专题03 概率（易错必刷30题6种题型专项训练）（期末复习专项训练）高二数学下学期湘教版

专题03 概率 （易错必刷30题6种题型专项训练） 题型一　条件概率 题型二　全概率公式 题型三　贝叶斯公式 题型四　离散型随机变量的分布列 题型五　利用正态分布的对称性求概率 题型六　正态分布的实际应用 题型一　条件概率 1．（23-24高三下·河北·阶段练习）甲、乙、丙、丁位同学报名参加学校举办的数学建模、物理探究、英语演讲、劳动实践四项活动，每人只能报其中一项，则在甲同学报的活动其他同学不报的情况下，位同学所报活动各不相同的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·浙江·阶段练习）若，，，则（     ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施打击，该构件有两个易损部位，每次打击后，部位损坏的概率为，部位损坏的概率为，则在第一次打击后就有部位损坏（只考虑两个易损部分）的条件下，两个部位都损坏的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，一个质点从原点0出发，每隔一秒随机等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次2的位置的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·安徽·阶段练习）某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为（    ） A． B． C． D． 题型二　全概率公式 6．（24-25高二下·上海奉贤·期中）（1）甲、乙、丙、丁、戊，己六人站成一排拍照，记甲、乙两人不相邻的概率为； （2）高二年级举行演讲比赛，共有10名学生参赛，其中一班有3名，二班有2名，其他班有5名．记一班的3名学生恰好被排在一起的概率为； （3）一个盒子中有大小与质地相同的20个球，10个红球，10个白球，两人依次不放回地各摸1个球，记第一个人摸出1个红球，且第二个人摸出1个白球的概率为； （4）从一个放有大小与质地相同的3个黑球、2个白球的袋子里摸出2个球并放入另外一个空袋子里，再从后一个袋子里摸出1个球，记该球是黑色的概率为． 则从小到大的顺序为： ． 7．（24-25高二下·上海奉贤·期中）设有两个罐子，罐中放有2个白球、1个黑球，罐中放有3个白球，这些球的大小与质地相同．现在从两个罐子中各摸1个球并交换，求这样交换3次后，黑球还在罐中的概率为： ． 8．（24-25高二下·河北衡水·期中）某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占，合格率为；乙品牌的占，合格率为；丙品牌的占，合格率为，在该商店随机买一台机器人． (1)求该机器人是甲品牌合格品的概率； (2)求该机器人是合格品的概率； (3)若该机器人是不合格品，求它是丙品牌的概率． 9．（2025高三下·全国·专题练习）箱子中装有4个红球，2个黄球（除颜色外完全相同），掷一枚质地均匀的骰子1次，如果点数为，则从该箱子中一次性取出个球.规定：依据个球中红球的个数，判定甲的得分，每一个红球记1分；依据个球中黄球的个数，判定乙的得分，每一个黄球记2分.比如：若一次性取出了2个红球，2个黄球，则判定甲得分，乙得分.则在1次掷骰子取球的游戏中， . 10．（2025·上海长宁·二模）某水果店的苹果，来自A基地，来自B基地，A基地苹果的新鲜率为，B基地苹果的新鲜率为，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是 ． 题型三　贝叶斯公式 11．（24-25高三上·天津河东·期末）某厂产品有的产品不需要调试就可以出厂上市，另的产品经过调试以后有能出厂，则该厂产品能出厂的概率 ；任取一出厂产品，求未经调试的概率 ． 12．（2025高三·全国·专题练习）一个大型电子设备制造厂有和两条生产线负责生产电子元件.已知生产线的产品合格率为，生产线的产品合格率为，且该工厂生产的电子元件中来自生产线，来自生产线.现从该工厂生产的电子元件中随机抽取一个进行检测，则该电子元件在检测不合格的条件下来自生产线的概率是 . 13．（24-25高三上·上海·阶段练习）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．已知年该机场飞往地，地及其他地区（不包含，两地）航班放行准点率的估计值分别为和，年该机场飞往地，地及其他地区的航班比例分别为，和. 试解决一下问题： (1)现在从年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； (2)若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地，地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由． 14．（23-24高二下·安徽淮南·期中）某企业生产手机加密芯片，有3台机器生产同一型号的芯片，质量合格的为正品，不合格的为次品，第1台生产的次品率为，第2，3台生产的次品率均为，将生产出来的芯片混放在一起，已知第1，2，3台机器生产的芯片数分别占总数的． (1)任取一个芯片，求它是正品的概率； (2)任取一个芯片，如果它是次品，求它分别是第1，2，3台机器生产的概率． 15．（23-24高二下·福建三明·期末）假设有两箱零件，第一箱内装有件，其中有件次品；第二箱内装有件，其中有件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件. (1)求取出的零件是次品的概率； (2)已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率. 题型四　离散型随机变量的分布列 16．（24-25高二下·广西·期中）投壶是中国古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏，也是一种礼仪，在战国时期较为盛行，尤其是在唐朝得到了发扬光大.投壶是把箭向壶里投，投中多的即胜出.