专题05 第二章 解三角形（3考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）（期末复习知识清单）高一数学下学期北师大版

清单05 第二章 解三角形 （3个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01 正弦定理 （1）正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 （2）正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤ ④，，（可实现边到角的转化） ⑥ ⑤，，（可实现角到边的转化） 清单02 三角形面积公式 ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 清单03 余弦定理 （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； 【考点题型一】解三角形（） 【例1】（24-25高一下·江西上饶·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】用余弦定理代入计算即可. 【详解】因为，则设，则，， 所以． 故选：D. 【变式1-1】（24-25高一下·江西·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】已知两边及其一边的对角，利用正弦定理可解得另一边对角的正弦值，分析边角的大小关系，可解得答案. 【详解】在中，，，， 由正弦定理得，即，解得， 又，所以，所以. 故选：B． 【变式1-2】.（2025·江西新余·模拟预测）在中，角对应的边分别为，若，，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、正弦定理解三角形 【分析】利用同角公式及和角的余弦公式求出，再利用正弦定理求解. 【详解】在中，由，，得，， ， 则，由正弦定理，得. 故选：B 【变式1-3】.（2024·江西新余·模拟预测）已知△的角的对边分别为且，若，，则 . 【答案】 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、余弦定理解三角形 【分析】先根据同角三角函数关系化简得出，再应用正弦定理边角转化及余弦定理代入求解即可. 【详解】因为， ，代入，，则可得：. 故答案为：. 【变式1-4】（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，，，，则等于 . 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理可得边长. 【详解】在中，，，，，则， 由正弦定理，即，解得， 故答案为：. 【考点题型二】判断三角形的形状（） 【例2】（多选）（24-25高一下·陕西榆林·期中）已知的内角，，所对的边分别是，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则一定是钝角三角形 B．若，则一定是等腰三角形 C．若，则一定是直角三角形 D．若，则一定是锐角三角形 【答案】AB 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状、用定义求向量的数量积 【分析】应用内角和及诱导公式可判断A；应用正弦定理及正弦的差角公式可判断B；应用诱导公式可判断C；应用数量积的含义及锐角三角形的定义可判断D. 【详解】A选项：，则，且， 则，A选项正确； B选项：，由正弦定理， 可得， 整理可得，则， 且B、A均为三角形内角，则符合条件，即，三角形等腰，B选项正确； C选项：，则或， 即或，三角形为等腰或者直角三角形，C选项错误； D选项：，则仅可判断出为锐角，无法判断其他角的大小，三角形的形态不一定是锐角三角形，D选项错误. 故选：. 【变式2-1】.（24-25高一下·福建福州·期中）在中，的对边分别为，若，则的形状为（） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理将边化角，再由二倍角公式及三角函数的性质判断即可． 【详解】由题可得， 由正弦定理可得， 所以， 又，则， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形． 故选：D 【变式2-2】.（24-25高一下·陕西·期中）在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据正弦定理可得，再由已知条件判断的形状. 【详解】由正弦定理，，则， 再由则 故，即， 故，所以为等边三角形. 故选：C. 【变式2-3】.（24-25高一下·福建·期中）已知中，角所对的边分别为，设向量，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【知识点】由向量共线（平行）求参数、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据向量共线的坐标运算得，利用正弦定理以及两角差的正弦公式得到，即可判断. 【详解】在中，因为，且， 所以，由正弦定理得， 所以，即， 又，则，则， 所以，所以该三角形为等腰三角形. 故选：A 【变式2-4】.（24-25高一下·重庆江津·阶段练习）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由利用正弦定理边角互换可得，代入可得，然后利用余弦定理代入可得，然后可得答案. 【详解】因为，所以，整理得， 又，所以， 即，即， 又，所以，得， 因为，所以，所以，故为等腰非直角三角形. 故选：A 【考点题型三】三角形周长（定值）（） 【例3】（24-25高一下·江西宜春·期中）的内角的对边分别为，已知． (1)求角B的大小： (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据正弦定理即可求解； （2）利用三角形面积公式得到，结合余弦定理求得，进而得到三角形的周长. 