专题01 第一章 任意角与弧度制+正余弦函数的概念及性质（5考点清单，知识导图+10个考点清单&题型解读）（期末复习知识清单）高一数学下学期北师大版

清单01 第一章 任意角与弧度制+正余弦函数的概念及性质 （5个考点梳理+10题型解读+提升训练） 清单01 象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 清单02 轴线角 ① 终边落在轴非负半轴 ② 终边落在轴非负半轴 ③ 终边落在轴非正半轴 或 ④ 终边落在轴非正半轴 或 ⑤ 终边落在轴 ⑥ 终边落在轴 或 ⑦ 终边落在坐标轴 清单03 终边相同的角 所有与角终边相同的角为 清单04 扇形的弧长和面积 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 清单05 三角函数定义 三角比值 定义 定义域 正弦 sinα＝ R 余弦 cosα＝ R 正切 tanα＝ 【考点题型一】区间角的表示（） 【例1】（24-25高一·全国·课后作业）已知，则角的终边落在的阴影部分是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025高三·全国·专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（    ） A．B．C．D． 【变式1-2】（21-22高一·全国·课后作业）如图所示，终边落在阴影部分的角的取值集合为 ． 【变式1-3】.（24-25高一·全国·课后作业）如图，写出终边落在阴影部分的角的集合. (1)(2) 【变式1-4】.（24-25高一上·全国·课前预习）已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围． 【考点题型二】终边相同的角的集合（） 【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）在直角坐标系中，作出下列各角，在范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角. (1)； (2)； (3)； (4). 【变式2-1】.（24-25高一下·辽宁大连·阶段练习）的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-2】.（24-25高一上·黑龙江·阶段练习）下列各角中与437°角的终边相同的是（   ） A．67° B．77° C．107° D．137° 【变式2-3】.（24-25高一上·重庆渝北·期中）与30°角终边相同的角的集合是（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】.（24-25高一上·海南海口·阶段练习）在的范围内，与终边相同的角是 ． 【考点题型三】角度制与弧度制（） 【例3】（2024高一·全国·专题练习）把下列角度与弧度进行互化． (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【变式3-1】（23-24高一上·安徽合肥·期末）150°化成弧度是 【变式3-2】（23-24高一·全国·随堂练习）把下列各角的弧度化成度： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-3】.（23-24高一·全国·随堂练习）把下列各角的角度化成弧度： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点题型四】扇形弧长与面积公式（） 【例4】（24-25高一下·广西钦州·阶段练习）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R． (1)若，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 【变式4-1】.（2024高三·全国·专题练习）已知扇形的周长是，当扇形面积最大时，扇形的圆心角的大小为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式4-2】.（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）如图1，这是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”．如图2，这是“潮涌”的平面图，若，则图形的面积与扇形的面积的比值是 ． 【变式4-3】.（24-25高一上·广东深圳·期末）一个扇形的弧长与面积的数值都是4，则这个扇形的圆心角的弧度数为 . 【变式4-4】.（24-25高一下·江西上饶·阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； 【考点题型五】N分角（） 【例5】（24-25高一上·山西·阶段练习）“为第二象限角”是“是第一象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-1】.（多选）（23-24高一下·江西吉安·期末）已知，，那么的终边可能位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-2】.（多选）（23-24高一下·全国·开学考试）已知角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在第二象限，则角2的终边可能在（    ） A．x轴的负半轴上 B．y轴的负半轴上 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-3】.（24-25高一上·全国·课后作业）若（），则的终边在 ． 【考点题型六】定义法求三角函数（） 【例6】（23-24高一上·全国·课后作业）已知角的终边落在射线上，求的值． 【变式6-1】.（23-24高一上·内蒙古包头·期末）在平面直角坐标系中，已知角的始边是轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】.（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）设，角的终边经过点，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】.（24-25高一下·四川乐山·阶段练习）已知角终边上一点坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-4】.（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知角α的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 考点题型七】由三角函数值求终边上的点或参数（） 【例7】（24-25高一下·河南·期中）已知角的终边经过点，且，则 ． 【变式7-1】.（23-24高一下·江西·开学考试）已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上一点，且，则（    ） A． B．3 C． D．1 【变式7-2】.（23-24高三上·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的可取值为 ． 【变式7-3】（24-25高一上·河北石家庄·期末）已知角的终边经过点，若，则 . 【变式7-4】.（2025高三·全国·专题练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上的一点，且，则 . 【考点题型八】利用诱导公式化简（） 【例8】（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）在平面直角坐标系中，角的始边为x轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点，且. (1)求的值； (2)求的值. 【变式8-1】.（24-25高一下·吉林四平·开学考试）已知，求 . 【变式8-2】.（24-25高一下·湖南衡阳·期中）已知角终边上的一点. (1)求的值； (2)求的值. 【变式8-3】.（24-25高一下·安徽宿州·期中）已知点为角θ终边上一点． (1)求的值； (2)求的值． 【变式8-4】.（24-25高一上·吉林长春·期末）若角的终边过点 (1)求值； (2)求的值. 【考点题型九】由三角函数值求角（） 【例9】（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）满足，的角的集合为 . 【变式9-1】.（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若，且，则x等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式9-2】.（2025高三·全国·专题练习）“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【变式9-3】.（2024·湖南岳阳·三模）已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是 ， ． 【变式9-4】（24-25高一上·上海·课后作业）若是方程的解，求. 【考点题型十】（） 【例10】（多选）（23-24高二上·江西吉安·开学考试）已知 ，，则（　　） A． B． C． D． 【变式10-1】.（2025·江西·一模）已知 ， 则（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】.（多选）（23-24高一上·山东淄博·期末）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】.（多选）（24-25高一·全国·课后作业）已知，则下列选项正确的是(    ) A． B． C． D． 【变式10-4】（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知，则 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一下·江西景德镇·期中）角的终边与的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·陕西·期中）圆心角为，半径为的扇形，其弧长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·北京·期中）角对应的弧度制大小和终边所在象限分别是（    ） A．，第一象限 B．，第一象限 C．，第二象限 D．，第二象限 4．（2026高三·全国·专题练习）若且，则角所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（24-25高一下·河南·期中）已知某扇形的圆心角为，半径为11，则该扇形的周长为（    ） A．7 B．18 C．22 D．29 6．（2026高三·全国·专题练习）已知角的终边经过点，则的值为（   ） A． B． C．0 D．或 7．（23-24高一下·湖北荆州·开学考试）如图，在扇形中，，，则下列说法正确的个数是（ ） ①；          ②的长等于； ③扇形的周长为； ④扇形的面积为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25高一上·河北邯郸·期末）折扇在中国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化(如图1)，也是“运筹帷幄”“决胜千里”“大智大勇”的象征，图2为其结构简化图.若在圆形纸张上剪下一把扇形的扇子(扇形的半径和圆形纸张的半径相同)，记该扇形的面积为，剩下的图形面积为，若与的比值满足黄金分割值，则扇子的圆心角大约为（    ）（参考数据） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·河南南阳·期中）若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·山东德州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，角与角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别是射线和射线，若射线与单位圆的交点为，射线与单位圆的交点为，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（24-25高一上·广东肇庆·期末）在半径是2的圆形金属板上截取一块扇形板，使其半径等于圆形金属板半径，已知该扇形的圆心角为，则下列说法正确的是（    ） A．该扇形的弧长为 B．该扇形的周长为 C．该扇形的面积为 D．该圆形金属板的周长为 12．（24-25高一上·广东深圳·期末）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发，的角速度大小为，起点为，的角速度大小为，起点为.则当与重合时，的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（24-25高一下·辽宁大连·阶段练习）已知扇形的半径为r，弧长为l，若其周长为6，当该扇形面积最大时，其圆心角为，则 ． 14．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）已知点是角终边上一点，将角的终边逆时针旋转得到角，则 ． 四、解答题 15．（24-25高一下·湖南怀化·期末）为了美化城市，某部门计划在一处绿化带做一个“福地怀化”字样的园圃，如图所示，该园圃的形状是扇形挖去半径为其一半的扇形后得到的扇环，园圃的外围周长为50m，其中圆心角小于，的长不超过10m．设（单位：m），园圃的面积为（单位：）．    (1)写出关于x的函数表达式，并求出该函数的定义域； (2)当x为多少时，园圃的面积最大，求出y的最大值及此时与的长． 16．（24-25高一下·四川·阶段练习）（1）已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点． 求值：（ⅰ）； （ⅱ） （2）若，求的值． 17．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为． (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 18．（24-25高一上·山东枣庄·期末）（1）已知为角终边上一点，求的值； （2）已知，，求的值； （3）已知，且，求值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 第一章 任意角与弧度制+正余弦函数的概念及性质 （5个考点梳理+10题型解读+提升训练） 清单01 象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 清单02 轴线角 ① 终边落在轴非负半轴 ② 终边落在轴非负半轴 ③ 终边落在轴非正半轴 或 ④ 终边落在轴非正半轴 或 ⑤ 终边落在轴 ⑥ 终边落在轴 或 ⑦ 终边落在坐标轴 清单03 终边相同的角 所有与角终边相同的角为 清单04 扇形的弧长和面积 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 清单05 三角函数定义 三角比值 定义 定义域 正弦 sinα＝ R 余弦 cosα＝ R 正切 tanα＝ 【考点题型一】区间角的表示（） 【例1】（24-25高一·全国·课后作业）已知，则角的终边落在的阴影部分是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】令即可判断出正确选项. 【详解】令，得，则B选项中的阴影部分区域符合题意. 故选：B． 【变式1-1】（2025高三·全国·专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】对按奇偶分类讨论可得． 【详解】当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤≤2nπ＋(n∈Z)，此时的终边和0≤≤的终边一样，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤≤2nπ＋π＋ (n∈Z)，此时的终边和π≤≤π＋的终边一样． 故选：B． 【变式1-2】（21-22高一·全国·课后作业）如图所示，终边落在阴影部分的角的取值集合为 ． 【答案】 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】由已知，分别表示出射线OA和射线OB终边所表示的角度，然后根据题意表示阴影部分的范围即可. 【详解】终边落在射线OA上的角的集合是，终边落在射线OB上的角的集合是，所以终边落在阴影部分(含射线OA，不含射线OB)的角的集合是. 故答案为：. 【变式1-3】.（24-25高一·全国·课后作业）如图，写出终边落在阴影部分的角的集合. (1)(2) 【答案】(1) (2) 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】根据实线表示的边界可取，虚线表示的边界不可取，且按逆时针方向旋转时角度变大分析即可. 【详解】（1）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为. （2）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为. 【变式1-4】.（24-25高一上·全国·课前预习）已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围． 【答案】 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】根据题意先求解终边在30°，角的终边所在直线上的角的集合，再结合图形书写即可. 【详解】解：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为， 终边在角的终边所在直线上的角的集合为， 因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围为． 【考点题型二】终边相同的角的集合（） 【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）在直角坐标系中，作出下列各角，在范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)作图见解析；；不属于任何一个象限 (2)作图见解析；、；不属于任何一个象限 (3)作图见解析；；第三象限角 (4)作图见解析；；第三象限角 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限 【分析】利用终边相同的角可得答案. 【详解】（1）作图见下图①； ， 可得在范围内， 与的终边相同，不属于任何一个象限； （2）作图见下图②； ，， 可得在范围内，与、这两个角终边相同， 不属于任何一个象限； （3）作图见下图③； ，所以在范围内，与角终边相同的角是， 因为是第三象限角，所以是第三象限角； （4）作图见下图④； ，所以在范围内，与角终边相同的角是， 因为是第三象限角，所以是第三象限角. 【变式2-1】.（24-25高一下·辽宁大连·阶段练习）的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限 【分析】根据终边相同的角判断即可. 【详解】且角是第二象限角， 角的终边在第二象限. 故选：B 【变式2-2】.（24-25高一上·黑龙江·阶段练习）下列各角中与437°角的终边相同的是（   ） A．67° B．77° C．107° D．137° 【答案】B 【知识点】找出终边相同的角 【分析】根据终边相同的角之间相差周角的整数倍，我们可以表示出与的角终边相同的角，分析题目中的四个答案，找出是否存在满足条件的值，即可得到答案． 【详解】与角的终边相同的角为，， 当时，，故B正确； 将A，C，D代入，，得出均不是整数，即其他三个选项均不合要求. 故选：B. 【变式2-3】.（24-25高一上·重庆渝北·期中）与30°角终边相同的角的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】找出终边相同的角 【分析】根据终边相同角概念求解即可. 【详解】与30°角终边相同的角的集合是. 故选：C 【变式2-4】.（24-25高一上·海南海口·阶段练习）在的范围内，与终边相同的角是 ． 【答案】 【知识点】找出终边相同的角 【分析】利用终边相同的角的定义求解即可. 【详解】由， 可得在的范围内，与终边相同的角是. 故答案为：. 【考点题型三】角度制与弧度制（） 【例3】（2024高一·全国·专题练习）把下列角度与弧度进行互化． (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【知识点】角度化为弧度、弧度化为角度 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）由弧度制和角度值的转化公式解即可得出答案. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. （7）. （8）. （9） （10）. 【变式3-1】（23-24高一上·安徽合肥·期末）150°化成弧度是 【答案】/ 【知识点】角度化为弧度 【分析】根据弧度与角度之间的关系运算求解. 【详解】∵， ∴. 故答案为：. 【变式3-2】（23-24高一·全国·随堂练习）把下列各角的弧度化成度： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】弧度化为角度 【分析】根据弧度可化为即可得出答案. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. 【变式3-3】.（23-24高一·全国·随堂练习）把下列各角的角度化成弧度： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】角度化为弧度 【分析】直接利用角度制与弧度制的互化公式，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：由角度制与弧度制的互化公式，可得. （2）解：由角度制与弧度制的互化公式，可得. （3）解：由角度制与弧度制的互化公式，可得. （4）解：由角度制与弧度制的互化公式，可得. 【考点题型四】扇形弧长与面积公式（） 【例4】（24-25高一下·广西钦州·阶段练习）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R． (1)若，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 【答案】(1)； (2)； (3),. 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用、弧长的有关计算、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用扇形的面积公式直接计算即可； （2）利用扇形的弧长公式及面积公式建立方程组计算即可； （3）利用扇形的弧长公式、面积公式结合基本不等式计算即可. 【详解】（1）由题意可知扇形圆心角的弧度为， 则该扇形的面积为； （2）设扇形圆心角的弧度为， 则该扇形的弧长为，所以有， 解方程得（舍去）或， 所以扇形圆心角的弧度数为； （3）设扇形圆心角的弧度为，则，则 扇形的周长为， 当且仅当时，周长可取得最小值，此时， 故此时扇形的圆心角. 【变式4-1】.（2024高三·全国·专题练习）已知扇形的周长是，当扇形面积最大时，扇形的圆心角的大小为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】根据弧长公式可得，再由扇形面积表达式以及二次函数最值可得结果. 【详解】由扇形的周长为，设扇形半径为，弧长为， 可得，即， 又， 因此当半径时，扇形的面积最大为， 此时，， 故选：D. 【变式4-2】.（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）如图1，这是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”．如图2，这是“潮涌”的平面图，若，则图形的面积与扇形的面积的比值是 ． 【答案】 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】利用扇形面积公式，分别求出扇形和扇形的面积，作差得图形的面积，再求比值即可. 【详解】设扇形的圆心角，，则， 由扇形面积公式可知，， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式4-3】.（24-25高一上·广东深圳·期末）一个扇形的弧长与面积的数值都是4，则这个扇形的圆心角的弧度数为 . 【答案】2 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】根据扇形的面积及弧长公式求解即可. 【详解】设圆心角为， 由面积， 弧长， 联立可解得， 故答案为：2 【变式4-4】.（24-25高一下·江西上饶·阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； 【答案】(1) (2) 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积. 【详解】（1）． （2）设弓形面积为．由题知． ． 【考点题型五】N分角（） 【例5】（24-25高一上·山西·阶段练习）“为第二象限角”是“是第一象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】确定已知角所在象限、既不充分也不必要条件、确定n分角所在象限 【分析】利用特殊值得出象限角结合充分、必要条件的定义即可判断． 【详解】由为第二象限角，当，得是第三象限角，不满足充分性， 当时，，不满足必要性， 则“为第二象限角”是“是第一象限角”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 【变式5-1】.（多选）（23-24高一下·江西吉安·期末）已知，，那么的终边可能位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABC 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】利用给定条件解出的范围，再分类讨论求解即可. 【详解】由题意可得，，则，， 当时，此时的终边落在第一象限，故A正确； 当时，此时的终边落在第二象限，故B正确； 当时，此时的终边落在第三象限，故C正确． 故选：ABC 【变式5-2】.（多选）（23-24高一下·全国·开学考试）已知角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在第二象限，则角2的终边可能在（    ） A．x轴的负半轴上 B．y轴的负半轴上 C．第三象限 D．第四象限 【答案】BCD 【知识点】确定n倍角所在象限 【分析】由任意角的定义写出角的范围判断即可. 【详解】由题意得，，，则，，故角2的终边可能在第三象限、y轴的负半轴、第四象限上. 故选：BCD. 【变式5-3】.（24-25高一上·全国·课后作业）若（），则的终边在 ． 【答案】轴上 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】根据得，即可判断. 【详解】因为， 所以， 所以， 即的终边在轴上. 故答案为：轴上. 【考点题型六】定义法求三角函数（） 【例6】（23-24高一上·全国·课后作业）已知角的终边落在射线上，求的值． 【答案】 【知识点】利用定义求某角的三角函数值 【分析】根据角的终边所在位置，在终边上取一点利用三角函数定义即可求得角的三角函数值. 【详解】射线经过第二象限，在射线上的取点， 即角的终边经过点，则， 利用三角函数定义可得，，； 所以. 【变式6-1】.（23-24高一上·内蒙古包头·期末）在平面直角坐标系中，已知角的始边是轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】先求解，利用三角函数的定义求解. 【详解】因为角终边经过点，所以， 故. 故选：C. 【变式6-2】.（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）设，角的终边经过点，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据给定条件，利用三角函数定义求解即得. 【详解】由，角的终边经过点，得， ，所以. 故选：A 【变式6-3】.（24-25高一下·四川乐山·阶段练习）已知角终边上一点坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据三角函数的定义求出，代入求值，即得答案. 【详解】由题意知角终边上一点坐标为，故， 故， 故， 故选：D 【变式6-4】.（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知角α的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】利用三角函数的定义求解即可. 【详解】因为角α的终边经过点， 所以. 故选：B. 考点题型七】由三角函数值求终边上的点或参数（） 【例7】（24-25高一下·河南·期中）已知角的终边经过点，且，则 ． 【答案】-24 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据三角函数定义和正切值得到方程，求出答案. 【详解】因为，且角的终边经过点，所以，解得． 故答案为：-24 【变式7-1】.（23-24高一下·江西·开学考试）已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上一点，且，则（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】 根据正弦的定义得到，解出即可. 【详解】 因为，是角终边上一点，所以， 由三角函数的定义，得，解得（正值舍去）. 故选：A. 【变式7-2】.（23-24高三上·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的可取值为 ． 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据三角函数定义得到方程，求出的可取值为. 【详解】由三角函数定义可知， 故， 显然满足要求， 当时，化简得，解得， 故的可取值为. 故答案为： 【变式7-3】（24-25高一上·河北石家庄·期末）已知角的终边经过点，若，则 . 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据角的终边经过点，利用三角函数的定义求解. 【详解】解：因为角的终边经过点，且， 所以，解得， 所以， 故答案为： 【变式7-4】.（2025高三·全国·专题练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上的一点，且，则 . 【答案】 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据三角函数的定义得到方程，解得即可. 【详解】因为是角终边上一点，所以， 由三角函数的定义，得，解得. 故答案为：. 【考点题型八】利用诱导公式化简（） 【例8】（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）在平面直角坐标系中，角的始边为x轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、三角函数的化简、求值——诱导公式、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】（1）利用角上的点在第四象限，由三角函数定义可得，即可解得的值； （2）利用诱导公式并化切为弦计算即可得出结果； 【详解】（1）因为角的始边为x轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点， 所以，； 整理得，解得，故. （2）由诱导公式可得： ； 因为，所以； 因此原式. 【变式8-1】.（24-25高一下·吉林四平·开学考试）已知，求 . 【答案】/-0.5 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、特殊角的三角函数值 【分析】先利用诱导公式化简函数解析式，再结合特殊角的三角函数值即可求值得解. 【详解】由， 则 故答案为： 【变式8-2】.（24-25高一下·湖南衡阳·期中）已知角终边上的一点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再由诱导公式化简即可； （2）构造齐次分式，同除，转化为含有的式子求解. 【详解】（1）因为角终边上的一点， 所以， 所以 ； （2）因为， 所以 . 【变式8-3】.（24-25高一下·安徽宿州·期中）已知点为角θ终边上一点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)，． (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据正弦函数和余弦函数的定义求解即可； （2）根据诱导公式化简目标式子，结合（1）的数值求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，． （2）由诱导公式，可得， 所以原式． 【变式8-4】.（24-25高一上·吉林长春·期末）若角的终边过点 (1)求值； (2)求的值. 【答案】(1)， (2)7 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】（1）利用三角函数的定义求解即可； （2）利用诱导公式将原式化简，代入求解即可. 【详解】（1）因为角的终边过点， 所以，； （2）. 【考点题型九】由三角函数值求角（） 【例9】（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）满足，的角的集合为 . 【答案】 【知识点】已知三角函数值求角 【分析】借助余弦函数的性质计算即可得. 【详解】由，则， 即，又， 则，有， 当，有， 故角的集合为. 故答案为：. 【变式9-1】.（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若，且，则x等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【知识点】已知三角函数值求角 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的定义求出. 【详解】所对锐角，由，得是第三或第四象限角， 而，所以或. 故选：A 【变式9-2】.（2025高三·全国·专题练习）“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】C 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知三角函数值求角 【分析】根据正弦函数的性质求出的解，判断是否与的范围相对应，再根据充分必要条件的定义即可判断. 【详解】因为，所以或. 对，当时，与对应； 当时，与对应. 所以 “”是“”的充要条件. 故选：C. 【变式9-3】.（2024·湖南岳阳·三模）已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是 ， ． 【答案】 （答案不唯一，符合，或，，即可） 【知识点】找出终边相同的角、已知三角函数值求角 【分析】由条件角的终边关于直线对称可得，由可得，解方程求即可. 【详解】因为角的终边关于直线对称， 所以，， 又， 所以或，， 所以，或，，， 取可得或 所以的一组取值可以是， 故答案为：，，（答案不唯一，符合，或，，即可） 【变式9-4】（24-25高一上·上海·课后作业）若是方程的解，求. 【答案】或， 【知识点】已知三角函数值求角 【分析】将代入方程再根据特殊值求角可得答案. 【详解】由题意，将代入方程，得到， ∴，， 则或，. 【考点题型十】（） 【例10】（多选）（23-24高二上·江西吉安·开学考试）已知 ，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知弦（切）求切（弦） 【分析】根据同角基本关系，结合完全平方公式可判断各项. 【详解】对于A：因为所以 即，所以A正确; 对于B、C：因为，且， 所以，即，所以所以B错误，C正确; 对于D：联立，解得所以，所以D正确. 故选：ACD. 【变式10-1】.（2025·江西·一模）已知 ， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】在等式两边平方，求出的值，再利用切化弦可求得的值. 【详解】在等式两边平方可得，可得， 所以. 故选：B. 【变式10-2】.（多选）（23-24高一上·山东淄博·期末）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知弦（切）求切（弦） 【分析】由平方关系求得，从而确定可提范围，再由平方关系求得，用方程组思想求得，最后由商数关系求得 【详解】由得， ，又，，所以，所以，A正确； ，D正确； 结合可得，，B正确； ，C不正确． 故选：ABD． 【变式10-3】.（多选）（24-25高一·全国·课后作业）已知，则下列选项正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】由已知条件，两边平方求出，即可判断A；再根据，得出和，由即可判断B；再根据即可判断C和D，进而得出答案． 【详解】两边平方，得， 即，则，选项A正确； 因为，所以， 又因为，所以， 因为， 所以，选项B正确， 因为，故D正确， C错误， 故选：ABD． 【变式10-4】（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知，则 【答案】 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角恒等变换的化简问题 【分析】，然后将条件两边平方即可得出答案. 【详解】， ， 所以，所以， 故答案为：. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一下·江西景德镇·期中）角的终边与的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】找出终边相同的角 【分析】先求与大小为的角的终边关于轴对称的一个角，再结合终边相同的角的集合求即可. 【详解】因为大小为的角的终边与大小为的角的终边关于轴对称， 所以. 故选：D. 2．（24-25高一下·陕西·期中）圆心角为，半径为的扇形，其弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】弧长的有关计算 【分析】利用扇形的弧长公式可求得结果. 【详解】圆心角为，半径为的扇形，其弧长为. 故选：D. 3．（24-25高一上·北京·期中）角对应的弧度制大小和终边所在象限分别是（    ） A．，第一象限 B．，第一象限 C．，第二象限 D．，第二象限 【答案】D 【知识点】确定已知角所在象限、角度化为弧度 【分析】利用角度与弧度的互化以及象限角的定义判断即可. 【详解】因为，且， 因为为第二象限角，故为第二象限角， 故选：D. 4．（2026高三·全国·专题练习）若且，则角所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】根据各象限三角函数的符号特征判断即可. 【详解】若，则角在第三或第四象限，也可能与轴的负半轴重合， 若，则角在第二或第四象限， 所以当且时，角在第四象限． 故选：D． 5．（24-25高一下·河南·期中）已知某扇形的圆心角为，半径为11，则该扇形的周长为（    ） A．7 B．18 C．22 D．29 【答案】D 【知识点】弧长的有关计算 【分析】设该扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，利用扇形的弧长和周长公式列式求解即可. 【详解】设该扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l， 则，所以， 所以扇形的周长为. 故选：D. 6．（2026高三·全国·专题练习）已知角的终边经过点，则的值为（   ） A． B． C．0 D．或 【答案】B 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据任意角的三角函数计算求解. 【详解】因为，所以， 所以， 则． 故选：B. 7．（23-24高一下·湖北荆州·开学考试）如图，在扇形中，，，则下列说法正确的个数是（ ） ①；          ②的长等于； ③扇形的周长为； ④扇形的面积为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】根据题意，结合角度制与弧度制的互化，以及扇形的弧长与面积公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①，因为，根据角度制与弧度制的互化，可得，所以①正确； 对于②，由扇形的弧长公式，可得的长度为，所以②正确 对于③，所以扇形的周长为，所以③正确； 对于④，由扇形的面积公式，可得扇形的面积为，所以④正确. 故选：D. 8．（24-25高一上·河北邯郸·期末）折扇在中国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化(如图1)，也是“运筹帷幄”“决胜千里”“大智大勇”的象征，图2为其结构简化图.若在圆形纸张上剪下一把扇形的扇子(扇形的半径和圆形纸张的半径相同)，记该扇形的面积为，剩下的图形面积为，若与的比值满足黄金分割值，则扇子的圆心角大约为（    ）（参考数据） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】弧度化为角度、扇形面积的有关计算 【分析】设扇形的圆心角为，半径为r，利用扇形及圆的面积公式化简求解． 【详解】设扇形的圆心角为，半径为r，则，， 所以，解得. 故选：C 9．（24-25高一下·河南南阳·期中）若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据任意角的三角函数的定义分计算求解即可. 【详解】因为角的终边经过点， 当时，由三角函数的定义可得， ，此时，； 当时，由三角函数的定义可得， ，此时，． 综上，． 故选：B． 10．（24-25高一上·山东德州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，角与角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别是射线和射线，若射线与单位圆的交点为，射线与单位圆的交点为，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式二、三、四 【分析】先根据题意求出，再根据任意角的三角函数的定义和诱导公式求出的值，然后代入计算即可. 【详解】由题意得，且，解得，所以， 所以， 因为，所以， 所以. 故选：A 二、多选题 11．（24-25高一上·广东肇庆·期末）在半径是2的圆形金属板上截取一块扇形板，使其半径等于圆形金属板半径，已知该扇形的圆心角为，则下列说法正确的是（    ） A．该扇形的弧长为 B．该扇形的周长为 C．该扇形的面积为 D．该圆形金属板的周长为 【答案】BC 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】根据弧长公式和扇形的面积公式逐项判断即可. 【详解】选项A：该扇形的弧长，故A说法错误； 选项B：该扇形的周长，故B说法正确； 选项C：该扇形的面积，故C说法正确； 选项D：该圆形金属板的周长，故D说法错误； 故选：BC 12．（24-25高一上·广东深圳·期末）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发，的角速度大小为，起点为，的角速度大小为，起点为.则当与重合时，的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、诱导公式二、三、四 【分析】由题意列出重合时刻t的表达式，进而可得重合时P，Q点的坐标，通过讨论的奇偶性得解. 【详解】点的初始位置的坐标为，锐角， 设时刻两点重合，则，即， 此时点， 即，， 当为偶数时，，即重合于点，故A正确； 当为奇数时，，即，故C正确. 故选：AC. 三、填空题 13．（24-25高一下·辽宁大连·阶段练习）已知扇形的半径为r，弧长为l，若其周长为6，当该扇形面积最大时，其圆心角为，则 ． 【答案】/ 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、基本不等式求和的最小值、扇形面积的有关计算、特殊角的三角函数值 【分析】根据扇形的面积公式结合均值不等式得到，再利用诱导公式化简得到答案. 【详解】根据题意：，故， ， 当，即时等号成立. . 故答案为：. 14．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）已知点是角终边上一点，将角的终边逆时针旋转得到角，则 ． 【答案】/ 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六 【分析】利用三角函数定义计算可得，再由角以及诱导公式代入计算可得结果. 【详解】由题可知， 将角的终边逆时针旋转得到角，可得， 因此； 所以. 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高一下·湖南怀化·期末）为了美化城市，某部门计划在一处绿化带做一个“福地怀化”字样的园圃，如图所示，该园圃的形状是扇形挖去半径为其一半的扇形后得到的扇环，园圃的外围周长为50m，其中圆心角小于，的长不超过10m．设（单位：m），园圃的面积为（单位：）．    (1)写出关于x的函数表达式，并求出该函数的定义域； (2)当x为多少时，园圃的面积最大，求出y的最大值及此时与的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】求二次函数的值域或最值、弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】（1）利用扇形的弧长公式和面积公式求解解析式即可. （2）利用二次函数的性质求解最值即可. 【详解】（1）在扇形中，由题意得，， 由扇形面积公式得扇形的面积为， 扇形的面积为， 故，由弧长公式得的长度为， 的长度为，而园圃的外围周长为50m， 故，解得， 因为圆心角小于，所以， 解得，而，故， 故，该函数的定义域为. （2）由二次函数性质得在内单调递增， 当时，的最大值为， 的长度为， 的长度为. 16．（24-25高一下·四川·阶段练习）（1）已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点． 求值：（ⅰ）； （ⅱ） （2）若，求的值． 【答案】（1）（ⅰ），（ⅱ），（2） 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式、诱导公式五、六 【分析】（1）根据三角函数的定义即可求解（ⅰ），根据诱导公式即可求解（ⅱ）， （2）根据诱导公式即可化简求解. 【详解】（1）由于角的终边经过， （ⅰ）故， （ⅱ）， ， （2） ， 故， 17．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为． (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式、诱导公式五、六 【分析】（1）利用三角函数的定义得到，，再利用诱导公式化简原式代入即可求得结果. （2）因为，又为锐角，故，再利用转化以及同角三角函数的关系即可求得结果. 【详解】（1）因为锐角的终边与单位圆交于点，所以， 所以， 又，将，代入可得 （2）由三角函数定义得，因为， 且，又为锐角，故， 所以，即， 因为， 又，所以， 所以. 故 18．（24-25高一上·山东枣庄·期末）（1）已知为角终边上一点，求的值； （2）已知，，求的值； （3）已知，且，求值． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据任意角三角函数值的定义可得，结合齐次式问题运算求解即可； （2）根据同角三角关系可得，利用诱导公式运算求解即可； （3）根据同角三角关系可得，进而可得. 【详解】（1）因为为角终边上一点，则， 所以； （2）因为，，则， 所以； （3）因为，解得或， 又因为，则， 可得，所以. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$