精品解析：河北省保定市2025届高三第二次模拟考试数学试题

2025年高三第二次模拟考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知x，y是非零实数，则的最小值为（ ） A. 6 B. 12 C. 2 D. 4 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 若非零复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 现有一组数据1，4，5，6，4，5，4，若删除一个数后，所得数据的中位数不变，则被删除的数为（ ） A. 1 B. 6 C. 5或6 D. 1或6 5. 若函数在上单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，则的真子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 15 7. 刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为．若正四棱锥的侧面与底面的夹角的正切值为，则四棱锥在顶点S处的曲率为（ ） A. B. C. D. 8. 若的展开式各项系数的绝对值之和为512，则的展开式中的系数为（ ） A. B. 56 C. D. 70 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若函数，则（ ） A. 为减函数 B. C. 的值域为 D. 10. 若，随机变量，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 当p在变化时，的最大值为 11. 已知曲线，点，则（ ） A. 当P为C上的动点时，的取值范围是 B. 当P为C上的动点时，的取值范围是 C. 存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列 D. 存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标之和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数的最小正周期为T，且的图象关于点对称，则___________． 13. 已知直线是圆与曲线的公切线，则___________． 14. 某艺术展览馆的一座雕塑底座是正四棱台，记为米，米，米．为举办特展，某策展团队计划以地面顶点为起点安装一条灯带（忽略灯带的厚度与弹性），灯带沿正四棱台的表面经过侧棱后到达顶点C，则所需灯带的长度的最小值为___________米． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知双曲线的焦距为，离心率为． （1）求C的方程； （2）若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积． 16. 如图，在直五棱柱中，四边形为正方形，为等腰直角三角形，． （1）求该五棱柱的体积． （2）证明：平面平面． （3）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 某零件厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱零件的定价为500元，低于200箱按原价销售，不低于200箱有两种优惠方案．方案一：以200箱为基准，每多100箱免12箱的金额．方案二：通过双方议价，买方能以每箱优惠的价格成交的概率为0.3，以每箱优惠的价格成交的概率为0.4，以每箱优惠的价格成交的概率为0.3． （1）买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，求甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率． （2）买方乙要在该厂购买400箱这种零件，以购买总价的数学期望为决策依据，试问乙选择哪种优惠方案更划算？请说明你的理由． （3）买方丙要在该厂购买960箱这种零件，由于购买的箱数超过500，该厂的销售部让丙综合使用这两种方案作为第三种方案，即一部分用方案一（箱数必须是100的正整数倍），另一部分使用方案二（箱数不限），试问丙应该如何使用方案三，才能获得最多的优惠？说明你的理由． 18. （1）在数列中，若，其中均为常数，是一元二次方程的两个实根，证明：． （2）若数列满足对应的一元二次方程为，该方程有两个实数根，则，其中均为常数．已知数列满足，且． ①求的通项公式； ②若数列满足，且，求的前项和． 19. 若函数的图象关于直线对称，且存在唯一的极值点，则称为“金字塔函数”． （1）请判断函数是否为“金字塔函数”．（无需说明理由） （2）证明：当时，函数恒为“金字塔函数”． （3）已知函数为“金字塔函数”，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高三第二次模拟考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知x，y是非零实数，则的最小值为（ ） A. 6 B. 12 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】， 当且仅当， 即，等号成立， 所以的最小值为6， 故选：A 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二倍角公式得到方程，解得即可. 【详解】因为，所以，解得. 故选：B 3. 若非零复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由结合条件即可求解. 【详解】由题意，因为，所以. 故选：C. 4. 现有一组数据1，4，5，6，4，5，4，若删除一个数后，所得数据的中位数不变，则被删除的数为（ ） A. 1 B. 6 C. 5或6 D. 1或6 【答案】C 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，由中位数的定义即可求解. 【详解】将数据1，4，5，6，4，5，4按照从小到大的顺序排列为1，4，4，4，5，5，6， 则原数据的中位数为4，若删除一个数后，所得数据的中位数不变，则被删除的数为5或6. 故选：C. 5. 若函数在上单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性可知.对的取值范围进行分类讨论去绝对值，结合指数函数的单调性即可求解. 【详解】当时，根据指数函数在上单调递增，可知. 当时，，所以，在上单调递增； 当时，，在上不单调； 当时，，所以，在上单调递减. 综上，. 故选：C. 6. 已知集合，则的真子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象确定交点个数，得出交集中元素个数，利用公式求出真子集个数. 【详解】因为的对称轴为，顶点为，且过点, 当时，上的点为， 作，的图象，如图， 由图可知，的图象与抛物线有4个不同的交点， 则有4个元素，从而的真子集的个数为. 故选：D 7. 刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为．若正四棱锥的侧面与底面的夹角的正切值为，则四棱锥在顶点S处的曲率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正四棱锥的结构特征得到为侧面与底面所成的角，进而利用勾股定理推得正四棱锥的每个侧面均为正三角形，从而利用“曲率”的定义即可得解. 【详解】如图，连接，，设，连接，则平面， 取的中点，连接，，    则由正四棱锥的结构特征可知， 所以为侧面与底面所成的角， 设，则， 在中，， 所以，又，所以， 所以正四棱锥的每个侧面均为正三角形， 所以顶点的每个面角均为， 故正四棱锥在顶点处的曲率为. 故选：D. 8. 若的展开式各项系数的绝对值之和为512，则的展开式中的系数为（ ） A. B. 56 C. D. 70 【答案】A 【解析】 【分析】由二项式系数的和可得，再由二项式的展开式代入计算，即可得到结果. 【详解】的展开式各项系数的绝对值之和等于的展开式各项系数之和， 则，得，则， 因为的展开式中没有的项， 所以的展开式中的系数为的展开式中的系数， 即. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若函数，则（ ） A. 为减函数 B. C. 的值域为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据对数的运算性质化简函数的解析式，即可判断选项A，C；根据对数函数的性质解方程与对数不等式，即可判断选项B，D. 【详解】因为，， 所以为增函数，的值域为，故选项A错误，选项C正确； ，故选项正确； ，故选项错误. 故选：BC. 10. 若，随机变量，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 当p在变化时，的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据及正态分布的性质即可判断选项A；当时，根据二项分布的方差公式求出的值，再利用正态分布的方差即可判断选项B；根据正态分布的方差求出的值，结合二项分布的方差公式即可判断选项C；根据二项分布的概率分布列公式，可得 .构造函数，利用导数研究函数单调性即可判断选项D. 【详解】因为，=6，所以由正态分布的性质可知，故选项A正确； 当时，即，即，解得或，当时，，当时，，故选项B错误； 当时，即，因为，所以，所以，故选项C正确； 因为，所以. 设函数， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 最大值为，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 已知曲线，点，则（ ） A. 当P为C上的动点时，的取值范围是 B. 当P为C上的动点时，的取值范围是 C. 存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列 D. 存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标之和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先确定曲线所表示的图形，再根据点的位置，判断AB，直线与曲线表示的椭圆联立，以及求出与轴的交点，根据韦达定理，判断CD. 【详解】由，得或，则C由椭圆与直线组成， 易知,为椭圆的两个焦点， 若点在椭圆上时，， 若点是原点时，， 曲线上的其他点，则， 所以的取值范围是，A正确； 当点P在直线上时，, 当点P在椭圆上时，， 由，得，B正确. 将代入，得， 设该方程的两个根为，，则，即，且，， 由，得，假设存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标之和为， 则+=，解得，D正确. 当时，介于x1，x2之间，假设存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列， 则，即=，得，显然该方程无实数解，C错误. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数的最小正周期为T，且的图象关于点对称，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由正切函数的对称性即可求解. 【详解】，由，得，则，即. 故答案为：. 13. 已知直线是圆与曲线的公切线，则___________． 【答案】7 【解析】 【分析】由直线与圆相切求得，再结合导数的几何意义即可求即可. 【详解】因为直线与圆相切， 所以，解得（负根舍去）. 设函数，则由， 得， 则 解得：， 故， 故答案为：7 14. 某艺术展览馆的一座雕塑底座是正四棱台，记为米，米，米．为举办特展，某策展团队计划以地面顶点为起点安装一条灯带（忽略灯带的厚度与弹性），灯带沿正四棱台的表面经过侧棱后到达顶点C，则所需灯带的长度的最小值为___________米． 【答案】## 【解析】 【分析】将侧面和展开到同一个平面，利用两点之间线段最短求解即可. 【详解】如图1，设灯带经过侧棱上的E点. 如图2，连接，将侧面和展开到同一个平面， 则，当且仅当线段与线段有交点时等号成立， 即当灯带的长度取得最小值时，交点即为点E. 因为四边形是等腰梯形，所以， 由余弦定理可得==米， 则>，所以，即， 因为，所以， 即线段与线段有交点. ==，可得=， 而，可得=， 所以, 由余弦定理可得==米， 则所需灯带的长度的最小值为米. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知双曲线的焦距为，离心率为． （1）求C的方程； （2）若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即可. （2）求出点到直线的距离，再联立直线与双曲线方程求出弦长即可求出三角形面积. 