【详解】（1）因为， 所以， 所以，所以， 因为，所以； （2）因为， 所以，由余弦定理得， 所以，所以， 所以的周长为. 【变式3-1】.（24-25高三下·江西·阶段练习）在中，角的对边分别为，若的面积为，则的周长为（    ） A． B．11 C． D． 【答案】A 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理得，由面积为解出，再由余弦定理得到，从而求得周长. 【详解】由及正弦定理，得， 因为，且，所以， 所以的面积为，解得，所以， 由余弦定理，得，所以， 所以的周长为. 故选：A. 【变式3-2】.（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角的大小； (2)若的面积为，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由，余弦定理边化角，利用同角三角函数的商数关系化简，再由正弦定理边化角，得，可得角的大小； （2）由的面积求出，再由余弦定理求出，可得的周长. 【详解】（1）中，由，得， 由余弦定理得， 即， 由正弦定理得， ，，得， ，则. （2）若的面积为，则，得， ，由余弦定理，得， 解得， 的周长为. 【变式3-3】.（2025高三下·北京·专题练习）在中，，. (1)求； (2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的周长. 条件①：的面积为；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】三角形面积公式及其应用、辅助角公式、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据已知条件，利用辅助角公式结合角的范围即可求解； （2）若选条件①，利用正弦定理面积公式求出，再利用余弦定理求出即可求解；若选条件②，先利用等腰三角形性质求出，再利用三角形内角和公式求出，最后余弦定理确定即可求解；若选条件③，先利用已知条件结合余弦定理求出，发现三角形不唯一不合要求. 【详解】（1）因为， 由辅助角公式有：， 即，因为，所以， 所以，解得. （2）选条件①：的面积为， 由正弦定理有：， 即，， 由余弦定理有：，即， 解得：，所以的周长为. 选条件②：， 因为，由，所以为等腰的三角形，所以， 因为，所以， 由余弦定理有：，即， 解得，所以的周长为. 选条件③：， 由由余弦定理有：，即， 整理得：，解得或， 此时不唯一，所以条件③不合要求. 【变式3-4】.（24-25高三下·北京·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求； (2)若的面积为，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）解法1：由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值；解法2：利用余弦定理化简得出，再利用余弦定理可求得的值； （2）由同角三角函数的基本关系可求出的值，利用三角形的面积公式可求出的值，利用余弦定理结合可得出关于的方程，可求出的值，进而可求出的值，由此可得出该三角形的周长. 【详解】（1）解法1：因为，由正弦定理得， 即， 因为，则，故； 解法2：因为，由余弦定理得， 整理得，可得， 由余弦定理可得. （2）因为，且，则， ，所以， 因为由余弦定理得， 于是， 因为，则，所以， 因此，于是的周长. 【考点题型四】三角形面积（定值）（） 【例4】（24-25高一下·江西·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． (1)求C； (2)若点D在边AB上，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理可得，可求解； （2）由，可求得，进而由（1）可求得，利用三角形面积公式可求面积. 【详解】（1）由，结合正弦定理可得， 整理得，所以， 又，所以； （2）因为，，所以， 由相似可知，又因为，所以，， 所以，所以， 由（1）得，所以， 解得或（舍去）， 所以的面积为． 【变式4-1】.（2025·江西·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，. (1)求角； (2)若边上的中线长为5，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、数量积的运算律 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解即得. （2）利用向量运算律及（1）中信息求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）在中，由及余弦定理，得， 整理得，因此，而， 所以. （2）令边上的中线为，则，又， 则， 由（1）知，于是， 所以的面积. 【变式4-2】.（2025·江西·二模）已知的内角的对边分别为．已知． (1)求角： (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理边化角，求出，结合特殊角的三角函数值，即可求得答案； （2）利用余弦定理求出，根据三角形面积公式，即可求得答案. 【详解】（1）因为，由正弦定理得 在中，，则，即， 故． （2）由余弦定值知：， 即，则， 所以． 【变式4-3】.（2025·江西赣州·一模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求证：； (2)已知，当角取最大值时，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理边角互化的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式结合正弦定理、余弦定理，即可证明结论. （2）根据余弦定理结合基本不等式可得角的最大值，即可求出三角形面积. 【详解】（1）∵，∴， ∴，即， ∴， 由得，， 由正弦定理及余弦定理得，， ∴. （2）由余弦定理得，， 当且仅当时取等号，此时取最大值，为等边三角形. 由得，. ∴的面积为. 【变式4-4】.（2025·江西南昌·一模）在中，角的对边成公差为2的等差数列． (1)若为锐角三角形，求a的取值范围； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据等差数列得到的关系，确定最大角为角，且，利用可得结果； （2）根据正弦定理得到，求出的值，利用余弦定理求出的值，进而得到的值，利用面积公式可得结果. 【详解】（1）∵是公差为2的等差数列， ∴， 由三角形三边关系得，， ∴，又∵为锐角三角形， ∴最大角， ∴，即， ∴，即，解得或， ∴. （2）∵， ∴由正弦定理可得， ∴，解得，则， ∴，∴， ∴． 【考点题型五】三角形周长（边长代数和）范围（） 【例5】（24-25高一下·四川凉山·期中）已知. (1)求函数的单调增区间； (2)若，求的值； (3)在锐角中，内角的对边分别为，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】给值求值型问题、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）先根据三角恒等变换化简，再根据正弦函数的单调性即可得解； （2）可得，再根据两角差的余弦公式及辅助角公式即可得解； （3）根据题意求出，再由结合正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理化简，进而可得出答案，注意三角形为锐角三角形. 【详解】（1） ， 令，则， 故函数的单调增区间为； （2），则， ， ； （3），则， 又，则， 故，即， ， 在锐角中，，则， 令， 则. 【变式5-1】.（24-25高一下·北京丰台·期中）在中，，． (1)求； (2)求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的正弦公式、求三角形中的边长或周长的最值或范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】（1）利用二倍角公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，由求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得周长的取值范围. 【详解】（1）因为，所以.   因为，所以，所以，故. （2）由正弦定理，可得， 所以，，所以. 因为，所以， 因为     ， 所以. 因为，所以，所以.   所以，即，所以， 即△周长的取值范围为. 【变式5-2】.（24-25高一下·浙江·阶段练习）已知是锐角三角形，分别是角的对边，且有0．若在线段上的点满足且． (1)求角的度数； (2)求证：； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式和两角和的余弦公式、诱导公式求解； （2）利用余弦定理证明； （3）利用正弦定理可得，再根据三角恒等变换公式可得，再根据正弦函数的性质即可求解范围. 【详解】（1）因为，且， ． 所以， 所以或， 因为，所以或或． 因为是锐角三角形，所以． （2） 设，则, 在中,由余弦定理可得，, 即，即， 在中,由余弦定理可得，, 即，即， 所以． 即． （3）由（2）知： ， 即， 由正弦定理可知，， 所以， ， ， 又 ． 锐角三角形， ， 所以，即， 所以的取值范围为． 【变式5-3】.（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）已知，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有． (1)求A； (2)若为锐角三角形，求B的取值范围； (3)在（2）的条件下，已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、利用不等式求值或取值范围 【分析】（1）利用余弦定理将已知条件转化为关于角的方程，解出角的值； （2）结合三角形内角和及锐角三角形的条件通过角度关系确定的范围； （3）应用正弦定理将边转化为角的正弦表达式，通过三角恒等变换化简目标式，结合角度范围求取值. 【详解】（1）由余弦定理可得：， 所以， 解得：，因为，所以. （2）为锐角三角形，所以， 所以，解得：. （3）因为，，所以由正弦定理可得：， 所以 因为，所以， 所以，所以的取值范围为. 【变式5-4】.（2025·辽宁·二模）已知锐角，角、、所对的边分别为、、，且，． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、由导数求函数的最值（不含参）、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由为锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换求出的取值范围，令，结合导数可求出的取值范围，即为所求. 【详解】（1）因为，，则， 由正弦定理得， ，所以，， 因为、，则， 所以，，即． （2）在锐角中，由，可得， 则， 又，则， 所以，的取值范围为， 又，设，设，其中， ， 由可得，由可得， 所以，在上递减，在上递增， 所以，， 又因为，，故的取值范围为， 即的取值范围为. 【考点题型六】三角形面积（最值+范围）（） 【例6】（2025·新疆喀什·模拟预测）的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由正弦定理，边化角结合二倍角公式求出，得解； （2）根据三角形面积公式，正弦定理可得，结合，进而求出面积的取值范围. 【详解】（1）因为，则，又， 所以，则， 又，所以， 因为，解得． （2）因为是锐角三角形，又， 所以， 所以 ， 因为，所以，则， 从而， 故面积的取值范围是. 【变式6-1】.（24-25高一下·广西来宾·阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)若，求外接圆的面积； (3)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】余弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围、正弦定理求外接圆半径、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据两角和差公式可得，结合正、余弦定理运算求解； （2）利用正弦定理求外接圆半径，进而可得面积； （3）利用余弦定理整理可得，结合基本不等式可得，即可得面积最值. 【详解】（1）因为， 整理可得， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得， 且，所以. （2）由正弦定理可知的外接圆半径， 所以外接圆的面积为. （3）因为， 由余弦定理可得， 可得， 由（1）可得，即， 整理可得， 且，即，解得， 当且仅当时，等号成立， 则 所以面积的最大值为. 【变式6-2】.（2025·浙江·模拟预测）在中，角所对的边分别为. (1)若外接圆的半径为，求面积的最大值； (2)若内切圆的半径为，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】基本不等式求积的最大值、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）由条件可得角，用面积公式表示出面积，用余弦定理找到、的关系式，然后用基本不等式即可求解； （2）求得角后，由内切圆的半径为，可得边长的关系式，然后用基本不等式化和为积，进而解不等式即可求解. 【详解】（1）由得，， 所以，又，所以， 所以，因为，所以； 由外接圆的半径为，则得， 由余弦定理得，，即， 所以，解得 所以，故面积的最大值为. （2）如图，圆是的内切圆，切点分别是、、，    由，内切圆的半径为，所以， 则，， 所以， 即得， 而，所以， 所以，解得舍去）， 所以， 故面积的最小值为. 【变式6-3】.（23-24高一下·浙江·期中）在中，内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若点为边上靠近的三等分点，且，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）依题意可得，在中利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，从而求出面积的最大值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理，又，所以. （2）因为点是边上靠近的三等分点， 即，所以， 在中，，由余弦定理， 即， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即面积的最大值为.    【变式6-4】.（2025高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别是，且. (1)求角； (2)若点在边上，且满足，，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、基本不等式求和的最小值、三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用三角恒等变换转化已知等式利用正弦定理、三角形内角和定理、三角恒等变换、诱导公式化简等式，即得结果； （2）设，利用三角知识求出，利用正弦定理、三角恒等变换求出，写出三角形面积的表达式利用换元法、基本不等式求得结果. 【详解】（1）由，得，即， 因为， 所以结合正弦定理得， 又，所以，所以， 所以，即， 又，所以， 所以，所以. （2）由知，设，则， 在中，，则， 在中，由正弦定理知，，得， 所以. 令，由得， 由基本不等式知， 当且仅当，即，时取等号，所以面积的最小值为. 【考点题型七】正余弦定理的实际应用（） 【例7】（24-25高一下·湖南·期中）已知海面上两点处置有距离为海里的两个灯塔，游船在点时，与两点处灯塔的距离均为2海里.游船航行一段距离后，从两灯塔间穿过并抵达点，此时在点处灯塔测得. (1)若两点的距离为海里，求的长度； (2)求两点距离的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】（1）在中，利用余弦定理可得结果； （2）当时的长度即为两点距离的最小值，在中，由正弦定理得，其中为定值，又，可得，从而得到. 【详解】（1）由题意知，， 故为以为直角顶点的等腰直角三角形，故， 又因为，且由题意得分布于直线两侧，所以， 有， 由余弦定理可得， 解得（海里）. （2）由题意知点始终位于以为起点的射线上，记该射线为. 注意到在（1）的条件下，故此时，即， 所以此时的长度即为两点距离的最小值； 由于游船从两灯塔间穿过，即与存在异于端点的交点，设为点.由正弦定理得，在中，， 其中为定值，故增大时，减小， 又因为， 因为，所以，故， 因为， 所以， 故（海里）. 【变式7-1】.（2025·河南南阳·一模）如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s. (1)设A到P的距离为xkm，求x的值； (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数在生活中的应用、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】（1）根据速度得三角形边之间关系，再根据余弦定理求结果， （2）作垂线，根据直角三角形解结果. 【详解】（1）依题意，得 ， ，所以 ， ．在 中，， 余弦定理，得 ． 同理在 中，． 由于 ， 所以 ， 解得 ． （2）作 ，垂足为 ，在 中， ． 所以目标 到海防警戒线 的距离为 ． 【变式7-2】.（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，，并在点处测得塔顶的仰角.    (1)求与两点间的距离； (2)求塔高. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】（1）根据正弦定理即可得到答案； （2）在中，根据三角函数定义即可得到答案. 【详解】（1） 在中，，由正弦定理得 ， . （2）由（1）知， 中， 【变式7-3】.（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）如图，已知两条公路，的交汇点处有一学校，现拟在两条公路之间的区域内建一工厂，在两公路旁，异于点处设两个销售点，且满足，千米，千米，设. (1)试用表示，并写出的范围； (2)当为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小即工厂与学校的距离最远注： 【答案】(1) (2)当时，工厂产生的噪声对学校的影响最小 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】（1）在中，直接由正弦定理求解即可； （2）在中，，由余弦定理求得，再由倍角公式降幂，结合辅助角公式化积，则最值可求. 【详解】（1）如图，， 在中，由正弦定理得：， ； （2）在中，， ， 当且仅当，即时，取得最大值36，即取得最大值6. 当时，工厂产生的噪声对学校的影响最小. 【变式7-4】.（2024高一·全国·专题练习）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 【答案】(1)159米 (2)米 【知识点】高度测量问题、角度测量问题 【分析】（1）分别在和中，利用正切函数表示出，结合图形列方程可求出结果. （2）由图，将表示为，设米，对取正切并化简，结合均值不等式可求得最大值. 【详解】（1）在中，，得， 在中，，得， 因为， 所以， 解得米. （2）由图可知，设米， 则，， ， 当且仅当，即时等号成立. 根据题意，对于锐角越大，则越大，反之亦然， 显然，可得最大时最大. 答：当为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大. 提升训练 一、单选题 1．（2024·江西赣州·一模）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】由已知利用余弦定理可求的值，根据正弦定理可求的值． 【详解】∵， ∴由余弦定理， 则得， ∴解得：，或（舍去）， ∴由正弦定理可得：． 故选：B. 2．（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，若，，，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】解：由正弦定理可得，，， ，， 或， 故选：D 3．（23-24高一下·江西萍乡·期中）设的内角，，所对的边分别为，，，若，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦齐次式的计算 【分析】利用正弦定理将边化角，即可得到，从而得解. 【详解】因为，由正弦定理可得， 又，所以，则， 显然，所以. 故选：B 4．（23-24高一下·江西九江·期末）中，角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由正弦定理边化角，然后利用和差公式化简即可. 【详解】由正弦定理，得， ， 因为，所以， 故选：D. 5．（23-24高一下·江西南昌·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理可得，再根据三角形的面积列方程即可得解. 【详解】由余弦定理可知，即， 又，， 则， 所以的面积， 又面积，即， 解得， 故选：B. 6．（24-25高一下·江西景德镇·期中）如图，某县区域地面有四个5G基站，，，.已知，两个基站建在江的南岸，距离为；基站，在江的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（   ） A． B． C．15km D． 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形、距离测量问题、余弦定理解三角形 【分析】根据题意可得，，利用正弦定理求出，进而结合余弦定理即可求出. 【详解】在中，，，则，，， 在中，，， 由正弦定理得，， 在中，由余弦定理得， . 故选：B. 7．（24-25高一下·江西·期中）如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】利用余弦定理求出的值，在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】连接， 在中，，， 由余弦定理可得， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 当且仅当时，等号成立， 所以，， 即面积的最大值为. 故选：A. 8．（2025·江西鹰潭·二模）在锐角中，内角所对的边分别为，若，，则AC边上的高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、求正切（型）函数的值域及最值 【分析】根据正弦定理结合两角差的余弦公式化简，应用锐角三角形得出角的范围，再应用正切的值域求出高的范围. 【详解】在中，由正弦定理，可得， 由可得：，所以，所以， 又因为，所以，所以，， 又因为三角形为锐角三角形，所以，所以， 在中，由正弦定理可得：，即，故有， 因为，所以，，所以， 所以，又因为边上的高，所以． 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高一下·江西上饶·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，，，则下列结论正确的是（   ） A．外接圆的半径为 B．外接圆的半径为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】BC 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】由已知，，结合正弦定理即可求得外接圆半径，从而判断A，B；再由正弦定理得，根据正弦函数的性质得的取值范围. 【详解】由正弦定理可得，为外接圆半径，则，得，故A不正确，B正确； 由正弦定理可得，得， 由，得，则，故C正确，D不正确． 故选：BC . 10．（23-24高一下·江西萍乡·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的面积可能为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】ABC 【知识点】三角形面积公式及其应用、基本不等式求积的最大值、余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理，结合基本不等式求的范围，再求三角形面积的取值范围. 【详解】由余弦定理， 即， 所以，满足条件的有ABC. 故选：ABC 三、填空题 11．（2024·江西吉安·模拟预测）已知的三个内角所对的边分别为，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】由余弦定理可得，利用基本不等式可求最小值. 【详解】由题意可得， 由余弦定理可得， 因为，所以，所以， 所以根据基本不等式， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：. 12．（2024·江西·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，是的中点，，则 ． 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用、向量的线性运算的几何应用、数量积的运算律 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律，结合正弦定理边化角即可得解. 【详解】在中，是的中点，， 则，即，因此， 所以. 故答案为： 四、解答题 13．（2025·江西·二模）已知钝角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)若 ，证明：是等腰三角形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状、三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理、二倍角公式及两角和差的余弦公式化简得到，即可求解； （2）利用余弦定理得到，结合得到，即可证明. 【详解】（1）由和正弦定理， 可得 因为， 所以， 即得，即. 又因是钝角三角形，，故， 因，即. （2）由，及余弦定理得： 解得， 又，解得， 所以是等腰三角形. 14．（24-25高一下·江西上饶·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2)． 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）正弦定理得，由，化简可得； （2）由余弦定理可得，可得，根据基本不等式即可求出的最大值，进而得出周长的最大值． 【详解】（1）在中，， 由正弦定理得， 在中，，则， 则， 得， 在中，，则，所以． （2）在中，由余弦定理得， 由（1）知，又， 则， 即， 又，则， 得，则， 当且仅当时，等号成立． 所以周长的最大值为． 15．（24-25高一下·江西景德镇·期中）如图，在中，为中点，为上一点，且满足， (1)求的值； (2)若，的面积为，求的最小值. (3)若，，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角形面积公式及其应用、利用平面向量基本定理求参数、数量积的运算律、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用三点共线，可设，推出，结合已知，即可求得的值； （2）利用（1）的结论可得，利用三角形面积得出，结合基本不等式即可求得答案.. （3）由，令，两边平方可得，利用基本不等式可得，进而可求面积的最大值. 【详解】（1）在中，D为中点，则三点共线， 设，， 故 ， 又 ，故， 解得，即. （2）由（1）知， 所以 ，当且仅当时取等号， 又，则， 即， 故，， 即的最小值为，当且仅当时取等号. （3）而，故， 令，则， 所以，当且仅当时等号成立，则面积， 综上，面积的最大值为. 16．（24-25高一下·江西南昌·期中）如图，在中，，，，为内一点，． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）先由题设条件结合诱导公式依次得到、和，再在中结合余弦定理即可求解； （2）设，先由题设条件求得，再在中结合正弦定理即可求解. 【详解】（1）由已知得， 所以 ，从而． 在中，由余弦定理得， 所以． （2）设，由已知得， 在中，由正弦定理得， 化简得，所以. 17．（24-25高一下·江西南昌·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由正弦定理化角为边，再结合余弦定理求； （2）由（1）结合余弦定理可得，再利用基本不等式求的范围，由此可得结论. 【详解】（1）设的外接圆的半径为， 由正弦定理可得，，， 因为， 所以， 所以， 由余弦定理可得， 又，可得； （2）由题意可得，， 由余弦定理可得， 即， 所以， 所以， 又， 故，当且仅当时取等号， 即的周长的取值范围为. 18．（2025·江西萍乡·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求C； (2)若，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）先利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，即可求出角； （2）根据余弦定理和基本不等式求出ab的最大值，进而求出三角形面积的最大值. 【详解】（1）由正弦定理得，， 因为，所以，即，即. （2）由余弦定理得，， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， ，即的面积的最大值为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 第二章 解三角形 （3个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01 正弦定理 （1）正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 （2）正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤ ④，，（可实现边到角的转化） ⑥ ⑤，，（可实现角到边的转化） 清单02 三角形面积公式 ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 清单03 余弦定理 （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； 【考点题型一】解三角形（） 【例1】（24-25高一下·江西上饶·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·江西·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则（   ） A． B． C． D．或 【变式1-2】.（2025·江西新余·模拟预测）在中，角对应的边分别为，若，，，则（   ）． A． B． C． D． 【变式1-3】.（2024·江西新余·模拟预测）已知△的角的对边分别为且，若，，则 . 【变式1-4】（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，，，，则等于 . 【考点题型二】判断三角形的形状（） 【例2】（多选）（24-25高一下·陕西榆林·期中）已知的内角，，所对的边分别是，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则一定是钝角三角形 B．若，则一定是等腰三角形 C．若，则一定是直角三角形 D．若，则一定是锐角三角形 【变式2-1】.（24-25高一下·福建福州·期中）在中，的对边分别为，若，则的形状为（） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【变式2-2】.（24-25高一下·陕西·期中）在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【变式2-3】.（24-25高一下·福建·期中）已知中，角所对的边分别为，设向量，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【变式2-4】.（24-25高一下·重庆江津·阶段练习）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【考点题型三】三角形周长（定值）（） 【例3】（24-25高一下·江西宜春·期中）的内角的对边分别为，已知． (1)求角B的大小： (2)若的面积为，求的周长． 【变式3-1】.（24-25高三下·江西·阶段练习）在中，角的对边分别为，若的面积为，则的周长为（    ） A． B．11 C． D． 【变式3-2】.（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角的大小； (2)若的面积为，，求的周长. 【变式3-3】.（2025高三下·北京·专题练习）在中，，. (1)求； (2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的周长. 条件①：的面积为；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【变式3-4】.（24-25高三下·北京·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求； (2)若的面积为，且，求的周长． 【考点题型四】三角形面积（定值）（） 【例4】（24-25高一下·江西·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． (1)求C； (2)若点D在边AB上，，，求的面积． 【变式4-1】.（2025·江西·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，. (1)求角； (2)若边上的中线长为5，求的面积. 【变式4-2】.（2025·江西·二模）已知的内角的对边分别为．已知． (1)求角： (2)若，求的面积． 【变式4-3】.（2025·江西赣州·一模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求证：； (2)已知，当角取最大值时，求的面积. 【变式4-4】.（2025·江西南昌·一模）在中，角的对边成公差为2的等差数列． (1)若为锐角三角形，求a的取值范围； (2)若，求的面积． 【考点题型五】三角形周长（边长代数和）范围（） 【例5】（24-25高一下·四川凉山·期中）已知. (1)求函数的单调增区间； (2)若，求的值； (3)在锐角中，内角的对边分别为，若，求的取值范围. 【变式5-1】.（24-25高一下·北京丰台·期中）在中，，． (1)求； (2)求周长的取值范围. 【变式5-2】.（24-25高一下·浙江·阶段练习）已知是锐角三角形，分别是角的对边，且有0．若在线段上的点满足且． (1)求角的度数； (2)求证：； (3)求的取值范围． 【变式5-3】.（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）已知，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有． (1)求A； (2)若为锐角三角形，求B的取值范围； (3)在（2）的条件下，已知，求的取值范围． 【变式5-4】.（2025·辽宁·二模）已知锐角，角、、所对的边分别为、、，且，． (1)求； (2)求的取值范围． 【考点题型六】三角形面积（最值+范围）（） 【例6】（2025·新疆喀什·模拟预测）的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【变式6-1】.（24-25高一下·广西来宾·阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)若，求外接圆的面积； (3)若，求面积的最大值． 【变式6-2】.（2025·浙江·模拟预测）在中，角所对的边分别为. (1)若外接圆的半径为，求面积的最大值； (2)若内切圆的半径为，求面积的最小值. 【变式6-3】.（23-24高一下·浙江·期中）在中，内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若点为边上靠近的三等分点，且，求面积的最大值． 【变式6-4】.（2025高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别是，且. (1)求角； (2)若点在边上，且满足，，求面积的最小值. 【考点题型七】正余弦定理的实际应用（） 【例7】（24-25高一下·湖南·期中）已知海面上两点处置有距离为海里的两个灯塔，游船在点时，与两点处灯塔的距离均为2海里.游船航行一段距离后，从两灯塔间穿过并抵达点，此时在点处灯塔测得. (1)若两点的距离为海里，求的长度； (2)求两点距离的取值范围. 【变式7-1】.（2025·河南南阳·一模）如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s. (1)设A到P的距离为xkm，求x的值； (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）. 【变式7-2】.（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，，并在点处测得塔顶的仰角.    (1)求与两点间的距离； (2)求塔高. 【变式7-3】.（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）如图，已知两条公路，的交汇点处有一学校，现拟在两条公路之间的区域内建一工厂，在两公路旁，异于点处设两个销售点，且满足，千米，千米，设. (1)试用表示，并写出的范围； (2)当为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小即工厂与学校的距离最远注： 【变式7-4】.（2024高一·全国·专题练习）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 提升训练 一、单选题 1．（2024·江西赣州·一模）在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，若，，，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24高一下·江西萍乡·期中）设的内角，，所对的边分别为，，，若，则（    ） A．3 B． C． D． 4．（23-24高一下·江西九江·期末）中，角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·江西南昌·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江西景德镇·期中）如图，某县区域地面有四个5G基站，，，.已知，两个基站建在江的南岸，距离为；基站，在江的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（   ） A． B． C．15km D． 7．（24-25高一下·江西·期中）如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·江西鹰潭·二模）在锐角中，内角所对的边分别为，若，，则AC边上的高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·江西上饶·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，，，则下列结论正确的是（   ） A．外接圆的半径为 B．外接圆的半径为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 10．（23-24高一下·江西萍乡·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的面积可能为（    ） A．1 B． C． D．2 三、填空题 11．（2024·江西吉安·模拟预测）已知的三个内角所对的边分别为，且，则的最小值为 . 12．（2024·江西·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，是的中点，，则 ． 四、解答题 13．（2025·江西·二模）已知钝角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)若 ，证明：是等腰三角形. 14．（24-25高一下·江西上饶·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 15．（24-25高一下·江西景德镇·期中）如图，在中，为中点，为上一点，且满足， (1)求的值； (2)若，的面积为，求的最小值. (3)若，，求面积的最大值. 16．（24-25高一下·江西南昌·期中）如图，在中，，，，为内一点，． (1)若，求； (2)若，求． 17．（24-25高一下·江西南昌·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角； (2)若，求周长的取值范围. 18．（2025·江西萍乡·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求C； (2)若，求的面积的最大值. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$