专题02 第一章 三角函数的图象与性质（4考点清单，知识导图+14个考点清单&题型解读）（期末复习知识清单）高一数学下学期北师大版

清单02 第一章 三角函数的图象与性质 （4个考点梳理+14题型解读+提升训练） 清单01 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 对称轴方程 无 递增区间 递减区间 无 清单02 周期性 函数 周期 函数 周期 函数 () () () 周期 其它特殊函数，可通过画图直观判断周期 清单03 三角函数奇偶性 三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数 () () () () () (1)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (2)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (3)函数是奇函数⇔()． 清单04 三角函数对称性 (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (3)函数的图象的对称中心由)解得． 【考点题型一】五点法画正余弦函数的图象（） 【例1】（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知 (1)用五点法画出在上简图（要有作图痕迹）； (2)求函数在上的值域。 【答案】(1)作图见解析 (2) 【知识点】五点法画正弦函数的图象、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据五点法．列出区间的两端点及区间内的最大值和最小值点及零点，列表描点，连线可得． （2）由（1）中函数图象结合函数单调性可得结论． 【详解】（1）令，利用的图象取点法画图；列表如下    作在上的图如下： （2）由函数在上单调递增，在上单调递减，而，，得值域为. 【变式1-1】.（24-25高一下·四川南充·阶段练习）已知函数. (1)求的单调递增区间，并用五点法作出在区间内的图象； (2)若函数在区间上恰有一个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，图象见解析； (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求sinx型三角函数的单调性、五点法画正弦函数的图象、正弦函数图象的应用 【分析】（1）根据诱导公式以及二倍角公式化简，即可利用整体法求解单调性，根据五点作图法即可求解； （2）由（1）图象即可求解. 【详解】（1）因为 ， 即，所以， 令,解得， 故的单调递增区间为； 依题意可得如下表格： 0 0 1 0 0 故在区间内的图象如下所示： （2）若函数在区间上恰有一个零点， 即在只有一个交点， ，， 结合（1）的图象易知：实数m的取值范围. 【变式1-2】.（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知函数 . (1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象；       (2)求使此函数取得最大值，最小值的自变量的集合，并分列写出最大值、最小值. 【答案】(1)图象见解析 (2)，此时；，此时 【知识点】五点法画正弦函数的图象、求含sinx(型)函数的值域和最值、y=Asinx+B的图象、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）由周期计算公式，即可求出周期，把当作一个整体，求出五个关键点，即可求解； （2）把当作一个整体，利用的性质，即可求解. 【详解】（1）函数 的周期为，列表 描点、连线得到图象如下，    （2）易知，此时，解得， 所以取最大值时，的取值集合为， ，此时，解得， 所以取最小值时，的取值集合为. 【变式1-3】.（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知函数的最小正周期为． (1)求． (2)在图中给定的平面直角坐标系中，画出函数在区间上的图象，并根据图象写出其在上的单调递减区间． 【答案】(1) (2)图象见解析， 【知识点】五点法画正弦函数的图象、由正弦（型）函数的周期性求值、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据周期得到，然后计算函数值即可； （2）利用五点法画图，然后写单调区间即可. 【详解】（1）由题意得，又，所以，， 则. （2）因为，所以， 列表如下： 画出函数在区间上的图象如下： 所以图象在上的单调递减区间为. 【变式1-4】.（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数． (1)完成下列图表画出该函数在一段的图象； (2)求出该函数的单调递减区间和对称中心． 【答案】(1)答案见解析 (2)单调递减区间为，，，． 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性、五点法画正弦函数的图象 【分析】（1）由五点作图法即可求解； （2）由整体代入法求解即可； 【详解】（1） （2）由， 解得， 函数单调递减区间为，． 由， 解得：， 所以的对称中心为，． 【考点题型二】含绝对值的正余弦函数图象（） 【例2】（2023高三·全国·专题练习）画出函数的简图． 【答案】图象见解析 【知识点】含绝对值的正弦函数的图象 【分析】分类讨论确定分段函数解析式，结合正弦函数图象可作出函数图象. 【详解】， 的图象如下图所示， 【变式2-1】.（多选）（23-24高三下·江西·开学考试）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于轴对称 C．的值域为 D．将函数的图象向上平移一个单位长度可以得到的图象 【答案】AD 【知识点】含绝对值的正弦函数的图象、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】将解析式转化为，易得函数的性质，判断选项的正误. 【详解】因为，所以的最小正周期为，A正确； 不是偶函数，图象不关于轴对称，错误； 因为，所以的值域为，C错误； 将函数的图象向上平移一个单位长度可以得到的图象，D正确． 故选：AD. 【变式2-2】（多选）（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知函数，，则下列说法不正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．函数的单调递增区间为 D．若方程有三个不同的解，则或 【答案】AC 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求sinx型三角函数的单调性、含绝对值的正弦函数的图象 【分析】对A、B：由，可得，即可得或；对C、D：可画出函数图象，由图象即可判断. 【详解】由，可得， 由，得，即可得， 解得或，故A不正确，B正确； 在坐标系中画出函数的图象， 如图所示，由函数图象可知函数的单调递增区间为和， 故C不正确； 由方程有三个不同的解，可知或，故D正确． 故选：AC. 