某校开展“健康体育节”活动期间，甲、乙两人轮流进行定点投壶比赛（每人各投一次为一轮，且不受先后顺序影响），在相同的条件下，甲、乙两人每轮在同一位置，每人投一次.若两人有一人投中，则投中者得2分，未投中者得-2分；若两人都投中，则两人均得1分；若两人都未投中，则两人均得0分.设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，且各次投壶互不影响. (1)求第一轮投壶结束时甲、乙得分之和为0分的概率； (2)经过2轮投壶，记甲、乙的得分之和为X，求X的分布列和数学期望. 17．（24-25高二下·山东临沂·期中）将标记为A、B、C、D、E、F的6封信放入甲乙丙丁四个信箱中，要求每个信箱都不空． (1)求甲信箱中放入信件个数X的分布列和数学期望； (2)在A信件放入甲信箱的前提下，求B信件不放入甲信箱的概率． 18．（24-25高二下·山东青岛·期中）甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球． (1)从甲箱中随机摸出3个球，求这3个球中恰有2个红球的概率； (2)先从甲箱中随机摸出1个球，再从乙箱中随机摸出1个球，求这两次摸出的球中红球个数的分布列； (3)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球，求摸到红球的概率． 19．（24-25高二下·北京·期中）发展纯电动、插电式混合动力等新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路.为调查研究，某地统计了辖区内从2017年至2024年这8年的新能源汽车和纯电动汽车的销量，得到如下折线图(单位：百辆)： 在每一年中，记该年纯电动汽车销量占该年新能源汽车销量的比重为Q. (1)从2017年至2024年这8年中随机抽取1年，求该年Q值超过的概率； (2)现从2019年至2024年这6年中依次随机抽取，每次抽取1个年份，若该年的Q值过，则停止抽取，否则继续从剩余的年份中抽取，直至抽到Q值超过的年份.记抽取的次数为，求的分布列和数学期望： (3)记2020年至 2024年这5年新能源汽车销量数据的方差为，且这5年纯电动汽车销量数据的方差为，写出与的大小关系.(结论不要求证明) 20．（24-25高二下·北京·期中）某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组中年组和老年组，随机调查了200名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人）： 青少年组 中年组 老年组 愿意 不愿意 愿意 愿意 不愿意 第一款 40 20 80 20 20 20 第二款 30 30 60 40 30 10 第三款 50 10 80 20 10 30 假设顾客的购买意愿相互独立.用频率估计概率 (1)从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取1人，记为这3人中愿意购买第二款新品的人数，求的分布列和数学期望； (2)用“”表示顾客愿意购买第款新品，“”表示顾客不愿意购买第款新品.直接写出方差，，的大小关系. 题型五　利用正态分布的对称性求概率 21．（2023高三·广东·专题练习）下列命题中不正确是（    ） A．中位数就是第百分位数 B．已知随机变量，若，则 C．已知随机变量，且数为偶函数，则 D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为132.25 22．（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知随机变量，且，则的最小值为 . 23．（2023·吉林长春·模拟预测）已知随机变量，则的最小值为 ． 24．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）某公司建有1000个销售群，在某产品的销售旺季，所有群销售件数X服从正态分布，其中，公司把销售件数不小于596的群称为“A级群”，销售件数在内的群为“B级群”，销售件数小于266的群为“C级群”． (1)若，求a的取值范围； (2)该公司决定对每个“A级群”奖励1000元，每个“B级群”奖励500元，每个“C级群”奖励200元，那么公司大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数） 附：若，，则，，． 25．（24-25高二·全国·课堂例题）若一个正态密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态密度函数的解析式． 题型六　正态分布的实际应用 26．（2024·陕西渭南·模拟预测）第19届亚运会将于2023年9月23日在我国杭州举行，这是继北京亚运会后，我国第二次举办这一亚洲最大的体育盛会，为迎接这一体育盛会，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了40人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛大学生至少得60分），并将成绩分成4组：，，，（单位：分），得到如下的频率分布直方图．由频率分布直方图可以认为，这次竞赛中所有参赛大学生的竞赛成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，试用正态分布知识解决下列问题： (1)若这次竞赛共有1.2万名大学生参加，试估计竞赛成绩超过90.5分的人数（结果精确到个位）； (2)现从所有参赛的大学生中随机抽取5人进行座谈，设其中竞赛成绩超过81分的人数为Y，求随机变量Y的期望． 附：若随机变量X服从正态分布，则，，． 27．（2024·江苏·一模）已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2． (1)求该机器生产的零件为不合格品的概率； (2)从该机器生产的零件中随机抽取n（）件，记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时n的值． 