专题3 专题微课 离散型随机变量及其分布列-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦离散型随机变量及其分布列，通过创业竞赛奖金、机器零件购买等实际问题导入，衔接概率统计基础，为学习均值、方差及综合应用搭建支架，系统覆盖决策性问题、统计结合、数列综合等题型。 其亮点在于以实际情境培养数学眼光，如创业奖金决策问题引导学生发现数量关系，通过投篮概率的递推数列模型发展数学思维，借助分布列与均值计算强化数学语言表达。采用例题解析与跟踪检测结合的教学方法，助力学生提升知识应用能力，为教师提供系统的题型训练资源。

专题微课　离散型随机变量及其分布列 CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一) 离散型随机变量均值与 方差的决策性问题　 题型(二) 与统计有关的分布列的均值 题型(三) 离散型随机变量分布列与 数列的综合 4 课时跟踪检测 题型(一)　离散型随机变量均值 与方差的决策性问题 01 [例1]　某大学为了鼓励大学生自主创业，举办了“校园创业知识竞赛”，该竞赛决赛局有A，B两类知识竞答挑战，规则为进入决赛的选手要先从A，B两类知识中选择一类进行挑战，挑战成功才有对剩下的一类知识挑战的机会，挑战失败则竞赛结束，第二类挑战结束后，无论结果如何，竞赛都结束.A，B两类知识挑战成功分别可获得2万元和5万元创业奖金，第一类挑战失败，可得到2 000元激励奖金.已知甲同学成功晋级决赛，面对A，B两类知识的挑战成功率分别为0.6，0.4，且挑战是否成功与挑战次序无关. (1)若记X为甲同学优先挑战A类知识所获奖金的累计总额(单位：元)，写出X的分布列； 解：由题意可知，X的可能取值有2 000，20 000，70 000， P(X=2 000)=1-0.6=0.4，P(X=20 000)=0.6×(1-0.4)=0.36， P(X=70 000)=0.6×0.4=0.24， 所以随机变量X的分布列为 X 2 000 20 000 70 000 P 0.4 0.36 0.24 (2)为了使甲同学可获得的奖金累计总额期望更大，请帮甲同学制定挑战方案，并给出理由. 解：记Y为甲同学优先挑战B类知识所获奖金累计总额， 甲同学优先挑战A类知识所获奖金累计总额的期望为E(X)，优先挑战B类知识所获奖金累计总额的期望为E(Y)， 由题意可知，随机变量Y的可能取值有2 000，50 000，70 000， 则P(Y=2 000)=1-0.4=0.6，P(Y=50 000)=0.4×(1-0.6)=0.16，P(Y=70 000)=0.4×0.6=0.24，所以E(Y)=2 000×0.6+50 000×0.16+70 000×0.24=26 000(元)，E(X)=2 000×0.4+20 000×0.36+70 000×0.24=24 800(元)，所以E(X)<E(Y)，所以为了使甲同学可获得奖金累计总额期望更大，应该优先选择挑战B类知识. 针对训练 1.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其频数分布直方图(如图所示).将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为1台机器在三年内更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (1)求X的分布列； 解：由频数分布直方图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2， 所以X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22， 则P(X=16)=0.2×0.2=0.04，P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16， P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24， P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24， P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2， P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08，P(X=22)=0.2×0.2=0.04，所以X的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个?并说明理由. 解：记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)， 当n=19时，E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500) ×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4 040， 当n=20时，E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+ (20×200+2×500)×0.04=4 080.因为4 040<4 080，所以当n=19时所需费用的均值小于n=20时所需费用的均值，故应选n=19. 题型(二) 与统计有关的分布列的均值 02 [例2]　某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间(单位：h)，将样本数据分成[3，4)，[4，5)， [5，6)，[6，7)，[7，8]五个组，并整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数； 解：由甲班频率分布直方图知， 甲班每天学习时间达到5小时及以上的频率为(0.500+0.250+0.050)×1=0.8. 故该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数约为0.8×600=480. (2)已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记抽到的甲班学生人数为X，求X的分布列和均值； 解：甲班每天学习时间不足4小时的人数约为40×0.050×1=2，乙班每天学习时间不足4小时的人数约为40×0.100×1=4， 所以两个班每天学习时间不足4小时的学生共6人.从中随机抽取3人，抽到的甲班学生人数X的可能取值为0，1，2，且X服从超几何分布， 则P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，所以X的分布列为 X 0 1 2 P 法一　E(X)=0×+1×+2×=1. 法二　E(X)==1. (3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，试比较与的大小.(只需写出结论) 解：从甲、乙两个班级学生每天学习时间的频率分布直方图上来看，甲班的数据比较集中， 乙班的数据相比甲班较为分散，故<. |思|维|建|模| 　　求与统计有关的分布列问题，常借助题设条件运用古典概型的计算公式、二项分布的计算公式、超几何分布的计算公式及均值的公式求解，或借助题设条件运用频率分布直方图和分布列求解. 针对训练 2.