 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简的解析式，再根据最小正周期及单调递增区间的公式求解出结果； （2）先求出在上的最小值，从而可知的最小值，再将问题转化为“”，由此求解出的取值范围. 【详解】（1）， 的最小正周期， 由，， 可得，， 函数的单调递增区间为，． （2），， 在上单调递增，在上单调递减，且， ，， 当即，， 要使恒成立，则，即，可得， 故实数的范围是． 【考点题型十】三角函数中零点问题（） 【例10】（24-25高三上·河南·阶段练习）已知向量，函数. (1)求的最小正周期; (2)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【知识点】数量积的坐标表示、三角恒等变换的化简问题、正、余弦型三角函数图象的应用、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）首先利用数量积公式和二倍角公式，辅助角公式，化简函数，再求周期； （2）由题意转化为与函数在区间上的图象恰有两个交点，利用整体代入的方法，结合正弦函数的图象，即可求解. 【详解】（1）， 的最小正周期； （2）由题知在区间上恰有两个不同的实数根， 即函数在区间上的图象与直线恰有两个交点， 令， 作出的图象与直线，如图. 由图知，当时，的图象与直线有两个交点， 实数的取值范围为. 【变式10-1】.（24-25高一下·北京·期中）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若函数的零点为，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、给值求值型问题、诱导公式五、六、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简，结合整体法可求的单调递增区间； （2）由题意知，再通过“配角”并运用诱导公式求解即可. 【详解】（1）， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （2）由（1）得， 因为函数的零点为，所以. 【变式10-2】.（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知函数，且. (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有2个实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求图象变化前（后）的解析式、根据函数零点的个数求参数范围、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，再利用方程求解的值，进而得函数解析式； （2）根据图象变换得的解析式，再画出函数在区间上的图象，将方程的解的个数转化为两个函数图象交点个数，即可根据图象求实数的取值范围. 【详解】（1） . 由，得， 即或， 则，解得， 又因为，所以当时，； 则. （2）将函数的图象向右平移个单位长度后得， 再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得函数. 由，得， 当时，函数单调递增，此时， 当时，函数单调递减，此时， 函数在上的图象，如图所示： 因此，若关于的方程在区间上有2个实数解，则. 【变式10-3】.（24-25高一下·湖北孝感·期中）已知函数的图象的两条相邻对称辅之间的距离为， (1)求函数在区间上的单调递减区间； (2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)或. 【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、求sinx型三角函数的单调性、由正弦（型）函数的周期性求值、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，利用正弦型函数对称性和周期性求出系数，从而得到函数解析式，整体代入求单调区间即可； （2）数形结合分析，将问题转化成一元二次方程在区间上只有一个实数根，构造不等式求解即可. 【详解】（1）因为 由图象的两条相邻对称轴之间的距离为，得函数的最小正周期为， 由，得，所以， 令，解得， 所以函数在区间上的单调递减区间为. （2）因为，则， 由（1）知在上单调递增，在上单调递减，的函数值从0递增到1，又从1递减回0，如图所示，    令则， 依题意得方程在上仅有一个实根，且此根应该在区间上， 令，因为 则需或，解得或 所以实数m的取值范围是或． 【变式10-4】.（24-25高一下·四川资阳·阶段练习）已知函数． (1)将化简成的形式； (2)求函数的单调增区间； (3)若函数在区间上恰有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围、三角恒等变换的化简问题、正弦函数图象的应用 【分析】（1）根据二倍角的正余弦公式结合辅助角公式以及两角差的正弦公式，化简即可得出答案； （2）根据正弦函数的单调性结合复合函数的单调性，列出不等式，求解即可得出答案； （3）令，根据已知求得.原问题等价于函数与的图象在区间上恰有一个交点.作出函数在区间上的图象，结合图象即可得出答案. 【详解】（1） . （2）由可得， ， 所以，函数的单调增区间为. （3）令， 因为，所以. 函数在区间上恰有一个零点， 可转化为函数与的图象在区间上恰有一个交点， 等价于函数与的图象在区间上恰有一个交点. 作出函数在区间上的图象如下图 由图象可知，当或时，函数与的图象在区间上恰有一个交点， 即函数在区间上恰有一个零点. 所以，的取值范围为：或 【考点题型十一】三角函数中零点代数和问题（） 【例11】（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数 (1)求函数在区间上的单调递减区间； (2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向上平移个单位，得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根、、，求实数的取值范围和的值. 【答案】(1) (2)， 【知识点】正弦函数图象的应用、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式为，由求出的取值范围，再利用正弦型函数的单调性可求出函数在区间上的单调递减区间； （2）利用三角函数图象变换可得出，令，，则函数与函数在时的图象有三个交点，数形结合可得出实数的取值范围，再利用正弦型函数的对称性可求得的值. 【详解】（1）解： ， 因，则， 又在上单调递增，在上单调递减， 由可得， 即函数在区间上的单调递减区间为. （2）解：将函数的图象上所有的点向右平移个单位， 可得到函数的图象， 再把所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得到函数的图象， 再将所得图象向上平移个单位，可得到函数的图象， 当时，，令， 则，令， 令，可得，其中， 作出函数与函数在时的图象如下图所示：      由图可知，当时，函数与函数在时的图象有三个交点， 设，其中， 则点与点关于直线对称，点与点关于直线对称， 所以，，，则， 所以，，解得. 【变式11-1】.（2025高一下·全国·专题练习）已知函数的最大值为2． (1)求常数的值； (2)求函数的单调递减区间和对称轴方程； (3)把函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象．若方程在上恰好有两个不同的根，求的值． 【答案】(1)； (2)单调递减区间为；对称轴为； (3). 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、二倍角的正弦公式、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求函数的零点 【分析】（1）根据已知有，即可求参数； （2）由正弦型函数的性质求单调减区间和对称轴； （3）由图象平移写出解析式，再由已知及正弦型函数的对称性得，最后应用平方关系、诱导公式、二倍角正弦公式求函数值. 【详解】（1）因为，所以，解得； （2）因为， 由，解得， 所以函数的单调递减区间为； 由，可得， 所以函数的对称轴为； （3）由题意，得， 因为，所以， 由，可得，所以， 由正弦函数的对称性，知，所以， 且，，， 所以 ． 【变式11-2】.（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知函数． (1)求的值； (2)若，求的值域； (3)若关于x的方程有三个连续的实数根，且，，求a的值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）逆用二倍角公式化简函数解析式，再运用辅助角公式，代值计算即得； （2）将看成整体角，由求得，判断的单调性，求得函数的值域，继而得的值域； （3）结合函数的图象，得和，，求得，，由方程即可求得值. 【详解】（1）， ． （2）因，取则，因在上单调递增，在上单调递减， 而，故．则，的值域为． （3）       如图，因的周期为， 当时，，代入得 ，无解； 由题意可知：，代入得：． 由，，可得，． 由，，代入，解得，． ，， 当时，，； 当时，， 故的值为． 【变式11-3】.（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的最大值和最小值； (3)若在区间上恰有两个零点、，求. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）由图象可得出函数的最小正周期，可求出的值，再由结合的取值范围可求得的值，即可得出函数的解析式； （2）由求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得函数的最大值和最小值； （3）求出函数图象在内的对称轴方程，可得出，得，，利用诱导公式可求得的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】（1）由图象可知，函数的最小正周期满足，则，， 所以，，则，可得， 因为，则，所以，，解得， 因此，. （2）因为，则，所以，，即， 所以的最大值为，最小值为. （3）因为，当时，， 令，所以， 因为在区间上恰有两个零点、， 函数图象在区间内的对称轴为直线， 由正弦型函数的对称性可知，点、关于直线对称，则， 所以， 由得，， 所以， 所以. 【变式11-4】.（22-23高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数任意相邻两个对称轴之间的距离为． (1)求的值并求函数的对称轴方程； (2)若方程在上有两个不同的实根、，求的取值范围和的值． 【答案】(1)，函数的对称轴方程为 (2)， 【知识点】正弦函数图象的应用、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、辅助角公式 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，求出函数的最小正周期，可求得的值，再利用正弦型函数的对称性可求得函数的对称轴方程； （2）分析可知方程在的根的个数等于函数与函数在上的图象交点的个数，数形结合可得出实数的取值范围，利用正弦型函数的对称性可求得的值. 【详解】（1）解：因为，， 因为函数图象的任意相邻两个对称轴之间的距离为， 所以，函数的最小正周期为，则， 所以，， 由，解得， 所以，函数的对称轴方程为. （2）解：因为，则， 方程即，， 方程的根的个数也即函数与函数在上的图象交点的个数， 如下图所示：    由图象可知，当时，即当时， 函数与函数在上的图象有两个交点， 由可得， 结合图形可知，点、关于直线对称， 所以，. 提升训练 1．（24-25高一下·江西上饶·期中）已知，均为锐角，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据条件，利用平方关系求出，，构角，再利用正弦的差角公式，即可求解. 【详解】由，均为锐角，得，又，， 则，， 所以， 故选：C. 2．（24-25高一下·陕西·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——诱导公式、已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】结合诱导公式求得，根据角的范围，利用平方关系求得，即可求出结果. 【详解】由题知，， 所以，， 又，所以， 所以， 所以. 故选：B 3．（2025·江西景德镇·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用两角和的余弦公式得到，再利用弦化切化简原式代入即可求得结果. 【详解】 由，可得， ∴， 故选：C． 4．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式来求得正确答案. 【详解】， 所以， 所以， ， 所以. 故选：D 5．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用两角和与差的正弦余弦公式将展开，两边同时除以，再利用两角差的正切公式计算即可. 【详解】， ， 两边同时除以， ， ， ， ，解得，. 故选：C 6．（24-25高三下·江西·阶段练习）已知函数的图象关于点对称，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】解法一：根据已知条件恒成立，将函数表达式代入，通过三角函数公式展开并整理，得到一个关于与的等式.因为该等式恒成立，所以与的系数都为，由此可求出的值.再将代入函数，化简后根据正弦函数性质求最大值. 解法二：利用已知条件，取特殊值，代入得到关于的方程，解出.然后将代入函数化简，同样根据正弦函数性质求最大值. 【详解】解法一：由题意，得恒成立，即恒成立， 整理，得恒成立，所以，从而， 故当，，即时，取得最大值. 解法二：由题意，得，解得， 所以， 故当，即时，取得最大值. 故选：D. 7．（2025·江西鹰潭·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】由条件求得，进而得到，再由余弦二倍角公式即可求解. 【详解】由，可得：， 又，所以， 所以， 所以， 故选：A 8．（2024·江西上饶·一模）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求二次函数的值域或最值、二倍角的余弦公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】先利用三角函数的相关公式将函数化简，再根据换元法，结合正弦函数的值域和二次函数值域来确定原函数的值域. 【详解】. 令，，此时函数变为. 对于二次函数，其对称轴为. 当时，. 当时，. 所以在上的值域是. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一下·江西南昌·期中）下列各式的值正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【分析】对于A，由二倍角正弦公式即可计算求解；对于B，由诱导公式结合两角和的余弦公式即可计算求解；对于C，平方并结合二倍角正弦公式即可计算求解；对于D，由两角和正切公式即可计算求解. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项， ，B对； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，因为， 所以， 故 ，D对． 故选：BCD． 10．（2025·江西宜春·二模）已知函数，则（    ） A．函数是偶函数 B．函数的图象关于直线对称 C．的最小值为 D．在上单调递减 【答案】BD 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的最值、求余弦（型）函数的奇偶性、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】利用两角和差余弦公式化简，进而由三角函数的奇偶性可判断A，由三角函数的对称性可判断B，由三角函数的最值可判断C，由三角函数的单调性可判断D. 【详解】， 不是偶函数，故A错误； 令，则，当时，， 所以是函数的对称轴，故B正确； ，故C错误； 令，则， 当时，，故在上单调递减，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 11．（2024·江西九江·二模）已知锐角满足，则 ． 【答案】/ 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、已知弦（切）求切（弦） 【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式以及倍角公式，准确化简，即可求解. 【详解】因为锐角满足，即，且， 由. 故答案为：. 12．（23-24高一下·江西九江·阶段练习）已知，且，那么 . 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六、诱导公式二、三、四 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及同角公式计算即得. 【详解】由，，得， 所以. 故答案为： 四、解答题 13．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化弦为切，再代入计算即可； （2）先运用诱导公式化简，再利用代换化为的齐次分式并化弦为切代入计算即可. 【详解】（1） （2）. 14．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知函数，xR. (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最小值并指出此时的取值； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2)时，有最小值 (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用三角函数恒等变换得到，求出最小正周期； （2）求出，数形结合得到函数的最小值及此时的取值； （3）根据题目条件得到，根据同角三角函数关系得到，再由凑角法和余弦和角公式计算出答案. 【详解】（1） ， ，的最小正周期为 . （2）因为，所以， 当，时， 故有最小值，此时； （3）因为，所以， 又因为，所以， 故， 由，可得， . 15．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期和单调增区间； (2)若，求的值. 【答案】(1)，递增区间为 (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用两角和差公式、特殊角的三角函数值进行展开，再利用二倍角公式、辅助角公式进行化简，利用周期公式来计算周期，利用整体替换的方法求函数的单调增区间； （2）利用函数等式，求得特殊函数值的余弦值，通过平方关系计算正弦函数值，利用两角差的正弦公式展开代入可计算得出结果. 【详解】（1） 故最小正周期为， 令得， 所以的递增区间为 （2）. 又因为，所以 故 16．（24-25高一下·湖南邵阳·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为3. (1)求； (2)求在区间上的单调递增区间； (3)将的图象上所有的点向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的图象，若且，求的值. 【答案】(1)0 (2)与. (3)2 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求sinx型三角函数的单调性、辅助角公式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】（1）由降幂公式结合辅助角公式对函数化简，再结合正弦函数的值域可得； （2）由正弦函数的单调性整体代入后，给赋值可得； （3）先由图象平移的性质得到，再由正弦函数的对称性可得. 【详解】（1）. 当时，， 且当时，取得最大值，即解得. （2）由（1）知. 令，得， 当时，；当时，；当时，. 又在区间上的单调递增区间为与. （3）将的图象上所有的点向下平移1个单位长度得到的图象， 再向右平移2个单位长度得到的图象， 即. 令，得， 的图象在内的对称轴为直线. 因且则， . 17．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且的面积. (1)求； (2)已知，若，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、辅助角公式 【分析】（1）由三角形的面积公式、余弦定理，化简计算即可； （2）利用三角恒等变换化简得，进而求得的范围，可求的取值范围. 【详解】（1）由已知可得， ， 由余弦定理可得又， . （2）， 因为，所以， 所以， 所以， 又，，所以， 所以的取值范围为. 18．（22-23高一下·江苏常州·阶段练习）已知向量．设函数 (1)求函数的解析式及其单调增区间； (2)设，若方程在上有两个不同的解，求实数m的取值范围，并求的值． (3)若将的图象上的所有点向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．当（其中）时，记函数的最大值与最小值分别为与，设求函数的解析式． 【答案】(1)， (2)，； (3). 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据向量的数量积公式及三角恒等变换化简得出，再求其单调增区间即可； （2）当时，方程有两个不同的解，，结合函数单调性和最值得出实数的取值范围； （3）根据图象变化得出函数，在给定区间上求出函数的最大值与最小值，得到函数即可. 【详解】（1）由题意可知 ． 所以. 由，可得， 函数的单调增区间为； （2）， ，得， 在区间上单调递增， 同理可求得在区间上单调递减， 且的图象关于直线对称，方程即， 当时，方程有两个不同的解， 由单调性知，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且， 当时，方程有两个不同的解， ，实数的取值范围是． 又的图象关于直线对称， ，即． （3）将的图象上的所有的点向左平移个单位，可得函数， 再把所得图象上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到函数， ， ①若，此时； ②若， 此时； ③若， 此时； ④若， 此时． 综上． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06 第四章 三角恒等变换 （7个考点梳理+11题型解读+提升训练） 清单01 同角三角函数的基本关系 1、平方关系： 2、商数关系:（，） 清单02 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 清单03两角和与差的正弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 清单04 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 清单05 二倍角正弦余弦公式 ① ②； ； ③ 清单06 半角公式 ① ② ③ 清单07 辅助角公式 (其中) 【考点题型一】，，知一求二（） 【例1】（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知为第四象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】.（24-25高一下·上海长宁·期中）已知是第四象限角，且，则 ． 【变式1-3】.（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知是第四象限角，且 ，那么的值为 【变式1-4】（24-25高一下·上海·阶段练习）已知是第四象限角，，则 . 【考点题型二】已知,求关于和的齐次式的值（） 【例2】（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【变式2-1】.（24-25高一下·陕西安康·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】.（24-25高一下·广东茂名·期中）已知，那么（   ）. A． B． C． D． 【变式2-3】.（24-25高一下·辽宁·阶段练习）已知，则 ． 【变式2-4】.（24-25高一下·江西上饶·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【考点题型三】利用,与之间的关系求值（） 【例3】（多选）（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】.（23-24高一上·四川成都·期末）若，且是方程的两实根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】.（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【变式3-3】.（24-25高一下·四川乐山·阶段练习）已知，则 . 【变式3-4】.（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，求下列各式的值. (1)； (2). 【考点题型四】给定角或者三角函数值，求三角函数值（） 【例4】（24-25高一下·江苏·期中）已知，，则 ． 【变式4-1】.（浙江省浙南名校2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】.（2025·黑龙江大庆·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】.（24-25高二下·湖南长沙·期中）已知，则 . 【变式4-4】.（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）（1）已知，在第三象限，求，的值； （2）已知，求的值. 【考点题型五】给定三角函数值，求角（） 【例5】（23-24高一下·江西赣州·阶段练习）已知，，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【变式5-1】.（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知，是方程的两根，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】.．（24-25高一下·四川绵阳·期中）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】.（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，，，，则的值为 . 【变式5-4】.（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知，，且，. (1)的值； (2)的值. 【考点题型六】逆用两角和差公式（） 【例6】（24-25高一下·江西上饶·期中）（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】.（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】.（23-24高一下·江西·期中） （   ） A． B． C． D． 【变式6-3】.（2025·江西·一模）化简（    ） A． B． C．1 D． 【变式6-4】.（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）的值为（    ） A． B． C．3 D． 【考点题型七】三角函数综合（选填）（） 【例7】（多选）（24-25高一下·江西上饶·期中）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．当取得最大值时， D．当取得最大值时， 【变式7-1】.（2025·江西鹰潭·二模）若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】.（2025·江西南昌·二模）已知、终边不重合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】.（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数，则其最大值与最小值之差为（    ） A． B． C． D． 【变式7-4】（2025·江西·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型八】三角函数综合（解答）（） 【例8】（24-25高三上·山西·阶段练习）已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数. (1)若，求的值域； (2)若，求的值. 【变式8-1】.（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知角为第三象限角，且 (1)求的值； (2)化简求值：. 【变式8-2】.（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数的最小值为. (1)求的值； (2)求在上的单调递增区间； (3)若，，求的值. 【变式8-3】.（23-24高一下·江西新余·阶段练习）已知函数. (1)求关于x的不等式的解集； (2)若函数在区间上的值域为，求值域. 【变式8-4】.（23-24高三下·北京·开学考试）已知函数，. (1)求的最小值； (2)设，求的取值范围， 【考点题型九】三角函数中的恒（能）成立问题（） 【例9】（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. (1)设函数，试求函数的相伴特征向量的坐标； (2)记向量的相伴函数为. （I）当且时，求的值； （II）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式9-1】.（24-25高一上·江西·阶段练习）已知函数，对，有 (1)求的值及的单调递增区间； (2)在中，已知，求角； (3)将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若，，求实数的取值范围． 【变式9-2】.（23-24高一下·江西九江·阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【变式9-3】.（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知向量，设函数. (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)若在区间上有解，求实数的取值范围. 【变式9-4】.（23-24高三上·重庆永川·期中）已知，求： (1)的最小正周期及单调递增区间； (2)时，恒成立，求实数的范围． 【考点题型十】三角函数中零点问题（） 【例10】（24-25高三上·河南·阶段练习）已知向量，函数. (1)求的最小正周期; (2)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 【变式10-1】.（24-25高一下·北京·期中）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若函数的零点为，求． 【变式10-2】.（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知函数，且. (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有2个实数解，求实数的取值范围. 【变式10-3】.（24-25高一下·湖北孝感·期中）已知函数的图象的两条相邻对称辅之间的距离为， (1)求函数在区间上的单调递减区间； (2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 【变式10-4】.（24-25高一下·四川资阳·阶段练习）已知函数． (1)将化简成的形式； (2)求函数的单调增区间； (3)若函数在区间上恰有一个零点，求实数的取值范围． 【考点题型十一】三角函数中零点代数和问题（） 【例11】（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数 (1)求函数在区间上的单调递减区间； (2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向上平移个单位，得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根、、，求实数的取值范围和的值. 【变式11-1】.（2025高一下·全国·专题练习）已知函数的最大值为2． (1)求常数的值； (2)求函数的单调递减区间和对称轴方程； (3)把函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象．若方程在上恰好有两个不同的根，求的值． 【变式11-2】.（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知函数． (1)求的值； (2)若，求的值域； (3)若关于x的方程有三个连续的实数根，且，，求a的值． 【变式11-3】.（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的最大值和最小值； (3)若在区间上恰有两个零点、，求. 【变式11-4】.（22-23高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数任意相邻两个对称轴之间的距离为． (1)求的值并求函数的对称轴方程； (2)若方程在上有两个不同的实根、，求的取值范围和的值． 提升训练 1．（24-25高一下·江西上饶·期中）已知，均为锐角，且，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·陕西·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江西景德镇·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·江西·阶段练习）已知函数的图象关于点对称，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 7．（2025·江西鹰潭·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2024·江西上饶·一模）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·江西南昌·期中）下列各式的值正确的是（ ） A． B． C． D． 10．（2025·江西宜春·二模）已知函数，则（    ） A．函数是偶函数 B．函数的图象关于直线对称 C．的最小值为 D．在上单调递减 三、填空题 11．（2024·江西九江·二模）已知锐角满足，则 ． 12．（23-24高一下·江西九江·阶段练习）已知，且，那么 . 四、解答题 13．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知. (1)求的值； (2)求的值. 14．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知函数，xR. (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最小值并指出此时的取值； (3)若，求的值. 15．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期和单调增区间； (2)若，求的值. 16．（24-25高一下·湖南邵阳·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为3. (1)求； (2)求在区间上的单调递增区间； (3)将的图象上所有的点向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的图象，若且，求的值. 17．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且的面积. (1)求； (2)已知，若，，求的取值范围. 18．（22-23高一下·江苏常州·阶段练习）已知向量．设函数 (1)求函数的解析式及其单调增区间； (2)设，若方程在上有两个不同的解，求实数m的取值范围，并求的值． (3)若将的图象上的所有点向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．当（其中）时，记函数的最大值与最小值分别为与，设求函数的解析式． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$