附：若，取，． 28．（21-22高三上·山东青岛·期末）法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包．该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1 000 g，上下浮动不超过50 g．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1 000 g，标准差为50 g的正态分布． (1)已知如下结论：若X～N（μ，σ2），从X的取值中随机抽取k（k∈N*，k≥2）个数据，记这k个数据的平均值为Y，则随机变量Y～N.利用该结论解决下面问题． ①假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为Y，求P（Y≤980）； ②庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在区间（950，1 050）内，并得出计算25个面包的平均质量为978.72 g．庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由； (2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包3个．现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包，求取出黑色面包个数的分布列及数学期望． 附：①若随机变量η服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ≤η≤μ＋σ）≈0.682 7，P（μ－2σ≤η≤μ＋2σ）≈0.954 5，P（μ－3σ≤η≤μ＋3σ）≈0.997 3；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生． 29．（2023·全国·模拟预测）某公司为了解市场对其开发的新产品的需求情况，共调查了250名顾客，采取100分制对产品功能满意程度、产品外观满意程度分别进行评分，其中对产品功能满意程度的评分服从正态分布，对产品外观满意程度评分的频率分布直方图如图所示，规定评分90分以上（不含90分）视为非常满意.    (1)本次调查对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的各有多少人？（结果四舍五入取整数） (2)若这250人中对两项都非常满意的有2人，现从对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的人中随机抽取3人，设3人中两项都非常满意的有X人，求X的分布列和数学期望. （附：若，则，） 30．（2024·安徽安庆·二模）树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动． 第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值时体能指标合格； 第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A，B两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束． 经过统计，该校学生身体体能指标服从正态分布． 参考数值：，，． (1)请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）； (2)学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A类试题，每次测试合格的概率为，作答B类试题，每次测试合格的概率为，且每次测试相互独立． ①在解答A类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率． ②若解答A、B两类试题测试合格的类数为X，求X的分布列和数学期望． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 概率 （易错必刷30题6种题型专项训练） 题型一　条件概率 题型二　全概率公式 题型三　贝叶斯公式 题型四　离散型随机变量的分布列 题型五　利用正态分布的对称性求概率 题型六　正态分布的实际应用 题型一　条件概率 1．（23-24高三下·河北·阶段练习）甲、乙、丙、丁位同学报名参加学校举办的数学建模、物理探究、英语演讲、劳动实践四项活动，每人只能报其中一项，则在甲同学报的活动其他同学不报的情况下，位同学所报活动各不相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设“甲同学报的活动其他同学不报”，“位同学所报活动各不相同”，根据条件概率公式分别计算出积事件所含的基本事件数和事件所含的基本事件数，代入公式计算即得. 【详解】设“甲同学报的活动其他同学不报”，“位同学所报活动各不相同”， 由题得，， 所以. 故选：C. 2．（24-25高三上·浙江·阶段练习）若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用条件概率公式和并事件概率性质求解即可． 【详解】由，，可知，， 又，所以， 所以. 故选：D 3．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施打击，该构件有两个易损部位，每次打击后，部位损坏的概率为，部位损坏的概率为，则在第一次打击后就有部位损坏（只考虑两个易损部分）的条件下，两个部位都损坏的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得第一次打击后就有部位损坏的概率和两个部位都损坏的概率，再由条件概率公式代入即可求解. 【详解】解题分析记事件：第一次打击后就有部位损坏，事件两个部位都损坏， 则， 由条件概率公式可得. 故选：A 4．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，一个质点从原点0出发，每隔一秒随机等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次2的位置的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合条件概率与独立事件的乘法公式，即可求解． 【详解】质点移动4次，共有种情况， 设质点第一秒位于1的位置为事件为，则， 记质点两次经过质点2为事件，若第一步位于1，则还有3步，想要经过质点2两次， 则有，两种情况， 所以， 则． 故选：A． 5．（24-25高三上·安徽·阶段练习）某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先甲最后一个出场或甲在中间出场分类讨论求出方法数，再求出此时运动员丙第一个出场的方法数，然后由概率公式计算． 【详解】“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”可分为甲最后一个出场或甲在中间出场， 方法数为， 在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”， 即“运动员丙第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”，方法数为， 因此所求概率为． 故选：A． 题型二　全概率公式 6．（24-25高二下·上海奉贤·期中）（1）甲、乙、丙、丁、戊，己六人站成一排拍照，记甲、乙两人不相邻的概率为； （2）高二年级举行演讲比赛，共有10名学生参赛，其中一班有3名，二班有2名，其他班有5名．记一班的3名学生恰好被排在一起的概率为； （3）一个盒子中有大小与质地相同的20个球，10个红球，10个白球，两人依次不放回地各摸1个球，记第一个人摸出1个红球，且第二个人摸出1个白球的概率为； （4）从一个放有大小与质地相同的3个黑球、2个白球的袋子里摸出2个球并放入另外一个空袋子里，再从后一个袋子里摸出1个球，记该球是黑色的概率为． 则从小到大的顺序为： ． 【答案】 【分析】利用排列计数问题及古典概率求出；利用分步乘法计数原理及古典概率求出；利用条件概率及全概率公式求出，进而比较大小. 【详解】（1）6个人的全排列数为，其中甲乙不相邻的排列数为，则； （2）10名学生的全排列数为，一班的3名学生恰好被排在一起的排列数为，； （3）两人各摸1个球的方法数为，第一、二个人分别摸红、白球的方法数为，； （4）记从甲袋摸出2白球、1白1黑球、2黑球的事件分别为，乙袋中摸出1黑球的事件为， 则，， 由全概率公式得， 而，所以从小到大的顺序为. 故答案为： 7．（24-25高二下·上海奉贤·期中）设有两个罐子，罐中放有2个白球、1个黑球，罐中放有3个白球，这些球的大小与质地相同．现在从两个罐子中各摸1个球并交换，求这样交换3次后，黑球还在罐中的概率为： ． 【答案】 【分析】先求出一次交换后黑球在罐和不在罐的概率，然后通过递推的方式，运用全概率公式逐步计算出交换次后黑球还在罐的概率． 【详解】一次交换后黑球还在罐有两种情况： 从罐中摸出白球与罐中摸出的白球交换，罐中摸出白球的概率为， 罐中摸出白球的概率为，这种情况的概率为． 一次交换后黑球不在罐的情况： 从罐中摸出黑球与罐中摸出的白球交换，罐中摸出黑球的概率为， 罐中摸出白球的概率为，这种情况的概率为． 若第一次交换后黑球在罐（概率为），第二次交换后黑球还在罐的概率为； 若第一次交换后黑球不在罐（概率为），第二次交换后黑球回到罐的概率为． 根据全概率公式，两次交换后黑球在罐的概率为． 若第二次交换后黑球在罐（概率为），第三次交换后黑球还在罐的概率为； 若第二次交换后黑球不在罐（概率为），第三次交换后黑球回到罐的概率为． 根据全概率公式，三次交换后黑球在罐的概率为． 交换次后，黑球还在罐中的概率为． 故答案为： 8．（24-25高二下·河北衡水·期中）某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占，合格率为；乙品牌的占，合格率为；丙品牌的占，合格率为，在该商店随机买一台机器人． (1)求该机器人是甲品牌合格品的概率； (2)求该机器人是合格品的概率； (3)若该机器人是不合格品，求它是丙品牌的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用条件概率公式计算求解即可； （2）结合应用条件概率公式及全概率公式计算求解； （3）根据对立事件概率及条件概率公式计算求解. 【详解】（1）用表示机器人是甲品牌，用表示机器人是合格品，则， 所以该机器人是甲品牌合格品的概率． （2）用表示机器人是乙品牌，用表示机器人是丙品牌， （3）由（2）知，该机器人是不合格品的概率， 若该机器人是不合格品，它是丙品牌的概率． 9．（2025高三下·全国·专题练习）箱子中装有4个红球，2个黄球（除颜色外完全相同），掷一枚质地均匀的骰子1次，如果点数为，则从该箱子中一次性取出个球.规定：依据个球中红球的个数，判定甲的得分，每一个红球记1分；依据个球中黄球的个数，判定乙的得分，每一个黄球记2分.比如：若一次性取出了2个红球，2个黄球，则判定甲得分，乙得分.则在1次掷骰子取球的游戏中， . 【答案】 【分析】根据题意分类讨论利用全概率公式求解即可. 【详解】设掷骰子得到的点数的概率为，则， 要使，当不取黄球时，显然不满足题意； 如果取出球中有1个黄球，则要求取红球个数为于2， 如果取出球中有2个黄球，则要求取红球个数为于4， 因为时，， 时，， 所以. 故答案为： 10．（2025·上海长宁·二模）某水果店的苹果，来自A基地，来自B基地，A基地苹果的新鲜率为，B基地苹果的新鲜率为，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是 ． 【答案】/ 【分析】由已知结合全概率公式求解即可. 【详解】设选取的苹果来自A基地为事件，选取的苹果来自B基地为事件， 选到新鲜苹果为事件， 所以，，，， 所以 ， 所以从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是. 故答案为：. 题型三　贝叶斯公式 11．（24-25高三上·天津河东·期末）某厂产品有的产品不需要调试就可以出厂上市，另的产品经过调试以后有能出厂，则该厂产品能出厂的概率 ；任取一出厂产品，求未经调试的概率 ． 