某学校对高中生体质健康调研，随机抽取100名学生的体重(单位：kg)得到如下频数分布表： 分组 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90] 频数 5 25 40 20 10 (1)估计样本的中位数； 解：因为5+25=30<50，5+25+40=70>50，故样本的中位数落在[60，70)内， 又40÷2=20，30+20=50，故中位数为=65. (2)从样本[60，70)和[70，80)中按分层抽样抽取学生6人，再从这6人中随机抽取3人，其中体重在[60，70)，[70，80)的人数分别为x，y，记X=x-y.①求X的分布列及期望； 解： [60，70)和[70，80)的人数比为40∶20=2∶1，分层抽样抽取学生6人中，[60，70)和[70，80)的人数分别为6×=4和6×=2， 故这6人中随机抽取3人，x的可能取值为3，2，1，对应的y的取值为0，1，2， 所以X的可能取值为3，1，-1，P(X=3)==，P(X=1)==， P(X=-1)==，故X的分布列为 X 3 1 -1 P 期望为E(X)=3×+1×+(-1)×=1. ②求D(2X+1). 解：由①知D(X)=(3-1)2×+(1-1)2×+(-1-1)2×=， 所以D(2X+1)=4D(X)=. 题型(三)　离散型随机变量分布列与数列的综合 03 [例3]　(2023·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率. 解：设“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi， 所以P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1) =0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6. (2)求第i次投篮的人是甲的概率. 解：设“第i次投篮的人是甲的概率”为pi，由题意可知p1=，pi+1=pi×0.6+(1-pi)×(1-0.8)，即pi+1=0.4pi+0.2=pi+，所以pi+1- =，又p1-=-=，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以pi-=×，所以pi=+×. (3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi，i=1，2，…，n，则E(Xi)=qi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y). 解：设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi，则Xi的可能取值为0，1，当Xi=0时，表示第i次投篮的人是乙，当Xi=1时，表示第i次投篮的人是甲，所以P(Xi=1)=pi，P(Xi=0)=1-pi，所以E(Xi)=pi.Y=X1+X2+X3+…+Xn， 则E(Y)=E(X1+X2+X3+…+Xn)=p1+p2+p3+…+pn，由(2)知，pi=+×，所以E(Y)=p1+p2+p3+…+pn=+× =+×=+×. 针对训练 3.从甲、乙、丙、丁、戊5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. (1)记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望； 解：X的所有可能取值为1，2，3.则 P(X=1)==，P(X=2)==，P(X=3)==. 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 数学期望E(X)=1×+2×+3×=1.8. (2)若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n次传球后球在甲手中的概率为Pn(n=1，2，3，…). ①直接写出P1，P2，P3的值； ②求与Pn(n∈N+)的关系式，并求出Pn(n∈N+). 解：①由题意得P1=0，P2==，P3==. ②记An表示事件“经过n次传球后，球在甲手中”.An+1=·An+1+An·An+1， 所以Pn+1=P(·An+1+An·An+1)=P(·An+1)+P(An·An+1) =P()·P(An+1|)+P(An)·P(An+1|An)=(1-Pn)·+Pn·0 =(1-Pn).即Pn+1=-Pn+(n∈N+). 所以Pn+1-=-， 且P1-=-，所以数列表示以-为首项，-为公比的等比数列， 所以Pn-=-×， Pn=-×+=×=×. 即n次传球后球在甲手中的概率是×. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 1.某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中用电的机会都是p，则供电网络中一天平均用电单位的个数是 (　　) A.np(1-p) B.np C.n D.p(1-p) √ 解析：∵用电单位的个数X~B(n，p)， ∴E(X)=np. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 2.若随机变量X的分布列如下表所示，则E(X)等于 (　　) √ X 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x A. B. C. D. 解析：因为2x+3x+7x+2x+3x+x=18x=1，所以x=，因此E(X)=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5×x=40x=40×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 3.某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如表所示： √ 使用时间/天 10~20 21~30 31~40 41~50 51~60 个数 10 40 80 50 20 若以频率视为概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为 (　　) A. B. C. D. 解析：由题表可知元件使用寿命在30天以上的概率为=，则所求概率为××+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 4.已知离散型随机变量X的分布列为 √ X 0 1 2 P m 则D(X)的值为 (　　) A. B. C. D.1 解析：由分布列的性质，知+m+=1，∴m=. ∴E(X)=0×+1×+2×=1，D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 5.已知X是离散型随机变量，P(X=x1)=，P(X=x2)=，且x1<x2，若E(X)=，D(X)=，则x1+x2的值为(　　) A. B. C.3 D. √ 解析：∵E(X)=x1+x2=，∴x2=4-2x1.又D(X)=×+ ×=，x1<x2，∴x1=1，x2=2，∴x1+x2=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 6.已知随机变量ξ的分布列如下表，若D(ξ-1)=，则E(ξ-1)=(　　) √ ξ -1 0 1 P a c A. B.- C.-或- D.或- 解析：由题意得，a+c=，a∈，E(ξ)=-2a+.若D(ξ-1)=，则D(ξ)=，所以a++=，整理得，12a2-8a+1=0，解得a=或a=.所以E(ξ)=-2a+=-或，E(ξ-1) =E(ξ)-1=-或-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 7.[多选]某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10 100)，其中A的各位数中ak(k=1，2，3，4，5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X=a1+a2+a3+a4+a5，则当程序运行一次时(　　) A.X服从超几何分布 B.P(X=1)= C.X的均值E(X)= D.X的方差D(X)= √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：由二进制数A的特点知，每一个数位上的数字只能填0，1，且每个数位上的数字互不影响，故X的可能取值有0，1，2，3，4，5，且X的取值表示1出现的次数，由二项分布的定义，可得X~B，故A错误；P(X=1)=·=，故B正确；因为X~B，所以E(X)=5×=，D(X)=5××=，故C、D正确.故选BCD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 8.(5分)李明参加某大会的青年志愿者选拔，在已知备选的10道题中，李明能答对其中的6道，规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选.则李明入选的概率为___________.  解析：设所选3题中李明能答对的题数为X，则X服从参数为N=10，M=6，n=3的超几何分布，且P(X=k)=(k=0，1，2，3)，故所求概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 9.(5分)某校为了增强学生对传统文化的继承和发扬，组织了一场《诗词大会》 PK赛(共4局)，A，B两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK，除第三局胜者得2分外，其余各胜者均得1分，每局的负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队得分的概率为__________.  解析：比赛结束时A队的得分高于B队得分的情况有三种， 第一种：A队全胜，概率为=. 第二种：A队三胜一负，概率为××=， 第三种：A队胜第三局，另外三局一胜二负，概率为×××=. 所以比赛结束时A队的得分高于B队得分的概率为++=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 10.(5分)五一临近，某火车站有三个安检入口，每个安检入口每天通过的旅客人数超过1 100的概率不低于0.2，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天至少有两个超过1 100人的概率最小为___________.  解析：由题意可知旅客人数X超过1 100人的概率不低于0.2，即P(X> 1 100)≥0.2，所以这三个安检入口每天至少有两个超过1 100人的概率最小为P=×0.22×(1-0.2)+×0.23×(1-0.2)0=0.104. 0.104 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 11.(15分)为增强学生的法制意识，打造平安校园，某市组织该市的全体高中学生开展“智慧法治，平安校园”的知识竞赛，竞赛成绩经统计，得到如下的频率分布直方图，用样本估计总体，以频率代替概率.现从该市的高中学生中随机抽取n人，用X表示成绩在[80，90)的人数. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (1)若n=3，求X的分布列与数学期望；(9分) 解：由频率分布直方图中所有直方图的面积之和为1， 可得(0.005+0.01+0.015+x+0.04)×10=1，所以x=0.03， 样本中，成绩在[80，90)的高中生所占的频率为0.03×10=， 当n=3时，由题意可知X~B，所以P(X=0)==，P(X=1)=··=，P(X=2)=··=， P(X=3)==，故随机变量X的分布列如下表所示： X 0 1 2 3 P 所以E(X)=3×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)若n=20，求使得P(X=k)取得最大值时k的值.(6分) 解：由题意可知X~B，因为P(X=k)最大，则 所以 解得≤k≤，因为k∈N，所以k=6， 故使得P(X=k)取得最大值时k的值为6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 12.(15分)甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率是p(0<p<1)，乙获胜的概率是1-p，每局比赛相互独立. (1)当p=0.6时，比赛采用3局2胜制，求甲最终获胜的概率；(4分) 解：3局2胜制甲最终获胜结果可以是：2∶0，2∶1，每局比赛甲获胜的概率p=0.6， 根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式得甲最终获胜的概率是0.62+2×0.62×0.4=0.648. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)若比赛采用5局3胜制比3局2胜制对甲更有利(即甲最终获胜概率更大)，确定p的取值范围；(5分) 解：3局2胜制甲最终获胜结果可以是：2∶0，2∶1，每局比赛甲获胜的概率为p，根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式得甲最终获胜的概率是p1=p2+2p2(1-p)=p2(3-2p)，5局3胜制甲最终获胜结果可以是：3∶0，3∶1，3∶2，则甲最终获胜的概率是p2=p3+3p3(1-p)+6p3(1-p)2=p3(6p2-15p+10)，由题知p2>p1，即p2-p1>0，则p2-p1=p3(6p2-15p+10) -p2(3-2p)=3p2(p-1)2(2p-1)>0.又p∈(0，1)，则p的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (3)若甲、乙共进行10局比赛，随机变量X表示甲获胜的局数.令an=P(X=n-1)(n=1，2，…，11)，若a7是数列{an}的唯一的最大项，确定p的取值范围.(6分) 解：由题知X~B(10，p)，故an=P(X=n-1)=pn-1(1-p)11-n(n=1，2，…，11). a7是数列{an}的唯一的最大项，则必有a6<a7>a8，即p5(1-p)5<p6(1-p)4 >p7(1-p)3，解得p∈，此时== ≥1⇔n≤11p，又11p∈(6，7)，则当n≤6时，an<an+1；当n>6时，an>an+1； 即a1<a2<…<a6<a7>a8>…>a11，故a7是数列的唯一的最大项.综上，p的取值范围是. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $