精品解析：湖北省部分高中协作体2025届高三下学期联考（三模）数学试题

湖北省部分高中协作体2025届三统联考 高三数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设为偶函数，当时，，则使的的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，做出函数的图像，结合图像，即可得到结果. 【详解】 因为时，单调递增， 又因为为偶函数，故可以做出的图像如图所示， 由图像可知，若，则或. 故选：C 2. 若，，则 A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合诱导公式利用三角恒等变换即可求解. 【详解】因为，即 所以，即， 所以. 故选：A 3. 若（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算及三角函数二倍角公式进行化简，得到结果. 【详解】 故选：B 4. 如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用坐标法，设，可得动点P到直线的距离为，然后利用二次函数的性质即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 设，则， ∴动点P到直线的距离为 ，当时取等号， 即线段上的动点P到直线的距离的最小值为. 故选：D. 5. 已知公差不为0的等差数列中，，，则（ ） A. B. 5 C. 10 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】直接用公差和首项表示已知条件，然后求得公差和首项后可得． 【详解】设数列公差为，则由已知得，由于，故解得， 所以． 故选：A． 6. 已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据的单调性和零点的存在定理得到的实根，构造新函数，得到在上为单调递增函数，结合，可判定C正确，D不正确；再令，结合零点的存在定理，得到A、B不正确. 【详解】设，其中，则函数在上为单调递增函数， 且当时，函数，且， 可得方程的实根，则， 又由，可得，即， 构造新函数，可得， 所以在上为单调递增函数， 可得， 因为实数是方程的实根，则，即， 其中，所以，即，所以C正确，D不正确. 令，可得，为单调递增函数， 由，即， 所以，又由，且，所以，所以A、B不正确. 故选：C. 7. 用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ） A. 8 B. 24 C. 48 D. 120 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意知本题需要分步计数， 2和4排在末位时，共有种排法， 其余三位数从余下的四个数中任取三个有24种排法， 根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24＝48（个）． 故选：C． 8. 如果某地的财政收入与支出满足线性回归方程（单位：亿元），其中，，，．若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过（ ） A. 9亿元 B. 9.5亿元 C. 10亿元 D. 10.5亿元 【答案】D 【解析】 【分析】根据线性回归方程即可解出． 【详解】因为，所以当时， ． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，点Q为上一点，且，则下列结论中正确的有（ ） A. 正三棱台的高为 B. 点P的轨迹长度为 C. 高为，底面半径为的圆柱可以放进棱台内 D. 过点A，B，Q的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 【答案】CD 【解析】 【分析】延长正三棱台侧棱相交于点，分析可知三棱锥为正四面体，对于A：根据正四面体的高以及棱台的性质分析求解；对于B：根据线面夹角可得，可知点的轨迹为等边的内切圆，即可得结果；对于C：根据三棱台、圆柱的结构特征分析判断；对于D：利用等体积法求正四面体的内切球，分析可知该棱台内最大的球即为正四面体的内切球，即可得结果. 【详解】延长正三棱台侧棱相交于点，由题意可知：， 在等腰梯形中，因为，，，则. 即为等边三角形，可知三棱锥为正四面体，且. 对于选项A：设为等边的中心， 由正四面体的性质可知：侧面，且， 即点到底面的距离为， 又因为，，所以正三棱台的高为， 故A错误； 对于选项B：因为与平面所成角的正切值为， 即，解得， 且等边的内切圆半径， 可知点的轨迹为等边的内切圆，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于选项C：因为正三棱台的高，且的内切圆半径为， 所以高为，底面圆的半径为的圆柱可以放在棱台内，故C正确； 对于选项D：设正四面体的内切球半径， 由等体积法可得：，解得. 因为，则该棱台内最大的球即为正四面体的内切球. 又因为，，， 则为的中点，过点的平面正好过该内切球的球心， 所以截面面积为，故D正确. 故选：CD. 10. 已知是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断正确的是（ ） A. B. E的离心率等于 C. 的内切圆半径 D. 若为E上的两点且关于原点对称，则的斜率存在时其乘积为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意画出对应的图像，A选项根据图像可得，B选项要结合图像以及双曲线的定义，性质进行化简计算，C选项根据内切圆半径的公式计算即可，D选项设点表示斜率，结合双曲线方程进行化简 【详解】 如上图所示，因为分别是的中点，所以中，，所以轴 A选项中，因为直线的倾斜角为，所以，故A正确 B选项中，中，， 所以，得：，故B正确 C选项中，的周长为，设内切圆为，根据三角形的等面积法，有，得：，是与有关的式子，所以C错误 D选项中，关于原点对称，可设，，根据得： ，所以当斜率存在时， ，，，因为在双曲线上，所以，即，得： ， 所以，故D正确 故选：ABD 【点睛】题目比较综合，涉及到图像特点的应用；通过找到之间的等量关系求解离心率；等面积法计算内切圆半径；设点法证明斜率乘积为定值 11. 函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】分类讨论函数的单调性及极值点判断各个选项即可. 【详解】， 当时, ,A选项正确； ， ， , 时, 有两个根,且时 ,根据极值点判断，故C选项正确,D选项错误； 当时, 有两个根,且此时 ,故B选项正确. 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 已知奇函数在的图像如图所示，则不等式的解集是________. 【答案】 【解析】 【详解】 则当时，，结合函数的图象可得： 当时，，根据奇函数的图象关于原点对称可得： 不等式的解集为 13. 已知圆与圆相交于A，B两点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由题知直线的方程为，进而根据几何法得弦，再在中，利用余弦定理并结合同角三角函数关系求解即可. 【详解】解：因为圆与圆相交于A，B两点， 所以直线的方程为：，即， 所以圆心到弦的距离为， 所以弦， 所以在中，，由余弦定理得， 所以 故答案为： 14. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为___________ 【答案】 【解析】 【分析】先由二项式系数最大确定,再由通项公式求含项的系数即可. 【详解】由只有第5项的二项式系数最大可得：. ∴通项公式， 令，解得. ∴展开式中含项的系数为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 环保生活，低碳出行，新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速（不含）经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的下列数据： 0 20 40 60 0 3000 5600 9000 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，. （1）当时，请选出符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）现有一辆同型号汽车从A地驶到B地，前一段是的国道，后一段是的高速路．若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度的关系是：，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？（假设在两段路上分别匀速行驶） 【答案】（1）选择；当时，；（2）当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为． 【解析】 【分析】（1）根据，当时，它无意义，，是减函数，不满足，即可得到，从而得到，再解方程组即可. （2）首先得到国道路段所耗电量为，利用二次函数的性质得到当时，；高速路段所耗电量为，利用导数的性质得到，即可得到答案. 【详解】（1）对于，当时，它无意义，所以不合题意； 对于，它显然是个减函数，这与矛盾； 故选择． 根据提供的数据，有，解得， 当时，． （2）国道路段长为，所用时间为， 所耗电量为， 因为，当时，； 高速路段长为，所用时间为， 所耗电量为 ， 因为，当时，， 所以在上单调递增， 所以； 故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为． 16. 如图，四棱锥P－ABCD的底面为菱形，，AB＝AP＝2，PA⊥底面ABCD，E是线段PB的中点，G，H分别是线段PC上靠近P，C的三等分点． （1）求证：平面AEG∥平面BDH； （2）求点A到平面BDH的距离． 【答案】（1） 连接AC，交BD于点O，连接OH，△PBH中，E，G分别为PB，PH的中点，所以EG∥BH，又因为平面BDH，平面BDH， 所以EG∥平面BDH，同理：AG∥平面BDH，因为AG，平面AEG，， 所以平面AEG∥平面BDH． （2）. 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理和面面平行的判定定理进行证明即可； （2）利用三棱锥的体积等积性进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记点A，H到平面BDH，平面ABD的距离分别为，，， 因为PA⊥平面ABCD，PA＝2，，所以， 在△PBC中，， 在△BCH中，， 同理，，又因为O为BD中点，所以OH⊥BD． 在△BDH中，，， 因为，所以． 17. 已知以点P为圆心的圆经过点A（－1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝. （1）求直线CD的方程； （2）求圆P的方程. 【答案】（1）x＋y－3＝0（2）圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40 【解析】 【分析】 （1）求出AB中点坐标和直线CD的斜率，即得直线CD的方程；（2）设圆心P（a，b），求出的值，即得圆P的方程. 【详解】（1）由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为（1，2）. 所以. 则直线CD的方程为y－2＝－（x－1）， 所以直线CD的方程为x＋y－3＝0. （2）设圆心P（a，b），则由点P在CD上得a＋b－3＝0.① 又因为直径|CD|＝4，所以|PA|＝2， 所以（a＋1）2＋b2＝40.② 由①②解得或 所以圆心P（－3，6）或P（5，－2）. 所以圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40. 【点睛】本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等比数列，． （1）求数列的前n项和． （2）若，，求满足条件的的集合． 