【答案】 【分析】答题空一：根据题意设出事件，利用全概率公式即可求解；答题空二：利用空一结果，根据贝叶斯公式即可求解. 【详解】设事件表示产品能出厂上市，事件表示产品不需要调试，表示产品需要调试， 则有，，，， 由全概率公式可得： ； 由贝叶斯公式可得： . 故答案为：； 12．（2025高三·全国·专题练习）一个大型电子设备制造厂有和两条生产线负责生产电子元件.已知生产线的产品合格率为，生产线的产品合格率为，且该工厂生产的电子元件中来自生产线，来自生产线.现从该工厂生产的电子元件中随机抽取一个进行检测，则该电子元件在检测不合格的条件下来自生产线的概率是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式及贝叶斯公式求解作答. 【详解】随机抽取一个电子元件，设“抽取的电子元件不合格”，“抽取的电子元件来自生产线”，“抽取的电子元件来自生产线”，则，， ，. 由全概率公式得 故. 故答案为：. 13．（24-25高三上·上海·阶段练习）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．已知年该机场飞往地，地及其他地区（不包含，两地）航班放行准点率的估计值分别为和，年该机场飞往地，地及其他地区的航班比例分别为，和. 试解决一下问题： (1)现在从年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； (2)若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地，地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由． 【答案】(1) (2)该航班飞往其他地区的可能性最大． 【分析】（1）首先设"该航班飞往地"， "该航班飞往地"， "该航班飞往其他地区"，"该航班准点放行"，根据题中信息把相关事件的概率表示清楚，然后利用全概率公式求即可； （2）利用贝叶斯公式求解，，，再比较大小，即可判断航班飞往哪种情况的可能性最大. 【详解】（1）设"该航班飞往地"， "该航班飞往地"， "该航班飞往其他地区"，"该航班准点放行"， 则，，， ，，， 由全概率公式得， ， 所以该航班准点放行的概率为. （2）， ， ， 因为，所以该航班飞往其他地区的可能性最大． 14．（23-24高二下·安徽淮南·期中）某企业生产手机加密芯片，有3台机器生产同一型号的芯片，质量合格的为正品，不合格的为次品，第1台生产的次品率为，第2，3台生产的次品率均为，将生产出来的芯片混放在一起，已知第1，2，3台机器生产的芯片数分别占总数的． (1)任取一个芯片，求它是正品的概率； (2)任取一个芯片，如果它是次品，求它分别是第1，2，3台机器生产的概率． 【答案】(1) (2)它分别是第1，2，3台机器生产的概率为，， 【分析】（1）结合全概率公式，以及对立事件概率和为1，即可求解； （2）利用条件概率，结合贝叶斯公式，即可求解． 【详解】（1）任取一个芯片是次品的概率为：， 则它是正品的概率为：； （2）次品是第1台机器生产的概率为：； 次品是第2台机器生产的概率为：， 次品是第3台机器生产的概率为：． 15．（23-24高二下·福建三明·期末）假设有两箱零件，第一箱内装有件，其中有件次品；第二箱内装有件，其中有件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件. (1)求取出的零件是次品的概率； (2)已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全概率公式即可得解； （2）根据条件概率公式可得解. 【详解】（1）设事件“从第箱中取一个零件”， 事件“取出的零件是次品”， 则，且互斥， 则，， 所以，， 所以 ， 所以取出的零件是次品的概率为； （2）取出的是次品是从第一箱取出的概率 ， 所以已知取出的是次品，则它是从第一箱取出的概率为. 题型四　离散型随机变量的分布列 16．（24-25高二下·广西·期中）投壶是中国古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏，也是一种礼仪，在战国时期较为盛行，尤其是在唐朝得到了发扬光大.投壶是把箭向壶里投，投中多的即胜出.某校开展“健康体育节”活动期间，甲、乙两人轮流进行定点投壶比赛（每人各投一次为一轮，且不受先后顺序影响），在相同的条件下，甲、乙两人每轮在同一位置，每人投一次.若两人有一人投中，则投中者得2分，未投中者得-2分；若两人都投中，则两人均得1分；若两人都未投中，则两人均得0分.设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，且各次投壶互不影响. (1)求第一轮投壶结束时甲、乙得分之和为0分的概率； (2)经过2轮投壶，记甲、乙的得分之和为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式，再结合分类加法原理，即可求出该事件概率； （2）利用二项分布概率公式，即可求得分布列和期望. 【详解】（1）设事件“甲投一次，投中”，事件“乙投一次，投中, ”事件“第一轮投壶结束时甲、乙得分之和为0分” 依题意，，，A，B相互独立， 所以， 即第一轮投壶结束时甲、乙得分之和为0分的概率. （2）由（1）知第一轮投壶结束时甲、乙得分之和为0分的概率为， 因此第一轮投壶结束时甲、乙得分之和为2分的概率为. 依题意，X的所有可能取值为, , , , ∴的分布列为: 0 2 4 所以. 17．（24-25高二下·山东临沂·期中）将标记为A、B、C、D、E、F的6封信放入甲乙丙丁四个信箱中，要求每个信箱都不空． (1)求甲信箱中放入信件个数X的分布列和数学期望； (2)在A信件放入甲信箱的前提下，求B信件不放入甲信箱的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）X的所有可能取值为1，2，3，当时，四个信箱的放法有1,2,2,1和1,3,1,1两种放法，利用排列组合的知识可求得当时的放法总数，同理可求得当时的放法总数，由此可求得甲信箱中放入信件个数X的分布列和数学期望； （2）在A信件放入甲邮箱的前提下，记甲邮箱中信件个数是1，2，3时放法数为，，，由（1）同理可计算得到，，，在A信件放入甲邮箱的前提下，B信件没放入甲邮箱，甲邮箱中信件个数是1，2，3时放法数为，，，由（1）同理可计算得到，，，由条件概率的定义可知在A信件放入甲信箱的前提下，B信件不放入甲信箱的概率. 【详解】（1）X的所有可能取值为1，2，3， 当时，四个信箱的放法有1,2,2,1和1,3,1,1两种放法： ①6封信里选1封放入甲信箱，再选2封放入乙信箱，再选2封放入丙信箱，二者平均分配需要倍缩， 最后1封放入丁信箱，后三个信箱为全排列， ②6封信里选1封放入甲信箱，再选3封放入乙信箱，最后2封各1封放入丙丁信箱，后三个信箱为全排列， 所以当时，放法总数为， 同理可得当时，放入甲邮箱中两封信的放法总数， 当时，放入甲邮箱中三封信的放法总数， 因此，， ， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 数学期望． （2）在A信件放入甲邮箱的前提下，记甲邮箱中信件个数是1，2，3时放法数为，，， 由（1）同理可得， 在A信件放入甲邮箱的前提下，B信件没放入甲邮箱，甲邮箱中信件个数是1，2，3时放法数为，，， 由（1）同理可得， 所以B信件不放入甲邮箱中的概率为． 18．（24-25高二下·山东青岛·期中）甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球． (1)从甲箱中随机摸出3个球，求这3个球中恰有2个红球的概率； (2)先从甲箱中随机摸出1个球，再从乙箱中随机摸出1个球，求这两次摸出的球中红球个数的分布列； (3)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球，求摸到红球的概率． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）结合组合学知识及古典概型的概率公式求解即可； （2）由题意可得的所有取值为，进而求解即可. （3）分别计算出从甲箱中摸到红球的概率和从乙箱中摸到红球的概率，然后利用概率的加法公式即可. 【详解】（1）由题意，这3个球中恰有2个红球的概率为. （2）由题意，的所有取值为， 则，， ， 则的分布列为： 0 1 2 （3）从甲箱中摸红球：掷到点数为1或2的概率为，再从甲箱中摸到红球的概率为， 故从甲箱中摸到红球的概率为； 从乙箱中摸红球：掷到点数为3，4，5，6的概率为，再从乙箱中摸到红球的概率为， 故从乙箱中摸到红球的概率为； 综上所述：摸到红球的概率为. 19．（24-25高二下·北京·期中）发展纯电动、插电式混合动力等新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路.为调查研究，某地统计了辖区内从2017年至2024年这8年的新能源汽车和纯电动汽车的销量，得到如下折线图(单位：百辆)： 在每一年中，记该年纯电动汽车销量占该年新能源汽车销量的比重为Q. (1)从2017年至2024年这8年中随机抽取1年，求该年Q值超过的概率； (2)现从2019年至2024年这6年中依次随机抽取，每次抽取1个年份，若该年的Q值过，则停止抽取，否则继续从剩余的年份中抽取，直至抽到Q值超过的年份.记抽取的次数为，求的分布列和数学期望： (3)记2020年至 2024年这5年新能源汽车销量数据的方差为，且这5年纯电动汽车销量数据的方差为，写出与的大小关系.(结论不要求证明) 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）求出各年的值，利用古典概型概率公式求结论； （2）确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望； （3）先求新能源汽车销量数据的平均数，纯电动汽车销量数据的平均数，再求两组数据的方差，比较大小即可. 【详解】（1）设从年至年这年中随机抽取1年，且该年的值超过为事件， 由图表知，年的值为，年的值为， 年的值为，年的值为， 年的值为，年的值为， 年的值为，年的值为， 所以在年至年这年中，有且仅有年至年这年的值超过， 所以． （2）由图表知，在年至年这年中，值超过的有年， 所以随机变量的所有可能取值为，，． 则，，． 所以的分布列为： 故的数学期望． （3）从年至年这年新能源汽车销量数据的平均数为， 所以从年至年这年新能源汽车销量数据的方差 ， 所以 从年至年这年纯电动汽车销量数据的平均数为， 从年至年这年纯电动汽车销量数据的方差 ， 所以， 所以. 20．（24-25高二下·北京·期中）某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组中年组和老年组，随机调查了200名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人）： 青少年组 中年组 老年组 愿意 不愿意 愿意 愿意 不愿意 第一款 40 20 80 20 20 20 第二款 30 30 60 40 30 10 第三款 50 10 80 20 10 30 假设顾客的购买意愿相互独立.用频率估计概率 (1)从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取1人，记为这3人中愿意购买第二款新品的人数，求的分布列和数学期望； (2)用“”表示顾客愿意购买第款新品，“”表示顾客不愿意购买第款新品.直接写出方差，，的大小关系. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）的可能取值为，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望； （2）根据离散型随机变量的概率公式求解即可. 【详解】（1）用频率估计概率，由表可知从青少年组中抽取1人，愿意购买第二款新品的概率为， 从中年组中抽取1人，愿意购买第二款新品的概率为， 从老年组中抽取1人，愿意购买第二款新品的概率为， 由题意的可能取值为， 所以， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以. （2）用频率估计概率，由表可知顾客愿意购买第款新品的概率为， 顾客愿意购买第款新品的概率为， 顾客愿意购买第款新品的概率为， 所以，， 所以， ， 所以. 题型五　利用正态分布的对称性求概率 21．（2023高三·广东·专题练习）下列命题中不正确是（    ） A．中位数就是第百分位数 B．已知随机变量，若，则 C．已知随机变量，且数为偶函数，则 D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为132.25 【答案】B 【分析】根据题意，由百分位数的定义即可判断A，由二项分布的方差性质即可判断B，由正态分布密度曲线的性质即可判断C，由方差的计算公式即可判断D. 【详解】对于A：中位数就是第百分位数，选项A正确； 对于B：，则，因此，故B错误； 对于C：，函数为偶函数， 则， 区间与关于对称， 故，故C正确； 对于D：分层抽样的平均数， 按分成抽样样本方差的计算公式，故D正确. 故选：B. 22．（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知随机变量，且，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】由题意知关于对称，故，使用基本不等式可求的最小值. 【详解】由随机变量，且知关于对称， 故，由不等式，得当且仅当时取等号， 的最小值为8. 故答案为：8 23．（2023·吉林长春·模拟预测）已知随机变量，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据正态曲线的对称性求得，再由，结合基本不等式即可得出答案. 【详解】因为随机变量，且， 所以，则， 因为，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 24．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）某公司建有1000个销售群，在某产品的销售旺季，所有群销售件数X服从正态分布，其中，公司把销售件数不小于596的群称为“A级群”，销售件数在内的群为“B级群”，销售件数小于266的群为“C级群”． (1)若，求a的取值范围； (2)该公司决定对每个“A级群”奖励1000元，每个“B级群”奖励500元，每个“C级群”奖励200元，那么公司大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数） 附：若，，则，，． 【答案】(1) (2)464100 【分析】（1）根据正态分布的对称性，分和两种情况求解可得； （2）根据原则求出和，然后求出各级群个数，即可求出所需奖金. 【详解】（1）由正态分布的对称性可知，若， 当，即时，因为， 所以有，得； 当，即时，要使， 则有，解得（舍去）. 综上，a的取值范围为. （2）因为 所以， ， 所以A级群有个，B级群有个， C级群有个， 所以，公司大约需要准备奖金元. 25．（24-25高二·全国·课堂例题）若一个正态密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态密度函数的解析式． 【答案】 【分析】可根据正态密度函数的性质，结合偶函数的特点以及函数最大值来确定正态密度函数解析式中的参数. 【详解】由于该正态密度函数是一个偶函数， 所以正态曲线关于轴对称，即，又该函数的最大值是， 所以，解得． 故所求正态密度函数的解析式为. 题型六　正态分布的实际应用 26．（2024·陕西渭南·模拟预测）第19届亚运会将于2023年9月23日在我国杭州举行，这是继北京亚运会后，我国第二次举办这一亚洲最大的体育盛会，为迎接这一体育盛会，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了40人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛大学生至少得60分），并将成绩分成4组：，，，（单位：分），得到如下的频率分布直方图．由频率分布直方图可以认为，这次竞赛中所有参赛大学生的竞赛成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，试用正态分布知识解决下列问题： (1)若这次竞赛共有1.2万名大学生参加，试估计竞赛成绩超过90.5分的人数（结果精确到个位）； (2)现从所有参赛的大学生中随机抽取5人进行座谈，设其中竞赛成绩超过81分的人数为Y，求随机变量Y的期望． 附：若随机变量X服从正态分布，则，，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由频率分布直方图可得，再利用正态分布对称性可得概率，求出人数； （2）易知随机变量服从二项分布，由二项分布期望值公式可得结论. 【详解】（1）由频率分布直方图可得； 即可得 则， 所以估计竞赛成绩超过90.5分的人数为人. （2）依题意，则， 从所有参赛的大学生中随机抽取5人进行座谈，可得随机变量； 因此. 27．（2024·江苏·一模）已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2． (1)求该机器生产的零件为不合格品的概率； (2)从该机器生产的零件中随机抽取n（）件，记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时n的值． 附：若，取，． 【答案】(1)0.09； (2). 【分析】（1）根据题意，由正态分布的概率公式代入计算，再由全概率公式，即可得到结果； （2）根据题意，由二项分布的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）记电压“不超过200V”、“在200V~240V之间”、“超过240V”分别为事件A，B，C，“该机器生产的零件为不合格品”为事件D． 因为，所以， ， ． 所以 ， 所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09． （2）从该机器生产的零件中随机抽取n件，设不合格品件数为X，则， 所以． 由，解得． 所以当时，； 当时，；所以最大． 因此当时，最大． 28．（21-22高三上·山东青岛·期末）法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包．该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1 000 g，上下浮动不超过50 g．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1 000 g，标准差为50 g的正态分布． (1)已知如下结论：若X～N（μ，σ2），从X的取值中随机抽取k（k∈N*，k≥2）个数据，记这k个数据的平均值为Y，则随机变量Y～N.利用该结论解决下面问题． ①假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为Y，求P（Y≤980）； ②庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在区间（950，1 050）内，并得出计算25个面包的平均质量为978.72 g．庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由； (2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包3个．现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包，求取出黑色面包个数的分布列及数学期望． 附：①若随机变量η服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ≤η≤μ＋σ）≈0.682 7，P（μ－2σ≤η≤μ＋2σ）≈0.954 5，P（μ－3σ≤η≤μ＋3σ）≈0.997 3；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生． 【答案】(1)①；②答案见解析 (2)分布列见解析， 【分析】（1）①根据题意，得到，结合正态分布的概率计算，即可求解； ②由①得到，结合为小概率事件，即可求解； （2）根据题，得到取出黑色面包的个数为的取值，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【详解】（1）解：①因为，所以， 又因为，所以， 因为，所以. ②由①知， 又由这25个面包的平均质量为， 因为，而为小概率事件， 小概率事件基本不会发生，这就是庞加莱举报该面包的理由. （2）解：设取出黑色面包的个数为，则的所有可能取值为， 可得，， ， 所以分布列为 0 1 2 所以期望为. 29．（2023·全国·模拟预测）某公司为了解市场对其开发的新产品的需求情况，共调查了250名顾客，采取100分制对产品功能满意程度、产品外观满意程度分别进行评分，其中对产品功能满意程度的评分服从正态分布，对产品外观满意程度评分的频率分布直方图如图所示，规定评分90分以上（不含90分）视为非常满意.    (1)本次调查对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的各有多少人？（结果四舍五入取整数） (2)若这250人中对两项都非常满意的有2人，现从对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的人中随机抽取3人，设3人中两项都非常满意的有X人，求X的分布列和数学期望. （附：若，则，） 【答案】(1)6人，6人 (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据频率直方分布图和正态分布计算； （2）根据题意，只对产品功能非常满意的有4人，只对产品外观非常满意的有4人，利用超几何分布得出的分布列． 【详解】（1）因为对产品功能满意程度的评分服从正态分布， 其中， 设对产品功能满意程度的评分为， 所以， 所以本次调查对产品功能非常满意的顾客约有（人）. 根据频率分布直方图得，对产品外观非常满意的频率为， 则本次调查对产品外观非常满意的顾客约有（人）. （2）根据题意，这人中对两项都非常满意的有人，则只对产品功能非常满意的有人， 只对产品外观非常满意的有人，的可能取值为 ，，， 则的分布列为 数学期望. 30．（2024·安徽安庆·二模）树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动． 第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值时体能指标合格； 第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A，B两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束． 经过统计，该校学生身体体能指标服从正态分布． 参考数值：，，． (1)请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）； (2)学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A类试题，每次测试合格的概率为，作答B类试题，每次测试合格的概率为，且每次测试相互独立． ①在解答A类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率． ②若解答A、B两类试题测试合格的类数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)68 (2)①；②分布列见解析，. 【分析】（1）首先分析题意，利用正态分布的性质求解即可. （2）进行分类讨论，求解出分布列，再求出期望即可. 【详解】（1）． 所以符合该项指标的学生人数为：人． （2）①记表示解答A类试题第一次测试合格， ，分别表示解答B类试题第一次和第二次测试合格，测试共进行3次记为事件M， 则，． ②设X的取值为0，1，2， ，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$