【变式2-3】（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】三角函数图象的综合应用、含绝对值的正弦函数的图象 【分析】将函数写成分段函数的形式，在同一坐标系下画出函数和函数图象，利用数形结合即可判断两函数有两个不同的交点时实数k 的取值范围. 【详解】由题意，得 画出函数的图象，如下图所示：      由图象可知， 当时，函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点． 故答案为： 【考点题型三】正余弦函数的单调性问题（） 【例3】（24-25高一下·河南信阳·期中）函数，的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【知识点】求sinx型三角函数的单调性 【分析】利用正弦型函数的图象及性质求得已知函数的单调递增区间，即可求得. 【详解】， 令， 函数的单调递减区间为. 由， 得， 而，根据复合函数的单调性可知，所求单调递增区间是和. 故选：C. 【变式3-1】.（24-25高一下·江苏苏州·期中）函数在上的单调递减区间是（    ） A． B． C． D．和 【答案】C 【知识点】求sinx型三角函数的单调性 【分析】利用整体代换法求解即可. 【详解】由， 得， 即单减区间为， 又，所以单减区间为. 故选：C 【变式3-2】.（24-25高一下·安徽·期中）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数 【分析】根据余弦函数的单调递减区间，利用整体代换的方法求解即可. 【详解】因为，，所以， 又因为函数在区间上单调递减， 所以，,即， 故当时，. 故选：A 【变式3-3】.（24-25高一下·河南信阳·期中）若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】由条件求的范围，再求，的范围，根据正弦函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由，可得， 又是三角形的一个内角，所以， 故，， 因为函数在区间上单调递增， ，解得，又， 所以的取值范围为， 故答案为：. 【变式3-4】.（24-25高一下·上海·期中）函数的单调增区间为 ． 【答案】 【知识点】求cosx型三角函数的单调性 【分析】先求出函数的增区间，再与取交集即可解出． 【详解】令，解得， 所以的增区间为， 又，所以在上的单调增区间为. 故答案为：. 【考点题型四】正余弦函数的奇偶性问题（） 【例4-1】（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数是奇函数，则的值为 ． 【答案】 【知识点】由余弦（型）函数的奇偶性求参数、诱导公式二、三、四 【分析】 利用余弦型函数的性质，求出的表达式，再利用诱导公式计算即得. 【详解】由函数是奇函数，得， 则，所以当时，. 故答案为：. 【例4-2】（24-25高一上·甘肃·期末）已知函数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【知识点】奇偶函数对称性的应用、由正弦函数的奇偶性求函数值 【分析】根据奇函数的性质，利用配凑思想代入求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 【变式4-1】.（24-25高一下·湖北·期中）函数是（   ） A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数 【答案】D 【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据正弦型函数的周期公式及奇偶性即可求解． 【详解】设， ，所以为偶函数， 因为的周期为， 所以的周期为， 故选：D． 【变式4-2】.（2026高三·全国·专题练习）函数，若为奇函数，则等于 ． 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】若为奇函数，则.所以本题只需令，求解即可. 【详解】若为奇函数，则， 即，又， 所以． 故答案为：. 【变式4-3】.（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）若函数为偶函数，则实数 ． 【答案】0 【知识点】由奇偶性求参数、求含cosx的函数的奇偶性 【分析】取特值求出，然后验证即可. 【详解】因为为定义在上的偶函数， 所以，即，所以． 当时，，为偶函数， 所以. 故答案为：0 【考点题型五】正余弦函数的周期性问题（） 【例5】．（2025·湖北十堰·三模）函数的最小正周期为 ． 【答案】/ 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用函数周期性的定义可求出函数的最小正周期. 【详解】因为， 如下图所示： 结合图形可知，函数的最小正周期为. 故答案为：. 【变式5-1】.（2025·河南·模拟预测）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据和的图象的关系，再结合周期公式可求得结果. 【详解】因为的图象是由的图象将轴下方的图象翻折到轴上方和轴上方的图象组成的， 所以的最小正周期是的最小正周期的一半， 因为的最小正周期为， 所以的最小正周期为． 故选：C 【变式5-2】.（24-25高一下·四川成都·期中）下列函数中，以2为最小正周期且是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的奇偶性、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据正余弦函数的周期性和奇偶性逐一判断即可. 【详解】对于A，因为， 所以函数为奇函数，故A不符题意； 对于B，函数的最小正周期， 因为， 所以函数为偶函数，故B符合题意； 对于C，因为， 所以函数为奇函数，故C不符题意； 对于D，函数的最小正周期，故D不符题意. 故选：B. 【变式5-3】.（24-25高一下·北京·阶段练习）最小正周期为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求余弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用三角函数的奇偶性和周期性，判断各个选项中的函数的奇偶性和周期性，从而得出结论． 【详解】A．是最小正周期为的偶函数，符合题意； B．是最小正周期为的奇函数，不符合题意； C．是偶函数，但不是周期函数，不符合题意； D．是最小正周期为的偶函数，不符合题意； 故选：A． 【变式5-4】.（24-25高一上·四川宜宾·期末）下列函数中最小正周期为，且为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期、函数奇偶性的定义与判断 【分析】由奇偶性及周期公式逐个判断即可； 【详解】对于A，因为，偶函数，错误； 对于B，由，偶函数，错误； 对于C，最小正周期为：，错误； 对于D，令，可判断为奇函数，最小正周期为：，D正确； 故选：D 【考点题型六】正余弦函数的对称性问题（） 【例6】（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】利用整体代入法，结合余弦函数的对称中心列方程，求解即可. 【详解】由，得， 所以图象的对称中心为． 故选：A. 【变式6-1】.（24-25高一下·江苏苏州·期中）函数图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】利用正弦型函数的对称性求解. 【详解】令，解得， 当时，，所以函数图象的一个对称中心是. 故选：D. 【变式6-2】.（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知为奇函数，且，则函数图象的一条对称轴方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、由奇偶性求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】由奇函数定义求出，由对称轴方程判断选项即可. 【详解】因为为奇函数， 所以，即， 所以，即， 所以， 所以，因为， 所以， 当时， ；当时， ， 因为两种情况下函数的对称轴相同，不妨设， 由，得，， 当时，. 故选：D 【变式6-3】.（24-25高一下·山东潍坊·期中）函数的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据余弦函数的对称性结合整体思想求出函数的对称中心，然后逐一验证即可. 【详解】令，则， 所以函数的图象的对称中心为，， 令，则，故不是函数图象的对称中心； 令，则，故不是函数图象的对称中心； 令，则，故是函数图象的对称中心； 令，则，故不是函数图象的对称中心. 故选：C. 【变式6-4】.（2025·河南驻马店·模拟预测）函数的图象的一条对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】令，，计算可得对称轴. 【详解】令，，解得，， 当时，， 所以函数的图象的一条对称轴方程为. 故选：D. 【考点题型七】正余弦函数的值域问题（） 【例7-1】（23-24高一下·江西抚州·期中）函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】由，令，转化为二次函数求解. 【详解】解：依题意， 令， 故. 故当时，有最大值，当时，有最小值3， 故所求值域为. 故选：B. 【例7-2】（24-25高一下·河南鹤壁·开学考试）函数在区间上的最小值为，则a的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求含cosx的二次式的最值 【分析】通过换元将关于的函数转化为关于的二次函数，利用二次函数单调性求解的范围，再根据以及余弦函数图象的对称性求出的范围. 【详解】令，因为的值域是，所以，此时函数可转化为. 对于二次函数，对称轴为. 所以在区间上为增函数. 令，移项可得.解得，. 因为，所以取. 又因为在上递增，要使，则的范围是，即. 已知，根据函数图像的对称性可知，在一个周期内，满足的的范围是.结合区间性质知道，a的取值为. 故选：C. 【变式7-1】.（24-25高一下·上海·期中）函数，的值域为 ． 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】由的范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以，所以， 所以函数，的值域为. 故答案为： 【变式7-2】.（23-24高一下·安徽亳州·阶段练习）函数的最小值为 . 【答案】 【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值、与二次函数相关的复合函数问题 【分析】换元法，得到关于的二次函数，再结合二次函数图象，即可求出最小值. 【详解】令，， ， 结合二次函数图象知，当，即，时，有最小值， 所以. 故答案为： 【变式7-3】.（24-25高一下·河南南阳·期中）已知函数的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合． (1)若，求的值域； (2)求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求含sinx（型）的二次式的最值、求含sinx的函数的最小正周期 【分析】（1）根据周期性求出的值，即可得到解析式，根据周期性转化为求出的值域即可； （2）由，结合的值域及二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为函数的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合， 所以，所以，又，所以， 所以，且其最小正周期， 所以在上的值域与的值域相同， 由，则，所以， 所以当时的值域为. （2）因为， 又，所以， 所以，即函数的值域为. 【考点题型八】正切函数的定义域（） 【例8-1】（24-25高一下·北京·阶段练习）函数的定义域是 . 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的定义域 【分析】利用正切函数的定义域即可求解. 【详解】要使函数有意义，则有， 所以， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【例8-2】（24-25高一下·全国·课堂例题）求下列函数的定义域和值域： (1)； (2). 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)定义域为，值域为 【知识点】求正切（型）函数的定义域、求正切（型）函数的值域及最值 【分析】（1）正切函数的性质知，即可求定义域. （2）由根式的性质有，结合正切函数的性质即可求定义域. 【详解】（1）由，得， 所以函数的定义域为，其值域为. （2）由，得，结合的图象可知， 在上，满足的角x应满足， 所以函数的定义域为， 其值域为. 【变式8-1】.（24-25高一下·云南楚雄·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求正切（型）函数的定义域 【分析】由二次根式有意义得，结合正切函数的性质可得结果. 【详解】由题意得，， ∴， ∴， ∴函数的定义域为. 故选：B. 【变式8-2】.（24-25高一下·辽宁·阶段练习）的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求对数型复合函数的定义域、求正切（型）函数的定义域、解正切不等式 【分析】根据对数函数定义以及正切函数的定义列出不等式组，根据正切函数的图象与性质解不等式即可得出答案. 【详解】要使函数有意义， 则应有. 由正切函数的图象与性质解可得，， 所以，函数的定义域为. 故选：A. 【变式8-3】.（24-25高一下·广东清远·期中）若是斜三角形的一个内角，则函数的定义域为 . 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域、解正切不等式 【分析】根据对数函数的性质可得，即可根据正切函数的性质求解. 【详解】的定义域需要满足，故， 因此或， 故定义域为， 故答案为： 【考点题型九】正切函数的图象（） 【例9】（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）函数在某一周期内的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正切（型）函数的周期、函数图像的识别 【分析】由正切函数性质结合图象利用排除法可得答案. 【详解】由题可知，的最小正周期，排除B，D．因为，所以排除A． 故选：C． 【变式9-1】.（24-25高二上·江西赣州·开学考试）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由图象确定正切（型）函数解析式 【分析】根据阴影部分面积列方程，求得，从而求得，再根据图象上的特殊点求得正确答案． 【详解】设的最小正周期为，则， 所以，所以， 由图可知， 所以． 故选：D. 【变式9-2】.（多选）（24-25高三下·江西南昌·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，其最小正周期为T，则（   ） A． B． C．的一个单调递增区间为 D．为奇函数 【答案】AD 【知识点】求含tanx的函数的单调性、由图象确定正切（型）函数解析式、求正切（型）函数的奇偶性、求正切（型）函数的周期 【分析】直接根据正切型函数的周期性可判断A；根据图象过点求出的值可判断B；求出函数的单调增区间可判断C；求出的解析式，结合诱导公式和奇偶性的概念可判断D. 【详解】函数的最小正周期为，故A正确； 由题图可得，所以， 因为，所以，得，故B错误； 由，得， 取，可得函数的一个单调递增区间为，故C错误； 因为，且定义域关于原点对称， 所以为奇函数，故D正确． 故选：AD. 【变式9-3】.（多选）（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于直线对称 【答案】ABD 【知识点】正切函数对称性的应用、由图象确定正切（型）函数解析式 【分析】观察图象确定函数的周期，结合周期公式求，判断A，根据时，函数无意义，求，判断B，再求判断C，结合对称的性质及正切函数性质判断D. 【详解】由图可知，的最小正周期，又，所以，故，A正确； 由图象可知时，函数无意义，故， 由，得，故B正确， 因为，所以， 即的图象与轴的交点坐标为， C错误； 因为， 所以 所以函数的图象关于直线对称，D正确. 故选：ABD. 【考点题型十】正切函数的单调性（） 【例10】（2026高三·全国·专题练习）设函数，已知函数的图象与轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称． (1)求的解析式； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，无单调递减区间 【知识点】求正切型三角函数的单调性、由正切型函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）根据函数的最小正周期求出，然后根据对称中心列式，结合的范围求出，即可得解. （2）结合正切函数的单调性，列不等式求解单调区间即可. 【详解】（1）由题意知，函数的最小正周期，即．因为，所以， 所以． 因为函数的图象关于点对称，所以， 即． 又，所以，所以． （2）令，，得， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间． 【变式10-1】.（2025·辽宁·模拟预测）已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 . 【答案】5 【知识点】利用正切函数的单调性求参数 【分析】根据正切函数的单调性列不等式计算，再分讨论即可求出最大值. 【详解】由函数在区间内单调递增， 可得，且，解得. 当时，1，又，所以； 当时，； 当时，不等式无解. 综上，的最大值为5. 故答案为：5. 【变式10-2】.7．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数．（画出函数草图，直接写出结论即可．） (1)求函数的定义域与值域； (2)求函数的周期及对称轴方程； (3)求函数的单调区间． 【答案】(1)定义域为；值域为； (2)；对称轴方程为； (3)单调减区间为；单调增区间为． 【知识点】具体函数的定义域、求正切型三角函数的单调性、正切函数图象的应用、求正切（型）函数的周期 【分析】（1）根据条件，利用的性质，即可求解； （2）根据图象变换，利用的图象作出的图象，数形结合，即可求解； （3）利用的图象与性质及图象，即可求解. 【详解】（1）由，得到， 又因为的值域为，所以的值域为， 则函数的定义域为，值域为. （2）因为的周期为， 且的图象可由的图象将轴下方图象关于轴翻折上去，上方图象不变得到， 又将图象上所有点向右平移个单位，得到， 再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到的图象， 再将图象所点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变，得到， 则的图象如图所示， 由图知的周期为， 又由，得到，所以函数的对称轴方程为. （3）因为在区间上单调递增， 由，得到， 由，得到， 所以的减区间为，增区间为. 【变式10-3】.（24-25高一下·四川资阳·阶段练习）已知函数． (1)求的定义域和最小正周期； (2)求的对称中心和单调区间． 【答案】(1)定义域为，最小正周期是； (2)对称中心为，，单调递增区间为，. 【知识点】求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的对称中心、求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的定义域 【分析】（1）由已知函数的解析式直接求解其定义域，根据求解函数的最小正周期； （2）令，求对称中心，应用整体法求单调增区间． 【详解】（1）∵函数， ∴，，即，， ∴的定义域为， ∵， ∴的最小正周期是； （2）令，，解得，，此时， ∴函数的对称中心为，， 令，解得，， 所以的单调递增区间为，. 【考点题型十一】正切函数的奇偶性（） 【例11】（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的应用、由正切函数的奇偶性求函数值 【分析】根据函数解析式的特点，结合奇函数的性质进行求解即可. 【详解】设，定义域为，关于原点对称， 则，故是奇函数， 从而，即， 即. 故选：A 【变式11-1】.（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若，则 . 【答案】4039 【知识点】函数奇偶性的应用、由正弦函数的奇偶性求函数值、由正切函数的奇偶性求函数值 【分析】令，利用是奇函数即可求解. 【详解】令，则. 因为，所以是奇函数. 因为，所以，则， 故. 故答案为：4039. 【变式11-2】.．（22-23高一下·山东潍坊·期中）已知， . 【答案】 【知识点】由正弦函数的奇偶性求函数值、由正切函数的奇偶性求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】根据三角函数的奇偶性，结合奇函数的性质，可得答案. 【详解】令， 由与为奇函数，则， 则 . 故答案为：. 【考点题型十二】正切函数周期性（） 【例12】（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）函数的最小正周期为 ． 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】根据正切函数最小正周期公式，即可求解. 【详解】函数的最小正周期为. 故答案为： 【变式12-1】.（24-25高二下·浙江衢州·期中）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】根据正切型三角函数的最小正周期求解即可得答案. 【详解】函数的最小正周期. 故选：A. 【变式12-2】.（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）函数的最小正周期为 . 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】利用正切函数的周期公式计算. 【详解】因为函数的周期为， 所以的最小正周期. 故答案为： 【变式12-3】（2026高三·全国·专题练习）函数的最小正周期为，则 ． 【答案】1 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】利用正切函数周期性的定义求解即可. 【详解】因为的最小正周期为，所以，解得. 故答案为：1 【考点题型十三】正切函数对称性（） 【例13】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数关于点中心对称，则 ． 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的对称中心 【分析】由对称中心求得，再通过诱导公式可求的值. 【详解】令，可得：，结合， 令，可得，得，解得， 所以， 所以 . 故答案为：. 【变式13-1】.（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的对称中心为 . 【答案】， 【知识点】求正切（型）函数的对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】结合函数图象变换结论求函数的函数解析式，结合正切函数的性质列关系式求对称中心的横坐标，由此确定对称中心坐标即可. 【详解】由题意，函数， 令，解得，， 则的对称中心为，. 故答案为：，. 【变式13-2】.（24-25高一上·江苏盐城·期末）的对称中心为 ． 【答案】（） 【知识点】求正切（型）函数的对称中心 【分析】由正切函数图象的对称性可得答案. 【详解】令，解得，所以函数的对称中心为. 故答案为：. 【考点题型十四】正切函数的值域（） 【例14】（23-24高一下·上海·课后作业）函数的值域为 ． 【答案】 【知识点】求含tanx的二次式的最值 【分析】先求出的取值范围，再结合二次函数性质得值域． 【详解】∵，∴， ， ∴时，，时，，∴所求值域为． 故答案为：． 【点睛】本题考查对数型函数的值域，解题时利用整体思想（即换元思想）转化为二次函数值域问题求解，使问题更加简便易求． 【变式14-1】.（24-25高一上·全国·课后作业）函数的最小值为 . 【答案】2 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值、求二次函数的值域或最值 【分析】配方，结合即可求解. 【详解】因为，由于，所以当时，函数取最小值2. 故答案为：2 【变式14-2】.（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数在上的最大值为4，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】由正切（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】利用正切函数单调性求出最大值即可得解. 【详解】函数在上单调递增， 则当时，， 因此，解得， 所以实数为. 故答案为：. 【变式14-3】.（24-25高一下·全国·课后作业）已知函数． (1)求的定义域和最小正周期． (2)求的对称中心． 【答案】(1)定义域为，最小正周期是； (2) 【知识点】求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的定义域、求正切（型）函数的对称中心 【分析】（1）由已知函数的解析式可直接求解其定义域，根据来求解函数的最小正周期； （2）令，求解即可. 【详解】（1）函数，，， 即，， 的定义域为， ，的最小正周期是； （2）令，，解得，， 此时； 函数的对称中心为. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据诱导公式变形后，利用正弦函数的递减区间可得结果. 【详解】因为， 由，得， 所以函数的单调递增区间是. 故选：C. 2．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）函数为上的奇函数，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】利用正弦函数的性质，列式求解并赋值得答案. 【详解】由函数为上的奇函数，得， 解得，当时，，所给其他均不存在整数使其成立. 故选：C 3．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数，则（   ） A．在上单调递增 B．曲线关于直线对称 C．曲线关于点对称 D．曲线关于直线对称 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、求sinx的函数的单调性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】将化简，根据正弦函数的性质求解判断即可. 【详解】由， A：因为在上单调递增，所以在上单调递减，错误； B，D：因为的对称轴为，，故B正确，D错误； C：因为的对称中心为，，错误. 故选：B 4．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）对于的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求二次函数的值域或最值、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】令，从而转化成求在区间上的最小值，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】令，则，对称轴， 所以当时，取到最小值，最小值为， 故选：A. 5．（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知函数，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质求出的值域，即可得到，从而得解. 【详解】当，则， 所以，则， 因为对于，不等式恒成立， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 故选：B 6．（23-24高二下·江西南昌·期末）已知，当时，取最大值，当时，取最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求含cosx的二次式的最值、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】换元令，可得，，根据题意结合二次函数性质分析求解. 【详解】令，则，， 可知的开口向上，对称轴为， 原题意等价于：当时，取最大值，当时，取最小值， 结合二次函数对称性可知：， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 7．（23-24高一下·辽宁本溪·期中）已知函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求sinx型三角函数的单调性 【分析】由题意可知的最小正周期，则在处取得最小值，得，即可求解. 【详解】在上单调递增，又的最小正周期， 则在处取得最小值，在处取得最大值， 所以，即， 又，所以. 故选：D 8．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】观察给定的函数图象，求出及周期，进而求出，再利用最大值点求出即得. 【详解】观察图象知，，函数的周期，则， 由，得，而，于是， 所以. 故选：A 二、多选题 9．（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）已知函数，则（    ） A．函数为偶函数 B．曲线的对称轴方程为， C．在区间上单调递增 D．的最小值为 【答案】AC 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的最值、求余弦（型）函数的奇偶性、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据给定条件，利用余弦函数的图象性质，逐项判断得解. 【详解】函数，则是偶函数，A正确； 由，得，即曲线的对称轴方程为，B错误； 当时，，而余弦函数在上递增，则在上单调递增，C正确； 函数的最小值为，D错误. 故选：AC 10．（23-24高三下·江西·开学考试）已知函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的值域是 C．的图像关于点对称 D．的图像关于直线对称 【答案】ABD 【知识点】求cosx(型)函数的值域、求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据余弦型函数的最小正周期公式、值域性质、对称性逐一判断即可. 【详解】A：的最小正周期是，所以本选项正确； B：由， 所以的值域是，因此本选项正确； C：因为， 所以的图像不关于点对称，因此本选项不正确； D：因为为最大值， 所以的图像关于直线对称，因此本选项正确， 故选：ABD 三、填空题 11．（24-25高一下·江西·阶段练习）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【知识点】求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据正弦函数的性质求解即可. 【详解】由， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 12．（24-25高一下·江西·阶段练习）函数的最大值为 . 【答案】1 【知识点】诱导公式五、六、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】先利用诱导公式把函数化成的形式，再结合正弦函数的值域求函数的最大值. 【详解】因为， 所以（当，即，取“”）. 故答案为：1 四、解答题 13．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）设图象的一条对称轴是直线． (1)求，并求函数的单调增区间； (2)用“五点作图法”画出函数在区间上的图象． 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】五点法画正弦函数的图象、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用正弦函数的性质得方程，求解即可； （2）根据五点作图法的基本步骤，先列表，再描点、连线即可. 【详解】（1）因为直线是函数的一条对称轴， 所以，则，解得， 又，所以， 所以. 令， 解得， 所以函数的单调增区间为. （2）由可知 故函数在区间上的图像如下： 14．（24-25高二上·湖南郴州·开学考试）已知函数满足. (1)求； (2)求在区间上的最小值. 【答案】(1)1 (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）化简后代入，求出； （2）化简得到，由求出，利用整体法求出函数的最小值. 【详解】（1）， 故，即， 因为，所以，故，解得， （2）， ，，故， 则， 故在区间的最小值为. 15．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知， (1)若，求的值； (2)在三角形ABC中，若，求的最大值； (3)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用角的变换即可求解； （2）由条件先求角，再求出角的范围，利用三角恒等变换化简转换，结合角的范围，即而求解最大值； （3）由题意把转化为，利用换元法及基本不等式求解即可. 【详解】（1）函数, 因为，所以， 所以， . （2）由， 而，可得，即， 所以， 因为，所以, 则， 故当时，取最大值，最大值为． （3）由（1）可知 , 令，因为，所以，从而， 则即为：在上恒成立， 所以在在上恒成立， 又，当且仅当时等号成立． 所以，即实数a的取值范围为. 16．（22-23高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示．      (1)求函数的解析式； (2)将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，方程恰有三个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】（1）根据图象，结合正弦型函数的最小正周期公式、代入法进行求解即可； （2）根据正弦型函数图象变换性质，结合正弦型函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）由图示得：， 又函数的周期有：，所以，所以， 所以． 又因为过点，所以，即， 所以，，解得，， 又，所以，所以； （2）图象上所有的点向右平移个单位长度， 得到， 将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到 ，    当时，， 令，则， 令，则在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 且，，， 所以时，当时，方程恰有三个不相等的实数根． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 第一章 三角函数的图象与性质 （4个考点梳理+14题型解读+提升训练） 清单01 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 对称轴方程 无 递增区间 递减区间 无 清单02 周期性 函数 周期 函数 周期 函数 () () () 周期 其它特殊函数，可通过画图直观判断周期 清单03 三角函数奇偶性 三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数 () () () () () (1)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (2)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (3)函数是奇函数⇔()． 清单04 三角函数对称性 (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (3)函数的图象的对称中心由)解得． 【考点题型一】五点法画正余弦函数的图象（） 【例1】（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知 (1)用五点法画出在上简图（要有作图痕迹）； (2)求函数在上的值域。 【变式1-1】.（24-25高一下·四川南充·阶段练习）已知函数. (1)求的单调递增区间，并用五点法作出在区间内的图象； (2)若函数在区间上恰有一个零点，求实数m的取值范围. 【变式1-2】.（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知函数 . (1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象；       (2)求使此函数取得最大值，最小值的自变量的集合，并分列写出最大值、最小值. 【变式1-3】.（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知函数的最小正周期为． (1)求． (2)在图中给定的平面直角坐标系中，画出函数在区间上的图象，并根据图象写出其在上的单调递减区间． 【变式1-4】.（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数． (1)完成下列图表画出该函数在一段的图象； (2)求出该函数的单调递减区间和对称中心． 【考点题型二】含绝对值的正余弦函数图象（） 【例2】（2023高三·全国·专题练习）画出函数的简图． 【变式2-1】.（多选）（23-24高三下·江西·开学考试）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于轴对称 C．的值域为 D．将函数的图象向上平移一个单位长度可以得到的图象 【变式2-2】（多选）（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知函数，，则下列说法不正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．函数的单调递增区间为 D．若方程有三个不同的解，则或 【变式2-3】（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是 ． 【考点题型三】正余弦函数的单调性问题（） 【例3】（24-25高一下·河南信阳·期中）函数，的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 【变式3-1】.（24-25高一下·江苏苏州·期中）函数在上的单调递减区间是（    ） A． B． C． D．和 【变式3-2】.（24-25高一下·安徽·期中）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】.（24-25高一下·河南信阳·期中）若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 【变式3-4】.（24-25高一下·上海·期中）函数的单调增区间为 ． 【考点题型四】正余弦函数的奇偶性问题（） 【例4-1】（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数是奇函数，则的值为 ． 【例4-2】（24-25高一上·甘肃·期末）已知函数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式4-1】.（24-25高一下·湖北·期中）函数是（   ） A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数 【变式4-2】.（2026高三·全国·专题练习）函数，若为奇函数，则等于 ． 【变式4-3】.（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）若函数为偶函数，则实数 ． 【考点题型五】正余弦函数的周期性问题（） 【例5】．（2025·湖北十堰·三模）函数的最小正周期为 ． 【变式5-1】.（2025·河南·模拟预测）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】.（24-25高一下·四川成都·期中）下列函数中，以2为最小正周期且是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】.（24-25高一下·北京·阶段练习）最小正周期为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】.（24-25高一上·四川宜宾·期末）下列函数中最小正周期为，且为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型六】正余弦函数的对称性问题（） 【例6】（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】.（24-25高一下·江苏苏州·期中）函数图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】.（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知为奇函数，且，则函数图象的一条对称轴方程是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】.（24-25高一下·山东潍坊·期中）函数的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】.（2025·河南驻马店·模拟预测）函数的图象的一条对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【考点题型七】正余弦函数的值域问题（） 【例7-1】（23-24高一下·江西抚州·期中）函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【例7-2】（24-25高一下·河南鹤壁·开学考试）函数在区间上的最小值为，则a的取值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】.（24-25高一下·上海·期中）函数，的值域为 ． 【变式7-2】.（23-24高一下·安徽亳州·阶段练习）函数的最小值为 . 【变式7-3】.（24-25高一下·河南南阳·期中）已知函数的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合． (1)若，求的值域； (2)求函数的值域． 【考点题型八】正切函数的定义域（） 【例8-1】（24-25高一下·北京·阶段练习）函数的定义域是 . 【例8-2】（24-25高一下·全国·课堂例题）求下列函数的定义域和值域： (1)； (2). 【变式8-1】.（24-25高一下·云南楚雄·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】.（24-25高一下·辽宁·阶段练习）的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】.（24-25高一下·广东清远·期中）若是斜三角形的一个内角，则函数的定义域为 . 【考点题型九】正切函数的图象（） 【例9】（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）函数在某一周期内的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】.（24-25高二上·江西赣州·开学考试）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】.（多选）（24-25高三下·江西南昌·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，其最小正周期为T，则（   ） A． B． C．的一个单调递增区间为 D．为奇函数 【变式9-3】.（多选）（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于直线对称 【考点题型十】正切函数的单调性（） 【例10】（2026高三·全国·专题练习）设函数，已知函数的图象与轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称． (1)求的解析式； (2)求的单调区间． 【变式10-1】.（2025·辽宁·模拟预测）已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 . 【变式10-2】.7．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数．（画出函数草图，直接写出结论即可．） (1)求函数的定义域与值域； (2)求函数的周期及对称轴方程； (3)求函数的单调区间． 【变式10-3】.（24-25高一下·四川资阳·阶段练习）已知函数． (1)求的定义域和最小正周期； (2)求的对称中心和单调区间． 【考点题型十一】正切函数的奇偶性（） 【例11】（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D．4 【变式11-1】.（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若，则 . 【变式11-2】.．（22-23高一下·山东潍坊·期中）已知， . 【考点题型十二】正切函数周期性（） 【例12】（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）函数的最小正周期为 ． 【变式12-1】.（24-25高二下·浙江衢州·期中）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】.（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）函数的最小正周期为 . 【变式12-3】（2026高三·全国·专题练习）函数的最小正周期为，则 ． 【考点题型十三】正切函数对称性（） 【例13】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数关于点中心对称，则 ． 【变式13-1】.（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的对称中心为 . 【变式13-2】.（24-25高一上·江苏盐城·期末）的对称中心为 ． 【考点题型十四】正切函数的值域（） 【例14】（23-24高一下·上海·课后作业）函数的值域为 ． 【变式14-1】.（24-25高一上·全国·课后作业）函数的最小值为 . 【变式14-2】.（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数在上的最大值为4，则实数的值为 . 【变式14-3】.（24-25高一下·全国·课后作业）已知函数． (1)求的定义域和最小正周期． (2)求的对称中心． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）函数为上的奇函数，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 3．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数，则（   ） A．在上单调递增 B．曲线关于直线对称 C．曲线关于点对称 D．曲线关于直线对称 4．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）对于的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知函数，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·江西南昌·期末）已知，当时，取最大值，当时，取最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·辽宁本溪·期中）已知函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）      A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）已知函数，则（    ） A．函数为偶函数 B．曲线的对称轴方程为， C．在区间上单调递增 D．的最小值为 10．（23-24高三下·江西·开学考试）已知函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的值域是 C．的图像关于点对称 D．的图像关于直线对称 三、填空题 11．（24-25高一下·江西·阶段练习）函数的单调递增区间是 ． 12．（24-25高一下·江西·阶段练习）函数的最大值为 . 四、解答题 13．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）设图象的一条对称轴是直线． (1)求，并求函数的单调增区间； (2)用“五点作图法”画出函数在区间上的图象． 14．（24-25高二上·湖南郴州·开学考试）已知函数满足. (1)求； (2)求在区间上的最小值. 15．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知， (1)若，求的值； (2)在三角形ABC中，若，求的最大值； (3)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 16．（22-23高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示．      (1)求函数的解析式； (2)将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，方程恰有三个不相等的实数根，求实数的取值范围． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$