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】(1)由三项成等比列式,应用基本量运算,结合通项公式和前项和公式求解即可; (2)裂项求和后解不等式即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为, 因为成等比,所以,即得 化简得,又因为,所以. 因为,所以,即得 解得或者 当时, 不合题意舍; 当时, ,则, 【小问2详解】 因为 当时, 由题得,化简得, 即, 解得,又因为,所以, 所以 19. 某技术部门招工需经过四项考核，已知能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8，0.9，0.65，各项考核是相互独立的，每个应聘者都要经过四项考核，只要有一项考核不通过即被淘汰. （1）求该部门招工的淘汰率; （2）求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率. 【答案】（1）0.7192 （2）0.48. 【解析】 【分析】（1）对于独立事件，它们同时发生的概率等于各事件发生概率的乘积；运用乘法公式和对立事件概率公式计算即可； （2）可通过条件概率和对立事件的概率和为1来计算. 【小问1详解】 设B表示最终通过考核，分别表示通过第一、二、三、四项考核. 因为各项考核是相互独立的，所以该部门招工的通过率为，因此该部门招工的淘汰率为. 【小问2详解】 在通过第一、三项考核的情况下考核全部通过的概率为，因此，通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省部分高中协作体2025届三统联考 高三数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设为偶函数，当时，，则使的的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 若，，则 A. 2 B. C. 3 D. 3. 若（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知公差不为0的等差数列中，，，则（ ） A. B. 5 C. 10 D. 40 6. 已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ） A. 8 B. 24 C. 48 D. 120 8. 如果某地的财政收入与支出满足线性回归方程（单位：亿元），其中，，，．若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过（ ） A. 9亿元 B. 9.5亿元 C. 10亿元 D. 10.5亿元 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，点Q为上一点，且，则下列结论中正确的有（ ） A. 正三棱台的高为 B. 点P的轨迹长度为 C. 高为，底面半径为的圆柱可以放进棱台内 D. 过点A，B，Q的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 10. 已知是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断正确的是（ ） A. B. E的离心率等于 C. 的内切圆半径 D. 若为E上的两点且关于原点对称，则的斜率存在时其乘积为2 11. 函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 已知奇函数在的图像如图所示，则不等式的解集是________. 13. 已知圆与圆相交于A，B两点，则______. 14. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 环保生活，低碳出行，新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速（不含）经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的下列数据： 0 20 40 60 0 3000 5600 9000 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，. （1）当时，请选出符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）现有一辆同型号汽车从A地驶到B地，前一段是的国道，后一段是的高速路．若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度的关系是：，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？（假设在两段路上分别匀速行驶） 16. 如图，四棱锥P－ABCD的底面为菱形，，AB＝AP＝2，PA⊥底面ABCD，E是线段PB的中点，G，H分别是线段PC上靠近P，C的三等分点． （1）求证：平面AEG∥平面BDH； （2）求点A到平面BDH的距离． 17. 已知以点P为圆心的圆经过点A（－1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝. （1）求直线CD的方程； （2）求圆P的方程. 18. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等比数列，． （1）求数列的前n项和． （2）若，，求满足条件的的集合． 19. 某技术部门招工需经过四项考核，已知能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8，0.9，0.65，各项考核是相互独立的，每个应聘者都要经过四项考核，只要有一项考核不通过即被淘汰. （1）求该部门招工的淘汰率; （2）求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $