专题03 第一章 函数y=Asin(wx+ψ)的图象及其应用（2考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）（期末复习知识清单）高一数学下学期北师大版

清单03 第一章 函数y=Asin(wx+ψ)的图象及其应用 （2个考点梳理+8题型解读+提升训练） 清单01 三角函数图象变化 参数,,对函数图象的影响 1.对函数,的图象的影响 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法 清单02 求三角函数解析式 形如的解析式求法： 1、求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. 2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. 3、求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解. （第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近） ②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案. 【考点题型一】三角函数图象变化（） 【例1】（2025·江西九江·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（   ） A．5 B．8 C．11 D．13 【变式1-1】.（23-24高一下·江西萍乡·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】.（多选）（24-25高一下·浙江·开学考试）为了得到函数的图象，只需将函数图象上的点（    ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【变式1-3】.（多选）（23-24高一下·江西上饶·期末）将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个奇函数的图象，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（24-25高三上·江西新余·阶段练习）设函数，将函数的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则 . 【考点题型二】求三角函数解析式（） 【例2】（24-25高一下·江西·期中）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式和单调递增区间； (2)求在区间上的最值； (3)求不等式的解集． 【变式2-1】.（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴的交点，为图象与轴的一个交点，且.则函数的一条对称轴方程可能为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】.（24-25高二下·江西景德镇·期中）已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则 . 【变式2-3】.（24-25高一下·江西景德镇·期中）某用电器电流随时间变化的关系式为，如图是其部分图像． (1)求的解析式； (2)若该用电器核心部件有效工作的电流必须大于，则在1个周期内，该用电器核心部件的有效工作时间是多少？（电流的正负表示电流的正反方向） 【变式2-4】.（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移，再向下平移个单位，得到函数的图象.若，求的值域. 【考点题型三】函数性质的综合（选填） 【例3】（多选）（2025·江西景德镇·模拟预测）若，则（   ） A．初相为 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．为奇函数 【变式3-1】.（多选）（23-24高一下·江西抚州·期中）已知函数，则（    ） A．是的一个周期 B．的图象关于直线对称 C．将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称 D．在区间上单调递增 【变式3-2】.（多选）（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（    ） A． B． C．直线是函数图象的对称轴 D．点是函数图象的对称中心 【变式3-3】.（多选）（2023·江西·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B．的图象在区间上存在对称轴 C．在区间上单调递增 D．将的图象向左平移个单位长度可得到的图象 【变式3-4】.（多选）（23-24高二上·江西赣州·期中）把函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D．在上单调递增 【考点题型四】函数性质的综合（解答题） 【例4】（24-25高一下·江西景德镇·期中）要得到函数的图象，可以从正弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点，连线得到． 0 0 2 0 0 (1)由图象变换得到函数的图象，写出变换的步骤和函数； (2)用“五点法”画出函数在区间上的简图． 【变式4-1】.（24-25高一下·江西上饶·期中）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移，再向下平移2个单位，得到函数的图象.若，求的值域. 【变式4-2】.（24-25高一下·江西·阶段练习）已知函数的振幅为5，最小正周期为，初相为，将函数的图像向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像. (1)求的表达式； (2)求的对称轴方程与单调递增区间. 【变式4-3】.（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知点是函数图象上的两点，且角的终边经过点，当时，. (1)求函数的解析式； (2)求函数的对称轴方程，对称中心以及在区间上的单调递增区间. 【变式4-4】.（23-24高一下·江西抚州·期中）已知函数的部分图像如图所示.    (1)求的解析式； (2)将图像上每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的单调递增区间. 【考点题型五】函数中的零点个数问题 【例5】（24-25高一下·安徽·期中）已知函数的最大值为2，最小值为0，且其图象的相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求的解析式； (2)若函数在区间内有两个零点，求实数的取值范围. 【变式5-1】.（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知函数的图象两邻对称轴之间的距离是，若将的图象先向右平移单位，再向上平移1个单位，所得函数为奇函数． (1)求函数的解析式； (2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围； (3)若函数的图象在区间只有3个零点，求a的范围． 【变式5-2】.（2025高一下·全国·专题练习）已知函数，. (1)当时，求的最小正周期及单调递增区间： (2)将图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向上平移个单位，得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有2025个零点，求的取值范围. 【变式5-3】.（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）将余弦曲线上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位长度，进一步将所得曲线上所有点的纵坐标扩大为原来的6倍，横坐标不变，得到函数的图像． (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)若函数在上有且仅有4个零点，求的取值范围． 【变式5-4】.（2025高一下·全国·专题练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)若时，恒成立，求实数的取值范围； (3)将函数的图像的横坐标缩小为原来的，再将其横坐标向右平移个单位，得到函数的图像．若，函数有且仅有5个零点，求实数的取值范围． 【考点题型六】函数中的零点代数和问题 【例6】（24-25高一下·江西赣州·阶段练习）已知函数，的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)设，记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值. 【变式6-1】.（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式和对称中心； (2)将函数的图象上所有的点向左平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若方程在上有三个不相等的实数根，求的值． 【变式6-2】.（24-25高一下·北京·期中）函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若，，求的值． (3)将函数的图象先向右平移个单位再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于x的方程在上有两个不等实根．求：实数m的取值范围和的值． 【变式6-3】.（24-25高一下·重庆·期中）已知函数，其相邻两个对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)若当时，的值域为，求实数的取值范围． (3)设，若函数在上有两个不同零点，求实数的取值范围． 【变式6-4】.（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知函数的部分图象如图所示：    (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，方程有两个不相等的实数根，且，求的值. 【考点题型七】函数中的恒成立问题 【例7】（24-25高一下·河南驻马店·期中）已知函数，将曲线的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象． (1)求； (2)求的相位及最小正周期； (3)当时，求使得不等式恒成立时的的取值范围． 【变式7-1】.（24-25高一下·河南·期中）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围． 【变式7-2】.（24-25高一下·河南商丘·期中）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围． 【变式7-3】.（24-25高一下·湖南·期中）已知将函数的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于轴对称. (1)求； (2)求的相位及其最小正周期； (3)当时，求使得不等式恒成立的对应的取值范围. 【考点题型八】函数中的能成立问题 【例8】（24-25高一下·江苏·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴方程； (3)在第（2）问的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得成立？若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由． 【变式8-1】.（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数（，，）的部分图像如图． (1)根据图像求函数解析式． (2)写出的解集． (3)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图象，且关于的方程在上有解，求的取值范围． 【变式8-2】.（24-25高一下·安徽·阶段练习）若函数的半个周期为，且角φ的终边经过点， (1)求函数 的解析式; (2)若方程 在内有两个不同的解，求实数m的取值范围. 【变式8-3】.（24-25高一下·北京海淀·阶段练习）如图为函数的部分图象． (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最大值和最小值； (3)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若方程在上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【变式8-4】.（24-25高一下·海南儋州·阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析； (2)要得到的图象，需要将的图象作怎样的变换？（详细写出每步变换） (3)对于（2）中的函数，若对任意、，有，求实数的最小值． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一下·北京·阶段练习）要得到的图象，只要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 2．（23-24高一下·江西·阶段练习）为了得到函数的图象，可以将函数图象上所有的点（    ） A．向右平移2个长度单位 B．向右平移1个长度单位 C．向左平移2个长度单位 D．向左平移1个长度单位 3．（24-25高一下·江西上饶·期中）把函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·北京海淀·一模）已知函数的部分图象如图所示．若，，，四点在同一个圆上，则（   ） A．1 B． C． D． 5．（23-24高一下·北京·期中）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 6．（23-24高一下·江西景德镇·期中）为了得到的图象，只需将（     ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 7．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 8．（24-25高三下·江西·阶段练习）为了得到函数的图象，可将函数的图象向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度（均为正数），则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·江西·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象可由函数的图象向右平移个单位得到 10．（24-25高一下·江西·期中）定义运算：，已知函数的最小正周期为，则（   ） A． B．在区间上单调递增 C．为偶函数 D．关于点对称 三、填空题 11．（23-24高一下·江西南昌·期中）将函数（）的图象向左平移（）个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值是 . 12．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是 . 四、解答题 13．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数的图象上各点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域； (3)若函数在区间上恰好有二个零点，求实数k的取值范围． 14．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知点是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为. (1)求的解析式； (2)将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位得到的图象，若在区间上有最大值没有最小值，求实数的取值范围. 15．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）函数的部分图象如图所示，    (1)求及的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)将的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的解析式. 16．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知向量，，函数的最小值为. (1)求m的值及函数的单调递增区间； (2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，试求不等式在区间上的解集. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 第一章 函数y=Asin(wx+ψ)的图象及其应用 （2个考点梳理+8题型解读+提升训练） 清单01 三角函数图象变化 参数,,对函数图象的影响 1.对函数,的图象的影响 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法 清单02 求三角函数解析式 形如的解析式求法： 1、求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. 2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. 3、求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解. （第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近） ②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案. 【考点题型一】三角函数图象变化（） 【例1】（2025·江西九江·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（   ） A．5 B．8 C．11 D．13 【答案】D 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，由奇偶性得到方程，求出，得到答案. 【详解】依题意，得为偶函数， 则，即， 当时，，D正确，其他选项均不正确. 故选：D． 【变式1-1】.（23-24高一下·江西萍乡·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据图象平移规律可得答案. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数 的图象， 由，则. 故选：D. 【变式1-2】.（多选）（24-25高一下·浙江·开学考试）为了得到函数的图象，只需将函数图象上的点（    ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】BD 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】由，根据平移变换逐一验证即可. 【详解】解：因为 对于A：将函数图象上的点向右平移个单位长度， 得故A错误； 对于B：将函数图象上的点向右平移个单位长度， 得故B正确； 对于C：将函数图象上的点向左平移个单位长度， 得故C错误； 对于D：将函数图象上的点向向左平移个单位长度， 得故D正确. 故选：BD. 【变式1-3】.（多选）（23-24高一下·江西上饶·期末）将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个奇函数的图象，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】由图象变换得函数解析式，再结合正弦函数的奇偶性进行分析求解． 【详解】由题意将函数的图象沿轴向左平移个单位后，所得函数解析式为， 它是奇函数，则，即， 只有AC满足， 故选：AC． 【变式1-4】（24-25高三上·江西新余·阶段练习）设函数，将函数的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则 . 【答案】 【知识点】特殊角的三角函数值、求图象变化前（后）的解析式、诱导公式二、三、四 【分析】由条件利用三角函数的图象变换规律可得函数的解析式，进一步求值即可． 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得的图象， 再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得的图象， 所以， 则. 故答案为：． 【考点题型二】求三角函数解析式（） 【例2】（24-25高一下·江西·期中）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式和单调递增区间； (2)求在区间上的最值； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)；单调递增区间为 (2)最小值为，最大值为； (3)解集为． 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性、不等式综合 【分析】（1）由图象可知，求得函数的周期，利用周期公式可求的值，又函数的图象经过点，可求得，可得函数解析式； （2）由已知可得，结合正弦函数的性质可求最值； （3）由已知可得，可得，利用正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）由图象可知，因为，即，所以，解得． 所以， 又因为函数的图象经过点， 所以．所以，所以． 又因为，所以．所以． 由，得， 所以的单调递增区间为； （2）因为，所以， 所以， 所以在区间上的最小值为，最大值为； （3）由，可得， 所以，解得， 由（1）可得，所以， 所以，解得， 所以不等式的解集为． 【变式2-1】.（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴的交点，为图象与轴的一个交点，且.则函数的一条对称轴方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】由图像求出的取值，再求解出的周期，再结合对称中心点与周期求出对称轴. 【详解】由正弦函数的图象可知，， 则. 已知，设，根据两点间距离公式，因为， 所以，即， 解得（由图象可知点纵坐标为负）. 因为在的图象上，所以， 即， 又因为，所以，则. 因为在的图象上，所以， 即，，，，. 由图象可知，（为函数周期），，又，所以，， 当时，满足条件，所以. 所以的对称轴方程满足，， 解得，， 则当时，为. 故选：D 【变式2-2】.（24-25高二下·江西景德镇·期中）已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则 . 【答案】/ 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数图象的综合应用 【分析】根据函数图象，结合特殊三角函数值求角，可分别求出，得到函数的解析式，代入数值计算即可. 【详解】设，由可得， 由可得或， 由图可知，，即，所以. 又由图可知，所以，即. 所以，即或， 由图可知，，所以. 所以. 故答案为：. 【变式2-3】.（24-25高一下·江西景德镇·期中）某用电器电流随时间变化的关系式为，如图是其部分图像． (1)求的解析式； (2)若该用电器核心部件有效工作的电流必须大于，则在1个周期内，该用电器核心部件的有效工作时间是多少？（电流的正负表示电流的正反方向） 【答案】(1) (2) 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数在物理学中的应用 【分析】（1）根据题意可得函数的振幅与周期，即可得，再利用待定系数法求即可； （2）由题意令，，根据正弦函数的单调性解不等式，即可求解. 【详解】（1）∵周期， ∴， 又，∴， 将点代入上式，得，又， ∴，， ∴ （2）当时，此时， 令， 则或， 所以或， 解得或， 由得在1个周期内， 该用电器核心部件的有效工作时间是 【变式2-4】.（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移，再向下平移个单位，得到函数的图象.若，求的值域. 【答案】(1)，单调递减区间为. (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据图象分别求出，再利用正弦函数的单调性求解得到答案； （2）根据图像变换得到，再根据三角函数的图象求指定区间上的值域. 【详解】（1）由图象可得， 所以，所以， 又，所以， 又，所以，所以 ， 令，可得， 所以单调递减区间为. （2）， 由可得 . 【考点题型三】函数性质的综合（选填） 【例3】（多选）（2025·江西景德镇·模拟预测）若，则（   ） A．初相为 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．为奇函数 【答案】ABD 【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、求正弦（型）函数的最小正周期、相位变换及解析式特征、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据正弦型函数的初相、最小正周期、单调性以及函数的奇偶性，一一判断各选项，即得答案. 【详解】对于函数，初相为，A正确； 最小正周期为，B正确； 时，， 由于在上单调递减，故在上单调递减，C错误； ，该函数为奇函数，D正确， 故选：ABD. 【变式3-1】.（多选）（23-24高一下·江西抚州·期中）已知函数，则（    ） A．是的一个周期 B．的图象关于直线对称 C．将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称 D．在区间上单调递增 【答案】AC 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】求得的最小正周期可判断A；由，可判断B；，可判断C；，结合余弦函数的单调性可判断D. 【详解】易知函数的最小正周期为，故是的一个周期，故A正确； 因为，所以不是的图象的对称轴，故B错误； 因为，所以函数为奇函数，故C正确； 因为，可得， 所以由余弦函数的单调性可得函数在区间上先减后增，故D错误. 故选：AC. 【变式3-2】.（多选）（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（    ） A． B． C．直线是函数图象的对称轴 D．点是函数图象的对称中心 【答案】AD 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】利用周期求验证选项A；代入极小值点求验证选项B；代入检验法验证对称轴和对称中心判断选项CD. 【详解】，由图象可知，， ，，则函数正周期，得，A选项正确； ，则， 解得，由，则，B选项错误； 可得， ， 所以点是函数图象的对称中心，C选项错误，D选项正确. 故选：AD. 【变式3-3】.（多选）（2023·江西·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B．的图象在区间上存在对称轴 C．在区间上单调递增 D．将的图象向左平移个单位长度可得到的图象 【答案】AB 【知识点】正、余弦型三角函数图象的应用、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式 【分析】先由函数的最小正周期，求出；根据余弦函数的性质可判断B,C选项，再由三角函数图像平移后可判断D选项. 【详解】由，得，故选项A正确； 令，，解得，，当时，，所以是图象的一条对称轴，故选项B正确； 当时，，余弦函数在此区间不单调，故选项C错误； 依题意平移后的解析式为，故选项D错误． 故选：AB． 【变式3-4】.（多选）（23-24高二上·江西赣州·期中）把函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D．在上单调递增 【答案】BC 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】利用三角函数图象变换及图象与性质一一判定即可. 【详解】由函数的图象向左平移个单位长度后得到，故A错误； 当时，，即，故B正确； 当时，，即，故C正确； 当时，，易知时函数单调递增，故D错误. 故选：BC 【考点题型四】函数性质的综合（解答题） 【例4】（24-25高一下·江西景德镇·期中）要得到函数的图象，可以从正弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点，连线得到． 0 0 2 0 0 (1)由图象变换得到函数的图象，写出变换的步骤和函数； (2)用“五点法”画出函数在区间上的简图． 【答案】(1)答案见解析 (2)作图见解析 【知识点】五点法画正弦函数的图象、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】（1）根据三角函数图象变换的知识求得正确答案； （2）利用“五点法”画出图象. 【详解】（1）步骤1：把图象上所有点向右平移个单位长度， 得到函数的图象； 步骤2：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 得到函数的图象； 步骤3：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）， 得到函数的图象 （2）列表： 0 x y 0 2 0 -2 0 【变式4-1】.（24-25高一下·江西上饶·期中）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移，再向下平移2个单位，得到函数的图象.若，求的值域. 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据图象分别求出即可； （2）根据图象变换得到，再根据三角函数的图象求指定区间上的值域. 【详解】（1）由图象可得，， 所以，所以， 又，所以，， 又，所以，所以. （2）， 由可得，. . 【变式4-2】.（24-25高一下·江西·阶段练习）已知函数的振幅为5，最小正周期为，初相为，将函数的图像向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像. (1)求的表达式； (2)求的对称轴方程与单调递增区间. 【答案】(1) (2)；单调递增区间为 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）由周期求得，振幅知道，初相得到，从而知道函数解析式，再由函数的变换逐步得到函数的表达式； （2）令，求得函数的对称轴方程，令求得的单调递增区间. 【详解】（1）由题意得，解得，又，所以， 将函数的图像向左平移个单位长度，得到的图像， 再将每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图像，故. （2）令，得，即的对称轴方程为. 令，得， 即函数的单调递增区间为. 【变式4-3】.（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知点是函数图象上的两点，且角的终边经过点，当时，. (1)求函数的解析式； (2)求函数的对称轴方程，对称中心以及在区间上的单调递增区间. 【答案】(1) (2)对称轴方程为；对称中心为；单调递增区间为，. 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、由终边或终边上的点求三角函数值、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）求出最小正周期，进而得到，由三角函数定义得到，求出，得到函数解析式； （2）整体法求解函数的对称轴，对称中心和区间上的单调递增区间. 【详解】（1）设的最小正周期为， 由题意得， 因为，所以， 故， 又角的终边经过点，所以， 因为，所以， 故； （2）令，解得， 故函数的对称轴方程为； 令，解得， 故函数的对称中心为； 时，， 由于在和时，单调递增， 故和， 解得和， 故在区间上的单调递增区间为，. 【变式4-4】.（23-24高一下·江西抚州·期中）已知函数的部分图像如图所示.    (1)求的解析式； (2)将图像上每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的单调递增区间. 【答案】(1) (2)，. 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）根据函数的图象可得，，代入最值点即可求解， （2）由伸缩变化得解析式，利用整体法即可求解函数的单调增区间， 【详解】（1）由图象可知，， 所以，. 又为图像的最高点，所以，， 解得， 又，所以，所以. （2）由题意可知，令， 解得， 即的单调递增区间为 当时，增区间为； 当时，增区间为， 故在上的单调递增区间为，. 【考点题型五】函数中的零点个数问题 【例5】（24-25高一下·安徽·期中）已知函数的最大值为2，最小值为0，且其图象的相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求的解析式； (2)若函数在区间内有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据函数的最大值和最小值求出，根据相邻两条对称轴间的距离求出，得出解析式； （2）由第（1）问求解出的函数解析式，根据题中给的区间范围，先求解出满足的范围，然后根据已知条件列出不等关系，求解即可. 【详解】（1）由已知得,解得. 由相邻两条对称轴间的距离为可知周期,于是， 故函数解析式为 （2）当时，，函数在区间内有两个零点， 则在区间上有两个根，， 则，所以. 【变式5-1】.（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知函数的图象两邻对称轴之间的距离是，若将的图象先向右平移单位，再向上平移1个单位，所得函数为奇函数． (1)求函数的解析式； (2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围； (3)若函数的图象在区间只有3个零点，求a的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、函数不等式恒成立问题、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）由图象相邻对称轴距离可得，由平移后为奇函数可得，据此可得答案； （2）由题可得时，，然后由题可得，最后由函数单调性可得答案； （3）由，可得，又注意到由，知可为，最后结合题意可得答案. 【详解】（1）设最小正周期为T，因图象两邻对称轴之间的距离是， 则，得；的图象先向右平移单位，再向上平移1个单 位，可得，因为奇函数， 则，结合，可得. 则； （2），则，注意到在上单调递增，在上单调递减，则. . 因，则. 即注意到函数在上单调递增， 则，则实数m的取值范围是； （3）. 因，则.令， 则或. 则使的值从小到大排列为： 因的图象在区间只有3个零点，则， 则. 【变式5-2】.（2025高一下·全国·专题练习）已知函数，. (1)当时，求的最小正周期及单调递增区间： (2)将图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向上平移个单位，得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有2025个零点，求的取值范围. 【答案】(1)最小正周期为，的单调递增区间为， (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求图象变化前（后）的解析式、求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）当时，可得函数的解析式，由正弦型函数的性质可得最小正周期和单调递增区间； （2）先写出平移变换得到的函数的解析式，由，可得， 由题意可知该区间的右端点位于之间，由此可求得的取值范围. 【详解】（1）函数，当时，，， 令， 解得：，， 所以的最小正周期为，的单调递增区间为，. （2）将图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象， 再向上平移个单位，得到函数的图象. 由，得， 又函数在区间上有且仅有2025个零点， 所以，解得. 【变式5-3】.（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）将余弦曲线上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位长度，进一步将所得曲线上所有点的纵坐标扩大为原来的6倍，横坐标不变，得到函数的图像． (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)若函数在上有且仅有4个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． (3) 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据题给条件，逐步推导解析式即可得解. （2）整体代入余弦函数的单调递减区间求解即可. （3）根据有个零点等价于有个根，进而转化成两个函数图象有个交点，根据题意确定交点的分布规律，从而确定的取值范围. 【详解】（1）由题意余弦曲线上所有点的横坐标变为原来的，得， 再将所得曲线向左平移个单位长度，得， 再将所得曲线上所有点的纵坐标扩大为原来的6倍，得 所以. （2）由，得， 所以的单调递减区间为． （3）令，得，得， 则函数在上的图象与直线有且仅有4个公共点． 由，得， 令,图象如图. 所以，得，即的取值范围为. 【变式5-4】.（2025高一下·全国·专题练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)若时，恒成立，求实数的取值范围； (3)将函数的图像的横坐标缩小为原来的，再将其横坐标向右平移个单位，得到函数的图像．若，函数有且仅有5个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦函数图象的应用 【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式求解即可； （2）根据正弦函数的性质求出的最小值，即可求解； （3）根据题意先求出，再根据正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期. （2）当时，可得， 当，即时，取得最小值， 因为时，恒成立，所以， 即实数的取值范围为. （3）由题意，函数， 因为，所以， 又因为函数有且仅有5个零点， 则满足，解得， 所以实数的取值范围． 【考点题型六】函数中的零点代数和问题 【例6】（24-25高一下·江西赣州·阶段练习）已知函数，的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)设，记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值. 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、正弦函数图象的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据题意得出最小正周期，即可求解； （2）先根据平移变换得出解析式，然后将括号内的看作整体即可求得值域； （3）结合函数图像，找到交点，根据对称性求出，，，，代入即可得出答案. 【详解】（1）由因相邻两对称轴间的距离，则，解得，故； （2）函数的图象向右平移个单位长度即得， 再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）， 即得的图象. 当时，，而函数在上单调递减， 在上单调递增，则当时， 即时，取得最小值-2， 当时，即时，取得最大值，故函数的值域为； （3），由可得， 设，则有，作出正弦函数的图象，    由图可知在有5个解，即， 其中，，，， 即，， ，， 整理得，，，， ， 综上：，. 【变式6-1】.（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式和对称中心； (2)将函数的图象上所有的点向左平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若方程在上有三个不相等的实数根，求的值． 【答案】(1)；对称中心 (2) 【知识点】cosx（型）函数对称性的其他应用、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据图象可求周期与振幅，再根据最高点可求初相位，从而可得函数解析式，根据正弦函数的对称中心结论求解对称中心即可； （2）利用图象变换可求解析式，根据在上的单调性可求的值，从而可求的值． 【详解】（1）由图可得， 又，所以， 所以，所以， 又因为过点， 所以， 又，所以，所以． 令得， 所以函数的对称中心为. （2）将函数的图象上所有的点向左平移个单位， 则所得图象对应的解析式为， 再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得的图象， 则， 当时，， 而在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数， 故在上为减函数，在上为增函数，为减函数， ，，故当时， 函数的函数图像如下， 因为在上有三个不相等的实数根，故． 且，， 所以，故． 【变式6-2】.（24-25高一下·北京·期中）函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若，，求的值． (3)将函数的图象先向右平移个单位再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于x的方程在上有两个不等实根．求：实数m的取值范围和的值． 【答案】(1) (2) (3)； 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求函数值、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据周期得出，再根据计算即可； （2）由条件可得，再计算即可； （3）先利用图像变换得出的解析式，接着由得，再结合正弦函数图象可得范围，根据其对称性可得. 【详解】（1）由函数的部分图象可知，， 所以，所以， 又，所以，解得， 由可得， 所以. （2）因，则， 因，则，则，得， 则. （3）将向右平移个单位得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 由，得，又， 结合图象可知，若方程在上有两个不等实根， 则，则实数的取值范围为. 再根据图象的对称性可得，， 则， 则. 【变式6-3】.（24-25高一下·重庆·期中）已知函数，其相邻两个对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)若当时，的值域为，求实数的取值范围． (3)设，若函数在上有两个不同零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）先分简解析式，根据已知条件求出周期，即可确定； （2）根据的范围，可得，结合正弦函数的性质可得，求解即可； （3）把函数在上有两个不同零点，转化为直线直线与函数在的图象有两个公共点，结合函数在上的单调性与最值，即可求解. 【详解】（1）依题意 又因为相邻两个对称轴之间的距离为，所以，所以， 所以，解得，因此. （2）若，则， 当时，， 要使的值域为，则，解得， 所以实数解得的取值范围为． （3） 由，所以， 可得函数在上单调递增，在上单调递减， 作出函数在的图象，如图所示， 由，得，函数在上有两个不同零点， 即直线与函数在的图象有两个公共点，有对称性可得， 此时，所以实数的取值范围是. 【变式6-4】.（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知函数的部分图象如图所示：    (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，方程有两个不相等的实数根，且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正弦函数图象的应用、正弦函数对称性的其他应用、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）由图象分别求出、的值，进而结合正弦型函数的周期公式可得，再代点求解，即可得到函数的解析式； （2）利用正弦函数的单调性即可求解； （3）根据题意可得方程有两个不相等的实数根，且，进而得到，且，再结合诱导公式及平方关系求解即可. 【详解】（1）由图象可知，，且， 则，即，此时， 又，则， 则，即， 又，则，即. （2）令， 解得， 则函数的单调递增区间为. （3）当时，， 因为方程有两个不相等的实数根，且， 即方程有两个不相等的实数根，且， 所以， 则，且， 又， 则 . 【考点题型七】函数中的恒成立问题 【例7】（24-25高一下·河南驻马店·期中）已知函数，将曲线的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象． (1)求； (2)求的相位及最小正周期； (3)当时，求使得不等式恒成立时的的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3) 【知识点】解余弦不等式、求图象变化前（后）的解析式、由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）根据三角函数的图象变换，得到平移后的图象解析式为，根据为偶函数，且，求得的值； （2）由（1）得，即可求得函数的相位和最小正周期； （3）把不等式转化为 ，由，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：函数，将曲线的图象向左平移个单位长度， 可得函数的图象， 因为函数为偶函数，可得，解得， 又因为，所以. （2）解：由（1）知：，所以， 所以函数的相位为，最小正周期为. （3）解：由（2）知：， 则不等式，即为， 当时，可得， 要使得恒成立，则满足， 解得，即的取值范围为. 【变式7-1】.（24-25高一下·河南·期中）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)，． (2)． 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）由图象结合正弦函数的周期，最值，定点即可求的解析式，进而求出单调递减区间； （2）由图象平移得到，再将问题转化为当时，恒成立，然后结合正弦函数的最值求解即可； 【详解】（1）由图可得， 函数的最小正周期为，所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，解得， 所以， 令， 解得， 所以的单调递减区间为． （2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数， 当时，， 所以． 若对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以解得， 所以的取值范围是． 【变式7-2】.（24-25高一下·河南商丘·期中）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)，单调递减区间为 (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）由图象结合正弦函数的周期，最值，单调递减区间可得结果； （2）由图象平移得到，再将问题转化为时，恒成立的问题，然后结合正弦函数的单调性分析即可. 【详解】（1）由图可得， 函数的最小正周期为，所以， 所以，因为，所以， 因为，所以，所以，解得， 所以， 令，解得， 所以的单调递减区间为． （2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数， 当时，，所以． 若对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 所以，解得，即的取值范围是． 【变式7-3】.（24-25高一下·湖南·期中）已知将函数的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于轴对称. (1)求； (2)求的相位及其最小正周期； (3)当时，求使得不等式恒成立的对应的取值范围. 【答案】(1) (2)相位为，最小正周期为 (3) 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、利用正弦函数的对称性求参数、利用正弦型函数的单调性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据图象变换得，再根据对称性得，计算即可得到； （2）由（1）得后可得出相位，根据最小正周期计算公式计算可得周期； （3）令，，由题意得原不等式为，再根据正弦函数、余弦函数性质计算即可求解. 【详解】（1）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象， 由题意该函数为偶函数，所以， 解得， 又因为，解得. （2）由（1）可得， 故的相位为， 最小正周期为. （3）令，因为，所以， 则原题等价于求使得不等式恒成立时，对应的取值范围， 注意到当或时，， 当时，单调递增，单调递减，又因为， 所以时，，不符合题意； 当时，，符合题意；时，单调递减，单调递增， 所以时，，符合题意. 综上，满足题意，此时. 【考点题型八】函数中的能成立问题 【例8】（24-25高一下·江苏·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴方程； (3)在第（2）问的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得成立？若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在， 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】（1）由题知，，求出从而得的值，将特殊点代入函数中求出，即可解决问题； （2）根据函数伸缩变换与平移变换后的到新函数的解析式，根据函数解析式求对称轴即可； （3）假设存在实数的值或取值范围满足题意，根据所给条件先由，得，再根据所给的角把范围求出来，根据范围的包含关系列出不等式解出即可. 【详解】（1）由图可知， ，则，， 所以，. 所以，即 又，所以当时，， 所以. （2）将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得：， 再向右平移个单位长度得到： ， 令，，解得，， 所以函数的对称轴为，. （3）由，得， 由，得， 所以， 所以. 又，得， 所以. 由题可知， 得，解得， 所以存在，使得成立. 【变式8-1】.（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数（，，）的部分图像如图． (1)根据图像求函数解析式． (2)写出的解集． (3)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图象，且关于的方程在上有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、解正弦不等式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）由函数图象先求出，，进而求出，代入一个特殊点求出的值； （2）由得，结合正弦函数性质得不等式； （3）先求出图象变换后的解析式，再求出在的值域，进而求出的取值范围. 【详解】（1）由函数的图象， 知，， ∴，， 将点代入，可得：， 又∵，∴， 所以. （2）由得， 所以，即， 所以的解集为. （3）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线的图象， 把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到 的图象， 由在上有解，即在上有解， 因为，， 所以， 所以的取值范围为． 【变式8-2】.（24-25高一下·安徽·阶段练习）若函数的半个周期为，且角φ的终边经过点， (1)求函数 的解析式; (2)若方程 在内有两个不同的解，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、函数图象的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据函数图象性质可得参数值及函数解析式； （2）设，将方程转化为函数与公共点问题. 【详解】（1）角的终边经过点，, , , 因为函数 的半个周期为， 所以，即， , . （2）∵， ， ， 设， 问题等价于方程在仅有一根或有两个相等的根． ，， 作出曲线，与直线的图象． 时，；时，；时，． 当或时，直线与曲线有且只有一个公共点． 的取值范围是：或． 【变式8-3】.（24-25高一下·北京海淀·阶段练习）如图为函数的部分图象． (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最大值和最小值； (3)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若方程在上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据图象，利用五点作图法的关键点，即可求解； （2）令，再由的图象与性质，即可求解； （3）令，则，作出图象，结合条件，数形结合，即可求解. 【详解】（1）由图知，五点作图法的第二个点和第三个点分别为， 则，解得， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知，令， 所以，故函数在区间上的最大值为，最小值为. （3）由题知，又在上有两个不相等的实数根， 令，则，其图象如图， 又时，， 所以由图知，. 【变式8-4】.（24-25高一下·海南儋州·阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析； (2)要得到的图象，需要将的图象作怎样的变换？（详细写出每步变换） (3)对于（2）中的函数，若对任意、，有，求实数的最小值． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、函数不等式恒成立问题、求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）利用图象可以看出振幅和周期，代入最高点可求出，从而可求三角函数解析式； （2）利用平移变换，伸缩变换可分四步得到； （3）利用在区间内的最值可得参数的范围，从而可求最小值. 【详解】（1） 根据图象可知：，所以， 则，再代入最高点，可得， 即， 因为，所以， 即； （2）第一步：将向左移个单位可得：， 第二步：再将的横坐标扩大到原来的2倍可得： 第三步：再将的纵坐标扩大到原来的倍可得：， 第四步：再将向上移1个单位可得：， 即可得到； （3）当时，，此时， 即的值域为， 若对任意，有， 则， 所以实数的最小值为． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一下·北京·阶段练习）要得到的图象，只要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】利用平移的左加右减的规则即可得到. 【详解】因为目标函数，所以将函数的图象向左平移个单位即可. 故选：C 2．（23-24高一下·江西·阶段练习）为了得到函数的图象，可以将函数图象上所有的点（    ） A．向右平移2个长度单位 B．向右平移1个长度单位 C．向左平移2个长度单位 D．向左平移1个长度单位 【答案】D 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据给定条件，利用三角函数图象变换求解即得. 【详解】显然， 因此函数的图象可由的图象向左平移1个长度单位而得，D正确，ABC错误. 故选：D 3．（24-25高一下·江西上饶·期中）把函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据图象平移可得函数，利用正弦函数的单增区间即可求得的单增区间. 【详解】由题意得， 由，得， 所以的单调递增区间为． 故选：B. 4．（2025·北京海淀·一模）已知函数的部分图象如图所示．若，，，四点在同一个圆上，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据对称性可知为圆心，根据即可求解. 【详解】连接交轴于, 由于，，，四点在同一个圆上，且和均关于点对称， 故为圆心，故， ,, 故，解得， 故选：D 5．（23-24高一下·北京·期中）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】借助正弦型函数平移的特征计算即可得. 【详解】， 故要得到函数的图象， 只需将的图象向左平移个单位长度. 故选：A. 6．（23-24高一下·江西景德镇·期中）为了得到的图象，只需将（     ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】D 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、诱导公式五、六 【分析】根据三角函数图象变换和诱导公式，即可得出结果. 【详解】因为， 所以将的图象向左平移个单位，可得的图象. 故选：D 7．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 【答案】A 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】将变形为的形式，从而确定平移的方向和单位长度. 【详解】将变形为 对于函数，要得到的图象，根据“左加右减”的原则，需要将的图象上所有的点向右平行移动个单位长度。 只要把的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，就可得到的图象. 故选：A. 8．（24-25高三下·江西·阶段练习）为了得到函数的图象，可将函数的图象向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度（均为正数），则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据函数图象的平移可得，即可根据三角函数的性质得，，求解. 【详解】因为， 所以，，， 即得，，， 故得，， 当时，的最小值是. 故选：B 二、多选题 9．（24-25高一下·江西·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象可由函数的图象向右平移个单位得到 【答案】ABD 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用周期公式可判断A；由求出的范围再根据正弦函数的单调性可判断B；利用代入验证法可判断C；根据平移规则可判断D. 【详解】对于A，的最小正周期为，A正确. 对于B，当时，，在上单调递增，B正确. 对于C，，的图象不关于直线对称，C错误. 对于D，的图象可由函数的图象向右平移个单位得到，D正确. 故选：ABD. 10．（24-25高一下·江西·期中）定义运算：，已知函数的最小正周期为，则（   ） A． B．在区间上单调递增 C．为偶函数 D．关于点对称 【答案】AC 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性 【分析】由题意求得的解析式，利用周期求得，判断A，进而利用整体法在区间上的单调性判断B；求得的解析式可判断C，计算，可判断D. 【详解】由题意可得， 对于A，又函数的最小正周期为，所以，解得，故A正确； 对于B，，又因为，所以， 所以在区间上不单调，故B错误； 对于C，，显然为偶函数，故C正确； 对于D，，所以关于点对称，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 11．（23-24高一下·江西南昌·期中）将函数（）的图象向左平移（）个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值是 . 【答案】 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】利用辅助角公式化简函数式，结合函数图象的平移及奇函数的性质列式求解即得. 【详解】依题意，函数，则平移后的函数解析式为， 显然函数为奇函数，又，则， 因此，所以的最小值是. 故答案为： 12．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求图象变化前（后）的解析式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】先根据平移伸缩得到函数的解析式，再根据无零点列出不等式组，解出取值范围即可. 【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到函数的图象， 再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 当时，. 由在上没有零点，得， 即，解得或. 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数的图象上各点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域； (3)若函数在区间上恰好有二个零点，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）由图象即可求解周期，进而得，根据即可求； （2）根据图象的变换先求，令，最后利用单调性即可求解； （3）令，先求函数的值域，最后利用数形结合即可求解. 【详解】（1）由题设，所以，则，故， 由，则，即， 又，当时，则，故； （2）由题意，将函数的图象上各点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数 所以；，则，由在上单调递增，对应值域为； 在上单调递减，对应值域为；所以 所以函数在上的值域： （3），则， 由在上单调递增，对应值域为； 在上单调递减，对应值域为； 函数在区间上有且仅有两个零点， 即在上只有两个解，有图可知. 14．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知点是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为. (1)求的解析式； (2)将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位得到的图象，若在区间上有最大值没有最小值，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据可求得，根据当时，的最小值为，可得，即可求得； （2）根据三角函数的变换规则得到解析式，再由的取值范围，求出的范围，最后结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，所以、， 依题意可得得， 又∵当时，的最小值为， ∴，又，即， ∴. （2）将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到， 再向左平移个单位得到， 当，所以， 因为在区间上有最大值没有最小值，所以， 解得， 即实数的取值范围为. 15．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）函数的部分图象如图所示，    (1)求及的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)将的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的解析式. 【答案】(1)，，， (2) (3) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】（1）根据图象易得 ，再求出周期可求出 ，再利用 即可求出； （2）整体换元法即可求出的单调递增区间； （3）先求出平移后的解析式，再求出 的解析式即可． 【详解】（1）由函数图象可得 ， 所以 ，则 ，又 ， 所以 ，即 因为 ，所以 ， 所以 ． （2）由（1）可知， 令，则 ， 单调递增区间为：， 即， ， ， 所以的单调递增区间为 （3）将 图象向右平移 个单位，可得 ， 再将图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），可得 ． 16．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知向量，，函数的最小值为. (1)求m的值及函数的单调递增区间； (2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，试求不等式在区间上的解集. 【答案】(1)， (2)或 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题、求图象变化前（后）的解析式、解正弦不等式 【分析】（1）根据三角恒等变换的化简和正弦函数的性质可得，利用整体代换法计算即可求解； （2）令，利用换元法可得，解之即可求解. 【详解】（1） ， 所以的最小值为，解得. 即， 令 解得， 所以的单调递增区间为. （2）由已知可得， 所以不等式即为， 令，则由，得， 则原不等式化为， 所以，所以， 所以， 结合函数在上的图象可得或， 即或， 所以原不等式在区间上的解集为或. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$