【小问1详解】 依题意，双曲线的半焦距，由离心率，解得，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知双曲线的左顶点，点到直线的距离， 由消去得，解得，， 则，所以的面积. 16. 如图，在直五棱柱中，四边形为正方形，为等腰直角三角形，． （1）求该五棱柱的体积． （2）证明：平面平面． （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）10 （2） 在直五棱柱中，底面， 因为底面，则， 因为，所以， 因为且平面，所以平面， 又平面，所以平面平面 （3） 【解析】 【分析】（1）根据直棱柱体积计算公式计算即可； （2）根据面面垂直的判定定理证明即可； （3）建立空间直角坐标系，运用空间向量法计算求解即可. 【小问1详解】 因为为等腰直角三角形，，所以，且， 因为四边形为正方形，所以 在直五棱柱中，底面， 所以该五棱柱的体积； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可得，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，，， 设平面的法向量为，则， 即 ，取，则 ， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 某零件厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱零件的定价为500元，低于200箱按原价销售，不低于200箱有两种优惠方案．方案一：以200箱为基准，每多100箱免12箱的金额．方案二：通过双方议价，买方能以每箱优惠的价格成交的概率为0.3，以每箱优惠的价格成交的概率为0.4，以每箱优惠的价格成交的概率为0.3． （1）买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，求甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率． （2）买方乙要在该厂购买400箱这种零件，以购买总价的数学期望为决策依据，试问乙选择哪种优惠方案更划算？请说明你的理由． （3）买方丙要在该厂购买960箱这种零件，由于购买的箱数超过500，该厂的销售部让丙综合使用这两种方案作为第三种方案，即一部分用方案一（箱数必须是100的正整数倍），另一部分使用方案二（箱数不限），试问丙应该如何使用方案三，才能获得最多的优惠？说明你的理由． 【答案】（1）0.7 （2） 买方乙要在该厂购买400箱这种零件， 若乙选择方案一，则成交的金额为万元 若乙选择方案二，设成交的金额为万元，则， 所以买方乙按方案二在该厂购买400箱这种零件的成交金额的数学期望为万元 因为，所以方案二更优惠； （3） 设丙用方案一购买箱， 则丙用方案一需要支付的金额为元， 方案二需要支付的金额的期望为元， 所以丙购买的金额的期望为万元 因为为减函数，所以越大，越小， 故应该选择箱使用方案一，箱使用方案二，这样才能获得最多的优惠. 【解析】 【分析】（1）分别计算买方甲以每箱优惠，，的价格成交的金额，再与万元比较即可求解； （2）先计算乙选择方案一的成交金额，再计算乙选择方案二的成交金额的数学期望，比较大小即可判断； （3）设丙用方案一购买箱，表示出丙购买的金额的期望为万元，利用为减函数即可做出决策. 【小问1详解】 买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二， 若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元; 若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元; 若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元 故甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. （1）在数列中，若，其中均为常数，是一元二次方程的两个实根，证明：． （2）若数列满足对应的一元二次方程为，该方程有两个实数根，则，其中均为常数．已知数列满足，且． ①求的通项公式； ②若数列满足，且，求的前项和． 【答案】（1）证明：因为是方程，即的两个实根， 所以， 则 ， 得证； （2）①， ②当n为偶数时， ； 当n为奇数时， . 【解析】 【分析】（1）由新概念结合韦达定理即可求证； （2）由新概念即可求解①，由错位相减法，和分组求和可求解② 【详解】（1）略 （2）①解:由题意知的一元二次方程为， 解得， 根据题意，不妨取， 设， 因为， 所以 解得 故， ②解:由， 得， 因为=7，， 所以由①知， 则. 设， 则， 则 所以. 当n为偶数时， ； 当n为奇数时， . 19. 若函数的图象关于直线对称，且存在唯一的极值点，则称为“金字塔函数”． （1）请判断函数是否为“金字塔函数”．（无需说明理由） （2）证明：当时，函数恒为“金字塔函数”． （3）已知函数为“金字塔函数”，求a的取值范围． 【答案】（1）不是“金字塔函数”； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据定义只需判断是否成立，即可得判断； （2）根据函数新定义，判断是否成立并利用导数研究极值点，即可证； （3）利用对称性得到，则，再应用导数研究的极值点，即可得参数范围. 【小问1详解】 ， 显然不关于对称，故不是金字塔函数； 【小问2详解】 因为，所以， 所以的图象关于直线对称，， 因为，，所以得，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则存在唯一的极值点1，故为“金字塔函数”. 【小问3详解】 因为为“金字塔函数”，所以， 所以， 整理得对恒成立，则，得， 所以，则， 令，则，当且仅当时取等号， 当时，，则单调递增，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则存在唯一的极值点1 当时，令，则在定义域上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 对于且，则，故，所以， 当时，，若，则， 当时，，若，则， 所以存在两个零点， 当时，当时，当时， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 由且，得， 当时，当时， 则必存在唯一的，使得，必存在唯一的，使得， 所以在、上单调递减，在、上单调递增，则有3个极值点，不合题意 综上，a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $