第1章 专项1-3 分类讨论思想在等腰三角形中的应用&构造等腰三角形的常用方法&等腰三角形中的“手拉手”模型-【勤径学升】2024-2025学年八年级下册数学同步练测（北师大版）

参考答案及解析 【能力捉升练】 如答图②.DG∥AB. 1.解：△APQ为等边三角形.理由： ∴.∠GDC=∠B=60°，∠DGC=∠A=60. △ABC为等边三角形，∴AB=AC ·∠GDC=∠DGC=∠GCD=60. AB =AC, .△GCD为等边三角形.∴.DG=CD=CG. 在△ABP和△ACQ中， ∠ABP=∠ACQ, :△EDF为等边三角形 BP=CQ, ∴.ED=FD,∠EDF=∠GDC=6O ∴.△MBP≌△ACQ(SAS). .∠EDG=∠FDC. ∴.AP=AQ.∠BAP=∠CAQ. ∴.△EGD≌△FCD..EG=FC. △ABC为等边三角形， EG=CG+CE=CD+CE, ∴.∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°， .CF =CD +CE. .∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°， 2.解：(1)·△ABC为等边三角形 ,∴.△4PQ是等边三角形. ∴AB=AC=BC=8,∠B=∠C=60 2.(1)证明：△ABC是等边三角形， AD=2...BD =AB -AD =8-2=6. .AB=CA,∠BAE=∠C=60 在R△BDE中，∠BDE=90°-∠B=90°-60°=30 又AE=CD,.△ABE≌△CAD.BE=AD. (2)解：由(1)知△ABE≌△CAD 服=D=×6=3 .∠CAD=∠ABE .CE=BC-BE=8-3=5 ,∴，∠BPD=∠PAB+∠ABE=∠PAB+∠CAD= 在R△CFE中，∠CEF=90°-∠C=90°-60°=30°， ∠BAC=60°. cF=E=3x5=3 又.BQ⊥AD∴.∠PBQ=90°-∠BPD=90°-60°=30° .'BP =2P0 =6..'.BE =BP PE=6+1=7. Ar=AC-fc=8-音=号 .AD BE =7. (2)在△BDE和∠CEF中， 题型变式 r∠BED=∠CFE=90°， 1.【问题解决】 ∠B=∠C. 证明：在CD上截取CH=CE,连接EH,如答图①. DE EF, △ABC是等边三角形， ∴，△BDE≌∠CEF(AAS).∴.BE=CF ∴.∠ECH=60°.∴.△CEH是等边三角形. .EH=EC,∠CEH=60° LCEF=30BE=CF=EC :△DEF是等边三角形， 能=C=号BD=2E= DE=FE,∠DEF=6O ∴.∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=6O°. AD=AB-D=号当AD=受时，DE=R ∴.∠DEH=∠FEC..△DEI≌△FEC. 专项1分类讨论思想在等腰三角形中的应用 ∴.DH=FC.∴.CD=CH+DH=CE+FC, 1.解：①当底边长为6，腰长为7时，符合三角形三边 即CE+CF=GD. 关系，周长为6+7+7=20： ②当底边长为7，腰长为6时，符合三角形三边关 系，周长为7+6+6=19. 2.解：若∠C为底角， ①如答图①，当AB=AC时 G :AD⊥BC,∴BD=CD. 1题答图① 1题答图② 【类比探究】 yA0=BCA0=BD=GD∠C=45 解：CF=CD+CE. ②如答图②，当AB=BC时， 理由：：△ABC是等边三角形， .∠A=∠B=60°. AD=2CAD=号4. 过点D作DG∥AB,交AC的延长线于点G, 又，AD⊥BC,∴.∠ABD=30°，∴.∠C=75 ·5 八年级数学·北师版（下册） ③如答图③，当AB=BC时. ∴，∠AP,D=∠AED=69°，∴，∠EDP,=360°-69°- A0=CA0=4B, 69°-80°=142°②如答图②，当点P在P,的位置 时，同理，可得Rt△DEG≌R△DPH,∠EDG= 又，AD⊥BC,∠DBA=30°，.∠C=15 ∠P,DH,∴.∠EDP2=∠GDH=360°-90°-90°- 若∠C为顶角.如容图④，AC=BC, 80°=100°.综上，∠EDP的度数为142°或100 'AD⊥BC,∴∠ADC=90 A AD=2BCAD=24C∠C=30 综上，∠C的度数为45或75°或15或30 D 5题客图① 5题答图② 6.15或75°[解析]当等腰三角形是锐角三角形时， B 腰上的高在三角形内部，如答图①，BD为等腰三角 2题答图①2题答图② 2题答图3) 2题答图④ 3.解：设这个角的度数为x. 彩AC腰AC上的高，并且BD=4BLA=30P, 当这个角为底角时，由三角形内角和定理可知顶角 ∴∠ABC=∠ACB=75:当等腰三角形是钝角三角 为180°-2x, 形时，腰上的高在三角形外部，如答图②，∴.∠DAB= 根据题意得x=2(180°-2x),解得x=72 30°，.∠BAC=150°，∴.∠ABC=∠ACB=15°. 当这个角为顶角时，则底角为180-当 2 根据题意得x=2()解得x=90°，则底角的 B 3 度数为1809-=45综上所述，底角为72或45. 2 6题答图① 6题答图② 7.解：当等腰三角形为锐角三角形时，如答图①， 4.9宝10〔解析]分两种特况：①当点P在01上 BD⊥AC于点D,则∠ABD=40°，∠ADB=90°， 时，如答图①，OP=OQ,根据题意，得P0=A0-AP .∠A=90°-∠ABD=50°，.∠C=∠ABC=65°： =10-2,00=10-2=,解得1=9：2当点P 当等腰三角形为钝角三角形时，如答图②， BD⊥AC于点D,则∠ABD=40°，∠ADB=90°， 在OB上时，如答图②，△POQ是等边三角形，根据 .∴.∠BAD=90°-∠ABD=50°， 题意，得P0=AP-A0=21-10,0Q=1,∴.24-10= ÷.∠CAB=130°，.∠C=∠ABC=25. ,解得1=10.故当1=9浅10时，△P00是等腰三 综上所述，该等腰三角形的底角度数为25°或65°. 角形. D 7题答图① 7题答图② A PO B A 0 专项2构造等腰三角形的常用方法 4题答图① 4题答图② 1.证明：(1)如答图，连接AD. 5.142°或100°[解析]，AB=AC,∠B=50°， AB=AC,D为BC的中点， .∠BAC=180°-50°-50°=80°.由题意，知△EDP ∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,∠B=∠C 只能是以DE为腰的等腰三角形.如答图，过点D作 又：∠BAC=90°， DG⊥AB于点G,DH⊥AC于点H,AB=AC,D为 ∴.∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°..AD=BD. BC的中点，，AD平分∠BAC,.DG=DI,.点P可 BE =AF, 能在P的位置，也可能在P的位置.①如答图①， 在△BED和△AFD中，∠B=∠DAF. 当，点P在P,的位置时，在R△DEG与Rt△DP,H BD=AD. 中，DE=DP,DG=DH,R△DEG≌Ri△DP,H, ∴.△BED≌△AFD(SAS).∴.ED=FD. 6 参考答案及解析 (2),△BED≌△AFD,∴.∠BDE=∠ADF 5.证明：如答图，延长BD到F,使BF=BA,连接AF.CF .∠BIDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA=90°， ∠ABD=60°，∴.△ABF为等边三角形， .∠EDF=90°，.ED⊥DF ,∴AF=AB=BF,∠AFB=60 又：AB=AC,∴.AC=AF,∴.∠ACF=∠AFC 又.∠ACD=60°，∴.∠AFB=∠ACD=60°， .∠DCF=∠DFC.∴，DC=DF D .BD +DC BD +DF BF =AB, 1题答图 2.证明：过点D作DM∥AC交BC于点M,如答图， 即BD+DC=AB. ,∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E. AB=AC,∴，∠B=∠ACB, ÷∠B=∠DMB.∴.BD=MD BD CE,..MD =CE. 在△DMF和△ECF中， C ,∠MDF=∠E, 5题答图 ∠MFD=∠CFE, 6.解：如答图，在DC上截取DE=BD,连接AE. LMD=CE, AD⊥BC,∴.∠ADB=∠ADE=90 .△DMF≌△ECF(AAS),∴.DF=EF 在△ABD和△AED中，AD=AD,∠ADB=∠ADE, 3.证明：(1)如答图，延长AB,DE交于点F DB=DE,∴.△ABD≌△AED, AB∥CD,∴.∠F=∠2. .AB=AE,.∠B=∠AEB. ∠1=∠2，∴，∠1=∠F,AD=AF 又，AB+BD=CD,DE=BD,CD=DE+EC, AD=AB+CD,AF=AB+BF,∴，DC=FB ∴.AB+DE=DE+EC,∴.AB=EC,.AE=EC 又：∠DEC=∠FEB. 设∠EAC=∠C=x, △DCE≌△FBE,∴.BE=CE :∠AEB为△AEC的外角， (2)由(1)知△DCE≌△FBE,AD=AF, .∠AEB=∠EAC+LC=2x,∴.∠B=2x. ,DE=EFAE⊥DE. 在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°， (3)DE=EF,AD=AF,∴AE平分∠DAB. 即2x+120°+x=180°，解得x=20°，∴.∠C=20 D B 6题答图 3题答图 4.证明：如答图，延长AD至点G,使DG=AD,连接BG 专项3等腰三角形中的“手拉手”模型 在△BDG和△CDA中， 1.(1)证明：：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形， BD CD, ∠ACB=∠DCE=90°， ∠BDG=∠CDA, .AC=BC,DC EC, LDG=DA. ∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD ∴，△BDG≌△CDA(SAS), ∴.∠BCD=∠ACE. D C .BG=AC,∠G=∠CAD. 在△ACE和△BCD中， .AE=EF, rAC=BC, ∴.∠CAD=∠AFE. ∠ACE=∠BCD, 又：∠BFG=∠AFE, G CE CD, .∠CAD=∠BFG. 4题答图 .△ACE≌△BCD(SAS),∴.AE=BD. ,∠G=∠BFG. (2)解：△ACB≌△DCE,△EMC≌△BNC, BF=BG,∴BF=AC △AON≌DOM,△AOB≌△DOE. ·7 八年级数学·北师版（下册） 2.解：BM=AM+CM.理由如下： 又，∠BCE+∠ECD=180°， 如答图，在DA上取点F,使DF=ME,连接CF ∴.∠BCE+∠BAC=180. △ABC与△EIDC都是等边三角形， .AC=BC=AB,CE=CD.∠BCA=∠ECD=60. ∴.∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE, 即∠BCE=∠ACD.∴，△BCE≌△ACD. B C D ∴.AD=BE,∠BEC=∠ADC. 3题答图 在△MEC和△FDC中， 2直角三角形 ME FD, 课时1直角三角形的性质与判定 ∠MEC=∠FDC, 【基础巩围练】 LEC =DC. 1.A[解析]：AB=9.8米，AP>AB,.绳子AP的长 ∴.△MEC≌△FDC(SAS). 度不可能是9米.故选A ∴MC=FC,∠MCE=∠FCD 2.C .∠MCF=∠MCE+∠ECF=∠FCD+∠ECF= ∠ECD=60 3.证明：CD是△ABC的中线，且CD=2B, ∴，△MCF是等边三角形.∴MC=MF .AD =CD,BC CD, .BM BE ME =AD -DF =AM+MF =AM+CM. ∴.∠A=∠ACD,∠B=∠BCD, :∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴，∠A+∠B+∠ACD+∠BCD=I80°， ∴.2（∠ACD+∠BCD)=180°， 2题答图 ∴.∠ACD+∠BCD=90°，即∠ACB=90° 3.(1)①证明：，∠BAC=∠DAE, 4.解：CD⊥AB, ,∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC ∴.∠ADC=∠BDC=90. ∴∠BAD=∠CAE. 在Rt△BDC中，BC=15,BD=9, 又.AB=AC,AD=AE .CD=√BC-BD=115-9=12. ∴.△ABD≌△ACE.·∠ABD=∠ACE. 在Rt△ADC中，AC=20,CD=12, ∴.∠BCE+∠BAC=∠BCA+∠ACE+∠BAC= ∠BCA+∠ABD+∠BAC=180°. .AD=/AC2-CD=V20-12=16. 2解：：△ABC是等边三角形，且AB=AC=2, 5.解：如答图，作△ABC边AB上的高CD. .BC=2. 在R△ADC中， △ABD≌△ACE.∴，BD=CE, :∠ADC=90°，∠A=30°，AC=2, ,四边形ADCE的周长=AD+DC+CE+AE=AD DC+BD+AE=BC+2AD. cD=74c=3×2=1 ∴，当AD最短，即AD⊥BC时，四边形ADCE的周长 AD=√AC-CD=5 最小 在Rt△BDC中， ·△ABC是等边三角形，AD⊥BC, ∠BDC=90°，∠B=45°， m=CB=7x2=1 .∠BCD=45°，∴，∠B=∠BCD (2)解：∠BCE+∠BAC=180° .BD CD =1,BC /CD +BD =2. 理由：如答图，设CE与AD交与点F .AB =AD+BD=3+1. ∠BAC=∠DAE,∴.∠BAD=∠CAE 又，AB=AC,AD=AE,∴.△ABD≌△ACE ∴∠ADB=∠AEC. '∠AFE=∠CFD,∴.∠EAF=∠ECD. D ∠BAC=∠FAE,∴.∠BAC=∠ECD. 5题答图 ·8八年级数学·北师版（下册） 专项1分类讨论思想在等腰三角形中的应用 [答案5 类型①腰或底不确定时分类讨论 类型③点的位置不确定时分类讨论 已知等腰三角形的两边长分别为6和7，求这个4（广州一中期中）如图，∠B0C=60°，A是B0的 三角形的周长 延长线上一点，OA=10cm,动点P从点A出发 沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出 发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P,Q同 时出发，用1(s)表示移动的时间，那么当t= 时，△POQ是等腰三角形. A市0 4题图 5题图 ⑤（成都期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB= 类型②顶角或底角不确定时分类讨论 AC,∠B=50°，D为BC的中点，点E在AB上， ∠AED=69°，若点P是等腰三角形ABC的腰AC 2已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D,且AD 上一点，则当△EDP为等腰三角形时，∠EDP的 =BC,求锐角LC的度数 度数是 类型④⑨图形不确定时分类讨论 6若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则 这个等腰三角形的底角度数为 7已知一个等腰三角形一腰上的高与另一条腰的 夹角为40°，求该等腰三角形的底角度数. 3若等腰三角形中一个角的度数是另一个角的两 倍，求底角的度数. 见此图标弱抖音/微信扫码领取配套资源隐步提升成绩 第一章三角形的证明 专项2构造等腰三角形的常用方法 [答案6] 类型①构造“三线合一”图形 类型④倍长中线法构造等腰三角形 ①如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,D为BC4如图，在△ABC中，AD是边BC的中线，E是AC 的中点，E,F分别是AB,AC上的点，且BE=AF. 上一点，BE交AD于点F,若AE=EF,求证：BF 求证： =AC. (1)ED=DF: (2)ED⊥DF D 4题图 1题图 类型②作平行线构造等腰三角形 2如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AB上，点E类型⑤截长补短法构造等腰三角形 在AC延长线上，且BD=CE,DE交BC于点F,⑤如图，在△ABC中，AB=AC,D是△ABC外一点， 求证：DF=EF 且∠ABD=60°，∠ACD=60°求证：BD+DC=AB. 2题图 5题图 类型⑨补形法构造等腰三角形 3如图，AB∥CD,∠1=∠2，AD=AB+CD, 6如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于点 (1)求证：BE=CE: D,且AB+BD=DC,求∠C的度数 (2)求证：AE⊥DE: (3)求证：AE平分∠DAB. 6题图 3题图 见此图标阻抖音/微常扫码领取配套资源稳步提升成绩 C0. 八年级数学·北师版（下册） 专项3等腰三角形中的“手拉手”模型 [答案口] 类型①共顶点的等腰直角三角形 3在△ABC中，AB=AC,点D是射线BC上一点 (哈尔滨中考)已知，△ABC和△DCE都是等腰 (不与B,C重合)，以AD为一边在AD的右侧作 直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE,BD △ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE. 交于点O,AE与DC交于点M,BD与AC交于 (1)如图①，若△ABC是等边三角形，且AB=AC 点N =2,点D在线段BC上 (1)如图①，求证：AE=BD: ①求证：∠BCE+∠BAC=180°： (2)如图②，若AC=DC,在不添加任何辅助线的 ②当四边形ADCE的周长取最小时，求BD 情况下，请直接写出图②中四对全等的直角 的长. 三角形 (2)若∠BAC≠60°，当点D在线段BC的延长线 上移动时，如图②，∠BCE和∠BAC之间有 怎样的数量关系？并说明理由。 1题图① 1题图② 3题图① 3题图② 类型②共顶点的等边三角形 2如图，△ABC和△EDC都是等边三角形，当点 B,C,D在一条直线上时，连接AD,BE交于点 M,连接CM,试探究线段BM与线段AM,CM之 间的数量关系，并说明理由， 2题图 10g 见北困标弱科青/微信扫码额取配套资源稳步提升成绩